IZPITNI PROGRAM

pri predmetu “Matematična analiza” (A-5,13,14-13)

1. Omejene in neomejene množice. Primeri.

2. Zgornja in spodnja meja številskega niza. Izrek o eksistenci

natančna zgornja (natančna spodnja) meja niza.

3. Zaporedje številk. Omejitev zaporedja številk.

Povezava med konvergentnim in infinitezimalnim zaporedjem.

4. Infinitezimalna zaporedja in njihove lastnosti.

5. Neskončno velika zaporedja in njihova povezava z neskončno malimi

zaporedja.

6. Aritmetične lastnosti omejitve zaporedja.

7. Lastnosti konvergentnih zaporedij: enoličnost limite,

omejenost konvergentnega zaporedja.

8. Lastnosti konvergentnih zaporedij: limitni prehod v

neenakosti.

9. Monotone sekvence. Izrek o limiti monotonega

zaporedja.

10. Številka e.

11. Lema o ugnezdenih segmentih.

12. Naknadne zaporedje, delne omejitve. Omejite komunikacijo

zaporedja z delnimi omejitvami.

13. Bolzano-Weierstrassov izrek.

14. Cauchyjev kriterij za konvergenco numeričnega zaporedja.

15. Limit funkcije: dve definiciji in njuna ekvivalenca.

16. Aritmetične lastnosti limitov funkcij.

17. Lastnosti limitov funkcij: enoličnost limita; omejitev

funkcijo, ki ima omejitev.

18. Lastnosti limitov funkcij: prehod na limit v neenačbah.

19. Enostranski limiti in njihova povezava z limitom funkcije.

20. Prva čudovita meja.

21. Druga čudovita meja.

22. Infinitezimalne funkcije in njihove lastnosti.

23. Neskončno velike funkcije in njihova povezava z infinitezimalnimi

funkcije.

24. Primerjava infinitezimalnih funkcij. Primeri.

25. Ekvivalentne infinitezimalne funkcije (tabela). Izrek o

ekvivalentne infinitezimalne funkcije.

26. Primerjava je neskončna odlične funkcije. Primeri.

27. Zveznost funkcije v točki (3 definicije). Lastnosti funkcije,

neprekinjeno v točki.

28. Zveznost kompleksne funkcije.

29. Klasifikacija funkcijskih diskontinuitetnih točk.

30. Lomne točke monotone funkcije.

31. Weierstrassov prvi izrek.

32. Weierstrassov drugi izrek.

33. Izrek o ničli zvezne funkcije.

34. Bolzano-Cauchyjev izrek o vmesnih vrednostih zvezne črte

funkcije. Posledica Bolzano-Cauchyjevega izreka.

35. Kriterij zveznosti monotone funkcije.

36. Zveznost inverzne funkcije.

37. Enakomerna zveznost funkcije. Cantorjev izrek.

38. Odvod funkcije v točki. Odvod elementarne funkcije

(primeri in tabela). Geometrijski pomen izpeljanka.

39. Diferenciabilnost funkcije v točki (dve definiciji in njun

enakovrednost). Zveznost diferenciabilne funkcije.

40. Aritmetične lastnosti diferenciabilnih funkcij.

41. Odvod kompleksne funkcije.

42. Odvod inverzne funkcije.

43. Odvod funkcije, definirane parametrično.

44. Derivati ​​višjih redov. Leibnizova formula.

45. Diferencial funkcije. Diferencialne lastnosti. Invariantnost

oblike pisanja prve razl.

46. ​​​​Diferenciali višjih redov. Neinvariantnost snemalne oblike

drugi diferencial.

47. Fermatov izrek.

48. Rollejev izrek.

49. Lagrangeov izrek.

50. Cauchyjev izrek za diferenciabilne funkcije.

51. L'Hopitalovo pravilo.

52. 53. 54. Taylorjeva formula z ostankom v Peanovi obliki. Taylorjeva formula z ostankom v Lagrangeovi obliki. Taylorjeve formule za osnovne funkcije.

55. Znak monotonosti funkcije.

56. Lokalni ekstrem funkcije. Nujen pogoj za lokalno

ekstrem.

57. Prvič zadosten pogoj lokalni ekstrem.

58. Drugi zadostni pogoj za lokalni ekstrem.

59. Konveksnost funkcije. Zadosten pogoj za konveksnost funkcije.

60. Povezava med konveksnostjo funkcije in tangento na graf funkcije

(besedilo).

64. Prevojna točka funkcije. Nujen pogoj za prevojno točko.

65. Zadostni pogoji za prevojno točko (2 izreka).

66. Asimptote grafa funkcije.

1. Omejene in neomejene množice. Primeri.

Dokaz. Posledica. Primer.

2. Zgornja in spodnja meja številskega niza. Izrek o obstoju natančne zgornje (natančne spodnje) meje množice.

Izjava. Dokaz.

Izrek o obstoju natančne zgornje (spodnje) meje. Dokaz.

3. Številčno zaporedje. Omejitev zaporedja številk. Povezava med konvergentnim in infinitezimalnim zaporedjem.

Izrek o povezavi b.m. in konvergentno zaporedje. Dokaz.

4. Infinitezimalna zaporedja in njihove lastnosti.

1. izrek. Dokaz.

Posledica.

5. Neskončno velika zaporedja in njihova povezava z infinitezimalnimi zaporedji.

Izrek.

Dokaz.

6. Aritmetične lastnosti limitov zaporedja.

Izrek.Dokazi. Izrek. Dokaz.

7. Lastnosti konvergentnih zaporedij: enoličnost limite, omejenost konvergentnega zaporedja.

Izrek:(o enkratnosti meje): Če
-konvergentno, potem obstaja samo ena meja.

Dokaz:

Pustiti
,
,
.

Da bi bili prepričani
imamo:

.

<
<

<. <
.

Protislovje.

Izrek:(o omejenosti konvergentnega zaporedja): Če
-konvergira, potem je omejena.

- konvergentno


:

.

Vzemimo =1


.

Označimo torej

Potem

Zato za oba primera

komentar: nasprotno ne drži.

8. Lastnosti konvergentnih zaporedij: limitni prehod v neenačbah.

Izrek: (o omejitvi prehoda na neenakost):

Pustiti
,
.

. Potem
.

komentar:

.

Dokaz (s protislovjem):

Pustiti
.

Vzemimo
.

Označimo

.

- protislovje.

komentar:Če so elementi zaporedja izpolnjeni
, potem iz tega ne sledi
.


.

=, =,



.

9. Monotone sekvence. Izrek o limiti monotonega zaporedja.

definicija:
- monotono naraščajoče (monotono padajoče),

če

(
). Če so neenakosti stroge, potem

zaporedja striktno naraščajo (padajo).

Izrek (o limiti monotonega zaporedja). Pustiti

Monotono narašča in je omejena od zgoraj. Potem se konvergira in

.

Dokaz:

omejen od zgoraj =>z izrekom o obstoju natančnega zgornjega

robovi

. Dokažimo to
.

: 1)

2)
.

Vzemimo poljubno
, označujejo
od 2).

1)=>

2)=>
(monot. starost).

Sledi, da
,
=>

.

Dokazali smo zadosten pogoj za numerično konvergenco zaporedja (monot. in limit.)

10. Številka e.

Težko je dokazati, da funkcija
pri

ima mejo. Ta meja je označena s črko v čast odkritelja

njegov peterburški matematik Leonhard Euler. Odločil, da

to je iracionalno število in kaj =2,718281828459…. formula,

določitev števila tradicionalno imenovana druga čudovita

omejitev.

. Tudi številka -osnova

naravni logaritmi.

Razmislimo
.

Omejene in neomejene množice. Končne in neskončne množice

Množice s številom elementov so lahko končne ali neskončne

Razmislite o poljubni neskončni množici realna števila, se lahko določi na kakršen koli način. Takšna

Kompleti so npr naravna števila, kup pravilni ulomki, množica realnih števil med 0 in 1, množica korenov sin enačbe x = ½ itd.

Z x označimo poljubno število množice, z X pa bomo označili samo množico.

Definicije 7.3.

Če za množico X obstaja število M tako, da je za vse x≤M, potem se množica X imenuje omejena zgoraj (s številom M), sama M pa se imenuje zgornja meja X. Na primer, množica naravne frakcije je od zgoraj omejen s številom 1 (in na splošno s katerim koli številom, večjim ali enakim 1), je naravni niz od zgoraj neomejen

Podobno sta definirana od spodaj omejena množica in spodnja meja

Množica, omejena od zgoraj (od spodaj), je lahko omejena in omejena od spodaj (od zgoraj). Tako je množica pravih ulomkov omejena zgoraj in spodaj, naravna vrsta pa je omejena spodaj, ne pa zgoraj.

Če je nabor zgoraj (spodaj) neomejen, se za njegovo zgornjo (spodnjo) mejo vzame »neustrezno« število. Glede teh »neustreznih« ali »neskončnih« števil predpostavimo, da je realno število α.

Množica, omejena zgoraj in spodaj, se imenuje (preprosto) omejeno.

Če je množica omejena od zgoraj, tj. ima končno zgornjo mejo na M, potem ima hkrati neskončno število zgornjih mej (ker bo npr. vsako število >M očitno tudi zgornja meja). Od vseh zgornjih meja je tista, ki je najbolj zanimiva, najmanjša (aka natančno Zgornja meja, supremum, supremum množice X, supX (iz latinščine supremum - največji))

Natančna spodnja meja ( spodnji rob, infinum množice X, inf X (iz infinum – najmanjši))

definicija '

Število β imenujemo zgornja meja množice števil X, če:

2’) za vsako ε>0 obstaja tako, da je x > β - ε

Za α=inf X definicijo ‘ sliko oblikujte sami. 7.3(2).

Pustiti ; Potem

sup = sup (a, b) = b, inf [a, b] = inf (a, b) = a.

Ti primeri zlasti kažejo, da lahko spodnja in zgornja ploskev pripadata samemu nizu ali pa tudi ne.

Po sami definiciji sta zgornja in spodnja meja niza edinstveni. Pravzaprav, če je v nekem nizu, čeprav pripada razširjeni številski premici, najmanjši (največji) element, potem je edinstven, saj od obeh različne elemente množice, največji med njimi ne more biti najmanjši element in najmanjši ne more biti največji.

Ali ima zgoraj (spodaj) omejena množica vedno točno zgornjo (spodnjo) mejo? Ker je zgornjih (spodnjih) meja neskončno veliko in med neskončno množico števil ni vedno največje (najmanjše), je za obstoj supremuma (infinuma) potreben poseben dokaz.

Izrek 7.3(1)

Vsaka zgoraj omejena neprazna množica ima zgornjo mejo, vsaka spodaj omejena neprazna množica pa ima spodnjo mejo.

Dokaz

Naj bo neprazno nabor številk A je omejeno od zgoraj, je B množica vseh števil, ki so vezana od zgoraj na množico A. Če potem iz definicije števila, ki je omejeno od zgoraj

niz, sledi a≤b. Torej z lastnostjo kontinuitete realna števila obstaja število β tako, da za vse velja neenakost a≤β≤b. Neenakost pomeni, da število β omejuje množico A od zgoraj, neenakost pa pomeni, da je število β najmanjše med vsemi števili, ki omejujejo množico A od zgoraj. Zato je β = sup A.

Na podoben način se dokaže, da ima od spodaj omejena numerična množica infimum.

Oglejmo si razporeditev grafov relativno drug proti drugemu inverzne funkcije V kartezični sistem koordinate in dokažite naslednjo trditev.

Lema 1.1. Če a, b R, potem so točke M 1 (a, b), M 2 (b, a) ravnine simetrične glede na premico y = x.

Če je a = b, potem točki M1, M2 sovpadata in ležita na premici y = x. Predpostavili bomo, da je a 6= b. Premica, ki poteka skozi točki M1, M2, ima enačbo y = −x+a+b, zato je pravokotna na premico y = x.

Ker ima sredina odseka M1 M2 koordinate a + 2 b ,a + 2 b ! , To

leži na premici y = x. Zato točke M1, M2

Posledica. Če sta funkciji f: X −→ Y in ϕ : Y −→ X medsebojno inverzni, sta njuna grafa simetrična glede na premico y = x, če sta narisana v istem koordinatnem sistemu.

Naj sta f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) grafa funkcij f oziroma ϕ. Ker

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

potem sta na podlagi dokazane leme grafa f in ϕ simetrična glede na premico y = x.

1.6 Lastnosti številskih množic

1.6.1 Omejene številske množice

Opredelitev 1.26. Naj bo X neprazen niz števil. Za množico X pravimo, da je omejena zgoraj (spodaj), če obstaja število a tako, da je x 6 a (x > a ) za kateri koli element x X . V tem primeru se število a imenuje zgornja (spodnja) meja množice X. Spodaj in zgoraj omejena množica se imenuje omejena.

Z uporabo logičnih simbolov zgornjo omejenost množice X zapišemo takole:

a R: x 6 a, x X.

Ob upoštevanju lastnosti modula števila lahko podamo naslednjo ekvivalentno definicijo omejene množice.

Opredelitev 1.27. Neprazna številska množica X se imenuje omejena, če obstaja pozitivno število M tako, da

Opredelitev 1.28. Element iz številske množice X se imenuje maksimalni (minimalni) element v X, če je x 6 a (oziroma x > a) za kateri koli x od X in pišejo: a = max X (oziroma a = min X) .

Na podlagi aksioma reda (3.b) je enostavno pokazati, da če ima množica X v R največji (minimalni) element, potem je edinstvena.

Upoštevajte, da če ima množica števil X največji (najmanjši) element a, potem je omejena zgoraj (spodaj) in je število a zgornja (spodnja) meja množice X. Vendar ni vsaka množica števil omejena zgoraj (spodaj) ) ima največji (minimalni) element .

Primer 1.5. Pokažimo, da je množica X = )