Koliko je pravilnih poliedrov? Pravilni poliedri

Geometrija je čudovita, ker za razliko od algebre, kjer ni vedno jasno, kaj in zakaj računaš, daje predmetu jasnost. Ta čudoviti svet različnih teles krasijo pravilni poliedri.

Splošne informacije o pravilnih poliedrih

Po mnenju mnogih imajo pravilni poliedri ali, kot jih imenujejo tudi platonska telesa, edinstvene lastnosti. S temi predmeti je povezanih več znanstvenih hipotez. Ko začnete preučevati ta geometrijska telesa, ugotovite, da ne veste praktično nič o takem konceptu, kot so pravilni poliedri. Predstavitev teh predmetov v šoli ni vedno zanimiva, zato se mnogi niti ne spomnijo, kako se imenujejo. Večina ljudi se spomni le kocke. Nobeno telo v geometriji nima tako popolnosti kot pravilni poliedri. Vsa imena teh geometrijskih teles prihajajo iz stare Grčije. Pomenijo število obrazov: tetraeder - tetraeder, heksaeder - šeststranski, oktaeder - oktaeder, dodekaeder - dvanajststranski, ikozaeder - dvajsetstranski. Vsa ta geometrijska telesa so zasedla najpomembnejše mesto v Platonovem konceptu vesolja. Štirje izmed njih so poosebljali elemente ali esence: tetraeder - ogenj, ikozaeder - voda, kocka - zemlja, oktaeder - zrak. Dodekaeder je utelešal vse stvari. Veljal je za glavnega, ker je bil simbol vesolja.

Posplošitev pojma polieder

Polieder je zbirka končnega števila mnogokotnikov, tako da:

• vsaka stranica katerega koli mnogokotnika je hkrati stranica samo enega drugega mnogokotnika na isti strani;
• Iz vsakega od poligonov lahko dosežete druge tako, da se premikate po poligonih, ki mejijo nanj.

Mnogokotniki, ki sestavljajo polieder, so njegove ploskve, njihove stranice pa so njegovi robovi. Oglišča poliedrov so oglišča mnogokotnikov. Če pojem mnogokotnik razumemo kot ravne zaprte lomljene črte, potem pridemo do enake definicije poliedra. V primeru, ko se ta koncept nanaša na del ravnine, ki je omejen z lomljenimi črtami, ga je treba razumeti kot površino, sestavljeno iz poligonalnih kosov. imenovano telo, ki leži na eni strani ravnine ob njeni ploskvi.

Druga definicija poliedra in njegovih elementov

Polieder je ploskev, sestavljena iz mnogokotnikov, ki omejuje geometrijsko telo. To so:

• nekonveksen;
• konveksni (pravilni in nepravilni).

Pravilni polieder je konveksen polieder z največjo simetrijo. Elementi pravilnih poliedrov:

• tetraeder: 6 robov, 4 ploskve, 5 oglišč;
• heksaeder (kocka): 12, 6, 8;
• dodekaeder: 30, 12, 20;
• oktaeder: 12, 8, 6;
• Ikozaeder: 30, 20, 12.

Eulerjev izrek

Vzpostavi razmerje med številom robov, oglišč in ploskev, ki so topološko enakovredni krogli. Če seštejemo število oglišč in ploskev (B + D) različnih pravilnih poliedrov in jih primerjamo s številom robov, lahko ugotovimo en vzorec: vsota števila ploskev in oglišč je enaka številu robov ( P) povečano za 2. Izpeljemo lahko preprosto formulo:

• B + G = P + 2.

Ta formula velja za vse konveksne poliedre.

Osnovne definicije

Pojma pravilnega poliedra ni mogoče opisati v enem stavku. Je bolj večvrednost in obsežnost. Da bi bilo telo prepoznano kot tako, mora izpolnjevati številne definicije. Tako bo geometrijsko telo pravilni polieder, če so izpolnjeni naslednji pogoji:

• je konveksen;
• enako število robov konvergira v vsaki njegovi točki;
• vse njene ploskve so pravilni mnogokotniki, ki so med seboj enaki;
• vsi so mu enaki.

Lastnosti pravilnih poliedrov

Obstaja 5 različnih vrst pravilnih poliedrov:

1. Kocka (heksaeder) - njen ploščati kot pri vrhu je 90°. Ima 3-stranski kot. Vsota ravninskih kotov pri vrhu je 270°.
2. Tetraeder - ploščati kot pri vrhu - 60°. Ima 3-stranski kot. Vsota ravninskih kotov pri oglišču je 180°.
3. Oktaeder - ploščati kot pri vrhu - 60°. Ima 4-stranski kot. Vsota ravninskih kotov pri vrhu je 240°.
4. Dodekaeder je raven vrhni kot 108°. Ima 3-stranski kot. Vsota ravninskih kotov pri vrhu je 324°.
5. Ikozaeder - ima ravni vrhni kot 60°. Ima 5-stranski kot. Vsota ravninskih kotov pri vrhu je 300°.

Površina teh geometrijskih teles (S) se izračuna kot površina pravilnega mnogokotnika, pomnožena s številom njegovih ploskev (G):

• S = (a: 2) x 2G posteljica π/p.

Prostornina pravilnega poliedra

To vrednost izračunamo tako, da prostornino pravilne piramide, na dnu katere je pravilen mnogokotnik, pomnožimo s številom ploskev, njena višina pa je polmer včrtane krogle (r):

• V=1:3rS.

Prostornine pravilnih poliedrov

Kot vsako drugo geometrijsko telo imajo pravilni poliedri različne prostornine. Spodaj so formule, po katerih jih lahko izračunate:

• tetraeder: α x 3√2: 12;
• oktaeder: α x 3√2: 3;
• ikozaeder; α x 3;
• heksaeder (kocka): 5 x α x 3 x (3 + √5) : 12;
• dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5) : 4.

Heksaeder in oktaeder sta dvojni geometrijski telesi. Z drugimi besedami, lahko se izkažeta drug od drugega, če se težišče obraza enega vzame za vrh drugega in obratno. Tudi ikozaeder in dodekaeder sta dvojna. Samo tetraeder je dualen sam sebi. Z Evklidovo metodo lahko dobimo dodekaeder iz heksaedra tako, da na ploskvah kocke zgradimo "strehe". Oglišča tetraedra bodo katera koli 4 oglišča kocke, ki niso sosednja v parih vzdolž roba. Iz heksaedra (kocke) lahko dobite druge pravilne poliedre. Čeprav jih je nešteto, je pravilnih poliedrov le 5.

Polmeri pravilnih mnogokotnikov

Z vsakim od teh geometrijskih teles so povezane 3 koncentrične krogle:

• opisano, ki poteka skozi njegova oglišča;
• vpisana, ki se dotika vsake svoje ploskve v središču;
• mediana, ki se dotika vseh reber na sredini.

Polmer opisane krogle se izračuna po naslednji formuli:

• R = a: 2 x tan π/g x tan θ: 2.

Polmer včrtane krogle se izračuna po formuli:

• R = a: 2 x posteljica π/p x tan θ: 2,

kjer je θ diedrski kot, ki leži med sosednjima ploskvama.

Polmer mediane krogle je mogoče izračunati z naslednjo formulo:

• ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

kjer je vrednost h = 4, 6, 6, 10 ali 10. Razmerje opisanih in včrtanih polmerov je simetrično glede na p in q. Izračuna se po formuli:

• R/r = tan π/p x tan π/q.

Simetrija poliedrov

Simetrija pravilnih poliedrov povzroča glavno zanimanje za ta geometrijska telesa. Razumemo ga kot takšno gibanje telesa v prostoru, ki zapusti enako število oglišč, ploskev in robov. Z drugimi besedami, pod delovanjem transformacije simetrije rob, oglišče, ploskev ohrani svoj prvotni položaj ali se premakne v prvotni položaj drugega roba, drugega oglišča ali ploskve.

Elementi simetrije pravilnih poliedrov so značilni za vse vrste takih geometrijskih teles. Tukaj govorimo o preobrazbi identitete, ki pusti katero koli točko v prvotnem položaju. Tako lahko pri vrtenju poligonalne prizme dobimo več simetrij. Vsako od njih je mogoče predstaviti kot produkt refleksij. Simetrijo, ki je produkt sodega števila odbojev, imenujemo ravna črta. Če je produkt lihega števila odbojev, se imenuje inverz. Tako vse rotacije okoli ravne črte predstavljajo neposredno simetrijo. Vsak odsev poliedra je inverzna simetrija.

Da bi bolje razumeli elemente simetrije pravilnih poliedrov, lahko vzamemo primer tetraedra. Vsaka ravna črta, ki bo potekala skozi eno od oglišč in središče te geometrijske figure, bo potekala tudi skozi središče ploskve nasproti nje. Vsak od vrtenja za 120 in 240° okoli premice pripada množini simetrij tetraedra. Ker ima 4 oglišča in ploskve, je neposrednih simetrij le osem. Katera koli črta, ki poteka skozi sredino roba in središče tega telesa, poteka skozi sredino nasprotnega roba. Vsaka rotacija za 180°, imenovana polobrat, okoli ravne črte je simetrija. Ker ima tetraeder tri pare robov, bodo še tri neposredne simetrije. Na podlagi navedenega lahko sklepamo, da bo skupno število neposrednih simetrij, vključno s transformacijo identitete, doseglo dvanajst. Tetraeder nima drugih neposrednih simetrij, ima pa 12 obratnih simetrij. Posledično je za tetraeder značilno samo 24 simetrij. Zaradi jasnosti lahko sestavite model pravilnega tetraedra iz kartona in se prepričate, da ima to geometrijsko telo res le 24 simetrij.

Dodekaeder in ikozaeder sta telesi, ki sta najbližje krogli. Ikozaeder ima največje število ploskev, največje in najgosteje se lahko pritisne na včrtano kroglo. Dodekaeder ima najmanjšo kotno napako in največji prostorski kot pri oglišču. Svojo opisano kroglo lahko napolni do maksimuma.

Razvoj poliedrov

Pravilni, ki smo jih vsi lepili v otroštvu, imajo veliko pojmov. Če obstaja zbirka poligonov, katerih vsaka stranica je identificirana samo z eno stranjo poliedra, potem mora identifikacija strani izpolnjevati dva pogoja:

• iz vsakega poligona gremo lahko po poligonih, ki imajo identificirano stranico;
• označene stranice morajo imeti enako dolžino.

Množica mnogokotnikov, ki izpolnjuje te pogoje, se imenuje razvoj poliedra. Vsako od teh teles jih ima več. Tako jih ima na primer kocka 11.

Poliedri ne zasedajo vidnega mesta le v geometriji, ampak jih najdemo tudi v vsakdanjem življenju vsakega človeka. Da ne omenjamo umetno ustvarjenih gospodinjskih predmetov v obliki različnih poligonov, od vžigalične škatlice do arhitekturnih elementov, v naravi so tudi kristali v obliki kocke (sol), prizme (kristal), piramide (šeelit), oktaedra (diamant). ), itd. .d.

Pojem poliedra, vrste poliedrov v geometriji

Geometrija kot veda vsebuje razdelek stereometrija, ki preučuje značilnosti in lastnosti volumetričnih teles, katerih stranice v tridimenzionalnem prostoru tvorijo omejene ravnine (ploskve), imenovane "poliedri". Obstaja na desetine vrst poliedrov, ki se razlikujejo po številu in obliki obrazov.

Kljub temu imajo vsi poliedri skupne lastnosti:

1. Vsi imajo 3 sestavne dele: ploskev (površina mnogokotnika), oglišče (koti, ki nastanejo na stičišču ploskev), rob (stran figure ali segment, ki nastane na stičišču dveh ploskev). ).
2. Vsak rob mnogokotnika povezuje dve in samo dve ploskvi, ki mejita ena na drugo.
3. Konveksnost pomeni, da se telo v celoti nahaja samo na eni strani ravnine, na kateri leži ena od ploskev. Pravilo velja za vse ploskve poliedra. V stereometriji se takšne geometrijske figure imenujejo konveksni poliedri. Izjema so zvezdasti poliedri, ki so izpeljanke pravilnih poliedrskih geometrijskih teles.

Poliedre lahko razdelimo na:

1. Vrste konveksnih poliedrov, ki jih sestavljajo naslednji razredi: navadni ali klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (imenovani tudi Platonova telesa), polpravilni (drugo ime so Arhimedova telesa).
2. Nekonveksni poliedri (zvezdasti).

Prizma in njene lastnosti

Stereometrija kot veja geometrije preučuje lastnosti tridimenzionalnih likov, vrste poliedrov (med njimi prizma). Prizma je geometrijsko telo, ki ima nujno dve popolnoma enaki ploskvi (imenujemo ju tudi baze), ki ležita v vzporednih ravninah, in n-to število stranskih ploskev v obliki paralelogramov. Po drugi strani pa ima prizma tudi več vrst, vključno s takšnimi vrstami poliedrov, kot so:

1. Paralelepiped je sestavljen, če je osnova paralelogram - mnogokotnik z 2 paroma enakih nasprotnih kotov in dvema paroma skladnih nasprotnih stranic.
2. Ravna prizma ima rebra, pravokotna na osnovo.
3. značilna prisotnost indirektnih kotov (razen 90) med robovi in ​​podlago.
4. Za pravilno prizmo so značilne osnove v obliki enakih stranskih ploskev.

Osnovne lastnosti prizme:

• Kongruentne baze.
• Vsi robovi prizme so med seboj enaki in vzporedni.
• Vse stranske ploskve imajo obliko paralelograma.

Piramida

Piramida je geometrijsko telo, ki je sestavljeno iz ene baze in n-tega števila trikotnih ploskev, ki se povezujejo v eni točki - vrhu. Upoštevati je treba, da če so stranske ploskve piramide nujno predstavljene s trikotniki, potem je lahko na dnu trikotni mnogokotnik, štirikotnik, peterokotnik in tako naprej ad infinitum. V tem primeru bo ime piramide ustrezalo poligonu na dnu. Na primer, če je na dnu piramide trikotnik - to je štirikotnik itd.

Piramide so poliedri stožčaste oblike. Vrste poliedrov v tej skupini poleg zgoraj naštetih vključujejo tudi naslednje predstavnike:

1. Pravilna piramida ima na svoji osnovi pravilen mnogokotnik, njena višina pa je projicirana v središče kroga, ki je v osnovi včrtan ali okoli nje obpisan.
2. Pravokotna piramida nastane, ko eden od stranskih robov seka osnovo pod pravim kotom. V tem primeru lahko ta rob imenujemo tudi višina piramide.

Lastnosti piramide:

• Če so vsi stranski robovi piramide skladni (enake višine), potem se vsi sekajo z osnovo pod enakim kotom, okoli baze pa lahko narišete krog s središčem, ki sovpada s projekcijo vrha piramide. piramida.
• Če na dnu piramide leži pravilen mnogokotnik, so vsi stranski robovi skladni, ploskve pa so enakokraki trikotniki.

Pravilni polieder: vrste in lastnosti poliedrov

V stereometriji zavzemajo posebno mesto geometrijska telesa z popolnoma enakimi ploskvami, na katerih ogliščih je povezano enako število robov. Ta telesa imenujemo Platonova telesa ali pravilni poliedri. Obstaja samo pet vrst poliedrov s temi lastnostmi:

1. Tetraeder.
2. Heksaeder.
3. oktaeder.
4. Dodekaeder.
5. Ikozaeder.

Pravilni poliedri so dobili ime po starogrškem filozofu Platonu, ki je ta geometrijska telesa opisal v svojih delih in jih povezal z naravnimi elementi: zemljo, vodo, ognjem, zrakom. Peta številka je dobila podobnost s strukturo vesolja. Po njegovem mnenju so atomi naravnih elementov oblikovani kot pravilni poliedri. Zahvaljujoč svoji najbolj fascinantni lastnosti - simetriji, so bila ta geometrijska telesa zelo zanimiva ne le za starodavne matematike in filozofe, ampak tudi za arhitekte, umetnike in kiparje vseh časov. Prisotnost samo 5 vrst poliedrov z absolutno simetrijo je veljala za temeljno najdbo, povezovali so jih celo z božanskim principom.

Heksaeder in njegove lastnosti

V obliki šesterokotnika so Platonovi nasledniki domnevali podobnost s strukturo zemeljskih atomov. Seveda je trenutno ta hipoteza popolnoma ovržena, kar pa ne preprečuje, da bi figure v sodobnem času s svojo estetiko pritegnile um slavnih osebnosti.

V geometriji se heksaeder, znan tudi kot kocka, šteje za poseben primer paralelepipeda, ki je posledično vrsta prizme. Skladno s tem so lastnosti kocke povezane z edino razliko, da so vse ploskve in vogali kocke med seboj enake. Iz tega sledijo naslednje lastnosti:

1. Vsi robovi kocke so skladni in ležijo v vzporednih ravninah drug glede na drugega.
2. Vse ploskve so skladni kvadrati (v kocki jih je 6), od katerih lahko katerega koli vzamemo za osnovo.
3. Vsi interedrski koti so enaki 90.
4. Vsako oglišče ima enako število robov, in sicer 3.
5. Kocka ima 9, ki se vse sekajo v točki presečišča diagonal heksaedra, imenovanem simetrično središče.

Tetraeder

Tetraeder je tetraeder z enakimi ploskvami v obliki trikotnikov, katerih vsako oglišče je povezovalna točka treh ploskev.

Lastnosti pravilnega tetraedra:

1. Vse ploskve tetraedra - to pomeni, da so vse ploskve tetraedra skladne.
2. Ker je osnova predstavljena s pravilno geometrijsko figuro, to je, da ima enake stranice, potem se ploskvi tetraedra zbližata pod istim kotom, to je, da so vsi koti enaki.
3. Vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču je 180, ker so vsi koti enaki, potem je vsak kot pravilnega tetraedra 60.
4. Vsako oglišče je projicirano na točko presečišča višin nasprotne (ortocentrične) ploskve.

Oktaeder in njegove lastnosti

Pri opisovanju vrst pravilnih poliedrov ne moremo opozoriti na tak predmet, kot je oktaeder, ki ga lahko vizualno predstavljamo kot dve štirikotni pravilni piramidi, zlepljeni skupaj na bazah.

Lastnosti oktaedra:

1. Že ime geometrijskega telesa nakazuje število njegovih ploskev. Oktaeder je sestavljen iz 8 skladnih enakostraničnih trikotnikov, v katerih se v vsakem oglišču steka enako število ploskev, in sicer 4.
2. Ker so vse ploskve oktaedra enake, so enaki tudi njegovi mejni koti, od katerih je vsak enak 60, vsota ravninskih kotov katerega koli oglišča pa je torej 240.

Dodekaeder

Če si predstavljamo, da so vse ploskve geometrijskega telesa pravilni peterokotnik, potem dobimo dodekaeder - figuro iz 12 mnogokotnikov.

Lastnosti dodekaedra:

1. V vsakem oglišču se sekajo tri ploskve.
2. Vse ploskve so enake in imajo enako dolžino roba ter enako površino.
3. Dodekaeder ima 15 osi in ravnin simetrije, katera koli od njih pa poteka skozi oglišče ploskve in sredino roba nasproti nje.

Ikozaeder

Nič manj zanimiv kot dodekaeder je ikozaeder tridimenzionalno geometrijsko telo z 20 enakimi ploskvami. Med lastnostmi pravilnega 20-edra lahko opazimo naslednje:

1. Vse ploskve ikozaedra so enakokraki trikotniki.
2. V vsakem oglišču poliedra se stika pet ploskev, vsota sosednjih kotov oglišča pa je 300.
3. Ikozaeder ima tako kot dodekaeder 15 osi in simetrijskih ravnin, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev.

Polpravilni mnogokotniki

V skupino konveksnih poliedrov spadajo poleg Platonovih teles tudi Arhimedova telesa, ki so prisekani pravilni poliedri. Vrste poliedrov v tej skupini imajo naslednje lastnosti:

1. Geometrijska telesa imajo po paru enake ploskve več vrst, na primer prisekani tetraeder ima tako kot navaden tetraeder 8 ploskev, v primeru Arhimedovega telesa pa bodo 4 ploskve trikotne oblike, 4 pa šestkotne.
2. Vsi koti enega oglišča so skladni.

Zvezdasti poliedri

Predstavniki nevolumetričnih vrst geometrijskih teles so zvezdasti poliedri, katerih obrazi se sekajo med seboj. Lahko nastanejo z zlitjem dveh pravilnih tridimenzionalnih teles ali kot posledica razširitve njunih ploskev.

Tako so takšni zvezdasti poliedri znani kot: zvezdaste oblike oktaedra, dodekaedra, ikozaedra, kuboktaedra, ikozidodekaedra.

1. Na sliki 1 označite konveksne in nekonveksne poliedre.

Odgovor: Konveksno - b), d); nekonveksno - a), c), d).

2. Navedite primer nekonveksnega poliedra, v katerem so vse ploskve konveksni mnogokotniki.

Odgovor: slika 1, a).

3. Ali drži, da je unija konveksnih poliedrov konveksen polieder?

Odgovor: Ne.

4. Ali je lahko število oglišč poliedra enako številu njegovih ploskev?

Odgovor: Da, blizu tetraedra.

5. Vzpostavi povezavo med številom ravnih kotov P poliedra in številom njegovih robov P.

Odgovor: P = 2P.

6. Edine ploskve konveksnega poliedra so trikotniki. Koliko oglišč B in ploskev D ima, če ima: a) 12 robov; b) 15 reber? Navedite primere takih poliedrov.

7. Iz vsakega oglišča konveksnega poliedra izhajajo trije robovi. Koliko oglišč B in ploskev D ima, če ima: a) 12 robov; b) 15 reber? Nariši te poliedre.

Odgovor: a) B = 8, D = 6, kocka; b) B = 10, G = 7, peterokotna prizma.

8. Štirje robovi se stekajo v vsako oglišče konveksnega poliedra. Koliko oglišč B in ploskev D ima, če je število robov 12? Nariši te poliedre.

9. Dokaži, da ima vsak konveksni polieder trikotno ploskev ali da se trije robovi stikajo v nekaterih njegovih ogliščih.

10. Pomislite, kje je bila konveksnost poliedra uporabljena v sklepanju, ki prikazuje veljavnost Eulerjeve relacije.

11. Kakšna je vrednost B - P + G za polieder, prikazan na sliki 6?

Pravilni poliedri

Konveksni polieder se imenuje pravilen, če so njegove ploskve enaki pravilni mnogokotniki in so vsi poliedrski koti enaki.

Razmislimo o možnih pravilnih poliedrih in najprej o tistih, katerih ploskve so pravilni trikotniki. Najenostavnejši takšen pravilni polieder je trikotna piramida, katere ploskve so pravilni trikotniki (slika 7). Tri ploskve se stikajo na vsakem od njegovih vrhov. Ker ima ta polieder le štiri ploskve, ga imenujemo tudi pravilni tetraeder ali preprosto tetraeder, kar v grščini pomeni tetraeder.

Polieder, katerega ploskve so pravilni trikotniki in se štiri ploskve stikajo v vsakem oglišču, je prikazan na sliki 8. Njegova ploskev je sestavljena iz osmih pravilnih trikotnikov, zato ga imenujemo oktaeder.

Polieder, katerega oglišče se stika pet pravilnih trikotnikov, je prikazan na sliki 9. Njegova ploskev je sestavljena iz dvajsetih pravilnih trikotnikov, zato ga imenujemo ikozaeder.

Upoštevajte, da ker več kot pet pravilnih trikotnikov ne more konvergirati v ogliščih konveksnega poliedra, ni drugih pravilnih poliedrov, katerih ploskve so pravilni trikotniki.

Podobno, ker lahko samo trije kvadrati konvergirajo v ogliščih konveksnega poliedra, potem razen kocke (slika 10) ni drugih pravilnih poliedrov, katerih ploskve so kvadrati. Kocka ima šest ploskev in se zato imenuje tudi heksaeder.

Na sliki 11 je prikazan polieder, katerega ploskve so pravilni peterokotniki in se na vsakem oglišču stikajo po tri ploskve. Njegova ploskev je sestavljena iz dvanajstih pravilnih peterokotnikov, zato ga imenujemo dodekaeder.

Razmislimo o konceptu pravilnega poliedra z vidika topologije znanosti, ki preučuje lastnosti figur, ki niso odvisne od različnih deformacij brez prekinitev. S tega vidika so na primer vsi trikotniki enakovredni, saj lahko en trikotnik vedno dobimo iz katerega koli drugega z ustreznim stiskanjem ali raztezanjem stranic. Na splošno so vsi mnogokotniki z enakim številom strani enakovredni iz istega razloga.

Kako definirati koncept topološko pravilnega poliedra v takšni situaciji? Z drugimi besedami, katere lastnosti v definiciji pravilnega poliedra so topološko stabilne in jih je treba obdržati ter katere lastnosti niso topološko stabilne in jih je treba zavreči.

V definiciji pravilnega poliedra sta število stranic in ploskev topološko stabilna, tj. ne spreminjajo se pod stalnimi deformacijami. Pravilnost poligonov ni topološko stabilna lastnost. Tako pridemo do naslednje definicije.

Konveksni polieder imenujemo topološko pravilen, če so njegove ploskve mnogokotniki z enakim številom stranic in enakim številom ploskev, ki se stikata v vsakem oglišču.

Za dva poliedra pravimo, da sta topološko enakovredna, če enega lahko dobimo iz drugega z zvezno deformacijo.

Na primer, vse trikotne piramide so topološko pravilni poliedri, enakovredni drug drugemu. Vsi paralelopipedi so tudi enakovredni topološko pravilni poliedri. Na primer, štirikotne piramide niso topološko pravilni poliedri.

Razjasnimo vprašanje, koliko topološko pravilnih poliedrov, ki si med seboj niso enakovredni, obstaja.

Kot vemo, obstaja pet pravilnih poliedrov: tetraeder, kocka, oktaeder, ikozaeder in dodekaeder. Zdi se, da bi moralo biti veliko več topološko pravilnih poliedrov. Vendar se izkaže, da ni drugih topološko pravilnih politopov, ki ne bi bili ekvivalentni že znanim pravilnim.

Da bi to dokazali, bomo uporabili Eulerjev izrek. Naj bo podan topološko pravilen polieder, katerega ploskve so n-kotniki in v vsakem oglišču konvergira m robov. Jasno je, da sta n in m večja ali enaka tri. Označimo, kot prej, B število oglišč, P število robov in G število ploskev tega poliedra. Potem

nG = 2P; Г = ; mB = 2P; B = .

Po Eulerjevem izreku je B - P + G = 2 in zato

Kje je P = .

Iz dobljene enakosti zlasti sledi, da mora veljati neenakost 2n + 2m - nm > 0, kar je enakovredno neenakosti (n - 2)(m - 2)< 4.

Poiščimo vse možne vrednosti n in m, ki ustrezajo najdeni neenakosti, in izpolnimo naslednjo tabelo

Na primer, vrednosti n = 3, m = 3 izpolnjujejo neenakost (n - 2) (m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Vrednosti n = 4, m = 4 ne zadoščajo neenakosti (n - 2)(m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Ostale primere preverite sami.

Iz te tabele sledi, da so edini možni topološko pravilni poliedri zgoraj navedeni pravilni poliedri in njim enakovredni poliedri.

Lekcija 7 na temo: »Poliedri. Oglišča, robovi, ploskve poliedra"

Namen lekcije: seznaniti učence z eno od vrst poliedrov - kocko; z merjenjem in opazovanjem poišči čim več lastnosti kocke.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi

Metode:

Po virih znanja: verbalni, vizualni;

Po stopnji interakcije učitelj-učenec: hevristični pogovor;

Pri didaktičnih nalogah: priprava na zaznavanje;

Glede narave kognitivne dejavnosti:reproduktivno, delno iskanje.

Oprema: Učbenik:Matematika: vizualna geometrija. 5-6 razred I.F. Šarigin, multimedijski projektor, računalnik.

Učni izidi:

Osebno: sposobnost čustvenega dojemanja matematičnih predmetov, sposobnost jasnega in natančnega izražanja svojih misli.

Metapredmet: sposobnost razumevanja in uporabe vizualnih pripomočkov.

Zadeva: naučite se risati skene in oblikovati oblike z njihovo pomočjo.

Oprema: učbenik “Vizualna geometrija. 5. - 6. razred" S. Sharygin, interaktivna tabla, škarje.

UUD:

izobraževalni: analiza in klasifikacija predmetov

regulativni: postavljanje ciljev; prepoznavanje in uresničevanje že znanega in tistega, kar se je treba naučiti

komunikativen: vzgojno sodelovanje z učiteljem in vrstniki.

Med poukom

Organiziranje časa.

Posodabljanje in beleženje temeljnega znanja.

Na mizi so poliedri, ki so jih učenci spoznali v osnovni šoli. Katere oblike lahko poimenujete? Katerih številk je največ?

Težko je najti osebo, ki ne pozna kocke. Navsezadnje so kocke najljubša igra otrok. Zdi se, da o kocki vemo vse. Ampak ali je?

Kocka je predstavnik velike družine poliedrov. Nekatere ste že srečali - to je piramida, pravokotni paralelepiped. Pred vami je srečanje z drugimi.

Kljub vsem razlikam imajo poliedri številne skupne lastnosti.

Površina vsakega od njih je sestavljena iz ravnih poligonov, ki se imenujejoploskve poliedra . Dva sosednja ravna mnogokotnika imata skupno stranico -rob poliedra . Konci reber sovrhovi polieder.

V zadnji lekciji so vas zanimale vrste poliedrov in tukaj je 5 predstavnikov pravilnih mnogokotnikov.

Tetraeder oktaeder ikozaeder heksaeder dodekaeder

Posploševanje in sistematizacija znanja

Oglej si sliko kocke na sliki, jo nariši v zvezek in zapiši imena glavnih elementov kocke. Zapomnite si in uporabljajte te izraze v prihodnje.

Kocka je pravilen polieder, katerega ploskve so kvadrati, trije robovi in ​​tri ploskve pa se stikajo na vsakem oglišču. Ima: 6 ploskev, 8 oglišč in 12 robov.

Delo z modeli.

Delo s pometači.

№ 2 (Matematika: Vizualna geometrija. Razredi 5-6 I.F. Sharygin) Na list papirja narišite razvoj kocke. Izrežite ga in razvaljajte v kocko, zlepite skupaj.

Izrezana figura se imenujeskeniranje kocke . Razmisli, zakaj se tako imenuje.

№ 3 (Matematika: vizualna geometrija. Razredi 5-6 I.F. Sharygin) Poskusite sestaviti kocko iz predlaganih dogodkov in jih prenesite v svoj zvezek.

№ 5 (Matematika: vizualna geometrija. Razredi 5-6 I.F. Sharygin) Podan je razvoj kocke. Katero od kock na sliki 30, a–c lahko zlepimo iz nje? Izberi kocko in svojo izbiro utemelji.

№ 12 (Matematika: vizualna geometrija. Razredi 5-6 I.F. Sharygin) Obstaja trak papirja velikosti 1*7. Kako iz njega narediti eno samo kocko?

№ 15 (Matematika: vizualna geometrija. Razredi 5-6 I.F. Sharygin) Pajek in muha sedita na nasprotnih točkah kocke. Katera je najkrajša pot, da se pajek priplazi do muhe? Pojasnite svoj odgovor

Refleksija izobraževalnih dejavnosti.

danes sem izvedel...

bilo je zanimivo…

bilo je težko…

opravil sem naloge...

Kupil sem...

Naučil sem se …

Uspel sem …

Lahko sem ...

Bom poskusil…

Bil sem presenečen...

dal mi je lekcijo za življenje...

Domača naloga. Izdelajte model kocke iz kartona.

Predmet."Polieder. Elementi poliedra - ploskve, oglišča, robovi."

Cilji. Ustvarite pogoje za razširitev teoretičnega znanja o prostorskih figurah: uvedite pojme "polieder", "obrazi", "vrh", "rob"; zagotoviti razvoj pri šolarjih sposobnosti, da poudarijo glavno stvar v kognitivnem predmetu; spodbujati razvoj prostorske domišljije učencev.

Izobraževalni materiali. Učbenik "Matematika. 4. razred" (avtor V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); računalnik; projektor; predstavitev "Poligoni"; tiskani obrazci "Koordinatni kot", "Poligoni", "Problem"; modeli poliedrov, razvoj poliedrov; ogledala; škarje.

MED POUKOM

Otroci so pred začetkom pouka razdeljeni v tri skupine glede na raven znanja - visoko, povprečno, nizko.

I. Organizacijski trenutek

učiteljica. Dragi moji nemirni ljudje, ponovno vas vabim v fascinanten svet matematike. In prepričan sem, da se boste v tej lekciji naučili novih stvari, utrdili naučeno in pridobljeno znanje lahko uporabili v praksi.

Današnjo lekcijo bi rad začel z besedami angleškega filozofa Rogerja Bacona o matematiki: "Kdor ne pozna matematike, ne more študirati drugih ved in ne more razumeti sveta." Mislim, da bomo v lekciji zagotovo našli potrditev besed tega filozofa.

II. Ponovitev obravnavane snovi. Konstrukcija poligonov po koordinatah

U. Pri pouku matematike v 1., 2., 3. razredu smo preučevali različne ploščate geometrijske like in se jih tudi učili graditi. Predlagam, da s pomočjo teh koordinat sestavite ravne figure v koordinatnem kotu.

Naloga se izpolni na tiskanih obrazcih.

1. skupina

Sestavite lik, če so koordinate znane A (0; 2), IN (2; 5), Z(9; 2). Kakšno postavo si dobil?

2. skupina

Konstruirajte pravokotnik, če točke A(3; 2) in IN(6; 5) sta njegovi nasprotni oglišči. Podajte koordinate nasprotnih vozlišč. Kakšno je drugo ime za to figuro?

3. skupina

Sestavi figuro, če so znane koordinate njenih oglišč A (2; 3), IN (2; 6), Z (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), M(5; 1). Kakšno postavo si dobil?

– Kako lahko imenujete vse te figure?

otroci. To so poligoni.

Diapozitiv 1

U. Vemo, da imajo vsi mnogokotniki oglišča in stranice. Poimenujte jih in pokažite.

Ena oseba iz skupine nalogo opravi ob tabli.

III. Spoznavanje novega materiala

U. Danes vam bom predstavil tridimenzionalne geometrijske oblike, imenovane mnogokotniki. Njihovi modeli so predstavljeni na vaših mizah.

Učenci imajo na mizah tridimenzionalne like: kocke, paralelepipede, piramide, prizme.

– Usedite se, pozorno poglejte, pozorno poslušajte in si zapomnite.

Uvod v pojme "polieder", "ploskev", "vrh", "rob"

– Če vzamete 4 trikotnike, lahko ustvarite tridimenzionalno figuro – piramida. Iz kvadratov lahko dobite drugo figuro - kocko, iz pravokotnikov - paralelopiped. Na mizi imate še eno figuro - prizmo, ki je sestavljena iz pravokotnikov in trikotnikov. Vse te številke se imenujejo poliedri .

Vsak od mnogokotnikov (v tem primeru trikotnikov) se imenuje rob polieder. In strani mnogokotnikov se imenujejo rebra polieder. In, seveda, oglišča poligona bodo vrhovi polieder. Tako izgleda risba poliedra na listu papirja.

Diapozitiv 2

– Zdi se, da je figura iz stekla. Kaj mislite, kaj prikazuje pikčasta črta na risbi?

D. Nevidna rebra.

Otroci delajo po risbi na tabli.

U. Kaj je torej?

D. Polieder.

U. Poimenuj in pokaži ploskve poliedra, njegove robove in oglišča.

Otroci kažejo s kazalcem in seznamom.

– Če piramido prerežete od vrha proti dnu po robovih, boste dobili nekaj takega.
In zdaj, dragi moji fidgets, poiščite obrazec na mizi s sliko mnogokotnika, natančno preberite navodila:

1. Pozorno preglej risbo mnogokotnika.
2. Poiščite želeni poligonski razvoj (modeli na tabli).
3. Sestavite model poligona.
4. Določite število oglišč __, ploskev __, robov __ mnogokotnika.
5. Poimenuj vsako oglišče __, rob __, ploskev __ mnogokotnika.

1. skupina

2. skupina

3. skupina

– Tabla prikazuje razvoj poliedrov. Poskusite iz risbe poiskati razvitost svoje figure in sestavite polieder. Sodelujte in mislim, da vam bo uspelo.

Preverjanje dokončanja naloge (prosojnice 3, 4, 5).

IV. Posploševanje in sistematizacija znanja

U. Povejte mi, ali obstajajo predmeti v svetu okoli nas, ki imajo obliko poliedrov?

Poslušajo se odgovori otrok. Izveden je improviziran "sprehod" po šolskem dvorišču. Otroci »pregledujejo« modele šolske stavbe in pomožnih prostorov, ki izgledajo kot poliedri.

– Izpolni nalogo:

Volk in zajec sta zlepila hišo iz barvnega papirja. Koliko obrazov vsake barve je bilo potrebnih? Kakšno mnogokotno obliko ima rob vsake barve?

Diapozitiv 6

V. Utrjevanje naučenega

U. Fantje, predstavljajte si sebe kot arhitekte, oblikovalce ali gradbenike in poskušajte rešiti probleme.

Naloga 1. skupine

Poiščite površino, ki jo bo zasedla nova šolska stavba, če je njena dolžina 74 m in širina 13 m. Odgovor: 962 kvadratnih metrov. m.)

Naloga 2. skupine

Površina igrišča na dvorišču naše šole je 1080 kvadratnih metrov. m je za 1320 kvadratnih metrov. m manj kot površina hokejskega igrišča. Izračunajte površino hokejskega igrišča. ( Odgovor: 2400 kvadratnih metrov. m)

Naloga 3. skupine

Za gradnjo nove stavbe naše šole je bilo dodeljeno območje v velikosti 2500 kvadratnih metrov. m. Znano je, da bo stavba široka 13 m in dolga 74 m. ( Odgovor: 1) 962 kvadratnih metrov. m; 2) 1538 kvadratnih metrov m)

Otroci preverijo rešitve nalog in razložijo, kako so jih rešili.

VI. Povzetek lekcije

U. Izkazalo se je, da je imel Roger Bacon prav, ko je rekel: "Kdor ne pozna matematike, se ne more naučiti drugih znanosti in ne more razumeti sveta."

Učitelj oceni delo skupin.