Gibanje točke v prostoru lahko štejemo za dano, če so znani zakoni spreminjanja njenih treh kartezičnih koordinat x, y, z v odvisnosti od časa. Vendar pa je v nekaterih primerih prostorskega gibanja materialnih točk (na primer na območjih, omejenih s površinami različnih oblik) uporaba enačb gibanja v kartezičnih koordinatah neprijetna, saj postanejo preveč okorne. V takih primerih lahko izberete druge tri neodvisne skalarne parametre $q_1,(\q)_2,\\q_3$, imenovane krivuljne ali generalizirane koordinate, ki prav tako enolično določajo položaj točke v prostoru.
Hitrost točke M pri določanju njenega gibanja v krivuljnih koordinatah bo določena v obliki vektorske vsote komponent hitrosti, vzporednih s koordinatnimi osemi:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]
Projekcije vektorja hitrosti na ustrezne koordinatne osi so enake: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$
Tu je $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ parameter, imenovan i-ti Lamejev koeficient in je enak delni odvod vrednosti modula vektorja radija točke vzdolž i-te krivulje koordinate, izračunane na dani točki M. Vsak od vektorjev $\overline(e_i)$ ima smer, ki ustreza smeri gibanja končne točke radij vektor $r_i$ kot i-te generalizirane koordinate. Modul hitrosti v pravokotnem krivočrtnem koordinatnem sistemu lahko izračunamo iz odvisnosti:
V zgornjih formulah so vrednosti odvodov in Laméjevih koeficientov izračunane za trenutni položaj točke M v prostoru.
Koordinate točke v sferičnem koordinatnem sistemu so skalarni parametri r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, izmerjeni, kot je prikazano na sliki. 1.
Slika 1. Vektor hitrosti v sferičnem koordinatnem sistemu
Sistem enačb gibanja točke ima v tem primeru obliko:
\[\levo\( \begin(matrika)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(matrika) \desno.\]
Na sl. Slika 1 prikazuje vektor radij r, narisan iz izhodišča, kota $(\mathbf \varphi )$ in $(\mathbf \theta )$ ter koordinatne črte in osi obravnavanega sistema v poljubni točki M trajektorija. Vidimo lahko, da koordinatni premici $((\mathbf \varphi ))$ in $((\mathbf \theta ))$ ležita na površini krogle s polmerom r. Ta krivočrtni koordinatni sistem je tudi pravokoten. Kartezične koordinate lahko izrazimo s sferičnimi koordinatami takole:
Potem koeficienti Lame: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; projekcije hitrosti točke na os sferičnega koordinatnega sistema $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ in velikost vektorja hitrosti
Pospešek točke v sferičnem koordinatnem sistemu
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta),\]
projekcije pospeška točke na os sferičnega koordinatnega sistema
\ \
Modul pospeševanja $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Problem 1
Točka se premika vzdolž presečišča krogle in valja po enačbah: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- sferične koordinate ). Poiščite modul in projekcije hitrosti točke na os sferičnega koordinatnega sistema.
Poiščimo projekcije vektorja hitrosti na sferične koordinatne osi:
Modul hitrosti $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt) )(2)+1)$
Problem 2
S pomočjo pogoja naloge 1 določite modul pospeška točke.
Poiščimo projekcije vektorja pospeška na sferične koordinatne osi:
\ \ \
Modul pospeška $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
gibalne naloge
Uporabimo enačbo (4) in vzemimo njen odvod glede na čas
V (8) so za enotske vektorje projekcije vektorja hitrosti na koordinatne osi
Projekcije hitrosti na koordinatne osi so definirane kot prvi časovni odvodi ustreznih koordinat.
Če poznate projekcije, lahko najdete velikost vektorja in njegovo smer
,
(10)
Določanje hitrosti po naravni metodi
gibalne naloge
Naj sta podana tirnica materialne točke in zakon o spremembi krivuljne koordinate. Recimo, pri t Imel 1 točko 
in koordinata s 1 in pri t 2 – koordinata s 2. Med
koordinata je bila povečana 
, nato povprečna hitrost točke
.
Da bi našli hitrost v določenem času, pojdimo do meje
,
.
(12)
Vektor hitrosti točke v naravnem načinu določanja gibanja je definiran kot prvi časovni odvod krivulje koordinate.
Točkovni pospešek
Pod pospeškom materialne točke razumeti vektorsko količino, ki označuje hitrost spremembe vektorja hitrosti točke v velikosti in smeri skozi čas.
Pospešek točke z uporabo vektorske metode podajanja gibanja
Razmislite o točki na dveh točkah v času t 1
(
) In t 2
(
), potem 
- časovni prirastek, 
- povečanje hitrosti.
Vektor 
vedno leži v ravnini gibanja in je usmerjen proti konkavnosti trajektorije.
p 
od povprečni pospešek točke med
t
razumeti velikost
.
(13)
Da bi našli pospešek v določenem času, pojdimo do meje
,
.
(14)
Pospešek točke v danem času je definiran kot drugi odvod vektorja radija točke glede na čas ali prvi odvod vektorja hitrosti glede na čas.
Vektor pospeška se nahaja v kontaktni ravnini in je usmerjen proti konkavnosti trajektorije.
Pospešek točke s koordinatno metodo podajanja gibanja
Za povezavo med vektorskim in koordinatnim načinom podajanja gibanja uporabimo enačbo
In vzemimo drugo izpeljanko iz tega
,
.
(15)
V enačbi (15) za enotske vektorje obstajajo projekcije vektorja pospeška na koordinatne osi
.
(16)
Projekcije pospeškov na koordinatne osi definiramo kot prve odvode po času iz projekcij hitrosti ali kot druge odvode pripadajočih koordinat glede na čas.
Velikost in smer vektorja pospeška lahko najdete z naslednjimi izrazi
,
(17)
,
,
.
(18)
Pospešek točke z uporabo naravne metode določanja gibanja
p 
Naj se točka premika po ukrivljeni poti. Razmislimo o njegovih dveh položajih v določenem trenutku t
(s, M, v) In t 1
(s 1, M 1, v 1).
V tem primeru je pospešek določen s svojimi projekcijami na osi naravnega koordinatnega sistema, ki se gibljejo skupaj s točko M. Osi sta usmerjeni takole:
M - tangenta, usmerjena vzdolž tangente na trajektorijo, proti pozitivni referenčni razdalji,
M n– glavna normala, usmerjena vzdolž normale, ki leži v kontaktni ravnini, in usmerjena proti konkavnosti trajektorije,
M b– binormala, pravokotna na ravnino M n in tvori s prvima osema desni trojček.
Ker vektor pospeška leži v dotični ravnini, potem a b = 0. Poiščemo projekcije pospeška na druge osi.
.
(19)
Projicirajmo (19) na koordinatne osi
,
(20)
.
(21)
Skozi točko M narišimo 1 osi, vzporedne z osema v točki M, in poiščimo projekcije hitrosti:
Kje - tako imenovani sosednji kot.
Zamenjaj (22) v (20)
.
pri t 0 0, cos 1 potem
.
(23)
Tangencialni pospešek točke je določen s prvim časovnim odvodom hitrosti ali drugim časovnim odvodom krivuljne koordinate.
Tangencialni pospešek označuje spremembo vektorja hitrosti v velikosti.
Zamenjajmo (22) v (21)
.
Števec in imenovalec pomnožite z s spoznati meje
Kje 
(prva čudovita meja),
,
,
, Kje
- polmer ukrivljenosti trajektorije.
Če izračunane meje zamenjamo v (24), dobimo
.
(25)
Normalni pospešek točke je določen z razmerjem med kvadratom hitrosti in polmerom ukrivljenosti trajektorije v dani točki.
Normalni pospešek označuje spremembo vektorja hitrosti v smeri in je vedno usmerjen proti konkavnosti trajektorije.
Na koncu dobimo projekciji pospeška materialne točke na os naravnega koordinatnega sistema in magnitudo vektorja
,
(26)
.
(27)
Formule za izračun hitrosti točke, pospeška, polmera ukrivljenosti trajektorije, tangente, normale in binormale iz danih koordinat v odvisnosti od časa. Primer reševanja naloge, pri kateri je treba z danimi enačbami gibanja določiti hitrost in pospešek točke. Določeni so tudi polmer ukrivljenosti trajektorije, tangenta, normala in binormala.
VsebinaUvod
Zaključki spodnjih formul in predstavitev teorije so podani na strani “Kinematika materialne točke”. Tu bomo glavne rezultate te teorije uporabili za koordinatno metodo podajanja gibanja materialne točke.
Imejmo fiksni pravokotni koordinatni sistem s središčem v fiksni točki. V tem primeru je položaj točke M enolično določen z njenimi koordinatami (x, y, z). Koordinatna metoda podajanja gibanja točke- to je metoda, pri kateri je določena odvisnost koordinat od časa. To pomeni, da so določene tri funkcije časa (za tridimenzionalno gibanje):
Določitev kinematičnih veličin
Če poznamo odvisnost koordinat od časa, samodejno določimo vektor radija materialne točke M po formuli:
,
kjer so enotski vektorji (orti) v smeri osi x, y, z.
Z razlikovanjem glede na čas najdemo projekcije hitrosti in pospeška na koordinatne osi:
;
;
Moduli za hitrost in pospešek:
;
.
.
Tangencialni (tangencialni) pospešek je projekcija celotnega pospeška na smer hitrosti:
.
Tangencialni (tangencialni) vektor pospeška:
Normalni pospešek:
.
;
.
Enotski vektor v smeri glavne normale trajektorije:
.
Polmer ukrivljenosti trajektorije:
.
Središče ukrivljenosti trajektorije:
.
.
Primer rešitve problema
Določanje hitrosti in pospeška točke z danimi enačbami njenega gibanja
Z danimi enačbami gibanja točke ugotovite vrsto njene trajektorije in za trenutek poiščite položaj točke na trajektoriji, njeno hitrost, skupni, tangencialni in normalni pospešek ter polmer točke. ukrivljenost trajektorije.
Enačbe gibanja točke:
, cm;
, cm.
rešitev
Določitev vrste trajektorije
Iz enačb gibanja izvzamemo čas. Če želite to narediti, jih prepišemo v obliki:
;
.
Uporabimo formulo:
.
;
;
;
.
Tako smo dobili enačbo trajektorije:
.
To je enačba parabole z vrhom v točki in simetrijsko osjo.
Zaradi
, To
; oz
.
Na podoben način dobimo omejitev za koordinato:
;
;
Tako je tir gibanja točke lok parabole
,
ki se nahaja na
in .
Iz točk sestavimo parabolo.
| 0 | 6 |
| 3 | 5,625 |
| 6 | 4,5 |
| 9 | 2,625 |
| 12 | 0 |
Določimo položaj točke v trenutku.
;
.
Določanje hitrosti točke
Z diferenciranjem koordinat in glede na čas poiščemo komponente hitrosti.
.
Za razlikovanje je priročno uporabiti trigonometrično formulo:
. Potem
;
.
Izračunamo vrednosti komponent hitrosti v trenutku:
;
.
Modul hitrosti:
.
Določanje pospeška točke
Z razlikovanjem komponent hitrosti in časa najdemo komponente pospeška točke.
;
.
Izračunamo vrednosti komponent pospeška v trenutku:
;
.
Modul pospeševanja:
.
Tangencialni pospešek je projekcija celotnega pospeška na smer hitrosti:
.
Ker je tangencialni vektor pospeška usmerjen nasproti hitrosti.
Normalni pospešek:
.
Vektor in je usmerjen proti središču ukrivljenosti trajektorije.
Polmer ukrivljenosti trajektorije:
.
Pot točke je lok parabole
;
.
Hitrost točke: .
Točkovni pospešek: ; ; .
Polmer ukrivljenosti trajektorije: .
Določitev drugih količin
Pri reševanju problema smo ugotovili:
vektorski in hitrostni modul:
;
;
vektor in modul skupnega pospeška:
;
;
tangencialni in normalni pospešek:
;
;
polmer ukrivljenosti trajektorije: .
Določimo še preostale količine.
Enotski vektor v smeri tangente na pot:
.
Vektor tangencialnega pospeška:
.
Normalni vektor pospeška:
.
Enotski vektor v smeri glavne normale:
.
Koordinate središča ukrivljenosti trajektorije:
.
Vstavimo tretjo os koordinatnega sistema, pravokotno na osi in . V tridimenzionalnem sistemu
;
.
Enotski vektor v binormalni smeri:
.
