Največja in najmanjša vrednost funkcije. Največja in najmanjša vrednost funkcije Študij funkcije za konveksnost in prevoj.

Koncept največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Koncept največje in najmanjše vrednosti je tesno povezan s konceptom kritične točke funkcije.

Definicija 1

$x_0$ se imenuje kritična točka funkcije $f(x)$, če:

1) $x_0$ - notranja točka domene definicije;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ali ne obstaja.

Uvedimo zdaj definicije največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Definicija 2

Funkcija $y=f(x)$, definirana na intervalu $X$, doseže največjo vrednost, če obstaja točka $x_0\in X$ taka, da za vse $x\in X$ velja neenakost

Definicija 3

Funkcija $y=f(x)$, definirana na intervalu $X$, doseže svojo najmanjšo vrednost, če obstaja točka $x_0\in X$, taka da neenakost velja za vse $x\in X$

Weierstrassov izrek o funkciji, zvezni na intervalu

Najprej predstavimo koncept funkcije, zvezne na intervalu:

Definicija 4

Za funkcijo $f\left(x\desno)$ pravimo, da je zvezna na intervalu $$, če je zvezna v vsaki točki intervala $(a,b)$ in je zvezna tudi na desni v točki $x=a$ in na levi v točki $x =b$.

Oblikujmo izrek o funkciji, zvezni na intervalu.

1. izrek

Weierstrassov izrek

Funkcija $f\left(x\desno)$, ki je zvezna na intervalu $$, doseže največjo in najmanjšo vrednost na tem intervalu, kar pomeni, da obstajajo točke $\alpha ,\beta \in $, tako da za vsi $x\in $ neenakost $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

Geometrična interpretacija izreka je prikazana na sliki 1.

Tukaj funkcija $f(x)$ doseže najmanjšo vrednost v točki $x=\alpha $ doseže največjo vrednost v točki $x=\beta $.

Shema za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije $f(x)$ na segmentu $$

1) Poiščite odvod $f"(x)$;

2) Poiščite točke, v katerih je odvod $f"\left(x\right)=0$;

3) Poiščite točke, v katerih odvod $f"(x)$ ne obstaja;

4) Iz točk, pridobljenih v 2. in 3. koraku, izberite tiste, ki pripadajo segmentu $$;

5) Izračunajte vrednost funkcije na točkah, dobljenih v koraku 4, kot tudi na koncih segmenta $$;

6) Izmed dobljenih vrednosti izberite največjo in najmanjšo vrednost.

Težave pri iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu

Primer 1

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

rešitev.

1) $f"\levo(x\desno)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\levo(x\desno)=0$;

\ \ \

4) $2\in \levo,\ 3\in $;

5) Vrednosti:

\ \ \ \

6) Največja najdena vrednost je 33 $, najmanjša najdena vrednost je 1 $. Tako dobimo:

odgovor:$max=33,\ min=1$.

Primer 2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

rešitev.

Rešitev bomo izvedli po zgornji shemi.

1) $f"\levo(x\desno)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\levo(x\desno)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ obstaja na vseh točkah domene definicije;

4) $-3\ne \levo,\ 5\in $;

5) Vrednosti:

\ \ \

6) Največja najdena vrednost je 225 $, najmanjša najdena vrednost je 50 $. Tako dobimo:

odgovor:$max=225,\ min=50$.

Primer 3

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na intervalu [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

rešitev.

Rešitev bomo izvedli po zgornji shemi.

1) $f"\levo(x\desno)=\frac(\levo(2x-6\desno)\levo(x-1\desno)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\levo(x\desno)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ ne obstaja v točki $x=1$

4) $3\ne \levo[-2,2\desno],\ -1\in \levo[-2,2\desno],\ 1\in \levo[-2,2\desno]$, vendar 1 ne sodi v domeno definicije;

5) Vrednosti:

\ \ \

6) Največja najdena vrednost je $1$, najmanjša najdena vrednost je $-8\frac(1)(3)$. Tako dobimo: \end(enumerate)

odgovor:$max=1,\min==-8\frac(1)(3)$.

V nalogi B14 iz Enotnega državnega izpita iz matematike morate najti najmanjšo ali največjo vrednost funkcije ene spremenljivke. To je dokaj banalen problem iz matematične analize in prav zaradi tega se ga lahko in mora vsak maturant naučiti normalno reševati. Oglejmo si nekaj primerov, ki so jih šolarji rešili med diagnostičnim delom iz matematike, ki je potekalo v Moskvi 7. decembra 2011.

Odvisno od intervala, v katerem želite najti največjo ali najmanjšo vrednost funkcije, se za rešitev te težave uporabi eden od naslednjih standardnih algoritmov.

I. Algoritem za iskanje največje ali najmanjše vrednosti funkcije na segmentu:

• Poiščite odvod funkcije.
• Med točkami, za katere obstaja sum, da so ekstremne, izberite tiste, ki pripadajo danemu segmentu in domeni definicije funkcije.
• Izračunaj vrednosti funkcije(ne derivat!) na teh točkah.
• Med dobljenimi vrednostmi izberite največjo ali najmanjšo, to bo želena.

Primer 1. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije
l = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 na segmentu.

rešitev: Sledimo algoritmu za iskanje najmanjše vrednosti funkcije na segmentu:

• Obseg funkcije ni omejen: D(y) = R.
• Odvod funkcije je enak: y' = 3x 2 – 36x+ 81. Tudi domena definicije odvoda funkcije ni omejena: D(da) = R.
• Ničle izpeljanke: y' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, kar pomeni x 2 – 12x+ 27 = 0, od koder x= 3 in x= 9, naš interval vključuje samo x= 9 (ena točka sumljiva za ekstrem).
• Vrednost funkcije najdemo na točki, ki je sumljiva za ekstrem in na robovih vrzeli. Za lažji izračun predstavimo funkcijo v obliki: l = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • l(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • l(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • l(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Torej je od dobljenih vrednosti najmanjša 23. Odgovor: 23.

II. Algoritem za iskanje največje ali najmanjše vrednosti funkcije:

• Poiščite domeno definicije funkcije.
• Poiščite odvod funkcije.
• Identificirajte točke, sumljive za ekstrem (tiste točke, na katerih odvod funkcije izniči, in točke, na katerih ni dvostranskega končnega odvoda).
• Označi te točke in definirano področje funkcije na številski premici in določi predznake izpeljanka(ne funkcije!) na nastale intervale.
• Določite vrednosti funkcije(ne izpeljanka!) na minimalnih točkah (tistih točkah, kjer se predznak izpeljanke spremeni iz minusa v plus), bo najmanjša od teh vrednosti najmanjša vrednost funkcije. Če minimalnih točk ni, potem funkcija nima minimalne vrednosti.
• Določite vrednosti funkcije(ne izpeljanka!) na največjih točkah (tistih točkah, pri katerih se predznak izpeljanke spremeni iz plusa v minus), bo največja od teh vrednosti največja vrednost funkcije. Če maksimalnih točk ni, potem funkcija nima največje vrednosti.

Primer 2. Poiščite največjo vrednost funkcije.

S praktičnega vidika je največje zanimanje uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja moramo reševati probleme optimizacije nekaterih parametrov. In to so naloge iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na določenem intervalu X, ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene definicije. Sam interval X je lahko segment, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo govorili o iskanju največje in najmanjše vrednosti eksplicitno definirane funkcije ene spremenljivke y=f(x).

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Oglejmo si na kratko glavne definicije.

Največja vrednost funkcije to za kogarkoli neenakost je res.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost to za kogarkoli neenakost je res.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejeta vrednost na obravnavanem intervalu na abscisi.

Stacionarne točke– to so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije postane nič.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največje in najmanjše vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija v neki točki ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame svojo največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame svoje največje in najmanjše vrednosti v točkah, kjer prvi odvod te funkcije ne obstaja in je funkcija sama definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene definicije funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Za jasnost bomo podali grafično ilustracijo. Poglejte slike in marsikaj vam bo bolj jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah, ki se nahajajo znotraj segmenta [-6;6].

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenimo segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desni meji intervala.

Na sliki 3 so mejne točke odseka [-3;2] abscise točk, ki ustrezata največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem intervalu

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah, ki se nahajajo znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, predstavljenem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y) v stacionarni točki z absciso x=1, najmanjšo vrednost (min y) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

V intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko se x=2 približuje z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (premica x=2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3. Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišimo algoritem, ki nam omogoča iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

1. Poiščemo domeno definicije funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
2. Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno so takšne točke v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v potenčnih funkcijah z ulomkom-racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
3. Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo znotraj segmenta. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korenine. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednjo točko.
4. Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja), kot tudi na x=a in x=b.
5. Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo zahtevana največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem za reševanje primera za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4;-1] .

rešitev.

Domena definicije funkcije je celotna množica realnih števil, z izjemo ničle, tj. Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščite odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1].

Iz enačbe določimo stacionarne točke. Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1, x=2 in x=4:

Zato je največja vrednost funkcije se doseže pri x=1 in najmanjši vrednosti – pri x=2.

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije le na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):

rešitev.

Začnimo z domeno funkcije. Kvadratni trinom v imenovalcu ulomka ne sme izginiti:

Preprosto preverimo, ali vsi intervali iz stavka problema sodijo v domeno definicije funkcije.

Razlikujmo funkcijo:

Očitno je, da odvod obstaja v celotnem področju definicije funkcije.

Poiščimo stacionarne točke. Odvod gre na nič pri . Ta stacionarna točka spada v intervala (-3;1] in (-3;2).

Zdaj lahko primerjate rezultate, dobljene na vsaki točki, z grafom funkcije. Modre pikčaste črte označujejo asimptote.

Na tej točki lahko zaključimo z iskanjem največje in najmanjše vrednosti funkcije. Algoritmi, obravnavani v tem članku, vam omogočajo, da dobite rezultate z najmanj dejanji. Vendar pa je lahko koristno najprej določiti intervale naraščanja in padanja funkcije in šele nato sklepati o največjih in najmanjših vrednostih funkcije na katerem koli intervalu. To daje jasnejšo sliko in natančno utemeljitev rezultatov.

Včasih so v problemih B15 "slabe" funkcije, za katere je težko najti izpeljanko. Prej se je to dogajalo le med vzorčnimi testi, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da jih pri pripravi na pravi enotni državni izpit ni več mogoče prezreti.

V tem primeru delujejo druge tehnike, od katerih je ena monotono.

Za funkcijo f (x) pravimo, da monotono narašča na odseku, če za kateri koli točki x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Za funkcijo f (x) pravimo, da je monotono padajoča na odseku, če za katero koli točko x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Z drugimi besedami, za naraščajočo funkcijo, večji kot je x, večji je f(x). Za padajočo funkcijo velja nasprotno: večji ko je x, tem manj f(x).

Na primer, logaritem monotono narašča, če je osnova a > 1, in monotono pada, če je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetični kvadratni (in ne samo kvadratni) koren monotono narašča na celotnem področju definicije:

Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: narašča pri a > 1 in pada pri 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Končno stopinje z negativnim eksponentom. Lahko jih zapišete kot ulomek. Imajo točko preloma, kjer se prekine monotonija.

Vseh teh funkcij nikoli ne najdemo v svoji čisti obliki. Seštevajo polinome, ulomke in druge neumnosti, kar oteži izračun odvoda. Poglejmo, kaj se zgodi v tem primeru.

Koordinate vrha parabole

Najpogosteje se argument funkcije nadomesti z kvadratni trinom oblike y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola, ki nas zanima:

1. Veje parabole lahko gredo navzgor (za a > 0) ali navzdol (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Oglišče parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije, v kateri ta funkcija doseže minimum (za a > 0) ali maksimum (a< 0) значение.

Največje zanimanje je vrh parabole, katere abscisa se izračuna po formuli:

Torej, našli smo ekstremno točko kvadratne funkcije. Če pa je prvotna funkcija monotona, bo zanjo tudi točka x 0 točka ekstrema. Zato oblikujmo ključno pravilo:

Ekstremne točke kvadratnega trinoma in kompleksne funkcije, v katero je vključen, sovpadajo. Zato lahko iščete x 0 za kvadratni trinom in pozabite na funkcijo.

Iz zgornjega razmišljanja ostaja nejasno, katero točko dobimo: največjo ali minimalno. Vendar so naloge posebej zasnovane tako, da to ni pomembno. Presodite sami:

1. V izjavi o problemu ni segmenta. Zato ni potrebe po izračunavanju f(a) in f(b). Upoštevati je treba le ekstremne točke;
2. Vendar obstaja samo ena taka točka - to je vrh parabole x 0, katere koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez izpeljank.

Tako je reševanje problema močno poenostavljeno in se spušča v samo dva koraka:

1. Zapišite enačbo parabole y = ax 2 + bx + c in poiščite njeno oglišče po formuli: x 0 = −b /2a ;
2. Poiščite vrednost prvotne funkcije na tej točki: f (x 0). Če ne bo dodatnih pogojev, bo to odgovor.

Na prvi pogled se lahko ta algoritem in njegova utemeljitev zdita zapletena. Namenoma ne objavljam "golega" diagrama rešitve, saj je nepremišljena uporaba takih pravil polna napak.

Oglejmo si resnične težave iz testnega Enotnega državnega izpita iz matematike - tu se ta tehnika najpogosteje pojavlja. Hkrati pa bomo poskrbeli, da bodo na ta način številne težave z B15 postale skorajda oralne.

Pod korenom je kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Ker sta veji parabole usmerjeni navzgor, dobi v točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 najmanjšo vrednost.

Koren monotono narašča, kar pomeni, da je x 0 najmanjša točka celotne funkcije. Imamo:

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola z vejami navzgor, ker a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Torej v točki x 0 = −1 kvadratna funkcija prevzame svojo najmanjšo vrednost. Toda funkcija y = log 2 x je monotona, torej:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent vsebuje kvadratno funkcijo y = 1 − 4x − x 2 . Zapišimo ga v normalni obliki: y = −x 2 − 4x + 1.

Očitno je graf te funkcije parabola, razvejana navzdol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Prvotna funkcija je eksponentna, je monotona, zato bo največja vrednost v najdeni točki x 0 = −2:

Pozoren bralec bo verjetno opazil, da nismo zapisali obsega dovoljenih vrednosti korena in logaritma. Vendar to ni bilo potrebno: znotraj so funkcije, katerih vrednosti so vedno pozitivne.

Posledice iz domene funkcije

Včasih samo iskanje vrha parabole ni dovolj za rešitev problema B15. Vrednost, ki jo iščete, je lahko lažna na koncu segmenta in sploh ne na skrajni točki. Če težava sploh ne določa segmenta, si oglejte razpon sprejemljivih vrednosti izvirno funkcijo. namreč:

Ponovno upoštevajte: ničla je lahko pod korenom, nikoli pa v logaritmu ali imenovalcu ulomka. Oglejmo si, kako to deluje, s konkretnimi primeri:

Naloga. Poiščite največjo vrednost funkcije:

Pod korenom je spet kvadratna funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Njen graf je parabola, vendar se veje navzdol, ker je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Zapišemo obseg dovoljenih vrednosti (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Zdaj pa poiščimo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Točka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - in to je dobro. Zdaj izračunamo vrednost funkcije v točki x 0, pa tudi na koncih ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Torej, dobili smo številki 2 in 0. Prosimo, da poiščemo največjo - to je številka 2.

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Znotraj logaritma je kvadratna funkcija y = 6x − x 2 − 5. To je parabola z vejami navzdol, vendar v logaritmu ne more biti negativnih števil, zato zapišemo ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Upoštevajte: neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo ODZ. To razlikuje logaritem od korena, kjer nam konci odseka precej ustrezajo.

Iščemo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Oglišče parabole se prilega po ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ker pa nas konci odseka ne zanimajo, izračunamo vrednost funkcije samo v točki x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

V praksi je precej običajno, da se za izračun največje in najmanjše vrednosti funkcije uporablja odvod. To dejanje izvedemo, ko ugotovimo, kako minimizirati stroške, povečati dobiček, izračunati optimalno obremenitev proizvodnje ipd., torej v primerih, ko moramo določiti optimalno vrednost parametra. Če želite pravilno rešiti takšne težave, morate dobro razumeti, katere so največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Običajno te vrednosti definiramo znotraj določenega intervala x, ki lahko ustreza celotni domeni funkcije ali njenemu delu. Lahko je kot segment [a; b ] , in odprti interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), neskončni interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ali neskončni interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

V tem gradivu vam bomo povedali, kako izračunati največjo in najmanjšo vrednost izrecno definirane funkcije z eno spremenljivko y=f(x) y = f (x) .

Osnovne definicije

Začnimo, kot vedno, z oblikovanjem osnovnih definicij.

Definicija 1

Največja vrednost funkcije y = f (x) na določenem intervalu x je vrednost m a x y = f (x 0) x ∈ X, kar za vsako vrednost x x ∈ X, x ≠ x 0 pomeni neenakost f (x) ≤ f (x) veljavno 0) .

Definicija 2

Najmanjša vrednost funkcije y = f (x) na določenem intervalu x je vrednost m i n x ∈ X y = f (x 0) , kar za vsako vrednost x ∈ X, x ≠ x 0 pomeni neenakost f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Te definicije so povsem očitne. Še preprosteje lahko rečemo takole: največja vrednost funkcije je njena največja vrednost na znanem intervalu na abscisi x 0, najmanjša pa je najmanjša sprejeta vrednost na istem intervalu na x 0.

Definicija 3

Stacionarne točke so tiste vrednosti argumenta funkcije, pri katerih njen derivat postane 0.

Zakaj moramo vedeti, kaj so stacionarne točke? Za odgovor na to vprašanje se moramo spomniti Fermatovega izreka. Iz tega sledi, da je stacionarna točka točka, v kateri se nahaja ekstrem diferenciabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ali maksimum). Posledično bo funkcija zavzela najmanjšo ali največjo vrednost na določenem intervalu ravno na eni od stacionarnih točk.

Funkcija lahko prevzame največjo ali najmanjšo vrednost tudi v tistih točkah, kjer je sama funkcija definirana in njen prvi odvod ne obstaja.

Prvo vprašanje, ki se pojavi pri preučevanju te teme: ali lahko v vseh primerih določimo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na danem intervalu? Ne, tega ne moremo storiti, ko meje danega intervala sovpadajo z mejami definicijskega območja ali če imamo opravka z neskončnim intervalom. Zgodi se tudi, da funkcija v danem segmentu ali v neskončnosti zavzame neskončno majhne ali neskončno velike vrednosti. V teh primerih ni mogoče določiti največje in/ali najmanjše vrednosti.

Te točke bodo postale jasnejše, ko bodo prikazane na grafih:

Prva slika nam prikazuje funkcijo, ki zavzame največje in najmanjše vrednosti (m a x y in m i n y) v stacionarnih točkah, ki se nahajajo na segmentu [ - 6 ; 6].

Oglejmo si podrobno primer, prikazan v drugem grafu. Spremenimo vrednost segmenta v [ 1 ; 6 ] in ugotovimo, da bo največja vrednost funkcije dosežena v točki z absciso na desni meji intervala, najmanjša pa v stacionarni točki.

Na tretji sliki predstavljajo abscise točk mejne točke odseka [ - 3 ; 2]. Ustrezata največji in najmanjši vrednosti dane funkcije.

Zdaj pa poglejmo četrto sliko. V njem funkcija zavzame m a x y (največjo vrednost) in m i n y (najmanjšo vrednost) v stacionarnih točkah na odprtem intervalu (- 6; 6).

Če vzamemo interval [ 1 ; 6), potem lahko rečemo, da bo najmanjša vrednost funkcije na njej dosežena v stacionarni točki. Največja vrednost nam bo neznana. Funkcija bi lahko prevzela največjo vrednost pri x enakem 6, če bi x = 6 pripadal intervalu. Točno to je prikazano v grafu 5.

V grafu 6 dobi ta funkcija najmanjšo vrednost na desni meji intervala (- 3; 2 ], o največji vrednosti pa ne moremo dokončno sklepati.

Na sliki 7 vidimo, da bo imela funkcija m a x y v stacionarni točki, ki ima absciso enako 1. Funkcija bo dosegla svojo najmanjšo vrednost na meji intervala na desni strani. Pri minus neskončnosti se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3.

Če vzamemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , potem bomo videli, da dana funkcija na sebi ne bo sprejela niti najmanjše niti največje vrednosti. Če se x nagiba k 2, se bodo vrednosti funkcije nagibale k minus neskončnosti, saj je ravna črta x = 2 navpična asimptota. Če se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3. Točno to je primer, prikazan na sliki 8.

V tem odstavku bomo predstavili zaporedje dejanj, ki jih je treba izvesti, da bi našli največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na določenem segmentu.

1. Najprej poiščimo domeno definicije funkcije. Preverimo, ali je segment, naveden v pogoju, vključen vanj.
2. Sedaj pa izračunajmo točke v tem segmentu, v katerih prvi odvod ne obstaja. Najpogosteje jih najdemo v funkcijah, katerih argument je zapisan pod znakom modula, ali v potenčnih funkcijah, katerih eksponent je delno racionalno število.
3. Nato bomo ugotovili, katere stacionarne točke bodo padle v dani segment. Če želite to narediti, morate izračunati odvod funkcije, ga nato izenačiti z 0 in rešiti nastalo enačbo ter nato izbrati ustrezne korene. Če ne dobimo niti ene stacionarne točke ali ne sodijo v dani segment, gremo na naslednji korak.
4. Določimo, katere vrednosti bo funkcija zavzela na danih stacionarnih točkah (če obstajajo) ali na tistih točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstajajo), ali pa izračunamo vrednosti za x = a in x = b.
5. 5. Imamo več funkcijskih vrednosti, med katerimi moramo zdaj izbrati največjo in najmanjšo. To bodo največja in najmanjša vrednost funkcije, ki jo moramo najti.

Poglejmo, kako pravilno uporabiti ta algoritem pri reševanju problemov.

Primer 1

Pogoj: podana je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Določite njegove največje in najmanjše vrednosti na segmentih [ 1 ; 4] in [-4; - 1 ] .

rešitev:

Začnimo z iskanjem domene definicije dane funkcije. V tem primeru bo to niz vseh realnih števil razen 0. Z drugimi besedami, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Oba segmenta, navedena v pogoju, bosta znotraj območja definicije.

Zdaj izračunamo odvod funkcije po pravilu diferenciacije ulomkov:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Izvedeli smo, da bo odvod funkcije obstajal v vseh točkah odsekov [1; 4] in [-4; - 1 ] .

Sedaj moramo določiti stacionarne točke funkcije. Naredimo to z enačbo x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo en pravi koren, ki je 2. To bo stacionarna točka funkcije in bo spadala v prvi segment [1; 4 ] .

Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih prvega segmenta in na tej točki, tj. za x = 1, x = 2 in x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Ugotovili smo, da je največja vrednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 bo dosežen pri x = 1, najmanjši m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2.

Drugi segment ne vključuje niti ene stacionarne točke, zato moramo vrednosti funkcije izračunati le na koncih danega segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

To pomeni m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Glej sliko:

Preden preučite to metodo, vam svetujemo, da pregledate, kako pravilno izračunate enostransko mejo in mejo v neskončnosti ter se naučite osnovnih metod za njuno iskanje. Če želite najti največjo in/ali najmanjšo vrednost funkcije na odprtem ali neskončnem intervalu, zaporedoma izvedite naslednje korake.

1. Najprej morate preveriti, ali je podani interval podmnožica domene definicije te funkcije.
2. Določimo vse točke, ki jih vsebuje zahtevani interval in na katerih prvi odvod ne obstaja. Običajno se pojavijo pri funkcijah, kjer je argument obdan z znakom modula, in pri potenčnih funkcijah z delno racionalnim eksponentom. Če te točke manjkajo, lahko nadaljujete z naslednjim korakom.
3. Zdaj pa določimo, katere stacionarne točke bodo spadale v dani interval. Najprej izenačimo odvod z 0, rešimo enačbo in izberemo ustrezne korene. Če nimamo niti ene stacionarne točke ali ne spadajo v določen interval, takoj nadaljujemo z nadaljnjimi dejanji. Določeni so glede na vrsto intervala.

• Če je interval oblike [ a ; b) , potem moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = a in enostransko mejo lim x → b - 0 f (x) .
• Če ima interval obliko (a; b ], potem moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = b in enostransko mejo lim x → a + 0 f (x).
• Če ima interval obliko (a; b), potem moramo izračunati enostranske meje lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Če je interval oblike [ a ; + ∞), potem moramo izračunati vrednost v točki x = a in mejo v plus neskončnosti lim x → + ∞ f (x) .
• Če je interval videti kot (- ∞ ; b ] , izračunamo vrednost v točki x = b in mejo v minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x) .
• Če - ∞ ; b , potem upoštevamo enostransko mejo lim x → b - 0 f (x) in mejo pri minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x)
• Če - ∞; + ∞ , potem upoštevamo limite na minus in plus neskončnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Na koncu morate na podlagi dobljenih funkcijskih vrednosti in mej narediti sklep. Tukaj je na voljo veliko možnosti. Torej, če je enostranska meja enaka minus neskončnosti ali plus neskončnosti, potem je takoj jasno, da o najmanjših in največjih vrednostih funkcije ni mogoče reči ničesar. Spodaj si bomo ogledali en tipičen primer. Podroben opis vam bo pomagal razumeti, kaj je kaj. Po potrebi se lahko vrnete na slike 4 - 8 v prvem delu gradiva.

Pogoj: dana funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovo največjo in najmanjšo vrednost v intervalih - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

rešitev

Najprej poiščemo domeno definicije funkcije. Imenovalec ulomka vsebuje kvadratni trinom, ki se ne sme spremeniti v 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Dobili smo domeno definicije funkcije, kateri pripadajo vsi v pogoju podani intervali.

Zdaj ločimo funkcijo in dobimo:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Posledično obstajajo izpeljanke funkcije v celotnem področju definicije.

Pojdimo k iskanju stacionarnih točk. Odvod funkcije postane 0 pri x = - 1 2 . To je stacionarna točka, ki leži v intervalih (- 3 ; 1 ] in (- 3 ; 2) .

Izračunajmo vrednost funkcije pri x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ], kot tudi mejo pri minus neskončnosti:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ker je 3 e 1 6 - 4 > - 1, to pomeni, da je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne omogoča enoznačne določitve najmanjše vrednosti lahko le sklepamo, da obstaja omejitev pod -1, saj se tej vrednosti asimptotično približuje pri minus neskončnosti.

Posebnost drugega intervala je, da v njem ni niti ene stacionarne točke niti ene stroge meje. Posledično ne bomo mogli izračunati ne največje ne najmanjše vrednosti funkcije. Ko smo določili mejo pri minus neskončnosti in ker argument teži k -3 na levi strani, dobimo le interval vrednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To pomeni, da se bodo vrednosti funkcije nahajale v intervalu - 1; +∞

Da bi našli največjo vrednost funkcije v tretjem intervalu, določimo njeno vrednost v stacionarni točki x = - 1 2, če je x = 1. Prav tako bomo morali poznati enostransko mejo za primer, ko argument teži k -3 na desni strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Izkazalo se je, da bo funkcija prevzela največjo vrednost v stacionarni točki m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Najmanjše vrednosti pa ne moremo določiti. Vse, kar vemo , je prisotnost spodnje meje na -4 .

Za interval (- 3 ; 2) vzemite rezultate prejšnjega izračuna in še enkrat izračunajte, čemu je enaka enostranska meja, ko se na levi strani nagibamo k 2:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

To pomeni, da je m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, najmanjše vrednosti pa ni mogoče določiti, vrednosti funkcije pa so od spodaj omejene s številom - 4. .

Glede na to, kar smo dobili v prejšnjih dveh izračunih, lahko rečemo, da je na intervalu [ 1 ; 2) funkcija bo prevzela največjo vrednost pri x = 1, vendar je nemogoče najti najmanjšo.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija ne bo dosegla niti največje niti najmanjše vrednosti, tj. vzel bo vrednosti iz intervala - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Po izračunu, koliko bo enaka vrednost funkcije pri x = 4, ugotovimo, da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , in dana funkcija pri plus neskončnosti se bo asimptotično približala premici y = - 1 .

Primerjajmo, kar smo dobili pri posameznem izračunu, z grafom dane funkcije. Na sliki so asimptote prikazane s pikčastimi črtami.

To je vse, kar smo vam želeli povedati o iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije. Zaporedje dejanj, ki smo jih podali, vam bo pomagalo narediti potrebne izračune kar se da hitro in preprosto. Vendar ne pozabite, da je pogosto koristno najprej ugotoviti, v katerih intervalih se bo funkcija zmanjšala in v katerih povečala, po tem pa lahko naredite nadaljnje sklepe. Tako lahko natančneje določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije ter utemeljite dobljene rezultate.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter