Obseg formule pravokotne trikotne prizme. Prostornina splošne trikotne prizme

Prostornina prizme. Reševanje problema

Geometrija je najmočnejše sredstvo za izostritev naših mentalnih sposobnosti in nam omogoča pravilno razmišljanje in sklepanje.

G. Galilej

Namen lekcije:

• poučevati reševanje nalog o računanju prostornine prizem, povzemati in sistematizirati informacije, ki jih imajo učenci o prizmi in njenih elementih, razvijati zmožnost reševanja problemov povečane kompleksnosti;
• razvijajo logično mišljenje, sposobnost samostojnega dela, veščine medsebojnega nadzora in samokontrole, sposobnost govora in poslušanja;
• razviti navado nenehne zaposlitve v koristni dejavnosti, spodbujati odzivnost, trdo delo in natančnost.

Vrsta lekcije: lekcija o uporabi znanja, spretnosti in spretnosti.

Oprema: kontrolne kartice, medijski projektor, predstavitev "Lekcija. Prism Volume«, računalniki.

Med poukom

• Stranska rebra prizme (sl. 2).
• Stranska površina prizme (slika 2, slika 5).
• Višina prizme (slika 3, slika 4).
• Ravna prizma (slika 2,3,4).
• Nagnjena prizma (slika 5).
• Pravilna prizma (slika 2, slika 3).
• Diagonalni prerez prizme (slika 2).
• Diagonala prizme (slika 2).
• Pravokotni prerez prizme (sl. 3, sl. 4).
• Bočna površina prizme.
• Celotna površina prizme.
• Prostornina prizme.

1. PREVERJANJE DOMAČE NALOGE (8 min)

Zamenjajte zvezke, preverite rešitev na prosojnicah in jo označite (označite 10, če je naloga sestavljena)

Na podlagi slike sestavi nalogo in jo reši. Učenec zagovarja nalogo, ki jo je sestavil pri tabli. Slika 6 in Slika 7.





Poglavje 2, §3
Problem.2. Dolžine vseh robov pravilne trikotne prizme so med seboj enake. Izračunaj prostornino prizme, če je njena površina cm 2 (slika 8)



Poglavje 2, §3
Naloga 5. Osnovica prave prizme ABCA 1B 1C1 je pravokotni trikotnik ABC (kot ABC=90°), AB=4cm. Izračunaj prostornino prizme, če je polmer okrog trikotnika ABC kroga 2,5 cm, višina prizme pa 10 cm. (Slika 9).



Poglavje 2, §3
Naloga 29. Dolžina stranice osnove pravilne štirikotne prizme je 3 cm. Diagonala prizme tvori z ravnino stranske ploskve kot 30°. Izračunaj prostornino prizme (slika 10).



2. Sodelovanje med učiteljem in razredom (2-3 min.).

Namen: povzetek rezultatov teoretičnega ogrevanja (učenci se med seboj ocenjujejo), učenje reševanja problemov na temo.

3. FIZIČNA MINUTA (3 min)
4. REŠEVANJE PROBLEMOV (10 min)

Na tej stopnji učitelj organizira frontalno delo na ponavljanju metod za reševanje planimetričnih problemov in planimetričnih formul. Razred je razdeljen v dve skupini, nekateri rešujejo naloge, drugi delajo za računalnikom. Potem se spremenijo. Učence prosimo, da rešijo vse št. 8 (ustno), št. 9 (ustno). Nato se razdelijo v skupine in nadaljujejo z reševanjem nalog št. 14, št. 30, št. 32.

Poglavje 2, §3, strani 66-67

Problem 8. Vsi robovi pravilne trikotne prizme so med seboj enaki. Poiščite prostornino prizme, če je površina prečnega prereza ravnine, ki poteka skozi rob spodnje podlage in sredino stranice zgornje podlage, enaka cm (slika 11).



Poglavje 2, § 3, strani 66-67
Naloga 9. Osnova ravne prizme je kvadrat, njeni stranski robovi pa so dvakrat večji od stranice baze. Izračunajte prostornino prizme, če je polmer kroga, ki ga v bližini preseka prizme opisuje ravnina, ki poteka skozi stran podnožja in sredino nasprotnega stranskega roba, enak cm (slika 12).



Poglavje 2, § 3, strani 66-67
Problem 14 Osnova ravne prizme je romb, katerega ena od diagonal je enaka njeni stranici. Izračunajte obseg odseka z ravnino, ki poteka skozi veliko diagonalo spodnje osnove, če je prostornina prizme enaka in so vse stranske ploskve kvadrati (slika 13).



Poglavje 2, § 3, strani 66-67
Problem 30 ABCA 1 B 1 C 1 je pravilna trikotna prizma, katere vsi robovi so med seboj enaki, točka je sredina roba BB 1. Izračunajte polmer kroga, včrtanega v presek prizme z ravnino AOS, če je prostornina prizme enaka (slika 14).



Poglavje 2, § 3, strani 66-67
Problem 32 V pravilni štirikotni prizmi je vsota površin baz enaka površini stranske površine. Izračunajte prostornino prizme, če je premer kroga, ki ga v bližini preseka prizme opisuje ravnina, ki poteka skozi dve oglišči spodnje osnovke in nasprotno oglišče zgornje osnovke, 6 cm (slika 15).



Med reševanjem nalog učenci svoje odgovore primerjajo z odgovori učitelja. To je vzorčna rešitev problema s podrobnimi komentarji ... Individualno delo učitelja z »močnimi« učenci (10 min.).

5. Učenci samostojno delajo na testu za računalnikom

1. Stranica osnove pravilne trikotne prizme je enaka , višina pa 5. Poiščite prostornino prizme.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Izberite pravilno trditev.

1) Prostornina prave prizme, katere osnova je pravokotni trikotnik, je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.

2) Prostornino pravilne trikotne prizme izračunamo po formuli V = 0,25a 2 h - kjer je a stranica baze, h je višina prizme.

3) Prostornina ravne prizme je enaka polovici produkta ploščine osnove in višine.

4) Prostornina pravilne štirikotne prizme se izračuna po formuli V = a 2 h-kjer je a stranica baze, h je višina prizme.

5) Prostornino pravilne šestkotne prizme izračunamo po formuli V = 1,5a 2 h, kjer je a stranica baze, h je višina prizme.

3. Stranica osnovke pravilne trikotne prizme je enaka . Skozi stranico spodnje osnove in nasprotno oglišče zgornje osnove narišemo ravnino, ki poteka pod kotom 45° na osnovo. Poiščite prostornino prizme.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Osnova prave prizme je romb, katerega stranica je 13, ena od diagonal pa 24. Poiščite prostornino prizme, če je diagonala stranske ploskve enaka 14.

V šolskem učnem načrtu za tečaj stereometrije se preučevanje tridimenzionalnih figur običajno začne s preprostim geometrijskim telesom - poliedrom prizme. Vlogo njegovih baz opravljata 2 enaka poligona, ki ležita v vzporednih ravninah. Poseben primer je pravilna štirikotna prizma. Njegove osnove so 2 enaka pravilna štirikotnika, na katere so stranice pravokotne in imajo obliko paralelogramov (ali pravokotnikov, če prizma ni nagnjena).

Kako izgleda prizma?

Pravilna štirikotna prizma je šesterokotnik, katerega osnovi sta 2 kvadrata, stranske ploskve pa so predstavljene s pravokotniki. Drugo ime za to geometrijsko figuro je ravni paralelopiped.

Spodaj je prikazana risba, ki prikazuje štirikotno prizmo.

Vidite tudi na sliki najpomembnejši elementi, ki sestavljajo geometrijsko telo. Tej vključujejo:

Včasih lahko v geometrijskih problemih naletite na koncept odseka. Definicija bo zvenela takole: odsek so vse točke volumetričnega telesa, ki pripadajo rezalni ravnini. Odsek je lahko pravokoten (seka robove figure pod kotom 90 stopinj). Pri pravokotni prizmi se upošteva tudi diagonalni odsek (največje število odsekov, ki jih je mogoče sestaviti je 2), ki poteka skozi 2 robova in diagonali baze.

Če je prerez narisan tako, da sekalna ravnina ni vzporedna ne z osnovami ne s stranskimi ploskvami, je rezultat prisekana prizma.

Za iskanje pomanjšanih prizmatičnih elementov se uporabljajo različne relacije in formule. Nekateri od njih so znani iz tečaja planimetrije (na primer, če želite najti površino osnove prizme, je dovolj, da se spomnite formule za površino kvadrata).

Površina in prostornina

Če želite določiti prostornino prizme s formulo, morate poznati površino njene osnove in višine:

V = Sbas h

Ker je osnova pravilne tetraedrske prizme kvadrat s stranico a, Formulo lahko zapišete v podrobnejši obliki:

V = a²·h

Če govorimo o kocki - pravilni prizmi z enako dolžino, širino in višino, se prostornina izračuna na naslednji način:

Da bi razumeli, kako najti stransko površino prizme, si morate predstavljati njen razvoj.

Iz risbe je razvidno, da je stranska ploskev sestavljena iz 4 enakih pravokotnikov. Njegova površina se izračuna kot zmnožek obsega osnove in višine figure:

Sstran = Posn h

Ob upoštevanju, da je obseg kvadrata enak P = 4a, formula ima obliko:

Sstran = 4a h

Za kocko:

S stran = 4a²

Če želite izračunati skupno površino prizme, morate stranski površini dodati 2 osnovni površini:

Polna = Sstran + 2Sglavna

Glede na štirikotno pravilno prizmo je formula videti takole:

Skupaj = 4a h + 2a²

Za površino kocke:

Polno = 6a²

Če poznate prostornino ali površino, lahko izračunate posamezne elemente geometrijskega telesa.

Iskanje elementov prizme

Pogosto se pojavljajo naloge, pri katerih je podana prostornina ali je znana vrednost bočne površine, kjer je treba določiti dolžino stranice baze ali višino. V takih primerih je mogoče izpeljati formule:

• dolžina osnovne stranice: a = S stran / 4h = √(V / h);
• višina ali dolžina stranskega rebra: h = S stran / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V / h;
• stransko območje obraza: Stran gr = Sstran / 4.

Če želite ugotoviti, koliko površine ima diagonalni odsek, morate poznati dolžino diagonale in višino figure. Za kvadrat d = a√2. Zato:

Sdiag = ah√2

Za izračun diagonale prizme uporabite formulo:

dnagrada = √(2a² + h²)

Če želite razumeti, kako uporabiti dane odnose, lahko vadite in rešite več preprostih nalog.

Primeri problemov z rešitvami

Tukaj je nekaj nalog, ki jih najdemo na državnem maturi iz matematike.

1. vaja.

Pesek se nasuje v škatlo v obliki pravilne štirikotne prizme. Višina njegove gladine je 10 cm. Kakšna bo gladina peska, če jo premaknete v posodo enake oblike, vendar z dvakrat daljšim dnom?

To je treba obrazložiti na naslednji način. Količina peska v prvi in ​​drugi posodi se ni spremenila, to pomeni, da je njegova prostornina v njih enaka. Dolžino osnove lahko označite z a. V tem primeru bo za prvo škatlo prostornina snovi:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugo škatlo je dolžina osnove 2a, vendar višina gladine peska ni znana:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Zaradi V₁ = V₂, lahko enačimo izraze:

10a² = 4ha²

Po zmanjšanju obeh strani enačbe za a² dobimo:

Posledično bo nova raven peska h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Naloga 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Znano je, da je BD = AB₁ = 6√2. Poiščite skupno površino telesa.

Da bi lažje razumeli, kateri elementi so znani, lahko narišete sliko.

Ker govorimo o pravilni prizmi, lahko sklepamo, da je na dnu kvadrat z diagonalo 6√2. Diagonala stranske ploskve je enake velikosti, zato ima tudi stranska ploskev obliko kvadrata, ki je enaka osnovi. Izkazalo se je, da so vse tri dimenzije - dolžina, širina in višina - enake. Sklepamo lahko, da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dolžina katerega koli roba je določena z znano diagonalo:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celotno površino dobimo s formulo za kocko:

Polno = 6a² = 6 6² = 216

Naloga 3.

Sobo prenavljajo. Znano je, da ima njegova tla obliko kvadrata s površino 9 m². Višina sobe je 2,5 m. Kakšna je najnižja cena lepljenja sobe, če 1 m² stane 50 rubljev?

Ker so tla in strop kvadrati, torej pravilni štirikotniki, stene pa so pravokotne na vodoravne površine, lahko sklepamo, da gre za pravilno prizmo. Treba je določiti površino njegove stranske površine.

Dolžina sobe je a = √9 = 3 m.

Območje bo prekrito s tapetami Sstran = 4 3 2,5 = 30 m².

Najnižji stroški ozadja za to sobo bodo 50·30 = 1500 rubljev

Tako je za reševanje problemov, ki vključujejo pravokotno prizmo, dovolj, da znamo izračunati površino in obseg kvadrata in pravokotnika, pa tudi poznati formule za iskanje prostornine in površine.

Kako najti območje kocke

Posebej narišimo osnovo prizme, to je trikotnik ABC (sl. 307, a), in jo zgradimo do pravokotnika, za katerega narišemo premico KM skozi oglišče B || AC in iz točk A in C na to premico spustimo navpičnici AF in CE. Dobimo pravokotnik ACEF. Če narišemo višino ВD trikotnika ABC, vidimo, da je pravokotnik ACEF razdeljen na 4 pravokotne trikotnike. Poleg tega \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD in \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. To pomeni, da je ploščina pravokotnika ACEF dvakrat večja od ploščine trikotnika ABC, tj. enaka 2S.

Na to prizmo z osnovo ABC bomo pritrdili prizme z osnovo ALL in BAF ter višino h(Sl. 307, b). Dobimo pravokotni paralelepiped z ACEF osnovo.

Če razčlenimo ta paralelepiped z ravnino, ki poteka skozi premici BD in BB’, bomo videli, da je pravokotni paralelepiped sestavljen iz 4 prizem z osnovami BCD, ALL, BAD in BAF.

Prizme z osnovama BCD in BC lahko kombiniramo, saj sta njuni bazi enaki (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) in sta jima enaki stranski robovi, ki sta pravokotni na isto ravnino. To pomeni, da sta prostornini teh prizem enaki. Tudi prostornini prizem z bazama BAD in BAF sta enaki.

Tako se izkaže, da je prostornina dane trikotne prizme z osnovo ABC polovica prostornine pravokotnega paralelepipeda z osnovo ACEF.

Vemo, da je prostornina pravokotnega paralelepipeda enaka zmnožku ploščine njegove osnove in višine, tj. v tem primeru je enaka 2S h. Zato je prostornina te prave trikotne prizme enaka S h.

Prostornina pravilne trikotne prizme je enaka zmnožku ploščine njene osnove in njene višine.

2. Prostornina pravilne mnogokotne prizme.

Če osnovne površine trikotnih prizem označimo s S 1, S 2 in S 3, prostornino dane mnogokotne prizme pa z V, dobimo:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, oz

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

In končno: V = S h.

Na enak način je izpeljana formula za prostornino pravilne prizme s poljubnim mnogokotnikom na njenem dnu.

pomeni, Prostornina katere koli prave prizme je enaka zmnožku ploščine njene osnove in njene višine.

Prostornina prizme

Izrek. Prostornina prizme je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.

Najprej dokažemo ta izrek za trikotno prizmo, nato pa za mnogokotno.

1) Skozi rob AA 1 trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1 narišimo (slika 95) ravnino, vzporedno s ploskvijo BB 1 C 1 C, in skozi rob CC 1 ravnino, vzporedno s ploskvijo AA 1 B 1 B ; potem bomo nadaljevali ravnini obeh osnov prizme, dokler se ne sekata z narisanimi ravninami.

Nato dobimo paralelepiped BD 1, ki ga diagonalna ravnina AA 1 C 1 C deli na dve trikotni prizmi (ena od njih je ta). Dokažimo, da sta ti prizmi enako veliki. Če želite to narediti, narišemo pravokotni odsek abcd. V prerezu bo nastal paralelogram, katerega diagonala ac je razdeljen na dva enaka trikotnika. Ta prizma je po velikosti enaka ravni prizmi, katere osnova je \(\Delta\) abc, višina pa je rob AA 1. Druga trikotna prizma je po površini enaka ravni črti, katere osnova je \(\Delta\) adc, višina pa je rob AA 1. Dve ravni prizmi z enakima bazama in enakima višinama pa sta enaki (ker sta vstavljeni združeni), kar pomeni, da sta prizmi ABCA 1 B 1 C 1 in ADCA 1 D 1 C 1 enako veliki. Iz tega sledi, da je prostornina te prizme polovica prostornine paralelepipeda BD 1; torej, če označimo višino prizme s H, dobimo:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Skozi rob AA 1 mnogokotne prizme narišimo diagonalni ravnini AA 1 C 1 C in AA 1 D 1 D (slika 96).

Nato bo ta prizma razrezana na več trikotnih prizem. Vsota prostornin teh prizem predstavlja zahtevano prostornino. Če ploskvi njihovih baz označimo z b 1 , b 2 , b 3 in skupno višino skozi H, dobimo:

prostornina mnogokotne prizme = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (območje ABCDE) H.

Posledica. Če so V, B in H števila, ki v ustreznih enotah izražajo prostornino, osnovno površino in višino prizme, potem lahko glede na dokazano zapišemo:

Šolarji, ki se pripravljajo na enotni državni izpit iz matematike, bi se morali zagotovo naučiti reševati probleme pri iskanju območja ravne in pravilne prizme. Dolgoletna praksa potrjuje dejstvo, da mnogi učenci menijo, da so takšne geometrijske naloge precej težke.

Hkrati bi morali srednješolci s katero koli stopnjo izobrazbe znati najti površino in prostornino pravilne in ravne prizme. Samo v tem primeru bodo lahko računali na prejemanje tekmovalnih točk na podlagi rezultatov opravljenega enotnega državnega izpita.

Ključne točke, ki si jih morate zapomniti

• Če so stranski robovi prizme pravokotni na osnovo, jo imenujemo ravna črta. Vse stranske ploskve te figure so pravokotniki. Višina ravne prizme sovpada z njenim robom.
• Pravilna prizma je tista, katere stranski robovi so pravokotni na osnovo, v kateri je pravilni mnogokotnik. Stranske ploskve te figure so enaki pravokotniki. Pravilna prizma je vedno ravna.

Priprava na enotni državni izpit skupaj s Shkolkovo je ključ do vašega uspeha!

Da bodo vaše ure enostavne in čim bolj učinkovite, izberite naš matematični portal. Tukaj boste našli vse potrebno gradivo, ki vam bo v pomoč pri pripravi na opravljanje certifikacijskega preizkusa.

Strokovnjaki izobraževalnega projekta Shkolkovo predlagajo prehod od preprostega k zapletenemu: najprej podamo teorijo, osnovne formule, izreke in osnovne probleme z rešitvami, nato pa postopoma preidemo na naloge na strokovni ravni.

Osnovne informacije so sistematizirane in jasno predstavljene v poglavju “Teoretične informacije”. Če ste že uspeli ponoviti potrebno snov, priporočamo, da vadite reševanje nalog o iskanju ploščine in prostornine prave prizme. V rubriki »Katalog« je predstavljen velik izbor vaj različnih težavnostnih stopenj.

Poskusite izračunati površino ravne in pravilne prizme ali takoj. Analizirajte katero koli nalogo. Če to ne povzroča težav, lahko varno preidete na vaje na strokovni ravni. In če se pojavijo določene težave, vam priporočamo, da se redno pripravljate na enotni državni izpit prek spleta skupaj z matematičnim portalom Shkolkovo in naloge na temo »Ravna in pravilna prizma« vam bodo enostavne.