Razmislite o naslednjih enačbah:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Vsaka od zgoraj predstavljenih enačb je enačba z dvema spremenljivkama. Množica točk na koordinatni ravnini, katerih koordinate pretvorijo enačbo v pravilno numerično enakost, se imenuje graf enačbe v dveh neznankah.

Grafično prikazovanje enačbe v dveh spremenljivkah

Enačbe z dvema spremenljivkama imajo veliko različnih grafov. Na primer, za enačbo 2*x + 3*y = 15 bo graf ravna črta, za enačbo x 2 + y 2 = 4 bo graf krog s polmerom 2, graf enačbe y* x = 1 bo hiperbola itd.

Celotne enačbe z dvema spremenljivkama imajo tudi koncept stopnje. Ta stopnja je določena na enak način kot za celotno enačbo z eno spremenljivko. Če želite to narediti, pripeljite enačbo v obliko, kjer je leva stran polinom standardne oblike, desna stran pa nič. To se naredi z enakovrednimi transformacijami.

Grafična metoda za reševanje sistemov enačb

Ugotovimo, kako rešiti sistem enačb, ki bo sestavljen iz dveh enačb z dvema spremenljivkama. Oglejmo si grafično metodo za reševanje takih sistemov.

Primer 1. Rešite sistem enačb:

(x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Zgradimo grafa prve in druge enačbe v istem koordinatnem sistemu. Graf prve enačbe bo krog s središčem v izhodišču in polmerom 5. Graf druge enačbe bo parabola z vejami, ki gredo navzdol.

Vse točke na grafih bodo ustrezale vsaka svoji enačbi. Najti moramo točke, ki bodo zadostile tako prvi kot drugi enačbi. Očitno bosta to točki, kjer se ta dva grafa sekata.

Z našo risbo najdemo približne vrednosti koordinat, na katerih se te točke sekajo. Dobimo naslednje rezultate:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

To pomeni, da ima naš sistem enačb štiri rešitve.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Če te vrednosti nadomestimo v enačbe našega sistema, lahko vidimo, da sta prva in tretja rešitev približni, druga in četrta pa natančni. Za oceno števila korenin in njihovih približnih meja se pogosto uporablja grafična metoda. Rešitve so pogosto približne in ne točne.

Prva stopnja

Reševanje enačb, neenačb, sistemov s pomočjo funkcijskih grafov. Vizualni vodnik (2019)

Številne naloge, ki smo jih navajeni računati čisto algebratično, lahko rešimo veliko lažje in hitreje, pri tem pa nam bodo pomagali grafi funkcij. Pravite "kako to?" nekaj narisati in kaj narisati? Verjemite mi, včasih je bolj priročno in lažje. Naj začnemo? Začnimo z enačbami!

Grafično reševanje enačb

Grafično reševanje linearnih enačb

Kot že veste, je graf linearne enačbe ravna črta, od tod tudi ime te vrste. Linearne enačbe je precej enostavno rešiti algebraično – vse neznanke prenesemo na eno stran enačbe, vse, kar vemo, na drugo in voila! Našli smo koren. Zdaj vam bom pokazal, kako to storiti grafično.

Torej imate enačbo:

Kako to rešiti?
Možnost 1, najpogostejši pa je, da premaknemo neznane na eno stran in znane na drugo, dobimo:

Zdaj pa gradimo. Kaj si dobil?

Kaj mislite, kaj je koren naše enačbe? Tako je, koordinata presečišča grafov je:

Naš odgovor je

To je vsa modrost grafične rešitve. Kot lahko preprosto preverite, je koren naše enačbe število!

Kot sem rekel zgoraj, je to najpogostejša možnost, blizu algebraične rešitve, vendar jo lahko rešite na drug način. Če želimo razmisliti o alternativni rešitvi, se vrnimo k naši enačbi:

Tokrat ne bomo ničesar premikali z ene strani na drugo, temveč bomo neposredno zgradili grafe, saj že obstajajo:

Zgrajeno? Pa poglejmo!

Kakšna je tokratna rešitev? Tako je. Ista stvar - koordinata presečišča grafov:

In spet je naš odgovor.

Kot lahko vidite, je z linearnimi enačbami vse izjemno preprosto. Čas je, da pogledamo nekaj bolj kompleksnega ... Npr. grafično reševanje kvadratnih enačb.

Grafično reševanje kvadratnih enačb

Torej, zdaj začnimo reševati kvadratno enačbo. Recimo, da morate najti korenine te enačbe:

Seveda lahko zdaj začnete šteti skozi diskriminanto ali po Vietovem izreku, vendar se marsikdo brez živcev zmoti pri množenju ali kvadriranju, sploh če gre za primer z velikimi številkami, in kot veste, ste zmagali. Nimam kalkulatorja za izpit... Zato se poskusimo malo sprostiti in risat med reševanjem te enačbe.

Rešitve te enačbe je mogoče najti grafično na različne načine. Oglejmo si različne možnosti, vi pa lahko izberete, katera vam je najbolj všeč.

Metoda 1. Neposredno

Enostavno zgradimo parabolo s to enačbo:

Da bi to naredili hitro, vam bom dal majhen namig: Konstrukcijo je priročno začeti z določitvijo vrha parabole. Naslednje formule bodo pomagale določiti koordinate vrha parabole:

Rekli boste »Stop! Formula za je zelo podobna formuli za iskanje diskriminante,« da, je, in to je velika pomanjkljivost »neposrednega« konstruiranja parabole za iskanje njenih korenin. Vendar pa preštejmo do konca, potem pa vam bom pokazal, kako to narediti veliko (veliko!) lažje!

Ste šteli? Katere koordinate ste dobili za vrh parabole? Ugotovimo skupaj:

Popolnoma enak odgovor? Dobro opravljeno! In zdaj že poznamo koordinate oglišča, a za konstrukcijo parabole potrebujemo več... točk. Koliko najmanj točk mislite, da potrebujemo? Prav, .

Veste, da je parabola simetrična glede na svoje oglišče, na primer:

V skladu s tem potrebujemo še dve točki na levi ali desni veji parabole, v prihodnosti pa bomo te točke simetrično odražali na nasprotni strani:

Vrnimo se k naši paraboli. Za naš primer pika. Potrebujemo še dve točki, da lahko vzamemo pozitivne ali lahko vzamemo negativne? Katere točke so za vas najbolj primerne? Zame je bolj priročno delati s pozitivnimi, zato bom izračunal na in.

Zdaj imamo tri točke, lahko enostavno sestavimo našo parabolo tako, da odsevamo zadnji dve točki glede na njeno oglišče:

Kaj misliš, da je rešitev enačbe? Tako je, točke, na katerih, to je, in. Ker.

In če to rečemo, pomeni, da mora biti tudi enakovreden oz.

Samo? Z vami smo končali reševanje enačbe na kompleksen grafični način ali pa jih bo še več!

Seveda lahko naš odgovor preverite algebraično - korene lahko izračunate z uporabo Vietovega izreka ali Diskriminante. Kaj si dobil? Enako? Tukaj vidite! Zdaj pa poglejmo zelo preprosto grafično rešitev, prepričan sem, da vam bo zelo všeč!

Metoda 2. Razdeljeno na več funkcij

Vzemimo isto enačbo: , vendar jo bomo zapisali nekoliko drugače, in sicer:

Lahko to zapišemo takole? Lahko, saj je transformacija enakovredna. Poglejmo naprej.

Konstruirajmo dve funkciji ločeno:

1. - graf je preprosta parabola, ki jo lahko enostavno sestavite tudi brez definiranja oglišča z uporabo formul in sestavljanja tabele za določitev drugih točk.
2. - graf je ravna črta, ki jo lahko prav tako preprosto sestavite tako, da ocenite vrednosti v svoji glavi, ne da bi se sploh zatekli k kalkulatorju.

Zgrajeno? Primerjajmo s tem, kar sem dobil:

Kakšne so po vašem mnenju korenine enačbe v tem primeru? Prav! Koordinate, dobljene s presečiščem dveh grafov in, to je:

V skladu s tem je rešitev te enačbe:

Kaj praviš? Strinjam se, ta metoda rešitve je veliko lažja od prejšnje in celo lažja od iskanja korenin skozi diskriminant! Če je tako, poskusite rešiti naslednjo enačbo s to metodo:

Kaj si dobil? Primerjajmo naše grafe:

Grafi kažejo, da so odgovori:

Vam je uspelo? Dobro opravljeno! Zdaj pa si oglejmo enačbe nekoliko bolj zapletene, in sicer rešitev mešanih enačb, to je enačb, ki vsebujejo funkcije različnih vrst.

Grafično reševanje mešanih enačb

Zdaj pa poskusimo rešiti naslednje:

Seveda lahko vse spravite na skupni imenovalec, poiščete korenine nastale enačbe, ne da bi pozabili upoštevati ODZ, vendar bomo spet poskušali rešiti grafično, kot smo to storili v vseh prejšnjih primerih.

Tokrat zgradimo naslednja 2 grafa:

1. - graf je hiperbola
2. - graf je ravna črta, ki jo lahko preprosto sestavite tako, da ocenite vrednosti v svoji glavi, ne da bi se sploh zatekli k kalkulatorju.

Ste spoznali? Zdaj pa začni graditi.

Evo, kaj sem dobil:

Če pogledate to sliko, mi povejte, kaj so korenine naše enačbe?

Tako je, in. Tukaj je potrditev:

Poskusite vključiti naše korenine v enačbo. Se je zgodilo?

Tako je! Strinjam se, reševanje takšnih enačb grafično je užitek!

Poskusite sami grafično rešiti enačbo:

Dal vam bom namig: premaknite del enačbe na desno stran, tako da bodo najpreprostejše funkcije za sestavo na obeh straneh. Ste razumeli namig? Ukrepajte!

Zdaj pa poglejmo, kaj imate:

Oziroma:

1. - kubična parabola.
2. - navadna ravna črta.

No, zgradimo:

Kot ste že zdavnaj zapisali, je koren te enačbe - .

Ko sem pregledal tako veliko število primerov, sem prepričan, da ste spoznali, kako preprosto in hitro je grafično reševanje enačb. Čas je, da ugotovimo, kako rešiti sisteme na ta način.

Grafična rešitev sistemov

Grafično reševanje sistemov se v bistvu ne razlikuje od grafičnega reševanja enačb. Zgradili bomo tudi dva grafa, njuni presečišči pa bosta korenini tega sistema. En graf je ena enačba, drugi graf je druga enačba. Vse je izjemno preprosto!

Začnimo z najpreprostejšim - reševanjem sistemov linearnih enačb.

Reševanje sistemov linearnih enačb

Recimo, da imamo naslednji sistem:

Najprej ga preoblikujemo tako, da bo na levi vse, kar je povezano z, na desni pa vse, kar je povezano z. Z drugimi besedami, zapišimo te enačbe kot funkcijo v naši običajni obliki:

Zdaj zgradimo samo dve ravni črti. Kakšna je rešitev v našem primeru? Prav! Točka njihovega presečišča! In tukaj morate biti zelo, zelo previdni! Pomislite, zakaj? Naj vam namignem: imamo opravka s sistemom: v sistemu je oboje in ... Ste razumeli namig?

Tako je! Pri reševanju sistema moramo gledati obe koordinati in ne le tako kot pri reševanju enačb! Druga pomembna točka je, da jih pravilno zapišemo in ne zamenjujemo, kje imamo pomen in kje pomen! Si ga zapisal? Zdaj pa primerjajmo vse po vrsti:

In odgovori: in. Naredimo kontrolo - nadomestimo najdene korene v sistem in se prepričamo ali smo grafično pravilno rešili?

Reševanje sistemov nelinearnih enačb

Kaj pa, če imamo namesto ene premice kvadratno enačbo? V redu je! Samo zgradite parabolo namesto ravne črte! Ne verjemi? Poskusite rešiti naslednji sistem:

Kaj je naš naslednji korak? Tako je, zapišite tako, da nam bo priročno graditi grafe:

In zdaj je vse stvar majhnih stvari - hitro zgradite in tukaj je vaša rešitev! Gradimo:

So se grafi izkazali za enake? Sedaj označi rešitve sistema na sliki in pravilno zapiši ugotovljene odgovore!

Sem naredil vse? Primerjaj z mojimi zapiski:

Je vse v redu? Dobro opravljeno! Tovrstne naloge že razbijate kot orehe! Če je tako, vam predstavimo bolj zapleten sistem:

Kaj počnemo? Prav! Sistem pišemo tako, da ga je priročno graditi:

Malo vam bom namignil, saj je sistem videti zelo zapleten! Ko gradite grafe, jih zgradite "bolj", in kar je najpomembneje, ne bodite presenečeni nad številom presečišč.

Torej, gremo! Izdihnil? Zdaj pa začni graditi!

Torej, kako? lepa? Koliko presečišč ste dobili? Imam tri! Primerjajmo naše grafe:

tudi? Zdaj natančno zapišite vse rešitve našega sistema:

Zdaj pa še enkrat poglejte sistem:

Si predstavljate, da ste to rešili v samo 15 minutah? Strinjam se, matematika je še vedno preprosta, še posebej, če pogledate izraz, se ne bojite narediti napake, ampak jo preprosto vzemite in rešite! Ti si velik fant!

Grafično reševanje neenačb

Grafično reševanje linearnih neenačb

Po zadnjem primeru se da vse! Zdaj pa izdihnite - v primerjavi s prejšnjimi razdelki bo ta zelo, zelo enostaven!

Začeli bomo, kot običajno, z grafično rešitvijo linearne neenačbe. Na primer ta:

Najprej izvedimo najpreprostejše transformacije - odpremo oklepaje popolnih kvadratov in predstavimo podobne izraze:

Neenakost ni stroga, zato ni vključena v interval, rešitev pa bodo vse točke, ki so na desni, saj več, več in tako naprej:

odgovor:

To je vse! Enostavno? Rešimo preprosto neenačbo z dvema spremenljivkama:

V koordinatni sistem narišimo funkcijo.

Ste dobili tak urnik? Zdaj pa natančno poglejmo, kakšno neenakost imamo tam? Manj? To pomeni, da prebarvamo vse, kar je levo od naše ravne črte. Kaj če bi jih bilo več? Tako je, potem bi prebarvali vse, kar je desno od naše ravne črte. Enostavno je.

Vse rešitve te neenačbe so osenčene z oranžno barvo. To je to, neenačba z dvema spremenljivkama je rešena. To pomeni, da so koordinate katere koli točke iz osenčenega območja rešitve.

Grafično reševanje kvadratnih neenačb

Zdaj bomo razumeli, kako grafično rešiti kvadratne neenakosti.

Toda preden se lotimo dela, si oglejmo nekaj gradiva o kvadratni funkciji.

Za kaj je odgovoren diskriminant? Tako je, za položaj grafa glede na os (če se tega ne spomnite, potem vsekakor preberite teorijo o kvadratnih funkcijah).

V vsakem primeru je tukaj majhen opomnik za vas:

Zdaj, ko smo osvežili vso snov v spominu, se lotimo dela – rešimo neenačbo grafično.

Takoj vam povem, da obstajata dve možnosti za rešitev.

Možnost 1

Našo parabolo zapišemo kot funkcijo:

Z uporabo formul določimo koordinate vrha parabole (popolnoma enako kot pri reševanju kvadratnih enačb):

Ste šteli? Kaj si dobil?

Zdaj pa vzemimo še dve različni točki in izračunajmo zanje:

Začnimo graditi eno vejo parabole:

Naše točke simetrično odsevamo na drugo vejo parabole:

Zdaj pa se vrnimo k naši neenakosti.

Potrebujemo, da je manjša od nič:

Ker je v naši neenakosti znak strogo manjši od, izločimo končne točke - "izluščimo".

odgovor:

Dolga pot, kajne? Zdaj vam bom pokazal preprostejšo različico grafične rešitve na primeru iste neenakosti:

Možnost 2

Vrnemo se k naši neenakosti in označimo intervale, ki jih potrebujemo:

Strinjam se, veliko hitreje je.

Zapišimo zdaj odgovor:

Razmislimo o drugi rešitvi, ki poenostavi algebraični del, vendar je glavna stvar, da se ne zmedemo.

Pomnožite levo in desno stran z:

Poskusite sami rešiti naslednjo kvadratno neenačbo na poljuben način: .

Vam je uspelo?

Poglejte, kakšen je bil moj graf:

odgovor: .

Grafično reševanje mešanih neenačb

Zdaj pa pojdimo k bolj zapletenim neenačbam!

Kako vam je všeč tole:

Je grozljivo, kajne? Iskreno povedano, nimam pojma, kako to rešiti algebraično ... Ampak to ni potrebno. Grafično v tem ni nič zapletenega! Oči se bojijo, roke pa delajo!

Prva stvar, s katero bomo začeli, je izdelava dveh grafov:

Ne bom pisal tabele za vsakega posebej - prepričan sem, da lahko to popolnoma naredite sami (vau, toliko primerov je treba rešiti!).

Ste ga pobarvali? Zdaj zgradite dva grafa.

Primerjajmo naše risbe?

Je pri vas tako? Super! Zdaj pa razporedimo presečišča in uporabimo barvo, da določimo, kateri graf bi morali imeti v teoriji večji, tj. Poglejte, kaj se je zgodilo na koncu:

Zdaj pa samo poglejmo, kje je naš izbrani graf višji od grafa? Vzemite svinčnik in prebarvajte to področje! Ona bo rešitev naše kompleksne neenakosti!

V katerih intervalih vzdolž osi se nahajamo višje od? Prav, . To je odgovor!

No, zdaj lahko obvladate vsako enačbo, kateri koli sistem in še bolj vsako neenakost!

NA KRATKO O GLAVNEM

Algoritem za reševanje enačb z uporabo funkcijskih grafov:

1. Izrazimo to skozi
2. Določimo vrsto funkcije
3. Zgradimo grafe dobljenih funkcij
4. Poiščimo presečišča grafov
5. Zapišimo odgovor pravilno (upoštevajoč ODZ in znake neenačbe)
6. Preverimo odgovor (nadomestimo korene v enačbo ali sistem)

Za več informacij o konstruiranju funkcijskih grafov glejte temo "".

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Cilji in cilji lekcije:

• nadaljevanje dela na razvijanju spretnosti pri reševanju sistemov enačb z grafično metodo;
• izvajati raziskave in sklepati o številu rešitev sistema dveh linearnih enačb;
• skozi igro razvijati zanimanje za predmet.

MED POUKOM

1. Organizacijski trenutek (načrtovalni sestanek)- 2 minuti.

- Dober večer! Začenjamo naše tradicionalno načrtovalno srečanje. Z veseljem pozdravljamo vse, ki nas danes obiščete v našem laboratoriju (zastopam goste). Naš laboratorij se imenuje: “DELO Z zanimanjem in užitkom”(prikazuje diapozitiv 2). Ime je moto pri našem delu. »Ustvarjajte, odločajte, učite se, dosegajte z zanimanjem in užitkom" Spoštovani gostje, predstavljam vam vodje našega laboratorija (slide 3).
Naš laboratorij se ukvarja s študijem znanstvenih del, raziskavami, pregledovanjem in ustvarjanjem kreativnih projektov.
Današnja tema naše razprave je: "Grafična rešitev sistemov linearnih enačb." (Predlagam, da zapišete temo lekcije)

Program dneva:(diapozitiv 4)

1. Načrtovalni sestanek
2. Razširjeni akademski zbor:

• Govori na temo
• Dovoljenje za delo

3. Strokovno znanje
4. Raziskovanje in odkrivanje
5. Kreativni projekt
6. Poročilo
7. Načrtovanje

2. Anketa in ustno delo (Razširjeni strokovni zbor)- 10 min.

– Danes imamo razširjeni strokovni zbor, ki se ga poleg predstojnikov oddelkov udeležujejo tudi vsi člani naše ekipe. Laboratorij je pravkar začel z delom na temo: “Grafično reševanje sistemov linearnih enačb.” V tej zadevi moramo poskušati doseči najvišje dosežke. Naš laboratorij bi moral sloveti po kakovosti svojih raziskav na to temo. Kot višji raziskovalec vsem želim veliko sreče!

O rezultatih raziskave bomo poročali vodji laboratorija.

Poročilo o reševanju sistemov enačb je ... (pokličem učenca k tabli). Nalogi dam nalogo (kartica 1).

In laborantka ... (navedem svoj priimek) vas bo spomnila, kako narisati graf funkcije z modulom. Dam ti kartico 2.

Kartica 1(rešitev naloge na diapozitivu 7)

Rešite sistem enačb:

kartica 2(rešitev naloge na diapozitivu 9)

Graf funkcije: y = | 1,5x – 3 |

Medtem ko se osebje pripravlja na poročilo, bom preveril, kako pripravljeni ste na dokončanje raziskave. Vsak od vas mora pridobiti dovoljenje za delo. (Ustno štetje začnemo z zapisovanjem odgovorov v zvezek)

Dovoljenje za delo(naloge na diapozitivih 5 in 6)

1) Ekspresno pri skozi x:

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) Rešite enačbo:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) Glede na sistem enačb:

Kateri od parov števil (– 1; 1) ali (1; – 1) je rešitev tega sistema enačb?

Odgovor: (1; – 1)

Takoj po vsakem odlomku ustnega računa si učenci izmenjajo zvezke (zraven sedi učenec v istem delu), pravilni odgovori se prikažejo na prosojnicah; Inšpektor da plus ali minus. Ob koncu dela vodje oddelkov vnesejo rezultate v zbirno tabelo (glej spodaj); Za vsak primer se dodeli 1 točka (možno je dobiti 9 točk).
K delu pridejo tisti, ki zberejo 5 ali več točk. Ostali prejmejo pogojni sprejem, tj. bodo morali delati pod nadzorom vodje oddelka.

Tabela (izpolni šef)

(Tabele so izdane pred začetkom pouka)

Po sprejemu poslušamo odgovore učencev na tabli. Za odgovor študent prejme 9 točk, če je odgovor popoln (največje število za sprejem), 4 točke, če odgovor ni popoln. Točke se vpisujejo v stolpec »vstopnina«.
Če je rešitev na tabli pravilna, diapozitivov 7 in 9 ni treba prikazati. Če je rešitev pravilna, vendar ni jasno izvedena, ali je rešitev napačna, je treba prikazati diapozitive z razlagami.
Za učenčevim odgovorom na kartici 1 vedno pokažem diapozitiv 8. Na tem diapozitivu so zaključki pomembni za lekcijo.

Algoritem za grafično reševanje sistemov:

• Izrazite y z x v vsaki enačbi sistema.
• Graf vsako enačbo sistema.
• Poiščite koordinate presečišč grafov.
• Izvedite preverjanje (učence opozarjam na dejstvo, da grafična metoda običajno daje približno rešitev, če pa presečišče grafov zadene točko s celimi koordinatami, lahko preverite in dobite natančen odgovor).
• Zapiši odgovor.

3. Vaje (izpit)- 5 minut.

Včeraj so bile pri delu nekaterih zaposlenih storjene hude napake. Danes ste že bolj kompetentni na področju grafičnih rešitev. Vabljeni k izvedbi preizkusa predlaganih rešitev, t.j. poiščite napake v rešitvah. Prikazan je diapozitiv 10.
Delo poteka po oddelkih. (Fotokopije nalog z napakami se oddajo v vsako mizo; v vsakem oddelku morajo zaposleni poiskati napake in jih poudariti ali popraviti; fotokopije predati višjemu raziskovalcu, tj. učitelju). Šef doda 2 točki tistim, ki najdejo in popravijo napako. Nato se pogovorimo o storjenih napakah in jih označimo na diapozitivu 10.

Napaka 1

Rešite sistem enačb:

Odgovor: ni rešitev.

Učenci morajo vrstice nadaljevati, dokler se ne sekajo in dobijo odgovor: (– 2; 1).

Napaka 2.

Rešite sistem enačb:

Odgovor: (1; 4).

Učenci morajo poiskati napako pri transformaciji prve enačbe in jo popraviti na končani risbi. Pridobite drug odgovor: (2; 5).

4. Razlaga nove snovi (raziskovanje in odkrivanje)– 12 min.

Predlagam, da učenci grafično rešijo tri sisteme. Vsak učenec rešuje samostojno v zvezku. Svetujejo lahko samo tisti s pogojnim dovoljenjem.

rešitev

Brez risanja grafov je jasno, da bodo ravne črte sovpadale.

Diapozitiv 11 prikazuje sistemsko rešitev; Pričakovati je, da bodo imeli učenci težave z zapisom odgovora v primeru 3. Po delu v oddelkih preverimo rešitev (šef doda 2 točki za pravilno). Zdaj je čas, da razpravljamo o tem, koliko rešitev ima lahko sistem dveh linearnih enačb.
Učenci morajo sami sklepati in jih razložiti ter navesti primere medsebojnih leg premic na ravnini (prosojnica 12).

5. Ustvarjalni projekt (vaje)– 12 min.

Naloga je podana za oddelek. Šef vsakemu laborantu, glede na njegove sposobnosti, podeli delček njegovega nastopa.

Grafično reši sisteme enačb:

Po odprtju oklepajev naj študentje prejmejo sistem:

Ko odpremo oklepaje, je prva enačba videti takole: y = 2/3x + 4.

6. Poročilo (preverjanje opravljene naloge)- 2 minuti.

Po končani ustvarjalni nalogi učenci oddajo svoje zvezke. Na diapozitivu 13 pokažem, kaj bi se moralo zgoditi. Šefi predajo mizo. Zadnji stolpec izpolni učitelj in ga označi (ocene lahko sporoči učencem pri naslednji učni uri). V projektu je rešitev prvega sistema ocenjena s tremi točkami, drugega pa s štirimi.

7. Načrtovanje (povzemanje in domače naloge)- 2 minuti.

Povzemimo naše delo. Naredili smo dobro delo. O rezultatih bomo govorili jutri na načrtovalnem sestanku. Seveda so vsi laboranti brez izjeme osvojili grafično metodo reševanja sistemov enačb in spoznali, koliko rešitev ima lahko sistem. Jutri bo vsak od vas imel osebni projekt. Za dodatno pripravo: 36. odstavek; 647-649 (2); ponoviti analitične metode za reševanje sistemov. 649(2) in reši analitično.

Naše delo je ves dan nadzoroval direktor laboratorija Nouman Nou Manovich. Ima besedo. (Prikaz končnega diapozitiva).

Približna ocenjevalna lestvica

V tej lekciji si bomo ogledali reševanje sistemov dveh enačb v dveh spremenljivkah. Najprej si poglejmo grafično rešitev sistema dveh linearnih enačb in posebnosti niza njunih grafov. V nadaljevanju bomo z grafično metodo rešili več sistemov.

Tema: Sistemi enačb

Lekcija: Grafična metoda za reševanje sistema enačb

Razmislite o sistemu

Par števil, ki je hkrati rešitev prve in druge enačbe sistema, se imenuje reševanje sistema enačb.

Rešiti sistem enačb pomeni najti vse njegove rešitve ali ugotoviti, da rešitev ni. Ogledali smo si grafe osnovnih enačb, preidimo na obravnavo sistemov.

Primer 1. Rešite sistem

rešitev:

To so linearne enačbe, graf vsake od njih je ravna črta. Graf prve enačbe poteka skozi točki (0; 1) in (-1; 0). Graf druge enačbe poteka skozi točki (0; -1) in (-1; 0). Premice se sekajo v točki (-1; 0), to je rešitev sistema enačb ( riž. 1).

Rešitev sistema je par števil Če ta par števil nadomestimo v vsako enačbo, dobimo pravilno enakost.

Dobili smo edinstveno rešitev linearnega sistema.

Spomnimo se, da so pri reševanju linearnega sistema možni naslednji primeri:

sistem ima edinstveno rešitev - črte se sekajo,

sistem nima rešitev - premice so vzporedne,

sistem ima neskončno število rešitev - premice sovpadajo.

Obravnavali smo poseben primer sistema, ko sta p(x; y) in q(x; y) linearna izraza za x in y.

Primer 2. Rešite sistem enačb

rešitev:

Graf prve enačbe je premica, graf druge enačbe je krog. Zgradimo prvi graf po točkah (slika 2).

Središče kroga je v točki O(0; 0), polmer je 1.

Grafa se sekata v točki A(0; 1) in točki B(-1; 0).

Primer 3. Grafično rešite sistem

Rešitev: Zgradimo graf prve enačbe - to je krožnica s središčem v t.O(0; 0) in polmerom 2. Graf druge enačbe je parabola. Premaknjena je navzgor za 2 glede na izvor, tj. njeno vrh je točka (0; 2) (slika 3).

Grafa imata eno skupno točko - to je A(0; 2). To je rešitev sistema. V enačbo vstavimo nekaj številk, da preverimo, ali je pravilna.

Primer 4. Rešite sistem

Rešitev: Zgradimo graf prve enačbe - to je krog s središčem v t.O(0; 0) in polmerom 1 (slika 4).

Narišimo funkcijo To je prekinjena črta (slika 5).

Zdaj ga premaknimo za 1 navzdol vzdolž osi oy. To bo graf funkcije

Oba grafa postavimo v isti koordinatni sistem (slika 6).

Dobimo tri presečišča - točko A(1; 0), točko B(-1; 0), točko C(0; -1).

Ogledali smo si grafično metodo reševanja sistemov. Če lahko vsako enačbo narišete grafično in poiščete koordinate presečišč, potem ta metoda povsem zadostuje.

Toda pogosto grafična metoda omogoča iskanje le približne rešitve sistema ali odgovor na vprašanje o številu rešitev. Zato so potrebne druge metode, natančnejše in z njimi se bomo ukvarjali v naslednjih lekcijah.

1. Mordkovich A.G. in drugi Algebra 9. razred: Učbenik. Za splošno izobrazbo Ustanove.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str .: ilustr.

2. Mordkovich A.G. in drugi Algebra 9. razred: Problemska knjiga za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina itd. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr.

3. Makarychev Yu. Algebra. 9. razred: poučna. za splošnoizobraževalce. ustanove / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izd., prev. in dodatno - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. razred. 16. izd. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. izd., izbrisano. - M.: 2010. - 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred. V 2 delih 2. del. Problemska knjiga za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina in drugi; Ed. A. G. Mordkovič. - 12. izd., rev. - M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Razdelek College.ru o matematiki ().

2. Internetni projekt »Naloge« ().

3. Izobraževalni portal "REŠIL BOM enotni državni izpit" ().

1. Mordkovich A.G. in drugi Algebra 9. razred: Problemska knjiga za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina itd. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr. št. 105, 107, 114, 115.