Članek razkriva pomen pravokotnosti dveh vektorjev na ravnino v tridimenzionalnem prostoru in iskanje koordinat vektorja, pravokotnega na enega ali cel par vektorjev. Tema je uporabna za probleme, ki vključujejo enačbe premic in ravnin.
Razmislili bomo o nujnem in zadostnem pogoju pravokotnosti dveh vektorjev, rešili metodo iskanja vektorja, pravokotnega na danega, in se dotaknili situacij iskanja vektorja, ki je pravokoten na dva vektorja.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Potreben in zadosten pogoj za pravokotnost dveh vektorjev
Uporabimo pravilo o pravokotnih vektorjih na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru.
Definicija 1
Če je kot med dvema vektorjema, ki nista nič, enak 90 ° (π 2 radiana), se imenuje pravokotno.
Kaj to pomeni in v katerih situacijah je potrebno vedeti o njihovi pravokotnosti?
Vzpostavitev pravokotnosti je možna z risbo. Pri risanju vektorja na ravnini iz danih točk lahko geometrično izmerite kot med njimi. Tudi če je pravokotnost vektorjev ugotovljena, ne bo povsem točna. Najpogosteje vam te naloge ne omogočajo, da to storite s kotomerjem, zato je ta metoda uporabna le, če o vektorjih ni znano nič drugega.
Večina primerov dokazovanja pravokotnosti dveh neničelnih vektorjev na ravnini ali v prostoru poteka z uporabo nujen in zadosten pogoj za pravokotnost dveh vektorjev.
1. izrek
Skalarni produkt dveh neničelnih vektorjev a → in b → enak nič, da zadosti enakosti a → , b → = 0, zadostuje za njuno pravokotnost.
Dokazi 1
Naj sta dana vektorja a → in b → pravokotna, potem bomo dokazali enakost a ⇀ , b → = 0 .
Iz definicije pikčasti produkt vektorjev vemo, da je enako zmnožek dolžin danih vektorjev in kosinusa kota med njima. Po pogoju sta a → in b → pravokotna, kar na podlagi definicije pomeni, da je kot med njima 90°. Potem imamo a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Drugi del dokaza
Če je a ⇀, b → = 0, dokažite pravokotnost a → in b →.
Pravzaprav je dokaz nasproten prejšnjemu. Znano je, da sta a → in b → različna od nič, kar pomeni, da iz enakosti a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ najdemo kosinus. Nato dobimo cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Ker je kosinus enak nič, lahko sklepamo, da je kot a →, b → ^ vektorjev a → in b → enak 90 °. Po definiciji je to nujna in zadostna lastnost.
Pogoj pravokotnosti na koordinatno ravnino
Odsek skalarni produkt v koordinatah prikazuje neenakost (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , ki velja za vektorje s koordinatami a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y), na ravnini in (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y za vektorje a → = (a x , a y , a z) in b → = (b x , b y , b z) v prostoru. Nujen in zadosten pogoj za pravokotnost dveh vektorjev v koordinatni ravnini je a x · b x + a y · b y = 0, za tridimenzionalni prostor pa a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Uporabimo to v praksi in si oglejmo primere.
Primer 1
Preverite lastnost pravokotnosti dveh vektorjev a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
rešitev
Če želite rešiti to težavo, morate najti skalarni produkt. Če je po pogoju enak nič, potem sta pravokotna.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Pogoj je izpolnjen, kar pomeni, da so dani vektorji pravokotni na ravnino.
odgovor: da, dana vektorja a → in b → sta pravokotna.
Primer 2
Podani so koordinatni vektorji i → , j → , k →. Preverite, ali sta vektorja i → - j → in i → + 2 · j → + 2 · k → lahko pravokotna.
rešitev
Če želite zapomniti, kako so določene vektorske koordinate, morate prebrati članek o vektorske koordinate v pravokotnem koordinatnem sistemu. Tako ugotovimo, da imata dana vektorja i → - j → in i → + 2 · j → + 2 · k → ustrezne koordinate (1, - 1, 0) in (1, 2, 2). Zamenjamo številske vrednosti in dobimo: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Izraz ni enak nič, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, kar pomeni, da vektorja i → - j → in i → + 2 j → + 2 k → niso pravokotne, ker pogoj ni izpolnjen.
odgovor: ne, vektorja i → - j → in i → + 2 · j → + 2 · k → nista pravokotna.
Primer 3
Dana vektorja a → = (1, 0, - 2) in b → = (λ, 5, 1). Poiščite vrednost λ, pri kateri sta ta vektorja pravokotna.
rešitev
Uporabimo pogoj pravokotnosti dveh vektorjev v prostoru v kvadratni obliki, potem dobimo
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
odgovor: vektorja sta pravokotna pri vrednosti λ = 2.
Obstajajo primeri, ko je vprašanje pravokotnosti nemogoče tudi pod nujnim in zadostnim pogojem. Glede na znane podatke o treh straneh trikotnika na dveh vektorjih je mogoče najti kot med vektorji in preverite.
Primer 4
Podan je trikotnik A B C s stranicami A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Preverite pravokotnost vektorjev A B → in A C →.
rešitev
Če sta vektorja A B → in A C → pravokotna, velja, da je trikotnik A B C pravokoten. Nato uporabimo Pitagorov izrek, kjer je B C hipotenuza trikotnika. Veljati mora enakost B C 2 = A B 2 + A C 2. Iz tega sledi, da je 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. To pomeni, da sta A B in A C kraka trikotnika A B C, zato sta A B → in A C → pravokotna.
Pomembno se je naučiti najti koordinate vektorja, pravokotnega na danega. To je mogoče tako na ravnini kot v prostoru, če sta vektorja pravokotna.
Iskanje vektorja, pravokotnega na danega v ravnini.
Neničelni vektor a → ima lahko neskončno število pravokotnih vektorjev na ravnini. Upodabljajmo to na koordinatni premici.
Podan je neničelni vektor a →, ki leži na premici a. Nato dani b →, ki se nahaja na kateri koli premici, pravokotni na premico a, postane pravokoten na a →. Če je vektor i → pravokoten na vektor j → ali kateri koli od vektorjev λ · j →, pri čemer je λ enak kateremu koli realnemu številu, ki ni nič, potem je iskanje koordinat vektorja b → pravokotno na a → = (a x , a y ) se zmanjša na neskončno množico rešitev. Treba pa je najti koordinate vektorja, pravokotnega na a → = (a x , a y) . Za to je potrebno zapisati pogoj pravokotnosti vektorjev v naslednji obliki: a x · b x + a y · b y = 0. Imamo b x in b y, ki sta želeni koordinati pravokotnega vektorja. Ko je a x ≠ 0, je vrednost b y različna od nič in b x je mogoče izračunati iz neenačbe a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Za a x = 0 in a y ≠ 0, priredimo b x katero koli vrednost, ki ni nič, in poiščemo b y iz izraza b y = - a x · b x a y .
Primer 5
Podan je vektor s koordinatami a → = (- 2 , 2) . Poiščite vektor, ki je pravokoten na to.
rešitev
Želeni vektor označimo z b → (b x , b y) . Njegove koordinate lahko najdemo iz pogoja, da sta vektorja a → in b → pravokotna. Potem dobimo: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Priredimo b y = 1 in nadomestimo: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Zato iz formule dobimo b x = - 2 - 2 = 1 2. To pomeni, da je vektor b → = (1 2 , 1) vektor, pravokoten na a → .
odgovor: b → = (1 2 , 1) .
Če se postavlja vprašanje o tridimenzionalnem prostoru, se problem rešuje po istem principu. Za dani vektor a → = (a x, a y, a z) obstaja neskončno število pravokotnih vektorjev. To bo popravil na tridimenzionalni koordinatni ravnini. Dano a → leži na premici a. Ravnino, pravokotno na premico a, označimo z α. V tem primeru je vsak neničelni vektor b → iz ravnine α pravokoten na a →.
Treba je najti koordinate b → pravokotno na neničelni vektor a → = (a x , a y , a z) .
Naj bo podan b → s koordinatami b x , b y in b z . Da bi jih našli, je potrebno uporabiti definicijo pogoja pravokotnosti dveh vektorjev. Izpolnjena mora biti enakost a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Iz pogoja je a → različen od nič, kar pomeni, da ima ena od koordinat vrednost, ki ni enaka nič. Predpostavimo, da je a x ≠ 0, (a y ≠ 0 ali a z ≠ 0). Zato imamo pravico celotno neenačbo a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 razdeliti na to koordinato, dobimo izraz b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x. Koordinatama b y in b x pripišemo poljubno vrednost, vrednost b x izračunamo po formuli, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Želeni pravokotni vektor bo imel vrednost a → = (a x, a y, a z).
Poglejmo dokaz na primeru.
Primer 6
Podan je vektor s koordinatami a → = (1, 2, 3) . Poiščite vektor, pravokoten na danega.
rešitev
Želeni vektor označimo z b → = (b x , b y , b z) . Glede na pogoj, da sta vektorja pravokotna, mora biti skalarni produkt enak nič.
a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Če je vrednost b y = 1, b z = 1, potem je b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Iz tega sledi, da so koordinate vektorja b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → je eden od vektorjev, pravokotnih na danega.
odgovor: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Iskanje koordinat vektorja, pravokotnega na dva podana vektorja
Poiskati moramo koordinate vektorja v tridimenzionalnem prostoru. Pravokoten je na nekolinearne vektorje a → (a x , a y , a z) in b → = (b x , b y , b z) . Če sta vektorja a → in b → kolinearna, bo zadostovalo, da v nalogi najdemo vektor, pravokoten na a → ali b →.
Pri reševanju se uporablja koncept vektorskega produkta vektorjev.
Vektorski produkt vektorjev a → in b → je vektor, ki je hkrati pravokoten na a → in b →. Za rešitev tega problema se uporablja vektorski produkt a → × b →. Za tridimenzionalni prostor ima obliko a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Oglejmo si vektorski produkt podrobneje na primeru problema.
Primer 7
Podana sta vektorja b → = (0, 2, 3) in a → = (2, 1, 0). Istočasno poiščite koordinate katerega koli vektorja, pravokotnega na podatke.
rešitev
Za rešitev morate najti vektorski produkt vektorjev. (Glejte odstavek izračun determinante matrike najti vektor). Dobimo:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
odgovor: (3 , - 6 , 4) - koordinate vektorja, ki je hkrati pravokoten na dana a → in b → .
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Navodila
Če je prvotni vektor na risbi upodobljen v pravokotnem dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu in je treba tam zgraditi pravokotnega, izhajajte iz definicije pravokotnosti vektorjev na ravnini. Pravi, da mora biti kot med takim parom usmerjenih segmentov enak 90°. Konstruiramo lahko neskončno število takih vektorjev. Zato narišite pravokotno na prvotni vektor na poljubnem mestu na ravnini, položite nanj odsek, ki je enak dolžini danega urejenega para točk, in enega od njegovih koncev določite kot začetek pravokotnega vektorja. To naredite s kotomerjem in ravnilom.
Če je izvirni vektor podan z dvodimenzionalnimi koordinatami ā = (X₁;Y₁), predpostavimo, da mora biti skalarni produkt para pravokotnih vektorjev enak nič. To pomeni, da morate za želeni vektor ō = (X₂,Y₂) izbrati takšne koordinate, da bo veljala enakost (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. To lahko storite takole: izberite katero koli neničelno vrednost za koordinato X₂ in izračunajte koordinato Y₂ z uporabo formule Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Na primer, za vektor ā = (15;5) bo obstajal vektor ō, pri čemer bo abscisa enaka ena in ordinata enaka -(15*1)/5 = -3, tj. ō = (1;-3).
Za tridimenzionalni in vsak drug pravokoten koordinatni sistem velja enak nujen in zadosten pogoj za pravokotnost vektorjev - njihov skalarni produkt mora biti enak nič. Torej, če je začetni usmerjeni segment podan s koordinatami ā = (X₁,Y₁,Z₁), izberite za urejen par točk ō = (X₂,Y₂,Z₂), pravokotnih nanj, takšne koordinate, ki izpolnjujejo pogoj (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Najlažji način je, da dodelite posamezne vrednosti X₂ in Y₂ ter izračunate Z₂ iz poenostavljene enakosti Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y1)/ Z₁. Na primer, za vektor ā = (3,5,4) bo to v naslednji obliki: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Nato vzemite absciso in ordinato pravokotni vektor kot ena in bo v tem primeru enak -(3+5)/4 = -2.
Viri:
- poišči vektor, če je pravokoten
Imenujejo se pravokotno vektor, kot med katerima je 90º. Pravokotne vektorje sestavimo z risalnimi orodji. Če so znane njihove koordinate, je pravokotnost vektorjev mogoče preveriti ali najti z analitičnimi metodami.
Boste potrebovali
- - kotomer;
- - kompas;
- - ravnilo.
Navodila
Konstruiraj vektor, pravokoten na danega. Če želite to narediti, na točki, ki je začetek vektorja, obnovite pravokotno nanj. To lahko storite s kotomerjem, pri čemer nastavite kot 90º. Če nimate kotomerja, uporabite šestilo.
Nastavite ga na začetno točko vektorja. Narišite krog s poljubnim polmerom. Nato sestavite dva s središči v točkah, kjer je prvi krog sekal premico, na kateri leži vektor. Polmeri teh krogov morajo biti med seboj enaki in večji od prvega sestavljenega kroga. V točkah presečišča krogov zgradite premico, ki bo pravokotna na prvotni vektor v njegovem izhodišču, in nanjo narišite vektor, pravokoten na tega.
ohm Da bi to naredili, najprej predstavimo koncept segmenta.
Definicija 1
Odsek bomo imenovali del premice, ki je na obeh straneh omejen s točkami.
Definicija 2
Konci segmenta so točke, ki ga omejujejo.
Za uvedbo definicije vektorja poimenujmo enega od koncev segmenta njegov začetek.
Definicija 3
Vektor (usmerjen odsek) bomo imenovali odsek, v katerem je označeno, katera mejna točka je njegov začetek in katera konec.
Zapis: \overline(AB) je vektor AB, ki se začne v točki A in konča v točki B.
Sicer z eno malo črko: \overline(a) (slika 1).
Definicija 4
Ničelni vektor bomo imenovali vsako točko, ki pripada ravnini.
Simbol: \overline(0) .
Uvedimo zdaj neposredno definicijo kolinearnih vektorjev.
Predstavili bomo tudi definicijo skalarnega produkta, ki jo bomo potrebovali kasneje.
Opredelitev 6
Skalarni zmnožek dveh danih vektorjev je skalar (ali število), ki je enako zmnožku dolžin teh dveh vektorjev s kosinusom kota med tema vektorjema.
Matematično bi lahko izgledalo takole:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Točkovni produkt lahko najdete tudi z uporabo vektorskih koordinat, kot sledi
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Znak pravokotnosti skozi sorazmernost
1. izrek
Da so neničelni vektorji pravokotni drug na drugega, je nujno in zadostno, da je njihov skalarni produkt teh vektorjev enak nič.
Dokaz.
Nujnost: Naj imamo podana vektorja \overline(α) in \overline(β), ki imata koordinate (α_1,α_2,α_3) oziroma (β_1,β_2,β_3) in sta pravokotna drug na drugega. Nato moramo dokazati naslednjo enakost
Ker sta vektorja \overline(α) in \overline(β) pravokotna, je kot med njima 90^0. Poiščimo skalarni produkt teh vektorjev s formulo iz definicije 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Zadostnost: Naj bo enakost resnična \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Dokažimo, da bosta vektorja \overline(α) in \overline(β) pravokotna drug na drugega.
Po definiciji 6 bo enakost resnična
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Zato bosta vektorja \overline(α) in \overline(β) pravokotna drug na drugega.
Izrek je dokazan.
Primer 1
Dokaži, da so vektorji s koordinatami (1,-5,2) in (2,1,3/2) pravokotni.
Dokaz.
Poiščimo skalarni produkt za te vektorje z uporabo zgornje formule
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
To pomeni, da so v skladu s teoremom 1 ti vektorji pravokotni.
Iskanje pravokotnega vektorja na dva podana vektorja s pomočjo navzkrižnega produkta
Najprej predstavimo koncept vektorskega produkta.
Opredelitev 7
Vektorski produkt dveh vektorjev bo vektor, ki bo pravokoten na oba podana vektorja, njegova dolžina pa bo enaka zmnožku dolžin teh vektorjev s sinusom kota med tema vektorjema in tudi ta vektor z dvema začetni ima enako orientacijo kot kartezični koordinatni sistem.
Oznaka: \overline(α)х\overline(β) x.
Za iskanje vektorskega produkta bomo uporabili formulo
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Ker je vektor navzkrižnega produkta dveh vektorjev pravokoten na oba vektorja, bo to vektor. To pomeni, da bi našli vektor, pravokoten na dva vektorja, morate le najti njun vektorski produkt.
Primer 2
Poiščite vektor, pravokoten na vektorje s koordinatama \overline(α)=(1,2,3) in \overline(β)=(-1,0,3)
Poiščimo vektorski produkt teh vektorjev.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
V razdelku vprašanja poiščite vektor, pravokoten na dva podana vektorja, ki ju je podal avtor Anna Afanasjeva najboljši odgovor je: Vektor, pravokoten na dva nevzporedna vektorja, najdemo kot njun vektorski produkt xb, da ga najdemo, morate sestaviti determinanto, katere prva vrstica bo sestavljena iz enotskih vektorjev I, j, k, drugi iz koordinat vektorja a, tretji iz koordinat vektorja b . Za determinanto velja, da je razširitev vzdolž prve vrstice, v vašem primeru dobite akhv=20i-10k ali ahv=(20,0,-10).
Odgovor od 22 odgovorov[guru]
Zdravo! Tukaj je izbor tem z odgovori na vaše vprašanje: poiščite vektor, pravokoten na dva podana vektorja
Odgovor od raztegniti[novinec]
Vektor, pravokoten na dva nevzporedna vektorja, najdemo kot njihov vektorski produkt xb, da ga najdemo, morate sestaviti determinanto, katere prva vrstica bo sestavljena iz enotskih vektorjev I, j, k, druga - iz koordinat vektorja a, tretji - iz koordinat vektorja b. Za determinanto velja, da je razširitev vzdolž prve vrstice, v vašem primeru dobite akhv=20i-10k ali ahv=(20,0,-10).
Odgovor od HAJKA[guru]
Približno rešite takole; Ampak najprej preberi vse sam!! !
Izračunajte skalarni produkt vektorjev d in r, če je d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modul vektorja a je 4, modul vektorja b je 6. Kot med vektorjema a in b je 60 stopinj, vektor c je pravokoten na vektorja a in b.
Točki E in F ležita na stranicah AD in BC paralelograma ABCD, pri čemer je AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Vektor EF izrazimo z vektorjema m = vektor AB in vektorjem n = vektor AD. b) Ali lahko vektor enakosti EF = x, pomnožen z vektorjem CD, velja za katero koli vrednost x? .
Enotski vektor je: , kjer je 
– vektorski modul.
odgovor: 
.
Opomba. Koordinate enotskega vektorja ne smejo biti večje od ena.
6.3. Poiščite dolžino in smerne kosinuse vektorja 
. Primerjaj z odgovorom v prejšnjem odstavku. Potegnite zaključke.
Dolžina vektorja je njegov modul:
Smerne kosinuse lahko poiščemo s formulo za enega od načinov podajanja vektorjev:
Iz tega vidimo, da so smerni kosinusi koordinate enotskega vektorja.
odgovor: 
,
,
,
.
6.4. Najti 
.
Potrebno je izvesti dejanja množenja vektorja s številom, seštevanja in modula.
Koordinate vektorjev množimo s številom člen za členom.
Koordinate vektorjev dodajamo člen za členom.
Iskanje modula vektorja.
odgovor: 
6.5. Določite vektorske koordinate 
, kolinearna vektorju 
, vedoč to 
in je usmerjen v smeri, ki je nasprotna vektorju 
.
Vektor 
kolinearni z vektorjem 
, kar pomeni, da je njegov enotski vektor enak enotskemu vektorju 
samo z minusom, saj usmerjeno v nasprotno smer.
Enotski vektor ima dolžino enako 1, kar pomeni, da če ga pomnožite s 5, bo njegova dolžina enaka pet.
Najdemo 
odgovor: 
6.6. Izračunajte pikčaste produkte 
in 
. Ali sta vektorja pravokotna? 
in 
,
in 
med sabo?
Naredimo skalarni produkt vektorjev.
Če sta vektorja pravokotna, je njun skalarni produkt enak nič.
Vidimo, da v našem primeru vektorji 
in 
pravokotno.
odgovor: 
,
, vektorja nista pravokotna.
Opomba. Geometrični pomen skalarnega produkta je v praksi malo uporaben, vendar še vedno obstaja. Rezultat takega dejanja je mogoče upodobiti in izračunati geometrijsko.
6.7. Poiščite delo, ki ga opravi materialna točka, na katero deluje sila 
, ko ga premikate iz točke B v točko C.
Fizični pomen skalarnega produkta je delo. Vektor sile je tukaj 
, vektor premika je 
. In produkt teh vektorjev bo zahtevano delo.
Iskanje službe
6.8. Poiščite notranji kot pri oglišču A in zunanji vrhni kot C trikotnik ABC .
Iz definicije skalarnega produkta vektorjev dobimo formulo za iskanje kota: .
IN 
Notranji kot bomo iskali kot kot med vektorjema, ki izhajata iz ene točke.
Če želite najti zunanji kot, morate vektorje združiti tako, da izhajajo iz ene točke. Slika to pojasnjuje.
Omeniti velja, da 
, imajo samo različne začetne koordinate.
Iskanje potrebnih vektorjev in kotov
Odgovor: notranji kot pri oglišču A = 
, zunanji kot pri točki B = 
.
6.9. Poiščite projekcije vektorjev: in
Spomnimo se vektorskih vektorjev: 
,
,
.
Projekcijo najdemo tudi iz skalarnega produkta
- projekcija b na a.
Prej pridobljeni vektorji
,
,
Iskanje projekcije
Iskanje druge projekcije
odgovor: 
,
Opomba. Znak minus pri iskanju projekcije pomeni, da se projekcija ne spusti na sam vektor, ampak v nasprotni smeri, na premico, na kateri ta vektor leži.
6.10. Izračunaj 
.
Naredimo vektorski produkt vektorjev
Poiščimo modul
Sinus kota med vektorji poiščemo iz definicije vektorskega produkta vektorjev
odgovor: 
,
,
.
6.11. Poiščite območje trikotnika ABC in dolžina višine, spuščena iz točke C.
Geometrijski pomen modula vektorskega produkta je, da je območje paralelograma, ki ga tvorijo ti vektorji. In površina trikotnika je enaka polovici površine paralelograma.
Ploščino trikotnika lahko najdemo tudi kot zmnožek višine in osnove, deljeno z dva, iz česar lahko izpeljemo formulo za iskanje višine.
Tako najdemo višino
odgovor: 
,
.
6.12. Poiščite enotski vektor, pravokoten na vektorja 
in 
.
Rezultat pikčastega produkta je vektor, ki je pravokoten na dva prvotna. In enotski vektor je vektor, deljen s svojo dolžino.
Prej smo ugotovili:
,
odgovor: 
.
6.13. Določite velikost in smerne kosinuse momenta sile 
, uporabljeno za A glede na točko C.
Fizični pomen vektorskega produkta je moment sile. Podajamo ilustracijo te naloge.
Iskanje momenta sile
odgovor: 
.
6.14. Ali vektorji lažejo 
,
in 
v isti ravnini? Ali lahko ti vektorji tvorijo osnovo prostora? Zakaj? Če lahko, razširijo vektor v to osnovo 
.
Za preverjanje, ali vektorji ležijo v isti ravnini, je potrebno izvesti mešani produkt teh vektorjev.
Mešani produkt ni enak nič, zato vektorji ne ležijo v isti ravnini (niso koplanarni) in lahko tvorijo osnovo. Razčlenimo se 
na tej podlagi.
Razširimo z bazo tako, da rešimo enačbo
Odgovor: Vektorji 
,
in 
ne ležijo v isti ravnini. 
.
6.15. Najti 
. Kolikšna je prostornina piramide z oglišči A, B, C, D in njeno višino, spuščeno iz točke A na osnovo BCD.
G 
Geometrijski pomen mešanega produkta je, da je prostornina paralelopipeda, ki ga tvorita ta vektorja.
Prostornina piramide je šestkrat manjša od prostornine paralelepipeda.
Prostornino piramide lahko najdete tudi takole:
Dobimo formulo za iskanje višine
Iskanje višine
Odgovor: prostornina = 2,5, višina = 
.
6.16. Izračunaj 
in 
.
– Vabimo vas, da sami razmislite o tej nalogi.
- Opravimo delo.
Prejeto
odgovor: 
.
6.17. Izračunaj
Naredimo korake po delih
3)
Seštejmo dobljene vrednosti
odgovor: 
.
6.18. Poiščite vektor 
, saj vemo, da je pravokoten na vektorja 
in 
, in njegovo projekcijo na vektor 
enako 5.
Razdelimo to nalogo na dve podnalogi
1) Poiščite vektor, pravokoten na vektorja 
in 
poljubna dolžina.
Kot rezultat vektorskega produkta dobimo pravokotni vektor
Prej smo ugotovili:
Zahtevani vektor se od prejetega razlikuje le po dolžini
2) Poiščimo 
skozi enačbo
6.19. Poiščite vektor 
, ki izpolnjuje pogoje 
,
,
.
Oglejmo si te pogoje podrobneje.
To je sistem linearnih enačb. Sestavimo in rešimo ta sistem.
odgovor: 
6.20. Določite koordinate vektorja 
, koplanarna z vektorji 
in 
, in pravokotno na vektor 
.
Pri tej nalogi sta dva pogoja: komplanarnost vektorjev in pravokotnost, najprej izpolnimo prvi pogoj, nato pa še drugega.
1) Če sta vektorja komplanarna, je njun mešani produkt enak nič.
Od tu dobimo neko odvisnost koordinat vektorja
Poiščimo vektor 
.
2) Če sta vektorja pravokotna, je njun skalarni produkt enak nič
Dobili smo drugo odvisnost koordinat želenega vektorja
Za kakršno koli vrednost 
vektor bo izpolnjeval pogoje. Zamenjajmo 
.
odgovor: 
.
Analitična geometrija
