Izračun mat pričakovanj. Matematično pričakovanje (povprečje populacije) je

Matematično pričakovanje (povprečna vrednost) naključne spremenljivke X, podane na diskretnem verjetnostnem prostoru, je število m =M[X]=∑x i p i, če niz absolutno konvergira.

Namen storitve. Uporaba spletne storitve izračuna se matematično pričakovanje, varianca in standardni odklon(glej primer). Poleg tega se izriše graf porazdelitvene funkcije F(X).

Lastnosti matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke

1. Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako samemu sebi: M[C]=C, C – konstanta;
2. M=C M[X]
3. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj: M=M[X]+M[Y]
4. Matematično pričakovanje zmnožka neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku njihovih matematičnih pričakovanj: M=M[X] M[Y] , če sta X in Y neodvisna.

Disperzijske lastnosti

1. Varianca konstantne vrednosti je nič: D(c)=0.
2. Konstantni faktor lahko vzamemo izpod disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Če sta naključni spremenljivki X in Y neodvisni, potem je varianca vsote enaka vsoti varianc: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Če sta naključni spremenljivki X in Y odvisni: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Za disperzijo velja naslednja računska formula:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Primer. Znani so matematična pričakovanja in variance dveh neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke Z=9X-8Y+7.
rešitev. Na podlagi lastnosti matematičnega pričakovanja: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na podlagi lastnosti disperzije: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritem za izračun matematičnega pričakovanja

1. Pare pomnožimo enega za drugim: x i s p i .
2. Dodajte zmnožek vsakega para x i p i .
   Na primer, za n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Primer št. 1.

Primer št. 2. Diskretna naključna spremenljivka ima naslednjo porazdelitveno serijo:

rešitev. Vrednost a dobimo iz relacije: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ali 0,24=3 a , od koder je a = 0,08

Primer št. 3. Določite porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke, če je njena varianca znana, in x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

rešitev.
Tukaj morate ustvariti formulo za iskanje variance d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kjer je pričakovanje m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Za naše podatke
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ali -9/100 (x 2 -20x+96)=0
V skladu s tem moramo najti korenine enačbe in obstajala bosta dva.
x 3 =8, x 3 =12
Izberite tisto, ki izpolnjuje pogoj x 1 x 3 =12

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3 =0,1; p 4 =0,3

Naključna spremenljivka Spremenljivka se imenuje spremenljivka, ki kot rezultat vsakega testa prevzame eno prej neznano vrednost, odvisno od naključnih razlogov. Naključne spremenljivke so označene z velikimi latiničnimi črkami: $X,\ Y,\ Z,\ \pike $ Naključne spremenljivke so lahko glede na vrsto diskretno in neprekinjeno.

Diskretna naključna spremenljivka- to je naključna spremenljivka, katere vrednosti ne morejo biti več kot štetne, torej končne ali štetne. S štetnostjo mislimo, da je mogoče vrednosti naključne spremenljivke oštevilčiti.

Primer 1 . Tukaj so primeri diskretnih naključnih spremenljivk:

a) število zadetkov v tarčo z $n$ streli, tukaj so možne vrednosti $0,\ 1,\ \pike ,\ n$.

b) število emblemov, ki so padli pri metanju kovanca, tukaj so možne vrednosti $0,\ 1,\ \pike ,\ n$.

c) število ladij, ki prispejo na krov (štetni niz vrednosti).

d) število klicev, ki prispejo na PBX (štetni niz vrednosti).

1. Zakon verjetnostne porazdelitve diskretne naključne spremenljivke.

Diskretna naključna spremenljivka $X$ lahko zavzame vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ z verjetnostmi $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korespondenca med temi vrednostmi in njihovimi verjetnostmi se imenuje zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Praviloma je to ujemanje določeno s tabelo, katere prva vrstica označuje vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$, druga vrstica pa vsebuje verjetnosti $p_1,\dots ,\ p_n$, ki ustrezajo te vrednote.

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pike & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pike & p_n \\
\hline
\konec(matrika)$

Primer 2 . Naj bo naključna spremenljivka $X$ število vrženih točk pri metanju kocke. Takšna naključna spremenljivka $X$ ima lahko naslednje vrednosti: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Verjetnosti vseh teh vrednosti so enake $1/6$. Potem je zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\konec(matrika)$

Komentiraj. Ker v porazdelitvenem zakonu diskretne naključne spremenljivke $X$ dogodki $1,\ 2,\ \pike ,\ 6$ tvorijo popolno skupino dogodkov, mora biti vsota verjetnosti enaka ena, to je $ \vsota(p_i)=1$.

2. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke.

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke določa svoj »osrednji« pomen. Za diskretno naključno spremenljivko se matematično pričakovanje izračuna kot vsota produktov vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ in verjetnosti $p_1,\dots ,\ p_n$, ki ustrezajo tem vrednostim, to je : $M\levo(X\desno)=\vsota ^n_(i=1)(p_ix_i)$. V literaturi v angleškem jeziku se uporablja drug zapis $E\left(X\right)$.

Lastnosti matematičnega pričakovanja$M\levo(X\desno)$:

1. $M\left(X\right)$ leži med najmanjšo in največjo vrednostjo naključne spremenljivke $X$.
2. Matematično pričakovanje konstante je enako konstanti sami, tj. $M\levo(C\desno)=C$.
3. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka matematičnega pričakovanja: $M\levo(CX\desno)=CM\levo(X\desno)$.
4. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj: $M\levo(X+Y\desno)=M\levo(X\desno)+M\levo(Y\desno)$.
5. Matematično pričakovanje zmnožka neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku njihovih matematičnih pričakovanj: $M\levo(XY\desno)=M\levo(X\desno)M\levo(Y\desno)$.

Primer 3 . Poiščimo matematično pričakovanje naključne spremenljivke $X$ iz primera $2$.

$$M\levo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\nad (6))+2\cdot ((1)\nad (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1 )\nad (6))=3,5.$$

Opazimo lahko, da $M\left(X\right)$ leži med najmanjšo ($1$) in največjo ($6$) vrednostjo naključne spremenljivke $X$.

Primer 4 . Znano je, da je matematično pričakovanje naključne spremenljivke $X$ enako $M\left(X\right)=2$. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke $3X+5$.

Z uporabo zgornjih lastnosti dobimo $M\levo(3X+5\desno)=M\levo(3X\desno)+M\levo(5\desno)=3M\levo(X\desno)+5=3\ cdot 2 +5=11 $.

Primer 5 . Znano je, da je matematično pričakovanje naključne spremenljivke $X$ enako $M\levo(X\desno)=4$. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke $2X-9$.

Z uporabo zgornjih lastnosti dobimo $M\levo(2X-9\desno)=M\levo(2X\desno)-M\levo(9\desno)=2M\levo(X\desno)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzija diskretne slučajne spremenljivke.

Možne vrednosti naključnih spremenljivk z enakimi matematičnimi pričakovanji se lahko različno razpršijo okoli svojih povprečnih vrednosti. Na primer, v dveh skupinah študentov se je povprečna ocena na izpitu iz teorije verjetnosti izkazala za 4, vendar so se v eni skupini vsi izkazali za dobre študente, v drugi skupini pa so bili samo C študenti in odličnjaki. Zato obstaja potreba po numerični karakteristiki naključne spremenljivke, ki bi pokazala širjenje vrednosti naključne spremenljivke okoli njenega matematičnega pričakovanja. Ta lastnost je disperzija.

Varianca diskretne naključne spremenljivke$X$ je enako:

$$D\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(p_i(\levo(x_i-M\levo(X\desno)\desno))^2).\ $$

V angleški literaturi se uporablja zapis $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Zelo pogosto se varianca $D\left(X\right)$ izračuna s formulo $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ levo(X \desno)\desno))^2$.

Disperzijske lastnosti$D\levo(X\desno)$:

1. Varianca je vedno večja ali enaka nič, tj. $D\levo(X\desno)\ge 0$.
2. Varianca konstante je nič, tj. $D\levo(C\desno)=0$.
3. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka disperzije pod pogojem, da je kvadratiran, tj. $D\levo(CX\desno)=C^2D\levo(X\desno)$.
4. Varianca vsote neodvisnih slučajnih spremenljivk je enaka vsoti njihovih varianc, tj. $D\levo(X+Y\desno)=D\levo(X\desno)+D\levo(Y\desno)$.
5. Varianca razlike med neodvisnimi slučajnimi spremenljivkami je enaka vsoti njihovih varianc, tj. $D\levo(X-Y\desno)=D\levo(X\desno)+D\levo(Y\desno)$.

Primer 6 . Izračunajmo varianco naključne spremenljivke $X$ iz primera $2$.

$$D\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(p_i(\levo(x_i-M\levo(X\desno)\desno))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\levo(1-3,5\desno))^2+((1)\nad (6))\cdot (\levo(2-3,5\desno))^2+ \pike +( (1)\nad (6))\cdot (\levo(6-3,5\desno))^2=((35)\nad (12))\približno 2,92.$$

Primer 7 . Znano je, da je varianca naključne spremenljivke $X$ enaka $D\levo(X\desno)=2$. Poiščite varianco naključne spremenljivke $4X+1$.

Z uporabo zgornjih lastnosti najdemo $D\levo(4X+1\desno)=D\levo(4X\desno)+D\levo(1\desno)=4^2D\levo(X\desno)+0= 16D\ levo(X\desno)=16\cdot 2=32$.

Primer 8 . Znano je, da je varianca naključne spremenljivke $X$ enaka $D\levo(X\desno)=3$. Poiščite varianco naključne spremenljivke $3-2X$.

Z uporabo zgornjih lastnosti najdemo $D\levo(3-2X\desno)=D\levo(3\desno)+D\levo(2X\desno)=0+2^2D\levo(X\desno)= 4D\ levo(X\desno)=4\cdot 3=12$.

4. Porazdelitvena funkcija diskretne slučajne spremenljivke.

Metoda predstavitve diskretne naključne spremenljivke v obliki porazdelitvene serije ni edina in, kar je najpomembnejše, ni univerzalna, saj zvezne naključne spremenljivke ni mogoče določiti s porazdelitveno vrsto. Obstaja še en način za predstavitev naključne spremenljivke - distribucijska funkcija.

Distribucijska funkcija naključna spremenljivka $X$ se imenuje funkcija $F\left(x\right)$, ki določa verjetnost, da bo naključna spremenljivka $X$ zavzela vrednost, manjšo od neke fiksne vrednosti $x$, to je $F\ levo(x\desno)=P\levo(X< x\right)$

Lastnosti porazdelitvene funkcije:

1. $0\le F\levo(x\desno)\le 1$.
2. Verjetnost, da bo naključna spremenljivka $X$ prevzela vrednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, je enaka razliki med vrednostmi porazdelitvene funkcije na koncih tega interval: $P\levo(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\desno)$ - ne padajoče.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\desno)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primer 9 . Poiščimo porazdelitveno funkcijo $F\left(x\right)$ za porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke $X$ iz primera $2$.

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\konec(matrika)$

Če je $x\le 1$, potem je očitno $F\left(x\desno)=0$ (vključno z $x=1$ $F\left(1\desno)=P\left(X< 1\right)=0$).

Če 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Če 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Če 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Če 4 $< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Če 5 $< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Če je $x > 6$, potem $F\levo(x\desno)=P\levo(X=1\desno)+P\levo(X=2\desno)+P\levo(X=3\desno) +P\levo(X=4\desno)+P\levo(X=5\desno)+P\levo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Torej $F(x)=\levo\(\begin(matrix)
0,\ pri\ x\le 1,\\
1/6, pri \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, pri \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ na\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ na\ 4< x\le 5,\\
1,\ za\ x > 6.
\konec(matrika)\desno.$

Kot je že znano, distribucijski zakon popolnoma karakterizira naključno spremenljivko. Vendar pa je zakon porazdelitve pogosto neznan in se je treba omejiti na manj informacij. Včasih je celo bolj dobičkonosno uporabiti števila, ki opisujejo skupno naključno spremenljivko; takšne številke se imenujejo numerične značilnosti naključne spremenljivke. Ena od pomembnih numeričnih karakteristik je matematično pričakovanje.

Matematično pričakovanje je, kot bo prikazano v nadaljevanju, približno enako povprečni vrednosti naključne spremenljivke. Za rešitev številnih problemov je dovolj poznati matematično pričakovanje. Na primer, če je znano, da je matematično pričakovanje števila točk, ki jih doseže prvi strelec, večje od števila točk drugega, potem prvi strelec v povprečju doseže več točk kot drugi in zato bolje strelja. kot drugi. Čeprav matematično pričakovanje zagotavlja veliko manj informacij o naključni spremenljivki kot zakon njene porazdelitve, je poznavanje matematičnega pričakovanja dovolj za reševanje problemov, kot je zgornji in mnogih drugih.

§ 2. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Matematično pričakovanje Diskretna naključna spremenljivka je vsota produktov vseh možnih vrednosti in njihovih verjetnosti.

Naj naključna spremenljivka X lahko sprejme samo vrednosti X 1 , X 2 , ..., X p , katerih verjetnosti sta enaki R 1 , R 2 , . . ., R p . Nato matematično pričakovanje M(X) naključna spremenljivka X je določena z enakostjo

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n str n .

Če je diskretna naključna spremenljivka X potem sprejme šteto množico možnih vrednosti

M(X)=

Še več, matematično pričakovanje obstaja, če vrsta na desni strani enakosti absolutno konvergira.

Komentiraj. Iz definicije sledi, da je matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke nenaključna (konstantna) količina. Priporočamo, da si zapomnite to izjavo, saj bo kasneje večkrat uporabljena. Kasneje bo prikazano, da je tudi matematično pričakovanje zvezne naključne spremenljivke konstantna vrednost.

Primer 1. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X, poznavanje zakona njegove porazdelitve:

rešitev. Zahtevano matematično pričakovanje je enako vsoti produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in njihovih verjetnosti:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Primer 2. Poiščite matematično pričakovanje števila pojavitev dogodka A v enem poskusu, če je verjetnost dogodka A enako R.

rešitev. Naključna vrednost X - število ponovitev dogodka A v enem testu - lahko sprejme samo dve vrednosti: X 1 = 1 (dogodek A zgodilo) z verjetnostjo R in X 2 = 0 (dogodek A ni prišlo) z verjetnostjo q= 1 -R. Zahtevano matematično pričakovanje

M(X)= 1* str+ 0* q= str

Torej, matematično pričakovanje števila pojavitev dogodka v enem poskusu je enako verjetnosti tega dogodka. Ta rezultat bo uporabljen spodaj.

§ 3. Verjetnotni pomen matematičnega pričakovanja

Naj se proizvaja p testi, pri katerih naključna spremenljivka X sprejeto T 1 kratna vrednost X 1 , T 2 kratna vrednost X 2 ,...,m k kratna vrednost x k , in T 1 + T 2 + …+t Za = str. Nato vsota vseh vzetih vrednosti X, enako

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Za T Za .

Poiščimo aritmetično sredino vse vrednosti, ki jih sprejme naključna spremenljivka, za katero najdeno vsoto delimo s skupnim številom testov:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Za T Za)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X Za (T Za /P). (*)

Opaziti, da odnos m 1 / n- relativna frekvenca W 1 vrednote X 1 , m 2 / n - relativna frekvenca W 2 vrednote X 2 itd., relacijo (*) zapišemo takole:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X Za W k . (**)

Predpostavimo, da je število testov dovolj veliko. Potem je relativna pogostost približno enaka verjetnosti, da se dogodek zgodi (to bo dokazano v poglavju IX, § 6):

W 1 str 1 , W 2 str 2 , …, W k str k .

Če zamenjamo relativne frekvence z ustreznimi verjetnostmi v razmerju (**), dobimo

x 1 str 1 + X 2 R 2 + … + X Za R Za .

Desna stran te približne enakosti je M(X). Torej,

M(X).

Verjetnotni pomen dobljenega rezultata je naslednji: matematično pričakovanje približno enako(bolj natančno, večje je število testov) aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke.

Opomba 1. Lahko je razumeti, da je matematično pričakovanje večje od najmanjše in manjše od največje možne vrednosti. Z drugimi besedami, na številski premici se možne vrednosti nahajajo levo in desno od matematičnega pričakovanja. V tem smislu matematično pričakovanje označuje lokacijo porazdelitve in se zato pogosto imenuje distribucijski center.

Ta izraz je izposojen iz mehanike: če mase R 1 , R 2 , ..., R p ki se nahajajo na abscisnih točkah x 1 , X 2 , ..., X n, in
potem pa abscisa težišča

x c =
.

Glede na to
= M (X) in
dobimo M(X)= x z .

Torej je matematično pričakovanje abscisa težišča sistema materialnih točk, katerih abscise so enake možnim vrednostim naključne spremenljivke, mase pa so enake njihovim verjetnostim.

Opomba 2. Izvor izraza "matematično pričakovanje" je povezan z začetnim obdobjem nastanka teorije verjetnosti (XVI - XVII stoletja), ko je bil obseg njene uporabe omejen na igre na srečo. Igralca je zanimala povprečna vrednost pričakovanega dobitka ali z drugimi besedami matematično pričakovanje dobitka.

Naloga 1. Verjetnost kalitve semena pšenice je 0,9. Kolikšna je verjetnost, da bodo od štirih posejanih semen vzklila vsaj tri?

rešitev. Naj dogodek A– iz 4 semen poženejo vsaj 3 semena; dogodek IN– iz 4 semen poženejo 3 semena; dogodek Z– iz 4 semen vzklijejo 4 semena. Po izreku seštevanja verjetnosti

Verjetnosti
in
določimo z Bernoullijevo formulo, uporabljeno v naslednjem primeru. Naj serija ostane p neodvisni testi, med katerimi je verjetnost dogodka konstantna in enaka R, in verjetnost, da se ta dogodek ne zgodi, je enaka
. Potem verjetnost, da dogodek A V p testi bodo prikazani točno krat, izračunan z Bernoullijevo formulo

,

Kje
– število kombinacij p elementi po . Potem

Zahtevana verjetnost

Naloga 2. Verjetnost kalitve semena pšenice je 0,9. Poiščite verjetnost, da bo od 400 posejanih semen vzklilo 350 semen.

rešitev. Izračunajte zahtevano verjetnost
uporaba Bernoullijeve formule je težavna zaradi okornosti izračunov. Zato uporabimo približno formulo, ki izraža Laplaceov lokalni izrek:

,

Kje
in
.

Iz težavnih pogojev. Potem

.

Iz tabele 1 prilog najdemo. Zahtevana verjetnost je enaka

Naloga 3. Semena pšenice vsebujejo 0,02 % plevela. Kakšna je verjetnost, da bo, če naključno izberemo 10.000 semen, najdenih 6 semen plevela?

rešitev. Uporaba Laplaceovega lokalnega izreka zaradi majhne verjetnosti
vodi do znatnega odstopanja verjetnosti od natančne vrednosti
. Zato pri majhnih vrednostih R izračunati
uporabite asimptotično Poissonovo formulo

, Kje .

Ta formula se uporablja, ko
, in čim manj R in več p, bolj natančen je rezultat.

Glede na pogoje problema
;
. Potem

Naloga 4. Odstotek kalivosti semen pšenice je 90%. Poiščite verjetnost, da bo od 500 posejanih semen vzklilo od 400 do 440 semen.

rešitev. Če je verjetnost nastanka dogodka A v vsakem p testov stalna in enaka R, potem verjetnost
da dogodek A v takih testih ne bo nič manj enkrat in nič več časi, določeni z Laplaceovim integralnim izrekom z naslednjo formulo:

, Kje

,
.

funkcija
imenovana Laplaceova funkcija. Dodatki (tabela 2) podajajo vrednosti te funkcije za
. pri
funkcijo
. Za negativne vrednosti X zaradi nenavadnosti Laplaceove funkcije
. Z uporabo Laplaceove funkcije imamo:

Glede na pogoje naloge. Z uporabo zgornjih formul najdemo
in :

Naloga 5. Podan je zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke X:

2. Poiščite: 1) matematično pričakovanje; 2) disperzija; 3) standardni odklon.

rešitev. 1) Če je zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke podan s tabelo

2. Če prva vrstica vsebuje vrednosti naključne spremenljivke x, druga vrstica pa vsebuje verjetnosti teh vrednosti, se matematično pričakovanje izračuna po formuli

2) Varianca
diskretna naključna spremenljivka X se imenuje matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja, tj.

Ta vrednost označuje povprečno pričakovano vrednost kvadrata odstopanja X od
. Iz zadnje formule, ki jo imamo

Varianca
lahko najdemo na drug način, na podlagi njegove naslednje lastnosti: disperzije
enaka razliki med matematičnim pričakovanjem kvadrata naključne spremenljivke X in kvadrat njegovega matematičnega pričakovanja
, to je

Za izračun
sestavimo naslednji zakon porazdelitve količine
:

3) Za karakterizacijo razpršenosti možnih vrednosti naključne spremenljivke okoli njene povprečne vrednosti je uveden standardni odklon
naključna spremenljivka X, enako kvadratnemu korenu variance
, to je

.

Iz te formule imamo:

Naloga 6. Zvezna naključna spremenljivka X podana s kumulativno porazdelitveno funkcijo

Poišči: 1) diferencialno porazdelitveno funkcijo
; 2) matematično pričakovanje
; 3) odstopanje
.

rešitev. 1) Funkcija diferencialne porazdelitve
zvezna naključna spremenljivka X se imenuje odvod kumulativne porazdelitvene funkcije
, to je

.

Iskana diferencialna funkcija ima naslednjo obliko:

2) Če je zvezna naključna spremenljivka X podana s funkcijo
, potem je njegovo matematično pričakovanje določeno s formulo

Od funkcije
pri
in pri
je enako nič, potem iz zadnje formule, ki jo imamo

.

3) Varianca
bomo določili s formulo

Naloga 7. Dolžina dela je normalno porazdeljena naključna spremenljivka z matematičnim pričakovanjem 40 mm in standardnim odklonom 3 mm. Ugotovite: 1) verjetnost, da bo dolžina poljubno vzetega dela večja od 34 mm in manjša od 43 mm; 2) verjetnost, da bo dolžina dela odstopala od svojega matematičnega pričakovanja za največ 1,5 mm.

rešitev. 1) Naj X– dolžina dela. Če je naključna spremenljivka X podana z diferencialno funkcijo
, potem je verjetnost, da X bo prevzel vrednosti, ki pripadajo segmentu
, se določi s formulo

.

Verjetnost strogih neenakosti
se določi z isto formulo. Če je naključna spremenljivka X se porazdeli po običajnem zakonu, torej

, (1)

Kje
– Laplaceova funkcija,
.

V problemu. Potem

2) Glede na pogoje problema, kje
. Če nadomestimo v (1), imamo

. (2)

Iz formule (2) imamo.

Pričakovanje je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke

Matematično pričakovanje, definicija, matematično pričakovanje diskretnih in zveznih naključnih spremenljivk, vzorec, pogojno pričakovanje, izračun, lastnosti, problemi, ocena pričakovanja, disperzija, porazdelitvena funkcija, formule, primeri izračuna

Razširi vsebino

Strni vsebino

Definicija je matematično pričakovanje

Eden najpomembnejših konceptov v matematični statistiki in teoriji verjetnosti, ki opisuje porazdelitev vrednosti ali verjetnosti naključne spremenljivke. Običajno izraženo kot tehtano povprečje vseh možnih parametrov naključne spremenljivke. Pogosto se uporablja v tehnični analizi, preučevanju številskih nizov in preučevanju neprekinjenih in dolgotrajnih procesov. Pomemben je pri ocenjevanju tveganj, napovedovanju kazalnikov cen pri trgovanju na finančnih trgih in se uporablja pri razvoju strategij in metod igralne taktike v teoriji iger na srečo.

Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke obravnavana v teoriji verjetnosti.

Matematično pričakovanje je merilo povprečne vrednosti naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Pričakovanje naključne spremenljivke x označen z M(x).

Matematično pričakovanje je

Matematično pričakovanje je v teoriji verjetnosti tehtano povprečje vseh možnih vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka.

Matematično pričakovanje je vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.

Matematično pričakovanje je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je tako odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikega števila in velike razdalje.

Matematično pričakovanje je v teoriji iger na srečo znesek dobitkov, ki jih lahko igralec v povprečju zasluži ali izgubi za vsako stavo. V igralniškem jeziku se to včasih imenuje "igralčeva prednost" (če je pozitivna za igralca) ali "hišna prednost" (če je negativna za igralca).

Matematično pričakovanje je odstotek dobička na zmago, pomnožen s povprečnim dobičkom, minus verjetnost izgube, pomnožena s povprečno izgubo.

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke v matematični teoriji

Ena od pomembnih numeričnih značilnosti naključne spremenljivke je njeno matematično pričakovanje. Uvedimo koncept sistema naključnih spremenljivk. Oglejmo si nabor naključnih spremenljivk, ki so rezultati istega naključnega poskusa. Če je ena od možnih vrednosti sistema, potem dogodek ustreza določeni verjetnosti, ki zadovoljuje Kolmogorove aksiome. Funkcija, definirana za vse možne vrednosti naključnih spremenljivk, se imenuje skupni zakon porazdelitve. Ta funkcija vam omogoča izračun verjetnosti vseh dogodkov iz. Zlasti zakon skupne porazdelitve naključnih spremenljivk in , ki vzamejo vrednosti iz množice in , je podan z verjetnostmi.

Izraz »matematično pričakovanje« je uvedel Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) in izhaja iz koncepta »pričakovane vrednosti dobitkov«, ki se je prvič pojavil v 17. stoletju v teoriji iger na srečo v delih Blaisa Pascala in Christiana. Huygens. Vendar pa je prvo celovito teoretično razumevanje in oceno tega koncepta podal Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredi 19. stoletja).

Porazdelitveni zakon naključnih številskih spremenljivk (porazdelitvena funkcija in porazdelitveni niz ali gostota verjetnosti) popolnoma opiše obnašanje naključne spremenljivke. Toda v številnih težavah je dovolj poznati nekatere numerične značilnosti preučevane količine (na primer njeno povprečno vrednost in morebitno odstopanje od nje), da bi odgovorili na zastavljeno vprašanje. Glavne numerične značilnosti naključnih spremenljivk so matematično pričakovanje, varianca, način in mediana.

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti. Včasih se matematično pričakovanje imenuje tehtano povprečje, saj je približno enako aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke v velikem številu poskusov. Iz definicije matematičnega pričakovanja izhaja, da njegova vrednost ni manjša od najmanjše možne vrednosti naključne spremenljivke in ne večja od največje. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je nenaključna (konstantna) spremenljivka.

Matematično pričakovanje ima preprost fizikalni pomen: če enoto mase postavite na ravno črto, postavite določeno maso na nekaj točk (za diskretno porazdelitev) ali jo "razmažete" z določeno gostoto (za absolutno zvezno porazdelitev), , potem bo točka, ki ustreza matematičnim pričakovanjem, koordinata "težišče" ravna.

Povprečna vrednost naključne spremenljivke je določeno število, ki je tako rekoč njen »predstavnik« in jo nadomešča v približno približnih izračunih. Ko rečemo: »povprečni čas delovanja svetilke je 100 ur« ali »povprečna točka udarca je premaknjena glede na tarčo za 2 m v desno«, nakazujemo določeno numerično karakteristiko naključne spremenljivke, ki opisuje njeno lokacijo. na numerični osi, tj. "pozicijske značilnosti".

Od značilnosti položaja v teoriji verjetnosti ima najpomembnejšo vlogo matematično pričakovanje naključne spremenljivke, ki se včasih imenuje preprosto povprečna vrednost naključne spremenljivke.

Upoštevajte naključno spremenljivko X, ki ima možne vrednosti x1, x2, …, xn z verjetnostmi p1, p2, …, pn. Z določeno številko moramo označiti položaj vrednosti naključne spremenljivke na osi x, pri čemer upoštevamo dejstvo, da imajo te vrednosti različne verjetnosti. V ta namen je naravno uporabiti tako imenovano "uteženo povprečje" vrednosti xi, in vsako vrednost xi med povprečenjem je treba upoštevati z "utežjo", sorazmerno z verjetnostjo te vrednosti. Tako bomo izračunali povprečje naključne spremenljivke X, ki ga označujemo M |X|:

To tehtano povprečje se imenuje matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Tako smo v obravnavo uvedli enega najpomembnejših konceptov teorije verjetnosti - koncept matematičnega pričakovanja. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.

Naj se proizvaja n neodvisni poskusi, v vsakem od katerih vrednost X prevzame določeno vrednost. Predpostavimo, da vrednost x1 pojavil m1 krat, vrednost x2 pojavil m2časi, splošni pomen xi pojavil mi krat. Izračunajmo aritmetično sredino opazovanih vrednosti vrednosti X, ki v nasprotju z matematičnim pričakovanjem M|X| označujemo M*|X|:

Z naraščajočim številom poskusov n frekvence pi se bo približala (konvergirala v verjetnosti) ustreznim verjetnostim. Posledično je aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke M|X| s povečanjem števila poskusov se bo približala (konvergirala v verjetnosti) svojemu matematičnemu pričakovanju. Zgoraj oblikovana povezava med aritmetično sredino in matematičnim pričakovanjem je vsebina ene od oblik zakona velikih števil.

Vemo že, da vse oblike zakona velikih števil navajajo dejstvo, da so nekatera povprečja stabilna v velikem številu poskusov. Tu govorimo o stabilnosti aritmetične sredine iz niza opazovanj iste količine. Pri majhnem številu poskusov je aritmetična sredina njihovih rezultatov naključna; z zadostnim povečanjem števila poskusov postane "skoraj nenaključno" in se s stabilizacijo približa konstantni vrednosti - matematičnemu pričakovanju.

Stabilnost povprečij v velikem številu poskusov je mogoče enostavno eksperimentalno preveriti. Na primer, pri tehtanju telesa v laboratoriju na natančnih tehtnicah dobimo kot rezultat tehtanja vsakič novo vrednost; Da zmanjšamo napako opazovanja, telo večkrat stehtamo in uporabimo aritmetično sredino dobljenih vrednosti. Lahko vidimo, da se z nadaljnjim povečevanjem števila poskusov (tehtanj) aritmetična sredina vedno manj odziva na to povečanje in se pri dovolj velikem številu poskusov praktično ne spreminja več.

Opozoriti je treba, da najpomembnejša značilnost položaja naključne spremenljivke - matematično pričakovanje - ne obstaja za vse naključne spremenljivke. Možno je sestaviti primere takih naključnih spremenljivk, za katere matematično pričakovanje ne obstaja, saj ustrezna vsota ali integral divergira. Vendar takšni primeri za prakso niso pomembnejši. Običajno imajo naključne spremenljivke, s katerimi imamo opravka, omejen obseg možnih vrednosti in imajo seveda matematično pričakovanje.

Poleg najpomembnejših značilnosti položaja naključne spremenljivke - matematičnega pričakovanja - se v praksi včasih uporabljajo tudi druge značilnosti položaja, zlasti način in mediana naključne spremenljivke.

Modus naključne spremenljivke je njena najverjetnejša vrednost. Izraz "najverjetnejša vrednost" strogo gledano velja samo za diskontinuirane količine; za zvezno količino je način vrednost, pri kateri je gostota verjetnosti največja. Slike prikazujejo način za diskontinuirane oziroma zvezne naključne spremenljivke.

Če ima poligon porazdelitve (krivulja porazdelitve) več kot en maksimum, se porazdelitev imenuje "multimodalna".

Včasih obstajajo distribucije, ki imajo minimum na sredini in ne maksimum. Takšne porazdelitve imenujemo "antimodalne".

V splošnem primeru način in matematično pričakovanje naključne spremenljivke ne sovpadata. V posebnem primeru, ko je porazdelitev simetrična in modalna (tj. ima način) in obstaja matematično pričakovanje, potem sovpada z načinom in središčem simetrije porazdelitve.

Pogosto se uporablja še ena karakteristika položaja - tako imenovana mediana naključne spremenljivke. Ta lastnost se običajno uporablja samo za zvezne naključne spremenljivke, čeprav jo je mogoče formalno definirati za diskontinuirano spremenljivko. Geometrično je mediana abscisa točke, v kateri je območje, ki ga oklepa porazdelitvena krivulja, razdeljeno na pol.

V primeru simetrične modalne porazdelitve mediana sovpada z matematičnim pričakovanjem in modusom.

Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke - numerična značilnost verjetnostne porazdelitve naključne spremenljivke. Na najbolj splošen način, matematično pričakovanje naključne spremenljivke X(w) definiran kot Lebesgueov integral glede na verjetnostno mero R v prvotnem verjetnostnem prostoru:

Matematično pričakovanje je mogoče izračunati tudi kot Lebesgueov integral X z verjetnostno porazdelitvijo px količine X:

Koncept naključne spremenljivke z neskončnim matematičnim pričakovanjem je mogoče definirati na naraven način. Tipičen primer so povratni časi nekaterih naključnih sprehodov.

Z uporabo matematičnega pričakovanja se določijo številne numerične in funkcionalne značilnosti porazdelitve (kot matematično pričakovanje ustreznih funkcij naključne spremenljivke), na primer tvorna funkcija, značilna funkcija, trenutki katerega koli reda, zlasti disperzija, kovarianca. .

Matematično pričakovanje je značilnost lokacije vrednosti naključne spremenljivke (povprečna vrednost njene porazdelitve). V tej vlogi služi matematično pričakovanje kot nek "tipični" porazdelitveni parameter in njegova vloga je podobna vlogi statičnega momenta - koordinate težišča porazdelitve mase - v mehaniki. Od drugih značilnosti lokacije, s pomočjo katerih je porazdelitev opisana na splošno - mediane, modusi, se matematično pričakovanje razlikuje po večji vrednosti, ki jo imata in pripadajoča karakteristika sipanja - disperzija - v mejnih izrekih teorije verjetnosti. Pomen matematičnega pričakovanja najpopolneje razkrivata zakon velikih števil (neenakost Čebiševa) in okrepljeni zakon velikih števil.

Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Naj obstaja neka naključna spremenljivka, ki lahko sprejme eno od več številskih vrednosti (na primer, število točk pri metanju kocke je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ali 6). Pogosto se v praksi za tako vrednost pojavi vprašanje: kakšno vrednost ima "v povprečju" z velikim številom testov? Kakšen bo naš povprečni dohodek (ali izguba) iz vsake od tveganih transakcij?

Recimo, da obstaja nekakšna loterija. Želimo razumeti, ali je donosno ali ne sodelovati pri tem (ali celo sodelovati večkrat, redno). Recimo, da je zmagovalna vsaka četrta vstopnica, nagrada bo 300 rubljev, cena katere koli vstopnice pa 100 rubljev. Pri neskončno velikem številu udeležb se to zgodi. V treh četrtinah primerov bomo izgubili, vsake tri izgube bodo stale 300 rubljev. V vsakem četrtem primeru bomo dobili 200 rubljev. (nagrada minus stroški), to pomeni, da za štiri udeležbe izgubimo v povprečju 100 rubljev, za eno - v povprečju 25 rubljev. Skupaj bo povprečna stopnja naše ruševine 25 rubljev na vozovnico.

Vržemo kocke. Če ne gre za goljufanje (brez premikanja težišča ipd.), koliko točk bomo imeli v povprečju naenkrat? Ker je vsaka možnost enako verjetna, preprosto vzamemo aritmetično sredino in dobimo 3,5. Ker je to POVPREČJE, ni treba biti ogorčen, da noben določen met ne bo dal 3,5 točke - no, ta kocka nima obraza s tako številko!

Zdaj pa povzemimo naše primere:

Poglejmo pravkar prikazano sliko. Na levi je tabela porazdelitve naključne spremenljivke. Vrednost X lahko sprejme eno od n možnih vrednosti (prikazano v zgornji vrstici). Drugih pomenov ne more biti. Pod vsako možno vrednostjo je njena verjetnost. Na desni je formula, kjer se M(X) imenuje matematično pričakovanje. Pomen te vrednosti je, da se bo pri velikem številu testov (z velikim vzorcem) povprečna vrednost nagibala k temu istemu matematičnemu pričakovanju.

Vrnimo se spet k isti igralni kocki. Matematično pričakovanje števila točk pri metu je 3,5 (če ne verjamete, izračunajte sami po formuli). Recimo, da si ga nekajkrat vrgel. Rezultata sta bila 4 in 6. Povprečje je bilo 5, kar je daleč od 3,5. Vrgli so ga še enkrat, dobili so 3, torej v povprečju (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333 ... Nekako daleč od matematičnega pričakovanja. Sedaj pa naredite nor eksperiment - kocko zavrtite 1000-krat! In tudi če povprečje ne bo ravno 3,5, bo blizu tega.

Izračunajmo matematično pričakovanje za zgoraj opisano loterijo. Plošča bo izgledala takole:

Potem bo matematično pričakovanje, kot smo ugotovili zgoraj:

Druga stvar je, da bi bilo to narediti "na prste", brez formule, težko, če bi bilo več možnosti. No, recimo, da bi bilo 75 % izgubljenih listkov, 20 % zmagovalnih listkov in 5 % posebej zmagovalnih.

Zdaj pa nekaj lastnosti matematičnega pričakovanja.

To je enostavno dokazati:

Konstantni faktor lahko vzamemo kot znak matematičnega pričakovanja, to je:

To je poseben primer lastnosti linearnosti matematičnega pričakovanja.

Druga posledica linearnosti matematičnega pričakovanja:

to pomeni, da je matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk enako vsoti matematičnih pričakovanj naključnih spremenljivk.

Naj sta X, Y neodvisni naključni spremenljivki, potem:

To je tudi enostavno dokazati) Delo XY sama je naključna spremenljivka in če bi začetne vrednosti lahko sprejele n in m vrednosti v skladu s tem XY lahko sprejme vrednosti nm. Verjetnost posamezne vrednosti se izračuna na podlagi dejstva, da se verjetnosti neodvisnih dogodkov pomnožijo. Kot rezultat dobimo tole:

Pričakovanje zvezne naključne spremenljivke

Neprekinjene naključne spremenljivke imajo tako značilnost, kot je gostota porazdelitve (gostota verjetnosti). V bistvu označuje situacijo, da naključna spremenljivka vzame nekatere vrednosti iz niza realnih števil pogosteje, nekatere pa redkeje. Na primer, razmislite o tem grafu:

Tukaj X- dejanska naključna spremenljivka, f(x)- gostota porazdelitve. Sodeč po tem grafu je med poskusi vrednost X bo pogosto število blizu ničle. Možnosti so presežene 3 ali biti manjši -3 prej čisto teoretično.

Naj obstaja na primer enotna porazdelitev:

To je povsem skladno z intuitivnim razumevanjem. Recimo, če prejmemo veliko naključnih realnih števil z enakomerno porazdelitvijo, vsak segment |0; 1| , potem bi morala biti aritmetična sredina približno 0,5.

Lastnosti matematičnega pričakovanja - linearnost itd., ki veljajo za diskretne naključne spremenljivke, veljajo tudi tukaj.

Povezava med matematičnim pričakovanjem in drugimi statističnimi indikatorji

V statistični analizi poleg matematičnega pričakovanja obstaja sistem medsebojno odvisnih kazalnikov, ki odražajo homogenost pojavov in stabilnost procesov. Indikatorji variacije pogosto nimajo samostojnega pomena in se uporabljajo za nadaljnjo analizo podatkov. Izjema je koeficient variacije, ki označuje homogenost podatkov, kar je dragocena statistična značilnost.

Stopnjo variabilnosti oziroma stabilnosti procesov v statistični znanosti lahko merimo z več indikatorji.

Najpomembnejši indikator, ki označuje variabilnost naključne spremenljivke, je Razpršenost, ki je najtesneje in neposredno povezana z matematičnim pričakovanjem. Ta parameter se aktivno uporablja v drugih vrstah statistične analize (testiranje hipotez, analiza vzročno-posledičnih razmerij itd.). Tako kot povprečno linearno odstopanje tudi varianca odraža obseg širjenja podatkov okoli srednje vrednosti.

Jezik znakov je koristno prevesti v jezik besed. Izkazalo se je, da je disperzija povprečni kvadrat odstopanj. To pomeni, da se najprej izračuna povprečna vrednost, nato se razlika med vsako izvirno in povprečno vrednostjo vzame, kvadrira, doda in nato deli s številom vrednosti v populaciji. Razlika med posamezno vrednostjo in povprečjem odraža mero odstopanja. Kvadrira se tako, da postanejo vsa odstopanja izključno pozitivna števila in da se izognemo medsebojnemu uničenju pozitivnih in negativnih odstopanj pri njihovem seštevanju. Nato glede na kvadrat odstopanja preprosto izračunamo aritmetično sredino. Povprečje - kvadrat - odstopanja. Odstopanja se kvadrirajo in izračuna se povprečje. Odgovor na čarobno besedo »razpršenost« se skriva v samo treh besedah.

Vendar pa se disperzija v svoji čisti obliki, kot je aritmetična sredina ali indeks, ne uporablja. Je bolj pomožni in vmesni indikator, ki se uporablja za druge vrste statističnih analiz. Niti običajne merske enote nima. Sodeč po formuli je to kvadrat merske enote izvirnih podatkov.

Izmerimo naključno spremenljivko n krat, na primer desetkrat izmerimo hitrost vetra in želimo najti povprečno vrednost. Kako je povprečna vrednost povezana s porazdelitveno funkcijo?

Ali pa bomo kocko metali velikokrat. Število točk, ki se bo pojavilo na kocki ob vsakem metu, je naključna spremenljivka in ima lahko poljubno naravno vrednost od 1 do 6. Aritmetična sredina izpadlih točk, izračunana za vse mete kocke, je prav tako naključna spremenljivka, vendar za velike n nagiba se k zelo specifičnemu številu – matematičnim pričakovanjem Mx. V tem primeru je Mx = 3,5.

Kako ste dobili to vrednost? Spustiti noter n testi n1 1 točka se vrže enkrat n2 enkrat - 2 točki in tako naprej. Nato število izidov, pri katerih je padla ena točka:

Podobno velja za rezultate, ko se vržejo 2, 3, 4, 5 in 6 točk.

Predpostavimo zdaj, da poznamo zakon porazdelitve naključne spremenljivke x, to pomeni, da vemo, da lahko naključna spremenljivka x zavzame vrednosti x1, x2, ..., xk z verjetnostmi p1, p2, ..., pak.

Matematično pričakovanje Mx naključne spremenljivke x je enako:

Matematično pričakovanje ni vedno razumna ocena neke naključne spremenljivke. Torej je za oceno povprečne plače bolj smiselno uporabiti koncept mediane, to je takšne vrednosti, da število ljudi, ki prejemajo plačo, nižjo od mediane, in višjo sovpada.

Verjetnost p1, da bo naključna spremenljivka x manjša od x1/2, in verjetnost p2, da bo naključna spremenljivka x večja od x1/2, sta enaki in enaki 1/2. Mediana ni določena enolično za vse porazdelitve.

Standardno ali standardno odstopanje v statistiki se imenuje stopnja odstopanja opazovalnih podatkov ali nizov od POVPREČNE vrednosti. Označeno s črkama s ali s. Majhna standardna deviacija kaže, da se podatki združujejo okoli povprečja, medtem ko velika standardna deviacija kaže, da so začetni podatki daleč od nje. Standardni odklon je enak kvadratnemu korenu količine, imenovane varianca. Je povprečje vsote kvadratov razlik začetnih podatkov, ki odstopajo od povprečne vrednosti. Standardni odklon naključne spremenljivke je kvadratni koren variance:

Primer. V preskusnih pogojih pri streljanju na tarčo izračunajte disperzijo in standardni odklon naključne spremenljivke:

Različica- nihanje, spremenljivost vrednosti lastnosti med enotami populacije. Posamezne številčne vrednosti značilnosti, ki jih najdemo v proučevani populaciji, se imenujejo različice vrednosti. Nezadostnost povprečne vrednosti za popolno karakterizacijo populacije nas prisili, da povprečne vrednosti dopolnimo s kazalniki, ki nam omogočajo, da ocenimo tipičnost teh povprečij z merjenjem variabilnosti (variabilnosti) značilnosti, ki se preučuje. Koeficient variacije se izračuna po formuli:

Razpon variacije(R) predstavlja razliko med najvišjo in najmanjšo vrednostjo atributa v proučevani populaciji. Ta indikator daje najbolj splošno predstavo o spremenljivosti značilnosti, ki se preučuje, saj prikazuje razliko le med največjimi vrednostmi možnosti. Odvisnost od skrajnih vrednosti značilnosti daje obsegu variacije nestabilen, naključen značaj.

Povprečno linearno odstopanje predstavlja aritmetično sredino absolutnih (modulo) odstopanj vseh vrednosti analizirane populacije od njihove povprečne vrednosti:

Matematično pričakovanje v teoriji iger na srečo

Matematično pričakovanje je Povprečni znesek denarja, ki ga igralec lahko dobi ali izgubi pri dani stavi. To je zelo pomemben koncept za igralca, ker je temeljnega pomena za oceno večine igralnih situacij. Matematično pričakovanje je tudi optimalno orodje za analizo osnovnih postavitev kart in igralnih situacij.

Recimo, da s prijateljem igrate igro na kovance in vsakič stavite enako 1 $, ne glede na to, kaj se pojavi. Repi pomenijo zmago, glave pomenijo poraze. Kvote so ena proti ena, da bo prišlo do dvoboja, zato stavite 1 dolar proti 1 dolarju. Tako je vaše matematično pričakovanje nič, ker Z matematičnega vidika ne morete vedeti, ali boste vodili ali izgubili po dveh metih ali po 200.

Vaš urni dobiček je nič. Urni dobitek je znesek denarja, za katerega pričakujete, da ga boste osvojili v eni uri. V eni uri lahko vržete kovanec 500-krat, vendar ne boste zmagali ali izgubili, ker... vaše možnosti niso niti pozitivne niti negativne. Če pogledate, z vidika resnega igralca ta sistem stav ni slab. Ampak to je preprosto izguba časa.

Toda recimo, da želi nekdo staviti 2 USD proti vašim 1 USD na isto igro. Potem imate takoj pozitivno pričakovanje 50 centov od vsake stave. Zakaj 50 centov? V povprečju eno stavo dobite in drugo izgubite. Stavite prvi dolar in izgubite 1 $, stavite drugega in osvojite 2 $. Dvakrat stavite 1 $ in vodite za 1 $. Torej vam je vsaka vaša stava za en dolar prinesla 50 centov.

Če se kovanec pojavi 500-krat v eni uri, bo vaš urni dobitek že 250 $, ker... V povprečju ste 250-krat izgubili en dolar in 250-krat dobili dva dolarja. 500 $ minus 250 $ je enako 250 $, kar je skupni dobitek. Upoštevajte, da je pričakovana vrednost, ki je povprečni znesek, ki ga dobite na stavo, 50 centov. Z 500-kratno stavo enega dolarja ste osvojili 250 $, kar je enako 50 centov na stavo.

Matematično pričakovanje nima nobene zveze s kratkoročnimi rezultati. Vaš nasprotnik, ki se je odločil staviti 2 $ proti vam, bi vas lahko premagal pri prvih desetih metih zapored, vendar boste vi, če imate stavno prednost 2 proti 1, ob drugih enakih pogojih, zaslužili 50 centov za vsako stavo 1 $ v katerem koli okoliščine. Ni pomembno, ali dobite ali izgubite eno stavo ali več stav, če imate dovolj denarja za udobno pokritje stroškov. Če nadaljujete s stavami na enak način, se bodo vaši dobitki v daljšem časovnem obdobju približali vsoti pričakovanj v posameznih metih.

Vsakič, ko sklenete najboljšo stavo (stavo, ki se lahko dolgoročno izkaže za donosno), ko so kvote v vašo korist, boste zagotovo nekaj dobili, ne glede na to, ali ste izgubili ali ne v dana roka. Nasprotno pa, če sklenete stavo underdog (stavo, ki je dolgoročno nedonosna), ko so kvote proti vam, nekaj izgubite ne glede na to, ali zmagate ali izgubite kombinacijo.

Stavo z najboljšim izidom položite, če je vaše pričakovanje pozitivno, in je pozitivno, če so kvote na vaši strani. Ko stavite na najslabši izid, imate negativno pričakovanje, kar se zgodi, ko so kvote proti vam. Resni igralci stavijo le na najboljši izid; če se zgodi najslabši, odstopijo. Kaj pomenijo kvote v vašo korist? Morda boste na koncu zmagali več, kot prinašajo realne kvote. Dejanske možnosti za pristanek na glave so 1 proti 1, vendar dobite 2 proti 1 zaradi razmerja verjetnosti. V tem primeru so možnosti v vašo korist. Zagotovo dobite najboljši izid s pozitivnim pričakovanjem 50 centov na stavo.

Tukaj je bolj zapleten primer matematičnega pričakovanja. Prijatelj si zapiše številke od ena do pet in stavi 5 $ proti tvojemu 1 $, da ne boš uganil številke. Bi morali privoliti v takšno stavo? Kakšno je pričakovanje tukaj?

V povprečju se boste zmotili štirikrat. Na podlagi tega je verjetnost, da boste uganili število, 4 proti 1. Verjetnost, da boste izgubili dolar v enem poskusu. Vendar zmagate 5 proti 1, z možnostjo izgube 4 proti 1. Kvote so vam torej naklonjene, lahko sprejmete stavo in upate na najboljši izid. Če to stavo sklenete petkrat, boste v povprečju štirikrat izgubili 1 $ in enkrat dobili 5 $. Na podlagi tega boste za vseh pet poskusov zaslužili 1 $ s pozitivnim matematičnim pričakovanjem 20 centov na stavo.

Igralec, ki pričakuje, da bo zmagal več, kot je stavil, kot v zgornjem primeru, tvega. Nasprotno, uniči svoje možnosti, ko pričakuje, da bo dobil manj, kot je stavil. Stavnik ima lahko pozitivno ali negativno pričakovanje, odvisno od tega, ali zmaga ali uniči kvote.

Če stavite 50 $, da dobite 10 $ z možnostjo zmage 4 proti 1, boste prejeli negativno pričakovanje 2 $, ker V povprečju boste štirikrat zadeli 10 $ in enkrat izgubili 50 $, kar kaže, da bo izguba na stavo 10 $. Toda če stavite 30 $, da dobite 10 $, z enakimi kvotami za zmago 4 proti 1, potem imate v tem primeru pozitivno pričakovanje 2 $, ker spet štirikrat osvojite 10 $ in enkrat izgubite 30 $, za dobiček 10 $. Ti primeri kažejo, da je prva stava slaba, druga pa dobra.

Matematično pričakovanje je središče vsake igralne situacije. Ko stavnica spodbuja ljubitelje nogometa, naj stavijo 11 $ za dobitek 10 $, ima pozitivno pričakovanje 50 centov na vsakih 10 $. Če igralnica izplača celoten denar iz igralnice v igrah craps, bo pozitivno pričakovanje igralnice približno 1,40 USD na vsakih 100 USD, ker Ta igra je strukturirana tako, da vsak, ki stavi na to linijo, v povprečju izgubi 50,7 % in dobi 49,3 % skupnega časa. Nedvomno prav to na videz minimalno pozitivno pričakovanje lastnikom igralnic po vsem svetu prinaša enormne dobičke. Kot je zapisal lastnik igralnice Vegas World Bob Stupak, bo "ena tisočinka enega odstotka negativne verjetnosti na dovolj veliki razdalji uničila najbogatejšega človeka na svetu."

Pričakovanja pri igranju pokra

Igra Poker je najbolj ilustrativen in nazoren primer z vidika uporabe teorije in lastnosti matematičnega pričakovanja.

Pričakovana vrednost v pokru je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je takšno odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikih številk in velike razdalje. Uspešna igra pokra je vedno sprejeti poteze s pozitivno pričakovano vrednostjo.

Matematični pomen matematičnega pričakovanja pri igranju pokra je v tem, da se pri odločanju pogosto srečujemo z naključnimi spremenljivkami (ne vemo, katere karte ima nasprotnik v rokah, katere karte bodo prišle v naslednjih krogih stav). Vsako od rešitev moramo obravnavati z vidika teorije velikih števil, ki trdi, da bo pri dovolj velikem vzorcu povprečna vrednost naključne spremenljivke težila k svojemu matematičnemu pričakovanju.

Med posebnimi formulami za izračun matematičnega pričakovanja je v pokru najbolj uporabna naslednja:

Pri igranju pokra je mogoče izračunati pričakovano vrednost tako za stave kot za klice. V prvem primeru je treba upoštevati lastniški kapital, v drugem pa kvote banke. Ko ocenjujete matematično pričakovanje določene poteze, se morate spomniti, da ima odstop vedno ničelno pričakovanje. Tako bo odlaganje kart vedno bolj donosna odločitev kot katera koli negativna poteza.

Pričakovanje vam pove, kaj lahko pričakujete (dobiček ali izgubo) za vsak dolar, ki ga tvegate. Igralnice služijo denar, ker je matematično pričakovanje vseh iger, ki se igrajo v njih, v korist igralnice. Pri dovolj dolgem nizu iger lahko pričakujete, da bo stranka izgubila svoj denar, saj so "kvote" v korist igralnice. Vendar profesionalni igralci v igralnicah omejujejo svoje igre na kratka časovna obdobja, s čimer povečajo kvote v svojo korist. Enako velja za naložbe. Če so vaša pričakovanja pozitivna, lahko zaslužite več denarja s sklenitvijo številnih poslov v kratkem času. Pričakovanje je vaš odstotek dobička na zmago, pomnožen z vašim povprečnim dobičkom, minus vaša verjetnost izgube, pomnožena z vašo povprečno izgubo.

Poker lahko obravnavamo tudi s stališča matematičnega pričakovanja. Lahko domnevate, da je določena poteza donosna, vendar v nekaterih primerih morda ni najboljša, ker je druga poteza bolj donosna. Recimo, da ste dosegli full house v pokru s petimi kartami. Vaš nasprotnik sklene stavo. Veste, da če zvišate stavo, se bo odzval. Zato se zdi povišanje najboljša taktika. Toda če zvišate stavo, bosta preostala dva igralca zagotovo odstopila. Toda če izenačite, ste popolnoma prepričani, da bosta druga dva igralca za vami storila enako. Ko zvišate stavo, prejmete eno enoto, ko samo izenačite, pa dve. Tako vam klicanje daje višjo pozitivno pričakovano vrednost in bo najboljša taktika.

Matematično pričakovanje lahko tudi poda idejo o tem, katere taktike pokra so manj donosne in katere bolj donosne. Na primer, če igrate določeno kombinacijo in mislite, da bo vaša izguba v povprečju znašala 75 centov, vključno z antejem, potem bi morali igrati to kombinacijo, ker to je bolje kot odstop, ko je ante $1.

Drug pomemben razlog za razumevanje koncepta pričakovane vrednosti je ta, da vam daje občutek brezskrbnosti, ne glede na to, ali ste stavo dobili ali ne: če ste dobro stavili ali odstopili ob pravem času, boste vedeli, da ste zaslužili oz. prihranil določeno vsoto denarja, ki je šibkejši igralec ni mogel prihraniti. Veliko težje je odstopiti, če ste razburjeni, ker je vaš nasprotnik potegnil močnejšo kombinacijo. Z vsem tem se denar, ki ga prihranite, če ne igrate namesto s stavami, doda vašim dobitkom za noč ali mesec.

Ne pozabite le, da bi vas nasprotnik izenačil, če bi zamenjali igralca, in kot boste videli v članku Fundamental Theorem of Poker, je to le ena od vaših prednosti. Moral bi biti vesel, ko se to zgodi. Lahko se celo naučiš uživati ​​ob izgubi kombinacije, ker veš, da bi drugi igralci na tvojem mestu izgubili veliko več.

Kot je bilo omenjeno v primeru igre s kovanci na začetku, je urna postavka dobička medsebojno povezana z matematičnim pričakovanjem in ta koncept je še posebej pomemben za profesionalne igralce. Ko greste igrati poker, morate v mislih oceniti, koliko lahko dobite v eni uri igre. V večini primerov se boste morali zanesti na svojo intuicijo in izkušnje, lahko pa uporabite tudi nekaj matematike. Na primer, igrate draw lowball in vidite tri igralce, ki stavijo 10 $ in nato zamenjajo dve karti, kar je zelo slaba taktika, lahko ugotovite, da vsakič, ko stavijo 10 $, izgubijo približno 2 $. Vsak od njih to počne osemkrat na uro, kar pomeni, da vsi trije izgubijo približno 48 dolarjev na uro. Ste eden od preostalih štirih igralcev, ki so približno enakovredni, zato si morajo ti štirje igralci (in vi med njimi) razdeliti 48 $, pri čemer vsak zasluži 12 $ na uro. Vaše urne kvote so v tem primeru preprosto enake vašemu deležu zneska denarja, ki so ga v eni uri izgubili trije slabi igralci.

V daljšem časovnem obdobju so igralčevi skupni dobitki vsota njegovih matematičnih pričakovanj v posameznih kombinacijah. Več rok kot igrate s pozitivnim pričakovanjem, več zmagate, in obratno, več rok igrate z negativnim pričakovanjem, več izgubite. Zato bi morali izbrati igro, ki lahko poveča vaše pozitivno predvidevanje ali izniči vaša negativna predvidevanja, tako da lahko povečate svoje urne dobitke.

Pozitivno matematično pričakovanje v strategiji iger

Če znaš šteti karte, si lahko v prednosti pred igralnico, če le te ne opazijo in vržejo ven. Igralnice obožujejo pijane igralce in ne prenesejo igralcev, ki štejejo karte. Prednost vam bo omogočila, da večkrat zmagate kot izgubite skozi čas. Dobro upravljanje denarja z uporabo izračunov pričakovane vrednosti vam lahko pomaga pridobiti več dobička iz vaše prednosti in zmanjšati izgube. Brez prednosti je bolje, da daste denar v dobrodelne namene. V igri na borzi daje prednost sistem igre, ki ustvarja večje dobičke kot izgube, razlike v ceni in provizije. Nobeno upravljanje denarja ne more rešiti slabega igralnega sistema.

Pozitivno pričakovanje je opredeljeno kot vrednost, večja od nič. Večje kot je to število, močnejše je statistično pričakovanje. Če je vrednost manjša od nič, bo tudi matematično pričakovanje negativno. Večji kot je modul negativne vrednosti, slabše je stanje. Če je rezultat nič, potem je čakanje prelomno. Zmagate lahko le, če imate pozitivno matematično pričakovanje in razumen sistem igranja. Igranje po intuiciji vodi v katastrofo.

Matematično pričakovanje in borzno trgovanje

Matematično pričakovanje je dokaj pogosto uporabljen in priljubljen statistični indikator pri izvajanju borznega trgovanja na finančnih trgih. Prvič, ta parameter se uporablja za analizo uspešnosti trgovanja. Ni težko uganiti, da višja kot je ta vrednost, več je razlogov, da menimo, da je preučevana trgovina uspešna. Seveda analize dela trgovca ni mogoče izvesti samo s tem parametrom. Vendar lahko izračunana vrednost v kombinaciji z drugimi metodami ocenjevanja kakovosti dela bistveno poveča natančnost analize.

Matematično pričakovanje se pogosto izračuna v storitvah za spremljanje trgovalnih računov, kar vam omogoča hitro oceno dela, opravljenega na depozitu. Izjeme vključujejo strategije, ki uporabljajo "sedenje" nedonosnih poslov. Trgovec ima lahko nekaj časa srečo in zato pri njegovem delu morda sploh ne bo nobenih izgub. V tem primeru se ne bo mogoče osredotočiti samo na matematično pričakovanje, ker tveganja, uporabljena pri delu, ne bodo upoštevana.

Pri tržnem trgovanju se matematično pričakovanje najpogosteje uporablja pri napovedovanju donosnosti katere koli trgovalne strategije ali pri napovedovanju dohodka trgovca na podlagi statističnih podatkov iz njegovega prejšnjega trgovanja.

V zvezi z upravljanjem denarja je zelo pomembno razumeti, da pri sklepanju poslov z negativnimi pričakovanji ni sheme upravljanja denarja, ki bi lahko zagotovo prinesla visoke dobičke. Če boste še naprej igrali na borzi pod temi pogoji, boste ne glede na to, kako upravljate s svojim denarjem, izgubili celoten račun, ne glede na to, kako velik je bil na začetku.

Ta aksiom ne velja le za igre ali posle z negativnim pričakovanjem, velja tudi za igre z enakimi možnostmi. Zato imate dolgoročno priložnost za dobiček le, če sklepate posle s pozitivno pričakovano vrednostjo.

Razlika med negativnim in pozitivnim pričakovanjem je razlika med življenjem in smrtjo. Ni pomembno, kako pozitivno ali kako negativno je pričakovanje; Pomembno je le, ali je pozitiven ali negativen. Zato morate, preden razmislite o upravljanju denarja, najti igro s pozitivnimi pričakovanji.

Če te igre nimate, vas vse upravljanje denarja na svetu ne bo rešilo. Po drugi strani pa, če imate pozitivna pričakovanja, jih lahko s pravilnim upravljanjem denarja spremenite v funkcijo eksponentne rasti. Ni pomembno, kako majhna so pozitivna pričakovanja! Z drugimi besedami, ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem trgovanja, ki temelji na eni pogodbi. Če imate sistem, ki dobi 10 USD na pogodbo na trgovanje (po provizijah in zdrsu), lahko uporabite tehnike upravljanja denarja, da bo bolj donosen kot sistem, ki v povprečju znaša 1000 USD na posel (po odbitku provizij in zdrsa).

Ni pomembno, kako dobičkonosen je bil sistem, ampak kako zanesljivo lahko rečemo, da bo sistem v prihodnosti pokazal vsaj minimalen dobiček. Zato je najpomembnejša priprava, ki jo lahko opravi trgovec, zagotoviti, da bo sistem v prihodnosti pokazal pozitivno pričakovano vrednost.

Da bi imeli v prihodnosti pozitivno pričakovano vrednost, je zelo pomembno, da ne omejite stopenj svobode svojega sistema. To se doseže ne samo z odpravo ali zmanjšanjem števila parametrov, ki jih je treba optimizirati, temveč tudi z zmanjšanjem čim več sistemskih pravil. Vsak parameter, ki ga dodate, vsako pravilo, ki ga naredite, vsaka majhna sprememba, ki jo naredite v sistemu, zmanjša število stopenj svobode. V idealnem primeru morate zgraditi dokaj primitiven in preprost sistem, ki bo dosledno ustvarjal majhne dobičke na skoraj vseh trgih. Spet je pomembno, da razumete, da ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem, dokler je dobičkonosen. Denar, ki ga zaslužite pri trgovanju, bo zaslužen z učinkovitim upravljanjem denarja.

Trgovalni sistem je preprosto orodje, ki vam daje pozitivno pričakovano vrednost, tako da lahko uporabljate upravljanje denarja. Sistemi, ki delujejo (izkazujejo vsaj minimalne dobičke) samo na enem ali nekaj trgih ali imajo različna pravila ali parametre za različne trge, najverjetneje ne bodo dolgo delovali v realnem času. Težava večine tehnično usmerjenih trgovcev je, da porabijo preveč časa in truda za optimizacijo različnih pravil in vrednosti parametrov trgovalnega sistema. To daje popolnoma nasprotne rezultate. Namesto da zapravljate energijo in računalniški čas za povečanje dobička trgovalnega sistema, svojo energijo usmerite v povečanje stopnje zanesljivosti doseganja minimalnega dobička.

Ker ve, da je upravljanje denarja le igra številk, ki zahteva uporabo pozitivnih pričakovanj, lahko trgovec preneha iskati »sveti gral« borznega trgovanja. Namesto tega lahko začne testirati svojo metodo trgovanja, ugotovi, kako logična je ta metoda in ali daje pozitivna pričakovanja. Ustrezne metode upravljanja denarja, uporabljene pri vseh, tudi zelo povprečnih metodah trgovanja, bodo ostalo delo opravile same.

Da bi vsak trgovec uspel pri svojem delu, mora rešiti tri najpomembnejše naloge: . Zagotoviti, da število uspešnih transakcij presega neizogibne napake in napačne izračune; Nastavite svoj trgovalni sistem tako, da boste čim pogosteje lahko zaslužili denar; Dosezite stabilne pozitivne rezultate svojega delovanja.

In tukaj je lahko za nas zaposlene trgovce matematično pričakovanje v veliko pomoč. Ta izraz je eden ključnih v teoriji verjetnosti. Z njegovo pomočjo lahko podate povprečno oceno neke naključne vrednosti. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je podobno težišču, če si vse možne verjetnosti predstavljamo kot točke z različnimi masami.

V zvezi s strategijo trgovanja se za oceno njene učinkovitosti najpogosteje uporablja matematično pričakovanje dobička (ali izgube). Ta parameter je opredeljen kot vsota zmnožkov danih ravni dobička in izgube ter verjetnosti njihovega pojava. Na primer, razvita strategija trgovanja predvideva, da bo 37% vseh transakcij prineslo dobiček, preostali del - 63% - pa bo nedonosnih. Hkrati bo povprečni dohodek od uspešne transakcije 7 $, povprečna izguba pa 1,4 $. Izračunajmo matematično pričakovanje trgovanja s tem sistemom:

Kaj pomeni ta številka? Pravi, da bomo po pravilih tega sistema v povprečju prejeli 1.708 $ od vsake zaključene transakcije. Ker je dobljena ocena učinkovitosti večja od nič, se tak sistem lahko uporablja za resnično delo. Če se kot rezultat izračuna izkaže, da je matematično pričakovanje negativno, potem to že pomeni povprečno izgubo in takšno trgovanje vodi v propad.

Znesek dobička na transakcijo je lahko izražen tudi kot relativna vrednost v obliki %. Na primer:

– odstotek dohodka na 1 transakcijo - 5%;

– odstotek uspešnih trgovalnih operacij - 62%;

– odstotek izgube na 1 transakcijo - 3%;

– odstotek neuspešnih transakcij - 38%;

To pomeni, da bo povprečna trgovina prinesla 1,96%.

Možno je razviti sistem, ki bo kljub prevladi nedonosnih poslov dal pozitiven rezultat, saj je njegov MO>0.

Vendar samo čakanje ni dovolj. Težko je zaslužiti, če sistem daje zelo malo trgovalnih signalov. V tem primeru bo njegova donosnost primerljiva z bančnimi obrestmi. Naj vsaka operacija proizvede v povprečju le 0,5 dolarja, a kaj, če sistem vključuje 1000 operacij na leto? To bo zelo resen znesek v relativno kratkem času. Iz tega logično izhaja, da je še ena značilnost dobrega trgovalnega sistema kratko obdobje zadrževanja pozicij.

Viri in povezave

dic.academic.ru – akademski spletni slovar

mathematics.ru – izobraževalna spletna stran za matematiko

nsu.ru – izobraževalna spletna stran Novosibirske državne univerze

webmath.ru je izobraževalni portal za študente, kandidate in šolarje.

exponenta.ru izobraževalna matematična spletna stran

ru.tradimo.com – brezplačna spletna šola trgovanja

crypto.hut2.ru – multidisciplinarni informacijski vir

poker-wiki.ru – brezplačna enciklopedija pokra

sernam.ru – Znanstvena knjižnica izbranih naravoslovnih publikacij

reshim.su – spletna stran REŠOVALI BOMO testne naloge

unfx.ru – Forex na UNFX: usposabljanje, trgovalni signali, upravljanje zaupanja

slovopedia.com – Veliki enciklopedični slovar Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Vaš vodnik v svetu pokra

statanaliz.info – informativni blog “Statistična analiza podatkov”

forex-trader.rf – portal Forex-Trader

megafx.ru – trenutna analitika Forex

fx-by.com – vse za trgovca