Boltzmannova konstantna merska enota. Fizikalno bistvo Boltzmannove konstante

Metulji seveda ne vedo ničesar o kačah. Toda ptice, ki lovijo metulje, vedo zanje. Ptice, ki kač ne prepoznajo dobro, pogosteje ...

Za konstanto, povezano z energijo sevanja črnega telesa, glejte Stefan-Boltzmannova konstanta

Boltzmannova konstanta (k oz k B) je fizična konstanta, ki določa razmerje med temperaturo snovi in ​​energijo toplotnega gibanja delcev te snovi. Poimenovana po avstrijskem fiziku Ludwigu Boltzmannu, ki je pomembno prispeval k statistični fiziki, v kateri ima ta konstanta ključno vlogo. Njegova eksperimentalna vrednost v sistemu SI je

V tabeli zadnje številke v oklepajih označujejo standardno napako konstantne vrednosti. Načeloma lahko Boltzmanovo konstanto dobimo iz definicije absolutne temperature in drugih fizikalnih konstant. Vendar pa je natančen izračun Boltzmannove konstante z uporabo prvih principov preveč zapleten in neizvedljiv glede na trenutno stanje znanja.

Boltzmanovo konstanto lahko eksperimentalno določimo z uporabo Planckovega zakona toplotnega sevanja, ki opisuje porazdelitev energije v spektru ravnotežnega sevanja pri določeni temperaturi sevajočega telesa, pa tudi z drugimi metodami.

Med univerzalno plinsko konstanto in Avogadrovim številom obstaja povezava, iz katere sledi vrednost Boltzmannove konstante:

Razsežnost Boltzmannove konstante je enaka razsežnosti entropije.

Zgodba

Leta 1877 je Boltzmann prvi povezal entropijo in verjetnost, a dokaj natančno vrednost konstante k kot sklopitveni koeficient v formuli za entropijo pojavil šele v delih M. Plancka. Pri izpeljavi zakona o sevanju črnega telesa je Planck v letih 1900–1901. za Boltzmannovo konstanto je našel vrednost 1,346 10 −23 J/K, skoraj 2,5 % manj od trenutno sprejete vrednosti.

Pred letom 1900 so bile relacije, ki so zdaj zapisane z Boltzmannovo konstanto, zapisane s plinsko konstanto R, namesto povprečne energije na molekulo pa je bila uporabljena skupna energija snovi. Lakonična formula obrazca S = k dnevnik W na Boltzmannovem doprsnem kipu je to postalo po zaslugi Plancka. V svojem Nobelovem predavanju leta 1920 je Planck zapisal:

To konstanto pogosto imenujemo Boltzmannova konstanta, čeprav je, kolikor vem, sam Boltzmann ni nikoli predstavil - čudno stanje, kljub dejstvu, da Boltzmannove izjave ne govorijo o natančni meritvi te konstante.

To stanje je mogoče razložiti s takratno znanstveno razpravo o razjasnitvi bistva atomske strukture snovi. V drugi polovici 19. stoletja so obstajala precejšnja nesoglasja o tem, ali so atomi in molekule resnični ali le priročen način za opisovanje pojavov. Prav tako ni bilo soglasja o tem, ali so "kemične molekule", ki se razlikujejo po svoji atomski masi, enake molekule kot v kinetični teoriji. Nadalje v Planckovem Nobelovem predavanju je mogoče najti naslednje:

»Nič ne more bolje pokazati pozitivne in pospešene stopnje napredka kot umetnost eksperimentiranja v zadnjih dvajsetih letih, ko je bilo hkrati odkritih veliko metod za merjenje mase molekul s skoraj enako natančnostjo, kot je merjenje mase planeta. ”

Enačba stanja idealnega plina

Za idealni plin velja enoten plinski zakon o tlaku p, glasnost V, količina snovi n v molih, plinska konstanta R in absolutna temperatura T:

V tej enakosti lahko naredite zamenjavo. Nato bo plinski zakon izražen z Boltzmannovo konstanto in številom molekul n v prostornini plina V:

Razmerje med temperaturo in energijo

V homogenem idealnem plinu pri absolutni temperaturi T, je energija na vsako translacijsko prostostno stopnjo enaka, kot izhaja iz Maxwellove porazdelitve, kT/ 2 . Pri sobni temperaturi (≈ 300 K) je ta energija J ali 0,013 eV.

Relacije termodinamike plina

V monatomskem idealnem plinu ima vsak atom tri prostostne stopnje, ki ustrezajo trem prostorskim osem, kar pomeni, da ima vsak atom energijo 3 kT/ 2 . To se dobro ujema z eksperimentalnimi podatki. Če poznamo toplotno energijo, lahko izračunamo povprečno kvadratno hitrost atomov, ki je obratno sorazmerna s kvadratnim korenom atomske mase. Koren srednje kvadratne hitrosti pri sobni temperaturi se spreminja od 1370 m/s za helij do 240 m/s za ksenon.

Kinetična teorija daje formulo za povprečni tlak p idealen plin:

Ob upoštevanju, da je povprečna kinetična energija premočrtnega gibanja enaka:

najdemo enačbo stanja idealnega plina:

To razmerje dobro velja za molekularne pline; spremeni pa se odvisnost toplotne kapacitete, saj imajo lahko molekule dodatne notranje prostostne stopnje glede na tiste prostostne stopnje, ki so povezane z gibanjem molekul v prostoru. Na primer, dvoatomni plin ima že približno pet prostostnih stopinj.

Boltzmannov multiplikator

Na splošno je sistem v ravnovesju s termalnim rezervoarjem pri temperaturi T ima verjetnost str zasedejo stanje energije E, ki ga lahko zapišemo z ustreznim eksponentnim Boltzmannovim množiteljem:

Ta izraz vključuje količino kT z dimenzijo energije.

Verjetnostni izračun se ne uporablja le za izračune v kinetični teoriji idealnih plinov, ampak tudi na drugih področjih, na primer v kemijski kinetiki v Arrheniusovi enačbi.

Vloga pri statističnem določanju entropije

Glavni članek: Termodinamična entropija

Entropija S izoliranega termodinamičnega sistema v termodinamičnem ravnotežju se določi z naravnim logaritmom števila različnih mikrostanj W, ki ustreza danemu makroskopskemu stanju (na primer stanju z dano skupno energijo E):

Faktor sorazmernosti k je Boltzmannova konstanta. To je izraz, ki definira razmerje med mikroskopskimi in makroskopskimi stanji (prek W in entropija S v skladu s tem), izraža osrednjo idejo statistične mehanike in je glavno odkritje Boltzmanna.

Klasična termodinamika uporablja Clausiusov izraz za entropijo:

Tako se pojavi Boltzmannova konstanta k lahko vidimo kot posledico povezave med termodinamičnimi in statističnimi definicijami entropije.

Entropijo lahko izrazimo v enotah k, ki daje naslednje:

V takih enotah entropija natančno ustreza informacijski entropiji.

Značilna energija kT enaka količini toplote, ki je potrebna za povečanje entropije S"za eno nat.

Vloga v fiziki polprevodnikov: toplotna obremenitev

Za razliko od drugih snovi je pri polprevodnikih električna prevodnost močno odvisna od temperature:

kjer je faktor σ 0 precej šibko odvisen od temperature v primerjavi z eksponentom, E A– aktivacijska energija prevodnosti. Gostota prevodnih elektronov je eksponentno odvisna tudi od temperature. Za tok skozi polprevodniški p-n spoj namesto aktivacijske energije upoštevajte karakteristično energijo danega p-n spoja pri temperaturi T kot značilna energija elektrona v električnem polju:

Kje q- , A V T obstaja toplotna napetost, ki je odvisna od temperature.

To razmerje je osnova za izražanje Boltzmannove konstante v enotah eV∙K −1. Pri sobni temperaturi (≈ 300 K) je vrednost toplotne napetosti približno 25,85 milivoltov ≈ 26 mV.

V klasični teoriji se pogosto uporablja formula, po kateri je efektivna hitrost nosilcev naboja v snovi enaka produktu gibljivosti nosilcev μ in električne poljske jakosti. Druga formula povezuje gostoto nosilnega toka z difuzijskim koeficientom D in z gradientom koncentracije nosilca n :

V skladu z razmerjem Einstein-Smoluchowski je difuzijski koeficient povezan z mobilnostjo:

Boltzmannova konstanta k je vključen tudi v Wiedemann-Franzov zakon, po katerem je razmerje med koeficientom toplotne prevodnosti in koeficientom električne prevodnosti v kovinah sorazmerno s temperaturo in kvadratom razmerja med Boltzmannovo konstanto in električnim nabojem.

Aplikacije na drugih področjih

Za razmejitev temperaturnih območij, v katerih je obnašanje snovi opisano s kvantnimi ali klasičnimi metodami, se uporablja Debyejeva temperatura:

Fizika kot eksaktna kvantitativna znanost ne more brez nabora zelo pomembnih konstant, ki so kot univerzalni koeficienti vključene v enačbe, ki vzpostavljajo razmerja med določenimi količinami. To so temeljne konstante, zaradi katerih takšna razmerja postanejo nespremenljiva in lahko pojasnijo obnašanje fizičnih sistemov na različnih ravneh.

Med takšnimi parametri, ki označujejo lastnosti materije našega vesolja, je Boltzmannova konstanta, količina, ki je vključena v številne najpomembnejše enačbe. Toda preden preidemo na premislek o njegovih značilnostih in pomenu, si ne moremo kaj, da ne bi rekli nekaj besed o znanstveniku, čigar ime nosi.

Ludwig Boltzmann: znanstveni dosežki

Eden največjih znanstvenikov 19. stoletja, Avstrijec Ludwig Boltzmann (1844-1906), je pomembno prispeval k razvoju molekularno-kinetične teorije in postal eden od ustvarjalcev statistične mehanike. Bil je avtor ergodične hipoteze, statistične metode pri opisu idealnega plina, in osnovne enačbe fizikalne kinetike. Veliko se je ukvarjal z vprašanji termodinamike (Boltzmannov H-teorem, statistični princip za drugi zakon termodinamike), teorije sevanja (Stefan-Boltzmannov zakon). V svojih delih se je dotaknil tudi nekaterih vprašanj elektrodinamike, optike in drugih vej fizike. Njegovo ime je ovekovečeno v dveh fizikalnih konstantah, o katerih bomo govorili v nadaljevanju.

Ludwig Boltzmann je bil prepričan in dosleden zagovornik teorije o atomsko-molekularni strukturi snovi. Dolga leta se je moral boriti z nerazumevanjem in zavračanjem teh idej v znanstveni skupnosti tistega časa, ko so mnogi fiziki atome in molekule smatrali za nepotrebno abstrakcijo, v najboljšem primeru za konvencionalno napravo za udobje izračunov. Boleča bolezen in napadi konservativnih kolegov so Boltzmanna izzvali v hudo depresijo, ki je izjemnega znanstvenika, ki ga ni mogel prenesti, pripeljala do samomora. Na nagrobnem spomeniku je nad doprsnim kipom Boltzmanna v znak priznanja njegovih zaslug vklesana enačba S = k∙logW - eden od rezultatov njegovega plodnega znanstvenega dela. Konstanta k v tej enačbi je Boltzmannova konstanta.

Energija molekul in temperatura snovi

Koncept temperature služi za opredelitev stopnje segrevanja določenega telesa. V fiziki se uporablja absolutna temperaturna lestvica, ki temelji na sklepu molekularne kinetične teorije o temperaturi kot meri, ki odraža količino energije toplotnega gibanja delcev snovi (seveda gre za povprečno kinetično energijo množica delcev).

Tako SI joule kot erg, uporabljena v sistemu CGS, sta preveliki enoti za izražanje energije molekul in v praksi je bilo na ta način zelo težko meriti temperaturo. Priročna enota za temperaturo je stopinja, meritev pa poteka posredno, preko beleženja spreminjajočih se makroskopskih lastnosti snovi – na primer prostornine.

Kako sta povezana energija in temperatura?

Za izračun stanj realne snovi pri temperaturah in tlakih, ki so blizu normalnim, se uspešno uporablja model idealnega plina, to je tistega, katerega molekulska velikost je veliko manjša od prostornine, ki jo zaseda določena količina plina, in razdalje med delcev bistveno presega polmer njihove interakcije. Na podlagi enačb kinetične teorije je povprečna energija takšnih delcev določena kot E av = 3/2∙kT, kjer je E kinetična energija, T temperatura in 3/2∙k sorazmernostni koeficient, uveden z Boltzmann. Število 3 tukaj označuje število stopenj svobode translacijskega gibanja molekul v treh prostorskih dimenzijah.

Vrednost k, ki so jo pozneje v čast avstrijskega fizika poimenovali Boltzmannova konstanta, kaže, koliko joula ali erga vsebuje ena stopinja. Z drugimi besedami, njegova vrednost določa, koliko se energija termičnega kaotičnega gibanja enega delca monoatomskega idealnega plina v povprečju statistično poveča s povečanjem temperature za 1 stopinjo.

Kolikokrat je stopinja manjša od joula?

Številčno vrednost te konstante je mogoče pridobiti na različne načine, na primer z merjenjem absolutne temperature in tlaka, z uporabo enačbe idealnega plina ali z uporabo modela Brownovega gibanja. Teoretična izpeljava te vrednosti na sedanjem nivoju znanja ni mogoča.

Boltzmannova konstanta je enaka 1,38 × 10 -23 J/K (tu je K kelvin, stopinja na absolutni temperaturni lestvici). Za skupino delcev v 1 molu idealnega plina (22,4 litra) dobimo koeficient, ki povezuje energijo s temperaturo (univerzalna plinska konstanta), tako da pomnožimo Boltzmannovo konstanto z Avogadrovim številom (število molekul v molu): R = kN A in je 8,31 J/(mol∙kelvin). Za razliko od slednje pa je Boltzmannova konstanta bolj univerzalne narave, saj je vključena v druge pomembne odnose, služi pa tudi za določanje druge fizikalne konstante.

Statistična porazdelitev molekulskih energij

Ker so makroskopska stanja snovi rezultat obnašanja velike zbirke delcev, jih opisujemo s statističnimi metodami. Slednje vključuje tudi ugotavljanje porazdelitve energijskih parametrov plinskih molekul:

• Maxwellova porazdelitev kinetičnih energij (in hitrosti). Kaže, da ima v plinu v stanju ravnovesja večina molekul hitrosti blizu neke najverjetnejše hitrosti v = √(2kT/m 0), kjer je m 0 masa molekule.
• Boltzmannova porazdelitev potencialnih energij za pline, ki se nahajajo v polju kakršnih koli sil, na primer zemeljske gravitacije. Odvisno je od razmerja med dvema dejavnikoma: privlačnostjo do Zemlje in kaotičnim toplotnim gibanjem delcev plina. Posledično je manjša kot je potencialna energija molekul (bližje površini planeta), večja je njihova koncentracija.

Obe statistični metodi sta združeni v Maxwell-Boltzmannovo porazdelitev, ki vsebuje eksponentni faktor e - E/ kT, kjer je E vsota kinetične in potencialne energije, kT pa že znana povprečna energija toplotnega gibanja, ki jo kontrolira Boltzmannova konstanta.

Konstanta k in entropija

V splošnem smislu lahko entropijo označimo kot merilo ireverzibilnosti termodinamičnega procesa. Ta nepovratnost je povezana z disipacijo - disipacijo - energije. V statističnem pristopu, ki ga je predlagal Boltzmann, je entropija funkcija števila načinov, na katere je mogoče realizirati fizični sistem, ne da bi spremenili svoje stanje: S = k∙lnW.

Tu konstanta k določa obseg rasti entropije s povečanjem tega števila (W) možnosti implementacije sistema ali mikrostanj. Max Planck, ki je to formulo spravil v sodobno obliko, je predlagal, da bi konstanto k poimenovali Boltzmann.

Stefan-Boltzmannov zakon o sevanju

Fizikalni zakon, ki določa, kako je energijska svetilnost (moč sevanja na enoto površine) absolutno črnega telesa odvisna od njegove temperature, ima obliko j = σT 4, to pomeni, da telo seva sorazmerno s četrto potenco svoje temperature. Ta zakon se uporablja na primer v astrofiziki, saj je sevanje zvezd po značilnostih blizu sevanju črnega telesa.

V tem razmerju je še ena konstanta, ki prav tako nadzoruje obseg pojava. To je Stefan-Boltzmannova konstanta σ, ki je približno 5,67 × 10 -8 W/(m 2 ∙K 4). Njena dimenzija vključuje kelvine - kar pomeni, da je jasno, da je tu vpletena tudi Boltzmannova konstanta k. Dejansko je vrednost σ definirana kot (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), kjer je c svetlobna hitrost in h Planckova konstanta. Torej Boltzmannova konstanta, združena z drugimi svetovnimi konstantami, tvori količino, ki ponovno povezuje energijo (moč) in temperaturo – v tem primeru glede na sevanje.

Fizikalno bistvo Boltzmannove konstante

Zgoraj smo že omenili, da je Boltzmannova konstanta ena od tako imenovanih temeljnih konstant. Bistvo ni le v tem, da nam omogoča vzpostavitev povezave med značilnostmi mikroskopskih pojavov na molekularni ravni in parametri procesov, ki jih opazujemo v makrokozmosu. In ne samo, da je ta konstanta vključena v številne pomembne enačbe.

Trenutno ni znano, ali obstaja kakšen fizikalni princip, na podlagi katerega bi ga lahko teoretično izpeljali. Z drugimi besedami, iz ničesar ne sledi, da bi morala biti vrednost določene konstante točno tolikšna. Za merilo skladnosti s kinetično energijo delcev bi lahko namesto stopinj uporabili druge količine in druge enote, takrat bi bila številčna vrednost konstante drugačna, vendar bi ostala konstantna vrednost. Skupaj z drugimi temeljnimi količinami te vrste - mejno hitrostjo c, Planckovo konstanto h, elementarnim nabojem e, gravitacijsko konstanto G - znanost sprejema Boltzmannovo konstanto kot danost našega sveta in jo uporablja za teoretični opis fizikalnega procesi, ki se v njem dogajajo.

Boltzmannova konstanta (k oz k b) je fizična konstanta, ki določa razmerje med in . Imenovan po avstrijskem fiziku, ki je pomembno prispeval k področju, na katerem ima ta konstanta ključno vlogo. Njegova eksperimentalna vrednost v sistemu je

Številke v oklepajih označujejo standardno napako zadnjih števk vrednosti količine. Načeloma lahko Boltzmanovo konstanto dobimo iz definicije absolutne temperature in drugih fizikalnih konstant. Vendar pa je izračun Boltzmannove konstante z uporabo prvih principov preveč zapleten in neizvedljiv glede na trenutno stanje znanja. V naravnem sistemu Planckovih enot je naravna enota za temperaturo podana tako, da je Boltzmannova konstanta enaka enoti.

Razmerje med temperaturo in energijo.

Opredelitev entropije.

Termodinamični sistem je definiran kot naravni logaritem števila različnih mikrostanj Z, ki ustrezajo danemu makroskopskemu stanju (na primer stanju z dano skupno energijo).

Faktor sorazmernosti k in je Boltzmannova konstanta. Ta izraz, ki definira razmerje med mikroskopskim (Z) in makroskopskim stanjem (S), izraža osrednjo idejo statistične mehanike.

Boltzmann Ludwig (1844-1906)- veliki avstrijski fizik, eden od utemeljiteljev molekularne kinetične teorije. V delih Boltzmanna se je molekularna kinetična teorija prvič pojavila kot logično koherentna, konsistentna fizikalna teorija. Boltzmann je podal statistično razlago drugega zakona termodinamike. Veliko je naredil za razvoj in popularizacijo Maxwellove teorije elektromagnetnega polja. Borec po naravi je Boltzmann strastno zagovarjal potrebo po molekularni interpretaciji toplotnih pojavov in nosil glavno breme boja proti znanstvenikom, ki so zanikali obstoj molekul.

Enačba (4.5.3) vključuje razmerje univerzalne plinske konstante R na Avogadrovo konstanto n A . To razmerje je enako za vse snovi. Imenuje se Boltzmannova konstanta v čast L. Boltzmanna, enega od utemeljiteljev molekularne kinetične teorije.

Boltzmannova konstanta je:

Enačba (4.5.3), ki upošteva Boltzmannovo konstanto, se zapiše takole:

Fizikalni pomen Boltzmannove konstante

V zgodovini je bila temperatura najprej uvedena kot termodinamična količina in uveljavljena je bila njena merska enota - stopinje (glej § 3.2). Po ugotovitvi povezave med temperaturo in povprečno kinetično energijo molekul je postalo očitno, da lahko temperaturo definiramo kot povprečno kinetično energijo molekul in jo izrazimo v joulih ali ergih, tj. namesto v količini T vnesite vrednost T* tako da

Tako definirana temperatura je povezana s temperaturo, izraženo v stopinjah, kot sledi:

Zato lahko Boltzmanovo konstanto obravnavamo kot količino, ki povezuje temperaturo, izraženo v energijskih enotah, s temperaturo, izraženo v stopinjah.

Odvisnost tlaka plina od koncentracije njegovih molekul in temperature

Ob izražanju E iz razmerja (4.5.5) in ga zamenjamo v formulo (4.4.10), dobimo izraz, ki prikazuje odvisnost tlaka plina od koncentracije molekul in temperature:

Iz formule (4.5.6) sledi, da je pri enakih tlakih in temperaturah koncentracija molekul v vseh plinih enaka.

To implicira Avogadrov zakon: enake količine plinov pri enakih temperaturah in tlakih vsebujejo enako število molekul.

Povprečna kinetična energija translacijskega gibanja molekul je premosorazmerna z absolutno temperaturo. Faktor sorazmernosti- Boltzmannova konstantak = 10 -23 J/K - treba zapomniti.

§ 4.6. Maxwellova porazdelitev

V velikem številu primerov samo poznavanje povprečnih vrednosti fizikalnih količin ni dovolj. Na primer, poznavanje povprečne višine ljudi nam ne omogoča načrtovanja proizvodnje oblačil v različnih velikostih. Vedeti morate približno število ljudi, katerih višina je v določenem intervalu. Prav tako je pomembno poznati število molekul, katerih hitrosti se razlikujejo od povprečne vrednosti. Maxwell je bil prvi, ki je odkril, kako je mogoče te številke določiti.

Verjetnost naključnega dogodka

V §4.1 smo že omenili, da je J. Maxwell za opis obnašanja velike zbirke molekul uvedel koncept verjetnosti.

Kot je bilo že večkrat poudarjeno, je načeloma nemogoče slediti spremembi hitrosti (ali gibalne količine) ene molekule v velikem časovnem intervalu. Prav tako je nemogoče natančno določiti hitrosti vseh plinskih molekul v določenem času. Iz makroskopskih pogojev, v katerih se plin nahaja (določen volumen in temperatura), ne sledijo nujno določene vrednosti molekulskih hitrosti. Hitrost molekule lahko obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki lahko v danih makroskopskih pogojih zavzame različne vrednosti, tako kot pri metanju kocke lahko dobite poljubno število točk od 1 do 6 (število strani kocke je šest). Nemogoče je predvideti število točk, ki se bodo pojavile pri metanju kocke. Vendar pa je verjetnost, da se vrže na primer pet točk, mogoče določiti.

Kakšna je verjetnost, da se zgodi naključni dogodek? Naj bo proizvedeno zelo veliko število n testi (n - število vrženih kock). Hkrati pa v n" primerih je bil izid testov ugoden (tj. padec petice). Potem je verjetnost danega dogodka enaka razmerju med številom primerov z ugodnim izidom in skupnim številom poskusov, pod pogojem, da je to število tako veliko, kot želimo:

Za simetrično kocko je verjetnost poljubnega izbranega števila točk od 1 do 6 .

Vidimo, da se v ozadju številnih naključnih dogodkov razkrije določen kvantitativni vzorec, pojavi se število. Ta številka - verjetnost - vam omogoča izračun povprečij. Torej, če vržete 300 kock, bo povprečno število petic, kot izhaja iz formule (4.6.1), enako: 300 = 50, pri čemer je popolnoma vseeno, ali isto kocko vržete 300-krat ali 300-krat. enake kocke hkrati.

Nobenega dvoma ni, da je obnašanje molekul plina v posodi veliko bolj kompleksno od gibanja vržene kocke. Toda tudi tu lahko upamo na odkritje določenih kvantitativnih vzorcev, ki omogočajo izračun statističnih povprečij, če le problem zastavimo na enak način kot v teoriji iger in ne kot v klasični mehaniki. Treba je opustiti nerešljiv problem določanja točne vrednosti hitrosti molekule v danem trenutku in poskusiti najti verjetnost, da ima hitrost določeno vrednost.