Na stopnji priprave na zaključni test morajo srednješolci izboljšati svoje znanje na temo "Eksponentne enačbe". Izkušnje preteklih let kažejo, da takšne naloge šolarjem povzročajo določene težave. Zato morajo srednješolci, ne glede na stopnjo pripravljenosti, temeljito obvladati teorijo, si zapomniti formule in razumeti princip reševanja takšnih enačb. Ko so se naučili obvladovati tovrstne težave, lahko diplomanti računajo na visoke ocene pri opravljanju enotnega državnega izpita iz matematike.
Pripravite se na izpitno testiranje s Shkolkovo!
Pri pregledu gradiva, ki so ga obravnavali, se veliko študentov sooči s problemom iskanja formul, potrebnih za reševanje enačb. Šolski učbenik ni vedno pri roki, izbiranje potrebnih informacij o temi na internetu pa traja dolgo.
Izobraževalni portal Shkolkovo vabi študente k uporabi naše baze znanja. Uvajamo popolnoma nov način priprave na zaključni test. S študijem na naši spletni strani boste lahko prepoznali vrzeli v znanju in se posvetili tistim nalogam, ki povzročajo največ težav.
Učitelji Shkolkova so zbrali, sistematizirali in predstavili vse gradivo, potrebno za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, v najpreprostejši in najbolj dostopni obliki.
Osnovne definicije in formule so predstavljene v poglavju “Teoretično ozadje”.
Za boljše razumevanje snovi priporočamo, da vadite izpolnjevanje nalog. Previdno preglejte primere eksponentnih enačb z rešitvami, predstavljene na tej strani, da boste razumeli algoritem izračuna. Po tem nadaljujte z izvajanjem nalog v razdelku »Imeniki«. Začnete lahko z najlažjimi nalogami ali pa se takoj lotite reševanja kompleksnih eksponentnih enačb z več neznankami ali . Baza vadb na naši spletni strani se nenehno dopolnjuje in posodablja.
Tiste primere z indikatorji, ki so vam povzročali težave, lahko dodate med »Priljubljene«. Tako jih lahko hitro najdete in se o rešitvi pogovorite z učiteljem.
Če želite uspešno opraviti enotni državni izpit, se vsak dan učite na portalu Shkolkovo!
Naj vas ne prestrašijo moje besede, s to metodo ste se srečali že v 7. razredu, ko ste se učili polinome.
Na primer, če potrebujete:
Združimo: prvi in tretji člen ter drugi in četrti.
Jasno je, da sta prvi in tretji razlika kvadratov:
drugi in četrti pa imata skupni faktor tri:
Potem je prvotni izraz enakovreden temu:
Kje izpeljati skupni faktor ni več težko:
torej
Približno tako bomo storili pri reševanju eksponentnih enačb: med izrazi poiščite "skupnost" in jo izvlecite iz oklepaja, potem pa - naj bo karkoli, verjamem, da bomo imeli srečo =))
Primer št. 14
Desna je daleč od potence števila sedem (sem preveril!) In leva ni dosti boljša ...
Faktor a iz drugega člena lahko seveda "odsekate" iz prvega člena in se potem ukvarjate s tem, kar imate, a bodimo bolj preudarni.
Nočem se ukvarjati z ulomki, ki neizogibno nastanejo pri "izbiranju", ali ne bi tega raje odstranil?
Potem ne bom imel nobenih frakcij: kot pravijo, volkovi so siti in ovce varne:
Izračunaj izraz v oklepaju.
Čarobno, čarobno se izkaže, da (presenetljivo, čeprav kaj drugega naj pričakujemo?).
Nato obe strani enačbe zmanjšamo za ta faktor. Dobimo: , od.
Tukaj je bolj zapleten primer (precej malo, res):
Kakšen problem! Tukaj nimamo ene skupne točke!
Ni povsem jasno, kaj storiti zdaj.
Naredimo, kar je v naši moči: najprej premaknite "štirice" na eno stran in "petice" na drugo:
Zdaj pa izločimo "generala" na levi in desni:
In kaj sedaj?
Kakšna je korist od tako neumne skupine? Na prvi pogled se sploh ne vidi, a poglejmo globlje:
No, zdaj se bomo prepričali, da imamo na levi samo izraz c, na desni pa vse ostalo.
Kako naj to naredimo?
Takole: obe strani enačbe najprej delite s (tako se znebimo eksponenta na desni), nato pa obe strani delimo s (tako se znebimo številskega faktorja na levi).
Končno dobimo:
Neverjetno!
Na levi strani imamo izraz, na desni pa preprost izraz.
Potem takoj sklepamo, da
Primer št. 15
Podal bom njegovo kratko rešitev (ne da bi se veliko obremenjeval z razlagami), poskusite sami razumeti vse "tankosti" rešitve.
Sedaj pa še končna utrditev prejetega gradiva.
Samostojno reševanje naslednjih 7 nalog (z odgovori)
- Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: Kje:
- Predstavimo prvi izraz v obliki: , delimo obe strani z in dobimo to
- , potem se prvotna enačba preoblikuje v obliko: No, zdaj pa namig - poiščite, kje sva že rešila to enačbo!
- Predstavljajte si, kako, kako, ah, no, nato delite obe strani s, tako da dobite najpreprostejšo eksponentno enačbo.
- Izvlecite iz oklepaja.
- Izvlecite iz oklepaja.
EKSPONENTNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA
Predvidevam, da po branju prvega članka, ki je govoril o kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešiti, ste obvladali potrebno minimalno znanje, potrebno za reševanje najpreprostejših primerov.
Zdaj si bom ogledal drugo metodo za reševanje eksponentnih enačb, to je ...
Metoda za uvedbo nove spremenljivke (ali zamenjavo)
Rešuje večino »težjih« nalog na temo eksponentnih enačb (pa ne samo enačb).
Ta metoda je ena od ki se najpogosteje uporablja v praksi. Najprej priporočam, da se seznanite s temo.
Kot ste razumeli že iz imena, je bistvo te metode vpeljati takšno spremembo spremenljivke, da se bo vaša eksponentna enačba čudežno spremenila v takšno, ki jo boste zlahka rešili.
Vse, kar vam preostane po rešitvi te zelo »poenostavljene enačbe«, je, da naredite »obratno zamenjavo«: torej vrnitev od zamenjanega k zamenjanemu.
Ponazorimo, kar smo pravkar povedali, z zelo preprostim primerom:
Primer 16. Enostavna metoda zamenjave
To enačbo je mogoče rešiti z uporabo "enostavna zamenjava", kot jo omalovažujoče imenujejo matematiki.
Pravzaprav je zamenjava tukaj najbolj očitna. To je treba samo videti
Potem se bo prvotna enačba spremenila v tole:
Če si dodatno predstavljate, kako, potem je popolnoma jasno, da je treba zamenjati...
Seveda, .
Kaj potem postane prvotna enačba? Evo kaj:
Njegove korenine zlahka najdete sami: .
Kaj naj storimo zdaj?
Čas je, da se vrnemo k prvotni spremenljivki.
Kaj sem pozabil omeniti?
Namreč: pri zamenjavi določene stopnje z novo spremenljivko (torej pri zamenjavi vrste) me bo zanimalo samo pozitivne korenine!
Zakaj, si zlahka odgovorite sami.
Tako vas in mene ne zanima, vendar je drugi koren povsem primeren za nas:
Od kod potem.
odgovor:
Kot lahko vidite, je v prejšnjem primeru zamenjava samo prosila za naše roke. Na žalost ni vedno tako.
Vendar ne preidimo naravnost na žalostno, ampak vadimo še en primer z dokaj preprosto zamenjavo
Primer 17. Enostavna metoda zamenjave
Jasno je, da ga bo najverjetneje treba zamenjati (to je najmanjša od stopinj, vključenih v našo enačbo).
Pred uvedbo zamenjave pa je treba našo enačbo nanjo »pripraviti«, in sicer: , .
Potem lahko zamenjate, kot rezultat dobim naslednji izraz:
Oh, groza: kubična enačba s popolnoma grozljivimi formulami za njeno rešitev (no, na splošno).
A ne obupajmo takoj, ampak premislimo, kaj bi morali narediti.
Predlagal bom goljufanje: vemo, da moramo dobiti »lep« odgovor, da ga dobimo v obliki neke moči tri (zakaj bi bilo to, kajne?).
Poskusimo uganiti vsaj en koren naše enačbe (ugibati bom začel s potencami tri).
Prva ugibanja. Ni koren. Žal in ah ...
.
Leva stran je enaka.
Desni del: !
Jejte! Uganil prvi koren. Zdaj bodo stvari lažje!
Ali poznate shemo delitve "kota"? Seveda ga imaš, uporabiš ga, ko eno število deliš z drugim.
Toda malo ljudi ve, da je enako mogoče storiti s polinomi.
Obstaja en čudovit izrek:
Če uporabim mojo situacijo, mi to pove, da je deljivo brez ostanka z.
Kako poteka delitev? Tako:
Gledam, s katerim monomom naj pomnožim, da dobim
Jasno je, da potem:
Od dobljenega izraza odštejem, dobim:
Zdaj, s čim moram pomnožiti, da dobim?
Jasno je, da bom dobil:
in ponovno odštejte dobljeni izraz od preostalega:
No, zadnji korak je množenje in odštevanje od preostalega izraza:
Hura, delitve je konec! Kaj smo si nabrali zasebno?
Samo po sebi: .
Nato smo dobili naslednjo razširitev prvotnega polinoma:
Rešimo drugo enačbo:
Ima korenine:
Nato izvirna enačba:
ima tri korenine:
Zadnji koren bomo seveda zavrgli, saj je manjši od nič.
In prva dva po obratni zamenjavi nam bosta dala dva korena:
Odgovor: ..
S tem primerom vas nisem hotel prestrašiti!
Prej, nasprotno, moj cilj je bil pokazati, da čeprav smo imeli dokaj preprosto zamenjavo, je vendarle pripeljala do precej zapletene enačbe, katere rešitev je od nas zahtevala nekaj posebnih veščin.
No, nihče ni imun pred tem. Toda zamenjava je bila v tem primeru povsem očitna.
Primer št. 18 (z manj očitno zamenjavo)
Sploh ni jasno, kaj naj storimo: težava je v tem, da sta v naši enačbi dve različni bazi in ene baze ni mogoče dobiti iz druge tako, da jo dvignemo na katero koli (razumno, naravno) potenco.
Vendar, kaj vidimo?
Obe bazi se razlikujeta le v predznaku, njun produkt pa je razlika kvadratov enaka ena:
definicija:
Tako so števila, ki so osnove v našem primeru, konjugirana.
V tem primeru bi bil pameten korak pomnožite obe strani enačbe s konjugiranim številom.
Na primer, on, potem bo leva stran enačbe enaka in desna.
Če naredimo zamenjavo, bo naša prvotna enačba postala taka:
njegove korenine torej in če se tega spomnimo, to razumemo.
Odgovor: , .
Nadomestna metoda praviloma zadostuje za rešitev večine »šolskih« eksponentnih enačb.
Naslednje naloge povečane stopnje zahtevnosti so vzete iz različic enotnega državnega izpita.
Tri naloge povečane kompleksnosti iz variant enotnega državnega izpita
Ti si že dovolj pismen, da te primere rešiš sam. Dam samo zahtevano zamenjavo.
- Reši enačbo:
- Poiščite korenine enačbe:
- Reši enačbo: . Poiščite vse korenine te enačbe, ki pripadajo segmentu:
Zdaj pa še nekaj kratkih pojasnil in odgovorov:
Primer št. 19
Tukaj je dovolj, da ugotovimo, da ...
Potem bo prvotna enačba enakovredna tej:
To enačbo je mogoče rešiti z zamenjavo
Nadaljnje izračune naredite sami.
Na koncu se bo vaša naloga zmanjšala na reševanje preprostih trigonometričnih problemov (odvisno od sinusa ali kosinusa). Rešitve podobnih primerov si bomo ogledali v drugih razdelkih.
Primer št. 20
Tukaj lahko celo brez zamenjave ...
Dovolj je, da premaknete subtrahend v desno in obe bazi predstavite s potencami dvojke: , nato pa takoj preidete na kvadratno enačbo.
Primer št. 21
Tudi to se rešuje na dokaj standarden način: zamislimo si, kako.
Nato z zamenjavo dobimo kvadratno enačbo: potem,
Saj že veste, kaj je logaritem, kajne? ne? Potem pa nujno preberi temo!
Prvi koren očitno ne pripada segmentu, drugi pa je nejasen!
A izvedeli bomo zelo kmalu!
Ker torej (to je lastnost logaritma!)
Odštejemo z obeh strani, potem dobimo:
Levo stran lahko predstavimo kot:
pomnoži obe strani z:
lahko pomnožimo s, torej
Nato primerjajte:
od takrat:
Potem drugi koren pripada zahtevanemu intervalu
odgovor:
Kot vidiš, izbira korenin eksponentnih enačb zahteva dokaj globoko poznavanje lastnosti logaritmov, zato vam svetujem, da ste pri reševanju eksponentnih enačb čim bolj previdni.
Kot razumete, je v matematiki vse med seboj povezano!
Kot je rekel moj učitelj matematike: "matematike, tako kot zgodovine, ni mogoče brati čez noč."
Praviloma vse Težava pri reševanju problemov povečane stopnje kompleksnosti je ravno izbira korenin enačbe.
Še en primer za prakso...
Primer 22
Jasno je, da se sama enačba reši povsem preprosto.
Z zamenjavo zmanjšamo prvotno enačbo na naslednje:
Najprej poglejmo prvi koren.
Primerjajmo in: od takrat. (lastnost logaritemske funkcije, at).
Potem je jasno, da prvi koren ne pripada našemu intervalu.
Zdaj drugi koren: . Jasno je, da (ker funkcija pri narašča).
Ostaja še primerjava in...
saj torej hkrati.
Tako lahko »zabijem klin« med in.
Ta klin je številka.
Prvi izraz je manjši, drugi pa večji.
Potem je drugi izraz večji od prvega in koren pripada intervalu.
Odgovor: .
Na koncu si poglejmo še en primer enačbe, kjer je zamenjava precej nenavadna.
Primer št. 23 (Enačba z nestandardno zamenjavo!)
Začnimo takoj s tem, kaj je mogoče storiti in kaj - načeloma je mogoče storiti, vendar je bolje, da tega ne storite.
Vse si lahko predstavljate s pomočjo moči tri, dve in šest.
Kam vodi?
To ne bo vodilo do ničesar: zmešnjava stopinj, od katerih se bo nekaterih precej težko znebiti.
Kaj je potem potrebno?
Opazimo, da a
In kaj nam bo to dalo?
In dejstvo, da lahko rešitev tega primera reduciramo na rešitev dokaj preproste eksponentne enačbe!
Najprej zapišimo našo enačbo kot:
Zdaj delimo obe strani dobljene enačbe z:
Eureka! Zdaj lahko zamenjamo, dobimo:
No, zdaj ste na vrsti vi, da rešite predstavitvene naloge, jaz pa jih bom le na kratko komentiral, da ne boste zašli! Vso srečo!
Primer št. 24
Najtežji!
Tukaj je tako težko videti zamenjavo! Toda kljub temu je ta primer mogoče popolnoma rešiti z uporabo poudarjanje celotnega kvadrata.
Za rešitev je dovolj upoštevati, da:
Potem je tukaj vaša zamenjava:
(Upoštevajte, da tukaj med našo zamenjavo ne moremo zavreči negativnega korena!!! Kaj mislite, zakaj?)
Če želite zdaj rešiti primer, morate rešiti le dve enačbi:
Oboje je mogoče rešiti s "standardno zamenjavo" (toda drugo v enem primeru!)
Primer št. 25
2. Upoštevajte to in zamenjajte.
Primer št. 26
3. Število razgradi na soproste faktorje in dobljeni izraz poenostavi.
Primer št. 27
4. Števec in imenovalec ulomka delite z (ali, če želite) in opravite zamenjavo oz.
Primer št. 28
5. Upoštevajte, da sta števili in konjugirani.
REŠEVANJE EKSPONENTARNIH ENAČB Z LOGARITEVNO METODO. NAPREDNI NIVO
Poleg tega poglejmo še en način - reševanje eksponentnih enačb z logaritemsko metodo.
Ne morem reči, da je reševanje eksponentnih enačb s to metodo zelo priljubljeno, vendar nas le v nekaterih primerih lahko pripelje do pravilne rešitve naše enačbe.
Še posebej pogosto se uporablja za reševanje t.i. mešane enačbe": torej tiste, kjer se pojavljajo funkcije različnih vrst.
Primer št. 29
v splošnem primeru jo je mogoče rešiti le z logaritmiranjem obeh strani (na primer na osnovo), pri čemer se bo prvotna enačba spremenila v naslednje:
Poglejmo si naslednji primer:
Jasno je, da nas glede na ODZ logaritemske funkcije zanima samo.
Vendar to ne izhaja le iz ODZ logaritma, ampak še iz enega razloga.
Mislim, da vam ne bo težko uganiti, kateri je.
Vzemimo logaritem obeh strani naše enačbe na osnovo:
Kot vidite, nas je logaritem naše prvotne enačbe hitro pripeljal do pravilnega (in čudovitega!) odgovora.
Vadimo še z enim primerom.
Primer št. 30
Tudi tukaj ni nič narobe: vzemimo logaritem obeh strani enačbe k osnovi, potem dobimo:
Naredimo zamenjavo:
Vendar smo nekaj zamudili! Ste opazili, kje sem naredil napako? Konec koncev, potem:
ki ne izpolnjuje zahteve (pomislite, od kod prihaja!)
odgovor:
Poskusite zapisati rešitev spodnjih eksponentnih enačb:
Zdaj primerjajte svojo odločitev s tem:
Primer št. 31
Logaritmirajmo obe strani na osnovo, pri čemer upoštevamo, da:
(drugi koren za nas ni primeren zaradi zamenjave)
Primer št. 32
Vzemimo logaritme k osnovi:
Pretvorimo dobljeni izraz v naslednjo obliko:
EKSPONENTNE ENAČBE. KRATEK OPIS IN OSNOVNE FORMULE
Eksponentna enačba
Enačba oblike:
klical najenostavnejša eksponentna enačba.
Lastnosti stopinj
Pristopi k rešitvi
- Redukcija na isto osnovo
- Redukcija na isti eksponent
- Spremenljiva zamenjava
- Poenostavitev izraza in uporaba enega od zgornjih.
Reševanje eksponentnih enačb. Primeri.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Kaj se je zgodilo eksponentna enačba? To je enačba, v kateri so neznanke (x) in izrazi z njimi indikatorji nekaj stopinj. In samo tam! Je pomembno.
Tukaj si primeri eksponentnih enačb:
3 x 2 x = 8 x+3
Opomba! V osnovah stopinj (spodaj) - samo številke. IN indikatorji stopnje (zgoraj) - široka paleta izrazov z X. Če se nenadoma pojavi X v enačbi nekje drugje kot indikator, na primer:
to bo že enačba mešanega tipa. Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za reševanje. Zaenkrat jih ne bomo upoštevali. Tukaj se bomo ukvarjali s reševanje eksponentnih enačb v najčistejši obliki.
Pravzaprav tudi čiste eksponentne enačbe niso vedno jasno rešene. Obstajajo pa nekatere vrste eksponentnih enačb, ki jih je mogoče in jih je treba rešiti. To so vrste, ki jih bomo upoštevali.
Reševanje preprostih eksponentnih enačb.
Najprej rešimo nekaj zelo osnovnega. Na primer:
Tudi brez kakršnih koli teorij je s preprostim izborom jasno, da je x = 2. Nič drugega, kajne!? Nobena druga vrednost X ne deluje. Zdaj pa poglejmo rešitev te zapletene eksponentne enačbe:
Kaj smo storili? Pravzaprav smo iste baze (trojke) preprosto vrgli ven. Popolnoma vržen ven. In dobra novica je, da smo zadeli žebljico na glavico!
Dejansko, če v eksponentni enačbi obstajata leva in desna enakoštevila v poljubnih potencah, lahko ta števila odstranimo in eksponente lahko izenačimo. Matematika dopušča. Ostaja rešiti veliko preprostejšo enačbo. Odlično, kajne?)
Vendar si trdno zapomnimo: Baze lahko odstranite le, če sta bazni številki na levi in desni v čudoviti izolaciji! Brez sosedov in koeficientov. Recimo v enačbah:
2 x +2 x+1 = 2 3 ali
dvojk ni mogoče odstraniti!
Pa smo obvladali najpomembnejše. Kako preiti od zlobnih eksponentnih izrazov k enostavnejšim enačbam.
"Takšni so časi!" - Ti rečeš. "Kdo bi dajal tako primitivno lekcijo na testih in izpitih!?"
Moram se strinjati. Nihče ga ne bo dal. Zdaj pa veste, kam ciljati pri reševanju zapletenih primerov. Pripeljati ga je treba do obrazca, kjer je na levi in desni enaka osnovna številka. Potem bo vse lažje. Pravzaprav je to klasika matematike. Vzamemo izvirni primer in ga spremenimo v želenega nas um. Po pravilih matematike, seveda.
Oglejmo si primere, ki zahtevajo nekaj dodatnega truda, da jih zmanjšamo na najpreprostejše. Pokličimo jih enostavne eksponentne enačbe.
Reševanje preprostih eksponentnih enačb. Primeri.
Pri reševanju eksponentnih enačb so glavna pravila dejanja s stopnjami. Brez poznavanja teh dejanj nič ne bo delovalo.
Dejanjem z diplomami je treba dodati osebno opazovanje in iznajdljivost. Ali potrebujemo enaka osnovna števila? Zato jih v primeru iščemo v eksplicitni ali šifrirani obliki.
Poglejmo, kako se to izvaja v praksi?
Naj nam navedejo primer:
2 2x - 8 x+1 = 0
Prvi oster pogled je na razlogov. Oni... So drugačni! Dva in osem. Vendar je še prezgodaj, da bi postali malodušni. Čas je, da se tega spomnimo
Dva in osem sta sorodnika po stopnji.) Povsem mogoče je napisati:
8 x+1 = (2 3) x+1
Če se spomnimo formule iz operacij s stopinjami:
(a n) m = a nm,
tole deluje odlično:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Prvotni primer je začel izgledati takole:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Prenašamo 2 3 (x+1) na desno (nihče ni preklical elementarnih matematičnih operacij!), dobimo:
2 2x = 2 3(x+1)
To je praktično vse. Odstranjevanje podstavkov:
Rešimo to pošast in dobimo
To je pravilen odgovor.
V tem primeru nam je pomagalo poznavanje moči dvojke. mi ugotovljeno v osmici je šifrirana dvojka. Ta tehnika (kodiranje skupnih baz pod različnimi številkami) je zelo priljubljena tehnika v eksponentnih enačbah! Da, in tudi v logaritmih. Moraš biti sposoben prepoznati moči drugih števil v številih. To je izjemno pomembno za reševanje eksponentnih enačb.
Dejstvo je, da dvig poljubnega števila na poljubno potenco ni problem. Pomnožite, tudi na papirju, in to je to. Vsakdo lahko na primer dvigne 3 na peto potenco. 243 se bo izkazalo, če poznate tabelo množenja.) Toda v eksponentnih enačbah veliko pogosteje ni treba dvigniti na potenco, ampak obratno ... Ugotovite kakšno število do katere stopnje se skriva za številko 243, ali pa recimo 343... Tukaj ti ne bo pomagal noben kalkulator.
Morate poznati moči nekaterih števil na pogled, kajne ... Vadimo?
Ugotovite, katere potence in katera števila so števila:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Odgovori (v zmešnjavi, seveda!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Če pogledate natančno, lahko vidite nenavadno dejstvo. Odgovorov je bistveno več kot nalog! No, se zgodi ... Na primer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je vse 64.
Predpostavimo, da ste upoštevali informacijo o poznavanju števil.) Naj vas spomnim tudi, da za reševanje eksponentnih enačb uporabljamo vse zaloga matematičnega znanja. Vključno s tistimi iz nižjih in srednjih razredov. Niste šli naravnost v srednjo šolo, kajne?)
Na primer, pri reševanju eksponentnih enačb pogosto pomaga dajanje skupnega faktorja iz oklepaja (pozdravljeni v 7. razredu!). Poglejmo primer:
3 2x+4 -11 9 x = 210
In spet je prvi pogled na temelje! Osnove stopinj so različne ... Tri in devet. A želimo, da so enaki. No, v tem primeru je želja popolnoma izpolnjena!) Ker:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Uporaba istih pravil za ravnanje z diplomami:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
To je super, lahko zapišete:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Iz istih razlogov smo dali primer. Torej, kaj je naslednje!? Ne moreš vreči trojk ... Slepa ulica?
Sploh ne. Zapomnite si najbolj univerzalno in močno pravilo odločanja vsi matematične naloge:
Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!
Poglej, vse se bo izšlo).
Kaj je v tej eksponentni enačbi Lahko narediti? Ja, na levi strani kar kliče iz oklepaja! Skupni množitelj 3 2x jasno namiguje na to. Poskusimo, potem pa bomo videli:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Zgled je vedno boljši!
Ne pozabimo, da za odpravo razlogov potrebujemo čisto stopnjo, brez koeficientov. Številka 70 nas moti. Torej delimo obe strani enačbe s 70, dobimo:
Ups! Vse je šlo na bolje!
To je končni odgovor.
Zgodi pa se, da je taksiranje na isti podlagi možno, vendar njihova odprava ni možna. To se zgodi v drugih vrstah eksponentnih enačb. Obvladajmo to vrsto.
Zamenjava spremenljivke pri reševanju eksponentnih enačb. Primeri.
Rešimo enačbo:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Najprej - kot običajno. Pojdimo na eno bazo. Na dvojko.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dobimo enačbo:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
In tukaj se družimo. Prejšnje tehnike ne bodo delovale, ne glede na to, kako gledate. Iz našega arzenala bomo morali potegniti še eno močno in univerzalno metodo. To se imenuje variabilna zamenjava.
Bistvo metode je presenetljivo preprosto. Namesto ene kompleksne ikone (v našem primeru - 2 x) napišemo drugo, preprostejšo (na primer - t). Takšna na videz nesmiselna zamenjava vodi do neverjetnih rezultatov!) Vse postane jasno in razumljivo!
Torej naj
Potem je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
V naši enačbi zamenjamo vse potence z x-ji s t:
No, ali se vam posveti?) Ste že pozabili kvadratne enačbe? Če rešimo diskriminanto, dobimo:
Glavna stvar tukaj je, da se ne ustavite, kot se zgodi ... To še ni odgovor, potrebujemo x, ne t. Vrnimo se k X-om, tj. naredimo obratno zamenjavo. Najprej za t 1:
to je
Najdena je bila ena korenina. Iščemo drugega iz t 2:
Hm... 2 x na levi, 1 na desni... Problem? Sploh ne! Dovolj je, da se spomnimo (iz operacij s potencami, ja ...), da enota je kajštevilo na ničelno potenco. Kaj. Kar bo potrebno, bomo vgradili. Potrebujemo dva. Pomeni:
To je zdaj to. Imamo 2 korena:
To je odgovor.
pri reševanje eksponentnih enačb na koncu včasih končaš s kakšnim nerodnim izrazom. Tip:
Sedem ni mogoče pretvoriti v dva s preprosto močjo. Saj nista sorodnika... Kako naj bova? Nekdo je morda zmeden ... Toda oseba, ki je na tej strani prebrala temo "Kaj je logaritem?" , se le skopo nasmehne in s trdno roko zapiše povsem pravilen odgovor:
Takšnega odgovora v nalogah "B" na Enotnem državnem izpitu ne more biti. Tam je potrebna posebna številka. Toda pri nalogah "C" je enostavno.
Ta lekcija ponuja primere reševanja najpogostejših eksponentnih enačb. Poudarimo glavne točke.
Praktični nasveti:
1. Najprej pogledamo razlogov stopnje. Zanima nas, ali jih je možno narediti enaka. Poskusimo to storiti z aktivno uporabo dejanja s stopnjami. Ne pozabite, da je mogoče števila brez x-jev pretvoriti tudi v potence!
2. Eksponentno enačbo poskušamo spraviti v obliko, ko sta na levi in na desni enakoštevila v poljubnih potencah. Uporabljamo dejanja s stopnjami in faktorizacija. Kar se da prešteti v številkah, štejemo.
3. Če drugi nasvet ne deluje, poskusite uporabiti zamenjavo spremenljivke. Rezultat je lahko enačba, ki jo je mogoče preprosto rešiti. Najpogosteje - kvadrat. Ali ulomek, ki se prav tako zmanjša na kvadrat.
4. Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate poznati potence nekaterih števil na pogled.
Kot ponavadi ste na koncu lekcije vabljeni, da se malo odločite.) Sami. Od enostavnega do kompleksnega.
Reši eksponentne enačbe:
Težje:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Poiščite produkt korenin:
2 3 + 2 x = 9
Se je zgodilo?
No, potem pa zelo zapleten primer (čeprav se ga da rešiti v mislih ...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Kaj je bolj zanimivo? Potem je tukaj slab primer za vas. Precej vredno povečane težavnosti. Naj namignem, da vas v tem primeru reši iznajdljivost in najbolj univerzalno pravilo za reševanje vseh matematičnih problemov.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Enostavnejši primer, za sprostitev):
9 2 x - 4 3 x = 0
In za sladico. Poiščite vsoto korenin enačbe:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Da Da! To je enačba mešanega tipa! Česar v tej lekciji nismo upoštevali. Zakaj bi jih upoštevali, treba jih je rešiti!) Ta lekcija je povsem dovolj za rešitev enačbe. No, rabiš iznajdljivost... In naj ti pomaga sedmi razred (to je namig!).
Odgovori (razporejeni, ločeni s podpičji):
1; 2; 3; 4; ni rešitev; 2; -2; -5; 4; 0.
Je vse uspešno? Super.
Tukaj je problem? Brez problema! Posebni oddelek 555 rešuje vse te eksponentne enačbe s podrobnimi razlagami. Kaj, zakaj in zakaj. In seveda obstajajo dodatne dragocene informacije o delu z vsemi vrstami eksponentnih enačb. Ne samo te.)
Še zadnje zabavno vprašanje za razmislek. V tej lekciji smo delali z eksponentnimi enačbami. Zakaj tukaj nisem rekel niti besede o ODZ? Mimogrede, v enačbah je to zelo pomembna stvar ...
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Obiščite youtube kanal našega spletnega mesta, da boste na tekočem z vsemi novimi video lekcijami.
Najprej se spomnimo osnovnih formul potenc in njihovih lastnosti.
Produkt števila a pojavi sam na sebi n-krat, lahko ta izraz zapišemo kot a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potenčne ali eksponentne enačbe– to so enačbe, v katerih so spremenljivke na potencah (ali eksponentih), osnova pa je število.
Primeri eksponentnih enačb:
V tem primeru je številka 6 osnova, vedno je na dnu in spremenljivka x stopnja ali indikator.
Navedimo več primerov eksponentnih enačb.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo eksponentne enačbe?
Vzemimo preprosto enačbo:
2 x = 2 3
Ta primer je mogoče rešiti tudi v glavi. Vidimo lahko, da je x=3. Konec koncev, da bi bili leva in desna stran enaki, morate namesto x postaviti številko 3.
Zdaj pa poglejmo, kako formalizirati to odločitev:
2 x = 2 3
x = 3
Da bi rešili takšno enačbo, smo odstranili enake podlage(torej dvojke) in zapisal, kar je ostalo, to so stopinje. Dobili smo odgovor, ki smo ga iskali.
Zdaj pa povzamemo našo odločitev.
Algoritem za reševanje eksponentne enačbe:
1. Treba je preveriti enako ali ima enačba bazi na desni in levi. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.
2. Ko osnove postanejo enake, enačiti stopinj in rešite nastalo novo enačbo.
Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov:
Začnimo z nečim preprostim.
Bazici na levi in desni strani sta enaki številu 2, kar pomeni, da lahko bazo zavržemo in njuni moči enačimo.
x+2=4 Dobimo najenostavnejšo enačbo.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2
V naslednjem primeru lahko vidite, da sta bazi različni: 3 in 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Najprej premaknite devet na desno stran, dobimo:
Zdaj morate narediti enake podlage. Vemo, da je 9=32. Uporabimo formulo za moč (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dobimo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Zdaj je jasno, da sta osnovici na levi in desni strani enaki in enaki tri, kar pomeni, da ju lahko zavržemo in stopnji izenačimo.
3x=2x+16 dobimo najenostavnejšo enačbo
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Poglejmo si naslednji primer:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Najprej pogledamo baze, baze dve in štiri. In potrebujemo, da so enaki. Štiri transformiramo z uporabo formule (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
In uporabimo tudi eno formulo a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodaj v enačbo:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Iz istih razlogov smo dali primer. Toda druge številke 10 in 24 nas motijo. Kaj storiti z njimi? Če natančno pogledate, lahko vidite, da se na levi strani ponavlja 2 2x, tukaj je odgovor - 2 2x lahko postavimo iz oklepaja:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz v oklepajih:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Celotno enačbo delimo s 6:
Predstavljajmo si 4=2 2:
2 2x = 2 2 osnovi enaki, ju zavržemo in stopnji izenačimo.
2x = 2 je najenostavnejša enačba. Delimo z 2 in dobimo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Rešimo enačbo:
9 x – 12*3 x +27= 0
Pretvorimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobimo enačbo:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše osnove so enake, enake tri. V tem primeru lahko vidite, da imajo prve tri stopnjo dvakrat (2x) kot druge (samo x). V tem primeru lahko rešite nadomestni način. Število nadomestimo z najmanjšo stopnjo:
Potem je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Vse potence x v enačbi zamenjamo s t:
t 2 - 12t+27 = 0
Dobimo kvadratno enačbo. Če rešimo diskriminanto, dobimo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Vrnitev k spremenljivki x.
Vzemite t 1:
t 1 = 9 = 3 x
to je
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Najdena je bila ena korenina. Iščemo drugega iz t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na spletni strani lahko v razdelku POMAGAJ SE ODLOČITIČe imate kakršna koli vprašanja, vam bomo zagotovo odgovorili.
Pridružite se skupini
