Poiščite stacionarne točke funkcije. §3

Postopek preučevanja funkcije za prisotnost stacionarnih točk in tudi njihovo iskanje je eden od pomembnih elementov pri izdelavi grafa funkcije. Stacionarne točke funkcije lahko najdete, če imate določen nabor matematičnega znanja.

Boste potrebovali

- funkcija, ki jo je treba pregledati glede prisotnosti stacionarnih točk;
- definicija stacionarnih točk: stacionarne točke funkcije so točke (vrednosti argumentov), v katerih odvod funkcije prvega reda izniči.

Navodila

S pomočjo tabele odvodov in formul za razlikovanje funkcij je treba najti odvod funkcije. Ta korak je najtežji in najodgovornejši med nalogo. Če se na tej stopnji zmotite, nadaljnji izračuni ne bodo imeli smisla.
Preverite, ali je odvod funkcije odvisen od njenega argumenta. Če najdeni derivat ni odvisen od argumenta, to je število (na primer f"(x) = 5), potem v tem primeru funkcija nima stacionarnih točk. Takšna rešitev je možna le, če preučevana funkcija je linearna funkcija prvega reda (na primer f(x) = 5x+1, če je odvod funkcije odvisen od argumenta, nadaljujte z zadnjim korakom).
Sestavite enačbo f"(x) = 0 in jo rešite. Enačba morda nima rešitev - v tem primeru funkcija nima stacionarnih točk. Če ima enačba rešitve, bodo te posebne vrednosti argumenta stacionarne točke funkcije Na tej točki Na tej stopnji je treba rešitev enačbe preveriti z zamenjavo argumentov.

Definicije:

Ekstremum klic največje ali najmanjše vrednosti funkcije na dani množici.

Ekstremna točka je točka, na kateri je dosežena največja ali najmanjša vrednost funkcije.

Najvišja točka je točka, v kateri je dosežena največja vrednost funkcije.

Najmanjša točka je točka, v kateri je dosežena najmanjša vrednost funkcije.

Razlaga.

Na sliki v bližini točke x = 3 funkcija doseže največjo vrednost (to pomeni, da v bližini te določene točke ni višje točke). V okolici x = 8 ima spet največjo vrednost (ponovno pojasnimo: v tej okolici ni točke višje). Na teh točkah se povečanje umakne zmanjšanju. To so največje število točk:

x max = 3, x max = 8.

V bližini točke x = 5 je dosežena minimalna vrednost funkcije (to pomeni, da v bližini x = 5 ni točke spodaj). Na tej točki se zmanjšanje spremeni v povečanje. To je najmanjša točka:

Največje in najmanjše točke so ekstremne točke funkcije, in vrednosti funkcije na teh točkah so njene skrajnosti.

Kritične in stacionarne točke funkcije:

Nujen pogoj za ekstrem:

Zadosten pogoj za ekstrem:

Na segmentu funkcija l = f(x) lahko doseže svojo najmanjšo ali največjo vrednost na kritičnih točkah ali na koncih segmenta .

Algoritem za študij zvezne funkcijel = f(x) za monotonost in ekstreme:

V prejšnjih razpravah sploh nismo uporabljali tehničnih metod diferencialnega računa.

Težko je ne priznati, da so naše osnovne metode preprostejše in bolj neposredne od metod analize. Na splošno je pri obravnavi določenega znanstvenega problema bolje izhajati iz njegovih posameznih značilnosti, kot pa se zanašati samo na splošne metode, čeprav je po drugi strani splošno načelo, ki pojasnjuje pomen uporabljenih posebnih postopkov, seveda , mora imeti vedno vodilno vlogo. Ravno v tem je pomen metod diferencialnega računa pri obravnavi ekstremnih problemov. Želja po splošnosti, ki jo opažamo v sodobni znanosti, predstavlja le eno plat zadeve, saj tisto, kar je v matematiki resnično življenjsko, brez dvoma določajo posamezne značilnosti obravnavanih problemov in uporabljenih metod.

V svojem zgodovinskem razvoju so na diferencialni račun v zelo veliki meri vplivali posamezni problemi, povezani z iskanjem največjih in najmanjših vrednosti količin. Povezavo med ekstremnimi problemi in diferencialnim računom lahko razumemo na naslednji način. V poglavju VIII se bomo lotili podrobne študije odvoda f"(x) funkcije f(x) in njenega geometrijskega pomena. Tam bomo videli, da je na kratko odvod f"(x) naklon tangenta na krivuljo y = f(x) v točki (x, y). Geometrično je očitno, da na največjih ali najmanjših točkah gladke krivulje y = f(x) tangenta na krivuljo mora biti zagotovo vodoravna, to pomeni, da mora biti naklon enak nič. Tako dobimo pogoj za ekstremne točke f"(x) = 0.

Da bi jasno razumeli, kaj pomeni izničenje odvoda f"(x), si oglejte krivuljo, prikazano na sliki 191. Tu vidimo pet točk A, B, C, D, ?, v katerih je tangenta na krivuljo vodoravna ; označimo ustrezne vrednosti f(x) na teh točkah z a, b, c, d, e. Največjo vrednost f(x) (znotraj območja prikazanega na risbi) doseže v točki D, najmanjšo v točki A. V točki B je maksimum - v smislu, da v vseh točkah neka soseska točke B je vrednost f(x) manjša od b, čeprav je v točkah blizu D vrednost f(x) še vedno večja od b. Zaradi tega je običajno reči, da je v točki B relativni maksimum funkcije f(x), medtem ko je v točki D - absolutni maksimum. Na enak način je v točki C relativni minimum, in na točki A - absolutni minimum. Končno, kar zadeva točko E, v njej ni niti maksimuma niti minimuma, čeprav je v njej enakost še vedno uresničena f"(x) = Q, Iz tega sledi, da je izničenje odvoda f"(x). potrebno, ampak sploh ne dovolj pogoj za pojav ekstrema gladke funkcije f(x); z drugimi besedami, na kateri koli točki, kjer obstaja ekstrem (absolutni ali relativni), se enakost zagotovo zgodi f"(x) = 0, vendar ne na vseh točkah f"(x) = 0, mora biti ekstrem. Tiste točke, v katerih odvod f"(x) izgine, ne glede na to, ali je v njih ekstrem, imenujemo stacionarni. Nadaljnja analiza vodi do bolj ali manj kompleksnih pogojev, ki zadevajo višje odvode funkcije f(x) in popolnoma karakterizirajo maksimume, minimume in druge stacionarne točke.

Stacionarne točke funkcije. Nujen pogoj za lokalni ekstrem funkcije

Prvi zadostni pogoj za lokalni ekstrem

Drugi in tretji zadostni pogoj za lokalni ekstrem

Najmanjša in največja vrednost funkcije na segmentu

Konveksne funkcije in prevojne točke

1. Stacionarne točke funkcije. Nujen pogoj za lokalni ekstrem funkcije

Definicija 1 . Naj bo funkcija definirana na
. Pika imenujemo stacionarna točka funkcije
, Če
diferenciran v točki in
.

Izrek 1 (nujen pogoj za lokalni ekstrem funkcije) . Naj funkcija
določeno na
in ima v bistvu
lokalni ekstrem. Potem je izpolnjen eden od pogojev:

Za iskanje točk, ki so sumljive za ekstrem, je torej potrebno najti stacionarne točke funkcije in točke, v katerih odvod funkcije ne obstaja, vendar spadajo v domeno definicije funkcije.

Primer . Pustiti
. Poiščite točke zanj, ki so sumljive za ekstrem. Za rešitev problema najprej poiščemo domeno definicije funkcije:
. Poiščimo zdaj odvod funkcije:

Točke, kjer izpeljanka ne obstaja:
. Stacionarne funkcijske točke:

Ker in
, In
spadajo v domeno definicije funkcije, potem bosta obe sumljivi za ekstrem. A da bi lahko sklepali, ali bo tam res prišlo do ekstrema, je treba uporabiti zadostne pogoje za ekstrem.

2. Prvi zadostni pogoj za lokalni ekstrem

Izrek 1 (prvi zadostni pogoj za lokalni ekstrem) . Naj funkcija
določeno na
in diferenciran na tem intervalu povsod, razen morda na točki
, ampak na tej točki funkcijo
je neprekinjen. Če obstajata taki desna in leva polsoseska točke , v kateri vsak
obdrži določen predznak, torej

1) funkcija
ima v točki lokalni ekstrem , Če
prevzame vrednosti različnih znakov v ustreznih polsoseskah;

2) funkcija
nima lokalnega ekstrema v točki , če je desno in levo od točke
ima isti znak.

Dokaz . 1) Recimo, da v polsoseski
izpeljanka
, in v

.

Torej pri bistvu funkcijo
ima lokalni ekstrem, in sicer lokalni maksimum, kar je bilo treba dokazati.

2) Recimo, da levo in desno od točke izpeljanka ohrani predznak, npr.
. Potem naprej
in
funkcijo
narašča strogo monotono, to je:

Tako je ekstrem v točki funkcijo
nima, kar je bilo treba dokazati.

Opomba 1 . Če izpeljanka
pri prehodu skozi točko spremeni predznak iz “+” v “-”, nato na piko funkcijo
ima lokalni maksimum, in če se znak spremeni iz "-" v "+", potem obstaja lokalni minimum.

Opomba 2 . Pomemben pogoj je kontinuiteta funkcije
na točki . Če ta pogoj ni izpolnjen, potem izrek 1 morda ne drži.

Primer . Upoštevana je funkcija (slika 1):

Ta funkcija je definirana na in je zvezna povsod razen v točki
, kjer ima odstranljivo vrzel. Pri prehodu skozi točko

spremeni predznak iz “-” v “+”, vendar funkcija na tej točki nima lokalnega minimuma, ima pa lokalni maksimum po definiciji. Pravzaprav, blizu bistva
mogoče je sestaviti sosesko tako, da bodo za vse argumente iz te soseske vrednosti funkcije manjše od vrednosti
. Izrek 1 ni deloval, ker v točki
funkcija je imela vrzel.

Opomba 3 . Prvega zadostnega pogoja za lokalni ekstrem ni mogoče uporabiti, ko je odvod funkcije
spremeni predznak v vsaki levi in vsaki desni polsoseski točke .