Vsako površino ene od njegovih strani lahko usmerimo proti opazovalcu in takrat bo ta stran vidna. V nasprotnem primeru stran površine ne bo vidna z opazovalne točke. Lahko se zgodi, da bo viden le del stranice površine. V tem primeru lahko na površino narišemo črto, ki ločuje vidno in nevidno površino. Črta skice je črta na površini, ki ločuje vidni del površine ali obraza od njenega nevidnega dela.

riž. 9.5.1. Projekcije površinskih obrisov

riž. 9.5.2. Projekcije mreže poligonov in črt skic

Na sl. 9.5.1 prikazuje obrisne črte površine. Na sl. 9.5.2 prikazuje črte skice skupaj s površinsko mrežo.

Pri prehodu skozi črto skice normala površine spremeni smer glede na zorno črto. V točkah skicirne črte je normala površine pravokotna na zorno črto. Na splošno je lahko na površini več orisnih črt. Vsaka linija skice je prostorska krivulja. Ali je zaprt ali se konča na robovih površine. Različne smeri gledanja imajo svoj nabor obrisnih linij, zato je treba pri vrtenju površine obrisne črte zgraditi na novo.

Vzporedne projekcije.

Za nekatere površine, na primer kroglo, valj, stožec, so črte konstruirane precej preprosto. Oglejmo si splošen primer konstruiranja površinskih obrisov.

Naj bo treba najti orisne črte ploskve, ki jo opisuje radij vektor. Vsaka točka orisne črte za vzporedno projekcijo na ravnino (9.2.1) mora zadoščati enačbi.

kjer je normala na površino, za katero je zgrajena črta skice. Za površino, ki jo opisuje radius vektor, je normala tudi funkcija parametrov in . Skalarna enačba (9.5.1) vsebuje dva želena parametra u, v. Če nastavite enega od parametrov, je drugega mogoče najti iz enačbe (9.5.1), tj. eden od parametrov je funkcija drugega. Da bi zagotovili enakost parametrov, jih lahko predstavimo kot funkcije nekega skupnega parametra

Rezultat reševanja enačbe (9.5.1) je dvodimenzionalna premica

na površini Ta črta je obris površine.

Konstruirali bomo črto skice iz urejenega niza točk, ki zadovoljujejo enačbo (9.5.1). Točke imenujemo par površinskih parametrov, ki so koordinate dvodimenzionalnih točk na parametrični ravnini. Če imate posamezne točke skicirne črte, ki se nahajajo v vrstnem redu, kot si sledijo, in na določeni medsebojni razdalji, lahko vedno najdete katero koli drugo točko na črti. Na primer, da bi našli točko, ki leži med dvema danima sosednjima točkama črte skice, narišemo ravnino, pravokotno na segment, ki povezuje sosednji točki, in poiščemo skupno točko za ploskev in ravnino tako, da rešimo tri enačbe skalarnega presečišča skupaj z enačbo (9.5.1). Položaj ravnine na segmentu je mogoče določiti s parametrom črte. Na podlagi skrajnih točk odseka se določi ničelni približek za želeno točko. Tako množica posameznih dvodimenzionalnih točk črte obrisa površja služi kot nekakšen ničelni približek te črte, iz katerega je vedno mogoče poiskati točen položaj točke z eno od numeričnih metod. Algoritem za konstruiranje linij obrisa površine lahko razdelimo na dve stopnji.

Na prvi stopnji bomo na vsaki vrstici skice našli vsaj eno točko. Da bi to naredili, bomo s hojo po površini in preučevanjem znaka skalarnega produkta na sosednjih točkah našli pare površinskih točk, na katerih se znak spreminja. Če vzamemo povprečne vrednosti parametrov teh točk kot ničelni približek, bomo našli parametre točke črte skice z eno od numeričnih metod. Recimo, ko se premaknete od točke do točke blizu nje, se znak spremeni. Nato z uporabo iterativnega procesa Newtonove metode

ali iterativni proces

Poiščimo parametre ene od točk črte skice. Izpeljane normale so določene z Weingartenovimi formulami (1.7.26), (1.7.28). Na ta način dobimo množico točk obrisnih črt. Točke iz nabora, pridobljene na prvi stopnji, med seboj nikakor niso povezane in lahko pripadajo različnim linijam skice. Pomembno je le, da je iz vsake linije skice vsaj ena točka v nizu.

Na drugi stopnji vzamemo poljubno točko iz obstoječega niza in z določenim korakom premikanja od njega najprej v eno in nato v drugo smer, točko za točko poiščemo želeno množico točk na skicirni črti. Smer gibanja podaja vektor

kjer - delni odvodi normale - delni odvodi vektorja radija površine glede na parametre .

Predznak pred členom sovpada s predznakom skalarnega produkta. če

potem bomo s formulo (9.4.7) dali prirastek parametru u in z uporabo formule (9.5.4) našli ustrezen parameter v površine. V nasprotnem primeru bomo z uporabo formule (9.4.8) povečali parameter in z uporabo formule (9.5.5) našli ustrezen parameter in površino. Premikanje po krivulji bomo zaključili, ko dosežemo rob ene izmed ploskev ali ko se linija zapre (nova točka bo na razdalji trenutnega koraka od začetne točke).

Med premikanjem bomo preverili, ali se točke iz niza, pridobljenega na prvi stopnji, nahajajo v bližini trase. Da bi to naredili, bomo vzdolž poti izračunali razdaljo od trenutne točke obrisne krivulje do vsake točke iz niza, pridobljenega na prvi stopnji. Če je izračunana razdalja do katere koli točke v nizu sorazmerna s trenutnim korakom gibanja, bo ta točka odstranjena iz niza, ker ni več potrebna. Tako dobimo množico posameznih točk ene skicirne črte. V tem primeru množica točk, pridobljenih na prvi stopnji, ne bo vsebovala niti ene točke te premice. Če so v nizu še ostale točke, ima ta površina vsaj še eno orisno črto.

riž. 9.5.3. Črte obrisa telesa

riž. 9.5.4. Telo revolucije

Množico njenih točk bomo našli tako, da vzamemo poljubno točko iz množice in ponovimo drugo stopnjo konstrukcije. Z gradnjo črt bomo zaključili, ko v nizu ne bo več nobene točke. Z opisano metodo bomo zgradili obrisne linije vseh ploskev modela.

Obrisne črte ploskev so obrisne črte njihovih površin. Obris telesa bo viden, če ga ne prekriva obraz, ki leži bližje točki opazovanja. Na sl. 9.5.3 prikazuje obris vrtilnega telesa, prikazanega na sl. 9.5.4. Projekcija črte skice ima lahko prelome in konice, vendar je linija skice gladka.

Prelomne točke v projekciji se pojavijo tam, kjer je tangenta obrisa kolinearna na vektor

Za sestavo projekcije črte skice izdelamo njen poligon, katerega projekcijo vzamemo za projekcijo črte skice.

Centralne projekcije.

Skicirne črte v osrednjih projekcijah izpolnjujejo enačbo

(9.5.7)

kjer je - površinska normala - radij vektor opazovalne točke. Skicirna črta za centralno projekcijo se razlikuje od skicirne črte za vzporedno projekcijo, čeprav so algoritmi za njihovo izdelavo podobni. Namesto konstantnega vektorja v (9.5.7) je vektor, katerega smer je odvisna od projicirane točke. Skicirna črta za centralno projekcijo predstavlja tudi določeno krivuljo na površini, ki jo opisujejo odvisnosti (9.5.3), in je prostorska krivulja. To črto je treba projicirati na ravnino v skladu s pravili za konstrukcijo osrednje projekcije prostorske črte.

Na sl. 9.5.5 prikazuje vzporedno projekcijo obrisnih linij torusa, na sl. Za primerjavo slika 9.5.6 prikazuje osrednjo projekcijo obrisnih črt torusa. Kot lahko vidite, so te projekcije različne.

riž. 9.5.5. Vzporedna projekcija obrisnih črt torusa

riž. 9.5.6. Centralna projekcija obrisnih črt torusa

Algoritem za izgradnjo skicnih črt za centralno projekcijo ploskve, ki jo opisuje radijski vektor, se razlikuje od algoritma za izgradnjo skicnih črt za vzporedno projekcijo te ploskve po tem, da bomo na prvi stopnji iskali ploskevske točke, na katerih je skalarni produkt spremeni znak. Za določitev teh točk je treba namesto formul (9.5.4) in (9.5.5) uporabiti formule

in formule

oz. Sicer pa se algoritem za izdelavo orisov za centralno projekcijo ploskve ne razlikuje od algoritma za izgradnjo orisov za vzporedno projekcijo.

Ministrstvo za izobraževanje Ruske federacije

Saratovska državna tehnična univerza

POVRŠINE

Navodila za dokončanje naloge 2

za študente specialnosti
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Odobreno

uredniški in založniški svet

Država Saratov

tehnična univerza

Saratov 2003

UVOD

V strojniški praksi so deli s cilindričnimi, stožčastimi, sferičnimi, torusnimi in vijačnimi površinami zelo razširjeni. Tehnične oblike izdelkov so pogosto kombinacija vrtilnih površin s sovpadajočimi, sekajočimi se in križajočimi se osmi. Pri izdelavi risb takšnih izdelkov je potrebno prikazati črte presečišča površin, imenovane tudi prehodne črte.

Pogost način za konstruiranje presečišč je iskanje točk te črte z uporabo nekaterih pomožnih rezalnih ravnin ali površin, včasih imenovanih "vmesniki".

Te smernice obravnavajo splošne in posebne primere konstruiranja linij presečišča dveh površin ter metode konstruiranja površinskih razvitkov.

1. TEMELJNE DOLOČBE.

V opisni geometriji se površina obravnava kot niz zaporednih položajev premice, ki se premika v prostoru, imenovane generatrisa.

Če eno od površinskih črt vzamemo kot vodilo q in premikati generatriso po njej po določenem zakonu l, dobimo družino površinskih generatorjev, ki določajo površino (slika 1).

Za določitev površine na risbi je bil uveden koncept determinante površine.

Determinanta je niz pogojev, ki so potrebni in zadostni za enolično definiranje površine.

Determinanta je sestavljena iz geometrijskega dela, ki vsebuje geometrijske like in zakon o tvorbi ploskve. Na primer geometrijski del determinante figure a(l,q) na sliki 1 sta generator l in vodnik q, katerega položaj je naveden na risbi. Zakon o izobraževanju: Neposredni l, premikanje v prostoru, vedno dotik q, ki ostane vzporedna s smerjo S. Ti pogoji enolično definirajo cilindrično površino. Za vsako točko v prostoru lahko rešite vprašanje, ali njena površina pripada (AÎ a, vÏ a).

Geometrijski del determinante stožčaste ploskve b(q,S) sestoji iz vodnika q in vrhovi S(slika 2). Zakon nastanka stožčaste ploskve: generatrisa premica l q, vedno poteka skozi oglišče S, ki tvori neprekinjen niz ravnih črt stožčaste površine.

Površine, ki jih dobimo z neprekinjenim gibanjem, imenujemo kinematične. Takšne površine so natančne in pravilne, v nasprotju z nepravilnimi ali naključnimi.

Površine, ki nastanejo zaradi gibanja ravne črte, se imenujejo z linijo, medtem ko se površine, ki jih tvori ukrivljena črta, imenujejo brez linij.

Po zakonu gibanja generatrix se razlikujejo površine s translacijskim gibanjem generatrix, z rotacijskim gibanjem generatrix - površine vrtenja, s spiralnim gibanjem generatrix - vijačne površine.

Površine lahko definiramo z okvirjem. Žični okvir je površina, ki je definirana z določenim številom črt, ki pripadajo taki površini (slika 3).

Če poznate koordinate točk presečišča črt, lahko sestavite risbo površine okvirja.

1.2. Vrtilne površine.

Med ukrivljenimi površinami so rotacijske površine zelo razširjene. Vrtilna ploskev je ploskev, ki jo dobimo z vrtenjem poljubne generatrise okoli fiksne premice - osi ploskve.

Vrtilno površino lahko tvorimo z vrtenjem ukrivljene črte (sfera, torus, paraboloid, elipsoid, hiperboloid itd.) in vrtenjem ravne črte (rotacijski valj, vrtilni stožec, enolistni vrtilni hiperboloid ).

Iz definicije vrtilne ploskve izhaja, da je geometrijski del determinante a(jaz,l) površine revolucije a mora biti sestavljen iz vrtilne osi jaz in oblikovanje l. Zakon nastanka površine, rotacija l okoli jaz omogoča konstruiranje neprekinjenega niza zaporednih položajev generatrise rotacijske površine.

Med številnimi črtami, ki jih lahko narišemo na krožnih površinah, zavzemajo vzporedniki (ekvator) in poldnevniki (glavni poldnevnik) posebno mesto. Uporaba teh linij močno poenostavi reševanje položajnih problemov. Poglejmo te vrstice.

Vsaka točka generatrise l(slika 4) opisuje okoli osi jaz krog, ki leži v ravnini, pravokotni na vrtilno os. Ta krog lahko predstavljamo kot presečišče površine z določeno ravnino (b), pravokotno na os vrtilne površine. Takšni krogi se imenujejo vzporedniki (R). Največji od vzporednikov se imenuje ekvator, najmanjši - grlo.

riž. 5 sl. 6

Na sl. 5. vzporednik RA točke A– ekvator, vzporednik avtodom točke R- površina grla.

Če površinska os jaz je pravokotna na projekcijsko ravnino, potem se vzporednica na to ravnino projicira s krožnico na pravo vrednost (P1A), in na projekcijsko ravnino, vzporedno z osjo - ravna črta (P2A), enak premeru vzporednice. V tem primeru je rešitev položajnih problemov poenostavljena. S povezovanjem poljubne točke na površini (npr Z) z vzporednico zlahka najdete položaj projekcij vzporednice in točke na njej. Na sl. 5 po projekciji C2 točke Z, ki pripada površini a, z uporabo vzporednega Rs najdena vodoravna projekcija C1.

Ravnina, ki poteka skozi vrtilno os, se imenuje meridionalna. Na sl. 4 je ravnina g. Linija presečišča rotacijske ploskve z meridionalno ravnino se imenuje poldnevnik ploskve. Poldnevnik, ki leži v ravnini, vzporedni z ravnino projekcij, se imenuje glavni ( m0 na sl. 4.5). V tem položaju se meridian projicira na ravnino P2 brez popačenja, ampak naprej P1– premica vzporedna z osjo X12. Za valj in stožec sta poldnevnika ravna črta.

Ekvator P2(slika 6) in glavne meridiane (m) površino razmejite na vidne in nevidne dele.

Na sl. 6 površinski ekvator a dobimo z rezanjem površine z ravnino d(P=a∩d), glavni poldnevnik pa je ravnina g(m=a∩g).

1.3. Skica površine.

Projekcijska ploskev, ki obdaja dano, seka projekcijsko ravnino vzdolž črte, imenovane obris projekcije ploskve. Z drugimi besedami, obris površine je črta, ki ločuje projekcijo figure od preostalega prostora za risanje. Za konstruiranje eseja je potrebno konstruirati generatorje skrajnih mejnih obrisov. Orisni generatorji ležijo v ravnini, ki je vzporedna s projekcijsko ravnino.

Za njegovo generatriko lahko vzamemo kateri koli poldnevnik vrtilne površine. Konstrukcija eseja bo poenostavljena, če vzamemo glavni poldnevnik kot generator, saj je glavni poldnevnik ravna krivulja (ravna črta), vzporedna s projekcijsko ravnino in projicirana nanjo brez popačenja.

Primer 1: Cilinder a a(jaz,l). Naredite skico površine (slika 7).

S to razporeditvijo osi jaz vodoravni obris predstavlja krog s polmerom R(R=i1l1). Narišimo skozi os jaz meridialna ravnina b||P2. Za izdelavo čelnega obrisa najdemo vodoravne projekcije obrisov generatric, ki ležijo v ravnini glavnega poldnevnika (l1',l1") in iz njih določimo čelne projekcije l2' in l2".

Čelna projekcija glavnega meridiana obrisov valja l2' in l2". Pravokotnik je sprednji obris površine.

Primer 2. Stožec a podana z geometrijskim delom determinante a(jaz,l). Naredite skico površine (slika 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

S položaja geometrijskih likov l, jaz na sl. 9 je razvidno, da je dana ploskev enolistni vrtilni hiperboloid. Vsaka točka generatrise (A, B, C itd. ) pri vrtenju okoli osi jaz opiše krog (vzporednik). pri jaz ^ P1 do letala P1 vzporednice so projicirane kot krogi s polmerom, ki je enak pravi vrednosti polmera vzporednice. Pika Z na generatriko l opisuje najmanjšo vzporednico – vzporednico grla. To je najkrajša razdalja med vrtilno osjo in generatriko l. Najti Rc narišite pravokotno iz jaz Za l1. i1C1=Rc– polmer površinskega grla.

Horizontalna projekcija hiperboloida bo sestavljena iz treh koncentričnih krogov.

Čelni obris površine mora imeti obris njenega glavnega poldnevnika.

Narišimo skozi os jaz glavno meridionalno ravnino b in sestavite horizontalne projekcije vzporednic točk A, B, C. Vzporednice se sekajo z ravnino b v točkah A′, B′, C′, ki pripadajo glavnemu poldnevniku površja. Neprekinjen niz teh vzporednic tvori okvir površine in presečišča z ravnino b– glavni meridian m0 površine. Glavni poldnevnik je mogoče sestaviti kot oris točk presečišča vzporednikov z ravnino b. Slika prikazuje konstrukcijo točke Z in D.

Primer 4. Skicirajte poševni valj a(l,m). Generator cilindra l, premikanje po vodilu m, ostane vzporedna sama s seboj. Obris površine je prikazan na sl. 10. Poljubno točko na površini valja določimo tako, da skozenj narišemo generatriko (»povezamo« točko z generatriso). Na sl. 10a glede na čelno projekcijo točke A2, ki pripada površini, se najde njena vodoravna projekcija A1.

1.4. Linijaste površine z ravnino vzporednosti.

Linijaste površine z ravnino vzporednosti so oblikovane s premikanjem premočrtne generatrise vzdolž dveh vodil. V tem primeru generatrisa v vseh svojih položajih ohranja vzporednost z določeno dano ravnino, imenovano ravnina vzporednosti.

Geometrijski del determinante a(m,n,b) tako površino a vsebuje dve vodili in vzporedno ravnino. Glede na obliko vodil delimo te ploskve na: cilindroide - obe vodilni krivulji; konoidi – eno vodilo je ravno, eno ukrivljeno; poševna ravnina - oba vodila sta ravna.

Primer: zgradite površinski okvir a(m,n,b)(Slika 10b).

V tem primeru se vodoravna ravnina projekcij vzame kot ravnina vzporednosti. Generiranje črte, rezanje krivulje m in neposredno n, v katerem koli položaju ostane vzporedna z ravnino P1.

Vsaka ravnina, ki je vzporedna z ravnino vzporednosti, seka te ploskve v ravni liniji. Torej, če želite zgraditi katero koli generatriko ploskve, morate ploskev rezati z ravnino (npr. b), vzporedno z ravnino vzporednosti, poiščite presečišča površinskih vodilnih črt s to ravnino (b∩n=1;b∩m=2; riž. 10b) in skozi te točke narišite ravno črto.

Če želite zgraditi konoid na sl. 10b, lahko storite brez pomožnih rezalnih ravnin, saj morajo biti čelne projekcije generatric vzporedne z osjo X12. Gostota linij okvirja na čelni projekciji je nastavljena poljubno. Konstruiramo horizontalne projekcije danih generatorjev vzdolž komunikacijske linije z uporabo lastnosti pripadnosti.

Če morate najti projekcijo točke A, podana s projekcijo A2, je potrebno rezati površino z ravnino g, ki poteka skozi točko A in vzporedno z ravnino vzporednosti (na sliki 10b g//P1), poiščite generator kot presečišče ravnine g s površino a(a∩g=3, 4), s čelno projekcijo 32, 42 poiščite vodoravno 31, 41 in na njej določite A1.

1.5. Konstruiranje stičišča premice s ploskvijo.

Poiščite stičišče krivulje l s površino a(P,S).

Rešitev 1. Sklenite krivuljo l(slika 11) v pomožno projekcijsko površino b^P1. Projekcija b1 sovpada s projekcijo l1. 2. Izdelava presečišča A površine α s površino b', (αÇ b=e). Vodoravna projekcija te črte a1 znano, se ujema z b1. Horizontalna projekcija a1 zgradite čelno projekcijo a2(Slika 1 Določite želeno točko na presečišču krivulje l s površino a.. K=lÇ a tam je zbirališče l in a. Na eni strani l in A pripadajo b in lÇ a=k. Z drugim AÌ a, torej ZaÌ α , to je Za tam so zbirališča l s površino α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Izdelava črte presečišča površin.

Pri reševanju problema konstruiranja črte presečišča ene površine z drugo se uporablja metoda odsekov - glavna metoda za reševanje položajnih problemov. V tem primeru so dane površine razčlenjene s pomožnimi ravninami ali ukrivljenimi površinami (na primer krogle).

Pomožne rezalne površine včasih imenujemo "vmesne".

1.5.1. Splošni primer.

V splošnem primeru lahko za rešitev problema določanja presečišča dveh površin določite družino generatorjev na eni od površin (slika 12), poiščete stičišče teh generatorjev z drugo površino z uporabo algoritem za rešitev problema na sl. 11 in nato izsledite točke srečanja.

Z uporabo te metode za konstruiranje presečišč dveh ukrivljenih ploskev lahko uporabimo pomožne ravnine ali ukrivljene ploskve kot sekantne »posrednike«.

Če je mogoče, izberite pomožne ploskve, ki ob sekanju z danimi dajejo črte, ki jih je enostavno zgraditi (ravnice ali krogi).

1.5.2. Osi rotacijskih površin sovpadajo
(koaksialne površine).

Na sl. 13 površin a in b določena s skupno osjo jaz in glavne meridiane m0m0'.

Glavni meridiani se sekajo v točki A(B). Pika A(B) presečišče meridianov pri vrtenju okoli osi bo opisalo vzporednik R, ki bo pripadal obema ploskvama, bo torej njuna presečišče.

Tako se dve soosni vrtilni ploskvi sekata vzdolž vzporednikov, ki opisujejo presečišča njunih meridianov. Na sl. 13 površinskih osi je vzporednih P2. Na projekcijski ravnini, na katero so vzporedne osi površin, presečišče P2 projicira se ravna črta, katere položaj določajo presečišča glavnih meridianov A in IN.

1.5.3. Metoda rezalne ravnine.

V primeru, ko so osi vrtilnih površin vzporedne, dobimo najpreprostejše konstrukcije z uporabo rezalnih ravnin kot posrednikov. V tem primeru so pomožne rezalne ravnine izbrane tako, da sekajo obe površini vzdolž krogov.

Na sl. 14 so podane s skicami projekcije dveh vrtilnih površin α in b, njihove sekire jaz in j vzporedno. V tem primeru je uporaba rezalnih ravnin, pravokotnih na osi površin, preprosta rešitev problema. Nastale črte presečišča površin bodo vzporednice, katerih čelne projekcije so ravne črte, enake premeru vzporednice, vodoravne projekcije pa so krogi polne velikosti.

Pri konstruiranju točk presečišča črt morate najprej najti referenčne in značilne točke. Referenčne točke so tiste, ki ležijo na glavnem poldnevniku (3) in ekvatorju (4, 5). Iskanje teh točk ni povezano z dodatnimi konstrukcijami in temelji na uporabi lastnosti članstva.

Določeno na sl. 14 ploskev ima skupno ravnino glavnega poldnevnika, njihove osi ^ P1, baze ležijo v ravnini P1. Referenčne točke presečišča so 3. točka presečišča glavnih meridianov ter 4. in 5. točka presečišča vzporednikov baz ploskev. Z uporabo lastnosti pripadnosti, z uporabo znanih projekcij 32, 41 in 51, najdemo 31, 42 in 52.

Preostale presečišča poiščemo s pomočjo pomožnih rezalnih ravnin. Izrežemo površine α in b vodoravna ravnina g. Ker g^ sekire jaz in j, nato površine α in b sekajo z ravnino g, glede na vzporednice Ra in Rb. In saj sekire jaz in j^P1, potem se te vzporednice projicirajo na P1 krogih Ra, Rb na pravo vrednost, ter na P2 naravnost P2a, P2b enak premeru vzporednice.

Presečišče vzporednikov 1 in 2 sta želeni. Dejansko na eni strani vzporednice Ra in Rb pripadajo isti ravnini g in se sekata v točkah 2 in 1. Po drugi strani pa Ra in Rb pripadajo različnim površinam α in b. Zato točki 2 in 1 hkrati pripadata ploskvi A in b, to je, da so točke presečišča površin. Horizontalni projekciji 21 in 11 teh točk sta na presečišču P1a, P1b, sprednje pa gradimo z lastnostjo članstva.

S ponavljanjem te tehnike dobimo potrebno število točk. Rezalne ravnine so enakomerno razporejene v intervalu od točke najvišjega dviga krivulje 32 do glavne figure.

Število točk presečišča in s tem sečnih ravnin je določeno z zahtevano natančnostjo grafičnih konstrukcij. Projekcije presečišča so zgrajene kot obrisi projekcij njenih točk. Na sl. 14 vrstica v točkah 4, 1, 3, 2, 5.

Obravnavani primer reševanja problemov imenujemo metoda rezanja ravnin.

1.5.4. Metoda krogel.

Ta tehnika se uporablja, ko se sekajo osi vrtilnih površin. Temelji na tistem, obravnavanem na sl. 13 primer presečišča koaksialnih ploskev.

Na sl. 15 prikazuje stožec in valj s sekajočima se osema jaz in j. Njihove osi so vzporedne z ravnino P2. Ravnina glavnega poldnevnika je skupna obema površinama.

) . Konstrukcija je poenostavljena zaradi dejstva, da je ravnina glavnega poldnevnika skupna. Krogi, po katerih krogla seka dve površini hkrati ( Ra, Rb Pb"), se projicira na ravnino P2 v obliki ravnih črt ( P2a, P2b, P2b") enaka premerom vzporednic.

Presek teh krogov ustvari točke (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), ki so skupne obema ploskvama in torej pripadajo presečni liniji. Res vzporednice Ra, Rb, Pb", na eni strani pripadajo eni ploskvi - krogli in imajo skupne točke (5, 6, 7, 8), na drugi strani pa pripadajo različnim ploskvam A in b. To pomeni, da točke 5, 6, 7, 8 pripadajo obema ploskvama oziroma liniji presečišča ploskev.

Za pridobitev dovolj točk za risanje želene presečišča se nariše več krogel.

Polmer največje krogle ( Rmaks) je enaka razdalji od središča O2 do najbolj oddaljene točke presečišča orisnih generatorjev (v tem primeru točki 32 in 42, Rmax= 0232=0242. V tem primeru sta obe liniji presečišča površin s kroglo ( Ra in Rb) se bosta med seboj sekala v točkah 3 in 4 z večjim polmerom krogle ne bo presečišča.

Polmer najmanjše krogle ( Rmin) je enaka razdalji od središča 02 do najbolj oddaljenega generatorja orisov ( Rmin=02A2). V tem primeru se bo krogla dotikala stožca po obodu, valj pa se bo dvakrat sekal in dal točke 5, 6, 7, 8. Pri manjšem polmeru krogle ne bo presečišča s stožcem.

Zdaj ostane le še, da narišemo ukrivljene črte presečišča površin skozi točke 1, 5, 4, 6, 1 in 2, 7, 3, 8, 2.

Na sl. 15 vse konstrukcije so izdelane na eni projekciji. Število sekantnih krogel s polmeri od Rmaks prej Rmin, odvisno od zahtevane natančnosti konstrukcije. Vodoravna projekcija presečišča je zgrajena vzdolž čelnih črt 1, 5, 4, 6, 1 in 2, 7, 3, 8, 2 z uporabo lastnosti pripadnosti.

1.5.5. Uporaba metode rezalne ravnine
v primerih ravnih površin z ravnino vzporednosti.

Geometrični del determinante določa dve površini: a (l,jaz) in b(m,n, P1). Treba je zgraditi obrise površin in najti črto njihovega presečišča (slika 16).

Rešitev: 1. Nariši skico površja a, n geometrijskega dela determinante je jasno, da površina a- krogla. Njeni vodoravni in čelni obrisi so krogi polmera R. 2. Gradimo ogrodje ploskve z linijami. Ker je ravnina vzporedna P1, potem sta čelni projekciji generatris vzporedni z osjo X12. Po določitvi okvirja določene ravnine črt na čelni projekciji (na sliki 16 so štiri črte), izdelamo vodoravne projekcije teh generatorjev. 3. Za konstruiranje črte presečišča površin uporabljamo rezalne ravnine kot posrednike. Položaj rezalnih ravnin mora biti izbran tako, da sekajo dane ploskve vzdolž črt, ki jih je enostavno zgraditi (premice ali krogi). Ta pogoj izpolnjujejo vodoravne ravnine. Horizontalne ravnine so vzporedne z ravnino vzporednosti konoida ( P1), tako da bodo prečkali konoid v ravnih črtah. Takšne ravnine sekajo kroglo po vzporednicah.

,A" krogla vzdolž vzporednice Ra. Čelna projekcija vzporednice ( P2a) je premica, ki je enaka premeru vzporednice, vodoravna projekcija ( P1a) - krog. Na vodoravni projekciji v presečišču vzporednice P1a in generatrisa 1, 11" je določena s projekcijo dveh točk presečišča površin A in b. Na podlagi horizontalnih projekcij točk A1 in V 1 izdelamo njihove čelne projekcije. S ponavljanjem operacije dobimo niz točk presečišča, katerih obris bo dal presečišče.

Ekvator in glavni meridian krogle razmejujeta črto na vidni in nevidni del.

1.6. Gradnja objektov.

Razvitje ploskve je lik, ki ga dobimo s kombinacijo razvite ploskve in ravnine.

Razvite površine so tiste, ki so poravnane z ravnino brez prelomov ali gub.

Med razvite ploskve sodijo fasetne ploskve, med ukrivljene ploskve pa le valjaste, stožčaste in trupne ploskve.

Razvoje delimo na natančne (razvoj fasetnih ploskev), približne (razvoj valja, stožca, trupa) in pogojne (razvoj krogle in drugih nerazvitih ploskev).

1.6.1. Razvoj fasetiranih površin.

Izvedite razvoj piramide, določene s projekcijami na sliki 17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Metoda valjanja je uporabna, če so robovi prizme vzporedni s projekcijsko ravnino in je znana prava velikost robov ene od baz (slika 18).

Razvaljanje figure predstavlja postopek združevanja ploskev prizme z ravnino, pri čemer dobimo pravi videz vsake ploskve z vrtenjem okoli njenega roba.

Pri kotaljenju se točke A, B, C premikajo po krožnih lokih, ki so na ravnini P2 upodobljeni kot ravne črte, pravokotne na projekcije robov prizme. Oglišča razvitka sestavimo takole: iz točke A2 s polmerom R1=A1B1 (prava dolžina AB) naredimo zarezo na premici B2B0, pravokotno na B2B2¢. Iz konstruirane točke B0 s polmerom R2=B1C1 naredimo zarezo na premici C2C0^C2C2¢. Nato zarezo iz točke C0 s polmerom R3=A1C1 na ravni črti A2A0^A2A2¢. Dobimo točko A0. Točki A2B0C0A0 sta povezani z ravnimi črtami. Iz točk A0B0C0 narišemo črte, vzporedne z robovi (A2 A2¢), in na njih narišemo prave vrednosti stranskih robov A2A¢, B2B¢, C2C¢. Točki A¢B¢C¢A¢ povežemo z daljicami.

1.6.2. Razvoj ukrivljenih površin.

Teoretično je možno dobiti natančen razvitek, to je razvitek, ki natančno ponavlja dimenzije površine, ki jo razvijamo. V praksi se morate pri izdelavi risb sprijazniti s približno rešitvijo problema, če predpostavite, da so posamezni površinski elementi aproksimirani z ravninskimi odseki. V takšnih pogojih se izvajanje približnih razvitkov valja in stožca zmanjša na konstruiranje razvitkov vanje vpisanih (ali opisanih) prizem in piramid.

Slika 19 prikazuje primer izvajanja stožčastega pometanja.

V stožec vgradimo poliedrsko piramido. Iz točke S narišemo lok s polmerom, ki je enak pravi vrednosti generatrise stožca (S212) in na lok narišemo tetive 1121; 2, ki nadomešča loke 1121;2

Da bi našli katero koli točko na razvitku, je treba narisati generatriso skozi dano točko (A), poiskati lokacijo te generatrise na razvitku (2B=21B1), določiti pravo vrednost odseka SA ali AB in narisati to na generatriko na razvoj. Vsaka črta na površini je sestavljena iz neprekinjenega niza točk. Ko poiščemo zahtevano število točk na skeniranju z metodo, opisano za točko A, in sledimo tem točkam, dobimo črto na skeniranju. Pri izdelavi nagnjenih cilindričnih površin se uporabljajo metode normalnega prereza in valjanja.

Vsako nerazvito ploskev je mogoče s poljubno natančnostjo aproksimirati s poliedrsko ploskvijo. Toda razvoj takšne površine ne bo neprekinjena ravna figura, saj se te površine ne razvijejo brez prelomov in gub.

1.6.3. Konstruiranje tangentne ravnine
na površino na določeni točki.

Za konstruiranje tangentne ravnine na ploskev v dani točki (točka A na sliki 20) je treba na ploskvi skozi točko A narisati dve poljubni krivulji a in b, nato pa v točki A zgraditi dve tangenti t in t¢ na krivulji a in b. Tangente bodo določale položaj tangentne ravnine a na površino b.

Na sliki 21 je zgrajena rotacijska površina a. V točki A je treba narisati tangentno ravnino, ki pripada a.

Za rešitev problema potegnemo vzporednik a skozi točko A in nanj v točki A konstruiramo tangento t (t1;t2).

Vzemimo poldnevnik kot drugo krivuljo, ki gre skozi točko A. Ni prikazano na sliki 21. Rešitev bo poenostavljena, če poldnevnik skupaj s točko A zavrtimo okoli osi, dokler ne sovpada z glavnim poldnevnikom. V tem primeru bo točka A zavzela položaj A¢. Nato skozi točko A¢ potegnite tangento t¢¢ na glavni poldnevnik, dokler se ne preseka z osjo v točki B. Ko ste poldnevnik vrnili v prejšnji položaj, potegnite tangento t¢ na ta poldnevnik skozi točko A in fiksno točko B na vrtilna os (t1¢;t2 ¢). Tangenti t in t¢ bosta določali tangentno ravnino.

Pri risanju tangentne ravnine na ravninsko ploskev lahko eno od tangent, ki določajo tangentno ravnino, vzamemo kot generator t ploskve (slika 22). Kot drugo lahko vzamete tangento t¢ na vzporednico (če je valj ali stožec) ali tangento na katero koli krivuljo, narisano skozi dano točko konoida, cilindroida ali poševne ravnine. Krivuljo je mogoče enostavno sestaviti tako, da površino presekamo s štrlečo ravnino, ki poteka skozi dano točko.

2.1. Cilj dela:

Utrdite programsko gradivo v razdelkih »Površje« in »Razvoji« ter osvojite veščine reševanja problemov konstruiranja skic, presečišč in razvojev površin.

2.2. Vaja:

Risba vsebuje dve sekajoči se ploskvi. Ploskve so definirane z usklajenimi projekcijami geometrijskega dela determinante.

Potrebno:

S pomočjo koordinat geometrijskega dela determinante narišite projekcije determinante na risbo, povežite potrebne točke, da dobite geometrijske figure determinante;

Konstruirati skice danih ploskev na podlagi projekcij geometrijskega dela determinante;

Konstruirajte linijo presečišča površin;

Konstruirajte razvoj ene od površin z risanjem presečišča (po navodilih učitelja);

Nariši tangentno ravnino na eno od ploskev v točki, ki jo je označil učitelj;

Naredite postavitev sekajočih se površin.

Delo poteka najprej na A2 milimetrskem papirju, nato pa na A2 Whatmanu. Risba mora biti sestavljena v skladu z GOST ESKD. Glavni napis je narejen po obrazcu 1.

Pri izvedbi dela se uporabljajo predavanja, praktična gradiva in priporočena literatura.

Možnosti nalog so podane v prilogi.

2.3. Vrstni red naloge.

Študent prejme različico naloge, ki ustreza številki na seznamu v skupinskem dnevniku, in jo dela štiri tedne.

Teden dni po prejemu naloge študent predstavi učitelju konstrukcije geometrijskega dela determinant in obrise danih ploskev, izpolnjene na milimetrskem papirju formata A2.

Po dveh tednih je predstavljena risba, dopolnjena s konstrukcijo presečišča površin in tangentne ravnine.

V tretjem tednu se delo na grafičnem papirju formata A4 zaključi tako, da sestavi razvoj ene od ploskev in na njej nariše presečišče ploskev.

V četrtem tednu je končana maketa sekajočih se površin.

Delo, ki ga je treba opraviti, je predstavljeno učitelju, ki vodi praktične ure. Na podlagi končane konstrukcije na grafičnem papirju se preveri študentova asimilacija preučenega gradiva.

Pri reševanju položajnega problema konstruiranja črte presečišča površin se uporablja metoda preseka. Kot "posredniki" so izbrane rezalne ravnine ali krogle. Pozorni morate biti na zgoraj obravnavane posebne primere (metoda rezanja ravnin in metoda krogel), ki zagotavljajo najenostavnejšo rešitev problema. Če je potrebno, uporabite kombinacijo teh metod.

Pri izvajanju površinskega razvoja je treba preučiti konstrukcije, izvedene z metodo običajnega odseka in metodo valjanja, pa tudi metode za izdelavo približnih in pogojnih razvojev in pri delu uporabiti najbolj racionalno metodo.

Ko rišete tangentno ravnino na ploskev v dani točki, je dovolj, da na ploskvi, ki poteka skozi točko, zgradite dve ukrivljeni črti in narišete tangente na te premice v dani točki, pri čemer se spomnite, da je projicirana tangenta na ravno ukrivljeno črto s tangento na njegovo projekcijo.

LITERATURA.

1. Geometrija Vinickega. M.: Višja šola, 1975.

2. Gordonova geometrija. M.: Nauka, 1975.

3. Površine. Metodična navodila. / Zbrano, / Saratov, SSTU, 1990.

MOŽNOSTI NALOG

Osnovni pojmi in definicije

Površino kot predmet inženirskih raziskav je mogoče opredeliti na naslednje glavne načine: a) enačba; b) okvir; c) določimo z gelom; d) esej.

Analitična geometrija se ukvarja s sestavljanjem površinskih enačb; površino obravnava kot niz točk, katerih koordinate zadoščajo enačbi oblike F (x, y, z) = 0.

V opisni geometriji je površina na risbi določena z okvirjem, determinanto, obrisom.

Z žično okvirno metodo je površina definirana z nizom določenega števila črt, ki pripadajo površini. Črte, ki tvorijo okvir, so praviloma družina črt, ki izhajajo iz presečišča površine s številnimi vzporednimi ravninami. Ta metoda se uporablja pri oblikovanju avtomobilskih karoserij, v letalstvu in ladjedelništvu, v topografiji itd.

Površino, ki jo tvori premica, ki se giblje v prostoru, lahko na risbi določimo z determinanto površine.

Določnik površine je množica geometrijskih likov in povezav med njimi. omogoča nedvoumno oblikovanje površine v prostoru in njeno definiranje na risbi.

Metoda oblikovanja površine s črto, ki se premika v površini, se imenuje kinematična.

Premica, ki tvori dano površino med njenim gibanjem v prostoru, se imenuje generatrisa (generator).

Generatrica lahko med premikanjem spremeni svojo obliko ali ostane nespremenjena. Zakon gibanja generatrise je mogoče določiti zlasti z nepremičnimi premicami, na katerih se generatrisa med svojim gibanjem opira. Te črte imenujemo vodila.

Na risbi so pri določanju površine z njeno determinanto izdelane projekcije vodilnih črt in prikazano je, kako se nahajajo projekcije generatrične črte. S konstruiranjem več položajev generatrične črte dobimo okvir površine. Primer oblikovanja površine z uporabo kinematične metode je prikazan na sl. 96.

Ravninska krivulja je vzeta kot generatrisa te površine. Zakon gibanja generatriksa je podan z dvema vodiloma m in n in letalo A. Formativno A drsi po vodilih in ves čas ostaja vzporedna z ravnino a.

Obstajata geometrijski in algoritemski del determinante površine. Determinant ima naslednji zapis: F(G) [A], Kje F- oznaka površine; (G)- geometrijski del determinante, v njem so navedeni vsi geometrijski liki, ki sodelujejo pri oblikovanju ploskve in njihova dodelitev na risbi; [A] je algoritemski del determinante - v njem je zapisan algoritem za oblikovanje površja.

Determinanto površine določimo z analizo načinov oblikovanja površine oziroma njenih osnovnih lastnosti. Na splošno je lahko ista površina oblikovana na več načinov, zato ima lahko več determinant. Običajno se od vseh načinov oblikovanja površine izbere najpreprostejši. Na primer, stransko površino desnega krožnega valja lahko oblikujemo na štiri načine (slika 97):

a) kot sled, ki ostane v prostoru črte A ko se vrti okoli osi m(Slika 97, a).

Površinska determinanta - Ф(а,m) [A 1]:

b) kot sled, ki jo v prostoru pusti kriva črta b ko se vrti okoli osi m(slika 97.6).

Površinska determinanta - Ф (b,m) [A 2];

c) kot sled, ki jo v prostoru pusti krog z ko se njegovo središče premakne naprej O vzdolž osi m. v tem primeru ostane ravnina kroga ves čas pravokotna na to os (slika 97, c).

Površinska determinanta - Ф (а,m) [A 3 ]:

d) kot ovojnica vseh položajev sferične ploskve R konstanten polmer, katerega središče se premika vzdolž osi m(Slika 97, d).

Površinska determinanta - Ф (p,m) [A 4].

Najenostavnejši od obravnavanih je determinanta Ф(а,m) [A 1].

Določitev površine na risbi z okvirjem ali determinanto ne zagotavlja vedno jasnosti njene slike. V nekaterih primerih je smotrneje površino definirati kot obris.

Obris ploskve je projekcija štrleče cilindrične ploskve, ki ovija dano ploskev.

Z uporabo znane enačbe površine ali njene determinante ali obrisa je vedno mogoče sestaviti skelet površine.

Raznolikost površin zahteva njihovo sistematizacijo. Za površine, oblikovane s kinematično metodo, sistemizacija temelji na njihovi determinanti.

Glede na vrsto generatrise so površine razdeljene v dva razreda:

razred 1 - površine brez linij (generator - ukrivljena črta);

razred 2 - ravninske površine (generator - ravna črta).

Površine brez linij

Površine brez linij delimo na površine z generatriko spremenljivega tipa (ki spreminja svojo obliko med gibanjem) in površine z generatriko konstantnega tipa.

Površine brez linij s spremenljivo generatriso

Nelinearne površine z generatriko spremenljivega tipa vključujejo:

1. Splošna površina . Takšno površino tvorimo s premikanjem generatrise spremenljivega tipa a po ukrivljenem vodilu t (slika 98).

2. Površina kanala . Ta površina nastane zaradi gibanja ravne sklenjene črte, katere ravnina je v prostoru usmerjena na določen način (slika 99).

Območje, ki ga omejuje generatrisa, se monotono spreminja, ko se premika po vodilu. Na primer, površina kanala ima prehodni del, ki povezuje dva cevovoda različnih oblik.

3. Ciklična površina - poseben primer površine kanala, ko je generatrix krog, katerega polmer se monotono spreminja (slika 100).

Primer ciklične površine bi bilo telo pihalnega glasbila.

Površine brez linij s konstantno generatriso

Nelinearne površine s konstantno generatriko vključujejo:

1.Splošna površina . Tako površino lahko tvorimo s premikanjem poljubne ukrivljene črte A po vodniku m(Slika 101).

2. Cevasta površina . Generatris cevaste ploskve je krog s konstantnim polmerom. Ravnina kroga med premikanjem ostane pravokotna na vodilo (slika 102).

Primer cevaste površine bi bila površina krožne žice.

Ravnane površine

Linijaste ploskve nastanejo z gibanjem premice (generatorja) po danem zakonu. Glede na zakon gibanja generatrike dobimo različne ravnane ploskve.

Ravnaste površine s tremi vodili

Ravnaste površine s tremi vodili vključujejo:

1. Površina poševnega valja . Tako površino lahko tvorimo s premikanjem premočrtne generatrise po treh ukrivljenih vodilih (slika 103).

2. Površina dvojno poševnega cilindra . Ta površina nastane, ko sta dve vodilni krivulji in tretja ravna črta (slika 104).

3. Površina dvojno poševnega konoida Izkazalo se je, ko je eno od vodil ukrivljeno, druga dva pa sta ravni črti (slika 105).

4.Površina enolistnega hiperboloida nastane, ko so vodila tri sekajoče se ravne črte, vzporedne z eno ravnino. Primer. Poiščite manjkajoče projekcije točk A" in IN" ki pripada površini enolistnega hiperboloida (slika 106).

P e r e n t Za določitev manjkajoče projekcije točke uporabimo znak, da pripada ploskvi: točka pripada ploskvi; če pripada katerikoli liniji te ploskve.

Za dano ravninasto površino se pri izdelavi projekcij generatrike najprej določi njena vodoravna projekcija, nato pa se najde čelna. Zato skozi znano vodoravno projekcijo točke A" izvedemo projekcijo generatrise a" 2, določimo njegovo čelno projekcijo a 2", na kateri vzdolž komunikacijske črte najdemo želeno čelno projekcijo točke A".

Za določitev manjkajoče horizontalne projekcije točke IN" Izvedimo naslednje konstrukcije:

1. Konstruirajte niz generatorjev dane površine a 1, a 2, a 3, a 4.

2. Na čelno ravnino projekcij skozi znano projekcijo točke IN" narišimo projekcijo pomožne premice b" ki pripadajo dani površini in sekajo generatorje.

3. Na podlagi znanih čelnih projekcij presečišč premične projekcije b" z generatorji a 1", a 2", a 3", a 4" Poiščimo vodoravne projekcije teh točk. Če jih povežemo z gladko črto, bomo zgradili vodoravno projekcijo pomožne črte b" na kateri ob komunikacijski črti najdemo želeno projekcijo točke IN".

Med ravnane površine s tremi vodili so na primer površine ladijskih propelerjev in letalskih propelerjev. V arhitekturi in gradbeništvu se uporabljajo pri gradnji notranjih zgradb za stadione, tržnice in železniške postaje.

Linijaste ploskve z dvema vodiloma in vzporedno ravnino (katalonske ploskve)

Ravnaste površine z dvema vzporednima ravninskima vodiloma vključujejo:

1. Površina ravnega valja . Takšno površino lahko tvorimo s premikanjem premočrtne generatrike vzdolž dveh vodil m in n v primeru, ko so gladke ukrivljene črte, ena od njih pa je ravna krivulja, katere ravnina β pravokotno na ravnino vzporednosti a (n ⊂ β, β ⊥ a)(Slika 107).

2. Površina ravnega konoida . To površino dobimo, ko je eno vodilo ukrivljena črta, drugo pa ravna črta in je pravokotna na ravnino vzporednosti

a(n ⊥ a)(Slika 108). Površina ravnega konoida se uporablja v hidrotehniki za oblikovanje površine opornikov mostnih stebrov.

3. . Takšna površina nastane, ko dve vodili prečkata ravne črte (slika 109). Površina poševne ravnine se uporablja v inženirski in gradbeni praksi za oblikovanje površin pobočij, nasipov, železnic in avtocest, nasipov, hidravličnih konstrukcij na stičiščih z različnimi koti naklona.

Ravnaste površine z enim vodilom (torsi)

Torzo je razvita površina - lahko se kombinira z ravnino brez gub ali raztrganin. Površine trupa vključujejo:

1. Površina povratnega rebra . To površino tvori gibanje premočrtne generatrise v vseh njenih položajih, ki se dotikajo prostorske krivulje, imenovane vrh.

2. Cilindrična površina . Ta površina nastane zaradi gibanja pravokotne generatrise, ki drsi vzdolž ukrivljenega vodila in ostane vzporedna s prvotnim stanjem (slika 110).

3. Stožčasta površina . To površino tvori gibanje pravokotne generatrise, ki drsi po ukrivljenem vodilu in poteka v vseh svojih položajih skozi isto fiksno točko S(Slika 111).

Površine revolucije

Vrtilna ploskev je ploskev, ki jo dobimo z vrtenjem katere koli tvorne črte okoli fiksne ravne črte – osi rotacije ploskve..

Ravnine, pravokotne na vrtilno os, sekajo površino po krožnicah – vzporednicah. Najmanjši vzporednik se imenuje grlo, največji je ekvator.

pa sl. 112 prikazuje vrtilno površino. Tukaj je generator ravna krivulja ABCD, vrtilna os jaz ki se nahaja v isti ravnini kot ta krivulja.

Črte, po katerih ravnine, ki potekajo skozi vrtilno os, sekajo površje, imenujemo meridiani. Vsak meridian je razdeljen na dve črti, simetrični glede na os vrtenja, imenovani polmeridiani. Poldnevnik, ki se nahaja v ravnini, ki je vzporedna s čelno ravnino projekcij, se imenuje glavni meridian.

Osnovne lastnosti vrtilne površine:

1. Odsek poldnevnika med dvema točkama na površini je najkrajša razdalja med tema točkama.

2. Vsi meridiani so med seboj enaki.

3. Vsak od vzporednikov rotacijske ploskve seka meridiane pod pravim kotom.

4. Katera koli normala na vrtilno površino seka vrtilno os površine.

Revolucijske površine na risbi je priročno določiti z obrisi in projekcijami njenih značilnih črt in točk. Čelni obris rotacijske površine je čelna projekcija glavnega poldnevnika, vodoravni obris pa vodoravna projekcija ekvatorja.

Razmislimo o glavnih vrstah rotacijskih površin:

1. Rotacijski valj . To površino lahko dobimo z vrtenjem ravne črte, vzporedne z osjo vrtenja jaz(Slika 113).

2. Stožec vrtenja . Površino vrtilnega stožca lahko dobimo z vrtenjem premice, ki seka vrtilno os jaz(Slika 114).

3. krogla . Generatris krogle je krog, katerega središče O je na osi vrtenja jaz(Slika 115).

4. Vrh. Generatris torusa je krog ali njegov lok. Os vrtenja jaz leži v ravnini tega kroga, vendar ne poteka skozi njegovo središče (sl. 116, 117).

Obstaja odprt torus (krožni obroč) (sl. 116, 117, a), zaprt (sl. 117, b), samosekajoči se (sl. 117, c, d).

Generator za odprt (sl. 116,117,a) in zaprt torus (sl. 117,6) je krog, za samosekajoči se torus (sl. 117, c, d) - lok kroga.

5. Paraboloid vrtenja . Takšna površina nastane z vrtenjem parabole okoli svoje osi (slika 118). Površina paraboloida se uporablja v paraboličnih antenah in reflektorskih ogledalih.

6. Hiperboloid rotacije . Ta površina nastane z vrtenjem hiperbole okoli osi. Razlikovati dvojna votlina in enolistni hiperboloid revolucije. Za vrtilni hiperboloid z dvema listoma je rotacijska os realna os hiperbole (sl. 119),

za enolistni hiperboloid (slika 120) - njegova namišljena os. Enolistni vrtilni hiperboloid lahko nastane tudi z vrtenjem premice, če generatrisa in rotacijska os sekata premici.

Položaj točke na vrtilni površini se določi s krogom, ki poteka skozi to točko na vrtilni površini (glej sliko 114-116). Pri krožnih ploskvah (valj, stožec) je mogoče za ta namen uporabiti premočrtne generatrise (glej sliko 113,114).

Spiralne ravničaste površine

Spiralno oblikovano površino imenujemo površina. nastane z vijačnim gibanjem ravne črte.

Spiralno gibanje generatrike AB za katerega je značilno vrtenje okoli osi jaz in sočasno translacijsko gibanje vzporedno s to osjo (slika 121). Zakon gibanja generatrix je določen z vrsto vijačnice (njeno smerjo, premerom in korakom) in naravo gibanja generatrix vzdolž vodila.

V praksi se najpogosteje srečujemo s vijačnimi linijami s konstantnim korakom vodilne črte. Takšne spiralne površine imenujemo helikoidi.

Če je kot naklona generatrixa na os vrtenja 90 °, potem se helikoid imenuje pravi; če je ta kot poljuben, drugačen od 0 do 90 °, se helikoid imenuje poševni (poševni). Ravni in poševni helikoidi so lahko odprti ali zaprti. Pri odprtem helikoidu sta generatrisa in rotacijska os sekajoče se premice, pri zaprtem helikoidu pa sekajoče se premice. Na sl. 121 je bil zgrajen okvir ravnega zaprtega helikoida.

Vijačne površine se pogosto uporabljajo v tehnologiji. Vijaki, vzmeti, svedri, polži za premikanje razsutih materialov, spiralne stopnice - vsi imajo spiralne površine.

riž. 3.15

Rotacijske površine imajo zelo široko uporabo na vseh področjih tehnike. Vrtilna ploskev je ploskev, ki nastane zaradi rotacije določene tvorne črte. 1 okoli fiksne črte jaz- os vrtenja površine (slika 3.15). Na risbi je vrtilna površina določena z obrisom. Obris površine so črte, ki omejujejo območja njenih projekcij. Med vrtenjem vsaka točka generatrise opisuje krog, katerega ravnina je pravokotna na os. V skladu s tem je črta presečišča rotacijske površine z ravnino, pravokotno na os, krog. Takšni krogi se imenujejo vzporednice (slika 3.15). Vzporednik največjega polmera se imenuje ekvator, najmanjši - grlo. Ravnina, ki poteka skozi os rotacijske površine, se imenuje meridionalna, črta njenega presečišča z rotacijsko površino se imenuje poldnevnik. Poldnevnik, ki leži v ravnini, vzporedni z ravnino projekcij, se imenuje glavni poldnevnik. V praksi izdelave risb se najpogosteje srečujemo z naslednjimi rotacijskimi površinami: cilindrično, stožčasto, sferično, torusno.

riž. 3.16

Cilindrična vrtilna površina. Kot vodilo A mora imeti krog in kot ravno črto b- os jaz(Slika 3.16). Nato ugotovimo, da je generator l, vzporedno z osjo jaz, se vrti okoli slednjega. Če je os vrtenja pravokotna na vodoravno ravnino projekcij, potem naprej p 1 valjasta površina je projicirana v krog in nanj p 3 - v pravokotnik. Glavni meridian valjaste ploskve sta dve vzporedni črti.

Slika 3.17

Stožčasta vrtilna površina dobimo z vrtenjem premočrtne generatrise l okoli osi jaz. V tem primeru generatriko l prečka os jaz na točki S, ki se imenuje vrh stožca (slika 3.17). Glavni meridian stožčaste ploskve sta dve sekajoči se ravni črti. Če za generator vzamemo odsek ravne črte in je os stožca pravokotna p 1, nato naprej p 1 stožčasta površina je projicirana v krog in nanj p 2 - v trikotnik.

Sferična površina nastane zaradi vrtenja kroga okoli osi, ki poteka skozi središče kroga in leži v njegovi ravnini (slika 3.18). Ekvator in meridiani sferične površine so enaki krogi. Zato se pri pravokotnem projiciranju na katero koli ravnino sferična površina projicira v kroge.

riž. 3.18 Ko se krog vrti okoli osi, ki leži v ravnini tega kroga, vendar ne poteka skozi njegovo središče, nastane površina, imenovana torus (slika 3.19).

riž. 3.19

11. POZICIJSKI PROBLEMI PRIPADNOSTI TOČKE, MONGEEV IZREK. Pod položajem se nanaša na probleme, katerih rešitev nam omogoča, da dobimo odgovor o tem, ali element (točka) ali podmnožica (premica) pripada množici (površini). Pozicijske naloge vključujejo tudi naloge prepoznavanja skupnih elementov, ki pripadajo različnim geometrijskim figuram. Prvo skupino problemov lahko združimo pod splošnim imenom problem pripadnosti. Sem sodijo zlasti naloge za ugotavljanje, ali točka pripada ploskvi, 3) ali neka točka pripada ploskvi. Ta skupina vsebuje tudi tri vrste problemov: 1) na presečišču črte s ploskvijo; 3) na presečišču črte s ploskvijo. Pripadnost točke površini . Glavna točka pri reševanju težav za to dodatno opremo je naslednja: : točka pripada ploskvi, če pripada kateri koli premici te ploskve. V tem primeru morajo biti premice izbrane čim bolj enostavne, da je lažje sestaviti projekcije takšne premice, nato pa uporabiti dejstvo, da morajo projekcije točke, ki leži na površini, pripadati istim projekcijam premice te premice. površino . Primer rešitve tega problema je prikazan na sliki.. Tu sta dve rešitvi, saj lahko narišemo dve enostavni črti, ki pripadata stožčasti ploskvi. V prvem primeru narišemo premico - generatriso stožčaste ploskve S1 tako, da poteka skozi poljubno dano projekcijo točke C. Pri tem predpostavimo, da točka C pripada generatrisi stožčaste ploskve S1 in torej sama stožčasta površina. V tem primeru morajo istoimenske projekcije točke C ležati na ustreznih projekcijah te generatrise. Druga najpreprostejša črta je krog s premerom 1-2 (polmer tega kroga se meri od osi stožca. na orisno generatriko). To dejstvo je znano iz šolskega tečaja geometrije: ko se krožni stožec seka z ravnino, ki je vzporedna z njegovo osnovo ali pravokotno na njegovo os, dobimo krog v prečnem prerezu. Druga metoda rešitve vam omogoča, da poiščete manjkajočo projekcijo točke C, določeno z njeno čelno projekcijo, ki pripada površini stožca in na risbi sovpada z osjo vrtenja stožca, ne da bi zgradili tretjo projekcijo. Vedno morate upoštevati, ali je točka, ki leži na površini stožca, vidna ali nevidna (če ni vidna, bo ustrezna projekcija točke v oklepaju). Očitno je, da v našem problemu točka C pripada površini, saj projekcije točke pripadajo projekcijam istoimenskih premic, uporabljenih za rešitev tako v prvi kot v drugi metodi reševanja. Pripada površinski liniji. Glavna točka: premica pripada ploskvi, če vse točke premice pripadajo dani ploskvi. To pomeni, da je treba v tem primeru pripadnosti večkrat rešiti problem, ali točka pripada površini. Torema Monge: če sta dve površini drugega reda opisani okoli tretjine ali vanjo vpisani, potem se črta njunega presečišča razcepi na dve krivulji drugega reda, katerih ravnini potekata skozi ravno črto, ki povezuje presečišča tangentnega kroga.

12. PRESEKI ROTACIJSKEGA STOŽCA S PROJEKCIJSKIMI RAVNINAMI . Pri prečkanju površin telesa s projekcijskimi ravninami, ena projekcija preseka sovpada s projekcijo projekcijske ravnine. Stožec ima lahko pet različnih oblik preseka. Trikotnik- če sekalna ravnina seka stožec skozi oglišče po dveh generatorjih. Krog- če ravnina seka stožec vzporedno z osnovnico (pravokotno na os). Elipsa- če ravnina seka vse generatrise pod določenim kotom. Parabola- če je ravnina vzporedna z eno od generatris stožca. Hiperbola- če je ravnina vzporedna z osjo ali dvema generatrisama stožca. Prerez ploskve z ravnino je ravna figura, omejena s sklenjeno črto, katere vse točke pripadajo tako sečni ravnini kot ploskvi. Ko ravnina seka polieder v preseku, dobimo mnogokotnik z oglišči na robovih poliedra. Primer. Konstruirajte projekcije premice L presečišča ploskve pravilnega krožnega stožca ω z ravnino β. rešitev. Presek tvori parabolo, katere vrh je projiciran na točko A (A′, A′′). Točke A, D, E presečišča so skrajne. Na sl. konstrukcija želene presečišča se izvede z vodoravnimi ravninami ravni αi, ki sekajo površino stožca ω vzdolž vzporednikov pi, in ravnino β - vzdolž segmentov čelno štrlečih ravnih črt. Presek L je na ravninah popolnoma viden.

№13.Koaksialne površine. Metoda koncentričnih krogel.

Pri konstruiranju črte presečišča površin posebnosti presečišča koaksialnih vrtilnih površin omogočajo uporabo krogel, ki so soosne s temi površinami, kot pomožne vmesne površine. Koaksialne vrtilne površine vključujejo površine, ki imajo skupno vrtilno os. Na sl. 134 prikazuje koaksialni valj in kroglo (sl. 134, a), koaksialni stožec in kroglo (sl. 134, b) ter koaksialni valj in stožec (sl. 134, c)

Koaksialne rotacijske ploskve se vedno sekajo vzdolž krožnic, katerih ravnine so pravokotne na rotacijsko os. Teh krožnic, ki so skupne obema ploskvama, je toliko, kolikor je presečišč obrisnih črt ploskev. Površine na sl. 134 sekajo vzdolž krožnic, ki jih tvorita točki 1 in 2 presečišča njihovih glavnih meridianov. Pomožna vmesna krogla seka vsako od danih ploskev po krožnici, v presečišču le-teh dobimo točke, ki pripadajo drugi ploskvi, torej presečišču. Če se osi površin sekajo, potem so pomožne krogle narisane iz enega središča - presečišča osi. V tem primeru je linija presečišča površin zgrajena z metodo pomožnih koncentričnih krogel. Pri konstruiranju presečišča površin za uporabo metode pomožnih koncentričnih krogel morajo biti izpolnjeni naslednji pogoji: 1) presečišče površin revolucije 2) so osi površin - sekajoče se ravne črte - vzporedne z eno od projekcijske ravnine, tj. obstaja skupna ravnina simetrije; Običajno se metoda pomožne krogle uporablja v kombinaciji z metodo pomožne rezalne ravnine. Na sl. 135 je bila zgrajena linija presečišča dveh stožčastih vrtilnih površin z osmi vrtenja, ki se sekata v čelni ravnini ravni Ф (Ф1). To pomeni, da se glavni meridiani teh površin sekajo in v svojem presečišču dajejo vidno točko presečišča glede na ravnino P2 oziroma najvišjo A in najnižjo B točko. V presečišču vodoravnega poldnevnika h in vzporednika h", ki leži v eni pomožni rezalni ravnini Г(Г2), se določita vidni točki C in D presečne črte glede na ravnino P1. Uporaba pomožne rezalne ravnine ni primerna. ravnine za izgradnjo dodatnih točk presečišča, saj bodo ravnine, vzporedne z F, sekale obe ploskvi vzdolž hiperbol, ravnine, vzporedne z G, pa bodo tvorile krožnice in hiperbole na presečišču ploskev, pomožnih horizontalno ali čelno projiciranih ravnin, narisanih skozi vrh ene ploskev sekajo vzdolž generatic in elips, ki omogočajo uporabo pomožnih sfer za konstrukcijo presečišč. Osi vrtilnih ploskev se sekajo v točki O (O1; O2), ki je središče pomožne. krogle, se polmer krogle spreminja znotraj Rmin.< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Vmesna krogla s polmerom R seka ploskvi vzdolž krožnic h4 in h5, v presečišču katerih sta Miejevi točki N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 S povezovanjem istoimenskih projekcij zgrajenih točk ob upoštevanju njihove vidnosti dobimo projekcije presečišča ploskev.

št. 14. izdelava presečišča površin, če vsaj ena od njih štrli. Značilne točke presečišča.

Preden začnete graditi linijo presečišča površin, je treba natančno preučiti pogoje problema, tj. katere ploskve se sekajo. Če ena od površin štrli, je rešitev problema poenostavljena, ker na eni od projekcij presečišče sovpada s projekcijo površine. In naloga se zmanjša na iskanje druge projekcijske črte. Pri reševanju problema morate najprej upoštevati "značilne" točke ali "posebne" točke. To:

· Točke na ekstremnih generatorjih

· Točke, ki delijo črto na vidne in nevidne dele

· Zgornje in spodnje točke itd. Nato morate pametno izbrati metodo, ki jo bomo uporabili pri izdelavi črte presečišča površin. Uporabili bomo dva načina: 1. pomožne rezalne ravnine. 2. pomožne sekantne krogle. Projekcijske površine vključujejo: 1) valj, če je njegova os pravokotna na projekcijsko ravnino; 2) prizma, če so robovi prizme pravokotni na projekcijsko ravnino. Projekcijska ploskev se premično projicira na projekcijsko ravnino. Vse točke in premice, ki pripadajo stranski ploskvi štrlečega valja ali štrleče prizme, se projicirajo v premico na ravnino, na katero je pravokotna os valja ali rob prizme. Presek ploskev pripada obema ploskvama hkrati in če ena od teh ploskev štrli, potem lahko za konstrukcijo presečišča uporabimo naslednje pravilo: če ena od sekajočih se ploskev štrli, je ena projekcija presečišča na risbi v končani obliki in sovpada s projekcijo projekcijske površine (krog, v katerega je projiciran valj, ali mnogokotnik, v katerega je projicirana prizma). Druga projekcija presečišča je sestavljena pod pogojem, da točke te črte pripadajo drugi neštrleči površini.

Upoštevane značilnosti značilnih točk olajšajo preverjanje pravilnosti konstrukcije presečišča površin, če je zgrajena s poljubno izbranimi točkami. V tem primeru je deset točk dovolj za risanje gladkih projekcij presečišča. Po potrebi je možno zgraditi poljubno število vmesnih točk. Konstruirane točke so povezane z gladko črto, ob upoštevanju značilnosti njihovega položaja in vidnosti. Oblikujmo splošno pravilo za konstrukcijo črte presečišča površin: izberite vrsto pomožnih površin; zgraditi presečišča pomožnih površin z danimi površinami; poiščite presečišča zgrajenih daljic in jih med seboj povežite. Pomožne sečne ravnine izberemo tako, da v presečišču z danimi ploskvami dobimo geometrijsko enostavne črte (premice ali krožnice). Izbira pomožnih rezalnih ravnin. Najpogosteje so projekcijske ravnine, zlasti nivojske ravnine, izbrane kot pomožne rezalne ravnine. V tem primeru je treba upoštevati presečišča, ki jih dobimo na površini kot rezultat presečišča površine z ravnino. Stožec je torej najbolj zapletena površina glede na število črt, ki jih dobimo na njej. Samo ravnine, ki potekajo skozi vrh stožca ali pravokotne na os stožca, ga sekajo v ravni črti in krogu (geometrično najpreprostejše črte). Ravnina, ki poteka vzporedno z eno generatriso, jo seka po paraboli, ravnina, vzporedna z osjo stožca, jo seka po hiperboli, ravnina, ki seka vse generatrice in je nagnjena na os stožca, pa jo seka po elipsi. Na krogli, ko jo presekamo z ravnino, vedno dobimo krog, in če jo presekamo z ravnino, se ta krog projicira na ravnino projekcije v premico oziroma krog. Kot pomožne ravnine torej izberemo vodoravne nivojske ravnine, ki sekajo tako stožec kot kroglo v krogih (najenostavnejših črtah). Nekateri posebni primeri površinskih presečišč V nekaterih primerih so razmerja med lokacijo, obliko ali velikostjo ukrivljenih površin takšna, da za upodobitev črte njihovega presečišča niso potrebne zapletene konstrukcije. Sem spadajo presečišča valjev z vzporednimi tvornicami, stožci s skupnim vrhom, koaksialne vrtilne ploskve, vrtilne ploskve, opisane okoli ene krogle.

Eseji

Pri podajanju projiciranja predmeta z ukrivljenimi robovi je poleg definiranja nabora točk, robov in ploskev predmeta projekcije potrebno definirati nabor obrisov za njegove ukrivljene robove.

Obrisi ukrivljene površine so črte na tej ukrivljeni površini, ki to površino delijo na dele, ki niso vidni, in dele, ki so vidni na projekcijski ravnini. V tem primeru govorimo o projekciji samo obravnavane ukrivljene ploskve in morebitno senčenje te ploskve z drugimi površinami v ospredju ni upoštevano.

Imenujejo se deli, na katere je ukrivljena površina razdeljena na obrise predelki.

Položaj obrisov krivuljnih ploskev je določen s parametri projekcije, zato je treba obrise določiti po končanem prehodu v koordinatni sistem pogleda.

Določanje obrisa ukrivljene površine je v splošnem razmeroma težka naloga. Zato se praviloma dana ukrivljena površina aproksimira z uporabo ene od tipičnih ukrivljenih površin, ki vključujejo:

Cilindrična površina;

Sferična površina;

Stožčasta površina.

Razmislimo o iskanju obrisov za te vrste ukrivljenih površin.

Najdba skice sferične površine ilustrirano na sl. 6.6-7.

Na sliki so uporabljene naslednje oznake:

O - središče krogle;

O p – projekcija središča krogle;

GM – glavni meridian dane krogle;

Pl1 je ravnina, ki poteka skozi središče krogle, vzporedno s projekcijsko ravnino;

X in , Y in , Z in – koordinatne osi koordinatnega sistema pogleda;

X p , Y p – koordinatne osi na projekcijsko ravnino.

Za iskanje značilnosti na površini krogle je treba skozi središče krogle narisati ravnino (pl1 na sliki 6.6‑7), ki je vzporedna z ravnino projekcije. Linija presečišča te ploskve in krogle, ki ima obliko kroga, se imenuje glavni meridian (PM) sferične ploskve. Ta glavni meridian je želeni obris.

Projekcija tega eseja bo krog z enakim polmerom. Središče tega kroga je projekcija središča prvotne krogle na projekcijsko ravnino (O p na sliki 6.7‑1).

riž.6.7 ‑ 1

Za določitev obris cilindrične površine, skozi os danega valja o 1 o 2 (slika 6.7‑2) je narisana ravnina Pl1, pravokotna na projekcijsko ravnino. Nato narišemo ravnino Pl2 skozi os valja, pravokotno na ravnino Pl1. Njena presečišča s cilindrično ploskvijo tvorijo dve ravni črti o ch 1 o ch 2 in o ch 3 o ch 4, ki sta obrisi valjaste ploskve. Projekcije teh skic so ravne črte o h 1p o ch 2p in o h 3p o h 4p, prikazane na sliki. 6.7‑2.

Konstrukcija esejev stožčasta površina ilustrirano na sl. 6.7-3.

Na sliki so uporabljene naslednje oznake:

O - vrh stožca;

OO 1 - os stožca;

X in , Y in , Z in – koordinatni sistem vrste;

PP – projekcijska ravnina;

X p , Y p , – koordinatni sistem projekcijske ravnine;

Lp – projekcijske črte;

O 1 - središče krogle, vpisane v stožec;

O 2 – tangentna krožnica včrtane krogle s središčem v točki O 1 in prvotno stožčasto ploskev;

O ch 1, O ch 1 – točke, ki ležijo na obrisih stožčaste površine;

O ch 1p, O ch 1p - točke, skozi katere potekajo črte, ki ustrezajo projekcijam obrisov stožčaste površine.

Stožčasta površina ima dva obrisa v obliki ravnih črt. Očitno je, da te premice potekajo skozi oglišča stožca - točko O. Za nedvoumno določitev obrisa je torej treba za vsak obris najti eno točko.

Za izdelavo obrisov stožčaste površine izvedite naslednje korake.

V dano stožčasto ploskev včrtamo kroglo (na primer s središčem v točki O 1) in določimo tangento te krogle na stožčasto ploskev. V primeru, obravnavanem na sliki, bo imela tangentna črta obliko kroga s središčem v točki O 2, ki leži na osi stožca.

Očitno je, da so od vseh točk sferične ploskve lahko točke, ki pripadajo obrisom, le točke, ki pripadajo tangentni krožnici. Po drugi strani pa se morajo te točke nahajati na obodu začetnega poldnevnika včrtane krogle.

Zato bodo zahtevane točke presečišča kroga začetnega poldnevnika včrtane krogle in tangentnega kroga. Te točke lahko definiramo kot presečišča tangentne krožnice in ravnine, ki poteka skozi središče včrtane krogle O 1, vzporedno s projekcijsko ravnino. Takšni točki na zgornji sliki sta O ch 1 in O ch 2.

Za izdelavo projekcij skic je dovolj, da poiščete točki O ch 1p in O ch 2p, ki sta projekciji najdenih točk O ch 1 in O ch 2 na projekcijsko ravnino, in z uporabo teh točk in točke O p projekcije vrha stožca zgradite dve ravni črti, ki ustrezata projekcijama obrisov dane stožčaste ploskve (glej sliko 6.7-3).