Koncept racionalne enačbe. Racionalne enačbe – Hipermarket znanja

Naučili smo se že reševati kvadratne enačbe. Zdaj pa razširimo proučevane metode na racionalne enačbe.

Kaj je racionalno izražanje? S tem konceptom smo se že srečali. Racionalni izrazi so izrazi, sestavljeni iz števil, spremenljivk, njihovih potenc in simbolov matematičnih operacij.

V skladu s tem so racionalne enačbe enačbe oblike: , kjer je - racionalni izrazi.

Prej smo upoštevali samo tiste racionalne enačbe, ki jih je mogoče reducirati na linearne. Zdaj pa poglejmo tiste racionalne enačbe, ki jih je mogoče zmanjšati na kvadratne enačbe.

Primer 1

Reši enačbo: .

rešitev:

Ulomek je enak 0, če in samo če je njegov števec enak 0 in imenovalec ni enak 0.

Dobimo naslednji sistem:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba. Preden ga rešimo, delimo vse njegove koeficiente s 3. Dobimo:

Dobimo dva korena: ; .

Ker 2 nikoli ni enako 0, morata biti izpolnjena dva pogoja: . Ker nobena od korenin zgoraj dobljene enačbe ne sovpada z neveljavne vrednosti spremenljivki, ki sta bili dobljeni z reševanjem druge neenačbe, sta obe rešitvi podana enačba.

odgovor:.

Torej, oblikujmo algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Prenesite vse pogoje na leva stran, tako da se desna stran izkaže za 0.

2. Preoblikuj in poenostavi levo stran, vse ulomke spravi na skupni imenovalec.

3. Dobljeni ulomek izenačite z 0 na naslednji algoritem: .

4. Zapišite tiste korene, ki ste jih dobili v prvi enačbi in v odgovoru zadostite drugi neenakosti.

Poglejmo še en primer.

Primer 2

Reši enačbo: .

rešitev

Na samem začetku prestavimo vse izraze na leva stran, tako da 0 ostane na desni strani. Dobimo:

Zdaj pa spravimo levo stran enačbe na skupni imenovalec:

Ta enačba je enakovredna sistemu:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba.

Koeficienti te enačbe: . Izračunamo diskriminanco:

Dobimo dva korena: ; .

Zdaj pa rešimo drugo neenačbo: zmnožek faktorjev ni enak 0, če in samo če nobeden od faktorjev ni enak 0.

Izpolnjena morata biti dva pogoja: . Ugotovimo, da je od dveh korenov prve enačbe primeren le eden - 3.

odgovor:.

V tej lekciji smo se spomnili, kaj je racionalni izraz, in se tudi naučili reševati racionalne enačbe, ki se reducirajo na kvadratne enačbe.

V naslednji lekciji si bomo racionalne enačbe ogledali kot modele resnične situacije, razmislite pa tudi o gibalnih nalogah.

Bibliografija

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. in drugi Algebra, 8. 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Vadnica za izobraževalne ustanove. - M.: Izobraževanje, 2006.

1. Festival pedagoške ideje "Javna lekcija" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domača naloga

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Zbrano pri nas osebne informacije omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javne pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Povzetek lekcije matematike v 8. razredu na temo "Reševanje racionalnih enačb" na podlagi učbenika Mordkovich A.G.

Kalinnikova Alina Jurijevna

Kraj dela

Srednja šola MBOU št. 6 po imenu Ts.L.Kunikovag.Tuapse

Naziv delovnega mesta

Učiteljica matematike

Postavka

Razred

Osnovna vadnica

A.G. Mordkovič. Algebra 8. razred. Dva dela. Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov, 12. izdaja, stereotipna. – M. Mnemosyne, 2010. – 215s.

Naslov lekcije

Reševanje racionalnih enačb

Vrsta lekcije

Lekcija - posplošitev znanja in metod za reševanje racionalnih enačb

Oblika lekcije

Tradicionalno

Izobraževalno okolje lekcija

Računalnik, multimedijski projektor, zaslon, tiskani listi za delo učencev pri pouku, listi z dodatnimi domačimi nalogami.

Oblike študentskega dela

Individualno, skupinsko

Cilji lekcije:

- izobraževalni: Izboljšati praktične spretnosti in sposobnosti študentov

- razvijanje: razvijati logično razmišljanje učenci, povečajo zanimanje za temo, ki se preučuje; razvijajo sposobnost opazovanja, primerjave, posploševanja, analize

matematičnih modelov.

-izobraževalni Omeniti kognitivna dejavnost, komunikacijska kultura, samostojnost; učijo samokontrole, medsebojnega nadzora in samoanalize dejavnosti.

Med poukom:

Ι. Organiziranje časa:

Pozdravi. Ustvarjalec relativnostne teorije Albert Einstein je nekoč pripomnil: »Svoj čas moram razdeliti med politiko in enačbe. Vendar so enačbe po mojem mnenju veliko bolj pomembne, saj politika obstaja samo za ta trenutek, in enačba bo obstajala večno.«

ΙΙ. Postavljanje ciljev in motivacija izobraževalne dejavnosti:

Namen naše lekcije je razviti veščine reševanja racionalnih enačb.

V zvezke si zapišite datum in temo učne ure.

ΙΙΙ. Posodabljanje znanja:

1.Kaj je enačba?

2.Kaj pomeni rešiti enačbo?

3. Katere enačbe imenujemo racionalne?

4. Kakšna bo rešitev takšne enačbe?

Ponujam vam "sveženj ključev" za reševanje racionalnih enačb.

Priprava na zaprti deski:

Ključ 1. Pogoj, da je ulomek enak nič: l ²-5l +4 =0

Ključ 2. Pogoj za enakost dveh ulomkov z isti imenovalec:

5x²-3 = X

Ključ 3. Pogoj za enakost dveh ulomkov ali glavna lastnost ulomka:

x² = 2x

Ključ 4. Lastnost enakosti ulomkov z različne imenovalce:

x²+4 = 5x

Ključ 5. Reševanje enačb z zamenjavo:

X – 9X + 20=0

Poskusite uporabiti različne "ključe", odvisno od situacije.

Zakaj je treba racionalne enačbe reševati previdno?

Ustno: 1) Za katere vrednosti x je izraz smiseln?

1 1 5 4 5

X; X+5 ; X(X – 2); (X – 3)(X+4) ;

2) Najti skupni imenovalec ulomki v vsaki enačbi:

A) X 5 _ 3x 6 = = 0 ;

2 – 5x 5x - 2

B) 3u 5 _ y² 6 = = 1 ;

IN) 2x 5 + 3 6 = = 0 .

Odgovori: a) 5x – 2 ali 2 – 5x; b) y² - 4; c) x(x+2).

Ι V .Oblikovanje spretnosti in spretnosti: Delo na tabli s komentarjem (vsak korak algoritma izvaja ena oseba).

Reši enačbe: Kateri ključ naj uporabim?

A) 2x² - 5x + 3 = 0; b) 8u - 5 = 9у .

x – 1 y y+2

Odgovori: a) x=1,5, b) y1=10; y2=1.

Ta enačba je vzeta iz gradiva GIA 9. razreda, bodite previdni.

Izpostavljanje problema:

Poimenujte količino rešitve enačbe

x(x+ 3 ) (x² - 3x + 2) = 0

Poskusite rešiti to enačbo. Vaši predlogi.

Sugestivna vprašanja:

Kateri ključ boste uporabili?

Kdaj je ulomek enak 0?

Kdaj je produkt enak 0?

Koliko korenin boste dobili?

rešitev: ulomek je enak 0, če je števec tega ulomka 0 in imenovalec

x(x +3) (x² - 3x + 2) = 0

X1=0 ali X+3=0 ali X² - ​​​​3X + 2 = 0

X2= -3 X3=2, X4=1

Pregled: zamenjajmo korene v imenovalec x – 1 ≠ 0

X4=1 je tuji koren.

Ali lahko zdaj imenujete število korenov te enačbe?

odgovor: Ta enačba ima 3 rešitve.

V .Samostojno delo: Razdelijo se listi s pogoji.

1. možnost 2. možnost

A) x²-x-6 = 0 a) x²-5x-6 = 0

X-3 x +1

Odgovor: x = -2 Odgovor: x = 6

b) X – 5X - 36 = 0 b) X – 8X + 16 = 0

Odgovor: x1 = 2; x2 = -2. Odgovor: x1 = 2; x=-2.

V) x²-6x = 3x-4 V) x²-2x = 4x-3

3x-1 1-3x 2x-1 1-2x

Odgovor: x1 = 4; x2 = -1. Odgovor: x1 = 1; x2=-3.

Strokovni pregled(delo v parih).

Fantje si izmenjajo zvezke in preverijo rešitev.

Odgovori so objavljeni na tabli . Sistem ocenjevanja na prenosni tabli.

Ocenjevanje.

VΙ. Povzemanje.

Kateri od predlaganih "ključev" so vam bili koristni pri lekciji?

Kateri "ključ" najpogosteje uporabljate?

Želim si, da bi med izpitom lahko pobrali "ključe" za rešitev katere koli enačbe!

VΙΙ. Domača naloga. Naloga je podana na začetku lekcije.

(na "3" a, b;

na "4" a B C;

na "5" a B C D).

1. možnost 2. možnost

A) x² = 2x; A) 3x-9 = 3x;

3 x 3 x-1 2 x

b) x-7 _ x+4= 1; b) x²-2x + x+6 =3;

x-2 x+2 2x-1 x+1

c) 9 X – 40 X + 16 = 0; c) 16 X – 25 X + 9 = 0;

d) 3 x²+11x-4= 3. d) 2 x²+2x-1 = 2.

Dodatna naloga:

3 + 2 = 1

x²-2x +1 1-x² x+1

Bibliografija:

1. Učbenik in problemska knjiga "Algebra" - 8. razred, urednik A.G. Mordkovič.

2. Matematika 9. razred. Priprava Državnega arhiva pod urednikovanjem F. F. Lysenka.

3. Berilo o zgodovini matematike. Uredil A.P. Juškevič.

Predstavitev in lekcija na temo: "Racionalne enačbe. Algoritem in primeri reševanja racionalnih enačb"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 8. razred
Priročnik za učbenik Makarycheva Yu.N. Priročnik za učbenik Mordkovich A.G.

Uvod v iracionalne enačbe

Naj bo $r(x)$ racionalno izražanje. Tak izraz je lahko preprost polinom v spremenljivki $x$ ali razmerje polinomov (uvedena je operacija deljenja, kot pri racionalnih številih).
Enačba $r(x)=0$ se imenuje racionalna enačba.
Vsaka enačba v obliki $p(x)=q(x)$, kjer sta $p(x)$ in $q(x)$ racionalna izraza, bo prav tako racionalna enačba.

Poglejmo si primere reševanja racionalnih enačb.

rešitev.
Premaknimo vse izraze na levo stran: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Če bi bila predstavljena leva stran enačbe navadne številke, potem bi dva ulomka spravili na skupni imenovalec.
Naredimo tole: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo enačbo: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Ulomek je enak nič, če in samo če je števec ulomka enako nič, imenovalec pa je različen od nič. Nato ločeno enačimo števec z nič in poiščemo korenine števca.
$3(x^2+2x-3)=0$ ali $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Zdaj pa preverimo imenovalec ulomka: $(x-3)*x≠0$.
Zmnožek dveh števil je enak nič, če je vsaj eno od teh števil enako nič. Potem: $x≠0$ ali $x-3≠0$.
$x≠0$ ali $x≠3$.
Korenine, dobljene v števcu in imenovalcu, ne sovpadajo. V odgovor torej zapišemo oba korena števca.
Odgovor: $x=1$ ali $x=-3$.

Če nenadoma ena od korenin števca sovpada s korenino imenovalca, jo je treba izključiti. Takšne korenine se imenujejo tuje!

Algoritem za reševanje racionalnih enačb:

Primer 2.
Rešite enačbo: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

rešitev.
Rešimo po točkah algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Števec enačite na nič: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izenačite imenovalec na nič:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ in $x=-1$.
Eden od korenov $x=1$ sovpada s korenom števca, potem ga v odgovoru ne zapišemo.
Odgovor: $x=-1$.

Racionalne enačbe je priročno reševati z metodo menjave spremenljivk. Pokažimo to.

Primer 3.
Rešite enačbo: $x^4+12x^2-64=0$.

rešitev.
Predstavimo zamenjavo: $t=x^2$.
Potem bo naša enačba dobila obliko:
$t^2+12t-64=0$ - navadna kvadratna enačba.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 $.
Uvedimo obratno zamenjavo: $x^2=4$ ali $x^2=-16$.
Koreni prve enačbe so par števil $x=±2$. Druga stvar je, da nima korenin.
Odgovor: $x=±2$.

Primer 4.
Rešite enačbo: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
rešitev.
Predstavimo novo spremenljivko: $t=x^2+x+1$.
Potem bo enačba prevzela obliko: $t=\frac(15)(t+2)$.
Nato nadaljujemo po algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - korenine ne sovpadajo.
Uvedimo obratno zamenjavo.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Rešimo vsako enačbo posebej:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korenine
In druga enačba: $x^2+x-2=0$.
Koreni te enačbe bodo števili $x=-2$ in $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ in $x=1$.

Primer 5.
Rešite enačbo: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

rešitev.
Predstavimo zamenjavo: $t=x+\frac(1)(x)$.
Nato:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ali $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo enačbo: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Koreni te enačbe so par:
$t=-3$ in $t=2$.
Uvedimo obratno zamenjavo:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odločili se bomo ločeno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rešimo drugo enačbo:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koren te enačbe je število $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.