Od 5. razreda se učenci začnejo seznanjati s konceptom površin različnih oblik. Posebna vloga je namenjena območju pravokotnika, saj je ta številka ena najlažjih za študij.
Koncepti območja
Vsak lik ima svojo ploščino, izračun ploščine pa temelji na enotnem kvadratu, to je kvadratu z dolgo stranico 1 mm ali 1 cm, 1 dm itd. Območje takšne figure je enako $1*1 = 1mm^2$ ali $1cm^2$ itd. Območje je praviloma označeno s črko - S.
Območje prikazuje velikost dela ravnine, ki ga zaseda lik, obrisan z segmenti.
Pravokotnik je štirikotnik, v katerem so vsi koti enake stopinjske mere in enaki 90 stopinj, nasprotni stranici pa sta v parih vzporedni in enaki.
Posebno pozornost je treba nameniti merskim enotam dolžine in širine. Ujemati se morajo. Če se enote ne ujemajo, se pretvorijo. Praviloma pretvorijo večjo enoto v manjšo, na primer, če je dolžina podana v dm in širina v cm, se dm pretvori v cm in rezultat bo $cm^2$.
Formula za površino pravokotnika
Da bi našli površino pravokotnika brez formule, morate prešteti število enotskih kvadratov, na katere je lik razdeljen.
riž. 1. Pravokotnik, razdeljen na enotske kvadrate
Pravokotnik je razdeljen na 15 kvadratov, kar pomeni, da je njegova ploščina 15 cm2. Treba je omeniti, da številka obsega 3 kvadrate v širino in 5 v dolžino, zato morate za izračun števila enotskih kvadratov dolžino pomnožiti s širino. Manjša stranica štirikotnika je širina, večja je dolžina. Tako lahko izpeljemo formulo za površino pravokotnika:
S = a · b, kjer sta a,b širina in dolžina figure.
Na primer, če je dolžina pravokotnika 5 cm in širina 4 cm, bo površina enaka 4 * 5 = 20 cm 2.
Izračun površine pravokotnika z njegovo diagonalo
Če želite izračunati površino pravokotnika skozi diagonalo, morate uporabiti formulo:
$$S = (1\nad(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Če naloga podaja vrednosti kota med diagonalami, pa tudi vrednost same diagonale, potem lahko izračunate površino pravokotnika s splošno formulo za poljubne konveksne štirikotnike.
Diagonala je odsek črte, ki povezuje nasprotne točke figure. Diagonali pravokotnika sta enaki, presečišče pa je razdeljeno na pol.
riž. 2. Pravokotnik z vrisanimi diagonalami
Primeri
Za okrepitev teme razmislite o primerih nalog:
št. 1. Poiščite površino vrtne parcele enake oblike kot na sliki.
riž. 3. Risba za problem
rešitev:
Če želite odšteti površino, morate sliko razdeliti na dva pravokotnika. Ena od njih bo imela dimenzije 10 m in 3 m, druga 5 m in 7 m. Ločeno najdemo njihova območja:
$S_1 =3*10=30 m^2$;
To bo površina vrtne parcele $S = 65 m^2$.
št. 2. Odštejte ploščino pravokotnika, če je dana njegova diagonala d = 6 cm in kot med diagonalama α = 30 0.
rešitev:
Vrednost $sin 30 =(1\nad(2)) $,
$ S =(1\nad(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\nad(2)) * 6^2 * (1\nad(2)) =9 cm^2$
Tako je $S=9 cm^2$.
Diagonale delijo pravokotnik na 4 oblike - 4 trikotnike. V tem primeru sta trikotnika v parih enaka. Če v pravokotnik narišete diagonalo, razdeli lik na dva enaka pravokotna trikotnika. Povprečna ocena: 4.4. Skupaj prejetih ocen: 214.
Navodila
Na primer, veste, da je dolžina ene od strani (a) 7 cm in obseg pravokotnik(P) je enako 20 cm obseg katerega koli lika je enaka vsoti dolžin njegovih stranic in pravokotnik nasprotni strani enaki, potem je njegova obseg a bo videti takole: P = 2 x (a + b) ali P = 2a + 2b. Iz te formule sledi, da lahko dolžino druge stranice (b) najdete s preprosto operacijo: b = (P – 2a) : 2. Torej bo v našem primeru stranica b enaka (20 – 2 x 7) : 2 = 3 cm .
Zdaj, ko poznate dolžini obeh sosednjih strani (a in b), ju lahko nadomestite v formulo za ploščino S = ab. V tem primeru pravokotnik bo enako 7x3 = 21. Upoštevajte, da merske enote ne bodo več , ampak kvadratni centimetri, saj ste med seboj pomnožili tudi dolžini obeh stranic njunih merskih enot (centimetrov).
Viri:
- Kaj je obseg pravokotnika?
Ravna figura, sestavljena iz štirih stranic in štirih pravih kotov. Od vseh figur kvadrat pravokotnik je treba izračunati pogosteje kot druge. To in kvadrat stanovanja, in kvadrat vrtna parcela, in kvadrat površine mize ali police. Na primer, da preprosto tapete v sobi, izračunajo kvadrat njegove pravokotne stene.
Navodila
Mimogrede, od pravokotnik je mogoče enostavno izračunati kvadrat. Dovolj je, da dokončate pravokotno, da pravokotnik tako da hipotenuza postane diagonala pravokotnik. Takrat bo očitno, da kvadrat takega pravokotnik je enak zmnožku krakov trikotnika in kvadrat samega trikotnika je torej enaka polovici produkta nog.
Video na temo
Poseben primer paralelograma - pravokotnik - pozna le evklidska geometrija. U pravokotnik Vsi koti so enaki in vsak posebej tvori 90 stopinj. Na podlagi zasebnih lastnin pravokotnik, in tudi iz lastnosti paralelograma lahko ugotovimo o vzporednosti nasprotnih stranic straneh figure vzdolž danih diagonal in kot iz njihovega presečišča. Računanje strani pravokotnik temelji na dodatnih konstrukcijah in uporabi lastnosti nastalih figur.
Navodila
S črko A označite presečišče diagonal. Razmislite o EFA, ki jih tvorijo konstrukti. Glede na premoženje pravokotnik njegovi diagonali sta enaki in razpolovljeni s presečiščem A. Izračunajte vrednosti FA in EA. Ker je trikotnik EFA enakokrak in njegov straneh EA in FA sta med seboj enaki oziroma enaki polovici diagonale EG.
Nato izračunajte prvi EF pravokotnik. Ta stranica je tretja neznana stranica obravnavanega trikotnika EFA. V skladu s kosinusnim izrekom uporabite ustrezno formulo za iskanje stranice EF. Če želite to narediti, nadomestite predhodno pridobljene vrednosti stranic FA EA in kosinusa znanega kota med njimi α v formulo kosinusa. Izračunajte in zapišite dobljeno vrednost EF.
Poiščite drugo stran pravokotnik F.G. Če želite to narediti, razmislite o drugem trikotniku EFG. Je pravokoten, kjer poznamo hipotenuzo EG in krak EF. V skladu s Pitagorovim izrekom poiščite drugi krak FG z ustrezno formulo.
Nanaša se na najpreprostejše ravne geometrijske figure in je eden od posebnih primerov paralelograma. Posebnost takega paralelograma so pravi koti na vseh štirih ogliščih. Omejeno s strankami pravokotnik kvadrat lahko izračunamo na več načinov, z uporabo dimenzij njegovih stranic, diagonal in kotov med njimi, polmera včrtanega kroga itd.
Navodila
Če je znana velikost kota (α), ki sestavlja diagonalo pravokotnik na eni od njegovih stranic, kot tudi dolžino (C) te diagonale, potem lahko za izračun površine uporabite definicije trigonometrije v pravokotniku. Pravokotni trikotnik tukaj tvorita dve strani štirikotnika in njegova diagonala. Iz definicije kosinusa sledi, da bo dolžina ene od strani enaka produktu dolžine diagonale in kota, vrednost je znana. Iz definicije sinusa lahko izpeljemo formulo za dolžino druge strani – ta je enaka produktu dolžine diagonale in sinusa istega kota. Zamenjajte te identitete v formulo iz prejšnjega koraka in izkazalo se je, da morate za iskanje površine pomnožiti sinus in kosinus znanega kota ter dolžino diagonale pravokotnik: S=sin(α)*cos(α)*S².
Če poleg diagonalne dolžine (C) pravokotnikČe je znana velikost kota (β), ki ga tvorijo diagonale, lahko za izračun površine figure uporabite tudi eno od trigonometričnih funkcij - sinus. Kvadrirajte dolžino diagonale in rezultat pomnožite s polovico sinusa znanega kota: S=С²*sin(β)/2.
Če je (r) kroga, včrtanega v pravokotnik, znan, potem za izračun ploščine to vrednost dvignite na drugo potenco in rezultat početverite: S=4*r². Štirikotnik, v katerega je to mogoče, bo kvadrat, dolžina njegove stranice pa je enaka premeru včrtanega kroga, to je dvakratni polmer. Formulo dobimo tako, da dolžine stranic, izražene s polmeri, nadomestimo v identiteto iz prvega koraka.
Če sta znani dolžini (P) in ena od stranic (A). pravokotnik, nato pa za iskanje površine znotraj tega oboda izračunajte polovico zmnožka dolžine stranice in razlike med dolžino oboda in obema dolžinama te stranice: S=A*(P-2*A)/2.
Video na temo
Ne le učenci pri pouku geometrije se soočajo z nalogo iskanja oboda ali območja poligona. Včasih se zgodi, da jo reši odrasel človek. Ste že kdaj morali izračunati potrebno količino tapet za sobo? Ali pa ste morda izmerili dolžino svoje poletne koče, da bi jo ogradili z ograjo? Tako je poznavanje osnov geometrije včasih nepogrešljivo za izvedbo pomembnih projektov.
S konceptom smo se že seznanili območje figure, naučil eno od enot za merjenje površine - kvadratni centimeter. V tej lekciji bomo izpeljali pravilo za izračun površine pravokotnika.
Že vemo, kako najti površino številk, ki so razdeljene na kvadratne centimetre.
Na primer:
Ugotovimo lahko, da je ploščina prve figure 8 cm 2, površina druge figure pa 7 cm 2.
Kako najti površino pravokotnika, katerega stranice so dolge 3 cm in 4 cm?
Za rešitev problema razdelimo pravokotnik na 4 trakove po 3 cm 2.
Potem bo površina pravokotnika enaka 3 * 4 = 12 cm 2.
Enak pravokotnik lahko razdelimo na 3 trakove po 4 cm 2.
Potem bo površina pravokotnika enaka 4 * 3 = 12 cm 2.
V obeh primerih Da bi našli površino pravokotnika, pomnožimo števila, ki izražajo dolžine strani pravokotnika.
Poiščimo površino vsakega pravokotnika.
Razmislite o pravokotniku AKMO.
V enem traku je 6 cm 2 in v tem pravokotniku sta 2 takšna trakova. To pomeni, da lahko izvedemo naslednje dejanje:
Število 6 predstavlja dolžino pravokotnika, 2 pa širino pravokotnika. Zato smo pomnožili stranice pravokotnika, da bi našli površino pravokotnika.
Razmislite o pravokotniku KDCO.
V pravokotniku KDCO je 2 cm 2 v enem traku, takšni trakovi pa so 3. Torej lahko izvedemo dejanje
Številka 3 označuje dolžino pravokotnika, 2 pa širino pravokotnika. Pomnožili smo jih in ugotovili ploščino pravokotnika.
Lahko zaključimo: Če želite najti površino pravokotnika, vam ni treba vsakič razdeliti figure na kvadratne centimetre.
Če želite izračunati površino pravokotnika, morate najti njegovo dolžino in širino (dolžine strani pravokotnika morajo biti izražene v enakih merskih enotah) in nato izračunati produkt dobljenih števil (površina bo izraženo v ustreznih površinskih enotah)
Naj povzamemo: Površina pravokotnika je enaka produktu njegove dolžine in širine.
Rešiti problem.
Izračunaj ploščino pravokotnika, če je dolžina pravokotnika 9 cm in širina 2 cm.
Razmišljajmo takole. V tej nalogi sta znani dolžina in širina pravokotnika. Zato sledimo pravilu: površina pravokotnika je enaka produktu njegove dolžine in širine.
Zapišimo rešitev.
odgovor: površina pravokotnika 18 cm 2
Katere druge dolžine stranic pravokotnika s tako ploščino mislite?
Lahko razmišljate takole. Ker je površina zmnožek dolžin stranic pravokotnika, si morate zapomniti tabelo množenja. Katera števila pomnožimo, da dobimo odgovor 18?
Tako je, ko pomnožite 6 in 3, dobite tudi 18. To pomeni, da ima pravokotnik lahko stranice 6 cm in 3 cm, njegova ploščina pa bo prav tako enaka 18 cm 2.
Rešiti problem.
Dolžina pravokotnika je 8 cm, širina pa 2 cm. Poiščite njegovo ploščino in obseg.
Poznamo dolžino in širino pravokotnika. Ne smemo pozabiti, da morate za iskanje površine najti produkt njegove dolžine in širine, za iskanje oboda pa morate vsoto dolžine in širine pomnožiti z dvema.
Zapišimo rešitev.
odgovor: Ploščina pravokotnika je 16 cm2, obseg pravokotnika pa 20 cm.
Rešiti problem.
Dolžina pravokotnika je 4 cm, širina pa 3 cm. Kakšna je površina trikotnika? (glej sliko)
Če želite odgovoriti na vprašanje v nalogi, morate najprej najti površino pravokotnika. Vemo, da moramo za to dolžino pomnožiti s širino.
Poglej risbo. Ste opazili, kako je diagonala razdelila pravokotnik na dva enaka trikotnika? Zato je površina enega trikotnika 2-krat manjša od površine pravokotnika. Torej moramo 12 zmanjšati za 2-krat.
odgovor: Površina trikotnika je 6 cm 2.
Danes smo pri pouku spoznali pravilo za izračun ploščine pravokotnika in se naučili uporabiti to pravilo pri reševanju nalog o iskanju ploščine pravokotnika.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova in drugi: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 1. del. M., "Razsvetljenje", 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova in drugi: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 2. del. M., "Razsvetljenje", 2012.
3. M.I.Moro. Pouk matematike: Metodološka priporočila za učitelje. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.
4. Regulativni dokument. Spremljanje in vrednotenje učnih rezultatov. M., "Razsvetljenje", 2011.
5. »Ruska šola«: Programi za osnovno šolo. - M.: "Razsvetljenje", 2011.
6. S.I.Volkova. Matematika: Izpitne naloge. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testi. M., "Izpit", 2012 (127 str.)
2. Založba "Prosveshcheniye" ()
1. Dolžina pravokotnika je 7 cm, širina 4 cm.
2. Stranica kvadrata je 5 cm.
3. Narišite možne možnosti za pravokotnike s površino 18 cm 2.
4. Ustvarite nalogo na temo lekcije za svoje prijatelje.
L * H = S, da bi našli površino pravokotnika, morate širino pomnožiti z dolžino. Z drugimi besedami, se lahko izrazi takole: Površina pravokotnika je enaka produktu stranic.
1. Navedimo primer izračuna kako najti površino pravokotnika, stranice so enake znanim količinam, na primer širina 4 cm, dolžina 8 cm.
Kako najti površino pravokotnika s stranicami 4 in 8 cm: Rešitev je preprosta! 4 x 8 = 32 cm2. Če želite rešiti tako preprosto težavo, morate izračunati produkt stranic pravokotnika ali preprosto pomnožiti širino z dolžino, to bo območje!
2. Poseben primer pravokotnika je kvadrat, to je primer, ko so stranice pravokotnika enake, v tem primeru lahko površino kvadrata najdete z zgornjo formulo.
Kakšna je površina pravokotnika?
Sposobnost izračuna ploščine pravokotnika je osnovna veščina za reševanje ogromnega števila vsakdanjih ali tehničnih problemov. To znanje se uporablja na skoraj vseh področjih življenja! Na primer v primerih, ko so v gradbeništvu ali nepremičninah potrebne površine katere koli površine. Pri izračunu površin zemljišč, parcel, zidov hiš, bivalnih prostorov ... je nemogoče poimenovati eno samo področje človekove dejavnosti, kjer to znanje ne bi bilo uporabno!
če računanje ploščine pravokotnika vam povzroča težave - samo uporabite naš kalkulator! O bo takoj zagotovil vse potrebne izračune in napisal besedilo rešitve s podrobnimi razlagami.
S takšnim konceptom, kot je območje, se moramo ukvarjati v vsakdanjem življenju. Tako, na primer, ko gradite hišo, jo morate poznati, da lahko izračunate količino potrebnega materiala. Velikost vrtne parcele bo značilna tudi njegova površina. Tudi prenove v stanovanju ne gre brez te definicije. Zato se vprašanje, kako najti površino pravokotnika, pojavlja zelo pogosto in je pomembno ne le za šolarje.
Za tiste, ki ne vedo, je pravokotnik ploska figura, pri kateri sta nasprotni stranici enaki in imata kota 90 stopinj. Za označevanje površine v matematiki se uporablja angleška črka S. Meri se v kvadratnih enotah: metrih, centimetrih itd.
Zdaj bomo poskušali dati podroben odgovor na vprašanje, kako najti območje pravokotnika. To vrednost lahko določite na več načinov. Najpogosteje naletimo na metodo določanja površine s pomočjo širine in dolžine.
Vzemimo pravokotnik s širino b in dolžino k. Če želite izračunati površino danega pravokotnika, morate širino pomnožiti z dolžino. Vse to je mogoče predstaviti v obliki formule, ki bo videti tako: S = b * k.
Zdaj pa si poglejmo to metodo na konkretnem primeru. Določiti je treba površino vrtne parcele s širino 2 metra in dolžino 7 metrov.
S = 2 * 7 = 14 m2
Pri matematiki, predvsem pri matematiki, moramo ploščino določiti na druge načine, saj velikokrat ne poznamo ne dolžine ne širine pravokotnika. Hkrati obstajajo druge znane količine. Kako najti površino pravokotnika v tem primeru?
- Če poznamo dolžino diagonale in enega od kotov, ki sestavljajo diagonalo s katero koli stranjo pravokotnika, potem si bomo v tem primeru morali zapomniti območje, če ga pogledate, pravokotnik je sestavljen iz dva enaka pravokotna trikotnika. Torej, vrnimo se k ugotovljeni vrednosti. Najprej morate določiti kosinus kota. Dobljeno vrednost pomnožite z dolžino diagonale. Kot rezultat dobimo dolžino ene od strani pravokotnika. Podobno, vendar z uporabo definicije sinusa, lahko določite dolžino druge stranice. Kako zdaj najti površino pravokotnika? Da, zelo preprosto je, pomnožite dobljene vrednosti.
V obliki formule bo videti takole:
S = cos(a) * sin(a) * d2, kjer je d dolžina diagonale
- Drug način za določitev površine pravokotnika je skozi krog, vpisan vanj. Uporablja se, če je pravokotnik kvadrat. Če želite uporabiti to metodo, morate vedeti, kako izračunati površino pravokotnika na ta način? Seveda po formuli. Tega ne bomo dokazali. In izgleda takole: S = 4 * r2, kjer je r polmer.
Zgodi se, da namesto polmera poznamo premer včrtanega kroga. Potem bo formula videti takole:
S=d2, kjer je d premer.
- Če sta znani ena od stranic in obod, kako v tem primeru ugotoviti površino pravokotnika? Če želite to narediti, morate narediti vrsto preprostih izračunov. Kot vemo, sta nasprotni stranici pravokotnika enaki, zato je treba od vrednosti oboda odšteti znano dolžino, pomnoženo z dvema. Rezultat delite z dva in dobite dolžino druge stranice. No, potem je standardna tehnika pomnožiti obe strani in dobiti površino pravokotnika. V obliki formule bo videti takole:
S=b* (P - 2*b), kjer je b dolžina stranice, P je obseg.
Kot lahko vidite, lahko površino pravokotnika določite na različne načine. Vse je odvisno od tega, kakšne količine poznamo, preden se lotimo tega vprašanja. Seveda se z najnovejšimi računskimi metodami skoraj nikoli ne srečamo v življenju, vendar so lahko uporabne za reševanje številnih problemov v šoli. Morda bo ta članek koristen za reševanje vaših težav.
