Prostornina nagnjene prizme
Vse prizme delimo na naravnost in nagnjen .
Ravna prizma, osnova
ki služi pravilnemu
imenujemo mnogokotnik
pravilno prizma.
Lastnosti pravilne prizme:
1. Osnove pravilne prizme so pravilni mnogokotniki. 2. Stranski ploskvi pravilne prizme sta enaka pravokotnika. 3. Stranska robova pravilne prizme sta enaka .
Prerez PRIZME.
Ortogonalni prerez prizme je prerez, ki ga tvori ravnina, pravokotna na stranski rob.
Stranska površina prizme je enaka zmnožku obsega pravokotnega odseka in dolžine stranskega roba.
S b =P severno odsek C
1. Razdalje med poševnimi rebri
trikotne prizme so enake: 2cm, 3cm in 4cm
Stranska površina prizme je 45 cm 2 .Poiščite njegov stranski rob.
rešitev:
V pravokotnem izrezu prizme je trikotnik, katerega obseg je 2+3+4=9
To pomeni, da je stranski rob enak 45:9 = 5 (cm)
Poiščite neznane elemente
navaden trikotnik
Prizme
po elementih, navedenih v tabeli.
ODGOVORI.
Hvala za lekcijo.
Domača naloga.
Volumen je značilnost vsake figure, ki ima v vseh treh dimenzijah prostora neničelne dimenzije. V tem članku si bomo z vidika stereometrije (geometrije prostorskih likov) ogledali prizmo in pokazali, kako najti prostornine različnih vrst prizem.
Stereometrija ima na to vprašanje natančen odgovor. Prizmo razumemo kot figuro, ki jo sestavljata dve mnogokotni enaki ploskvi in več paralelogramov. Spodnja slika prikazuje štiri različne prizme.
Vsakega od njih lahko dobite na naslednji način: vzeti morate mnogokotnik (trikotnik, štirikotnik itd.) In segment določene dolžine. Nato je treba vsako točko poligona prenesti z vzporednimi segmenti na drugo ravnino. V novi ravnini, ki bo vzporedna s prvotno, dobimo nov poligon, podoben prvotno izbranemu.
Prizme so lahko različnih vrst. Torej so lahko ravne, nagnjene in pravilne. Če je stranski rob prizme (odsek, ki povezuje oglišča baz) pravokoten na osnove figure, potem je slednja ravna. V skladu s tem, če ta pogoj ni izpolnjen, potem govorimo o nagnjeni prizmi. Pravilna figura je ravna prizma z enakokotno in enakostranično osnovo.
Prostornina pravilnih prizem
Začnimo z najpreprostejšim primerom. Navedimo formulo za prostornino pravilne prizme z n-kotno osnovo. Formula prostornine V za katero koli figuro obravnavanega razreda ima naslednjo obliko:
To pomeni, da je za določitev prostornine dovolj, da izračunate površino ene od baz S o in jo pomnožite z višino h figure.
Pri pravilni prizmi s črko a označimo dolžino stranice njene osnove, s črko h pa višino, ki je enaka dolžini stranskega roba. Če je osnova pravilen n-kotnik, je za izračun njegove površine najlažje uporabiti naslednjo univerzalno formulo:
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
Če v enačbo nadomestite število stranic n in dolžino ene stranice a, lahko izračunate površino n-gonalne osnove. Upoštevajte, da je kotangens tukaj izračunan za kot pi/n, ki je izražen v radianih.
Ob upoštevanju enakosti, zapisane za S n, dobimo končno formulo za prostornino pravilne prizme:
V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Za vsak konkreten primer lahko napišete ustrezne formule za V, vendar vse nedvoumno sledijo iz zapisanega splošnega izraza. Na primer, za pravilno štirikotno prizmo, ki je v splošnem primeru pravokoten paralelepiped, dobimo:
V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Če v tem izrazu vzamemo h=a, potem dobimo formulo za prostornino kocke.
Prostornina ravnih prizem
Naj takoj opozorimo, da za ravne figure ni splošne formule za izračun prostornine, ki je bila navedena zgoraj za običajne prizme. Pri iskanju obravnavane vrednosti je treba uporabiti izvirni izraz:
Tukaj je h dolžina stranskega roba, kot v prejšnjem primeru. Kar zadeva osnovno površino S o, lahko zavzame različne vrednosti. Problem izračuna prostornine ravne prizme se zmanjša na iskanje površine njene osnove.
Izračun vrednosti S o je treba izvesti na podlagi značilnosti same baze. Na primer, če je trikotnik, potem lahko površino izračunate takole:
Tukaj je h a apotem trikotnika, to je njegova višina, spuščena na osnovo a.
Če je osnova štirikotnik, potem je lahko trapez, paralelogram, pravokotnik ali popolnoma poljuben tip. Za vse te primere morate za določitev območja uporabiti ustrezno planimetrično formulo. Na primer, za trapez je ta formula videti takole:
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a.
Kjer je h a višina trapeza, a 1 in a 2 sta dolžini njegovih vzporednih stranic.
Za določitev površine poligonov višjega reda jih razdelite na enostavne figure (trikotnike, štirikotnike) in izračunajte vsoto ploščin slednjih.
Prostornina nagnjenih prizem
To je najtežji primer izračuna prostornine prizme. Za takšne številke velja tudi splošna formula:
Vendar pa je težavam pri iskanju površine baze, ki predstavlja poligon katere koli vrste, dodan problem določanja višine figure. V nagnjeni prizmi je vedno manjša od dolžine stranskega roba.
To višino najlažje najdemo, če poznamo katerikoli kot figure (ravni ali diedrski). Če je takšen kot podan, potem morate z njim sestaviti pravokotni trikotnik znotraj prizme, ki bi vseboval višino h kot eno od stranic in s pomočjo trigonometričnih funkcij in Pitagorovega izreka poiskati vrednost h.
Geometrijski problem za določanje volumna
Dana je pravilna prizma s trikotno osnovo, ki ima višino 14 cm in dolžino stranice 5 cm. Kolikšna je prostornina trikotne prizme?
Ker govorimo o pravilni številki, imamo pravico uporabiti dobro znano formulo. Imamo:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Trikotna prizma je precej simetrična figura, katere oblika se pogosto uporablja v različnih arhitekturnih strukturah. Ta steklena prizma se uporablja v optiki.
Koncept prizme. Formule za prostornino prizem različnih vrst: pravilne, ravne in poševne. Reševanje težave - vse o potovanju na spletno mesto
Katerih ploskvi sta skladna mnogokotnika, ki ležita v vzporedne ravnine, preostale ploskve pa so paralelogrami, ki imajo s temi mnogokotniki skupne stranice. Te paralelograme imenujemo stranske ploskve prizme, preostala dva mnogokotnika pa njene osnove.
Prizma je poseben primer valja. Paralelepiped je poseben primer prizme.
Prizma ima naslednje lastnosti:
Vsak prerez prizme z ravnino, ki je vzporedna z njeno osnovo, razdeli to prizmo na dve prizmi, tako da je razmerje stranskih ploskev in razmerje prostornin teh prizem enako razmerju dolžin njihovih stranskih robov. Vsak prerez prizme z ravnino, ki je vzporedna z njenim stranskim robom, razdeli to prizmo na dve prizmi, tako da je razmerje med prostorninama teh prizem enako razmerju dolžin njihovih stranskih robov. Vsak prerez prizme z ravnino, ki je vzporedna z njenim stranskim robom, deli to prizmo na dve prizmi, tako da je razmerje med prostorninama teh prizem enako razmerju ploščin njihove baze.
Vrste prizem
Ravna prizma. Stranska rebra ravne prizme pravokotno na ravnino razlogov.
Poševna prizma. Stranski robovi nagnjene prizme se glede na osnovno ravnino nahajajo pod kotom, ki se razlikuje od $90^\circ$.
Pravilna prizma. Osnova prave prizme je pravilen mnogokotnik. Njegove stranske ploskve so enaki pravokotniki.
Polpravilni polieder je pravilna prizma, katere stranske ploskve so kvadrati.
Prostornina ravne prizme
Za izpeljavo formule za izračun volumna navadne prizme vzemimo prizmo s trikotnikom na dnu. Zgradimo ga do pravokotnega paralelepipeda (slika 1).
Slika 1. Tetraeder podaljšan v paralelepiped
Iz prejšnjega poglavja vemo, da je prostornina pravokotnega paralelepipeda enaka:
Ker nastali paralelopiped je sestavljen iz prvotne prizme in prizme enake prostornine, potem bo prostornina prvotne prizme enaka
pri čemer so $a$, $b$, $c$ dolžine stranic $AB$, $BC$, $AC$, njihov produkt pa je enak ploščini osnove prvotne prizme, nato v splošni obliki zapišemo formulo za iskanje prostornine ravne prizme:
kjer je $S_(main)$ ploščina dna prizme, $H$ je višina, narisana na dno prizme.
Ta formula velja za ravno prizmo s poljubnim mnogokotnikom na dnu.
Prostornina nagnjene prizme
Če želite izpeljati formulo za iskanje prostornine nagnjene prizme, upoštevajte trikotno nagnjeno prizmo $ABCDFE$. Skozi rob $DC$ narišimo ravnino $\alpha $, pravokotno na osnovo $ABCD$ prvotne prizme, in zgradimo trikotno prisekano prizmo (slika 2).
Slika 2. Nagnjena prizma, ravnina $\alpha $
Zdaj skozi rob $AB$ narišemo ravnino $\beta $ vzporedno z ravnino $\alpha $ (slika 3).
Slika 3. Nagnjena prizma, ravnini $\alpha $ in $\beta $
Če to transformacijo ponovno uporabimo za nagnjene ploskve, bomo dobili prizmo, v kateri so vse stranske ploskve pravokotne na osnovo. Ponovno je rezultat ravna prizma.
Če je podvržena podobni transformaciji (najprej dopolnjena s prvo prisekano prizmo, nato odrezana druga prisekana prizma), se dokončane in odrezane prizme združijo z vzporednim prenosom v odsek črte$AB$. Iz tega sledi, da imata figuri enako prostornino.
Posledično je prostornina konstruirane ravne prizme enaka prostornini prvotne nagnjene.
Prostornina nagnjene prizme je enaka zmnožku ploščine osnove in višine:
Zaključek
Prostornina katere koli prizme (poševne in ravne) se določi po formuli:
kjer je $a\cdot b$ ploščina baze, $c$ je višina prizme.
Definicija prizme:
А1А2…АnВ1В2Вn– prizma
Mnogokotnika A1A2…An in B1B2…Bn – osnova prizme
Paralelogrami А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – stranski obrazi
Oddelki A1B1, A2B2…АnBn – stranska rebra prizme
Vrste prizem
Šesterokotna trikotna štirikotna prizma prizma prizma
Poševna in ravna prizma
Če so stranski robovi prizme pravokotni na osnovo, se imenuje prizma naravnost , drugače - nagnjen .
Pravilna prizma
Prizma se imenuje pravilno , če je ravna in so njene osnove pravilni mnogokotniki.
Skupna površina prizme
Bočna površina prizme
Izrek
Bočna površina ravne prizme je enaka polovici zmnožka obsega osnove in višine prizme.
Prostornina nagnjene prizme
Izrek
Prostornina nagnjene prizme je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.
Dokaz
Dokaz
Najprej dokažimo izrek za trikotno prizmo, nato pa še za poljubno prizmo.
1. Razmislite o trikotni prizmi z volumnom V, osnovno ploščino S in višino h. Na eni od osnov prizme označimo točko O in usmerimo os Ox pravokotno na osnovo. Oglejmo si presek prizme z ravnino, pravokotno na os Ox in torej vzporedno z ravnino baze. Označimo s črko x absciso točke presečišča te ravnine z osjo Ox in s S (x) območje nastalega odseka.
Dokažimo, da je ploščina S (x) enaka ploščini S baze prizme. Če želite to narediti, upoštevajte, da sta trikotnika ABC (osnova prizme) in A1B1C1 (prerez prizme z obravnavano ravnino) enaka. Pravzaprav je štirikotnik AA1BB1 paralelogram (odseka AA1 in BB1 sta enaka in vzporedna), zato je A1B1 = AB. Podobno je dokazano, da je B1C1 = BC in A1C1 = AC. Torej sta trikotnika A1B1C1 in ABC enaka na treh stranicah. Zato je S(x)=S. Če zdaj uporabimo osnovno formulo za izračun prostornine teles pri a=0 in b=h, dobimo
2. h h h, S S*h. Izrek je dokazan.
2. Dokažimo zdaj izrek za poljubno prizmo z višino h in osnovno ploščino S. Tako prizmo lahko razdelimo na trikotne prizme s skupno višino h. Izrazimo prostornino vsake trikotne prizme s formulo, ki smo jo dokazali, in te prostornine seštejmo. Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja h, dobimo v oklepaju vsoto ploščin baz trikotnih prizem, tj. S osnove originalne prizme. Tako je prostornina prvotne prizme enaka S*h. Izrek je dokazan.
