Gradient funkcije– vektorska količina, katere določitev je povezana z določitvijo parcialnih odvodov funkcije. Smer gradienta označuje pot najhitrejše rasti funkcije od ene točke skalarnega polja do druge.
Navodila
1. Za rešitev problema gradienta funkcije se uporabljajo metode diferencialnega računa, in sicer iskanje parcialnih odvodov prvega reda glede na tri spremenljivke. Predpostavlja se, da ima funkcija sama in vsi njeni delni odvodi lastnost zveznosti v domeni definicije funkcije.
2. Gradient je vektor, katerega smer kaže smer najhitrejšega naraščanja funkcije F. V ta namen na grafu izberemo dve točki M0 in M1, ki sta konci vektorja. Velikost gradienta je enaka stopnji naraščanja funkcije od točke M0 do točke M1.
3. Funkcija je diferenciabilna v vseh točkah tega vektorja, zato so projekcije vektorja na koordinatne osi vse njegove delne odvodnice. Potem je formula gradienta videti takole: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, kjer so i, j, k koordinate enotskega vektorja . Z drugimi besedami, gradient funkcije je vektor, katerega koordinate so njegovi delni odvodi grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. Primer 1. Naj bo podana funkcija F = sin(x z?)/y. Potrebno je zaznati njegov gradient v točki (?/6, 1/4, 1).
5. Rešitev Določite parcialne odvode glede na vsako spremenljivko: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Nadomestite znane koordinatne vrednosti točke: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.
7. Uporabite formulo gradienta funkcije: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Primer 2. Poiščite koordinate gradienta funkcije F = y arсtg (z/x) v točki (1, 2, 1).
9. Rešitev.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
Gradient skalarnega polja je vektorska količina. Zato je za njegovo iskanje potrebno določiti vse komponente ustreznega vektorja na podlagi poznavanja delitve skalarnega polja.
Navodila
1. V učbeniku višje matematike si preberi, kaj je gradient skalarnega polja. Kot veste, ima ta vektorska količina smer, za katero je značilna največja stopnja upadanja skalarne funkcije. To razlago te vektorske količine upravičuje izraz za določanje njenih komponent.
2. Ne pozabite, da je vsak vektor določen z velikostmi njegovih komponent. Komponente vektorja so pravzaprav projekcije tega vektorja na eno ali drugo koordinatno os. Torej, če upoštevamo tridimenzionalni prostor, mora imeti vektor tri komponente.
3. Zapiši, kako so določene komponente vektorja, ki je gradient določenega polja. Vse koordinate takega vektorja so enake odvodu skalarnega potenciala glede na spremenljivko, katere koordinata se izračunava. To pomeni, da če morate izračunati komponento "x" vektorja gradienta polja, potem morate diferencirati skalarno funkcijo glede na spremenljivko "x". Upoštevajte, da mora biti izpeljanka delna. To pomeni, da je treba med diferenciacijo preostale spremenljivke, ki vanjo ne sodelujejo, obravnavati kot konstante.
4. Zapišite izraz za skalarno polje. Kot je znano, ta izraz pomeni le skalarno funkcijo več spremenljivk, ki so prav tako skalarne količine. Število spremenljivk skalarne funkcije je omejeno z dimenzijo prostora.
5. Diferencirajte skalarno funkcijo posebej glede na vsako spremenljivko. Kot rezultat boste dobili tri nove funkcije. Zapišite poljubno funkcijo v izraz za vektor gradienta skalarnega polja. Vsaka od dobljenih funkcij je pravzaprav indikator enotskega vektorja dane koordinate. Tako bi moral biti končni vektor gradienta videti kot polinom z eksponenti v obliki odvodov funkcije.
Ko razmišljamo o vprašanjih, ki vključujejo gradientno predstavitev, je običajno misliti na funkcije kot na skalarna polja. Zato je treba uvesti ustrezno notacijo.
Boste potrebovali
- – razcvet;
- - pero.
Navodila
1. Naj bo funkcija podana s tremi argumenti u=f(x, y, z). Delni odvod funkcije, na primer glede na x, je definiran kot odvod glede na ta argument, dobljen s fiksiranjem preostalih argumentov. Podobno velja za druge argumente. Zapis delnega odvoda je zapisan v obliki: df/dx = u’x ...
2. Skupni diferencial bo enak du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz Parcialne odvode lahko razumemo kot odvode po smereh koordinatnih osi. Posledično se pojavi vprašanje iskanja odvoda glede na smer danega vektorja s v točki M(x, y, z) (ne pozabite, da je smer s določena z enotskim vektorjem s^o). V tem primeru je vektorski diferencial argumentov (dx, dy, dz) = (дscos(alfa), dscos(beta), dscos(gama)).
3. Glede na obliko totalnega diferenciala du lahko sklepamo, da je odvod v smeri s v točki M enak: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gama). Če je s= s(sx,sy,sz), potem smerni kosinus (cos(alfa), cos(beta) ), cos( gama)) se izračunajo (glej sliko 1a).
4. Definicijo smernega odvoda, pri čemer upoštevamo točko M kot spremenljivko, lahko prepišemo v obliki skalarnega produkta: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Ta izraz bo objektiven za skalarno polje. Če funkcijo obravnavamo enostavno, potem je gradf vektor s koordinatami, ki sovpadajo z delnimi odvodi f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Tukaj (i, j, k) so enotski vektorji koordinatnih osi v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu.
5. Če uporabimo Hamiltonov diferencialni vektorski operator, lahko gradf zapišemo kot množenje tega vektorskega operatorja s skalarjem f (glej sliko 1b). Z vidika povezave med gradf in smernim odvodom je enakost (gradf, s^o)=0 sprejemljiva, če sta vektorja pravokotna. Posledično je gradf pogosto opredeljen kot smer najhitrejše metamorfoze skalarnega polja. In z vidika diferencialnih operacij (gradf je ena izmed njih) lastnosti gradf natančno ponavljajo lastnosti diferencialnih funkcij. Še posebej, če je f=uv, potem gradf=(vgradu+u gradv).
Video na temo
Gradient To je orodje, ki v grafičnih urejevalnikih napolni silhueto z gladkim prehodom iz ene barve v drugo. Gradient lahko daje silhueti rezultat volumna, posnema osvetlitev, bleščanje svetlobe na površini predmeta ali rezultat sončnega zahoda v ozadju fotografije. To orodje je zelo razširjeno, zato je za obdelavo fotografij ali ustvarjanje ilustracij zelo pomembno, da se ga naučimo uporabljati.
Boste potrebovali
- Računalnik, grafični urejevalnik Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ali drug.
Navodila
1. Odprite sliko v programu ali posnemite novo. Narišite silhueto ali izberite želeno območje na sliki.
2. V orodni vrstici grafičnega urejevalnika vklopite orodje za gradient. Kazalec miške postavite na točko znotraj izbranega območja ali silhuete, kjer se bo začela 1. barva gradienta. Kliknite in držite levi gumb miške. Premaknite kazalec na točko, kjer želite, da se preliv spremeni v končno barvo. Spustite levi gumb miške. Izbrana silhueta bo zapolnjena s prelivom.
3. Gradient Na določeni točki polnila lahko nastavite prosojnost, barve in njihovo razmerje. Če želite to narediti, odprite okno za urejanje gradienta. Če želite odpreti okno za urejanje v Photoshopu, kliknite primer gradienta na plošči Možnosti.
4. Okno, ki se odpre, prikazuje razpoložljive možnosti gradientnega polnila v obliki primerov. Če želite urediti eno od možnosti, jo izberite s klikom miške.
5. Na dnu okna je prikazan primer gradienta v obliki široke lestvice, na kateri se nahajajo drsniki. Drsniki označujejo točke, na katerih naj bi gradient imel določene primerjave, v intervalu med drsniki pa barva enakomerno prehaja iz barve, določene na prvi točki, v barvo 2. točke.
6. Drsniki, ki se nahajajo na vrhu lestvice, nastavijo prosojnost preliva. Če želite spremeniti prosojnost, kliknite želeni drsnik. Pod lestvico se prikaže polje, v katerega vnesete želeno stopnjo preglednosti v odstotkih.
7. Drsniki na dnu lestvice določajo barve preliva. S klikom na enega od njih boste lahko izbrali želeno barvo.
8. Gradient lahko ima več prehodnih barv. Če želite nastaviti drugo barvo, kliknite na prosti prostor na dnu lestvice. Na njem se prikaže še en drsnik. Dajte zahtevano barvo. Lestvica bo prikazala primer preliva z eno točko več. Drsnike lahko premikate tako, da jih držite z levim gumbom miške, da dosežete želeno kombinacijo.
9. Gradient Na voljo so v več vrstah, ki lahko dajejo obliko ravnim silhuetam. Na primer, da bi dali krogu obliko krogle, se uporablja radialni gradient, da bi dali obliko stožca, pa se uporablja stožčasti gradient. Če želite površini dati iluzijo konveksnosti, lahko uporabite zrcalni preliv, preliv v obliki diamanta pa lahko uporabite za ustvarjanje poudarkov.
Video na temo
Video na temo
Če je na vsaki točki v prostoru ali delu prostora določena vrednost določene količine, potem pravijo, da je polje te količine določeno. Polje se imenuje skalarno, če je obravnavana količina skalarna, tj. v celoti označen s svojo številčno vrednostjo. Na primer temperaturno polje. Skalarno polje je podano s skalarno točkovno funkcijo u = /(M). Če v prostor uvedemo kartezični koordinatni sistem, potem obstaja funkcija treh spremenljivk x, yt z - koordinate točke M: Definicija. Ravna ploskev skalarnega polja je množica točk, v katerih ima funkcija f(M) enako vrednost. Enačba nivojske ploskve Primer 1. Poiščite nivojske ploskve skalarnega polja VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Ploskve in nivojske črte Smerna derivacija Izpeljava Gradient skalarnega polja Osnovne lastnosti gradienta Invariantna definicija gradienta Pravila za izračun gradienta -4 Po definiciji , bo enačba ravne površine. To je enačba krogle (s F 0) s središčem v izhodišču. Skalarno polje imenujemo ravno, če je polje enako v vseh ravninah, vzporednih z določeno ravnino. Če je označena ravnina ravnina xOy, potem funkcija polja ne bo odvisna od koordinate z, to pomeni, da bo funkcija samo argumentov x in y. Ravninsko polje je mogoče karakterizirati z uporabo nivojskih črt - a množica točk na ravnini, v katerih ima funkcija /(x, y) enega in tudi pomen. Enačba nivojske črte - Primer 2. Poiščite nivojske črte skalarnega polja Niveljske črte so podane z enačbami. Pri c = 0 dobimo par ravnih črt, dobimo družino hiperbol (slika 1). 1.1. Smerni odvod Naj obstaja skalarno polje, definirano s skalarno funkcijo u = /(Af). Vzemimo točko Afo in izberimo smer, ki jo določa vektor I. Vzemimo drugo točko M, tako da bo vektor M0M vzporeden z vektorjem 1 (slika 2). Dolžino vektorja MoM označimo z A/, inkrement funkcije /(Af) - /(Afo), ki ustreza gibanju D1, pa z Di. Razmerje določa povprečno hitrost spreminjanja skalarnega polja na enoto dolžine v dani smeri, tako da vektor M0M ves čas ostane vzporeden z vektorjem I. Če je pri D/O končna meja relacije (5), jo imenujemo odvod funkcije v dani točki Afo na dano smer I in jo označimo s simbolom 3!^. Torej po definiciji ta definicija ni povezana z izbiro koordinatnega sistema, tj. je **variantne narave. Poiščimo izraz za smerni odvod v kartezičnem koordinatnem sistemu. Naj bo funkcija / diferenciacljiva v točki. Oglejmo si vrednost /(Af) v točki. Potem lahko skupni prirastek funkcije zapišemo v naslednji obliki: kjer in simbola pomenita, da so parcialni odvodi izračunani v točki Afo. Zato sta tukaj količini jfi, ^ smerni kosinus vektorja. Ker sta vektorja MoM in I istosmerna, sta njuna smerna kosinusa enaka: Ker je M Afo vedno na premici, vzporedni z vektorjem 1, sta kota konstantna, zato končno iz enačb (7) in (8) dobimo Eamuan je 1. Pojedinačni odvodnji sta odvodnji funkcije in po smereh koordinatnih osi, tako-Primer 3. Poišči odvod funkcije v smeri na točko Vektor ima dolžino. Njeni smerni kosinus: V skladu s formulo (9) bomo imeli Dejstvo, da pomeni, da je skalarno polje v točki v dani smeri starosti - Za ravno polje je odvod glede na smer I v točki enak izračunano po formuli kjer je a kot, ki ga tvori vektor I z osjo Oh. Зммчмм 2. Formula (9) za izračun odvoda v smeri I v dani točki Afo ostane v veljavi, ko točka M teži k točki Mo vzdolž krivulje, za katero je vektor I tangenten v točki PrIShr 4. Izračunajte odvod skalarja polje v točki Afo(l, 1). ki pripada paraboli v smeri te krivulje (v smeri naraščajoče abscise). Smer ] parabole v točki se šteje za smer tangente na parabolo v tej točki (slika 3). Naj tvori tangenta na parabolo v točki Afo kot o z osjo Ox. Od kod potem smerni kosinus tangente? Izračunajmo vrednosti in v točki. Imamo Zdaj z uporabo formule (10) dobimo. Poiščite odvod skalarnega polja v točki vzdolž smeri krožnice, ki ima obliko. Ugotovimo, da enota tangente na krožnico ustreza vrednosti parametra v točki Afo Izračunajmo vrednosti delnih odvodov danega skalarnega polja v točki. To pomeni želeni odvod. Gradient skalarnega polja Naj bo skalarno polje definirano s skalarno funkcijo, za katero se domneva, da je diferenciabilna. Opredelitev. Gradient skalarnega polja "v dani točki M je vektor, označen s simbolom grad in in definiran z enakostjo. Jasno je, da je ta vektor odvisen tako od funkcije / kot od točke M, v kateri je izračunan njen odvod. Naj bo 1 enotski vektor v smeri. Potem lahko formulo za smerni odvod zapišemo v naslednji obliki: . Tako je odvod funkcije u v smeri 1 enak skalarnemu produktu gradienta funkcije u(M) in enotskega vektorja 1° smeri I. 2.1. Osnovne lastnosti gradienta Izrek 1. Gradient skalarnega polja je pravokoten na niveleto (oziroma na linijo, če je polje ravno). (2) Skozi poljubno točko M narišimo niveleto u = const in na tej ploskvi izberimo gladko krivuljo L, ki poteka skozi točko M (slika 4). Naj bo I vekgor tangenta na krivuljo L v točki M. Ker je na ravnini u(M) = u(M|) za katero koli točko Mj e L, potem je na drugi strani = (gradu, 1°). Zato. To pomeni, da sta vektorja grad in 1° pravokotna. Torej je vektor grad in pravokoten na katero koli tangento na niveletsko ploskev v točki M. Torej je pravokoten na samo niveletsko ploskev v točki M. Izrek 2. gradient je usmerjen v povečanje funkcije polja. Predhodno smo dokazali, da je gradient skalarnega polja usmerjen po normali na niveleto, ki je lahko usmerjena bodisi v smeri naraščanja funkcije u(M) bodisi v smeri njenega padanja. Označimo z n normalo niveletne ploskve, usmerjeno v smer naraščanja funkcije ti(M), in poiščemo odvod funkcije u v smeri te normale (slika 5). Imamo Ker glede na pogoj na sliki 5 in zato VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine in nivojske črte Izvod v smeri Izvod Gradient skalarnega polja Osnovne lastnosti gradienta Invariantna definicija gradienta Pravila za izračun gradienta Iz tega sledi, da je grad usmerjena v isto smer kot tista, ki smo jo izbrali normalo n, to je v smeri naraščajoče funkcije u(M). Izrek 3. Dolžina gradienta je enaka največjemu odvodu glede na smer v dani točki polja (tukaj se preverja vzdolž vseh možnih smeri v dani točki M). Imamo, kje je kot med vektorjema 1 in grad n. Ker je največja vrednost Primer 1. Poiščite smer največje spremembe skalarnega polja v točki in tudi velikost te največje spremembe v navedeni točki. Smer največje spremembe skalarnega polja je označena z vektorjem. Tako imamo, da Ta vektor določa smer največjega povečanja polja v točki. Magnituda največje spremembe polja na tej točki je 2,2. Invariantna definicija gradienta Količine, ki označujejo lastnosti preučevanega predmeta in niso odvisne od izbire koordinatnega sistema, se imenujejo invariante danega predmeta. Na primer, dolžina krivulje je invariant te krivulje, kot tangente na krivuljo z osjo Ox pa ni invariant. Na podlagi treh zgoraj dokazanih lastnosti gradienta skalarnega polja lahko podamo naslednjo invariantno definicijo gradienta. Opredelitev. Gradient skalarnega polja je vektor, ki je usmerjen normalno na gladino v smeri naraščanja poljske funkcije in ima dolžino, ki je enaka največjemu odvodu v smeri (v dani točki). Naj bo enotski normalni vektor usmerjen v smeri naraščajočega polja. Nato Primer 2. Poiščite gradient razdalje - neka fiksna točka in M(x,y,z) - trenutna. 4 Imamo, kje je enotski smerni vektor. Pravila za izračun gradienta, kjer je c konstantno število. Navedene formule so pridobljene neposredno iz definicije gradienta in lastnosti odvodov. Po pravilu diferenciacije produkta je dokaz podoben dokazu lastnosti Naj bo F(u) diferenciabilna skalarna funkcija. Potem 4 Po definiciji fadienta imamo Uporabi pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije za vse izraze na desni strani. Dobimo. Zlasti formula (6) sledi iz formule Primer 3. Poiščite odvod glede na smer vektorja radija r iz funkcije Z uporabo formule (3) in z uporabo formule Kot rezultat dobimo, da Primer 4 Naj bo podano ravninsko skalarno polje - razdalje od neke ravnine do dveh fiksnih točk te ravnine. Oglejmo si poljubno elipso z goriščema Fj in F] in dokažimo, da vsak svetlobni žarek, ki izhaja iz enega žarišča elipse, po odboju od elipse konča v njenem drugem žarišču. Nivojske črte funkcije (7) so VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine in nivojske črte Smerna izpeljava Gradient skalarnega polja Osnovne lastnosti gradienta Invariantna definicija gradienta Pravila za izračun gradienta Enačbe (8) opisujejo družino elips z žarišči na točki F) in Fj. Glede na rezultat primera 2 imamo. Tako je gradient danega polja enak vektorju PQ diagonale romba, zgrajenega na enotskih vektorjih r? in radijski vektorji. potegnjeno v točko P(x, y) iz žarišč F| in Fj, zato leži na simetrali kota med tema vektorjema (sl. 6). Po Tooromu 1 je gradient PQ pravokoten na elipso (8) v točki. Zato je sl. 6. normala na elipso (8) v kateri koli točki razpolavlja kot med v to točko narisana radijska vektorja. Iz tega in iz dejstva, da je vpadni kot enak odbojnemu kotu, dobimo: svetlobni žarek, ki izhaja iz enega žarišča elipse, se odbije od njega, bo gotovo padel v drugo žarišče te elipse.
1 0 Gradient je usmerjen normalno na ravno površino (ali na ravnino, če je polje ravno).
2 0 Gradient je usmerjen v povečanje poljske funkcije.
3 0 Modul gradienta je enak največjemu odvodu v smeri na dani točki v polju:
Te lastnosti zagotavljajo nespremenljivo karakteristiko gradienta. Pravijo, da vektor gradU označuje smer in velikost največje spremembe skalarnega polja v dani točki.
Opomba 2.1.Če je funkcija U(x,y) funkcija dveh spremenljivk, potem je vektor
(2.3)
leži v oksi ravnini.
Naj sta U=U(x,y,z) in V=V(x,y,z) diferenciabilni v točki M 0 (x,y,z) funkciji. Potem veljajo naslednje enakosti:
a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = 
, V ;
e) gradU( = gradU, kjer ima , U=U() odvod glede na .
Primer 2.1. Podana je funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Določite gradient funkcije v točki M(-2;3;4).
rešitev. Po formuli (2.2) imamo
.
Niveletske ploskve tega skalarnega polja so družina krogel x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) je normalni vektor ravnin.
Primer 2.2. Poiščite gradient skalarnega polja U=x-2y+3z.
rešitev. Po formuli (2.2) imamo
Ravne ploskve danega skalarnega polja so ravnine
x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) je normalni vektor ravnin te družine.
Primer 2.3. Poiščite največjo strmino vzpona površja U=x y v točki M(2;2;4).
rešitev. Imamo: 
Primer 2.4. Poiščite enotski normalni vektor na nivojsko ploskev skalarnega polja U=x 2 +y 2 +z 2 .
rešitev. Ravne ploskve dane skalarne poljske krogle x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
Gradient je usmerjen normalno na ravno površino, torej
Določa normalni vektor na ravnino v točki M(x,y,z). Za enotski normalni vektor dobimo izraz
, Kje 
.
Primer 2.5. Poiščite gradient polja U= 
, kjer sta in konstantna vektorja, r je radij vektor točke.
rešitev. Pustiti
Nato: 
. Po pravilu diferenciacije determinante dobimo
torej
Primer 2.6. Poiščite gradient razdalje, kjer je P(x,y,z) točka polja, ki se preučuje, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) je neka fiksna točka.
rešitev. Imamo - enotski smerni vektor.
Primer 2.7. Poiščite kot med gradientoma funkcij v točki M 0 (1,1).
rešitev. Najdemo gradiente teh funkcij v točki M 0 (1,1), imamo
; Kot med gradU in gradV v točki M 0 določimo iz enačbe
Zato =0.
Primer 2.8. Poiščite smerni odvod, polmer vektorja je enak
(2.4)
rešitev. Poiščite gradient te funkcije:
Če nadomestimo (2.5) v (2.4), dobimo
Primer 2.9. Poiščite v točki M 0 (1;1;1) smer največje spremembe skalarnega polja U=xy+yz+xz in velikost te največje spremembe v tej točki.
rešitev. Smer največje spremembe polja je označena z vektorjem grad U(M). Najdemo ga:
In to pomeni... Ta vektor določa smer največjega povečanja tega polja v točki M 0 (1;1;1). Velikost največje spremembe polja na tej točki je enaka
.
Primer 3.1. Poiščite vektorske črte vektorskega polja 
kjer je konstanten vektor.
rešitev. Tako imamo
(3.3)
Pomnožite števec in imenovalec prvega ulomka z x, drugega z y, tretjega z z in seštevajte člen za členom. Z uporabo lastnosti proporcev dobimo
Torej xdx+ydy+zdz=0, kar pomeni
x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Če zdaj pomnožimo števec in imenovalec prvega ulomka (3.3) s c 1, drugega s c 2, tretjega s c 3 in dodamo člen za členom, dobimo
Kjer je od 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
In zato z 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -konst.
Zahtevane enačbe vektorskih premic
Te enačbe kažejo, da vektorske črte dobimo s presečiščem krogel s skupnim središčem v izhodišču z ravninami, pravokotnimi na vektor 
. Iz tega sledi, da so vektorske premice krožnice, katerih središča ležijo na premici, ki poteka skozi izhodišče v smeri vektorja c. Ravnine krogov so pravokotne na navedeno premico.
Primer 3.2. Poišči črto vektorskega polja 
ki poteka skozi točko (1,0,0).
rešitev. Diferencialne enačbe vektorskih premic
zato imamo 
. Reševanje prve enačbe. Ali če uvedemo parameter t, potem bomo imeli V tem primeru enačbo 
prevzame obliko 
ali dz=bdt, od koder je z=bt+c 2.
Pustiti Z= F(M) – funkcija, definirana v neki okolici točke M(y; x);L={ Cos; Cos} – enotski vektor (na sliki 33 1= , 2= ); L– usmerjena premica, ki poteka skozi točko M; M1(x1; y1), kjer je x1=x+x in y1=y+y– točka na črti L; L– dolžina segmenta MM1; Z= F(x+х, y+у)-F(X, Y) – povečanje funkcije F(M) na točki M(x; y).
Opredelitev. Meja razmerja, če obstaja, se imenuje Odvod funkcije Z = F ( M ) na točki M ( X ; Y ) v smeri vektorja L .
Imenovanje.
|
|
Če funkcija F(M) razločljiv v točki M(x;y), potem pa na točki M(x;y) obstaja izpeljanka v katero koli smer L ki izhaja iz M; izračuna se po naslednji formuli:
(8)
Kje Cos IN Cos- smerni kosinus vektorja L.
Primer 46. Izračunajte odvod funkcije Z= X2 + Y2 X na točki M(1; 2) v smeri vektorja MM1, Kje M1– točka s koordinatami (3; 0).
. Poiščimo enotski vektor L, ki ima to smer:
Kje Cos= ; Cos=- .
Izračunajmo parcialne odvode funkcije v točki M(1; 2):
Z uporabo formule (8) dobimo 
Primer 47. Poiščite odvod funkcije U = Xy2 Z3 na točki M(3; 2; 1) V smeri vektorja MN, Kje n(5; 4; 2) .
. Poiščimo vektor in njegove smerne kosinuse:
Izračunajmo vrednosti delnih odvodov v točki M:
torej 
Opredelitev. Gradient FunkcijeZ= F(M) v točki M(x; y) je vektor, katerega koordinate so enake pripadajočim delnim odvodom in vzete v točki M(x; y).
Imenovanje. 
Primer 48. Poiščite gradient funkcije Z= X2 +2 Y2 -5 na točki M(2; -1).
rešitev. Iskanje delnih odvodov: 
in njihove vrednosti v točki M(2; -1):
Primer 49.
Poiščite velikost in smer gradienta funkcije v točki 
rešitev. Poiščimo delne odvode in izračunajmo njihove vrednosti v točki M:
torej
Smerni odvod za funkcijo treh spremenljivk se določi podobno U= F(X, Y, Z) , se prikažejo formule
Predstavljen je koncept gradienta 
Naj to poudarimo Osnovne lastnosti gradientne funkcije bolj pomembno za analizo ekonomske optimizacije: v smeri gradienta funkcija narašča. V ekonomskih problemih se uporabljajo naslednje lastnosti gradienta:
1) Naj bo funkcija podana Z= F(X, Y) , ki ima delne odvode v domeni definicije. Razmislimo o nekaterih točkah M0(x0, y0) iz domene definicije. Naj bo vrednost funkcije na tej točki enaka F(X0 , Y0 ) . Poglejmo si graf funkcije. Skozi točko (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) tridimenzionalnem prostoru narišemo ravnino, ki se dotika površine grafa funkcije. Nato gradient funkcije, izračunan v točki (x0, y0), ki se geometrijsko obravnava kot vektor, uporabljen v točki (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , bo pravokotna na tangentno ravnino. Geometrijska ilustracija je prikazana na sl. 34.
2) Funkcija gradienta F(X, Y) na točki M0(x0, y0) označuje smer najhitrejšega naraščanja funkcije v točki M0. Poleg tega je katera koli smer, ki tvori oster kot z gradientom, smer rasti funkcije v točki M0. Z drugimi besedami, majhen premik od točke (x0, y0) v smeri gradienta funkcije na tej točki vodi do povečanja funkcije, in to v največji meri.
Razmislite o vektorju, ki je nasproten gradientu. Se imenuje Anti-gradient . Koordinate tega vektorja so:
Funkcija proti gradientu F(X, Y) na točki M0(x0, y0) označuje smer najhitrejšega padanja funkcije v točki M0. Vsaka smer, ki tvori oster kot z antigradientom, je smer, v kateri funkcija pada na tej točki.
3) Pri proučevanju funkcije je pogosto treba najti takšne pare (x, y) iz domene definicije funkcije, v kateri funkcija zavzema enake vrednosti. Razmislite o nizu točk (X, Y) iz domene funkcije F(X, Y) , tako da F(X, Y)= Konst, kje je vstop “ Konst” pomeni, da je vrednost funkcije fiksna in enaka nekemu številu iz obsega funkcije.
Opredelitev. Črta ravni funkcije U = F ( X , Y ) imenovana linijaF(X, Y)=C na letaluXOy, v točkah, kjer funkcija ohranja konstantno vrednostU= C.
Nivojske črte so geometrijsko upodobljene na ravnini spremembe neodvisnih spremenljivk v obliki ukrivljenih črt. Pridobivanje nivojskih črt si lahko predstavljamo na naslednji način. Razmislite o kompletu Z, ki je sestavljen iz točk tridimenzionalnega prostora s koordinatami (X, Y, F(X, Y)= Konst), ki na eni strani pripadajo grafu funkcije Z= F(X, Y), na drugi strani pa ležijo v ravnini, ki je vzporedna s koordinatno ravnino HOU, in odmaknjen od njega za količino, ki je enaka dani konstanti. Nato je za konstrukcijo nivojske črte dovolj, da površino grafa funkcije presekate z ravnino Z= Konst in projicira presečišče na ravnino HOU. Zgornja utemeljitev utemeljuje možnost neposredne konstrukcije nivojskih črt na ravnini HOU.
Opredelitev. Številne ravninske črte se imenujejo Zemljevid nivojskih črt.
Dobro znani primeri nivojskih črt so nivoji enakih višin na topografski karti in črte enakega zračnega tlaka na vremenski karti.
Opredelitev.
Smer, vzdolž katere je hitrost naraščanja funkcije največja, se imenuje "zaželena" smer, oz Smer najhitrejše rasti.
"Prednostna" smer je podana z vektorjem gradienta funkcije. Na sl. 35 prikazuje maksimum, minimum in sedlo v problemu optimizacije funkcije dveh spremenljivk v odsotnosti omejitev. Spodnji del slike prikazuje črte nivoja in smeri najhitrejše rasti.
Primer 50. Poiščite črte ravni funkcije U= X2 + Y2 .
rešitev. Enačba družine nivojskih črt ima obliko X2 + Y2 = C (C>0) . Dajanje Z različne realne vrednosti, dobimo koncentrične kroge s središčem v izhodišču.
Gradnja nivojskih linij. Njihova analiza se pogosto uporablja pri ekonomskih problemih na mikro in makroravni, teoriji ravnovesja in učinkovitih rešitev. Izostroški, izokvante, indiferenčne krivulje - vse to so nivojske črte, zgrajene za različne ekonomske funkcije.
Primer 51. Razmislite o naslednjem gospodarskem položaju. Naj bo opisana proizvodnja izdelkov Cobb-Douglasova funkcija F(X, Y)=10x1/3y2/3, Kje X- količino dela, U– znesek kapitala. Za nakup sredstev je bilo namenjenih 30 USD. enot, cena dela je 5 USD. enote, kapital – 10 USD. enote Vprašajmo se: kaj je največji output, ki ga lahko dobimo v teh pogojih? Pri tem »dani pogoji« pomenijo dane tehnologije, cene virov in vrsto proizvodne funkcije. Kot smo že omenili, funkcija Cobb-Douglas monotono narašča za vsako spremenljivko, tj. povečanje vsake vrste vira vodi do povečanja proizvodnje. Pod temi pogoji je jasno, da je mogoče povečati pridobivanje virov, če je dovolj denarja. Kompleti virov, katerih stroški so 30 USD. enote, izpolnjujejo pogoj:
5x + 10y = 30,
To pomeni, da določajo črto ravni funkcije:
G(X, Y) = 5x + 10y.
Po drugi strani pa z uporabo nivojskih črt Cobb-Douglasove funkcije (Sl. 36) lahko prikažete povečanje funkcije: na kateri koli točki nivojske črte je smer gradienta smer največjega povečanja in za konstrukcijo gradienta v točki je dovolj, da narišete tangento na linijo na tej točki zgradite pravokotno na tangento in označite smer gradienta. Iz sl. 36 je razvidno, da je treba nivojsko črto Cobb-Douglasove funkcije premikati vzdolž gradienta, dokler ne postane tangentna na nivojsko črto 5x + 10y = 30. Tako je z uporabo konceptov nivojske črte, gradienta in lastnosti gradienta mogoče razviti pristope za najboljšo uporabo virov v smislu povečanja obsega proizvodnje.
Opredelitev. Funkcija nivoja površine U = F ( X , Y , Z ) imenovano površinaF(X, Y, Z)=С, v točkah katerih funkcija ohranja konstantno vrednostU= C.
Primer 52. Poiščite površine funkcijske ravni U= X2 + Z2 - Y2 .
rešitev. Enačba za družino ravnih površin ima obliko X2 + Z2 - Y2 =C. če С=0, potem dobimo X2 + Z2 - Y2 =0 – stožec; če C<0 , To X2 + Z2 - Y2 =C – Družina dvolistnih hiperboloidov.
