Določanje pravokotnih premic in ravnin v prostoru. Pravokotnost premice in ravnine, znak in pogoji pravokotnosti premice in ravnine

Oris lekcije geometrije v 10. razredu na temo "Pravokotnost črte in ravnine"

Cilji lekcije:

izobraževalni

uvajanje znaka pravokotnosti premice in ravnine;

oblikovati ideje učencev o pravokotnosti ravne črte in ravnine, njihovih lastnostih;

razvijati sposobnost učencev za reševanje tipičnih problemov na temo, sposobnost dokazovanja trditev;

razvoju

razvijati neodvisnost in kognitivno aktivnost;

razviti sposobnost analiziranja, sklepanja, sistematizacije prejetih informacij,

razvijati logično razmišljanje;

razvijati prostorsko domišljijo.

izobraževalni

negovanje govorne kulture in vztrajnosti učencev;

učencem vzbuditi zanimanje za predmet.

Vrsta lekcije: Lekcija učenja in primarnega utrjevanja znanja.

Oblike študentskega dela: frontalna anketa.

Oprema: računalnik, projektor, platno.

Literatura:"Geometrija 10-11", učbenik. Atanasjan L.S. in itd.

(2009, 255 str.)

Učni načrt:

Organizacijski trenutek (1 minuta);

Posodabljanje znanja (5 minut);

Učenje nove snovi (15 minut);

Primarna konsolidacija preučenega materiala (20 minut);

Povzetek (2 minuti);

Domača naloga (2 minuti).

Med poukom.

Organizacijski trenutek (1 minuta)

Pozdrav študentom. Preverjanje pripravljenosti učencev na pouk: preverjanje razpoložljivosti zvezkov in učbenikov. Preverjanje odsotnosti od pouka.

Posodabljanje znanja (5 minut)

učiteljica. Katera premica se imenuje pravokotna na ravnino?

Študent. Premica, ki je pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini, se imenuje premica, pravokotna na to ravnino.

učiteljica. Kakšna je lema o dveh vzporednih premicah, pravokotnih na tretjo?

Študent. Če je ena od dveh vzporednih premic pravokotna na tretjo premico, potem je druga premica pravokotna na to premico.

učiteljica. Izrek o pravokotnosti dveh vzporednih premic na ravnino.

Študent. Če je ena od dveh vzporednih premic pravokotna na ravnino, potem je druga premica pravokotna na to ravnino.

učiteljica. Kaj je obratno od tega izreka?

Študent. Če sta dve premici pravokotni na isto ravnino, potem sta vzporedni.

Preverjanje domače naloge

Domače naloge se preverijo, če imajo učenci težave pri reševanju.

Učenje nove snovi (15 minut)

učiteljica. Ti in jaz veva, da če je premica pravokotna na ravnino, potem bo pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini, toda v definiciji je pravokotnost premice na ravnino podana kot dejstvo. V praksi je pogosto treba ugotoviti, ali bo premica pravokotna na ravnino ali ne. Takšne primere lahko navedemo iz življenja: med gradnjo stavb se piloti zabijajo pravokotno na površino zemlje, sicer se lahko konstrukcija zruši. V tem primeru je nemogoče uporabiti definicijo ravne pravokotne ravnine. Zakaj? Koliko ravnin lahko narišemo v ravnini?

Študent. V ravnini lahko narišemo neskončno število ravnih črt.

učiteljica. Prav. In nemogoče je preveriti pravokotnost ravne črte na vsako posamezno ravnino, saj bo to trajalo neskončno dolgo. Da bi razumeli, ali je premica pravokotna na ravnino, uvedemo znak pravokotnosti premice in ravnine. Zapiši v zvezek. Če je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini, potem je pravokotna na to ravnino.

Pisanje v zvezek. Če je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini, potem je pravokotna na to ravnino.

učiteljica. Tako nam ni treba preverjati pravokotnosti premice za vsako premico, dovolj je, da preverimo pravokotnost samo za dve premici te ravnine.

učiteljica. Dokažimo ta znak.

podano: str in q– naravnost, str ∩ q = O, a⊥ str, a⊥ q, str ϵ α, q ϵ α.

Dokaži: a⊥ α.

učiteljica. Pa vendar bomo za dokaz uporabili definicijo premice, pravokotne na ravnino, kako se sliši?

Študent. Če je premica pravokotna na ravnino, potem je pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini.

učiteljica. Prav. Narišimo poljubno premico m v ravnino α. Skozi točko O narišimo premico l ║ m. Na premici a označimo točki A in B tako, da je točka O razpolovišče dolge AB. Narišimo premico z tako, da seka premice p, q, l, presečišča teh premic pa označimo s P, Q, L. Povežimo konca odseka AB s točkama P,Q in L.

učiteljica. Kaj lahko rečemo o trikotnikih ∆APQ in ∆BPQ?

študent. Ti trikotniki bodo enaki (glede na 3. znak enakosti trikotnikov).

učiteljica. Zakaj?

študent. Ker premici p in q sta pravokotni simetrali, potem je AP = BP, AQ = BQ, stranica PQ pa je skupna.

učiteljica. Prav. Kaj lahko rečemo o trikotnikih ∆APL in ∆BPL?

študent. Tudi ti trikotniki bodo enaki (glede na 1 znak enakosti trikotnikov).

učiteljica. Zakaj?

študent. AP = B.P., P.L.– splošna stran, APL =  BPL(iz enakosti ∆ APQ in ∆ B.P.Q.)

učiteljica. Prav. To pomeni AL = BL. Kaj bo torej ∆ALB?

študent. To pomeni, da bo ∆ALB enakokrak.

učiteljica. LO je mediana v ∆ALB, kaj bo torej v tem trikotniku?

Študent. To pomeni, da bo LO tudi višina.

učiteljica. Zato naravnostlbo pravokotna na črtoa. In ker je naravnostlvsaka premica, ki pripada ravnini α, potem je po definiciji premicaa⊥ α. Q.E.D.

Dokazano s predstavitvijo

učiteljica. Kaj storiti, če premica a ne seka točke O, ampak ostane pravokotna na premici p in q? Kaj pa, če premica a seka katero koli drugo točko dane ravnine?

študent. Lahko sestavite ravno črto 1 , ki bo vzporedna s premico a, bo sekala točko O in z uporabo leme o dveh vzporednih premicah, pravokotnih na tretjo, lahko dokažemo, daa 1 ⊥ str, a 1 ⊥ q.

učiteljica. Prav.

Primarno utrjevanje preučenega gradiva (20 minut)

učiteljica. Da bi utrdili preučeno snov, bomo rešili številko 126. Preberi nalogo.

študent. Premica MB je pravokotna na stranici AB in BC trikotnika ABC. Določite vrsto trikotnika МВD, kjer je D poljubna točka premice AC.

risanje.

Podano: ∆ ABC, M.B.⊥ B.A., M.B.⊥ B.C., D ϵ A.C..

Poišči: ∆ MBD.

rešitev.

učiteljica. Ali je mogoče skozi oglišča trikotnika narisati ravnino?

študent. Ja lahko. Ravnino lahko narišemo vzdolž treh točk.

učiteljica. Kako se bosta premici BA in NE nahajali glede na to ravnino?

študent. Te premice bodo ležale v tej ravnini.

učiteljica. Izkazalo se je, da imamo ravnino in v njej sta dve sekajoči se črti. Kako je neposredni SN povezan s temi direktnimi vodi?

študent. Neposredni MV⊥ VA, MV ⊥ VS.

Zapiši na tablo in v zvezke. Ker MV⊥ VA, MV ⊥ VS

učiteljica. Če je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini, ali bo premica povezana s to ravnino?

Študent. Premica MV bo pravokotna na ravnino ABC.

⊥ ABC.

učiteljica. Točka D je poljubna točka na odseku AC, kako bo torej premica BD povezana z ravnino ABC?

študent. To pomeni, da BD pripada ravnini ABC.

Zapiši na tablo in v zvezke. Ker BD ϵ ABC

učiteljica. Kakšna bosta neposredni MV in BD med seboj?

Študent. Te črte bodo pravokotne po definiciji črte, pravokotne na ravnino.

Zapiši na tablo in v zvezke. ↔ MV⊥ BD

učiteljica. Če je MB pravokoten na BD, kakšen bo trikotnik MBD?

Študent. Trikotnik MBD bo pravokoten.

Zapiši na tablo in v zvezke. ↔ ∆MBD – pravokoten.

učiteljica. Prav. Rešimo številko 127. Preberi nalogo.

Študent. V trikotnikuABC vsota kotov A in Benako 90°. NaravnostBDpravokotno na ravninoABC. Dokaži to CD⊥ AC.

Učenec gre k tabli. Nariše risbo.

Zapiši na tablo in v zvezek.

Podano: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Dokaži: CD⊥ A.C..

Dokaz:

učiteljica. Kolikšna je vsota kotov trikotnika?

Študent. Vsota kotov v trikotniku je 180°.

učiteljica. Kolikšen bo kot C v trikotniku ABC?

Študent. Kot C v trikotniku ABC bo enak 90°.

Zapiši na tablo in v zvezke. C = 180° - A- B= 90°

učiteljica. Če je kot C 90°, kako bosta premici AC in BC med seboj nameščeni?

Študent. Torej AC⊥ Sonce.

Zapiši na tablo in v zvezke. ↔ AC⊥ Sonce

učiteljica. Premica BD je pravokotna na ravnino ABC. Kaj iz tega sledi?

Študent. Torej je BD pravokotna na katero koli premico iz ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDpravokotno na poljubno ravno črtoABC(a-priory)

učiteljica. Kako bosta glede na to razmerja neposredni BD in AC?

Študent. To pomeni, da bodo te črte pravokotne.

BD⊥ A.C.

učiteljica. AC je pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini DBC, vendar AC ne poteka skozi presečišče. Kako to popraviti?

Študent. Skozi točko B narišemo premico a vzporedno z AC. Ker je AC pravokoten na BC in BD, bo po lemi a pravokoten na BC in BD.

Zapiši na tablo in v zvezke. Skozi točko B narišemo premico a ║AC ↔ a⊥ B.C., in ⊥ BD

učiteljica. Če je premica a pravokotna na BC in BD, kaj potem lahko rečemo o relativni legi premice a in ravnine BDC?

Študent. To pomeni, da bo premica a pravokotna na ravnino BDC, zato bo premica AC pravokotna na BDC.

Zapiši na tablo in v zvezke. ↔ a⊥ BDC↔ AC ⊥ BDC.

učiteljica. Če je AC pravokotna na BDC, kako bosta premici AC in DC med seboj nameščeni?

Študent. AC in DC bosta pravokotna po definiciji premice, pravokotne na ravnino.

Zapiši na tablo in v zvezke. Ker AC⊥ BDC↔ AC ⊥ DC

učiteljica. Dobro opravljeno. Rešimo številko 129. Preberi nalogo.

Študent. NaravnostA.M.pravokotno na ravnino kvadrataABCD, katerih diagonali se sekata v točki O. Dokaži, da: a) premicaBDpravokotno na ravninoAMO; b)M.O.⊥ BD.

Učenec pride k tabli. Nariše risbo.

Zapiši na tablo in v zvezek.

podano:ABCD- kvadrat,A.M.⊥ ABCD, A.C. ∩ BD = O

Dokaži:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Dokaz:

učiteljica. Moramo dokazati, da je ravna črtaBD⊥ AMO. Kateri pogoji morajo biti izpolnjeni, da se to zgodi?

Študent. Biti mora naravnost BD je bila pravokotna na vsaj dve sekajoči se premici iz ravnine AMO.

učiteljica. Pogoj pravi, da BD pravokotno na dve sekajoči se črti AMO?

Študent. št.

učiteljica. Ampak to vemo A.M. pravokotno ABCD . Kakšen sklep je mogoče potegniti iz tega?

Študent. Pomeni kaj A.M. pravokotna na katero koli premico iz te ravnine, tj A.M. pravokotno B.D.

A.M.⊥ ABCD ↔ A.M.⊥ BD(predhodno).

učiteljica. Ena črta je pravokotna BD Tukaj je. Bodite pozorni na kvadrat, kako bodo ravne črte nameščene glede na drugo AC in BD?

Študent. A.C. bo pravokotna BD z lastnostjo diagonal kvadrata.

Zapiši na tablo in v zvezek. KerABCD- kvadrat, torejA.C.⊥ BD(z lastnostjo diagonal kvadrata)

učiteljica. Našli smo dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini AMO pravokotno na ravno črto BD . Kaj iz tega sledi?

Študent. Pomeni kaj BD pravokotno na ravnino AMO.

Zapiši na tablo in v zvezke. KerA.C.⊥ BDinA.M.⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(po atributu)

učiteljica. Katero premico imenujemo premica, pravokotna na ravnino?

Študent. Premica se imenuje pravokotna na ravnino, če je pravokotna na katero koli premico iz te ravnine.

učiteljica. To pomeni, kako so črte med seboj povezane BD in OM?

Študent. Torej BD pravokotno OM . Q.E.D.

Zapiši na tablo in v zvezke. ↔BD⊥ M.O.(predhodno). Q.E.D.

Povzetek (2 minuti)

učiteljica. Danes smo se učili znaka pravokotnosti premice in ravnine. Kako zveni?

Študent. Če je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini, potem je ta premica pravokotna na to ravnino.

učiteljica. Prav. Naučili smo se uporabljati to funkcijo pri reševanju problemov. Bravo tistim, ki so odgovarjali ob tabli in pomagali s kraja.

Domača naloga (2 minuti)

učiteljica. 1. odstavek, odstavki 15-17, poučujejo: lemo, definicijo in vse izreke. št. 130, 131.

V tem članku bomo govorili o pravokotnosti premice in ravnine. Najprej je podana definicija premice, pravokotne na ravnino, podana je grafična ponazoritev in primer ter prikazana oznaka premice, pravokotne na ravnino. Po tem se oblikuje znak pravokotnosti ravne črte in ravnine. Nato dobimo pogoje, ki omogočajo dokazovanje pravokotnosti premice in ravnine, ko sta premica in ravnina podani z določenimi enačbami v pravokotnem koordinatnem sistemu v tridimenzionalnem prostoru. V zaključku so prikazane podrobne rešitve tipičnih primerov in problemov.

Navigacija po strani.

Pravokotna premica in ravnina - osnovni podatki.

Priporočamo, da najprej ponovite definicijo pravokotnic, saj je definicija pravokotnice na ravnino podana preko pravokotnosti daljic.

Opredelitev.

To pravijo črta je pravokotna na ravnino, če je pravokotna na katerokoli premico, ki leži v tej ravnini.

Lahko rečemo tudi, da je ravnina pravokotna na premico ali da sta premica in ravnina pravokotni.

Za označevanje pravokotnosti uporabite ikono, kot je »«. Se pravi, če je premica c pravokotna na ravnino, potem lahko na kratko zapišemo .

Primer črte, pravokotne na ravnino, je črta, vzdolž katere se sekata dve sosednji steni prostora. Ta črta je pravokotna na ravnino in na ravnino stropa. Vrv v telovadnici lahko obravnavamo tudi kot odsek ravne črte, pravokoten na ravnino tal.

Na koncu tega odstavka članka ugotavljamo, da če je ravna črta pravokotna na ravnino, se šteje, da je kot med ravno črto in ravnino enak devetdeset stopinj.

Pravokotnost premice in ravnine - znak in pogoji pravokotnosti.

V praksi se pogosto pojavlja vprašanje: "Ali sta dani premica in ravnina pravokotni?" Za odgovor na to obstaja zadosten pogoj za pravokotnost premice in ravnine, to je takšen pogoj, katerega izpolnitev zagotavlja pravokotnost premice in ravnine. Ta zadostni pogoj imenujemo znak pravokotnosti premice in ravnine. Oblikujmo ga v obliki izreka.

Izrek.

Da sta premica in ravnina pravokotni, zadostuje, da je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v tej ravnini.

Dokaz znaka pravokotnosti premice in ravnine si lahko ogledate v učbeniku geometrije za 10.-11. razred.

Pri reševanju nalog ugotavljanja pravokotnosti premice in ravnine se pogosto uporablja tudi naslednji izrek.

Izrek.

Če je ena od dveh vzporednih premic pravokotna na ravnino, potem je tudi druga premica pravokotna na ravnino.

V šoli se obravnava veliko problemov, za rešitev katerih se uporablja znak pravokotnosti premice in ravnine ter zadnji izrek. O njih se tukaj ne bomo zadrževali. V tem delu članka se bomo osredotočili na uporabo naslednjega potrebnega in zadostnega pogoja za pravokotnost premice in ravnine.

Ta pogoj je mogoče prepisati v naslednji obliki.

Pustiti je smerni vektor premice a in je normalni vektor ravnine. Da sta premica a in ravnina pravokotni, je potrebno in zadostuje, da in : , kjer je t neko realno število.

Dokaz tega nujnega in zadostnega pogoja za pravokotnost premice in ravnine temelji na definicijah smernega vektorja premice in normalnega vektorja ravnine.

Očitno je ta pogoj primeren za dokazovanje pravokotnosti premice in ravnine, ko je mogoče zlahka najti koordinate usmerjevalnega vektorja premice in koordinate normalnega vektorja ravnine v fiksnem tridimenzionalnem prostoru. . To velja za primere, ko so podane koordinate točk, skozi katere potekata ravnina in premica, kot tudi za primere, ko je premica določena z nekaterimi enačbami premice v prostoru, ravnina pa z enačbo letalo neke vrste.

Oglejmo si rešitve več primerov.

Primer.

Dokaži pravokotnost premice in letala.

rešitev.

Vemo, da so števila v imenovalcih kanoničnih enačb premice v prostoru ustrezne koordinate smernega vektorja te premice. torej - direktni vektor .

Koeficienti spremenljivk x, y in z v splošni enačbi ravnine so koordinate normalnega vektorja te ravnine, tj. je normalni vektor ravnine.

Preverimo izpolnjevanje nujnega in zadostnega pogoja za pravokotnost premice in ravnine.

Ker , potem sta vektorja in povezana z relacijo , to pomeni, da so kolinearni. Zato naravnost pravokotno na ravnino.

Primer.

Ali je črta pravokotna? in letalo.

rešitev.

Poiščimo smerni vektor dane premice in normalni vektor ravnine, da preverimo, ali je izpolnjen nujni in zadostni pogoj za pravokotnost premice in ravnine.

Usmerjevalni vektor je raven je

Da bi bila premica v prostoru ravnina, je nujno in zadostno, da je na diagramu vodoravna projekcija premice vodoravna projekcija vodoravnice, čelna projekcija pa na čelno projekcijo sprednje strani te premice. letalo.

Določanje razdalje od točke do ravnine(slika 19)

1. Iz točke spustite navpično na ravnino (če želite to narediti v ravnini

držite h,f);

2. Poiščite presečišče ravne črte z ravnino (glej sliko 18);

3. Poiščite n.v. pravokotni segment (glej sliko 7).

Drugi razdelek Metoda zamenjave projekcijskih ravnin

(za naloge 5, 6,7)

Ta geometrijski lik ostane negiben v sistemu projekcijskih ravnin. Nove projekcijske ravnine so nameščene tako, da projekcije, pridobljene na njih, zagotavljajo racionalno rešitev obravnavanega problema. V tem primeru mora biti vsak nov sistem projekcijskih ravnin pravokoten sistem. Po projiciranju predmetov na ravnine se le-ti združijo v eno z vrtenjem okrog skupnih ravnin (projekcijskih osi) vsakega para medsebojno pravokotnih ravnin.

Na primer, naj bo točka A določena v sistemu dveh ravnin P 1 in P 2. Sistem dopolnimo z drugo ravnino P 4 (slika 20), P 1 P 4. Z ravnino P 1 ima skupno premico X 14. Zgradimo projekcijo A 4 na P 4.

AA 1 =A 2 A 12 =A 4 A 14.

Na sl. 21, kjer so ravnine P 1, P 2 in P 4 poravnane, je to dejstvo določeno z rezultatom A 1 A 4 X 14 in A 14 A 4 A 2 A 12.

Razdalja nove projekcije točke do nove projekcijske osi (A 4 A 14) je enaka razdalji od zamenjane projekcije točke do zamenjane osi (A 2 A 12).

Veliko število metričnih problemov opisne geometrije se rešuje na podlagi naslednjih štirih problemov:

1. Preoblikovanje ravne črte splošnega položaja v ravno črto (slika 22):

a) P 4 || AB (os X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14 ;

c) A 4 A 14 = A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Pretvarjanje splošne črte v štrlečo črto (slika 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14 ;

A 14 A 4 = A 12 A 2;

V 14 V 4 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - sedanjost;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45 ;

A 45 A 5 =B 45 V 5 =A 14 A 1 =B 14 V 1;

3. Pretvorba ravnine splošnega položaja v projekcijski položaj (slika 24):

Ravnino lahko postavimo v štrleči položaj, če naredimo eno ravno črto ravnine štrlečo. V ravnino ABC narišemo vodoravno črto (h 2 ,h 1), ki jo lahko naredimo projicirajočo v eni transformaciji. Narišimo ravnino P 4 pravokotno na vodoravno; na to ravnino bo projicirana kot točka, ravnina trikotnika pa kot premica.

4. Transformacija ravnine splošnega položaja v ravnino ravnine (slika 25).

Z dvema transformacijama naredite ravnino ravno ravnino. Najprej je treba ravnino narediti štrlečo (glej sliko 25) in nato narisati P 5 || A 4 B 4 C 4, dobimo A 5 B 5 C 5 - n.v.

Problem #5

Določite razdaljo od točke C do premice v splošnem položaju (slika 26).

Rešitev je 2. glavni problem. Nato je razdalja v diagramu definirana kot razdalja med dvema točkama

A 5 B 5 D 5 in C 5.

Projekcija C 4 D 4 || X 45.

Problem št. 6

Določite razdaljo od ()D do ravnine, ki jo določajo točke A, B, C (slika 27).

Problem je rešen z 2. glavnim problemom. Razdalja (E 4 D 4) od ()D 4 do premice A 4 C 4 B 4, v katero je bila projicirana ravnina ABC, je naravna vrednost odseka ED.

Projekcija D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Zgradi sam D 1 E 1.

Zgradi sam D 2 E 2.

Problem št. 7

Določi dejansko velikost trikotnika ABC (glej rešitev 4. glavne naloge) (slika 25)

Gradnja premica, pravokotna na dano ravnino iz točke zunaj te ravnine.
Pustiti a- ravnina, A – točka, iz katere je treba navpičnico spustiti. V ravnino narišimo premico A. Skozi točko A in premico A narišimo ravnino b(premica in točka določata ravnino in to samo eno). V letalu b iz točke A se spustimo na ravno črto A pravokotna AB. Od točke B do ravnine a Obnovimo navpičnico in označimo premico, na kateri leži ta navpičnica z. Skozi odsek AB in premico z narišimo ravnino g(dve sekajoči se premici določata ravnino in samo ena). V letalu g iz točke A se spustimo na ravno črto z pravokotno na AC. Dokažimo, da je odsek AC pravokoten na ravnino b. Dokaz. Naravnost A pravokotno na ravne črte z in AB (po konstrukciji), kar pomeni, da je pravokotna na samo ravnino g, v kateri ležita ti dve sekajoči se premici (na podlagi pravokotnosti premice in ravnine). In ker je pravokotna na to ravnino, je pravokotna na katero koli premico v tej ravnini, kar pomeni, da je ravna črta A pravokotno na AC. Premica AC je pravokotna na premici, ki ležita v ravnini α: z(po konstrukciji) in A(glede na dokazano) pomeni, da je pravokoten na ravnino α (glede na pravokotnost premice in ravnine)

1. izrek . Če sta dve sekajoči se premici vzporedni z dvema pravokotnima premicama, sta tudi pravokotni.
Dokaz. Pustiti A in b- pravokotne črte, A 1 in b 1 - sekajoče črte, vzporedne z njimi. Dokažimo, da ravne črte A 1 in b 1 sta pravokotna.
Če naravnost A, b, A 1 in b 1 ležita v isti ravnini, potem imata lastnost, določeno v izreku, kot je znano iz planimetrije.
Predpostavimo zdaj, da naše premice ne ležijo v isti ravnini. Potem naravnost A in b ležijo v neki ravnini α, premice pa A 1 in b 1 - v neki ravnini β. Glede na vzporednost ravnin sta ravnini α in β vzporedni. Naj bo C točka presečišča premic A in b, in C 1 - presečišča črt A 1 in b 1. Narišimo v ravnino vzporedne premice A in A A in A 1 na točkah A in A 1. V ravnini vzporednih premic b in b 1 črta vzporedna z ravno črto CC 1. Prestopila bo meje b in b 1 na točkah B in B 1.
Štirikotnika CAA 1 C 1 in SVV 1 C 1 sta paralelograma, saj sta njuni nasprotni stranici vzporedni. Tudi štirikotnik ABC 1 A 1 je paralelogram. Njegovi stranici AA 1 in BB 1 sta vzporedni, ker je vsaka od njiju vzporedna s premico CC 1. Torej štirikotnik leži v ravnini, ki poteka skozi vzporednici AA 1 in BB 1. In seka vzporedni ravnini α in β vzdolž vzporednih ravnin AB in A 1 B 1.
Ker sta nasprotni stranici paralelograma enaki, potem je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Po tretjem znaku enakosti sta trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 enaka. Torej je kot A 1 C 1 B 1, enak kotu ACB, raven, tj. naravnost A 1 in b 1 sta pravokotna. itd.

Lastnosti pravokotna na premico in ravnino.
Izrek 2 . Če je ravnina pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo.
Dokaz. Pustiti A 1 in A 2 - dve vzporedni črti in α - ravnina, pravokotna na črto A 1. Dokažimo, da je ta ravnina pravokotna na premico A 2 .
Narišimo 2 presečišči premice skozi točko A A 2 z ravnino α poljubna premica z 2 v ravnini α. Narišimo v ravnini α skozi točko A 1 presečišče premice A 1 z ravnino α premo z 1, vzporedno s premico z 2. Ker je naravnost A 1 je pravokotna na ravnino α, nato premice A 1 in z 1 sta pravokotna. In v skladu s teoremom 1, sekajoče se črte vzporedne z njimi A 2 in z 2 sta prav tako pravokotna. Tako naravnost A 2 je pravokotna na poljubno premico z 2 v ravnini α. In to pomeni naravnost A 2 je pravokotna na ravnino α. Izrek je dokazan.

Izrek 3 . Dve ravni črti, pravokotni na isto ravnino, sta med seboj vzporedni.
Imamo ravnino α in nanjo pravokotni premici A in b. Dokažimo to A || b.
Skozi točke presečišča ravnih ravnin narišite ravno črto z. Na podlagi lastnosti, ki jih dobimo A ^ c in b ^ c. Skozi ravne črte A in b Narišimo ravnino (ravnino določata dve vzporedni premici in to samo ena). V tej ravnini imamo dve vzporedni premici A in b in sekanto z. Če je vsota notranjih enostranskih kotov 180°, sta premici vzporedni. Imamo ravno tak primer - dva prava kota. Zato A || b.

Konstrukcija medsebojno pravokotnih premic in ravnin je pomembna grafična operacija pri reševanju metričnih problemov.

Konstrukcija pravokotnice na črto ali ravnino temelji na lastnosti pravega kota, ki je formulirana na naslednji način: če je ena od stranic pravega kota vzporedna s projekcijsko ravnino, druga pa ni pravokotna nanjo, potem se kot projicira v polni velikosti na to ravnino.

Slika 28

Stranica BC pravega kota ABC, prikazanega na sliki 28, je vzporedna z ravnino P 1. Posledično bo projekcija kota ABC na to ravnino predstavljala pravi kot A 1 B 1 C 1 =90.

Premica je pravokotna na ravnino, če je pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v tej ravnini. Pri konstruiranju pravokotnice iz niza ravnih črt, ki pripadajo ravnini, izberite ravne ravne črte - vodoravne in čelne. V tem primeru se vodoravna projekcija pravokotnice izvede pravokotno na vodoravno, čelna projekcija pa pravokotna na sprednjo stran. Primer na sliki 29 prikazuje konstrukcijo navpičnice na ravnino, ki jo določa trikotnik ABC iz točke K. To naredimo tako, da v ravnini najprej narišemo vodoravno in čelno črto. Nato iz čelne projekcije točke K narišemo pravokotno na čelno projekcijo fronte, iz vodoravne projekcije točke pa pravokotno na vodoravno projekcijo vodoravnice. Nato sestavimo presečišče te navpičnice z ravnino s pomočjo pomožne sečne ravnine Σ. Zahtevana točka je F. Tako je dobljeni odsek KF pravokoten na ravnino ABC.

Slika 29

Slika 29 prikazuje konstrukcijo pravokotnice KF na ravnino ABC.

Dve ravnini sta pravokotni, če je premica, ki leži v eni ravnini, pravokotna na dve sekajoči se premici druge ravnine. Konstrukcija ravnine, pravokotne na to ravnino ABC, je prikazana na sliki 30. Skozi točko M je narisana premica MN, pravokotna na ravnino ABC. Vodoravna projekcija te premice je pravokotna na AC, ker je AC vodoravna, čelna projekcija pa je pravokotna na AB, ker je AB čelna. Nato skozi točko M narišemo poljubno premico EF. Ravnina je torej pravokotna na ABC in je določena z dvema sekajočima se premicama EF in MN.

Slika 30

Ta metoda se uporablja za določanje naravnih vrednosti segmentov v splošnem položaju, kot tudi njihovih kotov naklona na projekcijske ravnine. Za določitev naravne velikosti segmenta s to metodo je treba dopolniti pravokotni trikotnik na eno od projekcij segmenta. Drugi krak bo razlika v višinah ali globinah končnih točk segmenta, hipotenuza pa naravna vrednost.

Poglejmo si primer: slika 31 prikazuje odsek AB v splošnem položaju. Treba je določiti njegovo naravno velikost in kot nagiba na čelno in vodoravno ravnino projekcij.

Na enega od koncev segmenta na vodoravni ravnini narišemo pravokotno. Nanjo narišemo višinsko razliko (ZA-ZB) koncev odseka in zaključimo konstrukcijo pravokotnega trikotnika. Njegova hipotenuza je naravna vrednost segmenta, kot med naravno vrednostjo in projekcijo segmenta pa je naravna vrednost kota naklona segmenta na ravnino P 1. Vrstni red konstrukcije na čelni ravnini je enak. Vzdolž pravokotnice narišemo razliko v globinah koncev segmenta (YA-YB). Dobljeni kot med naravno velikostjo segmenta in njegovo čelno projekcijo je kot naklona segmenta na ravnino P 2.

Slika 31

1. Navedite izrek o lastnostih pravih kotov.

2. V katerem primeru je premica pravokotna na ravnino?

3. Koliko premic in koliko ravnin, pravokotnih na dano ravnino, lahko narišemo skozi točko v prostoru?

4. Za kaj se uporablja metoda pravokotnega trikotnika?

5. Kako uporabiti to metodo za določitev kota naklona segmenta v splošnem položaju glede na vodoravno ravnino projekcij?