Asociativnost

x 1 (x 2 x 3) = (x 1 x 2) x 3;

x 1 Ú (x 2 Ú x 3) = (x 1 Ú x 2) Ú x 3.

Komutativnost

x 1 x 2 = x 2 x 1

x 1 Ú x 2 = x 2 Ú x 1

Distributivnost konjunkcije glede na disjunkcijo

x 1 (x 2 Ú x 3) = x 1 x 2 Ú x 1 x 3.

Distributivnost disjunkcije glede na konjunkcijo

x 1 Ú(x 2 × x 3) = (x 1 Úx 2) × (x 1 Úx 3). *

Idempotenca (tavtologija)

Dvakrat št

Lastnosti konstant

x & 1 = x; (zakoni univerzalnega sklopa)

x & 0 = 0; (ničelni zakoni)

De Morganova pravila (zakoni)

Zakon protislovja (komplementarnosti)

Zakon izključitve tretjega (komplementarnost)

Dokazi vseh teh formul so trivialni. Ena od možnosti je sestaviti tabelo resnic leve in desne strani in ju primerjati.

Pravila lepljenja

Pravilo lepljenja elementarnih konjunkcij izhaja iz distribucijskega zakona, zakona komplementarnosti in zakona univerzalne množice: disjunkcija dveh sosednjih veznikov se lahko nadomesti z enim elementarnim veznikom, ki je skupni del prvotnih veznikov .

Pravilo lepljenja za elementarne vsote izhaja iz porazdelitvenega zakona druge vrste, zakona komplementarnosti in zakona ničelne množice: konjunkcija dveh sosednjih disjunkcij se lahko nadomesti z eno osnovno disjunkcijo, ki je skupni del prvotnih disjunkcij .

Prevzemno pravilo

Absorpcijsko pravilo za vsoto dveh elementarnih produktov izhaja iz porazdelitvenega zakona prve vrste in zakonov univerzalne množice: disjunkcijo dveh elementarnih konjunkcij, od katerih je ena sestavni del druge, lahko nadomestimo s konjunkcijo z manjšim številom operandov .

Absorpcijsko pravilo za produkt elementarnih vsot izhaja iz porazdelitvenega zakona druge vrste in zakonov ničelne množice: konjunkcijo dveh elementarnih disjunkcij, od katerih je ena komponenta druge, lahko nadomestimo z elementarno disjunkcijo, ki ima manjše število operandov.

Pravilo uvajanja

To pravilo določa nasprotno dejanje od lepljenja.

Pravilo za razširitev elementarnega produkta v logično vsoto elementarnih produktov višjega ranga (v meji do r = n, tj. do konstituent enote, kot bo govora v nadaljevanju) izhaja iz zakonov univerzalne množice, distribucijski zakon prve vrste in se izvaja v treh fazah:

V razširjenem elementarnem produktu ranga r je kot faktorjev uvedenih n-r enot, kjer je n rang sestavin enote;

Vsaka enota je nadomeščena z logično vsoto spremenljivke, ki ni prisotna v prvotnem osnovnem produktu, in njeno negacijo: x i v `x i = 1;

Vsi oklepaji so razširjeni na podlagi porazdelitvenega zakona prve vrste, kar vodi do razširitve izvirnega elementarnega produkta ranga r v logično vsoto 2 n-r konstituent enote.

Pravilo razširitve elementarnega produkta se uporablja za minimiziranje funkcij logične algebre (FAL).

Pravilo za razširitev elementarne vsote ranga r na produkt elementarnih vsot ranga n (sestavni del nič) sledi zakonom ničelne množice (6) in distribucijskemu zakonu druge vrste (14) in se izvaja v tri stopnje:

V razširjeni vsoti ranga r je n-r ničel uvedenih kot členov;

Vsaka ničla je predstavljena kot logični zmnožek neke spremenljivke, ki ni prisotna v izvirni vsoti, in njene negacije: x i·` x i = 0;

Nastali izraz se transformira na podlagi porazdelitvenega zakona druge vrste (14) tako, da se prvotna vsota ranga r spremeni v logični produkt 2 n-r sestavin nič.

16. Koncept celovitega sistema. Primeri popolnih sistemov (z dokazom)

Opredelitev. Niz funkcij algebre logike A se imenuje popoln sistem (v P2), če je katero koli funkcijo algebre logike mogoče izraziti s formulo nad A.

Sistem funkcij A=( f 1, f 1,…, f m), ki je popolna, se imenuje osnova.

Minimalna osnova je osnova, za katero je odvzeta vsaj ena funkcija f 1, ki tvori to osnovo, preoblikuje sistem funkcij (f 1 , f 1 ,…, f m) nepopolna.

Izrek. Sistem A = (∨, &, ) je popoln.

Dokaz. Če funkcija logične algebre f ni identična nič, potem je f izražena v obliki popolne disjunktivne normalne oblike, ki vključuje samo disjunkcijo, konjunkcijo in negacijo. Če je f ≡ 0, potem je f = x & x. Izrek je dokazan.

Lema.Če je sistem A popoln in je katero koli funkcijo sistema A mogoče izraziti s formulo preko nekega drugega sistema B, potem je tudi B popoln sistem.

Dokaz. Razmislite o poljubni funkciji logične algebre f (x 1 , …, x n) in dveh sistemih funkcij: A = (g 1 , g 2 , …) in B = (h 1 , h 2 , …). Ker je sistem A popoln, lahko funkcijo f nad njim izrazimo kot formulo:

f (x 1, …, x n) = ℑ

kjer je g i = ℜ i

to pomeni, da je funkcija f predstavljena kot

f (x 1, …, x n)=ℑ[ℜ1,ℜ2,...]

z drugimi besedami, lahko ga predstavimo s formulo nad B. Na ta način, ko gremo skozi vse funkcije algebre logike, ugotovimo, da je tudi sistem B popoln. Lema je dokazana.

Izrek. V P2 so dokončani naslednji sistemi:

4) (&, ⊕ , 1)Zhegalkinova baza.

Dokaz.

1) Znano je (izrek 3), da je sistem A = (&, V, ) popoln. Pokažimo, da je sistem B = ( V, . Dejansko iz de Morganovega zakona (x& y) = (x ∨ y) dobimo, da je x & y = (x ∨ y), kar pomeni, da je konjunkcija izražena z disjunkcijo in negacija, vse funkcije sistema A pa so izražene s formulami nad sistemom B. V skladu z lemo je sistem B popoln.

2) Podobno kot v 1. točki: (x ∨ y) = x & y ⇔ x ∨ y =(x & y) in iz 2. leme sledi resničnost trditve v 2. točki.

3) x | y=(x&y), x | x = x ; x & y = (x | y) = (x | y) | (x | y) in po lemi 2 je sistem popoln.

4) x = x ⊕1 in po lemi 2 je sistem popoln.

Izrek je dokazan.

17.Zhegalkinova algebra. Lastnosti operacij in popolnost

Množica logičnih funkcij, definiranih v Zhegalkinovi bazi S4=(⊕,&,1), se imenuje Zhegalkinova algebra.

Osnovne lastnosti.

1. komutativnost

h1⊕h2=h2⊕h1 h1&h2=h2&h1

2. asociativnost

h1⊕(h2⊕h3)=(h1⊕h2)⊕h3 h1&(h2&h3)=(h1&h2)&h3

3. distributivnost

h1&(h2⊕h3)=(h1&h2)⊕(h1&h3)

4. lastnosti konstant

5. h⊕h=0 h&h=h
Izjava. Vse druge Boolove funkcije je mogoče izraziti z operacijami Zhegalkinove algebre:

x→y=1⊕x⊕xy

x↓y=1⊕x⊕y⊕xy

18. Zhegalkinov polinom. Metode gradnje. Primer.

Zhegalkinov polinom (polinom po modulu 2) iz n spremenljivk x 1 ,x 2 ... x n imenujemo izraz v obliki:

c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n ,

kjer lahko konstante C k zavzamejo vrednosti 0 ali 1.

Če Zhegalkinov polinom ne vsebuje produktov posameznih spremenljivk, se imenuje linearen (linearna funkcija).

Na primer, f=x⊕yz⊕xyz in f 1 =1⊕x⊕y⊕z sta polinoma, druga pa je linearna funkcija.

Izrek. Vsaka logična funkcija je predstavljena v obliki Zhegalkinovega polinoma na edinstven način.

Predstavimo glavne metode za konstruiranje Zhegalkinovih polinomov iz dane funkcije.

1. Metoda nedoločenih koeficientov. Naj bo P(x 1 ,x 2 ... x n) želeni Zhegalkinov polinom, ki implementira dano funkcijo f(x 1 ,x 2 ... x n). Zapišimo ga v obrazec

P=c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n

Poiščimo koeficiente C k. Da bi to naredili, zaporedno dodelimo spremenljivkam x 1, x 2 ... x n vrednosti iz vsake vrstice tabele resnic. Kot rezultat dobimo sistem 2 n enačb z 2 n neznankami, ki ima edinstveno rešitev. Ko jo rešimo, najdemo koeficiente polinoma P(X 1 ,X 2 ... X n).

2. Metoda, ki temelji na preoblikovanju formul nad množico veznikov (,&). Zgradite neko formulo F nad množico veznikov (,&), ki realizira dano funkcijo f(X 1 ,X 2 ... X n). Nato podformule oblike A povsod zamenjajte z A⊕1, odprite oklepaje z uporabo distribucijskega zakona (glej lastnost 3) in nato uporabite lastnosti 4 in 5.

Primer. Konstruirajte Zhegalkinov polinom funkcije f(X,Y)=X→Y

rešitev.
1. (metoda nedoločenih koeficientov). Zahtevani polinom zapišimo v obliki:

P=c 0 ⊕c 1 x⊕c 2 y⊕c 12 xy

Z uporabo tabele resnic implikacije ugotovimo, da

f(0,0)=P(0,0)=C 0 =1

f(0,1)=P(0,1)=C 0 ⊕C 2 =1

f(1,0)=P(1,0)=C 0 ⊕C 1 =0

f(1,1)=P(1,1)=C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ⊕C 12 =1

Od koder dosledno najdemo, C 0 =1, C 1 =1, C 2 =0, C 12 =1

Zato: x→y=1⊕X⊕XY.

2. (Metoda pretvorbe formule.). Imamo: x→y=xvy=(xy)=(x(y⊕1)) ⊕1=1⊕x⊕xy
Upoštevajte, da je prednost Zhegalkinove algebre (v primerjavi z drugimi algebrami) aritmetizacija logike, ki omogoča precej preprosto izvajanje transformacij Boolovih funkcij. Njena pomanjkljivost v primerjavi z Boolovo algebro je okornost formul.

Povezane informacije.

Absorpcijski izrek zapisano v dveh oblikah - ločilni in

veznik oziroma:

A + AB = A (16)

A(A + B)=A (17)

Dokažimo prvi izrek. Vzemimo črko A iz oklepaja:

A + AB= A(1 + B)

Po izreku (3) 1 + B = 1 torej

A(1 + B) = A 1 = A

Za dokaz drugega izreka odprimo oklepaje:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Rezultat je izraz, ki je bil pravkar dokazan.

Oglejmo si nekaj primerov uporabe absorpcijskega izreka za

poenostavitev Boolovih formul.

Izrek o lepljenju ima tudi dve obliki - disjunktivno in

veznik:

Dokažimo prvi izrek:

ker po izrekih (5) in (4)

Za dokaz drugega izreka odprimo oklepaje:

Po izreku (6) sledi:

Po absorpcijskem izreku (16) A+AB = A

Izrek o absorpciji, tako kot izrek o lepljenju, se uporablja pri poenostavitvi

Logične formule, na primer:

De Morganov izrek povezuje vse tri osnovne operacije Boolove algebre

Disjunkcija, konjunkcija in inverzija:

Prvi izrek se glasi takole: inverzija konjunkcije je disjunkcija

inverzije. Drugič: inverzija disjunkcije je konjunkcija inverzij. Morganove izreke je mogoče dokazati z uporabo tabel resnic za levo in desno stran.

De Morganov izrek velja za več spremenljivk:

Predavanje 5

Obračanje kompleksnih izrazov

De Morganov izrek ne velja samo za posamezne konjunkcije

ali disjunkcij, ampak tudi do bolj zapletenih izrazov.

Poiščimo inverzijo izraza AB + CD , predstavljen kot disjunkcija veznikov. Inverzijo bomo imeli za zaključeno, če se negativni predznaki pojavijo le nad spremenljivkami. Vstavimo naslednji zapis: AB = X;

CD = Y, Potem

Poiščimo in nadomestimo v izraz (22):

Torej:

Razmislite o izrazu, predstavljenem v konjunktivni obliki:

(A + B) (C + D)

Poiščimo njegovo inverzijo v obliki

Vstavimo naslednji zapis: A + B = X; C + D = Y, Potem

Poiščimo jih in jih nadomestimo v izraz

Torej:

Pri obračanju kompleksnih izrazov lahko uporabite naslednje pravilo. Za iskanje inverzije je potrebno konjunkcijske znake zamenjati z disjunkcijskimi znaki, disjunkcijske znake pa s konjunkcijskimi znaki in nad vsako spremenljivko postaviti inverzijo:

Koncept logične funkcije

IN na splošno funkcija (lat. functio - izvedba, skladnost,

preslikava) je določeno pravilo (zakon), po katerem vsak element niza X, ki predstavlja obseg vrednosti neodvisne spremenljivke X, določen element množice je dodeljen F,

ki se nanaša na obseg vrednosti odvisne spremenljivke f . V primeru logičnih funkcij X = F = (0,1). Pravilo, po katerem je določena funkcija, je lahko katera koli logična formula, na primer:

Simbol f tukaj označuje funkcijo, ki je, tako kot argumenti A, B, C, binarna spremenljivka.

Argumenti so neodvisne spremenljivke, lahko imajo poljubno vrednost – 0 ali 1. Funkcija f - odvisna spremenljivka. Njegov pomen je v celoti določen z vrednostmi spremenljivk in logičnimi povezavami med njimi.

Glavna značilnost funkcije: da bi določili njeno vrednost, je na splošno potrebno poznati vrednosti vseh argumentov, od katerih je odvisna. Na primer, zgornja funkcija je odvisna od treh argumentov A, V, S.Če vzamemo A = 1, dobimo

tj. dobimo nov izraz, ki ni niti enak nič niti

enota. Naj zdaj IN= 1. Potem

v tem primeru ni znano, čemu je funkcija enaka, nič ali ena.

Sprejmimo končno Z= 0. Potem dobimo: f = 0. Torej, če v izvirnem izrazu vzamemo A = 1, IN= 1, Z = 0, bo funkcija prevzela vrednost nič: f = 0.

Razmislimo koncept nabora vrednosti spremenljivk .

Če so vsem argumentom, od katerih je odvisna funkcija, dodeljene nekatere vrednosti, potem govorimo o nizu vrednosti argumentov, ki jih je mogoče

samo poimenuj to niz. Niz vrednosti argumentov je zaporedje ničel in enic, na primer 110, kjer prva številka ustreza prvemu argumentu, druga drugemu in tretja tretjemu. Očitno se je treba vnaprej dogovoriti, kaj je prvi, drugi ali recimo peti argument. Če želite to narediti, je priročno uporabiti abecedno razporeditev črk.

Na primer, če

potem je po latinici prvi argument R, drugi -

Q, tretji - X, četrti - U. Potem je na podlagi nabora vrednosti argumentov enostavno

poiščite vrednost funkcije. Naj bo na primer dan niz 1001. Glede na to

zapisov, tj. na množici 1001 je dana funkcija enaka ena.

Ponovno upoštevajte, da je niz vrednosti argumentov zbirka

ničle in enice. Binarna števila so tudi nizi ničel in enic.

To postavlja vprašanje: ali se množice ne morejo šteti za binarne?

številke? Možno je in v mnogih primerih je zelo priročno, še posebej, če je binarno

Pretvori število v decimalni sistem. Na primer, če

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

tj. dani niz je številka 6 v decimalnem sistemu.

Če morate poiskati vrednosti argumentov z uporabo decimalne številke, potem

Nadaljujemo v obratnem vrstnem redu: najprej pretvorimo decimalno število v binarno, nato dodamo na levo toliko ničel, da je skupno število števk enako številu argumentov, nakar poiščemo vrednosti argumenti.

Naj, na primer, morate najti vrednosti argumentov A, B, C, D, E, F z izbiranjem s številko 23. Število 23 pretvorimo v dvojiški sistem z metodo

deljenje z dvema:

Kot rezultat dobimo 23 10 = 10111 2. Ta številka je petmestna, vendar skupaj

Obstaja šest argumentov, zato morate na levo napisati eno ničlo:

23 10 = 010111 2. Od tu najdemo:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Koliko nizov je skupaj, če je število znano? p argumenti? Očitno obstaja toliko n-bitnih binarnih števil, kot jih je, tj. 2 n

Predavanje 6

Določanje logične funkcije

En način že poznamo. Je analitičen, to je v obliki matematičnega izraza z uporabo binarnih spremenljivk in logičnih operacij. Poleg tega obstajajo še druge metode, med katerimi je najpomembnejša tabelarična. Tabela navaja vse možne nize vrednosti argumentov in določa vrednost funkcije za vsak niz. Takšno tabelo imenujemo korespondenčna (resnicna) tabela.

Uporaba funkcije kot primer

Ugotovimo, kako zanj sestaviti korespondenčno tabelo.

Funkcija je odvisna od treh argumentov A, B, C. Zato v tabeli

Ponujamo tri stolpce za argumente A, B, C in en stolpec za vrednosti funkcije f. Levo od stolpca A je koristno postaviti še en stolpec. Vanj bomo zapisali decimalna števila, ki ustrezajo množicam, če jih obravnavamo kot trimestna binarna števila. Ta decimalka

stolpec je uveden zaradi udobja pri delu s tabelo, zato načeloma

lahko zanemarimo.

Izpolnimo tabelo. V vrstici s številko LLC je zapisano:

A = B = C = 0.

Določimo vrednost funkcije na tem nizu:

V stolpec f v vrstico s številčnico 000 vpišemo ničlo.

Naslednji niz: 001, tj. e. A = B = 0, C = 1. Poiščite vrednost funkcije

na tem kompletu:

Na množici 001 je funkcija 1, torej v stolpcu f v vrstici c

Številka 001 se uporablja za pisanje enega.

Podobno izračunamo vrednosti funkcij na vseh drugih nizih in

izpolni celotno tabelo.

De Morganovi zakoni so logična pravila, ki jih je vzpostavil škotski matematik Augustus de Morgan in povezujejo pare logičnih operacij z uporabo logične negacije.

Augustus de Morgan je opozoril, da v klasični logiki veljajo naslednja razmerja:

ne (A in B) = (ni A) ali (ni B)

ne (A ali B) = (ne A) in (ne B)

V nam bolj znani obliki lahko ta razmerja zapišemo na naslednji način:

De Morganove zakone je mogoče formulirati na naslednji način:

I de Morganov zakon: Negacija disjunkcije dveh preprostih izjav je enakovredna konjunkciji negacij teh izjav.

II de Morganov zakon: Zanikanje konjunkcije dveh preprostih izjav je enakovredno disjunkciji zanikanj teh izjav.

Oglejmo si uporabo De Morganovih zakonov na konkretnih primerih.

Primer 1. Preoblikujte formulo tako, da ni zanikanj kompleksnih izjav.

Uporabimo De Morganov prvi zakon in dobimo:

De Morganov drugi zakon uporabimo za zanikanje konjunkcije preprostih izjav B in C in dobimo:

Torej:

Kot rezultat smo dobili enakovredno izjavo, v kateri ni zanikanj sestavljenih izjav, vse zanikanja pa se nanašajo samo na preproste izjave.

Veljavnost rešitve lahko preverite s pomočjo tabel resnic. Da bi to naredili, bomo sestavili tabele resnic za izvirno izjavo:

in za izjavo, dobljeno kot rezultat transformacij, izvedenih z uporabo De Morganovih zakonov:

Tabela 1.

			B/\C	A\/B/\C

Kot je razvidno iz tabel, sta izvirna logična izjava in logična izjava, pridobljena z uporabo De Morganovih zakonov, enakovredna. To dokazuje dejstvo, da smo v tabelah resnic prejeli enake nize vrednosti.

V 8. poglavju so bile obravnavane vrste objektov nenumerične narave, kot so mehke in naključne množice. Namen te aplikacije je globlje preučiti lastnosti mehkih množic in pokazati, da se teorija mehkih množic v določenem smislu reducira na teorijo naključnih množic. Za dosego tega cilja je oblikovana in dokazana veriga izrekov.

V nadaljevanju se predpostavlja, da so vse obravnavane mehke množice podmnožice iste množice Y.

P2-1. De Morganovi zakoni za mehke množice

Kot je znano, se naslednje identitete algebre množic imenujejo Morganovi zakoni

1. izrek.Za mehke množice veljajo naslednje identitete:

(3)

Dokaz izreka 1 je sestavljen iz neposrednega preverjanja veljavnosti odnosov (2) in (3) z izračunom vrednosti funkcij pripadnosti mehkih množic, vključenih v te odnose, na podlagi definicij, podanih v 8. poglavju.

Recimo identiteti (2) in (3) De Morganovi zakoni za mehke množice. Za razliko od klasičnega primera relacij (1) so sestavljene iz štirih identitet, od katerih se en par nanaša na operaciji unije in preseka, drugi pa na operaciji produkta in vsote. Tako kot relacija (1) v algebri množic tudi de Morganovi zakoni v algebri mehkih množic omogočajo transformacijo izrazov in formul, ki vključujejo operacije negacije.

P2-2. Distributivni zakon za mehke množice

Nekatere lastnosti množičnih operacij ne veljajo za mehke množice. Da, razen kadar A- "oster" niz (tj. funkcija članstva zavzame samo vrednosti 0 in 1).

Ali distribucijski zakon velja za mehke množice? V literaturi včasih nejasno piše, da »ne vedno«. Bodimo popolnoma jasni.

Izrek 2.Za vse mehke množice A, B in C

Hkrati enakopravnost

pošteno če in samo če, za vse

Dokaz. Popravi poljuben element. Da skrajšamo zapis, označimo Za dokazovanje istovetnosti (4) je treba dokazati, da

Razmislite o različnih vrstnih redih treh števil a, b, c. Naj najprej Potem je leva stran relacije (6) in desna stran, tj. enakost (6) velja.

Naj Potem je v relaciji (6) na levi in na desni, tj. relacija (6) je spet enakost.

Če je potem v relaciji (6) na levi in na desni, tj. oba dela se spet ujemata.

Še tri naročila številk a, b, c ni potrebe po razstavljanju, saj so v razmerju (6) številke b in c vstopite simetrično. Identiteta (4) je dokazana.

Druga trditev izreka 2 izhaja iz dejstva, da v skladu z definicijami operacij na mehkih množicah (glej 8. poglavje)

Ta dva izraza sovpadata, če in samo če, kdaj, kar je bilo treba dokazati.

Definicija 1.Nosilec mehke množice A je množica vseh točk , za katere

Posledica izreka 2.Če nosilca mehkih množic B in C sovpadata z Y, potem enakost (5) velja, če in samo če je A "ostra" (tj. navadna, klasična, ne mehka) množica.

Dokaz. Po stanju pred vsemi. Potem iz izreka 2 sledi, da tiste. ali , kar pomeni, da A- jasno nastavljeno.

P2-3. Mehke množice kot projekcije naključnih množic

Od samega začetka moderne mehke teorije v šestdesetih letih prejšnjega stoletja so se začele razprave o njenem odnosu s teorijo verjetnosti. Dejstvo je, da je funkcija pripadnosti mehke množice podobna porazdelitvi verjetnosti. Edina razlika je v tem, da je vsota verjetnosti vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke (ali integrala, če je nabor možnih vrednosti neštet) vedno enaka 1, vsota S vrednosti članske funkcije (v zveznem primeru - integrala članske funkcije) so lahko poljubna nenegativna števila. Obstaja skušnjava po normalizaciji članske funkcije, tj. vse njegove vrednosti razdelite na S(pri S 0), da jo zmanjšamo na porazdelitev verjetnosti (ali gostoto verjetnosti). Vendar strokovnjaki za mehkost upravičeno nasprotujejo takšni "primitivni" redukciji, saj se izvaja ločeno za vsako mehkost (mehko množico), definicije običajnih operacij na mehkih množicah pa ne morejo biti skladne z njo. Zadnja izjava pomeni naslednje. Naj se članske funkcije mehkih preoblikujejo v označenih množicah A in IN. Kako se preoblikujejo članske funkcije? Namestite to načeloma nemogoče. Zadnja izjava postane popolnoma jasna po preučitvi več primerov parov mehkih množic z enakimi vsotami vrednosti funkcij pripadnosti, vendar različnimi rezultati teoretičnih operacij na njih, in vsot vrednosti ustreznih funkcij pripadnosti. kajti ti rezultati teoretičnih operacij so na primer za presečišča množic tudi različni.

V delih o mehkih množicah se pogosto trdi, da je teorija mehkosti samostojna veja uporabne matematike in ni povezana s teorijo verjetnosti (glej npr. pregled literature v monografijah). Avtorji, ki so primerjali mehko teorijo in teorijo verjetnosti, so običajno poudarjali razliko med tema področjema teoretičnega in uporabnega raziskovanja. Običajno se primerjajo aksiomatike in področja uporabe. Takoj je treba opozoriti, da argumenti za drugo vrsto primerjav nimajo dokazne moči, saj obstajajo različna mnenja o mejah uporabnosti celo tako dolgo uveljavljenega znanstvenega področja, kot so verjetnostne statistične metode. Spomnimo se, da je rezultat razmišljanja enega najbolj znanih francoskih matematikov Henrija Lebesgueja o mejah uporabnosti aritmetike naslednji: »Aritmetika je uporabna takrat, ko je uporabna« (glej njegovo monografijo).

Ko primerjamo različne aksiomatike mehke teorije in teorije verjetnosti, je zlahka videti, da se seznami aksiomov razlikujejo. Iz tega pa sploh ne sledi, da med temi teorijami ni mogoče vzpostaviti povezave, kot je znana redukcija evklidske geometrije na ravnini na aritmetiko (natančneje na teorijo številskega sistema – gl. na primer monografija). Spomnimo se, da sta ti dve aksiomatiki - evklidska geometrija in aritmetika - na prvi pogled zelo različni.

Razumeti je željo navdušencev nove smeri, da bi poudarili temeljno novost svojega znanstvenega aparata. Vendar pa je enako pomembno vzpostaviti povezave med novim pristopom in že znanimi.

Kot se je izkazalo, je teorija mehkih množic tesno povezana s teorijo naključnih množic. Leta 1974 je bilo v delu pokazano, da lahko mehke množice seveda obravnavamo kot "projekcije" naključnih množic. Razmislimo o tej metodi redukcije teorije mehkih množic na teorijo naključnih množic.

Definicija 2.Pustiti - naključna podmnožica končne množice Y. Mehka množica B, definirana na Y, se imenuje projekcija A in jo označimo kot Proj A, če

(7)

pred vsemi

Očitno vsak naključni niz A lahko koreliramo z uporabo formule (7) z mehko množico B = Projekt A. Izkazalo se je tudi obratno.

Izrek 3. Za vsako mehko podmnožico B končne množice Y obstaja naključna podmnožica A od Y, tako da je B = Proj A.

Dokaz. Dovolj je, da nastavite porazdelitev naključnega niza A. Pustiti U 1- nosilec IN(glej definicijo 1 zgoraj). Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da pri nekaterih m in elementi U 1 oštevilčene v takšnem vrstnem redu, da

Predstavimo nize

Za vse druge podmnožice X kompleti U dajmo P(A=X)=0. Od elementa y t vključen v kompletu Y(1), Y(2),…, Y(t) in ni vključena v kompleti Y(t+1),…, Y(m), to Iz zgornjih formul sledi, da Če je torej teorem 3 očitno dokazan.

Porazdelitev naključne množice z neodvisnimi elementi je, kot sledi iz premislekov v 8. poglavju, popolnoma določena z njeno projekcijo. Za končno naključno množico splošne oblike to ne drži. Da bi to pojasnili, potrebujemo naslednji izrek.

Izrek 4. Za naključno podmnožico A množice Y iz končnega števila elementov množice števil in se izražajo drug skozi drugega.

Dokaz. Drugi niz je izražen v smislu prvega, kot sledi:

Elemente prvega niza lahko izrazimo skozi drugi s formulo vključkov in izključitev iz formalne logike, po kateri

V tej formuli v prvi vsoti pri poteka skozi vse elemente sklopa Y\X, v drugem seštevku seštevalne spremenljivke ob 1 in ob 2 ne sovpadajo in tečejo tudi skozi ta niz itd. Sklicevanje na vključitveno in izključitveno formulo dopolnjuje dokaz izreka 4.

V skladu z izrekom 4 lahko naključno množico A označimo ne le z distribucijo, temveč tudi z množico števil V tem nizu ni drugih relacij tipa enakosti. Ta niz vključuje števila, zato je fiksiranje projekcije naključnega niza enakovredno fiksiranju k = kartica (Y) parametri iz (2k-1) parametri, ki določajo porazdelitev naključnega niza A na splošno.

Uporaben bo naslednji izrek.

Izrek 5. če Projekt A = B, to

Za dokaz je dovolj, da uporabimo identiteto iz teorije naključnih množic, formulo za pokrivno verjetnost iz 8. poglavja, definicijo negacije mehke množice in dejstvo, da je vsota vseh P(A= X) je enako 1.

P2-4. Presečišča in produkti mehkih in naključnih množic

Ugotovimo, kako so operacije na naključnih množicah povezane z operacijami na njihovih projekcijah. Na podlagi De Morganovih zakonov (izrek 1) in izrek 5 je dovolj, da upoštevamo operacijo preseka naključnih množic.

Izrek 6. Če sta naključni podmnožici A 1 in A 2 končne množice y so neodvisni, potem mehka množica je delo mehke množice Projekt A 1 in Projekt A 2 .

Dokaz. Treba je pokazati, da za kakršno koli

Po formuli za verjetnost pokritja točke z naključno množico (8. poglavje)

Kot je znano, lahko porazdelitev presečišča naključnih množic izrazimo v smislu njihove skupne porazdelitve, kot sledi:

Iz relacij (9) in (10) sledi, da lahko pokrivno verjetnost za presečišče naključnih množic predstavimo kot dvojno vsoto

Upoštevajte zdaj, da lahko desno stran formule (11) prepišemo na naslednji način:

(12)

Formula (11) se dejansko razlikuje od formule (12) le v tem, da združuje člene, v katerih ima presečišče seštevnih spremenljivk konstantno vrednost. Z uporabo definicije neodvisnosti naključnih množic in pravila za množenje vsot dobimo, da iz (11) in (12) sledi enakost

Za dokončanje dokaza izreka 6 je dovolj, da se še enkrat obrnemo na formulo za verjetnost pokritja točke z naključno množico (8. poglavje).

Definicija 3. Podpora naključne množice C je zbirka vseh teh elementov za katere

Izrek 7.Enakopravnost

velja, če in samo, če je presečišče nosilcev naključnih množic in prazno.

Dokaz. Treba je odkriti pogoje, pod katerimi

Potem se enakost (13) reducira na pogoj

Jasno je, da je razmerje (14) izpolnjeno, če in samo če p 2 p 3=0 za vse tj. ni niti enega elementa, ki bi hkrati in , kar je enakovredno praznini presečišča nosilcev naključnih množic in . Izrek 7 je dokazan.

P2-5. Redukcija zaporedja operacij na mehkih množicah

na zaporedje operacij na naključnih množicah

Zgoraj smo pridobili nekaj povezav med mehkimi in naključnimi množicami. Omeniti velja, da se je preučevanje teh povezav v delu (to delo je bilo opravljeno leta 1974 in poročalo na seminarju "Večdimenzionalna statistična analiza in verjetnostno modeliranje realnih procesov" 18. decembra 1974 - glej) začelo z uvedbo naključne množice za namen razvoja in generalizacijskega aparata mehkih množic L. Zadeh. Dejstvo je, da matematični aparat mehkih množic ne omogoča ustreznega upoštevanja različnih možnosti odvisnosti med koncepti (objekti), modeliranimi z njegovo pomočjo, ni dovolj prilagodljiv. Tako sta za opis "skupnega dela" dveh mehkih množic samo dve operaciji - produkt in presečišče. Če uporabimo prvo izmed njih, se dejansko predpostavlja, da se množice obnašajo kot projekcije neodvisnih naključnih množic (glej teorem 6 zgoraj). Operacija presečišča nalaga tudi dobro definirane omejitve glede vrste odvisnosti med množicami (glej izrek 7 zgoraj), v tem primeru pa so bili najdeni celo potrebni in zadostni pogoji. Zaželene so širše zmožnosti modeliranja odvisnosti med sklopi (koncepti, objekti). Uporaba matematičnega aparata naključnih nizov ponuja takšne možnosti.

Namen redukcije mehkih množic na naključne je videti za vsako konstrukcijo mehkih množic konstrukcijo naključnih množic, ki določa lastnosti prve, na enak način, kot vidimo naključno spremenljivko z gostoto porazdelitve verjetnosti. V tem razdelku predstavljamo rezultate redukcije algebre mehkih množic na algebro naključnih množic.

Definicija 4.Verjetnostni prostor { W, G, P)imenujemo deljivo, če za vsako merljivo množico X G in poljubno pozitivno število, manjši od P(X), lahko določimo merljivo množico tako, da

Primer. Naj bo enotska kocka končnodimenzionalnega linearnega prostora, G je sigma algebra Borelovih množic in p- Lebesgueova mera. Potem { W, G, P)- deljiv verjetnostni prostor.

Tako deljiv verjetnostni prostor ni eksotik. Navadna kocka je primer takšnega prostora.

Dokaz izjave, formulirane v primeru, je izveden s standardnimi matematičnimi tehnikami, ki temeljijo na dejstvu, da je mogoče merljivo množico čim bolj natančno aproksimirati z odprtimi množicami, pri čemer so slednje predstavljene kot vsota največ štetnega števila odprtih kroglic, pri kroglicah pa se deljivost preveri neposredno (od kroglice X prostorninsko telo, ločeno z ustrezno ravnino).

Izrek 8.Naj bo naključna množica A podana na deljivem verjetnostnem prostoru (W, G, P) z vrednostmi v množici vseh podmnožic množice Y iz končnega števila elementov in mehko množico D na Y. Potem so naključne množice C 1, C 2, C 3, C 4 na istem verjetnostnem prostoru, tako da

kjer je B = Proj A.

Dokaz. Zaradi veljavnosti De Morganovih zakonov za mehke (glej izrek 1 zgoraj) in za naključne množice ter zgornjega izreka 5 (o negacijah) zadostuje dokazati obstoj naključnih množic C 1 in C 2 .

Razmislite o porazdelitvi verjetnosti v množici vseh podmnožic množice U, ki ustreza naključnemu nizu Z tako da Projekt C = D(obstaja na podlagi izreka 3). Zgradimo naključen niz C 2 Izločimo element samo za iste množice Y tako, da

in poleg tega so rezultati teoretičnih operacij povezani s podobnimi razmerji

kjer znak pomeni, da je na zadevnem mestu simbol presečišča naključnih množic, če je v definiciji B m simbol presečišča ali simbol produkta mehkih množic, in temu primerno simbol unija naključnih množic, če je v B m unijski simbol ali simbol vsote mehkih množic.

Formule in zakoni logike

Med uvodno uro o osnove matematične logike, smo se seznanili z osnovnimi pojmi te veje matematike, sedaj pa tema dobiva naravno nadaljevanje. Poleg novega teoretičnega, bolje rečeno niti ne teoretičnega - ampak splošnega učnega gradiva, nas čakajo tudi praktične naloge in zato, če ste na to stran prišli iz iskalnika in/ali ste slabo seznanjeni s snovjo, sledite zgornji povezavi in začnite s prejšnjim členom. Poleg tega bomo za prakso potrebovali 5 tabele resnic logične operacije ki sem zelo priporočam prepisati ročno.

NE zapomni si, NE natisni ga, ampak ga raje dojami še enkrat in lastnoročno prepiši na papir - da ti bodo pred očmi:

– tabela NE;
– tabela I;
– miza ALI;
– implikacijska tabela;
– tabelo enakovrednosti.

Je zelo pomembno. Načeloma bi bilo priročno, da bi jih oštevilčili "Tabela 1", "Tabela 2" itd., vendar sem večkrat poudaril napako tega pristopa - kot pravijo, bo v enem viru tabela prva, v drugem pa sto in prva. Zato bomo uporabljali »naravna« imena. Nadaljujmo:

Pravzaprav ste že seznanjeni s konceptom logične formule. Dal vam bom standard, a precej duhovit definicija: formule propozicijske algebre imenujemo:

1) vse osnovne (preproste) izjave;

2) če sta in sta formuli, potem sta tudi formula izraza oblike
.

Drugih formul ni.

Zlasti je formula vsaka logična operacija, kot je logično množenje. Bodite pozorni na drugo točko - dovoljuje rekurzivno način za "ustvarjanje" poljubno dolge formule. Zaradi - formule, potem - tudi formula; ker in sta formuli, potem – tudi formula itd. Vsaka elementarna izjava (spet po definiciji) lahko vključite v formulo več kot enkrat.

Formula ne je na primer notacija - in tukaj je očitna analogija z "algebrskimi smetmi", iz katerih ni jasno, ali je treba številke dodati ali pomnožiti.

Logično formulo si lahko predstavljamo kot logična funkcija. Zapišimo isti veznik v funkcijski obliki:

Elementarni stavki v tem primeru igrajo tudi vlogo argumentov (neodvisnih spremenljivk), ki imajo lahko v klasični logiki dva pomena: prav oz laž. Spodaj bom zaradi priročnosti včasih imenoval preproste izjave spremenljivke.

Tabela, ki opisuje logično formulo (funkcijo), se imenuje, kot je bilo že napovedano, tabela resnice. Prosim – znana slika:

Načelo oblikovanja tabele resnic je naslednje: "na vhodu" morate navesti vse možne kombinacije resnice in laži, ki lahko sprejmejo elementarne izjave (argumente). V tem primeru formula vključuje dve izjavi in zlahka ugotovimo, da obstajajo štiri takšne kombinacije. "Na izhodu" dobimo ustrezne logične vrednosti celotne formule (funkcije).

Povedati je treba, da se je "izhod" tukaj izkazal za "v enem koraku", vendar je v splošnem primeru logična formula bolj zapletena. In v takih "težkih primerih" morate upoštevati vrstni red izvajanja logičnih operacij:

– najprej se izvede negacija;
– drugič – konjunkcija;
– nato – disjunkcija;
– potem implikacija;
– in končno, enakovrednost ima najnižjo prednost.

Tako na primer vnos pomeni, da morate najprej izvesti logično množenje in nato logično seštevanje: . Tako kot v »navadni« algebri – »najprej množimo, potem pa seštevamo«.

Vrstni red dejanj lahko spremenite na običajen način - z oklepaji:
– tukaj se najprej izvede disjunkcija in šele nato »močnejša« operacija.

Verjetno vsi razumejo, ampak za vsak slučaj gasilec: in to dva različna formule! (formalno in vsebinsko)

Ustvarimo tabelo resnic za formulo. Ta formula vključuje dva elementarna stavka in "na vhodu" moramo navesti vse možne kombinacije enic in ničel. Da bi se izognili zmedi in neskladjem, se strinjamo, da navedemo kombinacije strogo v tem vrstnem redu (ki ga dejansko uporabljam že od vsega začetka):

Formula vključuje dve logični operaciji in glede na njihovo prioriteto morate najprej izvesti zanikanje izjave. No, zavrnimo stolpec "pe" - enice spremenimo v ničle in ničle v enice:

V drugem koraku pogledamo stolpce in nanje apliciramo ALI delovanje. Če pogledam malo naprej, bom rekel, da je disjunkcija komutativna (in sta ista stvar), zato lahko stolpce analiziramo v običajnem vrstnem redu – od leve proti desni. Pri izvajanju logičnega seštevanja je priročno uporabiti naslednje uporabno sklepanje: "Če sta dve ničli, postavimo ničlo, če je vsaj ena ena, postavimo enoto.":

Tabela resnice je bila izdelana. Zdaj pa se spomnimo dobre stare implikacije:

... pozorno in pozorno ... gledam skupne stolpce .... V propozicionalni algebri se takšne formule imenujejo enakovreden oz enaka:

(tri vodoravne črte so ikona identitete)

V 1. delu lekcije sem obljubila, da bom implikacijo izrazila skozi osnovne logične operacije in izpolnitev obljube ni bila dolga! Tisti, ki želijo, lahko implikaciji dajo smiseln pomen (na primer "Če dežuje, je zunaj vlažno") in samostojno analizira enakovredno trditev.

Oblikujmo splošna definicija: obe formuli se imenujeta enakovreden (identičen), če sprejmejo enake vrednosti za kateri koli niz vrednosti, vključenih v te formule spremenljivk (elementarne izjave). Rečeno je tudi, da "formule so enakovredne, če njihove tabele resničnosti sovpadajo", vendar mi ta fraza ni ravno všeč.

1. vaja

Ustvarite tabelo resnic za formulo in se prepričajte, da je identiteta, ki jo poznate, pravilna.

Še enkrat ponovimo vrstni red reševanja problema:

1) Ker formula vključuje dve spremenljivki, bodo na voljo skupaj 4 možni nizi ničel in enic. Zapišemo jih v zgoraj navedenem vrstnem redu.

2) Posledice so »šibkejše« od veznikov, vendar so v oklepaju. Izpolnimo stolpec in priročno je uporabiti naslednje uporabno sklepanje: "če iz ene sledi ničla, potem postavimo nič, v vseh drugih primerih - ena". Nato izpolnite stolpec za posledice in hkrati pozor!– stolpce je treba analizirati »od desne proti levi«!

3) In na zadnji stopnji izpolnite zadnji stolpec. In tukaj je priročno razmišljati takole: "če sta v stolpcih dve enoti, potem postavimo eno, v vseh drugih primerih - nič".

In končno preverimo tabelo resnic enakovrednost .

Osnovne ekvivalentnosti propozicionalne algebre

Dva izmed njih smo pravkar spoznali, a zadeva seveda ni omejena le nanju. Identitet je kar nekaj in naštel bom najpomembnejše in najbolj znane med njimi:

Komutativnost konjunkcije in komutativnost disjunkcije

Komutativnost- to je zamenljivost:

Pravila, poznana iz 1. razreda: "Produkt (vsota) se ne spremeni s prerazporeditvijo faktorjev (seštevalci)". Toda kljub vsej navidezni elementarnosti te lastnosti ni vedno resnična, je nekomutativna matrično množenje (na splošno jih ni mogoče preurediti), A vektorski produkt vektorjev– antikomutativni (preureditev vektorjev povzroči spremembo predznaka).

In poleg tega želim tukaj ponovno poudariti formalizem matematične logike. Torej, na primer, fraze "Študent je opravil izpit in pil" in "Študent je pil in opravil izpit" drugačna z vsebinskega vidika, a nerazločljiva s stališča formalne resnice. ...Vsak izmed nas pozna take študente in iz etičnih razlogov ne bomo navajali konkretnih imen =)

Asociativnost logičnega množenja in seštevanja

Ali, če je "v šolskem slogu" - usklajevalna lastnost:

Distribucijske lastnosti

Upoštevajte, da bo v drugem primeru nepravilno govoriti o "odpiranju oklepajev"; v določenem smislu je to "fikcija" - navsezadnje jih je mogoče popolnoma odstraniti: , ker množenje je močnejša operacija.

In spet, te na videz "banalne" lastnosti niso izpolnjene v vseh algebrskih sistemih in poleg tega zahtevajo dokaz (o katerem bomo govorili zelo kmalu). Mimogrede, drugi distribucijski zakon ne velja niti v naši "navadni" algebri. In v resnici:

Zakon idempotence

Kaj storiti, latinski ...

Samo nekaj principa zdrave psihe: "Jaz in jaz sem jaz", "Jaz ali jaz sem tudi jaz" =)

In tukaj je več podobnih identitet:

... hmm, nekako sem obtičal ... zato se bom morda jutri zbudil z doktoratom =)

Zakon dvojne negacije

No, tukaj se nakazuje primer z ruskim jezikom - vsi dobro vedo, da dva delca "ne" pomenita "da". In da bi povečali čustveno konotacijo zanikanja, se pogosto uporabljajo trije "ne":
– tudi z majhnim dokazom je delovalo!

Zakoni absorpcije

- "Je bil fant?" =)

V desni identiteti lahko oklepaje izpustimo.

De Morganovi zakoni

Recimo, da je strog učitelj (čigar ime tudi poznate :)) opravi izpit, če - Dijak je odgovoril na 1. vprašanje in – Dijak je odgovoril na 2. vprašanje. Potem izjava, ki pravi, da študent ne opravil izpit, bo enakovredna izjavi – študent ne odgovoril na 1. vprašanje oz na 2. vprašanje.

Kot je navedeno zgoraj, so enakovrednosti predmet dokaza, ki se običajno izvede z uporabo tabel resnic. Pravzaprav smo že dokazali enakovrednosti, ki izražajo implikacijo in enakovrednost, zdaj pa je čas, da utrdimo tehniko za reševanje tega problema.

Dokažimo identiteto. Ker vključuje en sam stavek, sta na vhodu le dve možni možnosti: ena ali nič. Nato dodelimo en stolpec in ga uporabimo pravilo I:

Posledično je rezultat formula, katere resničnost sovpada z resničnostjo izjave. Enakovrednost je bila dokazana.

Ja, ta dokaz je primitiven (in nekateri bodo rekli "neumen"), a tipičen učitelj matematike bo stresel dušo zanj. Zato tudi tako preprostih stvari ne bi smeli obravnavati z zaničevanjem.

Zdaj pa preverimo na primer veljavnost de Morganovega zakona.

Najprej ustvarimo tabelo resnic za levo stran. Ker je disjunkcija v oklepaju, jo najprej izvedemo, nato pa negiramo stolpec:

Nato ustvarimo tabelo resnic za desno stran. Tudi tukaj je vse pregledno - najprej izvedemo "močnejše" negacije, nato jih uporabimo v stolpcih pravilo I:

Rezultati so sovpadali, zato je bila identiteta dokazana.

Vsako enakovrednost je mogoče predstaviti v obliki identična pravi formuli. To pomeni, da ZA KATERIKOLI začetni niz ničel in enic"Izhod" je strogo en. In za to obstaja zelo preprosta razlaga: ker resnični tabeli sovpadata, potem sta seveda enakovredni, povežimo na primer levo in desno stran pravkar dokazane de Morganove identitete z enakovrednostjo:

Ali bolj strnjeno:

Naloga 2

Dokažite naslednje enakovrednosti:

Kratka rešitev na koncu lekcije. Ne bodimo leni! Poskusite ne samo ustvariti tabele resnic, ampak tudi jasno oblikovati zaključke. Kot sem nedavno opazil, je lahko zanemarjanje preprostih stvari zelo, zelo drago!

Nadaljujmo s spoznavanjem zakonov logike!

Da, popolnoma drži – z njimi že trdo delamo:

Prav pri , poklical identična pravi formuli oz zakon logike.

Zaradi predhodno utemeljenega prehoda od enakovrednosti k identično resnični formuli vse zgoraj naštete identitete predstavljajo zakone logike.

Formula, ki ima vrednost laž pri kateri koli niz vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene, poklical enako napačna formula oz protislovje.

Značilen primer protislovja iz starih Grkov:
- nobena izjava ne more biti resnična in napačna hkrati.

Dokaz je trivialen:

"Izhod" vsebuje samo ničle, zato je formula resnična identično lažno.

Vendar pa je vsako protislovje tudi zakon logike, zlasti:

V enem samem članku je nemogoče zajeti tako obsežno temo, zato se bom omejil le na nekaj zakonov:

Zakon izključene sredine

– v klasični logiki je vsaka izjava resnična ali napačna in tretje možnosti ni. "Biti ali ne biti" - to je vprašanje.

Sami naredite znak resnice in se prepričajte, da je enako res formula.

Zakon kontrapozicije

O tem zakonu se je aktivno razpravljalo, ko smo razpravljali o bistvu potreben pogoj, spomnimo se: "Če je zunaj vlažno, ko dežuje, potem sledi, da če je zunaj suho, potem zagotovo ni deževalo.".

Iz tega zakona tudi izhaja, da če je pošteno naravnost izrek, nato izjava, ki se včasih imenuje nasprotje izrek.

Če je res vzvratno izrek, potem je na podlagi zakona kontrapozicije veljaven tudi izrek, nasprotno od obratnega:

In spet se vrnimo k našim smiselnim primerom: za izjave – število je deljivo s 4, – število je deljivo z 2 pošteno naravnost in nasprotje izreki, vendar napačni vzvratno in nasprotno od obratnega izreki. Za "odraslo" formulacijo Pitagorovega izreka veljajo vse 4 "smeri".

Zakon silogizma

Tudi klasika žanra: "Vsi hrasti so drevesa, vsa drevesa so rastline, zato so vsi hrasti rastline.".

No, tukaj bi spet rad opozoril na formalizem matematične logike: če naš strogi Učitelj misli, da je določen Učenec hrast, potem je s formalnega vidika ta Učenec zagotovo rastlina =) ... čeprav, če pomislite, potem pa morda tudi z neformalnega vidika = )

Ustvarimo tabelo resnic za formulo. V skladu s prioriteto logičnih operacij se držimo naslednjega algoritma:

1) izvajamo implikacije in . Na splošno lahko takoj izvedete 3. implikacijo, vendar je bolj priročno (in sprejemljivo!) ugotovite malo kasneje;

2) velja za stolpce pravilo I;

3) zdaj izvajamo;

4) in v zadnjem koraku uporabimo implikacijo za stolpce In .

Prosto nadzorujte postopek s kazalcem in sredincem :))

Iz zadnjega stolpca mislim, da je vse jasno brez komentarja:
, kar je bilo treba dokazati.

Naloga 3

Ugotovite, ali je naslednja formula zakon logike:

Kratka rešitev na koncu lekcije. Aja, pa skoraj bi pozabil – dogovorimo se, da prvotne nize ničel in enic navedemo v popolnoma enakem vrstnem redu kot pri dokazovanju zakona silogizma. Črte je seveda mogoče preurediti, vendar bo to zelo težko primerljivo z mojo rešitvijo.

Pretvarjanje logičnih formul

Poleg njihovega "logičnega" namena se ekvivalenti pogosto uporabljajo za preoblikovanje in poenostavljanje formul. V grobem lahko en del identitete zamenjamo za drugega. Torej, na primer, če v logični formuli naletite na fragment, potem v skladu z zakonom idempotence namesto njega lahko (in bi morali) napisati preprosto. Če vidite, potem v skladu z zakonom absorpcije poenostavite zapis na. In tako naprej.

Poleg tega je pomembna še ena stvar: identitete ne veljajo samo za elementarne izjave, temveč tudi za poljubne formule. Na primer:

, kjer – katerikoli (kolikor želite) formule.

Preoblikujemo na primer kompleksno implikacijo (1. identiteta):

Nato uporabimo "kompleksni" de Morganov zakon za oklepaj in zaradi prioritete operacij je to zakon, kjer :

Oklepaj se lahko odstrani, ker notri je "močnejša" konjunkcija:

No, s komutativnostjo je na splošno vse preprosto - sploh vam ni treba ničesar označiti ... nekaj o zakonu silogizma mi je padlo v dušo :))

Tako je zakon mogoče prepisati v bolj zapleteni obliki:

Povejte na glas logično verigo »s hrastom, drevesom, rastlino« in razumeli boste, da se vsebinski pomen zakona s preurejanjem implikacij ni prav nič spremenil. Le da je besedilo postalo bolj izvirno.

Kot vadbo poenostavimo formulo.

Kje začeti? Najprej razumejte vrstni red dejanj: tukaj se zanikanje nanaša na celoten oklepaj, ki je na stavek "pritrjen" z "nekoliko šibkejšim" veznikom. V bistvu imamo pred seboj logični produkt dveh faktorjev: . Od preostalih dveh operacij ima implikacija najnižjo prednost, zato ima celotna formula naslednjo strukturo: .

Običajno je prvi korak(-i) znebiti se enakovrednosti in implikacije (če so) in reducirajte formulo na tri osnovne logične operacije. Kaj lahko rečem... Logično.

(1) Uporabljamo identiteto . In v našem primeru.

Temu običajno sledijo “showdowni” z oklepaji. Najprej celotna rešitev, potem komentarji. Da bi se izognil "maslu in maslu", bom uporabil "navadne" simbole za enakost: