Ostrograd Hamiltonov princip - kinematični triki. Hamilton-Ostrogradskyjev variacijski princip v konfiguracijskih in faznih prostorih

Hamilton Hound Pasma ima drugo ime - "Hamilton Stevare". Izvedeno v 19. stoletju. na Švedskem Earl Hamilton, ustanovitelj Švedske kinološke zveze, kot rezultat križanja angleškega lisičarja in nemškega hrta. Hamilton's HoundHound se nanaša na

Upoštevajo ga, zato je to načelo ena ključnih določb sodobne fizike. Enačbe gibanja, dobljene z njegovo pomočjo, se imenujejo Euler-Lagrangeove enačbe.

Prvo formulacijo principa je podal P. Maupertuis leta in takoj izpostavil njegovo univerzalno naravo ter menil, da je uporaben v optiki in mehaniki. Iz tega principa je izpeljal zakone odboja in loma svetlobe.

Zgodba

Maupertuis je prišel do tega načela iz občutka, da popolnost vesolja zahteva določeno ekonomičnost narave in je v nasprotju s kakršno koli nekoristno porabo energije. Naravno gibanje mora biti takšno, da je določena količina minimalna. Vse, kar je moral storiti, je bilo najti to vrednost, kar je nadaljeval. Bila je zmnožek trajanja (časa) gibanja znotraj sistema z dvakratno vrednostjo, ki jo zdaj imenujemo kinetična energija sistema.

Euler (in "Réflexions sur quelques loix générales de la nature", 1748) sprejme načelo najmanjše količine dejanja in dejanje imenuje "napor". Njegov izraz v statiki ustreza temu, kar bi zdaj imenovali potencialna energija, tako da je njegova izjava o najmanjšem delovanju v statiki enakovredna pogoju minimalne potencialne energije za ravnovesno konfiguracijo.

V klasični mehaniki

Načelo najmanjšega delovanja služi kot temeljna in standardna osnova Lagrangeovih in Hamiltonovih formulacij mehanike.

Najprej si poglejmo konstrukcijo takole: Lagrangeva mehanika. Na primeru fizikalnega sistema z eno prostostno stopnjo se spomnimo, da je dejanje funkcional glede na (posplošene) koordinate (v primeru ene prostostne stopnje - ena koordinata), torej se izraža z tako, da je vsaka možna različica funkcije povezana z določenim številom - dejanjem (v tem smislu lahko rečemo, da je dejanje kot funkcional pravilo, ki kateri koli dani funkciji omogoča, da izračuna popolnoma specifično število - imenovano tudi dejanje). Akcija izgleda takole:

kjer je lagrangian sistema, odvisen od posplošene koordinate, njegovega prvega odvoda glede na čas in tudi, po možnosti, eksplicitno glede na čas. Če ima sistem večje število prostostnih stopenj, potem je Lagrangian odvisen od večjega števila posplošenih koordinat in njihovih prvih odvodov glede na čas. Tako je dejanje skalarni funkcional, odvisen od trajektorije telesa.

Dejstvo, da je dejanje skalarno, omogoča enostavno pisanje v poljubnih posplošenih koordinatah, glavno je, da je položaj (konfiguracija) sistema nedvoumno označen z njimi (na primer, namesto kartezičnih koordinat so te lahko polarne koordinate, razdalje med točkami sistema, koti ali njihove funkcije itd. .d.).

Akcija je lahko izračunana za povsem poljubno trajektorijo, ne glede na to, kako »divje« in »nenaravno« je. Vendar pa je v klasični mehaniki med celotnim naborom možnih trajektorij le ena, po kateri bo telo dejansko šlo. Načelo mirujočega delovanja natančno odgovarja na vprašanje, kako se bo telo dejansko gibalo:

To pomeni, da če je Lagrangeov sistem podan, lahko z variacijskim računom natančno ugotovimo, kako se bo telo gibalo, tako da najprej dobimo enačbe gibanja - Euler-Lagrangeove enačbe in jih nato rešimo. To omogoča ne le resno posploševanje formulacije mehanike, temveč tudi izbiro najprimernejših koordinat za vsak določen problem, ne omejeno na kartezične, kar je lahko zelo koristno za pridobivanje najpreprostejših in najlažje rešljivih enačb.

kje je Hamiltonova funkcija tega sistema; - (generalizirane) koordinate, - konjugirani (generalizirani) impulzi, ki skupaj označujejo v vsakem danem časovnem trenutku dinamično stanje sistema in, vsak je funkcija časa, tako označujejo razvoj (gibanje) sistema. V tem primeru je treba za pridobitev enačb gibanja sistema v obliki Hamiltonovih kanoničnih enačb tako zapisano dejanje spreminjati neodvisno za vse in .

Upoštevati je treba, da če je iz pogojev problema načeloma mogoče najti zakon gibanja, potem je to samodejno ne pomeni, da je možno konstruirati funkcional, ki ima med pravim gibanjem stacionarno vrednost. Primer je skupno gibanje električnih nabojev in monopolov – magnetnih nabojev – v elektromagnetnem polju. Njihovih enačb gibanja ni mogoče izpeljati iz načela mirujočega delovanja. Podobno imajo nekateri Hamiltonovi sistemi enačbe gibanja, ki jih ni mogoče izpeljati iz tega načela.

Primeri

Trivialni primeri pomagajo oceniti uporabo principa delovanja prek Euler-Lagrangeovih enačb. Prosti delec (masa m in hitrost v) v evklidskem prostoru giblje premočrtno. Z uporabo Euler-Lagrangeovih enačb lahko to prikažemo v polarnih koordinatah, kot sledi. V odsotnosti potenciala je Lagrangeova funkcija preprosto enaka kinetični energiji

v pravokotnem koordinatnem sistemu.

V polarnih koordinatah postane kinetična energija in s tem Lagrangeova funkcija

Radialna in kotna komponenta enačb postaneta:

Reševanje teh dveh enačb

Tukaj je pogojni zapis za neskončno večkratno funkcionalno integracijo po vseh trajektorijah x(t) in je Planckova konstanta. Poudarjamo, da se načeloma delovanje v eksponenti pojavi (ali se lahko pojavi) samo pri preučevanju evolucijskega operatorja v kvantni mehaniki, vendar je za sisteme, ki imajo natančen klasični (nekvantni) analog, popolnoma enako običajnemu klasična akcija.

Matematična analiza tega izraza v klasični meji - za dovolj velike , to je za zelo hitre oscilacije imaginarne eksponente - pokaže, da se velika večina vseh možnih trajektorij v tem integralu v meji (formalno za ) izničuje. Skoraj za vsako pot obstaja pot, na kateri bo fazni premik ravno nasproten in bodo prispevali nič. Samo tiste trajektorije, za katere je delovanje blizu skrajne vrednosti (za večino sistemov - na minimum), se ne zmanjšajo. To je čisto matematično dejstvo iz teorije funkcij kompleksne spremenljivke; Na njej na primer temelji metoda stacionarne faze.

Posledično se delec v popolnem skladu z zakoni kvantne mehanike premika hkrati po vseh trajektorijah, vendar v normalnih pogojih k opazovanim vrednostim prispevajo le trajektorije, ki so blizu stacionarnim (to je klasičnim). Ker kvantna mehanika prehaja v klasično mehaniko v meji visokih energij, lahko domnevamo, da je to kvantnomehanska izpeljava klasičnega principa stacionarnosti delovanja.

V kvantni teoriji polja

V kvantni teoriji polja se uspešno uporablja tudi princip stacionarnega delovanja. Lagrangeva gostota tukaj vključuje operatorje ustreznih kvantnih polj. Čeprav je tukaj bolj pravilno v bistvu (z izjemo klasične meje in delno kvaziklasike) govoriti ne o principu stacionarnosti delovanja, temveč o Feynmanovi integraciji vzdolž trajektorij v konfiguracijskem ali faznem prostoru teh polj - z uporabo pravkar omenjeno Lagrangevo gostoto.

Nadaljnje posploševanje

Širše je dejanje razumljeno kot funkcionalnost, ki definira preslikavo iz konfiguracijskega prostora v množico realnih števil in na splošno ni nujno, da je integral, ker so nelokalna dejanja načeloma možna vsaj teoretično. Poleg tega konfiguracijski prostor ni nujno funkcijski prostor, ker ima lahko nekomutativno geometrijo.

Ideja, ki je osnova vseh integralnih in nekaterih diferencialnih principov, je stališče, da resnično gibanje mehanskega sistema daje skrajnost določeni fizični količini. Za matematično formulacijo tega položaja je treba, kot prej, poleg resničnega gibanja upoštevati tudi niz možnih gibanj, ki jih podrejajo natančno določenim zahtevam.

Oblikovanje integralnih principov poteka v konfiguracijskem prostoru. Spomnimo se, da so za sistem s prostostnimi stopnjami posplošene koordinate
, ki določa konfiguracijo sistema v določenem trenutku , se obravnavajo kot kartezične koordinate v ustreznih -dimenzionalni prostor, ki je konfiguracijski prostor. Sčasoma se stanje mehanskega sistema spreminja in točka, ki predstavlja ta sistem, opisuje določeno krivuljo. Gibanje sistema je priročno obravnavati kot gibanje reprezentacijske točke vzdolž te krivulje. Čas s tem upoštevanjem je parameter in vsaka točka trajektorije bo ustrezala eni ali več vrednosti .

Če nas zanima položaj sistema na konfiguracijski trajektoriji v vsakem trenutku , potem morate dodati še eno os
. Nato bomo dobili "večdimenzionalni graf" gibanja sistema, ki ga obravnavamo. Preučujemo lahko tudi projekcije večdimenzionalnega grafa na določene ravnine, recimo (slika 2.7). Na sliki A, B so projekcije predstavljajoče točke na trenutke in Skladno s tem polna črta prikazuje realno, črtkana pa eno od možnih gibanj.

Integralno načelo je izjava o tem, kako se dejansko gibanje sistema zgodi v končnem (ne neskončno majhnem!) časovnem obdobju
. Kaj je bilo s sistemom do takrat , nas ne zanima. Toda dokler sta začetni in končni trenutek časa določena, velja, da mehanski sistem z vsemi možnimi gibi v trenutku poteka skozi točko A, v tem trenutku - IN; te točke ustrezajo začetnim in končnim položajem sistema v njegovem realnem gibanju.

Najbolj splošno formulacijo stališča o gibanju mehanskih sistemov vsebuje tako imenovano načelo najmanjšega delovanja (imenuje se tudi načelo Hamilton-Ostrogradskega):

Realno gibanje mehanskega sistema v časovnem intervalu odprejtako da je integral, imenovan akcijska funkcija in enaka

, (60.7)

Kje
-- Lagrangian danega mehanskega sistema ima ekstrem (minimum). Spremenljivka ne spreminja se.

Z drugimi besedami, med dejanskim gibanjem mora biti variacija delovanja enaka nič

(61.7)

pod pogojem, da so vse konfiguracijske trajektorije občasno in poteka skozi začetno in končno točko pravega gibanja, tj.

To načelo je v nasprotju z D'Alembertovim diferencialnim načelom integralno v smislu, da vsebuje izjavo o gibanju sistema kot celote v končnem časovnem obdobju.
. Pravzaprav iz nje izhajajo Lagrangeove enačbe, s čimer iz načela najmanjšega delovanja lahko rečemo dobimo celotno dinamiko mehanskega sistema.

Naj funkcije
, opisujejo realno gibanje, tj.
– tiste funkcije, za katere ima minimum. Oglejmo si nabor funkcij
Kje
- različice funkcij
, za katere se predpostavlja, da so majhni v primerjavi z
v celotnem časovnem intervalu od prej . Poleg vsega
zadovoljiti relacije (62,7). Izračunajmo tako imenovano prvo variacijo , ob upoštevanju, da je Lagrangeova funkcija lahko odvisna od posplošenih koordinat , generalizirane hitrosti
, in čas :

Zaradi
, drugi mandat v
je mogoče integrirati po delih in dobiti

.

Zaradi pogojev (62,7) se znesek

izgine, preostali integral pa bo za poljubne vrednosti enak nič
šele ko vsak člen vsote integranda izniči. Tako dobimo Lagrangeove enačbe 2. vrste

. (63.7)

Koristno si je zapomniti, da z rešitvijo problema ekstremuma funkcije dobimo sistem končnih enačb, iz katerih se najde točka, v kateri funkcija doseže ekstremno vrednost. V tem primeru imamo opravka s funkcionalom, rešitvijo ekstremnega problema, ki ga poda sistem diferencialnih enačb 2. reda. Iz teh enačb najdemo črto v konfiguracijskem prostoru, definiranem s funkcijami
, pri katerem funkcionalnost doseže minimum. Ta črta se imenuje ekstremna.

Ker je naloga konstruiranja določenega mehanskega modela sestaviti enačbe gibanja, vidimo, da dejansko dinamiko sistema določa ena funkcija - Lagrangian, saj je ta funkcija tista, ki rešuje problem. Tako je Lagrangian sistema zanimiv fizikalni objekt, katerega preučevanje je potrebno v povezavi s problemi dinamike. Zlasti iz načela najmanjšega delovanja je jasno, da funkcija definirana le do seštevka skupnega odvoda poljubne funkcije koordinat in časa. To je treba razumeti takole: sistem, definiran s svojimi enačbami gibanja, ustreza več kot eni Lagrangeovi funkciji . Res, naj bo
navezujoč se razmerje

(64.7)

,

.

Toda odkar
,

in zato Lagrangeove enačbe, dobljene z uporabo funkcij in
, enako. Dvoumnost v definiciji Lagrangeove funkcije oblike (64.7) ne vpliva na enačbe gibanja in vsak
iz razreda (64.7) enolično rešuje problem konstruiranja dinamike sistema.

Pomembna lastnost sistema Lagrangeovih enačb je njihova kovarianca. To pomeni, da Lagrangeove enačbe ohranijo svojo obliko pri točkovnih transformacijah posplošenih koordinat 4

pri uporabi posplošenih koordinat Lagrangeove enačbe bodo imele enako obliko:

,

kot pri uporabi posplošenih koordinat :

.

Dokažimo neposredno, da so Lagrangeove enačbe kovariantne glede na transformacijo (65.7). Gradimo
:

in derivati

,

HAMILTON - OSTROGRADSKI PRINCIP

Princip stacionarnega delovanja - splošni integral variacijski princip klasične mehanike, namestil U.

Hamilton za holonomne sisteme, omejene z idealnimi stacionarnimi povezavami, M. V. Ostrogradsky pa posplošil na nestacionarne povezave. Po mnenju G. - O.

ima stacionarno vrednost v primerjavi s podobnimi kinematično možnimi gibi, pri katerih so začetni in končni položaji sistema ter čas gibanja enaki tistim za dejansko gibanje. Tukaj T - kinetično, U- potencialna energija, L-T-U Lagrangeova funkcija sistema. V nekaterih primerih resnica ne ustreza samo stacionarni točki funkcionala S, vendar mu daje tudi najmanjši pomen. Zato je G. -O. n načelo najmanjšega delovanja. Pri nepotencialnih delujočih silah Fv pogoj za stacionarnost delovanja d S= 0 se nadomesti s pogojem

Lit.: Hamilton W., Poročilo četrtega srečanja Britanskega združenja za napredek znanosti, L., 1835, str. 513-18; Ostrogradskу M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, št. 3, str. 33-48.

V. V. Rumjancev.

Matematična enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Poglejte, kaj je "HAMILTON - OSTROGRADSKI PRINCIP" v drugih slovarjih:

Fisherjevo načelo je evolucijski model, ki pojasnjuje, zakaj je prevladujoče razmerje med spoloma vrst živih organizmov v naravi približno 1:1; v katerih geni za proizvodnjo več osebkov obeh spolov ... ... Wikipedia

Hamilton (tudi preprosto Hamiltonovo načelo), natančneje načelo stacionarnosti delovanja, metoda pridobivanja enačb gibanja fizičnega sistema z iskanjem stacionarja (pogosto ekstremnega, običajno v povezavi z ustaljeno tradicijo... .. Wikipedia

Lom valov po Huygensu ... Wikipedia

V metodologiji znanosti velja izjava, da vsaka nova znanstvena teorija, ob prisotnosti stare, dobro preizkušene teorije, ni v popolnem nasprotju z njo, ampak daje enake posledice v nekem skrajnem približku (poseben primer). Na primer zakon... ... Wikipedia

Pontrjaginov princip diskretnega maksimuma za časovno diskretne krmilne procese. Za tak postopek operator končne razlike morda ne bo veljal, čeprav za njegov zvezni analog, ki ga dobimo z zamenjavo operatorja končne razlike z diferencialnim ... ... Matematična enciklopedija

Ali pa Hamiltonovo načelo v mehaniki in matematični fiziki služi za pridobivanje diferencialnih enačb gibanja. To načelo velja za vse materialne sisteme, ne glede na to, katerim silam so podvrženi; Najprej se bomo izrazili v tem... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Ephron

Kvantni postulat. mehanike, ki zahteva sovpadanje njene fizikalne. posledice v mejnem primeru velikih kvantnih števil z rezultati klasič. teorije. V S. p. se razkrije dejstvo, da je kvant. učinki so pomembni samo pri mikroobjektih, ko... ... Fizična enciklopedija

Hamiltonovo variacijsko načelo- Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Hamiltonov variacijski princip vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamiltonov variacijski princip, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

Postulat kvantne mehanike (Glej Kvantna mehanika), ki zahteva, da njene fizikalne posledice v mejnem primeru velikih kvantnih števil (Glej Kvantna števila) sovpadajo z rezultati klasične teorije. V S. p. se kaže dejstvo, da ... ... Velika sovjetska enciklopedija

- (valovna mehanika), teorija, ki določa metodo opisa in zakone gibanja mikrodelcev (elementov, atomov, molekul, atomskih jeder) in njihovih sistemov (npr. kristalov), pa tudi razmerje med količinami, ki označujejo delce in sistemov, s fizičnim velikosti...... Fizična enciklopedija

Ta izraz ima druge pomene, glej Akcija (fizika). Akcija Dimenzija L2MT−1 Akcija v fiziki je skalarna fizikalna količina, ki je ... Wikipedia

knjige

• Principi gibanja gospodarskega sistema. Monografija, Kusner Yuri Semenovich, Tsarev Igor Gennadievich. V analitični obliki so predstavljene osnovne enačbe gibanja ekonomskega sistema in rešen je problem iskanja ustreznih metod za nadzor njegovega gibanja. Uporabljen je bil matematični aparat...