Poznavanje osnovnih geometrijskih konstrukcij omogoča pravilno in hitro risanje, izbiro najbolj racionalnih tehnik za vsak primer.

2.1. Delitev segmenta na enake dele

Segment lahko razdelite na polovico s šestilom tako, da zgradite srednjo pravokotno (slika 18, a). Če želite to narediti, vzemite polmer, ki meri več kot polovico dolžine segmenta, in narišite krožne loke z njegovih koncev na obeh straneh, dokler se ne sekata. Skozi presečišča lokov narišemo sredinsko navpično.

Za razdelitev na poljubno število enakih delov uporabimo Fa-teorem

oder: če so na eni strani kota položeni enaki segmenti in skozi njihove konce potegnemo vzporedne ravne črte, bodo enaki segmenti položeni tudi na drugi strani kota (slika 18, b). Pod pro-

narišemo pomožni žarek AC pod poljubnim kotom na odsek AB, na katerega odložimo odsek poljubne dolžine tolikokrat, na kolikor delov je treba ta odsek razdeliti. Konec zadnjega segmenta povežemo s točko B in skozi konca preostalih segmentov narišemo ravne črte, vzporedne z BC.

2.2. Razdelitev kroga na poljubno število enakih delov

Sposobnost razdelitve kroga na enake dele je potrebna za sestavo pravilnih poligonov. Najprej razmislimo o posebnih tehnikah za razdelitev kroga.

Razdelitev na tri dele (slika 19)

Krak šestila postavimo na enega od koncev med seboj pravokotnih premerov kroga. Z raztopino kompasa, ki je enaka polmeru kroga, naredimo zareze na obeh straneh tega konca premera. Dobimo dve oglišči pravilnega trikotnika. Tretje oglišče je nasprotni konec premera.

Razdelitev na štiri dele (slika 20)

Dva medsebojno pravokotna premera delita krog na štiri enake dele. Če skozi središče kroga narišemo ravne črte pod kotom 45ᵒ glede na osi, potem te tudi razdelijo krog na štiri enake dele. Stranice včrtanega kvadrata bodo vzporedne z osemi kroga. Ta dva kvadrata skupaj delita krog na osem enakih delov.

Razdeljen na pet delov (slika 21)

● 1 ). Z odprtino šestila, ki je enak polmeru, naredimo zarezo na krogu. Dobimo točko 2.

● Iz točke 2 spustimo navpičnico na premer, s konca katerega je bila narejena zareza. Dobimo točko 3.

● Na točko postavimo krak šestila 3. Vzemite polmer, ki je enak razdalji od točke 3 do konca navpičnega premera (točka 4), in narišite lok, dokler se ne preseka z vodoravnim premerom. Dobimo točko 5.

● Povežite točki 4 in 5. Akord 4–5 bo 1/5 kroga.

● Dolžino tetive izmerimo s šestilom 4–5 in ga začnite odlagati z enega od koncev premera (odvisno od tega, kako naj bo pentagon usmerjen glede na osi). Premer, od konca katerega začnemo polagati segment, bo simetrična os figure.

Priporočljivo je, da kose odložite na obe strani hkrati. Preostali segment mora biti pravokoten na simetrično os. Če njegova dolžina ni enaka dolžini preostalih segmentov, to pomeni, da je bila konstrukcija izvedena netočno ali da je bil tetiva 4–5 izmerjena netočno. Prilagodite dolžino segmenta in znova ponovite razdelitev kroga.

Razdelitev na šest delov (slika 22)

Z odprtino šestila, ki je enaka polmeru kroga, naredimo zareze z obeh koncev enakega premera v obe smeri od njih. Dobimo štiri oglišča pravilnega šestkotnika. Drugi dve oglišči sta konci premera, iz katerih so narejeni serifi.

Razdelitev na sedem delov (slika 23)

● Nogo šestila postavimo na enega od koncev premera (točka 1). Z raztopino kompasa, ki je enaka polmeru kroga, naredimo na njem zarezo. Dobimo točko 2.

● Iz točke 2 spustimo navpičnico na premer, s konca katerega je bila narejena zareza. Dobimo točko 3. Odsek 2–3 je 1/7 kroga.

● Dolžino segmenta izmerimo s čeljusti 2–3 in ga zaporedno odmaknite od obeh koncev premera na obeh straneh hkrati. Zadnji segment mora biti pravokoten na premer, od konca katerega so segmenti začeli polagati. Ta premer bo simetrija včrtanega sedemkotnika.

Razdelitev na deset delov (slika 24)

● Krog razdelite na 5 delov, kot je prikazano na sl. 21. Dobimo pravilni peterokotnik.

● Iz vsakega oglišča peterokotnika spustimo pravokotnice na nasprotne strani. Vsi bodo šli skozi sredino kroga in delili stran in lok, ki ga sega, na pol. Dobimo še 5 oglišč.

Razdelitev na dvanajst delov (slika 25)

Z odprtino šestila, ki je enaka polmeru kroga, naredimo zareze na koncih obeh premerov na obeh straneh.

Obstaja tudi splošna tehnika za razdelitev kroga na poljubno število delov. Razmislimo o tem na primeru konstruiranja pravilnega šesterokotnika (slika 27).

● Narišemo dva med seboj pravokotna premera (vodoravni in navpični).

● Premer, ki ga želimo narediti simetrično os lika, razdelimo na toliko delov, na kolikor jih potrebujemo za razdelitev kroga. Na sl. 27 premer AB je razdeljen na 9 delov. Dobljene točke delitve oštevilčimo.

● Na točko postavimo krak šestila In s polmerom, ki je enak premeru kroga, narišite lok, dokler se ne preseka z nadaljevanjem navpičnega premera. Dobimo točko C.

● Točko C skozi eno povežemo s točkami delitve premera in nadaljujemo, dokler se ne preseka z nasprotnim lokom krožnice v točkah I, II, III, IV. Če bi moralo biti eno od oglišč nenagonika točka A, potem narišemo žarke skozi vse enakomerne delitve premera (slika 27, a). Če bi točka B postala ena od oglišč, potem je treba žarke potegniti skozi vse lihe delitve premera (slika 27, b).

● Konstruirane točke prikažemo simetrično glede na horizontalni premer. Dobimo preostala oglišča figure.

2.2.1. Naloga št. 4. Delitev kroga

Namen: preučiti tehnike za razdelitev kroga na enake dele.

Na format A3 v prvo vrstico nariši pravilne mnogokotnike (tri-, štiri-, pet-, šest-, sedem- in deveterokotnike) vpisane v kroge s premerom 60 mm. Krogi kot pomožne črte naj bodo tanki. Poligone občrtajte z debelimi črtami.

TRIKOTNIKI.

§ 28. KONSTRUKCIJE S ŠESTILOM IN RAVNILOM.

Do sedaj smo pri reševanju konstrukcijskih nalog uporabljali šestilo, ravnilo, risalni trikotnik in kotomer.

Rešimo zdaj številne konstrukcijske probleme z uporabo samo dveh orodij - šestila in ravnila.

Naloga 1. Ta segment razdelite na pol.

Podan je segment AB, ga morate razdeliti na pol.

rešitev. S polmerom, večjim od polovice segmenta AB, opisujemo sekajoče se loke iz točk A in B, kot iz središč (slika 161). Skozi presečišča teh lokov narišemo premico CD, ki bo v neki točki K sekala odsek AB in ga s to točko delila na pol: AK = KV.

Dokažimo. Povežimo točki A in B s točkama C in D. /\ CAD = /\ SVD, saj je po konstrukciji AC = CB, AD = BD, CD skupna stranica.

Iz enakosti teh trikotnikov sledi, da / ACK = / VSK, torej SK je simetrala kota pri oglišču enakokrakega trikotnika ASV. In simetrala kota na vrhu enakokrakega trikotnika je tudi njegova mediana, tj. ravna črta CD deli segment AB na pol.

Naloga 2. Skozi točko O, ki se nahaja na tej premici, na dano premico AB narišimo pravokotno.

Dana je premica AB in točka O, ki leži na tej premici. Na premico AB, ki poteka skozi točko O, je treba narisati pravokotno.

rešitev. Na premico AB iz točke O narišemo dva enaka odseka OM in ON
(risba 162). Iz točk M in N bomo kot iz središč opisali dva loka z enakim polmerom, večjim od OM. Točko njunega presečišča K povežemo s točko O. KO je mediana v enakokrakem trikotniku MKN, torej KO_|_A B (§ 18).

Naloga 3. Skozi točko C, ki leži zunaj te premice, na dano premico AB narišimo pravokotno.

Glede na premico AB in točko C zunaj te premice je potrebna navpičnica na premico AB, ki poteka skozi točko C.

rešitev. Iz točke C, kot iz središča, opišemo lok s takim diusom, da seka premico AB, na primer v točkah M in N (slika 163). Iz točk M in N bomo kot iz središč opisovali loke z enakim radijem, večjim od polovice MN. Njuno presečišče E povežemo s točko C ter s točkama M in N. Trikotnika CME in CNE sta na treh stranicah enaka. pomeni, / 1 = / 2 in CE je simetrala kota C v enakokrakem trikotniku MCN in torej pravokotna na premico AB (§ 18).

Konture vseh slik tvorijo različne črte. Glavne črte so ravna črta, krog in niz krivulj. Pri risanju kontur slik se uporabljajo geometrijske konstrukcije in konjugacije.

Pri študiju discipline "Opisna geometrija in inženirska grafika" se morajo študentje naučiti pravil in zaporedja izvajanja geometrijskih konstrukcij in povezav.

V zvezi s tem je najboljši način za pridobivanje gradbenih veščin z nalogami za risanje obrisov kompleksnih delov.

Preden začnete s testno nalogo, morate preučiti tehniko izvajanja geometrijskih konstrukcij in povezav v skladu z metodološkim priročnikom.

1. Delitev segmentov in kotov

1.1. Delitev segmenta na pol

Dani segment AB razdelite na pol.

Iz koncev segmenta AB, tako kot iz središč, narišemo loke krogov s polmerom R, katerih velikost naj bo nekoliko večja od polovice segmenta AB (slika 1). Ti loki se bodo sekali v točkah M in N, poiščimo točko C, v kateri se sekata premici AB in MN. Točka C bo razdelila odsek AB na dva enaka dela.

Opomba. Vse potrebne konstrukcije je treba in je mogoče izvesti le s pomočjo šestila in ravnila (brez delitev).

1.2. Delitev segmenta na n enakih delov

Dani segment razdeli na n enakih delov.

S konca odseka - točke A, potegnemo pomožni žarek pod poljubnim kotom α (slika 2 a) Na ta žarek položimo 4 enake odseke poljubne dolžine (slika 2b). Konec zadnjega, četrtega segmenta (točka 4) je povezan s točko B. Nato iz vseh prejšnjih točk 1...3 narišemo segmente, vzporedne z segmentom B4, dokler se ne sekajo z segmentom AB v točkah 1", 2 ", 3". Tako dobljene točke razdelijo segment na enake štiri segmente

1.3. Delitev kota na pol

Dani kot BAC razdeli na pol.

Iz oglišča kota A narišemo lok s poljubnim polmerom do sekanja stranic kota v točkah B in C (slika 3 a). Nato iz točk B in C narišemo dva loka s polmerom, večjim od polovice razdalje BC, dokler se ne sekata v točki D (slika 3 b). Če točki A in D povežemo s premico, dobimo simetralo kota, ki dani kot deli na pol (slika 3 c)

a) b) c)

2. Razdelitev kroga na enake dele in sestavljanje pravilnih mnogokotnikov

2.1. Razdelitev kroga na tri enake dele

Iz konca premera, na primer točke A (slika 4), narišite lok s polmerom R, ki je enak polmeru danega kroga. Dobimo prvi in drugi razdelek - točki 1 in 2. Tretji razdelek, točka 3, se nahaja na nasprotnem koncu istega premera. Če točke 1,2,3 povežemo s tetivami, dobimo pravilen včrtan trikotnik.

2.2. Razdelitev kroga na šest enakih delov

Iz koncev katerega koli premera, na primer AB (slika 5), so opisani loki polmera R. Točke A, 1,3,B,4,2 delijo krog na šest enakih delov. Če jih povežemo s tetivami, dobimo pravilen včrt šestkotnik.

Opomba. Pomožnih lokov ne smete narisati v celoti, dovolj je, da naredite zareze na krogu.

2.3. Razdelitev kroga na pet enakih delov

Narisana sta dva medsebojno pravokotna premera AB in CD (slika 6). Polmer OS v točki O 1 je razdeljen na pol.
Iz točke O1, kot iz središča, narišite lok s polmerom O1A, dokler se ne preseka s premerom CD v točki E.
Odsek AE je enak stranici pravilnega včrtanega peterokotnika, odsek OE pa je enak stranici pravilnega včrtanega deseterokotnika.
Če vzamemo točko A za središče, lok s polmerom R1 = AE označuje točki 1 in 4 na krožnici, kot iz središč, loki enakega polmera R1 označujejo točki 3 in 2. Točki A, 1, 2, 3, 4 razdeli krog na pet enakih delov.

2.4. Razdelitev kroga na sedem enakih delov

S konca premera, na primer, točke A narišite lok s polmerom R, ki je enak polmeru kroga (slika 7). Tetiva CD je enaka stranici pravilnega včrtanega trikotnika. Polovica tetive CD je v zadostnem približku enaka stranici pravilnega včrtanega sedmerokotnika, tj. razdeli krog na sedem enakih delov.

riž. 7

Literatura

Bogolyubov S.K. Inženirska grafika: učbenik za srednje specializirane izobraževalne ustanove. – 3. izd., prev. In dodatno - M.: Strojništvo, 2006. – 392 str.
Kuprikov M.Yu. Inženirska grafika: učbenik za srednješolske ustanove - M.: Bustard, 2010 - 495 str.: ilustr.
Fedorenko V.A., Šošin A.I. Priročnik za strojno risanje L.: Strojništvo. 1976. 336 str.

Poznavanje; da sta trikotnika na obeh stranicah in kotu med njima enaka, lahko s šestilom in ravnilom ta odsek razdelimo na dva enaka dela.

Če morate na primer segment razdeliti na pol A B(Slika 69), nato konico kompasa postavite na točke A I B in Okoli njih opisujejo, kot da so blizu središč, dva sekajoča se loka enakega polmera (slika 70). Njihove presečišča Z in D povezuje premo, ki AB na pol: JSC= OB.

Da se prepričate, da segmenti JSC in OB morajo biti enake, povežite pike C in D s konci A in IN segment (slika 71). Dobili boste dva trikotnika ACD in BCD, katere tri stranice so enake: AC= sonce; AD= BD; CD - skupna, tj. pripada obema trikotnikoma. To pomeni popolno enakost teh trikotnikov in torej enakost vseh kotov. Torej, mimogrede, koti so enaki ACD in BCD. Zdaj primerjamo trikotnike ASO in VSO, vidimo, da imajo stran OS – splošno, A.C.= CB, in kot med njima ASO = ug. VSO. Trikotnika sta enaka vzdolž dveh stranic in kota med njima; zato sta stranici enaki JSC in OB, torej točka O obstaja sredina AB.

§ 22. Kako sestaviti trikotnik s stranico in dvema kotoma

Na koncu razmislite o problemu, katerega rešitev vodi do konstrukcije trikotnika s stranico in dvema kotoma:

Na drugi strani reke (sl. 72) je viden miljnik A. Brez prečkanja reke je potrebno ugotoviti razdaljo do nje z mejnika IN na tej obali.

Naredimo to tako. Merimo od točke IN poljubna razdalja v ravni črti sonce in na njegovih koncih IN in Z Izmerimo kota 1 in 2 (slika 73). Če zdaj izmerimo razdaljo na priročnem območju DE, enaka sonce, in zgradite kote na njegovih koncih A in b(Sl. 74), enaka kotoma 1 in 2, potem na presečišču njunih stranic dobimo tretjo točko F trikotnik DEF. Preprosto je preveriti, da je trikotnik DEF enaka trikotniku ABC; res, če si predstavljamo, da je trikotnik DEF naloženo na ABC torej tista stran DE sovpadala s svojo enako stranjo sonce, nato ug. A bo sovpadal s kotom 1, kotom b – s kotom 2, in stran DF bo šel na stran VA, in stran E.F. na strani SA. Ker se dve črti lahko sekata le v eni točki, potem je vrh F mora sovpadati z vrhom A. Torej razdalja DF enaki zahtevani razdalji VA.

Problem, kot vidimo, ima samo eno rešitev. Na splošno lahko z uporabo stranice in dveh kotov, ki mejita na to stran, sestavimo samo en trikotnik; Na istih mestih ne more biti drugih trikotnikov z isto stranico in enakima dvema kotoma, ki mejita nanjo. Vse trikotnike, ki imajo eno enako stranico in dva enaka kota na istih mestih, lahko spravimo v popolno sovpadanje s superpozicijo. To pomeni, da je to znak, s katerim lahko ugotovimo popolno enakost trikotnikov.

Skupaj s prej uveljavljenimi znaki enakosti trikotnikov poznamo sedaj naslednje tri:

Trikotniki:

na treh straneh;

na obeh straneh in v vogalu med njima;

na strani in na dveh straneh.

Zaradi jedrnatosti bomo te tri primere enakosti trikotnikov nadalje označili takole:

na tri strani: SSS;

na dveh stranicah in kot med njima: SUS;

vzdolž strani in dveh vogalov: USU.

Aplikacije

14. Ugotoviti razdaljo do točke A na drugi strani reke od točke IN na tem bregu (sl. 5) izmerite neko črto v ravni liniji sonce, potem na točki IN sestavite kot, ki je enak ABC, na drugi strani sonce, in v bistvu Z- na enak način, kot enak DIA Točkovna razdalja D presečišče stranic obeh stranic kotov do točke IN enaki zahtevani razdalji AB. Zakaj?

Rešitev: Trikotniki ABC in BDC enako na eni strani ( sonce) in dva kota (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Zato, AB= ВD, kot stranice, ki ležijo v enakih trikotnikih proti enakim kotom.

§ 23. Paralelogrami

Od trikotnikov preidemo na štirikotnike, tj. na figure, omejene s 4 stranicami. Primer štirikotnika je kvadrat – štirikotnik, pri katerem so vse stranice enake in vsi koti pravi (slika 76). Druga vrsta štirikotnika, ki jo pogosto najdemo, je pravokotnik:

Tako se imenuje vsak štirikotnik s 4 pravimi koti (sliki 77 in 78). Kvadrat je tudi pravokotnik, vendar z enakimi stranicami.

Posebnost pravokotnika (in kvadrata) je, da sta oba para njegovih nasprotnih stranic vzporedna. V pravokotniku ABCD, na primer (slika 78), AB vzporedno DC,a AD vzporedno sonce To sledi iz dejstva, da sta obe nasprotni strani pravokotni na isto premico, in vemo, da sta dve navpičnici na eno premico med seboj vzporedni (§ 16).

Druga lastnost vsakega pravokotnika je, da so njegove nasprotne stranice med seboj enake. To lahko preverite, če nasprotni oglišči pravokotnika povežete z ravno črto, torej vanj narišete diagonalo. S povezovanjem A z Z(Narisano 79) dobimo dva trikotnika ABC in ADC. Enostavno je pokazati, da so ti trikotniki med seboj enaki: stranica AC – skupaj, ug. 1 = kot 2, ker so to navzkrižni koti z vzporednico AB in CD iz istega razloga sta kota 3 in 4 enaka Na isti strani in dva kota, trikotnika ABC in ACD enaka; torej stran AB= stran DC, in stran AD= stran sonce

Takšne štirikotnike, pri katerih sta nasprotni stranici, tako kot pri pravokotniku, vzporedni, imenujemo paralelogrami. Prekleto. 80 prikazuje primer paralelograma: AB vzporedno DC, A AD vzporedno pr. n. št. Prekleto.80

Pravokotnik je eden od paralelogramov, in sicer tak, v katerem so vsi koti pravi. Preprosto je preveriti, da ima vsak paralelogram naslednje lastnosti:

NASPROTNI KOT VZPOREDNI SLOVNICA ENAKO; Nasprotne strani

P a r l l e l o g r a m a v y s

Da bi to preverili, narišimo paralelogram ABCD(Slika 81) naravnost ВD(diagonala) in primerjaj trikotnike ABD in VDC. Ti trikotniki so skladni (primer USU): BD– skupna stran; ug. 1 = kot 2, kotiček 3 = kot 4 (zakaj?). Iz tega sledijo prej naštete lastnosti.

Paralelogram s štirimi enakimi stranicami se imenuje romb.

Ponovite vprašanja

Kakšno obliko imenujemo kvadrat? Pravokotnik? – Kaj imenujemo diagonala? – Katera figura se imenuje paralelogram? Diamant? – Označite lastnosti kotov in stranic poljubnega paralelograma. – Kateri pravokotnik imenujemo kvadrat? – Kateri paralelogram imenujemo pravokotnik? – Kakšne so podobnosti in razlike med kvadratom in rombom.

Poznavanje; da sta trikotnika na obeh stranicah in kotu med njima enaka, lahko s šestilom in ravnilom ta odsek razdelimo na dva enaka dela.

Da se prepričate, da segmenti JSC in OB morajo biti enake, povežite pike C in D s konci A in IN segment (slika 71). Dobili boste dva trikotnika ACD in BCD, katere tri stranice so enake: AC= sonce; AD = BD; CD - skupna, tj. pripada obema trikotnikoma. To pomeni popolno enakost teh trikotnikov in torej enakost vseh kotov. Torej, mimogrede, koti so enaki ACD in BCD. Zdaj primerjamo trikotnike ASO in VSO, vidimo, da imajo stran OS – splošno, A.C. = CB, in kot med njima ASO = ug. VSO. Trikotnika sta enaka vzdolž dveh stranic in kota med njima; zato sta stranici enaki JSC in OB, torej točka O obstaja sredina AB.

Kako sestaviti trikotnik s stranico in dvema kotoma

Na koncu razmislite o problemu, katerega rešitev vodi do konstrukcije trikotnika s stranico in dvema kotoma:

Na drugi strani reke (sl. 72) je viden miljnik A. Brez prečkanja reke je potrebno ugotoviti razdaljo do nje z mejnika IN na tej obali.

Naredimo to tako. Merimo od točke IN poljubna razdalja v ravni črti sonce in na njegovih koncih IN in Z Izmerimo kota 1 in 2 (slika 73). Če zdaj izmerimo razdaljo na priročnem območju DE, enaka sonce, in zgradite kote na njegovih koncih A in b(Sl. 74), enaka kotoma 1 in 2, potem na presečišču njunih stranic dobimo tretjo točko F trikotnik DEF. Preprosto je preveriti, da je trikotnik DEF enaka trikotniku ABC; res, če si predstavljamo, da je trikotnik DEF nadgrajeno ABC torej tista stran DE sovpadala s svojo enako stranjo sonce, nato ug. A bo sovpadal s kotom 1, kotom b – s kotom 2, in stran DF bo šel na stran VA, in stran E.F. na strani SA. Ker se dve črti lahko sekata le v eni točki, potem je vrh F mora sovpadati z vrhom A. Torej razdalja DF enaki zahtevani razdalji VA.

Skupaj s prej uveljavljenimi znaki enakosti trikotnikov poznamo sedaj naslednje tri:

Trikotniki:

na treh straneh;

na obeh straneh in v vogalu med njima;

na strani in na dveh straneh.

Zaradi jedrnatosti bomo te tri primere enakosti trikotnikov nadalje označili takole:

na tri strani: SSS;

na dveh stranicah in kot med njima: SUS;

vzdolž strani in dveh vogalov: USU.

Aplikacije

Paralelogrami

Tako se imenuje vsak štirikotnik s 4 pravimi koti (sliki 77 in 78). Kvadrat je tudi pravokotnik, vendar z enakimi stranicami.

Pravokotnik je eden od paralelogramov, in sicer tak, v katerem so vsi koti pravi. Preprosto je preveriti, da ima vsak paralelogram naslednje lastnosti:

NASPROTNI KOT VZPOREDNI SLOVNICA ENAKO; Nasprotne strani

P a r l l e l o g r a m a v y s

Paralelogram s štirimi enakimi stranicami se imenuje romb.

Ponovite vprašanja

Aplikacije

15. Kvadrat je narisan takole: ko odložiš eno stran, na koncih potegneš navpičnice nanjo, nanje položiš enake dolžine in konce povežeš z ravno črto (risba 82). Kako si lahko prepričan, da je četrta stranica narisanega štirikotnika enaka ostalim trem in da so vsi njegovi koti pravi koti?

Rešitev Če je bila tvorba izvedena tako, da v stran AB na točkah A in IN narisane so bile navpičnice, na katere so bile položene: AC = AB in DВ= AB, potem je treba dokazati, da so koti Z in D naravnost in kaj CD enako AB.Če želite to narediti, narišimo (slika 83) diagonalo A.D. Uf. CAD = A.D.B. kot ustrezne (za katere vzporedne?); AC= D.B., torej trikotniki CAD in SLAB enako (na podlagi SUS). Iz tega sklepamo, da CD = AB in ug. C = pravi kot IN. Kako dokazati, da četrti kot CDB je tudi ravno?

16. Kako narišemo pravokotnik? Zakaj lahko narisano figuro imenujemo pravokotnik? (Pokaži, da so vsi koti narisane figure pravi).

Rešitev je podobna rešitvi prejšnjega problema.

17. Dokaži, da sta obe diagonali pravokotnika enaki.

Rešitev (slika 84) izhaja iz enakosti trikotnikov ABC in ABD(temelji na SUS).

18. Dokaži, da se diagonali paralelograma razpolovita.

Rešitev: Primerjava (slika 85) trikotnikov ABO in DCO, poskrbimo, da so enaki (na podlagi USU). Od tod JSC= OS, 0V= OD.

19. Dolžino skupne navpičnice dveh vzporednih premic imenujemo razdalja med njima. Dokaži, da je razdalja med vzporednicama povsod enaka.

Namig: Kakšno obliko tvorijo vzporedne premice, med katerimi sta dve navpičnici?

IV. MERITEV POVRŠINE

Kvadratne mere. Paleta

Pri slikah je pogosto treba izmeriti ne le dolžino črt in kote med njimi, temveč tudi velikost površine, ki jo pokrivajo - to je njihovo območje. V katerih enotah se meri površina? Za merilo dolžine se vzame določena dolžina (meter, centimeter), za merilo kotov pa določen kot (1°); določeno območje se vzame kot merilo površine, in sicer površina kvadrata s stranico 1 meter, 1 cm itd. Takšen kvadrat se imenuje "kvadratni meter", "kvadratni centimeter" itd. izmeriti površino pomeni ugotoviti, koliko kvadratnih merskih enot je v njej.

Če območje, ki ga merite, ni veliko (prilega se listu papirja), ga je mogoče izmeriti na naslednji način. Prozoren papir razrežemo na centimetrske kvadrate in jih položimo na figuro, ki jo merimo. Potem ni težko neposredno prešteti, koliko kvadratnih centimetrov je v mejah figure. V tem primeru se nepopolni kvadratki blizu meje vzamejo (na oko) za polovico kvadrata, četrtino kvadrata itd., Ali pa jih miselno povežite več naenkrat v cele kvadrate. Tako grafiran prozoren papir imenujemo paleta. Ta metoda se pogosto uporablja za merjenje površin nepravilnih površin na načrtu.

Vendar ni vedno mogoče ali priročno naložiti mreže kvadratov na izmerjeno sliko. Na ta način je na primer nemogoče izmeriti površino tal ali parcele. V takih primerih se namesto neposrednega merjenja površine zatečejo k neprijetnemu, ki je sestavljen iz merjenja samo dolžine nekaterih linearnih figur in izvajanja določenih dejanj na dobljenih številkah. Kasneje bomo pokazali, kako se to naredi.

Ponovite vprašanja

Katere mere se uporabljajo za določanje površine figur? – Kaj je paleta in kako se uporablja?

Območje pravokotnika

Recimo, da morate določiti območje nekega pravokotnika, na primer, ABDC(risba 86). Merjeno z linearno enoto, npr. meter, dolžina tega odseka. Predpostavimo, da je meter položen 5-krat po dolžini. Območje razdelimo na prečne pasove širine enega metra, kot je prikazano na sl. 87. Očitno bo 5 takih trakov. Nato izmerimo širino območja z metrom. naj bo 3 metre. Območje bomo razdelili na vzdolžne pasove širine 1 meter, kot je prikazano na sl. 88; seveda jih bo 3. Vsak od petih prečnih pasov bo razrezan na 3 kvadratne metre, celotna parcela pa bo razdeljena na 5 x 3 = 15 kvadratov s stranico 1 meter: izvedeli smo, da je parcela. obsega 15 kvadratnih metrov. metrov. Vendar bi lahko dobili isto številko 15, ne da bi grafično prikazali ploščino, ampak le tako, da bi njeno dolžino pomnožili z njeno širino. Torej, če želite izvedeti, koliko kvadratnih metrov je v pravokotniku, morate izmeriti njegovo dolžino, širino in pomnožiti obe številki.

V obravnavanem primeru smo dolžinsko enoto - meter - postavili na obe strani pravokotnika celo število krat. Podrobni matematični učbeniki dokazujejo, da velja zdaj uveljavljeno pravilo tudi, kadar stranice pravokotnika ne vsebujejo celega števila dolžinskih enot. V vseh primerih:

Območje pravokotnega območja

zmnožek dolžine s širino,

ali, kot pravijo, v geometriji, – svoje

"osnova" na "višina".

Če je dolžina osnove pravokotnika označena s črko A, dolžina višine pa je črka b, nato njegovo območje S enako

S = a? b,

ali preprosto S = ab, ker znak za množenje ni postavljen med črkama.

Zlahka je razumeti, da morate za določitev površine kvadrata pomnožiti dolžino njegove stranice s samim seboj, to je "dvigniti ga s kvadratom." Z drugimi besedami:

Površina kvadrata je enaka strani kvadrata. Če je dolžina stranice kvadrata A, nato njegovo območje S enako

S= a? a = a 2.

Če to vemo, je mogoče vzpostaviti razmerje med različnimi kvadratnimi enotami. Na primer, kvadratni meter vsebuje kvadratne decimetre 10 X 10, to je 100, in kvadratne centimetre 100 X 100, to je 10.000 - ker se linearni centimeter prilega kvadratnemu decimetru 10-krat, kvadratni meter pa 100 enkrat.

Za merjenje zemljiških parcel se uporablja posebna mera - hektar, ki obsega 10.000 kvadratnih metrov. Kvadratna parcela s stranico 100 metrov ima površino 1 hektar; pravokotna parcela z osnovo 200 metrov in višino 150 metrov ima površino 200 x 150, to je 30.000 kvadratnih metrov. m ali 3 hektarje. Merijo se velika območja - kot so okrožja in okrožja

KVADRATNI KILOMETRI.

Skrajšana oznaka za kvadratne mere je:

kvadrat meter…………………………………. kv. m ali m2

kvadrat decimeter……………………………. kv. dm ali dm2

kvadrat centimeter ………………………… kv. cm ali cm2

kvadrat milimeter……………………….. sq. mm ali mm2

hektar…………………………………….. ha

Ponovite vprašanja

Kako se izračuna površina pravokotnika? kvadrat? - Koliko kvadratnih metrov cm na kvadratni m? Koliko kvadratnih metrov mm v kvadratnih m? – Kaj je hektar? – Koliko hektarjev ima kvadrat? km? Kakšna je okrajšava za kvadratne mere?

Aplikacije

20. Notranjost prostora, prikazanega na risbi, je potrebno poslikati. 6. Mere so navedene v metrih. Koliko materiala in dela bo za to potrebno, če vemo, da je treba pobarvati en kvadratni meter? metrov lesenih podov s kitom razpok in vej preko predhodno prebarvanega, za dva, potrebno (po urgentnih predpisih):

Malyarov………………………………….. 0,044

Sušilna olja, kilogrami…………………….… 0,18

Svetlo oker, kg…………………………… 0;099

Kiti, kg…………………………………0,00225

Plovec, kg………………………………….. 0,0009.

Rešitev: Ali je površina tal 8? 12 = 96 kvadratnih metrov m.

Poraba materiala in dela je naslednja

Malyarov ........ 0,044? 96 = 4,2

Sušilna olja......0,18? 96 = 17 kg

Oker......... 0,099? 96 – 9,9 kg

Kiti......0,00225? 96 = 0,22 kg

Plovec.........0,0009? 96 = 0,09 kg.

21. Naredite izjavo o porabi dela in materialov za tapetiranje prejšnje sobe. naloge. Za oblaganje sten s preprostimi tapetami z obrobami je potrebno (v skladu z lokalnimi predpisi) na m2. meter:

Slikopleskarji ali tapetniki………………………… 0,044

Tapete (širine 44 cm) kosi……………………… 0,264

Robnik (po izračunu)

Grami škroba………………………………. 90.

Rešitev - po vzorcu, navedenem v prejšnjem problemu. Opozorimo le, da se pri izračunu potrebne količine tapet v praksi odprtine sten ne odštejejo od njihove površine (saj se pri nameščanju figur v sosednje plošče del tapete izgubi).

Območje trikotnika

Najprej razmislimo, kako se izračuna površina pravokotnega trikotnika. Recimo, da moramo določiti površino trikotnika ABC(slika 89), v kateri je kot IN- naravnost. Popeljemo vas med vrhove A in Z ravne črte, vzporedne z nasprotnimi stranicami. Dobimo (slika 90) pravokotnik ABCD(zakaj je ta lik pravokotnik?), ki je razdeljen z diagonalo AC na dva enaka trikotnika (zakaj?). Območje tega pravokotnika je ah; površina našega trikotnika je polovica površine pravokotnika, tj. enaka 1/2 ah. Torej je površina katerega koli pravokotnega trikotnika enaka polovici produkta njegovih stranic, ki oklepajo pravi kot.

Recimo, da morate zdaj določiti območje poševnega (tj. Ne pravokotnega) trikotnika - na primer. ABC(risba 91). Skozi eno od njegovih oglišč potegnemo pravokotno na nasprotno stran; tako navpičnico imenujemo višina tega trikotnika, stranica, na katero je narisana, pa je osnova trikotnika. Višino označimo z h, segmenti, na katere deli osnovo, pa so str in q. Območje pravokotnega trikotnika ABD, kot že vemo, je enako 1/2 tel; kvadrat VDC = 1/2 qh. kvadrat S trikotnik ABC enaka vsoti teh površin: S= 1/2 tel + 1/2 qh = 1/2 h (R+ q). Ampak R+ q = a; torej S = 1/2 ah.

Tega razmišljanja ni mogoče neposredno uporabiti za trikotnik s topim kotom (slika 92), ker se pravokotnik CD ne seka z osnovo AB, in njegovo nadaljevanje. V tem primeru moramo razmišljati drugače. Označimo segment AD skozi p, BD- skozi, q, torej osnova A trikotnik je enak str – q. Območje našega trikotnika ABC enaka razliki ploščin dveh trikotnikov ADC – BDC = 1/2 tel – 1/2 qh = 1/2 h (str – q) = 1/2 ah.

Torej je v vseh primerih površina trikotnika enaka polovici produkta katere koli njegove baze in ustrezne višine.

Iz tega sledi, da imajo trikotniki z enakimi osnovami in višinami enake ploščine ali, kot pravijo,

enako.

Na splošno se številke, ki imajo enake površine, imenujejo enake velikosti, tudi če same figure niso bile enake (to pomeni, da niso sovpadale, ko so bile prekrite).

Ponovite vprašanja

Kako se imenuje višina trikotnika? Osnova trikotnika? – Koliko višin lahko narišemo v en trikotnik? – Nariši trikotnik s topim kotom in vanj nariši vse višine. – Kako se izračuna ploščina trikotnika? Kako to pravilo izraziti v formuli? – Katere figure se imenujejo enako velike?

Aplikacije

22. Zelenjavni vrt ima obliko trikotnika z osnovo 13,4 m in višino 37,2 m... Koliko semen (po masi) potrebujemo, da ga posadimo z zeljem, če na kvadratni meter? m je 0,5 grama semen?

Rešitev: Ali je površina zelenjavnega vrta 13,4? 37,2 = 498 kvadratnih metrov m.

Potrebovali boste 250 g semen.

23. Paralelogram je z diagonalami razdeljen na 4 trikotne dele. Kateri ima največjo površino?

Rešitev. Vsi 4 trikotniki so enako veliki, saj imajo enake osnove in višine.

Območje paralelograma

Pravilo za izračun površine paralelograma se vzpostavi zelo preprosto, če ga razdelite z diagonalo na dva trikotnika. Na primer, območje paralelograma ABCD(slika 93) je enaka dvakratni površini vsakega od dveh enakih trikotnikov, na katere je razdeljen z diagonalo AC. Označevanje osnove trikotnika ADC skozi A, in višino skozi h, dobimo območje S paralelogram

Pravokotno h se imenuje "višina paralelograma" in stranica A, na katerega je narisan - "osnova paralelograma". Zato je zdaj vzpostavljeno pravilo mogoče navesti takole:

Površina paralelograma je enaka produktu katere koli nove višine.

Ponovite vprašanja

Kaj je osnova in višina paralelograma? Kako se izračuna površina paralelograma? – To pravilo izrazite s formulo. – Kolikokrat je ploščina paralelograma večja od ploščine trikotnika z enako osnovo in višino? – Kateri lik ima največjo ploščino ob enakih višinah in osnovah: pravokotnik ali paralelogram?

Aplikacija

24. Kvadrat s stranico 12,4 cm je po velikosti enak paralelogramu z višino 8,8 cm.

Rešitev tega kvadrata in s tem paralelograma je 12,42 = 154 kvadratnih metrov. Zahtevana osnova je 154 : 8,8 = 18 cm.

Območje trapeza

Poleg paralelogramov si oglejmo še eno vrsto štirikotnikov – in sicer tiste, ki imajo samo en par vzporednih stranic (slika 94). Takšne figure imenujemo trapezi. Vzporedne stranice trapeza imenujemo njegove osnovke, stranice, ki niso vzporedne, pa njegove stranice.

Sranje. 94 Prekleto. 95

Vzpostavimo pravilo za izračun površine trapeza. Recimo, da moramo izračunati površino trapeza ABCD(Sl. 95), katerih dolžina baz a in b. Narišimo diagonalo AC, ki razreže trapez na dva trikotnika ACD in ABC. To vemo

območje ACD = 1/2 ah

območje ABC = 1/2 bh.

območje ABCD= 1/2 ah+ 1/2 bh= 1/2 (a+ b) h.

Od razdalje h med osnovami trapeza se imenuje njegova višina, potem lahko pravilo za izračun površine trapeza navedemo takole:

Površina trapeza je enaka polovici vsote, pomnoženi z in v vas s približno t at.

Ponovite vprašanja

Kakšno obliko imenujemo trapez? Kako se imenujejo osnove trapeza, njegove stranice in višina? – Kako se izračuna ploščina trapeza?

Aplikacije

25. Odsek ulice ima obliko trapeza z osnovami 180 m in 170 m ter višino 8,5 m. Koliko lesenih blokov bo potrebnih za njegovo polaganje, če na kvadratni meter. m je 48 damarjev?

Rešitev je 8,5 H = (180 + 170) / 2 = 1490 kvadratnih metrov. m. Število damarjev = 72.000.

26. Naklon strehe ima obliko trapeza, katerega osnove so 23,6 m in 19,8 m, višina pa 8,2 m. Koliko materiala in dela bo potrebno za pokrivanje, če na kvadratni meter. m potrebno:

Železne pločevine...... 1.23

Strešni žeblji kg.... 0,032

Sušilna olja kg........0,036

Krovci...... 0,45.

Rešitev: Ali je površina naklona enaka 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 kvadratnih metrov. m. Vse številke na tablici je treba pomnožiti s 178.