Vsakdo se pri reševanju matematičnih nalog pogosto srečuje s težavami, ki vključujejo ulomke. Veliko jih je, zato bomo preučili različne možnosti za rešitev teh osnovnih težav.
Kaj so ulomki
Zgornje število katerega koli ulomka se imenuje števec, spodnje število pa imenovalec. Navadni ulomek je količnik dveh števil, eno od teh števil je v števcu ulomka, drugo pa v imenovalcu ulomka. Vrste teh navadnih ulomkov bomo določili s primerjavo imenovalca in števca ulomka.
Če je imenovalec ulomka (naravnega števila) večji od števca ulomka (naravnega števila), se ulomek imenuje pravi. Tukaj je nekaj primerov: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.
Če je imenovalec ulomka (naravnega števila) manjši ali enak števcu ulomka (naravnega števila), se ulomek imenuje nepravi. Tu je nekaj primerov: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.
Kako pretvoriti nepravilni ulomek
Če želite mešani ulomek pretvoriti v nepravi ulomek, morate celoten del ulomka pomnožiti z imenovalcem v ulomku in temu produktu dodati števec. Nato vzemite znesek kot števec in zapišite enak imenovalec kot prej. Tukaj je nekaj primerov:
- 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
- 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.
Če želite nepravilni ulomek pretvoriti v pravi ulomek, morate števec nepravilnega ulomka deliti z imenovalcem. Dobljeno celo število vzemite kot cel del ulomka, ostanek (seveda, če obstaja) pa vzemite kot števec ulomka pravega ulomka, pri čemer zapišite enak imenovalec kot prej. Tukaj je nekaj primerov:
- 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
- 156/12 = (13x12)/12 = 13.
Za pretvorbo nepravilnega ulomka v decimalko je treba ugotoviti, ali obstaja tak faktor, ki bo omogočil, da se imenovalec ulomka nepravilnega ulomka zmanjša na število, ki je enako desetici (ali desetici, ki je povišan na poljubno potenco (10, 100, 1000 in več), potem morate števec in imenovalec nepravilnega ulomka pomnožiti s tem faktorjem, da ga preverite z vejico do celega dela nepravilnega ulomka Tukaj so primeri:
- Množitelj “5” - 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
- Množitelj "4" - 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
- Množitelj "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.
Če tak faktor ne obstaja, to pomeni, da ta nepravilni ulomek v decimalni obliki nima jasnega ekvivalenta. To pomeni, da ni mogoče vsakega nepravilnega ulomka pretvoriti v decimalko. V tem primeru morate najti približno vrednost ulomka s stopnjo natančnosti, ki jo zahtevate. Takšen ulomek lahko izračunate na kalkulatorju, v glavi ali v stolpcu. Tu so primeri: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (zaokroženo na desetinke), = 5,86 (zaokroženo na stotinke), = 5,857 (zaokroženo na tisočinke); 3/7, 7/6, 1/3 in drugi. Prav tako niso jasno prevedeni in se izračunajo na kalkulatorju, v glavi ali v stolpcu.
Zdaj veste, kako pretvoriti nepravilni ulomek v pravi ali decimalni ulomek!
V tem članku bomo govorili o mešana števila. Najprej definirajmo mešana števila in navedimo primere. Nato si poglejmo povezavo med mešanimi števili in nepravilnimi ulomki. Nato vam bomo pokazali, kako pretvorite mešano število v nepravilni ulomek. Na koncu preučimo obratni postopek, ki se imenuje ločevanje celega dela od nepravilnega ulomka.
Navigacija po strani.
Mešana števila, definicija, primeri
Matematiki so se strinjali, da lahko vsoto n+a/b, kjer je n naravno število, a/b pravi ulomek, zapišemo brez znaka za seštevanje v obrazcu. Na primer, vsoto 28+5/7 lahko na kratko zapišemo kot . Takšen zapis so poimenovali mešani, število, ki temu mešanemu zapisu ustreza, pa mešano število.
Tako pridemo do definicije mešanega števila.
Opredelitev.
Mešano število je število, ki je enako vsoti naravnega števila n in pravilnega navadnega ulomka a/b ter zapisano v obliki . V tem primeru se imenuje število n cel del števila, in kliče se število a/b ulomek števila.
Po definiciji je mešano število enako vsoti njegovega celega in delnega dela, to pomeni, da velja enakost, ki jo lahko zapišemo takole: .
Dajmo primeri mešanih števil. Število je mešano število, naravno število 5 je cel del števila, ulomek pa del števila. Drugi primeri mešanih števil so 
.
Včasih lahko najdete števila v mešanem zapisu, vendar imajo kot ulomek na primer nepravilni ulomek ali. Te številke razumemo kot vsoto njihovih celih in delnih delov, npr. 
in 
. Toda takšna števila ne ustrezajo definiciji mešanega števila, saj mora biti ulomek mešanih števil pravi ulomek.
Število tudi ni mešano število, saj 0 ni naravno število.
Razmerje med mešanimi števili in nepravimi ulomki
Sledi povezava med mešanimi števili in nepravimi ulomki najbolje s primeri.
Naj bo torta in na pladnju še 3/4 iste torte. Se pravi, glede na pomen dodatka je na pladnju 1+3/4 kolačev. Ko zadnji znesek zapišemo kot mešano število, ugotovimo, da je na pladnju torta. Zdaj celotno torto razrežite na 4 enake dele. Posledično bo na pladnju 7/4 torte. Jasno je, da se "količina" torte ni spremenila, torej .
Iz obravnavanega primera je jasno razvidna naslednja povezava: Vsako mešano število je mogoče predstaviti kot nepravilni ulomek.
Zdaj naj bo na pladnju 7/4 torte. Ko smo celotno torto zložili iz štirih delov, bo na pladnju 1 + 3/4, torej torta. Iz tega je jasno, da.
Iz tega primera je jasno, da Nepravilen ulomek lahko predstavimo kot mešano število. (V posebnem primeru, ko je števec nepravilnega ulomka enakomerno deljen z imenovalcem, lahko nepravi ulomek predstavimo kot naravno število, na primer, ker je 8:4 = 2).
Pretvarjanje mešanega števila v nepravilni ulomek
Za izvajanje različnih operacij z mešanimi števili je uporabna veščina predstavljanja mešanih števil kot nepravilnih ulomkov. V prejšnjem odstavku smo ugotovili, da lahko vsako mešano število pretvorimo v nepravi ulomek. Čas je, da ugotovimo, kako se izvaja tak prevod.
Napišimo algoritem, ki prikazuje kako pretvoriti mešano število v nepravilni ulomek:
Oglejmo si primer pretvorbe mešanega števila v nepravilni ulomek.
Primer.
Izrazite mešano število kot nepravilni ulomek.
rešitev.
Izvedemo vse potrebne korake algoritma.
Mešano število je enako vsoti njegovega celega in ulomka: .
Če številko 5 zapišemo kot 5/1, bo zadnja vsota prevzela obliko .
Če želite dokončati pretvorbo prvotnega mešanega števila v nepravilni ulomek, ostane le še seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci: 
.
Kratek povzetek celotne rešitve je: 
.
odgovor:
Torej, če želite pretvoriti mešano število v nepravilen ulomek, morate izvesti naslednjo verigo dejanj: . Končno prejeli 
, ki ga bomo uporabljali naprej.
Primer.
Mešano število zapiši kot nepravilni ulomek.
rešitev.
Uporabimo formulo za pretvorbo mešanega števila v nepravilni ulomek. V tem primeru n=15, a=2, b=5. torej 
.
odgovor:
Ločevanje celega dela od nepravilnega ulomka
V odgovoru ni običajno napisati napačnega ulomka. Nepravi ulomek najprej nadomestimo z enakim naravnim številom (ko je števec deljiv z imenovalcem) ali pa izvedemo tako imenovano ločitev celega dela od nepravilnega ulomka (ko števec ni deljiv z imenovalcem). ).
Opredelitev.
Ločevanje celega dela od nepravilnega ulomka- To je zamenjava ulomka z enakim mešanim številom.
Še vedno je treba ugotoviti, kako lahko ločite cel del od nepravilnega ulomka.
Zelo preprosto: nepravi ulomek a/b je enak mešanemu številu oblike, kjer je q delni količnik, r pa ostanek a deljeno z b. To pomeni, da je celo število enako nepopolnemu količniku deljenja a z b, ostanek pa je enak števcu ulomka.
Dokažimo to trditev.
Če želite to narediti, je dovolj pokazati, da . Pretvorimo mešani v nepravi ulomek, kot smo storili v prejšnjem odstavku: . Ker je q nepopoln količnik in je r ostanek deljenja a z b, potem velja enakost a=b·q+r (če je treba, glej
Preprosta matematična pravila in tehnike, če jih ne uporabljamo stalno, se najhitreje pozabijo. Izrazi še hitreje izginjajo iz spomina.
Eno od teh preprostih dejanj je pretvorba nepravilnega ulomka v pravilnega ali, z drugimi besedami, mešanega ulomka.
Nepravilen ulomek
Nepravi ulomek je tisti, pri katerem je števec (število nad črto) večji ali enak imenovalcu (število pod črto). Ta ulomek dobimo s seštevanjem ulomkov ali množenjem ulomka s celim številom. Po pravilih matematike je treba tak ulomek pretvoriti v pravilnega.
Pravi ulomek
Logično je domnevati, da se vsi drugi ulomki imenujejo pravi. Stroga definicija je, da se pravi ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca. Ulomek, ki ima celo število, včasih imenujemo mešani ulomek.
Pretvarjanje nepravilnega ulomka v pravilnega
- Prvi primer: števec in imenovalec sta med seboj enaka. Rezultat pretvorbe katerega koli takega ulomka je ena. Ni pomembno, ali so tritretjine ali sto petindvajset sto petindvajset. V bistvu tak ulomek označuje dejanje deljenja števila s samim seboj.
- Drugi primer: števec je večji od imenovalca. Tukaj se morate spomniti metode deljenja števil z ostankom.
Če želite to narediti, morate poiskati število, ki je najbližje vrednosti števca, ki je brez ostanka deljivo z imenovalcem. Na primer, imate ulomek devetnajst tretjin. Najbližje število, ki ga lahko delimo s tri, je osemnajst. To je šest. Sedaj odštejte dobljeno število od števca. Dobimo enega. To je ostanek. Zapišite rezultat pretvorbe: šest celih in ena tretjina.
Toda preden lahko ulomek zmanjšate na njegovo pravilno obliko, morate preveriti, ali ga je mogoče zmanjšati.
Ulomek lahko skrajšate, če imata števec in imenovalec skupni faktor. To je število, s katerim sta oba deljiva brez ostanka. Če je takih deliteljev več, morate najti največjega.
Na primer, vsa soda števila imajo takšen skupni delitelj - dva. In ulomek šestnajst dvanajstin ima še en skupni delitelj - štiri. To je največji delilec. Števec in imenovalec delite s štiri. Rezultat zmanjšanja: štiri tretjine. Sedaj kot prakso pretvorite ta ulomek v pravi ulomek.
Nepravi ulomek lahko pretvorite v pravilnega tako, da števec takega ulomka delite z imenovalcem – tako dobimo pravi ulomek. Druga možnost je, da nepravilni ulomek zapišemo kot preprosto decimalno število.
Nepravi ulomek je ulomek, pri katerem je števec večji od imenovalca. Pravi ulomek je tisti, katerega števec je manjši od imenovalca. Nepravilnega ulomka ni mogoče spremeniti v pravi ulomek, lahko pa ga predstavimo kot mešano število, sestavljeno iz dveh delov (en del bo celo število, drugi pa pravi ulomek).
na primer 5/2=2+1/2 (samo ulomek se običajno zapiše takoj za celim številom brez znaka plus)
Tukaj morate števec nepravilnega ulomka deliti z imenovalcem. Zapišemo celoštevilski del deljenja (v našem primeru 2). potem ostanek deljenja (to je 1) zapišemo kot števec ulomka, ki ga zapišemo poleg dvojke.
Vemo iz šolskega tečaja matematike. da je nepravi ulomek tisti ulomek, katerega števec je večji od imenovalca. Če ga želite pretvoriti v pravi ulomek, morate števec takega ulomka deliti z imenovalcem. Vse je zelo preprosto, zato bo postal pravilen ali decimalni ulomek.
Nepravilen ulomek, na primer: 9/5, izberimo cel del, to bo: 1 4/5 je zdaj nekoliko podoben pravilnemu, le da je celoten del eno.
Lahko ga pretvorite v decimalni ulomek, v našem primeru bo to 1,8
Da bi rešili problem, morate najprej sami jasno razumeti, kaj je pravi in kaj nepravilni ulomek.
Začnimo z dejstvom, da izjava
To ne velja za vsa števila na številski premici.
števec je (-10), imenovalec je (-4)
podobna izjava
tudi ni vedno res
števec je 2, imenovalec je (-3)
Nepravi ulomek lahko zapišemo z vsoto celega števila in pravega ulomka (mešani ulomek) in za to potrebujemo:
števec delimo z imenovalcem, dobljeno celo število zapišemo v celi del, ostanek v števec, imenovalec pustimo nespremenjen
v števcu (-15), v imenovalcu 2 minus vzemite izven ulomka - (15/2), 15 delite z 2, celo število 7 vstavite v cel del ulomka, preostanek pri deljenju 1 zapišite v števcu, imenovalec 2 pa pustite brez sprememb.
Če želite nepravilni ulomek pretvoriti v pravilnega, morate najprej reči:
Nepravilni ulomek ima števec (zgornje število v ulomku), ki je večji ali enak imenovalcu;
Za pravi ulomek velja nasprotno.
Analizirajmo postopek pretvorbe na primeru ulomka 260/7:
1) Najprej 260 delimo s 7, dobimo število 37,14..
2) Število 37 se bo pojavilo pred ulomkom kot celo število
3) Sedaj 37 * 7 = 259
4) Od števca odštejemo dobljeno število 260 - 259 = 1 - to število bo v števcu našega pravega ulomka.
5) Ko zapišemo nov ulomek, ostane imenovalec nespremenjen. V tem primeru je to 7. Pravi ulomek bi izgledal takole:
Preverjanje pretvorjenega ulomka:
Celo število pomnožimo z imenovalcem in prištejemo števec 37 * 7 + 1 = 260.
Pravi ulomek je ulomek, katerega imenovalec je večji od števca. To nakazuje, da ta ulomek prikazuje del celote. Na primer, ulomek 1/2 pomeni, da imamo na primer polovico lubenice, ulomek 7/9 pa pomeni, da nam je ostalo sedem kosov lubenice, razrezanih na 9 delov. Nekdo je pojedel dva dela.
Če je ulomek nepravilen, se pravi, da je števec večji od imenovalca, potem je popolnoma nejasno, kateri del celote, a razrezane lubenice imamo in koliko celih lubenic je še na voljo. Zato moramo nepravi ulomek pretvoriti v pravilnega. v tem primeru bomo dobili nekakšno celo število in ostanek - točno pravi ulomek.
Za pretvorbo delite števec z imenovalcem v stolpcu. Primer: 7/4. Sedem krat štiri da ena, ostanek pa 3/4. Tako smo ulomek pretvorili v pravilnega – odgovor je 1 in 3/4.
Nepravilen ulomek imenujemo ulomek tako, da števec je večji od imenovalca. To pomeni, da je pravi ulomek tisti, katerega števec je manjši od imenovalca. Če želite nepravilni ulomek pretvoriti v pravi ulomek, ga lahko predstavite kot decimalno število. Na primer, 17/8 lahko zapišemo takole: 2,125. Ali pa zapišite takole: 2 1/8.
Za pravi ulomek se šteje tisti, pri katerem je imenovalec večji od števca. Če želite nepravilni ulomek pretvoriti v pravi ulomek, morate števec nepravilnega ulomka deliti z imenovalcem, rezultat bo število z ostankom.
Na primer 4 cela in tri enajstine, 4 pomnožimo z 11 in +3, nato delimo z 11, dobimo 44 +3 in delimo z 11, dobimo ulomek 47/11. Nepravilen ulomek je, če obstaja celo število, na primer 5,10, to je pet celih števil in 10/100, pet pomnožimo 100 in +10, dobimo 10/500. Tudi, če je na primer 6,6, je tukaj lažje, pomnožimo 6 s 6 in +6, dobimo 12/6, zmanjšamo za dve, dobimo šest tretjin, šest tretjin zmanjšamo za tri, dobimo prvi dve, razdelimo dva na enega, dobimo dva. To je 6,6 = 2.
Ulomek je število, ki je sestavljeno iz ene ali več enot. V matematiki poznamo tri vrste ulomkov: navadne, mešane in decimalne.
Navadni ulomki
Navadni ulomek je zapisan kot razmerje, v katerem števec odraža, koliko delov je vzetih iz števila, imenovalec pa kaže, na koliko delov je enota razdeljena. Če je števec manjši od imenovalca, potem imamo pravilen ulomek. Na primer: ½, 3/5, 8/9.
Če je števec enak ali večji od imenovalca, potem imamo opravka z nepravilnim ulomkom. Na primer: 5/5, 9/4, 5/2 Če števec delimo, lahko dobimo končno število. Na primer, 40/8 = 5. Zato lahko katero koli celo število zapišemo kot navaden nepravilni ulomek ali niz takih ulomkov. Oglejmo si vnose iste številke v obliki več različnih.
- Mešani ulomki
Na splošno lahko mešani ulomek predstavimo s formulo: 
Tako mešani ulomek zapišemo kot celo število in navadni pravi ulomek, tak zapis pa razumemo kot vsoto celote in njenega ulomka.
- Decimale
Decimalka je posebna vrsta ulomka, v katerem je imenovalec mogoče predstaviti kot potenco števila 10. Obstajajo neskončne in končne decimalke. Pri pisanju te vrste ulomka se najprej navede cel del, nato pa se ulomek zapiše z ločilom (pika ali vejica).
Zapis ulomka je vedno določen z njegovo dimenzijo. Decimalni zapis izgleda takole: 
Pravila za pretvorbo med različnimi vrstami ulomkov
- Pretvarjanje mešanega ulomka v navadnega
Mešani ulomek je mogoče pretvoriti le v nepravi ulomek. Za prevajanje je potrebno cel del pripeljati na isti imenovalec kot ulomek. Na splošno bo videti takole: 
Oglejmo si uporabo tega pravila na konkretnih primerih:
- Pretvarjanje navadnega ulomka v mešani ulomek
Nepravi ulomek lahko s preprostim deljenjem pretvorimo v mešani ulomek, pri čemer dobimo cel del in ostanek (ulomek).
Na primer, pretvorimo ulomek 439/31 v mešanega: 
- Pretvarjanje ulomkov
V nekaterih primerih je pretvorba ulomka v decimalko precej preprosta. V tem primeru se uporabi osnovna lastnost ulomka: števec in imenovalec se pomnožita z istim številom, da se delitelj postavi na potenco 10.
Na primer:
V nekaterih primerih boste morda morali najti količnik z deljenjem z vogali ali uporabo kalkulatorja. In nekaterih ulomkov ni mogoče zmanjšati na končno decimalko. Na primer, ulomek 1/3 pri deljenju nikoli ne bo dal končnega rezultata.
