Absolutna vrednost števila a je razdalja od izhodišča do točke A(a).

Da bi razumeli to definicijo, zamenjajmo spremenljivko a poljubno številko, na primer 3 in jo poskusite znova prebrati:

Absolutna vrednost števila 3 je razdalja od izhodišča do točke A(3 ).

Postane jasno, da modul ni nič drugega kot navadna razdalja. Poskusimo videti razdaljo od izhodišča do točke A( 3 )

Razdalja od izhodišča do točke A( 3 ) je enako 3 (tri enote ali trije koraki).

Modul števila je označen z dvema navpičnima črtama, na primer:

Modul števila 3 označimo takole: |3|

Modul števila 4 označimo takole: |4|

Modul števila 5 je označen takole: |5|

Iskali smo modul števila 3 in ugotovili, da je enako 3. Zapišemo torej:

Bere se kot: "Modul števila tri je tri"

Zdaj pa poskusimo najti modul števila -3. Spet se vrnemo k definiciji in vanjo nadomestimo številko -3. Samo namesto pike A uporabite novo točko B. Pika A smo uporabili že v prvem primeru.

Modul števila - 3 je razdalja od izhodišča do točke B(—3 ).

Razdalja od ene točke do druge ne more biti negativna. Zato tudi modul katerega koli negativnega števila, ki je razdalja, ne bo negativen. Modul števila -3 bo število 3. Razdalja od izhodišča do točke B(-3) je prav tako enaka trem enotam:

Bere se kot: "Modul minus tri je tri."

Modul števila 0 je enak 0, saj točka s koordinato 0 sovpada z izhodiščem, tj. razdalja od izhodišča do točke O(0) enako nič:

"Modul nič je nič"

Izvajamo zaključke:

• Modul števila ne more biti negativen;
• Za pozitivno število in ničlo je modul enak samemu številu, za negativno število pa nasprotno število;
• Nasprotna števila imajo enake module.

Nasprotna števila

Števila, ki se razlikujejo le po predznakih, imenujemo nasprotje. Na primer, števili −2 in 2 sta nasprotni. Razlikujejo se le po znakih. Število −2 ima znak minus, 2 pa znak plus, vendar ga ne vidimo, ker se plus, kot smo že povedali, tradicionalno ne piše.

Več primerov nasprotnih števil:

Nasprotna števila imajo enake module. Na primer, poiščimo modula za −2 in 2

Slika prikazuje razdaljo od izhodišča do točk A (−2) in B (2) je enako enaka dvema korakoma.

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

V tem članku bomo podrobno analizirali absolutna vrednost števila. Podali bomo različne definicije modula števila, uvedli zapis in grafično prikazali. Hkrati si poglejmo različne primere iskanja modula števila po definiciji. Nato bomo našteli in utemeljili glavne lastnosti modula. Na koncu članka bomo govorili o tem, kako se določi in najde modul kompleksnega števila.

Navigacija po strani.

Številski modul - definicija, zapis in primeri

Najprej se predstavimo oznaka modula števila. Modul števila a bomo zapisali kot , to pomeni, da bomo levo in desno od števila postavili navpične črtice, da tvorimo znak modula. Naj navedemo nekaj primerov. Na primer, modul −7 lahko zapišemo kot ; modul 4.125 je zapisan kot , modul pa ima zapis v obliki .

Naslednja definicija modula se nanaša na , torej na , in na cela števila ter na racionalna in iracionalna števila kot sestavne dele množice realnih števil. Govorili bomo o modulu kompleksnega števila v.

Opredelitev.

Modul števila a– to je bodisi samo število a, če je a pozitivno število, bodisi število −a, nasprotno od števila a, če je a negativno število, ali 0, če je a=0.

Izražena definicija modula števila je pogosto zapisana v naslednji obliki , ta vnos pomeni, da če a>0 , če a=0 in če a<0 .

Zapis je mogoče predstaviti v bolj strnjeni obliki . Ta zapis pomeni, da če je (a večje ali enako 0) in če je a<0 .

Obstaja tudi vstop . Tukaj bi morali posebej pojasniti primer, ko je a=0. V tem primeru imamo , toda −0=0, ker se nič šteje za število, ki je nasprotno sebi.

Dajmo primeri iskanja modula števila z uporabo navedene definicije. Na primer, poiščimo module števil 15 in . Začnimo z iskanjem. Ker je število 15 pozitivno, je njegov modul po definiciji enak temu številu samemu, to je . Kaj je modul števila? Ker je negativno število, je njegov modul enak številu, ki je nasprotno številu, to je številu . Tako,.

Za zaključek te točke predstavljamo en sklep, ki je zelo priročen za uporabo v praksi pri iskanju modula števila. Iz definicije modula števila sledi, da modul števila je enak številu pod znakom modula brez upoštevanja njegovega predznaka, in iz zgoraj obravnavanih primerov je to zelo jasno razvidno. Navedena trditev pojasnjuje, zakaj se imenuje tudi modul števila absolutna vrednost števila. Torej sta modul števila in absolutna vrednost števila ena in ista.

Modul števila kot razdalja

Geometrično si lahko modul števila razlagamo kot razdalja. Dajmo določanje modula števila z razdaljo.

Opredelitev.

Modul števila a– to je razdalja od izhodišča na koordinatni premici do točke, ki ustreza številu a.

Ta definicija je skladna z definicijo modula števila, podano v prvem odstavku. Razjasnimo to točko. Razdalja od izhodišča do točke, ki ustreza pozitivnemu številu, je enaka temu številu. Nič ustreza izhodišču, zato je razdalja od izhodišča do točke s koordinato 0 enaka nič (ni vam treba dati na stran enega segmenta enote in niti enega segmenta, ki sestavlja katerikoli del enotskega segmenta, da bi da pridemo iz točke O v točko s koordinato 0). Razdalja od izhodišča do točke z negativno koordinato je enaka številu, ki je nasprotno koordinati te točke, saj je enaka razdalji od izhodišča do točke, katere koordinata je nasprotno število.

Na primer, modul števila 9 je enak 9, saj je razdalja od izhodišča do točke s koordinato 9 enaka devet. Povejmo še en primer. Točka s koordinato −3,25 se nahaja na razdalji 3,25 od točke O, torej .

Navedena definicija modula števila je poseben primer definicije modula razlike dveh števil.

Opredelitev.

Modul razlike dveh števil a in b je enaka razdalji med točkama koordinatne premice s koordinatama a in b.

To pomeni, da če sta točki na koordinatni premici A(a) in B(b) podani, potem je razdalja od točke A do točke B enaka modulu razlike med številoma a in b. Če vzamemo točko O (izhodišče) kot točko B, potem dobimo definicijo modula števila, podanega na začetku tega odstavka.

Določanje modula števila z uporabo aritmetičnega kvadratnega korena

Občasno se pojavi določanje modula preko aritmetičnega kvadratnega korena.

Izračunajmo na primer module števil −30 in na podlagi te definicije. Imamo. Podobno izračunamo modul dveh tretjin: .

Definicija modula števila skozi aritmetični kvadratni koren je prav tako skladna z definicijo iz prvega odstavka tega člena. Pokažimo ga. Naj bo a pozitivno število in naj bo −a negativno število. Potem in , če je a=0, potem .

Lastnosti modula

Modul ima številne značilne rezultate - lastnosti modula. Zdaj bomo predstavili glavne in najpogosteje uporabljene od njih. Pri utemeljevanju teh lastnosti se bomo oprli na definicijo modula števila v smislu razdalje.

Začnimo z najbolj očitno lastnostjo modula - Modul števila ne more biti negativno število. V dobesedni obliki ima ta lastnost obliko za poljubno število a. To lastnost je zelo enostavno utemeljiti: modul števila je razdalja in razdalje ni mogoče izraziti kot negativno število.

Pojdimo na naslednjo lastnost modula. Modul števila je nič, če in samo če je to število nič. Modul nič je po definiciji nič. Ničla ustreza izhodišču; nobena druga točka na koordinatni premici ne ustreza ničli, saj je vsako realno število povezano z eno točko na koordinatni premici. Iz istega razloga vsako število, ki ni nič, ustreza točki, ki ni izhodišče. In razdalja od izhodišča do katere koli točke, razen točke O, ni nič, saj je razdalja med dvema točkama nič, če in samo če ti točki sovpadata. Zgornje razmišljanje dokazuje, da je samo modul nič enak nič.

Kar daj. Nasprotna števila imajo enake module, to je za poljubno število a. Dejansko sta dve točki na koordinatni premici, katerih koordinate sta nasprotni števili, enako oddaljeni od izhodišča, kar pomeni, da sta modula nasprotnih števil enaka.

Naslednja lastnost modula je: Modul zmnožka dveh števil je enak zmnožku modulov teh števil, to je . Po definiciji je modul produkta števil a in b enak a·b, če , ali −(a·b), če . Iz pravil množenja realnih števil sledi, da je zmnožek modulov števil a in b enak a·b, , ali −(a·b), če je , kar dokazuje obravnavano lastnost.

Modul količnika a, deljenega z b, je enak količniku modula števila, deljenega z modulom b, to je . Utemeljimo to lastnost modula. Ker je količnik enak produktu, potem. Na podlagi prejšnjega premoženja imamo . Ostane le uporaba enakosti, ki velja na podlagi definicije modula števila.

Naslednja lastnost modula je zapisana kot neenakost: , a , b in c so poljubna realna števila. Zapisana neenakost ni nič drugega kot neenakost trikotnika. Da bo to jasno, vzemimo točke A(a), B(b), C(c) na koordinatni premici in razmislimo o degeneriranem trikotniku ABC, katerega oglišča ležijo na isti premici. Po definiciji je modul razlike enak dolžini segmenta AB, - dolžini segmenta AC in - dolžini segmenta CB. Ker dolžina katere koli stranice trikotnika ne presega vsote dolžin drugih dveh stranic, velja neenakost , torej tudi neenakost velja.

Pravkar dokazana neenakost je veliko pogostejša v obliki . Zapisana neenakost se običajno obravnava kot ločena lastnost modula s formulacijo: " Modul vsote dveh števil ne presega vsote modulov teh števil" Toda neenakost sledi neposredno iz neenakosti, če namesto b postavimo −b in vzamemo c=0.

Modul kompleksnega števila

Dajmo definicija modula kompleksnega števila. Naj nam bo dano kompleksno število, zapisano v algebraični obliki, kjer sta x in y nekaj realnih števil, ki predstavljata realni in imaginarni del danega kompleksnega števila z, in je imaginarna enota.

Reševanje enačb in neenačb z modulom pogosto povzroča težave. Vendar, če dobro razumete, kaj je absolutna vrednost števila, In kako pravilno razširiti izraze, ki vsebujejo znak modula, potem prisotnost v enačbi izraz pod znakom modula, preneha biti ovira za njegovo rešitev.

Malo teorije. Vsako število ima dve značilnosti: absolutno vrednost števila in njegov predznak.

Na primer, število +5 ali preprosto 5 ima znak "+" in absolutno vrednost 5.

Število -5 ima znak "-" in absolutno vrednost 5.

Absolutni vrednosti števil 5 in -5 sta 5.

Absolutno vrednost števila x imenujemo modul števila in jo označujemo z |x|.

Kot vidimo, je modul števila enak samemu številu, če je to število večje ali enako nič, in temu številu z nasprotnim predznakom, če je to število negativno.

Enako velja za vse izraze, ki se pojavijo pod znakom modula.

Pravilo razširitve modula izgleda takole:

|f(x)|= f(x), če je f(x) ≥ 0, in

|f(x)|= - f(x), če je f(x)< 0

Na primer |x-3|=x-3, če je x-3≥0 in |x-3|=-(x-3)=3-x, če je x-3<0.

Če želite rešiti enačbo, ki vsebuje izraz pod znakom modula, morate najprej razširite modul v skladu s pravilom razširitve modula.

Nato postane naša enačba ali neenakost v dve različni enačbi, ki obstajata na dveh različnih numeričnih intervalih.

Ena enačba obstaja na numeričnem intervalu, na katerem je izraz pod znakom modula nenegativen.

In druga enačba obstaja na intervalu, kjer je izraz pod znakom modula negativen.

Poglejmo preprost primer.

Rešimo enačbo:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Odprimo modul.

|x-3|=x-3, če je x-3≥0, tj. če je x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, če je x-3<0, т.е. если х<3

2. Dobili smo dva številska intervala: x≥3 in x<3.

Razmislimo, v katere enačbe se pretvori izvirna enačba na posameznem intervalu:

A) Za x≥3 |x-3|=x-3 ima naša poškodba obliko:

Pozor! Ta enačba obstaja le na intervalu x≥3!

Odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze:

in reši to enačbo.

Ta enačba ima korenine:

x 1 =0, x 2 =3

Pozor! ker enačba x-3=-x 2 +4x-3 obstaja samo na intervalu x≥3, nas zanimajo le tisti koreni, ki pripadajo temu intervalu. Ta pogoj je izpolnjen le pri x 2 =3.

B) Pri x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Pozor! Ta enačba obstaja le na intervalu x<3!

Odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze. Dobimo enačbo:

x 1 =2, x 2 =3

Pozor! saj enačba 3-x=-x 2 +4x-3 obstaja le na intervalu x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Torej: iz prvega intervala vzamemo samo koren x=3, iz drugega - koren x=2.

Ta spletni matematični kalkulator vam bo pomagal rešiti enačbo ali neenačbo z moduli. Program za reševanje enačb in neenačb z moduli ne le daje odgovor na problem, ampak vodi podrobna rešitev z obrazložitvijo, tj. prikazuje postopek pridobivanja rezultata.

Ta program je lahko koristen za srednješolce v splošnih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Vnesite enačbo ali neenačbo z moduli

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Enačbe in neenačbe z moduli

V osnovnem šolskem tečaju algebre lahko naletite na najpreprostejše enačbe in neenačbe z moduli. Za njihovo rešitev lahko uporabite geometrijsko metodo, ki temelji na dejstvu, da je \(|x-a| \) razdalja na številski premici med točkama x in a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Če želite na primer rešiti enačbo \(|x-3|=2\), morate najti točke na številski premici, ki so oddaljene od točke 3 na razdalji 2. Taki točki sta dve: \(x_1=1 \) in \(x_2=5\) .

Reševanje neenačbe \(|2x+7|

Toda glavni način reševanja enačb in neenakosti z moduli je povezan s tako imenovanim "razkritjem modula po definiciji":
če \(a \geq 0 \), potem \(|a|=a \);
if \(a Praviloma se enačba (neenačba) z moduli reducira na množico enačb (neenačb), ki ne vsebujejo znaka modula.

Poleg zgornje definicije se uporabljajo naslednje izjave:
1) Če je \(c > 0\), potem je enačba \(|f(x)|=c \) enakovredna naboru enačb: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(matrika)\desno.
2) Če \(c > 0 \), potem je neenakost \(|f(x)| 3) Če \(c \geq 0 \), potem je neenakost \(|f(x)| > c \) enakovreden nizu neenakosti: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Če sta obe strani neenakosti \(f(x) PRIMER 1. Rešite enačbo \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Če je \(x-1 \geq 0\), potem \(|x-1| = x-1\) in ima dana enačba obliko
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Desna puščica x^2 +2x -8 = 0 \).
Če je \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \desna puščica x^2 -2x -4 = 0 \).
Zato je treba dano enačbo obravnavati ločeno v vsakem od obeh navedenih primerov.
1) Naj \(x-1 \geq 0 \), tj. \(x\geq 1\). Iz enačbe \(x^2 +2x -8 = 0\) najdemo \(x_1=2, \; x_2=-4\). Pogoj \(x \geq 1 \) je izpolnjen samo z vrednostjo \(x_1=2\).
2) Naj \(x-1 Odgovor: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

PRIMER 2. Rešite enačbo \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Prvi način(razširitev modula po definiciji).
Z razmišljanjem kot v 1. primeru pridemo do zaključka, da je treba dano enačbo obravnavati ločeno, če sta izpolnjena dva pogoja: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ali \(x^2-6x+7

1) Če je \(x^2-6x+7 \geq 0 \), potem \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) in dana enačba ima obliko \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Desna puščica 3x^2-23x+30=0 \). Ko rešimo to kvadratno enačbo, dobimo: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Ugotovimo, ali vrednost \(x_1=6\) izpolnjuje pogoj \(x^2-6x+7 \geq 0\). To naredite tako, da navedeno vrednost nadomestite s kvadratno neenakostjo. Dobimo: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), tj. \(7 \geq 0 \) je prava neenakost. To pomeni, da je \(x_1=6\) koren dane enačbe.
Ugotovimo, ali vrednost \(x_2=\frac(5)(3)\) izpolnjuje pogoj \(x^2-6x+7 \geq 0\). To naredite tako, da navedeno vrednost nadomestite s kvadratno neenakostjo. Dobimo: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), tj. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) je nepravilna neenakost. To pomeni, da \(x_2=\frac(5)(3)\) ni koren dane enačbe.

2) Če \(x^2-6x+7 Vrednost \(x_3=3\) izpolnjuje pogoj \(x^2-6x+7 Vrednost \(x_4=\frac(4)(3) \) ne izpolnjuje pogoj \ (x^2-6x+7 Torej ima dana enačba dva korena: \(x=6, \; x=3 \).

Drugi način.Če je podana enačba \(|f(x)| = h(x) \), potem z \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(matrika)\desno \)
Obe enačbi sta bili rešeni zgoraj (z uporabo prve metode reševanja dane enačbe), njuni koreni so naslednji: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Pogoj \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) teh štirih vrednosti izpolnjujeta samo dve: 6 in 3. To pomeni, da ima dana enačba dva korena: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Tretji način(grafični).
1) Zgradimo graf funkcije \(y = |x^2-6x+7| \). Najprej sestavimo parabolo \(y = x^2-6x+7\). Imamo \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Graf funkcije \(y = (x-3)^2-2\) lahko dobite iz grafa funkcije \(y = x^2\), tako da ga premaknete za 3 merilne enote v desno (vzdolž os x) in 2 merilni enoti navzdol ( vzdolž osi y). Premica x=3 je os parabole, ki nas zanima. Kot kontrolne točke za natančnejše risanje je priročno vzeti točko (3; -2) - vrh parabole, točko (0; 7) in točko (6; 7), ki je simetrična glede na os parabole. .
Če želite zdaj sestaviti graf funkcije \(y = |x^2-6x+7| \), morate pustiti nespremenjene tiste dele konstruirane parabole, ki ne ležijo pod osjo x, in zrcaliti tisti del parabole. parabolo, ki leži pod osjo x glede na os x.
2) Zgradimo graf linearne funkcije \(y = \frac(5x-9)(3)\). Za kontrolne točke je priročno vzeti točke (0; –3) in (3; 2).

Pomembno je, da se točka x = 1,8 presečišča premice z abscisno osjo nahaja desno od levega presečišča parabole z abscisno osjo - to je točka \(x=3-\ sqrt(2) \) (ker \(3-\sqrt(2 ) 3) Sodeč po risbi se grafa sekata v dveh točkah - A(3; 2) in B(6; 7). Če zamenjamo abscisi teh točke x = 3 in x = 6 v dano enačbo, se prepričamo, da je v drugem primeru dosežena pravilna numerična enakost. To pomeni, da je bila naša hipoteza potrjena - enačba ima dva korena: x = 3 in x = 6. Odgovor: 3;

Komentiraj. Grafična metoda kljub vsej svoji eleganci ni zelo zanesljiva. V obravnavanem primeru je delovalo samo zato, ker so koreni enačbe cela števila.

PRIMER 3. Rešite enačbo \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Prvi način
Izraz 2x–4 postane 0 v točki x = 2, izraz x + 3 pa postane 0 v točki x = –3. Ti dve točki delita številsko premico na tri intervale: \(x

Razmislite o prvem intervalu: \((-\infty; \; -3) \).
Če x Upoštevajte drugi interval: \([-3; \; 2) \).
Če \(-3 \leq x Upoštevajte tretji interval: \()