V tehnologiji in svetu okoli nas imamo pogosto opravka periodično procesi, ki se ponavljajo v rednih intervalih. Takšni procesi se imenujejo nihajni. Nihanja so spremembe fizikalne količine, ki potekajo po določenem zakonu skozi čas. Nihajni pojavi različnih fizikalnih narav so podvrženi splošnim zakonom. Na primer, tokovna nihanja v električnem krogu in nihanja matematičnega nihala lahko opišemo z istimi enačbami. Skupnost nihajnih vzorcev nam omogoča, da obravnavamo nihajne procese različnih narav z enega samega vidika.
Mehanske vibracije so gibanja teles, ki se ponavljajo v točno enakih časovnih intervalih. Primeri preprostih nihajnih sistemov so utež na vzmeti ali matematično nihalo. Obstajati v sistemu harmonične vibracije nujno je, da ima položaj stabilnega ravnotežja, to je položaj, iz katerega bi na sistem začela delovati obnovitvena sila.
Mehanske vibracije, tako kot nihajni procesi katere koli druge fizične narave, so lahko prost in prisiljeni. Brezplačne vibracije se izvajajo pod vplivom notranjih sil sistema, potem ko je sistem spravljen iz ravnovesja. Nihanje uteži na vzmeti ali nihanje nihala je prosto nihanje. Imenujejo se nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanjih občasno spreminjajočih se sil prisiljeni.
Najenostavnejša vrsta nihajnega procesa so nihanja, ki potekajo po zakonu sinusa ali kosinusa, imenovanega harmonične vibracije. Enačba, ki opisuje fizikalne sisteme, ki lahko izvajajo harmonična nihanja s ciklično frekvenco ω 0 je nastavljen na naslednji način:
Rešitev prejšnje enačbe je enačba gibanja za harmonična nihanja, ki je videti takole:
Kje: x– odmik telesa iz ravnotežnega položaja, A– amplituda nihanj, to je največji odmik od ravnotežnega položaja, ω – ciklična ali krožna frekvenca vibracij ( ω = 2Π /T), t- čas. Količina pod znakom kosinusa: φ = ωt + φ 0 se imenuje faza harmonični proces. Pomen faze nihanja je: stopnja, v kateri je nihanje v danem trenutku. pri t= 0 to dobimo φ = φ 0 torej φ 0 klic začetna faza(to je stopnja, iz katere se je začelo nihanje).
Imenuje se minimalni časovni interval, skozi katerega se gibanje telesa ponavlja obdobje nihanja T. Če število nihanj n, in njihov čas t, potem je obdobje najdeno kot:
Fizikalna količina, inverzna na periodo nihanja, se imenuje frekvenca vibracij:
Frekvenca nihanja ν prikazuje, koliko nihanj se zgodi v 1 s. Enota za frekvenco je hertz (Hz). Frekvenca nihanja je povezana s ciklično frekvenco ω in nihajno obdobje T razmerja:
Odvisnost hitrosti od časa za harmonične mehanske vibracije je izražena z naslednjo formulo:
Najvišja vrednost hitrosti za harmonične mehanske vibracije:
Največje absolutne vrednosti hitrosti υ m = ωA se dosežejo v tistih trenutkih, ko gre telo skozi ravnotežne položaje ( x= 0). Na podoben način se določi pospešek a = a x telesa med harmoničnimi nihanji. Odvisnost pospeška od časa za harmonične mehanske vibracije:
Največja vrednost pospeška za mehanske harmonične vibracije:
Znak minus v prejšnjem izrazu pomeni, da je pospešek a(t) ima vedno nasprotni predznak od premika x(t), in tako vrne telo v začetni položaj ( x= 0), tj. povzroči, da telo izvaja harmonične vibracije.
Prosimo, upoštevajte, da:
- fizikalne lastnosti nihajnega sistema določajo le lastno frekvenco nihanj ω 0 ali pika T.
- Parametri nihajnega procesa, kot je amplituda A = x m in začetni fazi φ 0 so določene z načinom, kako je bil sistem spravljen iz ravnovesja v začetnem trenutku, tj. začetni pogoji.
- Med nihanjem telo v času, ki je enak periodi, opravi pot, ki je enaka 4 amplitudam. V tem primeru se telo vrne v začetno točko, to pomeni, da bo gibanje telesa enako nič. Posledično bo telo prepotovalo pot, ki je enaka amplitudi, v času, ki je enak četrtini obdobja.
Če želite določiti, kdaj v enačbi vibracij zamenjati sinus in kdaj uporabiti kosinus, morate biti pozorni na naslednje dejavnike:
- Najlažje je, če v nalogi nihanja imenujemo sinusoidna ali kosinusna.
- Če rečemo, da je bilo telo potisnjeno iz ravnotežnega položaja, vzamemo sinus z začetno fazo enako nič.
- Če rečemo, da je bilo telo odklonjeno in sproščeno - kosinus z začetno fazo enako nič.
- Če telo potisnemo iz stanja, ki odstopa od ravnotežnega položaja, potem začetna faza ni enaka nič in lahko vzamete sinus in kosinus.
Matematično nihalo
Matematično nihalo imenovano majhno telo, obešeno na tanko, dolgo in neraztegljivo nit, katere masa je v primerjavi z maso telesa zanemarljiva. Samo v primeru majhnih nihanj je matematično nihalo harmonično oscilator, to je sistem, ki je sposoben izvajati harmonična (po zakonu sin ali cos) nihanja. V praksi ta približek velja za kote reda 5–10°. Nihanja nihala pri velikih amplitudah niso harmonična.
Ciklična frekvenca nihanj matematičnega nihala se izračuna po formuli:
Obdobje nihanja matematičnega nihala:
Nastala formula se imenuje Huygensova formula in je izpolnjena, ko je točka vzmetenja nihala nepremična. Pomembno si je zapomniti, da obdobje majhnih nihanj matematičnega nihala ni odvisno od amplitude nihanj. Ta lastnost nihala se imenuje izokronost. Kot za kateri koli drug sistem, ki izvaja mehanska harmonična nihanja, so za matematično nihalo izpolnjena naslednja razmerja:
- Pot od ravnotežne lege do skrajne točke (oz. nazaj) opravi v četrtini periode.
- Pot od skrajne točke do polovice amplitude (ali obratno) preteče v eni šestini periode.
- Pot od ravnotežnega položaja do polovice amplitude (ali obratno) preteče v eni dvanajstini periode.
Vzmetno nihalo
Proste vibracije nastanejo pod vplivom notranjih sil sistema, potem ko je sistem umaknjen iz ravnotežnega položaja. Za nastanek prostih nihanj po harmoničnem zakonu je potrebno, da je sila, ki teži k vrnitvi telesa v ravnotežni položaj, sorazmerna z odmikom telesa iz ravnotežnega položaja in usmerjena v nasprotno smer od odmika. Elastičnost ima to lastnost.
Torej obremenitev neke mase m, pritrjen na ojačitveno vzmet k, katerih drugi konec je nepremično pritrjen, tvorijo sistem, ki je sposoben izvajati prosta harmonična nihanja brez trenja. Obremenitev vzmeti se imenuje vzmetno nihalo.
Ciklično frekvenco nihanja vzmetnega nihala izračunamo po formuli:
Nihajna doba vzmetnega nihala:
Pri majhnih amplitudah nihajna doba vzmetnega nihala ni odvisna od amplitude (kot pri matematičnem nihalu). Ko je sistem vzmetne obremenitve nameščen vodoravno, se sila gravitacije, ki deluje na obremenitev, kompenzira z reakcijsko silo podpore. Če je breme obešeno na vzmet, je sila težnosti usmerjena vzdolž črte gibanja bremena. V ravnotežnem položaju se vzmet raztegne za nekaj x 0 je enako:
In okoli tega novega ravnotežnega položaja se pojavijo nihanja. Zgornji izrazi za lastno frekvenco ω 0 in nihajno obdobje T veljajo tudi v tem primeru. Tako dobljena formula za obdobje nihanja bremena na vzmeti ostane veljavna v vseh primerih, ne glede na smer nihanja, premikanje nosilca ali delovanje zunanjih stalnih sil.
Med prostimi mehanskimi nihanji se kinetična in potencialna energija periodično spreminjata. Pri največjem odstopanju telesa od ravnotežnega položaja se njegova hitrost in posledično kinetična energija zmanjšata na nič. V tem položaju potencialna energija nihajočega telesa doseže največjo vrednost. Za obremenitev vzmeti je potencialna energija energija prožne deformacije vzmeti. Za matematično nihalo je to energija v gravitacijskem polju Zemlje.
Ko gre telo pri gibanju skozi ravnotežni položaj, je njegova hitrost največja. Telo po vztrajnosti prekorači ravnotežni položaj. V tem trenutku ima največjo kinetično in najmanjšo potencialno energijo (praviloma velja, da je potencialna energija v ravnotežnem položaju enaka nič). Povečanje kinetične energije nastane zaradi zmanjšanja potencialne energije. Z nadaljnjim gibanjem začne potencialna energija naraščati zaradi zmanjšanja kinetične energije itd.
Tako med harmoničnimi nihanji prihaja do periodične transformacije kinetične energije v potencialno energijo in obratno. Če v nihajnem sistemu ni trenja, ostane celotna mehanska energija med prostim nihanjem nespremenjena. V tem primeru je največja vrednost kinetične energije med mehanskimi harmoničnimi nihanji podana s formulo:
Največja vrednost potencialne energije med mehanskimi harmoničnimi nihanji vzmetnega nihala:
Razmerje med energijskimi značilnostmi mehanskega nihajnega procesa (skupna mehanska energija je enaka največjim vrednostim kinetične in potencialne energije ter vsoti kinetičnih in potencialnih energij v poljubnem trenutku):
Mehanski valovi
Če se vibracije delcev vzbujajo kjer koli v trdnem, tekočem ali plinastem mediju, potem se zaradi interakcije atomov in molekul medija začnejo vibracije prenašati iz ene točke v drugo s končno hitrostjo. Proces širjenja nihanja v mediju imenujemo val.
Mehanski valovi so različnih vrst. Če med širjenjem valovanja delci medija doživijo premik v smeri, ki je pravokotna na smer širjenja, se takšno valovanje imenuje prečni. Če pride do premikanja delcev medija v smeri širjenja valovanja, se takšno valovanje imenuje vzdolžni.
Tako pri prečnem kot pri longitudinalnem valovanju ni prenosa snovi v smeri širjenja valovanja. V procesu širjenja delci medija le nihajo okoli ravnotežnih položajev. Vendar pa valovi prenašajo vibracijsko energijo iz ene točke v mediju na drugo.
Značilnost mehanskih valov je, da se širijo v materialnih medijih (trdni, tekoči ali plinasti). Obstajajo nemehanski valovi, ki se lahko širijo v vakuumu (na primer svetloba, tj. elektromagnetno valovanje se lahko širi v vakuumu).
- Vzdolžni mehanski valovi se lahko širijo v katerem koli mediju - trdnem, tekočem in plinastem.
- Prečni valovi ne lahko obstaja v tekočih ali plinastih medijih.
Preprosti harmonični ali sinusni valovi so zelo zanimivi za prakso. Zanje je značilna amplituda A nihanje delcev, frekvenca ν in valovna dolžina λ . Sinusni valovi se širijo v homogenih medijih z določeno konstantno hitrostjo υ .
Valovna dolžina λ imenujemo razdalja med dvema sosednjima točkama, ki nihata v istih fazah. Razdalja je enaka valovni dolžini λ , val potuje v času, ki je enak periodi T Zato lahko valovno dolžino izračunamo po formuli:
Kje: υ – hitrost širjenja valov. Ko val prehaja iz enega medija v drugega, se valovna dolžina in hitrost njegovega širjenja spremenita. Nespremenjeni ostaneta le frekvenca in perioda valovanja.
Razlika v fazah nihanja dveh točk vala, razdalja med katerima l izračunano po formuli:
Električni tokokrog
V električnih tokokrogih, pa tudi v mehanskih sistemih, kot je breme na vzmeti ali nihalu, lahko pride do prostih vibracij. Najenostavnejši električni sistem, ki je sposoben prostih nihanj, je niz LC vezje. Brez dušenja so prosta nihanja v električnem tokokrogu harmonična. Energijske značilnosti in njihov odnos med nihanji v električnem tokokrogu:
Perioda harmoničnih nihanj v električnem nihajnem krogu določeno s formulo:
Ciklična frekvenca nihanj v električnem nihajnem krogu:
Odvisnost naboja kondenzatorja od časa med nihanjem v električnem tokokrogu opisuje zakon:
Odvisnost električnega toka, ki teče skozi induktor, od časa med nihanji v električnem tokokrogu:
Odvisnost napetosti na kondenzatorju od časa med nihanji v električnem tokokrogu:
Največjo vrednost toka za harmonična nihanja v električnem tokokrogu lahko izračunamo po formuli:
Največja vrednost napetosti na kondenzatorju med harmoničnimi nihanji v električnem tokokrogu:
Vsa realna vezja vsebujejo električni upor R. Proces prostih nihanj v takem vezju ne sledi več harmoničnemu zakonu. Med vsako periodo nihanja se del elektromagnetne energije, shranjene v tokokrogu, pretvori v toploto, ki jo sprosti upor, in nihanja postanejo dušena.
Izmenični tok. Transformator
Večino svetovne električne energije trenutno proizvajajo generatorji izmeničnega toka, ki proizvajajo sinusno napetost. Omogočajo najbolj enostaven in ekonomičen prenos, distribucijo in uporabo električne energije.
Naprava, namenjena pretvarjanju mehanske energije v energijo izmeničnega toka, se imenuje alternator. Zanj je značilna spremenljiva napetost U(t) (inducirana emf) na njegovih sponkah. Delovanje generatorja izmeničnega toka temelji na pojavu elektromagnetne indukcije.
AC tok imenujemo električni tok, ki se skozi čas spreminja po harmoničnem zakonu. Količine U 0 , jaz 0 = U 0 /R se imenujejo amplituda vrednosti napetosti in toka. Vrednosti napetosti U(t) in jakost toka jaz(t), odvisno od časa, se imenujejo instant.
Značilen je izmenični tok veljaven vrednosti toka in napetosti. Efektivna (učinkovita) vrednost izmeničnega toka je jakost enosmernega toka, ki bi pri prehodu skozi tokokrog sprostil enako količino toplote na časovno enoto kot dani izmenični tok. Za AC efektivna trenutna vrednost se lahko izračuna po formuli:
Podobno lahko vstopite trenutna (efektivna) vrednost za napetost, izračunano po formuli:
Tako ostajajo izrazi za moč enosmernega toka veljavni za izmenični tok, če v njih uporabimo efektivne vrednosti toka in napetosti:
Upoštevajte, da ko govorimo o napetosti ali izmeničnem toku, potem (če ni navedeno drugače) mislimo na efektivno vrednost. Torej, 220V je efektivna napetost v domačem električnem omrežju.
Kondenzator v izmeničnem tokokrogu
Strogo gledano, kondenzator ne prevaja toka (v smislu, da nosilci naboja ne tečejo skozenj). Če je torej kondenzator povezan z enosmernim tokokrogom, je tok v katerem koli trenutku na kateri koli točki v tokokrogu enak nič. Ko je priključen na tokokrog izmeničnega toka, se zaradi stalne spremembe EMF kondenzator ponovno napolni. Skozenj še vedno ne teče tok, v vezju pa je tok. Zato se običajno reče, da kondenzator prevaja izmenični tok. V tem primeru je koncept upora kondenzatorja v tokokrogu izmeničnega toka (oz kapacitivnost
Upoštevajte, da je kapacitivnost odvisna od frekvence izmeničnega toka. Bistveno se razlikuje od upora R, ki smo ga vajeni. Tako se toplota sprošča pri uporu R (zato se pogosto imenuje aktiven), vendar se toplota ne sprošča pri kapacitivni reaktanci. Aktivni upor je povezan z interakcijo nosilcev naboja med pretokom toka, kapacitivni upor pa je povezan s procesi ponovnega polnjenja kondenzatorja.
Induktor v izmeničnem tokokrogu
Ko v tuljavi teče izmenični tok, se pojavi pojav samoindukcije in posledično EMF. Zaradi tega napetost in tok v tuljavi nista v fazi (ko je tok enak nič, je napetost največja in obratno). Zaradi tega neskladja je povprečna toplotna moč, sproščena v tuljavi, enaka nič. V tem primeru je koncept upora tuljave v tokokrogu izmeničnega toka (oz induktivna reaktanca). To odpornost daje:
Upoštevajte, da je induktivna reaktanca odvisna od frekvence izmeničnega toka. Tako kot kapacitivna reaktanca se razlikuje od upora R. Tako kot kapacitivna reaktanca tudi induktivna reaktanca ne proizvaja toplote. Induktivna reaktanca je povezana s pojavom samoindukcije v tuljavi.
Transformatorji
Med napravami za izmenični tok, ki so našle široko uporabo v tehnologiji, je pomembno mesto transformatorji. Načelo delovanja transformatorjev, ki se uporabljajo za povečanje ali znižanje napetosti izmeničnega toka, temelji na pojavu elektromagnetne indukcije. Najenostavnejši transformator je sestavljen iz jedra zaprte oblike, na katerega sta navita dva navitja: primarni in sekundarni. Primarno navitje je priključeno na vir izmeničnega toka z določeno napetostjo U 1, sekundarno navitje pa je priključeno na obremenitev, pri kateri se pojavi napetost U 2. Še več, če je število ovojev v primarnem navitju enako n 1, in v srednjem n 2, potem velja naslednja relacija:
Transformacijsko razmerje izračunano po formuli:
Če je transformator idealen, potem velja razmerje (vhodna in izhodna moč sta enaki):
V neidealnem transformatorju je uveden koncept učinkovitosti:
Elektromagnetni valovi
Elektromagnetni valovi je elektromagnetno polje, ki se širi v prostoru in času. Elektromagnetno valovanje je transverzalno - vektorja električne jakosti in magnetne indukcije sta pravokotna drug na drugega in ležita v ravnini, pravokotni na smer širjenja valovanja. Elektromagnetno valovanje se v snovi širi s končno hitrostjo, ki jo lahko izračunamo po formuli:
Kje: ε in μ – dielektrična in magnetna prepustnost snovi, ε 0 in μ 0 – električne in magnetne konstante: ε 0 = 8,85419 10 –12 F/m, μ 0 = 1,25664·10 –6 H/m. Hitrost elektromagnetnega valovanja v vakuumu (kjer ε = μ = 1) je konstantna in enaka z= 3∙10 8 m/s, se lahko izračuna tudi po formuli:
Hitrost širjenja elektromagnetnega valovanja v vakuumu je ena temeljnih fizikalnih konstant. Če se elektromagnetno valovanje širi v katerem koli mediju, potem je hitrost njegovega širjenja izražena tudi z naslednjim razmerjem:
Kje: n– lomni količnik snovi je fizikalna količina, ki pove, kolikokrat je hitrost svetlobe v mediju manjša od hitrosti v vakuumu. Indeks loma, kot je razvidno iz prejšnjih formul, se lahko izračuna na naslednji način:
- Elektromagnetni valovi prenašajo energijo. Ko se valovi širijo, nastane tok elektromagnetne energije.
- Elektromagnetne valove lahko vzbujajo le hitro premikajoči se naboji. Tokokrogi enosmernega toka, v katerih se nosilci naboja gibljejo s konstantno hitrostjo, niso vir elektromagnetnega valovanja. Toda vezja, v katerih teče izmenični tok, tj. takšna vezja, v katerih nosilci naboja nenehno spreminjajo smer svojega gibanja, tj. gibljejo se pospešeno – so vir elektromagnetnega valovanja. V sodobni radijski tehniki se elektromagnetni valovi oddajajo z uporabo anten različnih izvedb, v katerih se vzbujajo hitro izmenični tokovi.
Kot konkreten primer vrtenja telesa okoli osi razmislite o gibanju nihala.
Fizikalno nihalo je togo telo, ki ima vodoravno vrtilno os, okoli katere izvaja nihajna gibanja pod vplivom svoje teže (slika 119).
Položaj nihala je popolnoma določen s kotom njegovega odstopanja od ravnotežnega položaja, zato je za določitev zakona gibanja nihala dovolj najti odvisnost tega kota od časa.
Enačba oblike:
imenujemo enačba (zakon) gibanja nihala. Odvisno je od začetnih pogojev, tj. od kota in kotne hitrosti.
Mejni primer fizikalnega nihala je matematično nihalo, ki predstavlja (kot je navedeno prej - poglavje 2, § 3) materialno točko, povezano z vodoravno osjo, okoli katere se vrti s togo breztežnostno palico (slika 120). Razdalja materialne točke od vrtilne osi se imenuje dolžina matematičnega nihala.
Enačbe gibanja fizikalnih in matematičnih nihal
Izberimo sistem koordinatnih osi tako, da poteka ravnina xy skozi težišče telesa C in sovpada z nihalno ravnino nihala, kot je prikazano na risbi (slika 119). Os usmerimo pravokotno na risalno ravnino proti sebi. Nato na podlagi rezultatov prejšnjega odstavka zapišemo enačbo gibanja fizičnega nihala v obliki:
kjer skozi označuje vztrajnostni moment nihala glede na njegovo vrtilno os in
Zato lahko napišete:
Aktivna sila, ki deluje na nihalo, je njegova teža, katere moment glede na os teže bo:
kjer je razdalja od osi vrtenja nihala do središča mase C.
Posledično pridemo do naslednje enačbe gibanja fizičnega nihala:
Ker je matematično nihalo poseben primer fizikalnega, velja zgoraj zapisana diferencialna enačba tudi za matematično nihalo. Če je dolžina matematičnega nihala enaka in njegova teža, potem je njegov vztrajnostni moment glede na vrtilno os enak
Ker je oddaljenost težišča matematičnega nihala od osi enaka, lahko končno diferencialno enačbo gibanja matematičnega nihala zapišemo v obliki:
Zmanjšana dolžina fizičnega nihala
Če primerjamo enačbi (16.8) in (16.9), lahko sklepamo, da če so parametri fizičnega in matematičnega nihala povezani z razmerjem
potem so zakoni gibanja fizikalnega in matematičnega nihala enaki (pri enakih začetnih pogojih).
Zadnja relacija nakazuje dolžino, ki jo mora imeti matematično nihalo, da se giblje na enak način kot ustrezno fizično nihalo. To dolžino imenujemo zmanjšana dolžina fizičnega nihala. Pomen tega koncepta je v tem, da lahko preučevanje gibanja fizičnega nihala nadomestimo s preučevanjem gibanja matematičnega nihala, ki je preprosto mehansko vezje.
Prvi integral enačbe gibanja nihala
Enačbe gibanja fizikalnih in matematičnih nihal imajo enako obliko, zato bo enačba njihovega gibanja
Ker je edina sila, ki je upoštevana v tej enačbi, sila gravitacije, ki pripada potencialnemu polju sil, velja zakon o ohranitvi mehanske energije.
Slednjo lahko dobimo na preprost način, in sicer tako, da enačbo (16.10) pomnožimo s
Z integracijo te enačbe dobimo
Z določitvijo konstante integracije Cu iz začetnih pogojev najdemo
Rešitev zadnje enačbe za relativno dobimo
Ta relacija predstavlja prvi integral diferencialne enačbe (16.10).
Določanje reakcij nosilca fizikalnih in matematičnih nihal
Prvi integral enačb gibanja nam omogoča določitev opornih reakcij nihala. Kot je navedeno v prejšnjem odstavku, so nosilne reakcije določene iz enačb (16.5). V primeru fizičnega nihala bodo komponente aktivne sile vzdolž koordinatnih osi in njeni momenti glede na osi:
Koordinate središča mase so določene s formulami:
Nato dobijo enačbe za določanje reakcij nosilcev obliko:
Glede na pogoje problema je treba poznati centrifugalne vztrajnostne momente telesa in razdalje med nosilci. Kotni pospešek b in kotna hitrost с sta določena iz enačb (16.9) in (16.4) v obliki:
Tako enačbe (16.12) v celoti določajo komponente reakcij nosilca fizičnega nihala.
Enačbe (16.12) so še bolj poenostavljene, če upoštevamo matematično nihalo. Dejansko, ker se materialna točka matematičnega nihala nahaja v ravnini, potem Poleg tega, ker je ena točka fiksna, potem Posledično se enačbe (16.12) spremenijo v enačbe oblike:
Iz enačb (16.13) z uporabo enačbe (16.9) sledi, da je reakcija nosilca usmerjena vzdolž niti I (slika 120). Slednje je očiten rezultat. Posledično s projiciranjem komponent enačb (16.13) na smer navoja najdemo enačbo za določitev reakcije nosilca oblike (sl. 120):
Tukaj nadomestimo vrednost in upoštevamo, da pišemo:
Zadnja relacija določa dinamični odziv matematičnega nihala. Upoštevajte, da bo njegova statična reakcija
Kvalitativna študija narave gibanja nihala
Prvi integral enačbe gibanja nihala nam omogoča kvalitativno preučevanje narave njegovega gibanja. Ta integral (16.11) namreč zapišemo v obliki:
Med gibanjem mora biti radikalni izraz bodisi pozitiven bodisi na nekaterih točkah izginiti. Predpostavimo, da so začetni pogoji takšni, da
V tem primeru radikalni izraz ne izgine nikamor. Posledično bo nihalo med premikanjem šlo skozi vse vrednosti kota in ima kotna hitrost od nihala enak predznak, ki je določen s smerjo začetne kotne hitrosti, ali pa se bo kot povečal nihalo se bo vrtelo v eno stran.
Smeri gibanja bodo ustrezale enemu ali drugemu znaku v izrazu (16.11). Nujen pogoj za izvedbo takšnega gibanja je prisotnost začetne kotne hitrosti, saj je iz neenakosti (16.14) razvidno, da ni mogoče doseči takšnega gibanja nihala pri katerem koli začetnem kotu odklona.
Naj bodo zdaj začetni pogoji takšni, da
V tem primeru obstajata dve takšni kotni vrednosti, pri katerih izraz radikala postane nič. Naj ustrezajo kotom, določenim z enakostjo
Poleg tega bo nekje v območju od 0 do . Nadalje je očitno, da ko
radikalni izraz (16.11) bo pozitiven, za poljubno malo preseganje pa negativen.
Posledično, ko se nihalo premika, se njegov kot spreminja v območju:
Ko gre kotna hitrost nihala na nič in se kot začne zmanjševati na vrednost . V tem primeru se spremeni predznak kotne hitrosti oziroma predznak pred radikalom v izrazu (16.11). Ko kotna hitrost nihala ponovno doseže nič in se kot ponovno začne povečevati na vrednost
Tako bo nihalo izvajalo nihajna gibanja
Amplituda nihanja nihala
Ko nihalo niha, največjo vrednost njegovega odstopanja od navpičnice imenujemo amplituda nihanja. Je enako kateri se določi iz enakosti
Kot izhaja iz zadnje formule, je amplituda nihanja odvisna od začetnih podatkov glavnih značilnosti nihala ali njegove zmanjšane dolžine.
V konkretnem primeru, ko se nihalo odkloni od ravnotežnega položaja in sprosti brez začetne hitrosti, bo ta enaka , zato amplituda ni odvisna od zmanjšane dolžine.
Enačba gibanja nihala v končni obliki
Naj bo začetna hitrost nihala nič, potem bo prvi integral njegove enačbe gibanja:
Z integracijo te enačbe ugotovimo
Čas bomo šteli od položaja nihala, ki ustreza takrat
Pretvorimo integrand z uporabo formule:
Potem dobimo:
Nastali integral imenujemo eliptični integral prve vrste. Ni ga mogoče izraziti s končnim številom elementarnih funkcij.
Inverzija eliptičnega integrala (16.15) glede na njegovo zgornjo mejo predstavlja enačbo gibanja nihala:
To bo dobro raziskana Jacobijeva eliptična funkcija.
Obdobje nihanja nihala
Čas, ki je potreben za en popoln nihaj nihala, se imenuje njegova nihajna doba. Označimo ga s T. Ker je čas gibanja nihala iz položaja v položaj enak času gibanja od takrat, bo T določen s formulo:
Spremenimo spremenljivke tako, da postavimo
Pri spreminjanju od 0 do se bo spremenilo od 0 do . Nadalje,
in zato
Zadnji integral se imenuje popolni eliptični integral prve vrste (njegove vrednosti so podane v posebnih tabelah).
Ko integrand teži k enotnosti in .
Približne formule za majhna nihanja nihala
V primeru, da ima nihanje nihala majhno amplitudo (praktično ne sme presegati 20 °), lahko postavite
Potem ima diferencialna enačba gibanja nihala obliko:
Opredelitev
Matematično nihalo- to je nihajni sistem, ki je poseben primer fizičnega nihala, katerega celotna masa je skoncentrirana v eni točki, v središču mase nihala.
Običajno je matematično nihalo predstavljeno kot krogla, obešena na dolgi breztežni in neraztegljivi niti. To je idealiziran sistem, ki izvaja harmonična nihanja pod vplivom gravitacije. Dober približek matematičnega nihala je ogromna majhna kroglica, ki niha na tanki dolgi niti.
Galileo je bil prvi, ki je proučeval lastnosti matematičnega nihala s preučevanjem nihanja lestenca na dolgi verigi. Ugotovil je, da nihajna doba matematičnega nihala ni odvisna od amplitude. Če se pri zagonu nihala odkloni pod različnimi majhnimi koti, se bodo njegova nihanja pojavila z enakim obdobjem, vendar z različnimi amplitudami. Ta lastnost se imenuje izohronizem.
Enačba gibanja matematičnega nihala
Matematično nihalo je klasičen primer harmoničnega oscilatorja. Izvaja harmonična nihanja, ki jih opisuje diferencialna enačba:
\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \levo(1\desno),\]
kjer je $\varphi $ kot odstopanja niti (obesitve) od ravnotežnega položaja.
Rešitev enačbe (1) je funkcija $\varphi (t):$
\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \desno)\levo(2\desno),\ )\]
kjer je $\alpha $ začetna faza nihanj; $(\varphi )_0$ - amplituda nihanj; $(\omega )_0$ - ciklična frekvenca.
Nihanja harmoničnega oscilatorja so pomemben primer periodičnega gibanja. Oscilator služi kot model pri številnih problemih klasične in kvantne mehanike.
Ciklična frekvenca in nihajna doba matematičnega nihala
Ciklična frekvenca matematičnega nihala je odvisna le od dolžine njegovega vzmetenja:
\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\levo(3\desno).\]
Nihajna doba matematičnega nihala ($T$) je v tem primeru enaka:
Izraz (4) kaže, da je perioda matematičnega nihala odvisna le od dolžine njegovega obešanja (razdalje od točke obešanja do težišča bremena) in gravitacijskega pospeška.
Energijska enačba za matematično nihalo
Ko obravnavajo nihanje mehanskih sistemov z eno prostostno stopnjo, pogosto za izhodišče ne vzamejo Newtonovih enačb gibanja, temveč energijsko enačbo. Ker jo je lažje sestaviti in je enačba prvega reda v času. Predpostavimo, da v sistemu ni trenja. Zakon o ohranitvi energije za matematično nihalo, ki izvaja prosta nihanja (majhna nihanja), zapišemo kot:
kjer je $E_k$ kinetična energija nihala; $E_p$ je potencialna energija nihala; $v$ je hitrost nihala; $x$ je linearni premik uteži nihala iz ravnotežnega položaja vzdolž krožnega loka s polmerom $l$, medtem ko je kotni premik povezan z $x$ kot:
\[\varphi =\frac(x)(l)\levo(6\desno).\]
Največja vrednost potencialne energije matematičnega nihala je:
Največja vrednost kinetične energije:
kjer je $h_m$ največja višina nihala; $x_m$ največji odklon nihala od ravnotežnega položaja; $v_m=(\omega )_0x_m$ - največja hitrost.
Primeri problemov z rešitvami
Primer 1
telovadba. Kolikšna je največja višina dviga krogle matematičnega nihala, če je bila njegova hitrost gibanja pri prehodu skozi ravnotežni položaj $v$?
rešitev. Naredimo risbo.
Naj bo potencialna energija žoge enaka nič v njenem ravnotežnem položaju (točka 0). V tej točki je hitrost krogle največja in enaka $v$ glede na pogoje problema. V točki največjega dviga žogice nad ravnotežno lego (točka A) je hitrost žogice enaka nič, potencialna energija je največja. Zapišimo zakon ohranitve energije za obravnavana dva položaja žogice:
\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \levo(1,1\desno).\]
Iz enačbe (1.1) najdemo zahtevano višino:
Odgovori.$h=\frac(v^2)(2g)$
Primer 2
telovadba. Kolikšen je gravitacijski pospešek, če matematično nihalo z dolžino $l=1\ m$ niha s periodo, ki je enaka $T=2\ s$? Nihanja matematičnega nihala naj bodo majhna.\textit()
rešitev. Kot osnovo za rešitev problema vzamemo formulo za izračun obdobja majhnih nihanj:
Izrazimo pospešek iz tega:
Izračunajmo gravitacijski pospešek:
Odgovori.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$
Kaj je matematično nihalo?
Iz prejšnjih lekcij ste že morali vedeti, da je nihalo praviloma telo, ki niha pod vplivom gravitacijske interakcije. To pomeni, da lahko rečemo, da se v fiziki ta koncept na splošno šteje za trdno telo, ki pod vplivom gravitacije izvaja nihajna gibanja, ki se pojavljajo okoli fiksne točke ali osi.
Načelo delovanja matematičnega nihala
Zdaj pa poglejmo načelo delovanja matematičnega nihala in ugotovimo, kaj je.
Načelo delovanja matematičnega nihala je, da ko materialna točka odstopi od ravnotežnega položaja za majhen kot a, to je za kot, pri katerem bi bil izpolnjen pogoj sina=a, takrat deluje sila F = -mgsina = - mga bo delovala na telo.
Vidimo, da ima sila F negativni eksponent, iz česar sledi, da nam znak minus pove, da je ta sila usmerjena v smer, nasprotno od premika. In ker je sila F sorazmerna s premikom S, sledi, da bo materialna točka pod vplivom te sile izvajala harmonična nihanja.
Lastnosti nihala
Če vzamemo katerokoli drugo nihalo, je njegova nihajna doba odvisna od mnogih dejavnikov. Ti dejavniki vključujejo:
Prvič, velikost in oblika telesa;
Drugič, razdalja, ki obstaja med točko obešenja in težiščem;
Tretjič, tudi porazdelitev telesne mase glede na določeno točko.
V povezavi s temi različnimi okoliščinami nihala je določitev obdobja visečega telesa precej težavna.
In če vzamemo matematično nihalo, potem ima vse tiste lastnosti, ki jih je mogoče dokazati z uporabo znanih fizikalnih zakonov in njegovo dobo je mogoče enostavno izračunati s formulo.
Po izvedbi številnih različnih opazovanj takšnih mehanskih sistemov so fiziki lahko določili vzorce, kot so:
Prvič, obdobje nihala ni odvisno od mase bremena. To pomeni, da če z enako dolžino nihala nanj obesimo uteži, ki imajo različne mase, bo perioda njihovega nihanja še vedno enaka, tudi če se njihove mase precej razlikujejo.
Drugič, če pri zagonu sistema nihalo odklonimo za majhne, a različne kote, bodo njegova nihanja imela enako obdobje, vendar bodo amplitude drugačne. Z majhnimi odstopanji od središča ravnotežja bodo nihanja v svoji obliki imela skoraj harmoničen značaj. To pomeni, da lahko rečemo, da obdobje takšnega nihala ni odvisno od amplitude nihanj. V prevodu iz grščine se ta lastnost tega mehanskega sistema imenuje izohronizem, kjer "isos" pomeni enak, "chronos" pa čas.
Praktična uporaba nihanj nihala
Matematično nihalo uporabljajo za različne študije fiziki, astronomi, geodeti in drugi znanstveniki. S pomočjo takšnega nihala iščejo minerale. Z opazovanjem pospeška matematičnega nihala in štetjem števila njegovih nihanj lahko najdemo nahajališča premoga in rude v drobovju naše Zemlje.
K. Flammarion, znani francoski astronom in naravoslovec, je trdil, da je s pomočjo matematičnega nihala lahko naredil veliko pomembnih odkritij, vključno s pojavom Tunguskega meteorita in odkritjem novega planeta.
Dandanes mnogi jasnovidci in okultisti uporabljajo tak mehanski sistem za iskanje pogrešanih ljudi in preroške napovedi.
