Trigonometrične funkcije- Zahteva "greh" je preusmerjena sem; glej tudi druge pomene. Zahteva "sec" je preusmerjena sem; glej tudi druge pomene. Zahteva "Sine" je preusmerjena sem; glej tudi druge pomene... Wikipedia
Tan
riž. 1 Grafi trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrične funkcije so vrsta elementarnih funkcij. Ti običajno vključujejo sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Kosinus- Riž. 1 Grafi trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrične funkcije so vrsta elementarnih funkcij. Ti običajno vključujejo sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Kotangens- Riž. 1 Grafi trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrične funkcije so vrsta elementarnih funkcij. Ti običajno vključujejo sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Sekant- Riž. 1 Grafi trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrične funkcije so vrsta elementarnih funkcij. Ti običajno vključujejo sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Zgodovina trigonometrije- Geodetske meritve (XVII. stoletje) ... Wikipedia
Formula tangensa polovičnega kota- V trigonometriji formula za tan polovičnega kota povezuje tangens polovičnega kota s trigonometričnimi funkcijami polnega kota: Različice te formule so naslednje... Wikipedia
Trigonometrija- (iz grškega τρίγονο (trikotnik) in grškega μετρειν (merilo), to je merjenje trikotnikov) veja matematike, v kateri preučujejo trigonometrične funkcije in njihove aplikacije v geometriji. Ta izraz se je prvič pojavil leta 1595 kot... ... Wikipedia
Reševanje trikotnikov- (lat. solutio triangulorum) zgodovinski izraz, ki pomeni rešitev glavnega trigonometričnega problema: s pomočjo znanih podatkov o trikotniku (stranice, koti itd.) najti njegove preostale značilnosti. Trikotnik se lahko nahaja na... ... Wikipediji
knjige
- Komplet miz. Algebra in začetki analize. 10. razred. 17 tabel + metodologija, . Tabele so natisnjene na debelem tiskanem kartonu dimenzij 680 x 980 mm. Komplet vsebuje brošuro z učnimi smernicami za učitelje. Izobraževalni album 17 listov... Kupite za 3944 RUR
- Tabele integralov in drugih matematičnih formul, Dwight G.B.. Deseta izdaja slovite referenčne knjige vsebuje zelo podrobne tabele nedoločenih in določenih integralov ter veliko drugih matematičnih formul: razširitve nizov, ...
V tem članku si bomo podrobno ogledali. Osnovne trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavljajo povezavo med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota in omogočajo iskanje katere koli od teh trigonometričnih funkcij prek znanega drugega.
Takoj naštejmo glavne trigonometrične identitete, ki jih bomo analizirali v tem članku. Zapišimo jih v tabelo, spodaj pa bomo podali rezultate teh formul in zagotovili potrebna pojasnila.
Navigacija po straneh.
Razmerje med sinusom in kosinusom enega kota
Včasih ne govorijo o glavnih trigonometričnih identitetah, navedenih v zgornji tabeli, ampak o eni sami osnovna trigonometrična identiteta prijazen 
. Razlaga tega dejstva je dokaj preprosta: enačbe dobimo iz glavne trigonometrične istovetnosti, potem ko oba njena dela delimo z in oziroma ter enakosti 
in 
izhajajo iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. O tem bomo podrobneje govorili v naslednjih odstavkih.
To pomeni, da je posebno zanimiva enakost, ki je dobila ime glavna trigonometrična identiteta.
Preden dokažemo glavno trigonometrično identiteto, damo njeno formulacijo: vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota je identično enaka ena. Zdaj pa dokažimo.
Osnovna trigonometrična identiteta se zelo pogosto uporablja, ko pretvarjanje trigonometričnih izrazov. Omogoča, da se vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota nadomesti z ena. Nič manj pogosto se osnovna trigonometrična identiteta uporablja v obratnem vrstnem redu: enota se nadomesti z vsoto kvadratov sinusa in kosinusa katerega koli kota.
Tangens in kotangens skozi sinus in kosinus
Identitete, ki povezujejo tangens in kotangens s sinusom in kosinusom enega zornega kota in 
sledijo takoj iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Dejansko je po definiciji sinus ordinata od y, kosinus je abscisa od x, tangens je razmerje med ordinato in absciso, to je 
, kotangens pa je razmerje med absciso in ordinato, to je 
.
Zahvaljujoč takšni očitnosti identitet in Tangens in kotangens pogosto nista definirana z razmerjem med absciso in ordinato, temveč z razmerjem med sinusom in kosinusom. Torej je tangens kota razmerje med sinusom in kosinusom tega kota, kotangens pa je razmerje med kosinusom in sinusom.
V zaključku tega odstavka je treba opozoriti, da sta identiteti in potekajo za vse kote, pri katerih so trigonometrične funkcije, vključene v njih, smiselne. Torej je formula veljavna za kateri koli , razen (sicer bo imel imenovalec nič in nismo definirali deljenja z nič), in formula - za vse , drugačen od , kjer je z kateri koli .
Razmerje med tangensom in kotangensom
Še bolj očitna trigonometrična identiteta od prejšnjih dveh je identiteta, ki povezuje tangens in kotangens enega kota oblike . Jasno je, da velja za vse kote, razen , sicer niti tangens niti kotangens nista definirana.
Dokaz formule zelo preprosto. Po definiciji in od kod 
. Dokaz bi lahko izpeljali malo drugače. Od , To 
.
Torej sta tangens in kotangens istega kota, pri katerem sta smiselna.
To je zadnja in najpomembnejša lekcija, potrebna za reševanje problemov B11. Že vemo, kako pretvoriti kote iz radianske mere v stopinjsko mero (glej lekcijo “Radian in stopinjska mera kota”), prav tako pa znamo določiti predznak trigonometrične funkcije, pri čemer se osredotočamo na koordinatne četrtine ( glejte lekcijo "Znaki trigonometričnih funkcij").
Preostane le še izračunati vrednost same funkcije – tistega števila, ki je zapisano v odgovoru. Tu pride na pomoč osnovna trigonometrična identiteta.
Osnovna trigonometrična identiteta. Za vsak kot α velja naslednja izjava:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Ta formula povezuje sinus in kosinus enega kota. Zdaj, če poznamo sinus, zlahka najdemo kosinus - in obratno. Dovolj je, da vzamemo kvadratni koren:
Upoštevajte znak "±" pred koreninami. Dejstvo je, da iz osnovne trigonometrične identitete ni jasno, kaj sta bila prvotna sinus in kosinus: pozitivna ali negativna. Navsezadnje je kvadriranje enakomerna funkcija, ki "požge" vse minuse (če so bili).
Zato so v vseh težavah B11, ki jih najdemo v Enotnem državnem izpitu iz matematike, nujno dodatni pogoji, ki pomagajo znebiti negotovosti z znaki. Običajno je to oznaka koordinatne četrtine, po kateri je mogoče določiti znak.
Pozoren bralec bo verjetno vprašal: "Kaj pa tangens in kotangens?" Nemogoče je neposredno izračunati te funkcije iz zgornjih formul. Vendar pa obstajajo pomembne posledice iz osnovne trigonometrične identitete, ki že vsebuje tangente in kotangense. namreč:
Pomembna posledica: za vsak kot α lahko osnovno trigonometrično istovetnost prepišemo na naslednji način:
Te enačbe je enostavno izpeljati iz glavne identitete - dovolj je, da obe strani delimo s cos 2 α (da dobimo tangens) ali s sin 2 α (da dobimo kotangens).
Poglejmo vse to s konkretnimi primeri. Spodaj so resnične težave B11, ki so vzete iz poskusnih različic Enotnega državnega izpita iz matematike 2012.
Poznamo kosinus, ne poznamo pa sinusa. Glavna trigonometrična identiteta (v »čisti« obliki) povezuje prav te funkcije, zato bomo delali z njo. Imamo:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Za rešitev problema je treba najti znak sinusa. Ker je kot α ∈ (π /2; π ), ga v stopinjski meri zapišemo takole: α ∈ (90°; 180°).
Posledično leži kot α v II koordinatni četrtini - tam so vsi sinusi pozitivni. Zato je sin α = 0,1.
Torej poznamo sinus, vendar moramo najti kosinus. Obe funkciji sta v osnovni trigonometrični identiteti. Zamenjajmo:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Ostaja še obravnava znaka pred ulomkom. Kaj izbrati: plus ali minus? Kot α po pogoju pripada intervalu (π 3π /2). Pretvorimo kote iz radianskih mer v stopinje - dobimo: α ∈ (180°; 270°).
Očitno je to koordinatna četrtina III, kjer so vsi kosinusi negativni. Zato je cos α = −0,5.
Naloga. Poiščite tan α, če je znano naslednje:
Tangens in kosinus sta povezana z enačbo, ki izhaja iz osnovne trigonometrične istovetnosti:
Dobimo: tan α = ±3. Predznak tangente določa kot α. Znano je, da je α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kote iz radianskih mer v stopinje - dobimo α ∈ (270°; 360°).
Očitno je to koordinatna četrtina IV, kjer so vse tangente negativne. Zato je tan α = −3.
Naloga. Poiščite cos α, če je znano naslednje:
Spet poznamo sinus in ne poznamo kosinusa. Zapišimo glavno trigonometrično identiteto:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Predznak je določen s kotom. Imamo: α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kote iz stopinj v radiane: α ∈ (270°; 360°) je IV koordinatna četrtina, tam so kosinusi pozitivni. Zato je cos α = 0,6.
Naloga. Poiščite sin α, če je znano naslednje:
Zapišimo formulo, ki izhaja iz osnovne trigonometrične istovetnosti in neposredno povezuje sinus in kotangens:
Od tu dobimo, da je sin 2 α = 1/25, tj. sin α = ±1/5 = ±0,2. Znano je, da je kot α ∈ (0; π /2). V stopinjski meri je to zapisano na naslednji način: α ∈ (0°; 90°) - I koordinatna četrtina.
Kot je torej v koordinatnem kvadrantu I - tam so vse trigonometrične funkcije pozitivne, torej sin α = 0,2.
Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com
Podnapisi diapozitivov:
Naj bo angleščina nekaterim ljuba, Nekaterim je pomembna kemija, Brez matematike, za vse nas A ne sem ne tam Za nas so enačbe kot pesmi In sinusi podpirajo naš duh Za nas kosinusi so kot pesmi, In trigonometrične formule božajo naša ušesa!
Tema lekcije: “Osnovne trigonometrične identitete. Reševanje problema." Vedeti: biti sposoben: Cilj lekcije:
VEM! LAHKO! ODLOČIL SE BOM! jaz
Kako se imenuje enotski krog? x y α R
Katere smeri vrtenja enotskega radija poznamo? x y α R
V katerih enotah se meri rotacijski kot enote polmera? x y α R
Kaj je kot enega radiana? Približno koliko stopinj vsebuje kot 1 radiana? x y α R
Oblikujte pravila za pretvorbo iz stopinjske mere kota v radiansko mero in obratno.
Oblikujte pravila za pretvorbo iz stopinjske mere kota v radiansko mero in obratno. 30 0 π 45 0 π 2 2 π
Katere trigonometrične funkcije poznate?
Katere trigonometrične funkcije poznate? Kaj določa pomen trigonometričnih funkcij?
Kateri četrtinski kot je kot α, če je: α =15° α =190° α =100°
Kateri četrtinski kot je kot α, če je: α =-20° α =-110° α =289°
Delo v skupinah Pravila za delo v skupini: Skupina skupaj razpravlja in odloča, podaja ideje ali jih zavrača. Vsak član skupine mora delati po svojih najboljših močeh. Med delom ravnajte s sodelavci spoštljivo: če sprejmete ali zavrnete idejo, naredite to vljudno. Ne pozabite, da ima vsakdo pravico do napak. Ne pozabite, da je uspeh skupine odvisen od tega, kako vsi pokažejo svoje prednosti.
Skupinsko delo
0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Tabela vrednosti trigonometrične funkcije
1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 skozi K 8 L 9 skozi in M 10 skozi in N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Merila za ocenjevanje: 10 nalog - ocena “5”. 8-9 nalog - ocena "4". 5-7 nalog - ocena "3". 1-4 naloge - ocena "2". Vzpostavite korespondenco med levo in desno stranjo identitete.
1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 skozi A 8 K 9 skozi in H 10 skozi in D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Merila za ocenjevanje: 10 nalog - ocena “5”. 8-9 nalog - ocena "4". 5-7 nalog - ocena "3". 1-4 naloge - ocena "2". Vzpostavite korespondenco med levo in desno stranjo identitete.
Osnovna trigonometrična identiteta "trigonometrična enota"
Osnovna trigonometrična identiteta "trigonometrična enota" Kosinus kvadrat Zelo vesel. Brat Sine Square ga prihaja pogledat! Ko se srečata, bo krog presenečen: Izšla bo cela družina, to je enota!
1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) pri α =90° 3. 1- sin 2 40 0 4. 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α in s t P do 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Poiščite ime matematika, v čigar knjigi se prvič pojavi izraz »trigonometrija«. 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i c k u s 2-2 cos(-60 0)
Pitiscus
Al-Batuni Al-Hvarizmi
Bhaskara Nasireddin Tusi
Leonard Euler
Glede na vrednost trigonometrične funkcije poiščite vrednost druge funkcije Četrtina Dano: Najdi: Rešitev: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα
Glede na vrednost trigonometrične funkcije poiščite vrednost druge funkcije Četrtina Dano: Najdi: Rešitev: I sinα= 0,6
Glede na vrednost trigonometrične funkcije poiščite vrednost druge funkcije Četrtina Dano: Najdi: Rešitev: II cosα= sinα = =
Glede na vrednost trigonometrične funkcije poiščite vrednost druge funkcije Četrtina Dano: Najdi: Rešitev: III tgα= ctgα ctgα = = =
Glede na vrednost trigonometrične funkcije poiščite vrednost druge funkcije Četrtina Dano: Najdi: Rešitev: IV cosα = tgα tgα = = = = = =
Uporaba trigonometrije v človeškem življenju.
Sporočilo za domačo nalogo: “Trigonometrija v človeškem življenju” št. 304 str
y=sinx Hvala za lekcijo!
1 sin 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos (- 300 °) 14 tg Določite predznak izraza - - - - - - + + + + + + + +
Na temo: metodološki razvoj, predstavitve in zapiski
Predstavitev predstavlja rešitve ključnih problemov šolskega tečaja matematike o iskanju vseh vrst razdalj in kotov v prostoru z uporabo algoritma, ki omogoča uporabo tako pri učenju...
Predstavitev za lekcijo: "Kot med ravninami. Reševanje problema z različnimi metodami"
To predstavitev lahko uporabite za jasnost pri pouku ponavljanja, za pripravo na enotni državni izpit pri reševanju problemov tipa C-2....
