Prikaži omejitev. Neskončna limita funkcije v neskončnosti

Spletni kalkulator omejitev na spletnem mestu za študente in šolarje, da v celoti utrdijo gradivo, ki so ga obravnavali, in urijo svoje praktične spretnosti. Kako uporabljati spletni kalkulator omejitev na našem viru? To je mogoče storiti zelo enostavno, le vnesti morate izvirno funkcijo v razpoložljivo polje, izbrati zahtevano mejno vrednost za spremenljivko v izbirniku in klikniti na gumb "Rešitev". Če morate na neki točki izračunati mejno vrednost, potem morate vnesti vrednost te točke - številčno ali simbolično. Spletni kalkulator omejitev vam bo pomagal najti na določeni točki mejo v intervalu definicije funkcije, vrednost meje in to vrednost, kjer vrednost preučevane funkcije hiti, ko njen argument hiti na dano točka, je rešitev limite. Na podlagi spletnega kalkulatorja omejitev na našem spletnem mestu lahko rečemo naslednje - na internetu je ogromno analogov, lahko najdete vredne, le trdo jih morate iskati. Toda tukaj se boste soočili z dejstvom, da se eno spletno mesto razlikuje od drugega. Mnogi od njih sploh ne ponujajo spletnega kalkulatorja limitov, za razliko od nas. Če v katerem koli znanem iskalniku, naj bo to Yandex ali Google, iščete spletna mesta z izrazom »Spletni kalkulator omejitev«, se bo spletno mesto pojavilo na vrhu rezultatov iskanja. To pomeni, da nam ti iskalniki zaupajo, na našem spletnem mestu pa je le kakovostna vsebina, kar je najpomembneje, uporabna za študente šol in univerz! Nadaljujmo pogovor o mejnih kalkulatorjih in na splošno o teoriji prehoda na mejo. Zelo pogosto je v definiciji limita funkcije oblikovan koncept sosesk. Pri tem limite funkcij, kot tudi rešitev teh limit, preučujemo le v točkah, ki so omejitvene za področje definicije funkcij, ob zavedanju, da so v vsaki okolici take točke točke iz področja definicije funkcij to funkcijo. To nam omogoča, da govorimo o težnji funkcije spremenljivke k dani točki. Če na neki točki v domeni definicije funkcije obstaja limita in spletni limitni kalkulator izdela podrobno limitno rešitev funkcije na tej točki, potem se izkaže, da je funkcija na tej točki zvezna. Naj naš spletni kalkulator limita z rešitvijo da kakšen pozitiven rezultat, mi pa ga bomo preverili na drugih straneh. To lahko dokazuje kakovost našega vira, ki je, kot mnogi že vedo, najboljši in si zasluži največjo pohvalo. Poleg tega je mogoče samostojno preučiti meje spletnega kalkulatorja s podrobno rešitvijo, vendar pod strogim nadzorom strokovnega učitelja. Pogosto to dejanje vodi do pričakovanih rezultatov. Vsi študenti preprosto sanjajo, da bo spletni kalkulator omejitev z rešitvijo podrobno opisal njihov zapleten problem, ki mu ga je zastavil učitelj na začetku semestra. A ni tako preprosto. Najprej morate preučiti teorijo in nato uporabiti brezplačen kalkulator. Tako kot spletni limiti vam bo kalkulator podrobno vnesel potrebne vnose in z rezultatom boste zadovoljni. Toda mejna točka domene definicije morda ne spada prav v to domeno definicije, kar dokazuje podroben izračun mejnega kalkulatorja na spletu. Primer: limit funkcije lahko upoštevamo na koncih odprtega segmenta, na katerem je definirana naša funkcija. V tem primeru same meje segmenta niso vključene v domeno definicije. V tem smislu je sistem sosesk te točke poseben primer takšne baze podmnožic. Spletni kalkulator omejitev s podrobno rešitvijo se izdela v realnem času in nanj se uporabijo formule v dani eksplicitni analitični obliki. Limit funkcije s pomočjo spletnega limitnega kalkulatorja s podrobno rešitvijo je posplošitev koncepta limita zaporedja: sprva je bila limita funkcije v točki razumljena kot limita zaporedja elementov domene funkcije, sestavljene iz slik točk zaporedja elementov domene definicije funkcije, ki konvergira k dani točki (meja, pri kateri se obravnava) ; če taka meja obstaja, se reče, da funkcija konvergira k navedeni vrednosti; če taka meja ne obstaja, se reče, da funkcija divergira. Na splošno je teorija prehoda do meje osnovni koncept vse matematične analize. Vse temelji ravno na prehodih do limitov, torej je podrobna rešitev limitov osnova znanosti matematične analize, spletni limitni kalkulator pa je osnova za usposabljanje študentov. Spletni kalkulator limitov s podrobno rešitvijo na spletni strani je edinstvena storitev za prejem natančnega in takojšnjega odgovora v realnem času. Ni neobičajno ali bolje rečeno zelo pogosto, da imajo študenti takoj na začetku študija matematične analize težave pri reševanju meja. Zagotavljamo vam, da je reševanje limitov s spletnim kalkulatorjem na našem servisu ključ do točnosti in kakovostnega odgovora. Odgovor na natančno rešitev limita s pomočjo kalkulatorja boste prejeli v nekaj sekundah, lahko bi celo rekli. takoj. Če navedete napačne podatke, to je znake, ki jih sistem ne sprejema, nič hudega, storitev vas bo samodejno obvestila o napaki. Popravite predhodno vneseno funkcijo (ali mejno točko) in s spletnim limitnim kalkulatorjem pridobite pravilno podrobno rešitev. Zaupajte nam in nikoli vas ne bomo razočarali. Spletno mesto lahko preprosto uporabite in spletni kalkulator omejitev z rešitvijo bo podrobno opisal dejanja po korakih za izračun težave. Počakati morate le nekaj sekund in prejeli boste želeni odgovor. Za reševanje limitov s spletnim kalkulatorjem s podrobno rešitvijo se uporabljajo vse možne tehnike, še posebej pogosto se uporablja L'Hopitalova metoda, saj je univerzalna in pripelje do odgovora hitreje kot druge metode izračuna limita funkcije. Za izračun vsote številskega zaporedja je pogosto potrebna spletna podrobna rešitev z mejnim kalkulatorjem. Kot veste, morate za iskanje vsote številskega zaporedja le pravilno izraziti delno vsoto tega zaporedja, nato pa je vse preprosto z uporabo našega spletnega mesta brezplačne storitve, saj lahko omejitev izračunate z uporabo našega spletnega kalkulatorja omejitev iz delnega vsota bo končna vsota številskega zaporedja. Podrobna rešitev kalkulatorja limitov na spletu s storitvijo spletnega mesta omogoča učencem vpogled v potek reševanja nalog, zaradi česar je razumevanje teorije limitov enostavno in dostopno skoraj vsem. Ostanite osredotočeni in ne dovolite, da vam napačna dejanja povzročijo težave v obliki slabih ocen. Kot vsaka podrobna rešitev s spletno storitvijo limitnega kalkulatorja bo problem predstavljen v priročni in razumljivi obliki, s podrobno rešitvijo, v skladu z vsemi pravili in predpisi za pridobitev rešitve. Hkrati lahko prihranite čas in denar, saj za to ne zahtevamo čisto nič. Na naši spletni strani je podrobna rešitev spletnih kalkulatorjev limitov na voljo štiriindvajset ur na dan, vedno. Pravzaprav vsi spletni kalkulatorji omejitev z rešitvijo morda ne zagotavljajo podrobnih informacij o napredku rešitve po korakih; tega ne smete pozabiti in vsi bi morali biti pozorni na to. Takoj, ko vas omejitve spletnega kalkulatorja s podrobno rešitvijo pozovejo, da kliknete gumb »Rešitev«, najprej preverite vse. torej preverite vneseno funkcijo, tudi mejno vrednost in šele nato nadaljujte z dejanjem. To vas bo rešilo bolečih izkušenj z neuspešnimi izračuni. In potem bodo meje spletnega kalkulatorja s podrobnim zakonom podale pravilno faktorsko predstavitev dejanja korak za korakom. Če spletni kalkulator omejitev nenadoma ne ponudi podrobne rešitve, je za to lahko več razlogov. Najprej preverite zapisani funkcijski izraz. Vsebovati mora spremenljivko "x", sicer bo sistem celotno funkcijo obravnaval kot konstanto. Nato preverite mejno vrednost, če ste določili dano točkovno ali simbolično vrednost. Prav tako naj vsebuje le latinske črke - to je pomembno! Nato lahko znova poskusite najti podrobno rešitev za omejitve na spletu v naši odlični storitvi in uporabite rezultat. Takoj, ko pravijo, da so meje rešitve na spletu zelo težke - ne verjemite, in kar je najpomembneje, ne paničite, vse se reši v okviru tečaja usposabljanja. Priporočamo, da brez panike naši storitvi posvetite le nekaj minut in preverite podano vajo. Če kljub temu omejitev spletne rešitve ni mogoče podrobno rešiti, potem ste naredili tipkarsko napako, saj sicer spletno mesto skoraj vsako težavo reši brez večjih težav. Vendar vam ni treba misliti, da lahko takoj dosežete želeni rezultat brez težav in brez vlaganja truda. V vsakem primeru morate preučevanju gradiva posvetiti dovolj časa. Vsak limitni kalkulator je mogoče na spletu prikazati z rešitvijo v fazi konstruiranja izpostavljene rešitve in predpostaviti nasprotno. Vendar ni pomembno, kako to izraziti, saj nas skrbi sam proces znanstvenega pristopa. Posledično bomo pokazali, kako mejni kalkulator s spletno rešitvijo podrobno temelji na temeljnem vidiku matematike kot znanosti. Označite pet osnovnih načel in začnite z nadaljnjimi dejanji. Vprašali vas bomo, ali je na spletu na voljo rešitev kalkulator limitov s podrobno rešitvijo za vsakogar, in odgovorili boste - da, je! Morda v tem smislu ni posebne osredotočenosti na rezultate, vendar ima spletna meja nekoliko drugačen pomen, kot se morda zdi na prvi pogled pri študiju discipline. Z uravnoteženim pristopom, s pravilnim razmerjem moči, si lahko v najkrajšem možnem času sami podrobno prikažete spletni limit! V resnici se bo zgodilo, da bo spletni kalkulator limitov s podrobno rešitvijo začel hitro sorazmerno predstavljati vse korake postopnega izračuna.

Aplikacija

Omejitve na spletu na strani za študente in šolarje za popolno utrjevanje obravnavane snovi. Kako najti omejitev na spletu z uporabo našega vira? To je zelo enostavno narediti, le pravilno morate napisati izvirno funkcijo s spremenljivko x, izbrati želeno neskončnost iz izbirnika in klikniti gumb "Reši". V primeru, ko je treba mejo funkcije izračunati na neki točki x, morate navesti številsko vrednost te točke. Odgovor na rešitev limita boste prejeli v nekaj sekundah, z drugimi besedami - takoj. Če pa navedete napačne podatke, vas bo storitev samodejno obvestila o napaki. Popravite predhodno vneseno funkcijo in pridobite pravilno rešitev do limita. Za reševanje limitov se uporabljajo vse možne tehnike, še posebej pogosto se uporablja L'Hopitalova metoda, saj je univerzalna in pripelje do odgovora hitreje kot druge metode izračuna limita funkcije. Zanimivo je pogledati primere, v katerih je modul prisoten. Mimogrede, v skladu s pravili našega vira je modul označen s klasično navpično črto v matematiki "|" ali Abs(f(x)) iz latinskega absoluta. Pogosto je za izračun vsote številskega zaporedja potrebno reševanje meje. Kot vsi vedo, morate samo pravilno izraziti delno vsoto preučevanega zaporedja in potem je vse veliko preprostejše, zahvaljujoč naši brezplačni spletni storitvi, saj je izračun meje delne vsote končna vsota številskega zaporedja. Na splošno je teorija prehoda do meje osnovni koncept vse matematične analize. Vse temelji ravno na prehodih do limitov, torej je reševanje limitov osnova znanosti matematične analize. Pri integraciji se uporablja tudi limitni prehod, ko je integral po teoriji predstavljen kot vsota neomejenega števila površin. Kjer obstaja neomejeno število nečesa, to je težnja števila objektov v neskončnost, vedno pride v veljavo teorija mejnih prehodov, ki je v svoji splošno sprejeti obliki rešitev za vsakomur znane meje. Spletno reševanje limitov na spletnem mestu je edinstvena storitev za prejemanje natančnega in takojšnjega odgovora v realnem času. Meja funkcije (mejna vrednost funkcije) na dani točki, mejna točka za domeno definicije funkcije, je vrednost, h kateri teži vrednost zadevne funkcije, ko njen argument teži k dani točka. Ni neobičajno in rekli bi celo zelo pogosto, da imajo študenti pri študiju matematične analize vprašanje reševanja limitov na spletu. Ko se sprašujete o spletnem reševanju limita s podrobno rešitvijo le v posebnih primerih, postane jasno, da se zapletenemu problemu ne morete spopasti brez uporabe kalkulatorja limitov. Reševanje limitov z našo storitvijo je zagotovilo za natančnost in enostavnost funkcije je posplošitev koncepta limite zaporedja: sprva je bila limita funkcije v točki razumljena kot limita zaporedja. elementi domene vrednosti funkcije, sestavljene iz slik točk zaporedja elementov domene definicije funkcije, ki konvergira na dano točko (meja, na kateri se upošteva); če taka meja obstaja, se reče, da funkcija konvergira k navedeni vrednosti; če taka meja ne obstaja, se reče, da funkcija divergira. Reševanje limitov na spletu postane enostaven odgovor za uporabnike, če vedo, kako rešiti limite na spletu s pomočjo spletnega mesta. Ostanimo zbrani in ne pustimo, da nam napake povzročajo težave v obliki nezadostnih ocen. Kot vsaka rešitev limitov na spletu bo tudi vaš problem predstavljen v priročni in razumljivi obliki, s podrobno rešitvijo, v skladu z vsemi pravili in predpisi za pridobitev rešitve. Najpogosteje je definicija meje funkcije oblikovana v jeziku sosesk. Pri tem so limite funkcije obravnavane samo v točkah, ki so mejne za področje definicije funkcije, kar pomeni, da so v vsaki okolici dane točke točke iz področja definicije prav te funkcije. To nam omogoča, da govorimo o težnji argumenta funkcije k dani točki. Vendar ni nujno, da mejna točka definicijskega področja pripada samemu definicijskemu področju in to dokažemo z reševanjem limite: na primer, lahko upoštevamo limit funkcije na koncih odprtega intervala, na katerem funkcija je definirana. V tem primeru same meje intervala niso vključene v definicijsko domeno. V tem smislu je sistem preluknjanih sosesk dane točke poseben primer takšne baze množic. Reševanje limitov na spletu s podrobno rešitvijo poteka v realnem času in z uporabo formul v izrecno določeni obliki lahko prihranite čas, predvsem pa denar, saj za to ne zahtevamo nadomestila. Če na neki točki v domeni definicije funkcije obstaja meja in je rešitev te meje enaka vrednosti funkcije na tej točki, potem se izkaže, da je funkcija na takšni točki zvezna. Na naši spletni strani je rešitev za limite na voljo štiriindvajset ur na dan, vsak dan in vsako minuto. Uporaba limitnega kalkulatorja je zelo pomembna in glavna stvar je, da ga uporabite vsakič, ko morate preizkusiti svoje znanje. Študenti imajo očitno koristi od vse te funkcionalnosti. Izračun meje z uporabo in samo teorijo ne bo vedno tako preprost, kot pravijo izkušeni študenti matematičnih oddelkov univerz v državi. Dejstvo ostane dejstvo, če obstaja cilj. Običajno najdena rešitev za meje ni uporabna lokalno za formulacijo problema. Študent se bo razveselil takoj, ko bo na internetu odkril limitni kalkulator, ki je prosto dostopen, pa ne samo zase, ampak za vse. Namen je treba razumeti kot matematiko v njenem splošnem razumevanju. Če na internetu vprašate, kako natančno najti omejitev na spletu, potem množica spletnih mest, ki se pojavijo kot rezultat zahteve, ne bo pomagala tako, kot bomo. Razlika med strankama se pomnoži z enakovrednostjo incidenta. Izvirno legitimno mejo funkcije je treba določiti s formulacijo samega matematičnega problema. Hamilton je imel prav, vendar je vredno razmisliti o izjavah njegovih sodobnikov. Računanje limitov na spletu nikakor ni tako težka naloga, kot se morda komu zdi na prvi pogled... Da ne razbijemo resnice neomajnih teorij. Če se vrnemo na začetno situacijo, je treba limit izračunati hitro, učinkovito in v lično oblikovani obliki. Bi bilo mogoče drugače? Ta pristop je očiten in upravičen. Limit kalkulator je bil ustvarjen za povečanje znanja, izboljšanje kakovosti pisanja domačih nalog in dvig splošnega razpoloženja med dijaki, zato jim bo prav prišel. Samo razmišljati morate čim hitreje in um bo zmagal. Eksplicitno govoriti o omejitvah pogojev spletne interpolacije je za profesionalce v svoji obrti zelo prefinjena dejavnost. Predvidimo razmerje sistema nenačrtovanih razlik na točkah v prostoru. In spet je problem zmanjšan na negotovost, ki temelji na dejstvu, da limit funkcije obstaja v neskončnosti in v določeni okolici lokalne točke na dani osi x po afini transformaciji začetnega izraza. Lažje bo analizirati vzpon točk na ravnini in na vrhu prostora. V splošnem se ne govori o izpeljavi matematične formule, tako v resnici kot v teoriji, tako da se spletni kalkulator omejitev uporablja za predvideni namen v tem smislu. Brez definiranja meje na spletu težko izvajam nadaljnje izračune na področju preučevanja krivočrtnega prostora. Ne bi bilo nič lažje v smislu iskanja pravega pravilnega odgovora. Ali ni mogoče izračunati meje, če je določena točka v prostoru vnaprej negotova? Zavrnimo obstoj odgovorov izven področja študija. O reševanju limitov lahko razpravljamo z vidika matematične analize kot o začetku preučevanja zaporedja točk na osi. Samo dejstvo izračuna je lahko neprimerno. Števila je mogoče predstaviti kot neskončno zaporedje in jih identificiramo z začetnim zapisom, potem ko v spletu natančno rešimo limit v skladu s teorijo. Upravičeno v korist najboljše vrednosti. Rezultat omejitve funkcije, kot očitna napaka v nepravilno formuliranem problemu, lahko izkrivlja predstavo o resničnem mehanskem procesu nestabilnega sistema. Sposobnost izražanja pomena neposredno v območje gledanja. Če spletno omejitev povežete s podobnim zapisom enostranske mejne vrednosti, se je bolje izogniti njenemu eksplicitnemu izražanju z uporabo redukcijskih formul. Poleg začetka proporcionalne izvedbe naloge. Polinom bomo razširili potem, ko bomo lahko izračunali enostransko mejo in jo zapisali v neskončnost. Enostavne misli vodijo do resničnega rezultata matematične analize. Enostavna rešitev limitov se pogosto zmanjša na različno stopnjo enakosti izvedenih nasprotujočih si matematičnih ilustracij. Vrstice in Fibonaccijeva števila so dešifrirali limitni kalkulator na spletu, glede na to lahko naročite neomejen izračun in morda se bo kompleksnost umaknila v ozadje. V teku je proces razgrnitve grafa na ravnini v rezini tridimenzionalnega prostora. To je vzbujalo potrebo po različnih pogledih na zapleten matematični problem. Vendar pa rezultat ne bo dolgo prišel. Vendar pa tekoči proces uresničevanja naraščajočega izdelka izkrivlja prostor črt in zapisuje mejo na spletu, da se seznanite s formulacijo problema. Naravnost procesa kopičenja problemov določa potrebo po poznavanju vseh področij matematičnih disciplin. Odličen mejni kalkulator bo postal nepogrešljivo orodje v rokah izkušenih študentov in cenili bodo vse njegove prednosti pred analogi digitalnega napredka. V šolah se spletne omejitve iz neznanega razloga imenujejo drugače kot v inštitutih. Vrednost funkcije se bo povečala, ko se spremeni argument. L'Hopital je tudi rekel, da je iskanje meje funkcije le polovica bitke; problem morate pripeljati do logičnega zaključka in predstaviti odgovor v razširjeni obliki. Resničnost je primerna prisotnosti dejstev v zadevi. Spletna meja je povezana z zgodovinsko pomembnimi vidiki matematičnih disciplin in predstavlja osnovo za študij teorije števil. Kodiranje strani v matematičnih formulah je na voljo v jeziku odjemalca v brskalniku. Kako izračunati mejo s sprejemljivo zakonsko metodo, ne da bi prisilili funkcijo, da se spremeni v smeri osi x. Na splošno realnost prostora ni odvisna le od konveksnosti funkcije ali njene konkavnosti. Odstranite vse neznanke iz problema in rešitev omejitev bo povzročila najmanjšo porabo vaših razpoložljivih matematičnih virov. Rešitev navedenega problema bo stoodstotno popravila funkcionalnost. Nastalo matematično pričakovanje bo podrobno razkrilo mejo na spletu glede odstopanja od najmanjšega pomembnega posebnega razmerja. Minili so trije dnevi, ko je bila sprejeta matematična odločitev v korist znanosti. To je res koristna dejavnost. Brez razloga bo odsotnost spletne omejitve pomenila razhajanje v splošnem pristopu k reševanju situacijskih težav. V prihodnosti bo povpraševanje po boljšem imenu za enostransko mejo z negotovostjo 0/0. Vir je lahko ne samo lep in dober, ampak tudi koristen, ko zna izračunati mejo namesto vas. Veliki znanstvenik je kot študent raziskoval funkcije za pisanje znanstvenega prispevka. Minilo je deset let. Pred različnimi niansami je vredno nedvoumno komentirati matematično pričakovanje v prid dejstvu, da si limit funkcije sposoja divergenco principalov. Na naročeno testno delo so se odzvali. V matematiki ima izjemen položaj pri poučevanju, nenavadno, preučevanje spletnih omejitev z medsebojno izključujočimi odnosi tretjih oseb. Kot se zgodi v običajnih primerih. Ničesar vam ni treba reproducirati. Po analizi pristopov študentov do matematičnih teorij bomo reševanje limitov temeljito prepustili zadnji fazi. To je pomen naslednjega, preučite besedilo. Refrakcija enolično določa matematični izraz kot bistvo prejete informacije. spletna meja je bistvo določanja pravega položaja matematičnega sistema relativnosti večsmernih vektorjev. V tem smislu želim izraziti svoje mnenje. Kot v prejšnji nalogi. Izrazita spletna omejitev razširja svoj vpliv v podrobnosti na matematični pogled na zaporedno študijo programske analize na študijskem področju. V kontekstu teorije je matematika nekaj višjega od same znanosti. Zvestoba se izkazuje z dejanji. Še vedno je nemogoče namerno prekiniti verigo zaporednih števil, ki se začnejo premikati navzgor, če je meja napačno izračunana. Dvostranska površina je izražena v naravni obliki v polni velikosti. Sposobnost raziskovanja matematične analize omejuje mejo funkcije na zaporedje funkcionalnih nizov kot epsilon soseščino na dani točki. V nasprotju s teorijo funkcij napake v izračunih niso izključene, vendar to določa situacija. Spletni problem delitve z mejo lahko zapišemo s spremenljivo divergenčno funkcijo za hitri produkt nelinearnega sistema v tridimenzionalnem prostoru. Banalni primer je osnova delovanja. Za analizo tega primera vam ni treba biti študent. Skupnost trenutkov tekočega izračuna, sprva rešitev meja, je določena kot delovanje celotnega integralnega sistema napredovanja vzdolž ordinatne osi na več vrednostih števil. Za osnovno vrednost vzamemo najmanjšo možno matematično vrednost. Sklep je očiten. Razdalja med ravninami bo pomagala razširiti teorijo spletnih meja, saj uporaba metode divergentnega izračuna subpolarnega vidika pomembnosti nima inherentnega pomena. Odlična izbira, če se kalkulator omejitev nahaja na strežniku, ga je mogoče vzeti takšnega, kot je, ne da bi pri tem izkrivljali pomen spremembe površine na območjih, sicer se bo problem linearnosti povečal. Popolna matematična analiza je razkrila nestabilnost sistema skupaj z njegovim opisom v območju najmanjše soseske točke. Kot vsako mejo funkcije vzdolž osi presečišča ordinat in abscis je mogoče številčne vrednosti objektov zapreti v neko minimalno sosesko glede na porazdelitev funkcionalnosti raziskovalnega procesa. Zapišimo nalogo po točkah. Obstaja delitev na stopnje pisanja. Akademske trditve, da je izračunavanje meje res težko ali pa sploh ne enostavno, so podprte z analizo matematičnih pogledov vseh dodiplomskih in podiplomskih študentov brez izjeme. Morebitni vmesni rezultati ne bodo dolgo čakali. Zgornja meja je podrobno preučena na spletu pri absolutnem minimumu sistemske razlike objektov, prek katere je linearnost matematičnega prostora popačena. Študenti ne uporabljajo večjega segmentiranja območja za izračun večkratnega nesoglasja po snemanju spletnega mejnega kalkulatorja za odštevanja. Po začetku bomo učencem prepovedali ponavljanje nalog za študij prostorskega okolja pri matematiki. Ker smo mejo funkcije že našli, zgradimo graf njene študije na ravnini. Označimo ordinatne osi s posebno barvo in pokažimo smer črt. Obstaja stabilnost. Med pisanjem odgovora je dolgo prisotna negotovost. Izračunajte mejo funkcije v točki preprosto z analizo razlike med mejami v neskončnosti pod začetnimi pogoji. Ta metoda ni znana vsem uporabnikom. Potrebujemo matematično analizo. Reševanje meja kopiči izkušnje v glavah generacij za mnoga prihodnja leta. Nemogoče je, da ne bi zapletli postopka. Za njen zaključek so zaslužni dijaki vseh generacij. Vse našteto se lahko začne spreminjati v odsotnosti pritrdilnega argumenta za položaj funkcij okoli določene točke, ki zaostaja za mejnimi kalkulatorji v smislu razlike v računski moči. Oglejmo si funkcijo, da dobimo končni odgovor. Sklep ni očiten. Po izključitvi implicitnih funkcij iz skupnega števila po transformaciji matematičnih izrazov ostaja zadnji korak, da pravilno in z visoko natančnostjo poiščete meje na spletu. Sprejemljivost izdane odločbe je predmet preverjanja. Postopek se nadaljuje. Z lociranjem zaporedja ločeno od funkcij in z uporabo svojih ogromnih izkušenj morajo matematiki izračunati mejo, da upravičijo pravilno smer raziskave. Takšen rezultat ne potrebuje teoretične okrepitve. Spremenite delež števil znotraj določene okolice neničelne točke na osi x v smeri spletnega mejnega kalkulatorja spremenljivega prostorskega kota naklona pod pisno nalogo pri matematiki. Povežimo dve področji v prostoru. Nesoglasje med reševalci o tem, kako limita funkcije pridobi lastnosti enostranskih vrednosti v prostoru, ne more ostati neopaženo pri poostrenih nadzorovanih predstavah študentov. Smer v matematični spletni meji je zavzela eno najmanj spornih stališč glede negotovosti v izračunih prav teh mej. Spletni mejni kalkulator za višino enakokrakih trikotnikov in kock s stranico treh polmerov kroga bo študentu pomagal pri učenju na pamet na zgodnji stopnji naravoslovja. Prepustimo študentovi vesti, da rešijo meje pri študiju delujočega matematičnega oslabljenega sistema s strani raziskovalne ravnine. Študentov pogled na teorijo števil je dvoumen. Vsak ima svoje mnenje. Prava usmeritev študija matematike bo pomagala izračunati mejo v pravem pomenu besede, kot je to na univerzah v naprednih državah. Kotangens se v matematiki izračuna kot mejni kalkulator in je razmerje dveh drugih osnovnih trigonometričnih funkcij, in sicer kosinusa in sinusa argumenta. To je rešitev za razpolovitev segmentov. Drugačen pristop verjetno ne bo rešil situacije v korist preteklega trenutka. Lahko se dolgo pogovarjamo o tem, kako je zelo težko in neuporabno brez razumevanja podrobno reševati spletno mejo, vendar ta pristop teži k povečanju notranje discipline študentov na bolje.

rešitev omejitve spletne funkcije. Poiščite mejno vrednost funkcije ali funkcijskega zaporedja v točki, izračunajte končni vrednost funkcije v neskončnosti. določanje konvergence številskih nizov in še veliko več je mogoče narediti zahvaljujoč naši spletni storitvi -. Omogočamo vam hitro in natančno iskanje omejitev funkcij na spletu. Sami vnesete spremenljivko funkcije in mejo, h kateri stremi, naš servis pa za vas opravi vse izračune ter poda natančen in enostaven odgovor. In za iskanje meje na spletu vnesete lahko tako numerične serije kot analitične funkcije, ki vsebujejo konstante v literalnem izrazu. V tem primeru bo najdena meja funkcije vsebovala te konstante kot stalne argumente v izrazu. Naša storitev rešuje vse zapletene težave iskanja omejitve na spletu, je dovolj, da navedete funkcijo in točko, na kateri je treba izračunati mejna vrednost funkcije. Računanje spletne omejitve, lahko uporabite različne metode in pravila za njihovo reševanje, medtem ko dobljeni rezultat preverjate z reševanje omejitev na spletu na spletnem mestu www.site, kar bo pripeljalo do uspešnega zaključka naloge - izognili se boste lastnim napakam in pisarskim napakam. Lahko pa nam popolnoma zaupate in uporabite naš rezultat pri svojem delu, ne da bi porabili dodaten trud in čas za samostojno izračunavanje limita funkcije. Omogočamo vnos mejnih vrednosti, kot je neskončnost. Vnesti je treba skupnega člana številskega zaporedja in www.site bo izračunal vrednost omejitev na spletu do plus ali minus neskončnosti.

Eden od osnovnih konceptov matematične analize je omejitev delovanja in omejitev zaporedja v točki in v neskončnosti je pomembno, da znamo pravilno rešiti omejitve. Z našo storitvijo to ne bo težko. Sprejema se odločitev omejitve na spletu v nekaj sekundah je odgovor točen in popoln. Študij matematične analize se začne z prehod na mejo, omejitve se uporabljajo na skoraj vseh področjih višje matematike, zato je koristno imeti pri roki strežnik za spletne rešitve omejitev, ki je spletno mesto.

Teorija limitov je ena od vej matematične analize. Vprašanje reševanja limitov je precej obsežno, saj obstaja na desetine metod za reševanje limitov različnih vrst. Obstaja na desetine odtenkov in trikov, ki vam omogočajo, da rešite to ali ono mejo. Kljub temu bomo še vedno poskušali razumeti glavne vrste omejitev, ki se najpogosteje srečujejo v praksi.

Začnimo s samim konceptom meje. A najprej kratko zgodovinsko ozadje. V 19. stoletju je živel Francoz Augustin Louis Cauchy, ki je dal stroge definicije številnim pojmom matan in postavil njegove temelje. Povedati je treba, da je bil, je in bo ta spoštovani matematik v nočnih morah vseh študentov fizikalnih in matematičnih oddelkov, saj je dokazal ogromno izrekov matematične analize in en izrek je smrtonosnejši od drugega. V zvezi s tem še ne bomo upoštevali določitev Cauchyjeve meje, vendar poskusimo narediti dve stvari:

1. Razumeti, kaj je meja.
2. Naučite se reševati glavne vrste limitov.

Opravičujem se za nekatera neznanstvena pojasnila, pomembno je, da je snov razumljiva tudi čajniku, kar je pravzaprav cilj projekta.

Kakšna je torej meja?

In samo primer, zakaj čokati babici ...

Vsak limit je sestavljen iz treh delov:

1) Znana ikona meje.
2) Vnosi pod ikono omejitve, v tem primeru . Vnos se glasi "X teži k ena." Najpogosteje - točno, čeprav namesto "X" v praksi obstajajo druge spremenljivke. V praktičnih nalogah je mesto enega lahko absolutno poljubno število, pa tudi neskončnost ().
3) Funkcije pod znakom meje, v tem primeru .

Sam posnetek se glasi takole: "meja funkcije, ko x teži k enoti."

Poglejmo naslednje pomembno vprašanje - kaj pomeni izraz "x"? si prizadeva enemu"? In kaj sploh pomeni "prizadevati"?
Koncept meje je tako rekoč koncept, dinamično. Zgradimo zaporedje: najprej , nato , , …, , ….
To je izraz "x si prizadeva na eno« razumeti takole: »x« dosledno prevzema vrednosti ki se enotnosti približujejo neskončno blizu in praktično sovpadajo z njo.

Kako rešiti zgornji primer? Na podlagi zgoraj navedenega morate eno samo zamenjati v funkciji pod mejnim znakom:

Torej, prvo pravilo: Ko je podana kakršna koli omejitev, najprej preprosto poskušamo številko vstaviti v funkcijo.

Upoštevali smo najenostavnejšo mejo, a te se pojavljajo tudi v praksi in to ne tako redko!

Primer z neskončnostjo:

Ugotovimo, kaj je to? To je v primeru, ko neomejeno narašča, to je: najprej, nato, nato, nato in tako naprej ad infinitum.

Kaj se v tem trenutku zgodi s funkcijo?
, , , …

Torej: če , potem funkcija teži k minus neskončnosti:

Grobo povedano, po našem prvem pravilu namesto "X" v funkcijo nadomestimo neskončnost in dobimo odgovor.

Še en primer z neskončnostjo:

Spet začnemo povečevati v neskončnost in pogledamo obnašanje funkcije:

Sklep: ko funkcija neomejeno narašča:

In še niz primerov:

Poskusite sami v mislih analizirati naslednje in se spomnite najpreprostejših vrst omejitev:

, , , , , , , , ,
Če ste kje v dvomih, lahko vzamete v roke kalkulator in malo vadite.
V primeru, da poskusite sestaviti zaporedje , , . Če, potem , , .

! Opomba: Strogo gledano je ta pristop k sestavljanju zaporedij več števil napačen, vendar je za razumevanje najpreprostejših primerov povsem primeren.

Bodite pozorni tudi na naslednjo stvar. Tudi če je podana omejitev z veliko številko na vrhu ali celo z milijonom: , potem je vseeno , saj bo prej ali slej "X" začel prevzemati tako velikanske vrednosti, da bo milijon v primerjavi z njimi pravi mikrob.

Kaj si morate zapomniti in razumeti od zgoraj navedenega?

1) Ko je dana kakršna koli omejitev, najprej preprosto poskusimo nadomestiti število v funkcijo.

2) Morate razumeti in takoj rešiti najpreprostejše omejitve, kot je npr , itd.

Poleg tega ima meja zelo dober geometrijski pomen. Za boljše razumevanje teme priporočam, da si preberete učno gradivo Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Po branju tega članka ne boste le končno razumeli, kaj je meja, ampak se boste tudi seznanili z zanimivimi primeri, ko je meja funkcije na splošno ne obstaja!

V praksi je daril žal malo. Zato prehajamo na bolj zapletene omejitve. Mimogrede, na to temo obstaja intenzivni tečaj v pdf obliki, kar je še posebej uporabno, če imate ZELO malo časa za pripravo. Toda materiali spletnega mesta seveda niso nič slabši:

Zdaj bomo obravnavali skupino limitov, ko je , funkcija pa je ulomek, katerega števec in imenovalec vsebujeta polinome

primer:

Izračunajte mejo

Po našem pravilu bomo poskušali v funkcijo nadomestiti neskončnost. Kaj dobimo na vrhu? Neskončnost. In kaj se zgodi spodaj? Tudi neskončnost. Tako imamo tako imenovano negotovost vrste. Lahko bi mislili, da , in odgovor je pripravljen, vendar v splošnem primeru to sploh ni tako, zato je treba uporabiti nekaj tehnik reševanja, ki jih bomo zdaj obravnavali.

Kako rešiti te meje?

Najprej pogledamo števec in poiščemo največjo moč:

Vodilna potencija v števcu je dvojka.

Zdaj pogledamo imenovalec in ga prav tako poiščemo na največjo potenco:

Najvišja stopnja imenovalca je dve.

Nato izberemo največjo potenco števca in imenovalca: v tem primeru sta enaka in enaka dvema.

Torej, metoda rešitve je naslednja: da bi razkrili negotovost, je treba števec in imenovalec deliti z največjo močjo.

Tukaj je odgovor in sploh ne neskončnost.

Kaj je bistveno pomembno pri oblikovanju odločitve?

Najprej navedemo negotovost, če obstaja.

Drugič, priporočljivo je prekiniti rešitev za vmesne razlage. Običajno uporabljam znak, ki nima matematičnega pomena, ampak pomeni, da je rešitev prekinjena za vmesno razlago.

Tretjič, v meji je priporočljivo označiti, kaj gre kam. Ko je delo sestavljeno ročno, je to bolj priročno narediti na ta način:

Za beležke je bolje uporabiti preprost svinčnik.

Seveda vam ni treba storiti nič od tega, a potem bo morda učitelj opozoril na pomanjkljivosti v rešitvi ali začel postavljati dodatna vprašanja o nalogi. Ali ga potrebujete?

Primer 2

Poiščite mejo
Spet v števcu in imenovalcu najdemo v najvišji stopnji:

Najvišja stopnja v števcu: 3
Najvišja stopnja v imenovalcu: 4
Izberite največji vrednost, v tem primeru štiri.
V skladu z našim algoritmom, da razkrijemo negotovost, delimo števec in imenovalec z .
Celotna naloga bi lahko izgledala takole:

Števec in imenovalec delite z

Primer 3

Poiščite mejo
Najvišja stopnja "X" v števcu: 2
Največja stopnja "X" v imenovalcu: 1 (lahko se zapiše kot)
Da bi razkrili negotovost, je treba števec in imenovalec deliti z . Končna rešitev bi lahko izgledala takole:

Števec in imenovalec delite z

Zapis ne pomeni deljenja z ničlo (ne moreš deliti z ničlo), temveč deljenje z neskončno majhnim številom.

Tako bomo z odkrivanjem negotovosti vrst morda lahko končna številka, nič ali neskončnost.

Meje z negotovostjo vrste in način njihovega reševanja

Naslednja skupina limitov je nekoliko podobna pravkar obravnavanim limitom: števec in imenovalec vsebujeta polinome, vendar "x" ne teži več v neskončnost, ampak k končno število.

Primer 4

Reši mejo
Najprej poskusimo zamenjati -1 v ulomek:

V tem primeru dobimo tako imenovano negotovost.

Splošno pravilo: če števec in imenovalec vsebujeta polinome in obstaja negotovost oblike, potem to razkriti morate faktorizirati števec in imenovalec.

Če želite to narediti, morate najpogosteje rešiti kvadratno enačbo in/ali uporabiti skrajšane formule za množenje. Če ste te stvari pozabili, potem obiščite stran Matematične formule in tabele in preberi učno gradivo Vroče formule za šolski tečaj matematike. Mimogrede, najbolje je, da ga natisnete; to je potrebno zelo pogosto, informacije pa se bolje absorbirajo s papirja.

Torej, rešimo našo mejo

Razčlenite števec in imenovalec

Če želite faktorizirati števec, morate rešiti kvadratno enačbo:

Najprej poiščemo diskriminanco:

In kvadratni koren tega: .

Če je diskriminant velik, na primer 361, uporabimo kalkulator, funkcija izvleka kvadratnega korena je na najpreprostejšem kalkulatorju.

! Če korena ne izluščimo v celoti (dobimo ulomek z vejico), je zelo verjetno, da je bila diskriminanta izračunana napačno ali da je prišlo do tipkarske napake v nalogi.

Nato najdemo korenine:

Tako:

Vse. Števec je faktoriziran.

Imenovalec. Imenovalec je že najenostavnejši faktor in ga ni mogoče poenostaviti.

Očitno ga je mogoče skrajšati na:

Sedaj zamenjamo -1 v izraz, ki ostane pod mejnim znakom:

Seveda pri testu, testu ali izpitu rešitev nikoli ni napisana tako podrobno. V končni različici naj bi dizajn izgledal nekako takole:

Razložimo števec na faktorje.

Primer 5

Izračunajte mejo

Najprej "končna" različica rešitve

Razložimo števec in imenovalec.

Števec:
Imenovalec:

,

Kaj je pomembno v tem primeru?
Najprej morate dobro razumeti, kako se razkrije števec, najprej smo iz oklepajev vzeli 2, nato pa uporabili formulo za razliko kvadratov. To je formula, ki jo morate poznati in videti.

Priporočilo: Če je v omejitvi (skoraj katere koli vrste) možno vzeti številko iz oklepaja, potem to vedno storimo.
Poleg tega je priporočljivo, da takšne številke premaknete čez ikono omejitve. Za kaj? Da, samo zato, da ne bodo v napoto. Glavna stvar je, da teh številk ne izgubite pozneje med reševanjem.

Upoštevajte, da sem na zadnji stopnji rešitve vzel dve ikoni meje in nato minus.

! Pomembno
Med rešitvijo se zelo pogosto pojavi fragment tipa. Zmanjšajte ta deležje prepovedano . Najprej morate spremeniti predznak števca ali imenovalca (iz oklepaja vnesite -1).
, se pravi, pojavi se znak minus, ki se upošteva pri izračunu limita in ga sploh ni treba izgubiti.

Na splošno sem opazil, da morate najpogosteje pri iskanju mej te vrste rešiti dve kvadratni enačbi, to pomeni, da tako števec kot imenovalec vsebujeta kvadratne trinome.

Metoda množenja števca in imenovalca s konjugiranim izrazom

Še naprej upoštevamo negotovost obrazca

Naslednja vrsta omejitev je podobna prejšnji vrsti. Edina stvar, poleg polinomov, bomo dodali korenine.

Primer 6

Poiščite mejo

Začnimo se odločati.

Najprej poskušamo 3 nadomestiti v izraz pod mejnim znakom
Še enkrat ponavljam - to je prva stvar, ki jo morate storiti za VSAKI limit. To dejanje se običajno izvaja miselno ali v obliki osnutka.

Pridobljena je negotovost oblike, ki jo je treba odpraviti.

Kot ste verjetno opazili, naš števec vsebuje razliko korenov. In v matematiki je običajno, da se znebite korenin, če je mogoče. Za kaj? In brez njih je življenje lažje.

Tema 4.6. Izračun limitov

Meja funkcije ni odvisna od tega, ali je definirana na mejni točki ali ne. Toda v praksi izračunavanja meja elementarnih funkcij je ta okoliščina zelo pomembna.

1. Če je funkcija elementarna in če mejna vrednost argumenta spada v njeno domeno definicije, potem je izračun limite funkcije reduciran na preprosto zamenjavo mejne vrednosti argumenta, ker limita elementarne funkcije f (x) pri x si prizadevati zaA , ki je vključena v domeno definicije, je enaka delni vrednosti funkcije pri x = A, tj. lim f(x)=f( a) .

2. Če x teži v neskončnost ali se argument nagiba k številu, ki ne spada v domeno definicije funkcije, potem v vsakem takem primeru iskanje limita funkcije zahteva posebno raziskavo.

Spodaj so najpreprostejše omejitve, ki temeljijo na lastnostih omejitev, ki jih je mogoče uporabiti kot formule:

Bolj zapleteni primeri iskanja limita funkcije:

vsak se obravnava posebej.

V tem razdelku so opisani glavni načini za razkritje negotovosti.

1. Primer, ko x si prizadevati zaA funkcija f(x) predstavlja razmerje dveh infinitezimalnih količin

a) Najprej se morate prepričati, da limita funkcije ni mogoče najti z neposredno zamenjavo in z navedeno spremembo argumenta predstavlja razmerje dveh infinitezimalnih količin. Izvedemo transformacije, da zmanjšamo ulomek za faktor, ki se nagiba k 0. V skladu z definicijo meje funkcije se argument x nagiba k njeni mejni vrednosti in nikoli ne sovpada z njo.

Na splošno, če iščemo limit funkcije pri x si prizadevati zaA , potem se morate spomniti, da x ne prevzame vrednosti A, tj. x ni enak a.

b) Uporabljen je Bezoutov izrek. Če iščete mejo ulomka, katerega števec in imenovalec sta polinoma, ki izničita na mejni točki x = A, potem sta po zgornjem izreku oba polinoma deljiva z x- A.

c) Iracionalnost v števcu ali imenovalcu se odpravi z množenjem števca ali imenovalca s konjugatom na iracionalni izraz, nato pa se po poenostavitvi ulomek zmanjša.

d) Uporabljena je 1. izjemna meja (4.1).

e) Uporabljeni so izrek o enakovrednosti neskončno malih in naslednja načela:

2. Primer, ko x si prizadevati zaA funkcija f(x) predstavlja razmerje dveh neskončno velikih količin

a) Deljenje števca in imenovalca ulomka z največjo potenco neznanke.

b) Na splošno lahko uporabite pravilo

3. Primer, ko x si prizadevati zaA funkcija f (x) predstavlja zmnožek neskončno majhne količine in neskončno velike

Ulomek pretvorimo v obliko, katere števec in imenovalec istočasno težita k 0 ali k neskončnosti, tj. primer 3 zmanjša na primer 1 ali primer 2.

4. Primer, ko x si prizadevati zaA funkcija f (x) predstavlja razliko dveh pozitivnih neskončno velikih količin

Ta primer se zmanjša na tip 1 ali 2 na enega od naslednjih načinov:

a) spravljanje ulomkov na skupni imenovalec;

b) pretvorbo funkcije v ulomek;

c) znebiti se iracionalnosti.

5. Primer, ko x si prizadevati zaA funkcija f(x) predstavlja potenco, katere osnova teži k 1 in eksponent k neskončnosti.

Funkcijo transformiramo tako, da uporabimo 2. izjemno mejo (4.2).

Primer. Najti .

Ker x teži k 3, potem se števec ulomka nagiba k številu 3 2 +3 *3+4=22, imenovalec pa h 3+8=11. torej

Primer

Tukaj sta števec in imenovalec ulomka x teži k 2 teži k 0 (negotovost tipa), faktoriziramo števec in imenovalec, dobimo lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Primer

Če pomnožimo števec in imenovalec z izrazom, ki je konjugiran s števcem, imamo

Če odpremo oklepaj v števcu, dobimo

Primer

2. stopnja. Primer. Naj navedemo primer uporabe koncepta limita funkcije v ekonomskih izračunih. Vzemimo običajno finančno transakcijo: posojanje zneska S 0 s pogojem, da po določenem času T znesek bo povrnjen S T. Določimo vrednost r relativna rast formula

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Relativno rast je mogoče izraziti v odstotkih z množenjem dobljene vrednosti r s 100.

Iz formule (1) je enostavno določiti vrednost S T:

S T= S 0 (1 + r)

Pri izračunu dolgoročnih posojil, ki pokrivajo več polnih let, se uporablja obrestna shema. Sestoji iz dejstva, da če za 1. leto znesek S 0 se poveča na (1 + r)-krat, nato drugo leto v (1 + r) krat, ko se vsota poveča S 1 = S 0 (1 + r), to je S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Izkazalo se je podobno S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Iz zgornjih primerov lahko izpeljete splošno formulo za izračun rasti zneska za n leta pri izračunu s shemo obrestnih obresti:

S n= S 0 (1 + r) n.

V finančnih izračunih se uporabljajo sheme, kjer se obresti izračunajo večkrat na leto. V tem primeru je določeno letna stopnja r in število časovnih razmejitev na leto k. Časovne razmejitve se praviloma izvajajo v enakih intervalih, torej v dolžini posameznega intervala Tk je del leta. Nato za obdobje v T leta (tukaj T ni nujno celo število). S T izračunano po formuli

(2)

kje je celi del števila, ki sovpada s samim številom, če je npr. T? celo število.

Naj bo letna stopnja r in se proizvaja nčasovnih razmejitev na leto v rednih intervalih. Nato za leto znesek S 0 se poveča na vrednost, določeno s formulo

(3)

V teoretični analizi in v praksi finančnih dejavnosti se pogosto srečujemo s konceptom "stalno obračunanih obresti". Če želite preiti na stalno obračunane obresti, morate v formulah (2) oziroma (3) neomejeno povečevati številke k in n(torej režirati k in n v neskončnost) in izračunajte, do katere meje bodo težile funkcije S T in S 1. Uporabimo ta postopek za formulo (3):

Upoštevajte, da meja v zavitih oklepajih sovpada z drugo izjemno mejo. Iz tega sledi, da na letni stopnji r z nenehno natečenimi obrestmi znesek S 0 v 1 letu se poveča na vrednost S 1 *, ki se določi iz formule

S 1 * = S 0 e r (4)

Naj zdaj vsota S 0 je na voljo kot posojilo z obračunanimi obrestmi n enkrat letno v rednih intervalih. Označimo r e letna stopnja, po kateri se konec leta znesek S 0 se poveča na vrednost S 1 * iz formule (4). V tem primeru bomo to rekli r e- To letna obrestna mera n enkrat letno v višini letnih obresti r z neprekinjenim obračunavanjem. Iz formule (3) dobimo

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Izenačenje desnih strani zadnje formule in formule (4) ob predpostavki slednje T= 1, lahko izpeljemo razmerja med količinama r in r e:

Te formule se pogosto uporabljajo v finančnih izračunih.