Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
Med vso raznolikostjo logaritemskih neenakosti se neenačbe s spremenljivo osnovo proučujejo posebej. Rešujejo se s posebno formulo, ki se iz nekega razloga redko poučuje v šoli:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Namesto potrditvenega polja “∨” lahko postavite poljuben znak neenakosti: več ali manj. Glavna stvar je, da so v obeh neenakostih znaki enaki.
Tako se znebimo logaritmov in zmanjšamo problem na racionalno neenakost. Slednje je veliko lažje rešiti, vendar se lahko pri zavrženju logaritmov pojavijo dodatni koreni. Da bi jih odrezali, je dovolj najti obseg sprejemljivih vrednosti. Če ste pozabili ODZ logaritma, toplo priporočam, da ga ponovite - glejte "Kaj je logaritem".
Vse, kar je povezano z območjem sprejemljivih vrednosti, je treba zapisati in rešiti posebej:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Te štiri neenakosti sestavljajo sistem in morajo biti izpolnjene hkrati. Ko je razpon sprejemljivih vrednosti najden, ostane le še, da ga presekamo z rešitvijo racionalne neenakosti - in odgovor je pripravljen.
Naloga. Reši neenačbo:
Najprej zapišimo ODZ logaritma:
Prvi dve neenakosti sta izpolnjeni samodejno, zadnjo pa bo treba izpisati. Ker je kvadrat števila nič, če in samo če je število samo nič, imamo:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Izkaže se, da so ODZ logaritma vsa števila razen nič: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Zdaj rešimo glavno neenakost:
Naredimo prehod iz logaritemske neenakosti v racionalno. Prvotna neenakost ima predznak "manj kot", kar pomeni, da mora imeti tudi nastala neenakost predznak "manj kot". Imamo:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Ničle tega izraza so: x = 3; x = −3; x = 0. Poleg tega je x = 0 koren druge mnogokratnosti, kar pomeni, da se predznak funkcije pri prehodu skozi njega ne spremeni. Imamo:
Dobimo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ta niz je v celoti vsebovan v ODZ logaritma, kar pomeni, da je to odgovor.
Pretvarjanje logaritemskih neenakosti
Pogosto se prvotna neenakost razlikuje od zgornje. To je mogoče enostavno popraviti s standardnimi pravili za delo z logaritmi - glejte "Osnovne lastnosti logaritmov". namreč:
- Vsako število je mogoče predstaviti kot logaritem z dano osnovo;
- Vsoto in razliko logaritmov z enakimi osnovami lahko nadomestimo z enim logaritmom.
Ločeno bi vas rad spomnil na obseg sprejemljivih vrednosti. Ker je lahko v izvirni neenakosti več logaritmov, je treba najti VA vsakega izmed njih. Tako je splošna shema za reševanje logaritemskih neenakosti naslednja:
- Poiščite VA vsakega logaritma, vključenega v neenakost;
- Zmanjšaj neenakost na standardno z uporabo formul za seštevanje in odštevanje logaritmov;
- Nastalo neenačbo rešite po zgornji shemi.
Naloga. Reši neenačbo:
Poiščimo definicijsko domeno (DO) prvega logaritma:
Rešujemo z intervalno metodo. Iskanje ničel števca:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Potem - ničle imenovalca:
x − 1 = 0;
x = 1.
Na koordinatni puščici označimo ničle in znake:
Dobimo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritem bo imel enak VA. Če mi ne verjamete, lahko preverite. Zdaj transformiramo drugi logaritem tako, da je osnova dve:
Kot lahko vidite, so bile trojke na dnu in pred logaritmom zmanjšane. Dobili smo dva logaritma z isto osnovo. Seštejmo jih:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Dobili smo standardno logaritemsko neenakost. Logaritmov se znebimo s formulo. Ker izvirna neenakost vsebuje znak "manj kot", mora biti tudi dobljeni racionalni izraz manjši od nič. Imamo:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Imamo dva kompleta:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).
Ostaja še presekati te nize - dobili bomo pravi odgovor:
Zanima nas presečišče množic, zato izberemo intervale, ki so zasenčeni na obeh puščicah. Dobimo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - vse točke so preluknjane.
Ali menite, da je pred enotnim državnim izpitom še čas in se boste imeli čas pripraviti? Morda je temu tako. Vsekakor pa, prej ko se študent začne s pripravami, bolj uspešno opravi izpite. Danes smo se odločili, da članek posvetimo logaritemskim neenakostim. To je ena od nalog, ki pomeni možnost pridobitve dodatnega kredita.
Ali že veš, kaj je logaritem? Resnično upamo. Toda tudi če na to vprašanje nimate odgovora, to ni problem. Razumeti, kaj je logaritem, je zelo preprosto.
Zakaj 4? Število 3 morate povečati na to potenco, da dobite 81. Ko razumete načelo, lahko nadaljujete z bolj zapletenimi izračuni.
Pred nekaj leti ste šli skozi neenakosti. In od takrat jih pri matematiki nenehno srečuješ. Če imate težave pri reševanju neenakosti, si oglejte ustrezen razdelek.
Zdaj, ko smo se seznanili s pojmi posamično, preidimo na njihovo splošno obravnavo.
Najenostavnejša logaritemska neenakost.
Najenostavnejše logaritemske neenakosti niso omejene na ta primer, obstajajo pa še tri, le z različnimi predznaki. Zakaj je to potrebno? Za boljše razumevanje reševanja neenačb z logaritmi. Zdaj pa dajmo bolj uporaben primer, ki je še vedno precej preprost;
Kako to rešiti? Vse se začne z ODZ. Vredno je vedeti več o tem, če želite vedno enostavno rešiti vsako neenakost.
Kaj je ODZ? ODZ za logaritemske neenakosti
Okrajšava pomeni obseg sprejemljivih vrednosti. Ta formulacija se pogosto pojavlja v nalogah za enotni državni izpit. ODZ vam ne bo koristil samo v primeru logaritemskih neenakosti.
Poglejte še enkrat zgornji primer. Na njegovi podlagi bomo upoštevali ODZ, da boste razumeli načelo in reševanje logaritemskih neenakosti ne postavlja vprašanj. Iz definicije logaritma sledi, da mora biti 2x+4 večje od nič. V našem primeru to pomeni naslednje.
To število mora biti po definiciji pozitivno. Rešite zgoraj predstavljeno neenačbo. To lahko storimo celo ustno, tukaj je jasno, da X ne more biti manjši od 2. Rešitev neenakosti bo opredelitev območja sprejemljivih vrednosti.
Zdaj pa preidimo na reševanje najpreprostejše logaritemske neenakosti.
Same logaritme z obeh strani neenakosti zavržemo. Kaj nam posledično ostane? Preprosta neenakost.
Ni težko rešiti. X mora biti večji od -0,5. Zdaj združimo dve dobljeni vrednosti v sistem. torej
To bo obseg sprejemljivih vrednosti za obravnavano logaritemsko neenakost.
Zakaj sploh potrebujemo ODZ? To je priložnost za izločanje nepravilnih in nemogočih odgovorov. Če odgovor ni v območju sprejemljivih vrednosti, potem odgovor preprosto nima smisla. To si je vredno zapomniti dolgo časa, saj je na Enotnem državnem izpitu pogosto treba iskati ODZ in ne zadeva le logaritemskih neenakosti.
Algoritem za reševanje logaritemske neenačbe
Rešitev je sestavljena iz več faz. Najprej morate najti obseg sprejemljivih vrednosti. V ODZ bosta dva pomena, o tem smo razpravljali zgoraj. Nato morate rešiti samo neenakost. Metode rešitve so naslednje:
- metoda zamenjave množitelja;
- razgradnja;
- metoda racionalizacije.
Glede na situacijo je vredno uporabiti eno od zgornjih metod. Pojdimo neposredno k rešitvi. Naj razkrijemo najbolj priljubljeno metodo, ki je primerna za reševanje nalog enotnega državnega izpita v skoraj vseh primerih. Nato si bomo ogledali metodo razgradnje. Pomaga lahko, če naletite na posebno težavno neenakost. Torej, algoritem za reševanje logaritemske neenakosti.
Primeri rešitev :
Ni zaman, da smo vzeli točno to neenakost! Bodite pozorni na podlago. Ne pozabite: če je večji od ena, ostane znak enak pri iskanju območja sprejemljivih vrednosti; sicer morate spremeniti znak neenakosti.
Kot rezultat dobimo neenakost:
Sedaj reduciramo levo stran na obliko enačbe, ki je enaka nič. Namesto znaka »manj kot« postavimo »enako« in rešimo enačbo. Tako bomo našli ODZ. Upamo, da pri reševanju tako preproste enačbe ne boste imeli težav. Odgovora sta -4 in -2. To še ni vse. Te točke morate prikazati na grafu, tako da postavite "+" in "-". Kaj je treba narediti za to? Števila iz intervalov nadomestite v izraz. Kjer so vrednosti pozitivne, tam postavimo "+".
Odgovori: x ne more biti večji od -4 in manjši od -2.
Našli smo obseg sprejemljivih vrednosti samo za levo stran; zdaj moramo najti obseg sprejemljivih vrednosti za desno stran. To je veliko lažje. Odgovor: -2. Obe nastali področji sekamo.
In šele zdaj se začenjamo ukvarjati s samo neenakostjo.
Čimbolj ga poenostavimo, da bo lažje rešljiv.
Pri reševanju ponovno uporabimo intervalno metodo. Preskočimo izračune, vse je jasno že iz prejšnjega primera. Odgovori.
Toda ta metoda je primerna, če ima logaritemska neenakost enake baze.
Reševanje logaritemskih enačb in neenačb z različnimi osnovami zahteva začetno redukcijo na isto osnovo. Nato uporabite zgoraj opisano metodo. Vendar obstaja bolj zapleten primer. Razmislimo o eni najbolj zapletenih vrst logaritemskih neenakosti.
Logaritemske neenačbe s spremenljivo osnovo
Kako rešiti neenačbe s takimi značilnostmi? Da, in takšne ljudi je mogoče najti na Enotnem državnem izpitu. Reševanje neenačb na naslednji način bo ugodno vplivalo tudi na vaš izobraževalni proces. Oglejmo si težavo podrobno. Zavrzimo teorijo in pojdimo naravnost k praksi. Za reševanje logaritemskih neenakosti je dovolj, da se enkrat seznanite s primerom.
Za rešitev logaritemske neenačbe predstavljene oblike je treba desno stran reducirati na logaritem z isto osnovo. Princip je podoben enakovrednim prehodom. Posledično bo neenakost videti takole.
Pravzaprav ostane le še, da sestavimo sistem neenačb brez logaritmov. Z metodo racionalizacije preidemo na ekvivalentni sistem neenačb. Samo pravilo boste razumeli, ko boste zamenjali ustrezne vrednosti in sledili njihovim spremembam. Sistem bo imel naslednje neenakosti.
Ko pri reševanju neenačb uporabljate metodo racionalizacije, si morate zapomniti naslednje: ena je treba odšteti od osnove, x se po definiciji logaritma odšteje od obeh strani neenakosti (desno od leve), dva izraza se pomnožita. in nastavite pod prvotnim znakom glede na nič.
Nadaljnja rešitev se izvaja z intervalno metodo, tukaj je vse preprosto. Pomembno je, da razumete razlike v metodah reševanja, potem se bo vse začelo zlahka odvijati.
V logaritemskih neenakostih je veliko odtenkov. Najenostavnejše od njih je precej enostavno rešiti. Kako lahko rešite vsakega od njih brez težav? Vse odgovore ste že prejeli v tem članku. Zdaj je pred vami dolga vadba. Nenehno vadite reševanje različnih problemov na izpitu in dobili boste najvišjo oceno. Vso srečo pri vaši težki nalogi!
Logaritemske neenakosti
V prejšnjih urah smo se seznanili z logaritemskimi enačbami in zdaj vemo, kaj so in kako jih rešujemo. Današnja lekcija bo namenjena preučevanju logaritemskih neenakosti. Kakšne so te neenačbe in kakšna je razlika med reševanjem logaritemske enačbe in neenačbe?
Logaritemske neenakosti so neenačbe, ki imajo spremenljivko pod znakom logaritma ali na njegovi osnovi.
Ali pa lahko tudi rečemo, da je logaritemska neenakost tista neenakost, v kateri bo njena neznana vrednost, kot v logaritemski enačbi, prikazana pod znakom logaritma.
Najenostavnejše logaritemske neenakosti imajo naslednjo obliko:
kjer sta f(x) in g(x) nekatera izraza, ki sta odvisna od x.
Poglejmo si to s tem primerom: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Reševanje logaritemskih neenačb
Preden rešimo logaritemske neenakosti, velja omeniti, da so rešene podobne eksponentnim neenakostim, in sicer:
Prvič, ko prehajamo od logaritmov k izrazom pod znakom logaritma, moramo primerjati tudi osnovo logaritma z ena;
Drugič, pri reševanju logaritemske neenačbe s spremembo spremenljivk moramo neenakosti reševati glede na spremembo, dokler ne dobimo najpreprostejše neenakosti.
Toda ti in jaz sva obravnavala podobne vidike reševanja logaritemskih neenakosti. Zdaj pa bodimo pozorni na precej pomembno razliko. Vi in jaz vemo, da ima logaritemska funkcija omejeno domeno definicije, zato moramo pri prehodu od logaritmov do izrazov pod znakom logaritma upoštevati obseg dovoljenih vrednosti (ADV).
To pomeni, da je treba upoštevati, da lahko pri reševanju logaritemske enačbe najprej najdemo korenine enačbe in nato preverimo to rešitev. Toda reševanje logaritemske neenačbe na ta način ne bo šlo, saj bo treba pri prehodu od logaritmov k izrazom pod znakom logaritma zapisati ODZ neenačbe.
Poleg tega si velja zapomniti, da je teorija neenakosti sestavljena iz realnih števil, ki so pozitivna in negativna števila, ter števila 0.
Na primer, ko je število "a" pozitivno, potem morate uporabiti naslednji zapis: a >0. V tem primeru bosta tako vsota kot zmnožek teh števil tudi pozitivna.
Glavno načelo pri reševanju neenačbe je, da jo nadomestimo s preprostejšo neenačbo, glavno pa je, da je enakovredna dani. Nadalje smo dobili tudi neenačbo in jo spet nadomestili z enostavnejšo obliko itd.
Ko rešujete neenačbe s spremenljivko, morate najti vse njene rešitve. Če imata dve neenačbi enako spremenljivko x, sta takšni neenačbi enakovredni, če njuni rešitvi sovpadata.
Pri izvajanju nalog za reševanje logaritemskih neenakosti se morate spomniti, da ko je a > 1, se logaritemska funkcija poveča, ko pa 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Metode reševanja logaritemskih neenačb
Zdaj pa si poglejmo nekaj metod, ki se uporabljajo pri reševanju logaritemskih neenakosti. Za boljše razumevanje in asimilacijo jih bomo poskušali razumeti s posebnimi primeri.
Vsi vemo, da ima najpreprostejša logaritemska neenakost naslednjo obliko:
V tej neenakosti je V – eden od naslednjih znakov neenakosti:<,>, ≤ ali ≥.
Ko je osnova danega logaritma večja od ena (a>1), kar pomeni prehod iz logaritmov v izraze pod znakom logaritma, se v tej različici znak neenakosti ohrani in neenakost bo imela naslednjo obliko:
kar je enakovredno temu sistemu:
V primeru, ko je osnova logaritma večja od nič in manjša od ena (0 To je enakovredno temu sistemu: Oglejmo si več primerov reševanja najpreprostejših logaritemskih neenakosti, prikazanih na spodnji sliki: telovadba. Poskusimo rešiti to neenakost: Reševanje območja sprejemljivih vrednosti. Zdaj pa poskusimo pomnožiti njegovo desno stran z: Poglejmo, kaj lahko izmislimo: Zdaj pa preidimo na pretvorbo sublogaritemskih izrazov. Ker je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; In iz tega sledi, da interval, ki smo ga dobili, v celoti pripada ODZ in je rešitev takšne neenačbe. Tukaj je odgovor, ki smo ga dobili: Zdaj pa poskusimo analizirati, kaj potrebujemo za uspešno reševanje logaritemskih neenakosti? Najprej osredotočite vso svojo pozornost in poskušajte ne delati napak pri izvajanju transformacij, ki so podane v tej neenakosti. Prav tako je treba zapomniti, da se je treba pri reševanju takšnih neenačb izogibati širjenju in krčenju neenačb, kar lahko privede do izgube ali pridobitve tujih rešitev. Drugič, pri reševanju logaritemskih neenačb se morate naučiti logično razmišljati in razumeti razliko med koncepti, kot sta sistem neenačb in množica neenačb, da boste lahko enostavno izbirali rešitve neenačbe, pri čemer se boste ravnali po njenem DL. Tretjič, za uspešno reševanje takšnih neenakosti mora vsak od vas popolnoma poznati vse lastnosti elementarnih funkcij in jasno razumeti njihov pomen. Takšne funkcije vključujejo ne le logaritemske, ampak tudi racionalne, močne, trigonometrične itd., Z eno besedo, vse tiste, ki ste jih študirali med šolsko algebro. Kot lahko vidite, ko ste preučili temo logaritemskih neenakosti, pri reševanju teh neenakosti ni nič težkega, če ste previdni in vztrajni pri doseganju svojih ciljev. Da bi se izognili težavam pri reševanju neenačb, morate čim več vaditi, reševati različne naloge in se hkrati spomniti osnovnih metod reševanja takšnih neenačb in njihovih sistemov. Če vam ne uspe rešiti logaritemskih neenakosti, morate skrbno analizirati svoje napake, da se v prihodnosti ne bi več vračali k njim. Za boljše razumevanje teme in utrjevanje obravnavane snovi rešite naslednje neenačbe:
Reševanje primerov
3x > 24;
x > 8. 
Kaj je potrebno za reševanje logaritemskih neenakosti?
Domača naloga
