Razumejmo, kaj je zmanjševanje ulomkov, zakaj in kako zmanjševati ulomke ter podajte pravilo za zmanjševanje ulomkov in primere njegove uporabe.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kaj je "zmanjševanje ulomkov"
Zmanjšaj ulomekZmanjšati ulomek pomeni deliti njegov števec in imenovalec s skupnim faktorjem, ki je pozitiven in se razlikuje od ena.
Kot rezultat tega dejanja bo ulomek z novim števcem in imenovalcem enak prvotnemu ulomku.
Na primer, vzemimo navadni ulomek 6 24 in ga zmanjšajmo. Števec in imenovalec delite z 2, rezultat je 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. V tem primeru smo prvotni ulomek zmanjšali za 2.
Zmanjšanje ulomkov v nezmanjšano obliko
V prejšnjem primeru smo ulomek 6 24 zmanjšali za 2, kar je povzročilo ulomek 3 12. Preprosto je videti, da je ta delež mogoče še zmanjšati. Običajno je cilj zmanjševanja ulomkov, da na koncu dobimo nezmanjšljiv ulomek. Kako reducirati ulomek v nezmanjšano obliko?
To lahko storite tako, da števec in imenovalec zmanjšate za njun največji skupni faktor (GCD). Potem bosta po lastnosti največjega skupnega delitelja imela števec in imenovalec medsebojno praštevila, ulomek pa bo nezmanjšljiv.
a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)
Zmanjšanje ulomka v nezmanjšano obliko
Če želite ulomek reducirati na nezmanjšano obliko, morate njegov števec in imenovalec deliti z njunim gcd.
Vrnimo se k ulomku 6 24 iz prvega primera in ga pripeljemo v nezmanjšano obliko. Največji skupni delitelj števil 6 in 24 je 6. Zmanjšajmo ulomek:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Zmanjševanje ulomkov je priročno za uporabo, da ne delate z velikimi številkami. Na splošno velja v matematiki neizrečeno pravilo: če lahko poenostavite kateri koli izraz, potem morate to storiti. Zmanjšanje ulomka najpogosteje pomeni njegovo zmanjševanje na nezmanjšano obliko in ne preprosto zmanjševanje za skupni delitelj števca in imenovalca.
Pravilo za zmanjševanje ulomkov
Če želite zmanjšati ulomke, si zapomnite pravilo, ki je sestavljeno iz dveh korakov.
Pravilo za zmanjševanje ulomkov
Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:
- Poiščite gcd števca in imenovalca.
- Števec in imenovalec delite z njuno gcd.
Poglejmo praktične primere.
Primer 1. Zmanjšajmo ulomek.
Podan je ulomek 182 195. Skrajšajmo.
Poiščimo gcd števca in imenovalca. Za to je v tem primeru najbolj priročno uporabiti evklidski algoritem.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13
Števec in imenovalec delite s 13. Dobimo:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
pripravljena Dobili smo nezmanjšani ulomek, ki je enak prvotnemu ulomku.
Kako drugače lahko zmanjšate ulomke? V nekaterih primerih je priročno razložiti števec in imenovalec na prafaktorje in nato odstraniti vse skupne faktorje iz zgornjega in spodnjega dela ulomka.
Primer 2. Zmanjšaj ulomek
Podan je ulomek 360 2940. Skrajšajmo.
Če želite to narediti, si zamislite prvotni ulomek v obliki:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Znebimo se skupnih faktorjev v števcu in imenovalcu, kar ima za posledico:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Za konec si poglejmo še en način zmanjševanja ulomkov. To je tako imenovana sekvenčna redukcija. S to metodo se redukcija izvaja v več fazah, v vsaki od katerih se ulomek zmanjša za nek očiten skupni faktor.
Primer 3. Zmanjšaj ulomek
Zmanjšajmo ulomek 2000 4400.
Takoj je jasno, da imata števec in imenovalec skupni faktor 100. Ulomek zmanjšamo za 100 in dobimo:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Dobljeni rezultat ponovno zmanjšamo za 2 in dobimo nezmanjšani ulomek:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Ulomki
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Ulomki v srednji šoli niso ravno nadloga. Zaenkrat. Dokler ne naletite na potence z racionalnimi eksponenti in logaritmi. In tukaj ... Pritiskate in pritiskate kalkulator in prikaže se celoten prikaz nekaterih številk. Misliti moraš s svojo glavo kot v tretjem razredu.
Končno ugotovimo ulomke! No, koliko se lahko zmedeš v njih!? Poleg tega je vse preprosto in logično. Torej, kakšne so vrste ulomkov?
Vrste ulomkov. Preobrazbe.
Obstajajo tri vrste ulomkov.
1. Navadni ulomki , na primer:
Včasih namesto vodoravne črte postavijo poševnico: 1/2, 3/4, 19/5, no, in tako naprej. Tukaj bomo pogosto uporabljali to črkovanje. Pokliče se zgornja številka števnik, nižje - imenovalec.Če nenehno zamenjujete ta imena (se zgodi ...), si recite besedno zvezo: " Zzzzz zapomni si! Zzzzz imenovalec – poglej zzzzz uh!" Glej, vse si bo zzzz zapomnilo.)
Pomišljaj, vodoraven ali nagnjen, pomeni delitev zgornje število (števec) do spodnjega (imenovalec). To je vse! Namesto pomišljaja je povsem mogoče postaviti znak delitve - dve piki.
Ko je možna popolna delitev, je to treba storiti. Torej je namesto ulomka "32/8" veliko bolj prijetno napisati številko "4". Tisti. 32 preprosto delimo z 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Da o ulomku "4/1" niti ne govorim. Kar je tudi samo "4". In če ni povsem deljivo, ga pustimo kot ulomek. Včasih morate narediti nasprotno operacijo. Celo število pretvorite v ulomek. A več o tem kasneje.
2. Decimale , na primer:
V tej obliki boste morali zapisati odgovore na naloge "B".
3. Mešane številke , na primer:
Mešana števila se v srednji šoli praktično ne uporabljajo. Za delo z njimi jih je treba pretvoriti v navadne ulomke. Ampak to vsekakor morate biti sposobni! Sicer boš v problemu naletel na takšno številko in zmrznil ... Od nikoder. Vendar si bomo ta postopek zapomnili! Malo nižje.
Najbolj vsestranski navadni ulomki. Začnimo z njimi. Mimogrede, če ulomek vsebuje vse vrste logaritmov, sinusov in drugih črk, to ne spremeni ničesar. V smislu, da vse dejanja z ulomki se ne razlikujejo od dejanj z navadnimi ulomki!
Glavna lastnost ulomka.
Torej, gremo! Za začetek vas bom presenetil. Vso raznolikost pretvorb ulomkov zagotavlja ena sama lastnost! Tako se temu reče glavna lastnost ulomka. Ne pozabite: Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo (delimo) z istim številom, se ulomek ne spremeni. Tisti:
Jasno je, da lahko pišeš, dokler ne pomodriš. Naj vas sinusi in logaritmi ne zmedejo, z njimi se bomo ukvarjali naprej. Glavna stvar je razumeti, da so vsi ti različni izrazi isti ulomek . 2/3.
Ali jo potrebujemo, vse te transformacije? In kako! Zdaj boste videli sami. Za začetek uporabimo osnovno lastnost ulomka za zmanjševanje ulomkov. Zdelo bi se kot elementarna stvar. Števec in imenovalec delite z istim številom in to je to! Nemogoče je narediti napako! Ampak ... človek je ustvarjalno bitje. Kjerkoli se lahko zmotiš! Še posebej, če ne morate zmanjšati ulomka, kot je 5/10, ampak ulomek z vsemi vrstami črk.
Kako pravilno in hitro zmanjšati ulomke brez dodatnega dela, lahko preberete v posebnem 555. razdelku.
Normalen študent se ne trudi deliti števca in imenovalca z istim številom (ali izrazom)! Preprosto prečrta vse, kar je zgoraj in spodaj enako! Tu se skriva tipična napaka, kiks, če hočete.
Na primer, izraz morate poenostaviti:
Tukaj ni kaj razmišljati, prečrtaj črko "a" zgoraj in "2" spodaj! Dobimo:
Vse je pravilno. Ampak res ste se razdelili vse števnik in vse imenovalec je "a". Če ste navajeni samo prečrtati, potem lahko v naglici prečrtate "a" v izrazu
in ga ponovno dobite
Kar bi bilo kategorično napačno. Ker tukaj vseštevnik na "a" je že ne deli! Te frakcije ni mogoče zmanjšati. Mimogrede, takšno zmanjšanje je, hm... resen izziv za učitelja. To ni odpuščeno! Ali se spomniš? Pri zmanjševanju morate razdeliti vse števnik in vse imenovalec!
Zmanjševanje ulomkov močno olajša življenje. Nekje boste dobili ulomek, na primer 375/1000. Kako naj zdaj nadaljujem delo z njo? Brez kalkulatorja? Množi, povej, seštej, kvadriraj!? In če niste preleni, jo previdno zmanjšajte za pet, pa še za pet in še ... medtem ko se krajša, skratka. Dobimo 3/8! Veliko lepše, kajne?
Glavna lastnost ulomka vam omogoča pretvorbo navadnih ulomkov v decimalke in obratno brez kalkulatorja! To je pomembno za enotni državni izpit, kajne?
Kako pretvoriti ulomke iz ene vrste v drugo.
Z decimalnimi ulomki je vse preprosto. Kakor se sliši, tako piše! Recimo 0,25. To je nič pika petindvajset stotink. Torej pišemo: 25/100. Zmanjšamo (števec in imenovalec delimo s 25), dobimo običajen ulomek: 1/4. Vse. To se zgodi in nič se ne zmanjša. Kot 0,3. To je tri desetine, tj. 3/10.
Kaj pa, če cela števila niso nič? V redu je. Zapišemo cel ulomek brez vejic v števcu in v imenovalcu - tisto, kar se sliši. Na primer: 3.17. To je tri točke sedemnajst stotink. V števec zapišemo 317, v imenovalec pa dobimo 317/100. Nič ni znižano, to pomeni vse. To je odgovor. Osnovno Watson! Iz vsega povedanega koristen zaključek: vsak decimalni ulomek je mogoče pretvoriti v navadni ulomek .
Toda nekateri ljudje ne morejo narediti obratne pretvorbe iz navadnega v decimalno brez kalkulatorja. In je potrebno! Kako boste zapisali odgovor na Enotnem državnem izpitu!? Pozorno preberite in obvladajte ta postopek.
Kaj je značilnost decimalnega ulomka? Njen imenovalec je Nenehno stane 10, ali 100, ali 1000, ali 10000 in tako naprej. Če ima vaš navadni ulomek ta imenovalec, ni problema. Na primer, 4/10 = 0,4. Ali 7/100 = 0,07. Ali 12/10 = 1,2. Kaj pa, če se je izkazalo, da je odgovor na nalogo v razdelku "B" 1/2? Kaj bomo napisali v odgovor? Decimalke so obvezne ...
Spomnimo se glavna lastnost ulomka ! Matematika ugodno omogoča, da pomnožite števec in imenovalec z istim številom. Karkoli, mimogrede! Razen ničle, seveda. Zato izkoristimo to lastnost sebi v prid! S čim lahko pomnožimo imenovalec, tj. 2, tako da postane 10, ali 100, ali 1000 (manjše je bolje, seveda ...)? Pri 5, očitno. Prosto pomnožite imenovalec (to je nas potrebno) s 5. Toda potem je treba tudi števec pomnožiti s 5. To je že matematika zahteve! Dobimo 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To je vse.
Vendar se pojavljajo najrazličnejši imenovalci. Naleteli boste na primer na ulomek 3/16. Poskusite ugotoviti, s čim pomnožiti 16, da bo 100 ali 1000 ... Ali ne deluje? Potem lahko preprosto delite 3 s 16. Če ni kalkulatorja, boste morali deliti z vogalom, na kos papirja, kot so učili v osnovni šoli. Dobimo 0,1875.
In obstajajo tudi zelo slabi imenovalci. Na primer, ulomka 1/3 ni mogoče pretvoriti v dobro decimalko. Tako na kalkulatorju kot na listu papirja dobimo 0,3333333... To pomeni, da je 1/3 natančen decimalni ulomek ne prevaja. Enako kot 1/7, 5/6 in tako naprej. Veliko jih je, neprevedljivih. To nas pripelje do še enega koristnega zaključka. Vsakega ulomka ni mogoče pretvoriti v decimalko !
Mimogrede, to so koristne informacije za samotestiranje. V rubriko "B" morate pri odgovoru zapisati decimalni ulomek. In dobil si na primer 4/3. Ta ulomek se ne pretvori v decimalko. To pomeni, da ste nekje na poti naredili napako! Pojdi nazaj in preveri rešitev.
Tako smo ugotovili navadne in decimalne ulomke. Vse, kar ostane, je ukvarjanje z mešanimi številkami. Za delo z njimi jih je treba pretvoriti v navadne ulomke. Kako narediti? Lahko ujamete šestošolca in ga vprašate. Toda šestošolec ne bo vedno pri roki ... To boste morali storiti sami. Ni težko. Morate pomnožiti imenovalec ulomka s celim delom in dodati števec ulomka. To bo števec navadnega ulomka. Kaj pa imenovalec? Imenovalec bo ostal enak. Sliši se zapleteno, a v resnici je vse preprosto. Poglejmo si primer.
Recimo, da ste bili zgroženi, ko ste videli številko v problemu:
Mirno, brez panike, mislimo. Celoten del je 1. Enota. Ulomek je 3/7. Zato je imenovalec ulomka 7. Ta imenovalec bo imenovalec navadnega ulomka. Števec štejemo. 7 pomnožimo z 1 (celo število) in dodamo 3 (števec ulomka). Dobimo 10. To bo števec navadnega ulomka. To je vse. V matematičnem zapisu je videti še bolj preprosto:
Je jasno? Potem si zagotovite uspeh! Pretvori v navadne ulomke. Dobiti bi morali 10/7, 7/2, 23/10 in 21/4.
Obratna operacija - pretvorba nepravilnega ulomka v mešano število - je redko potrebna v srednji šoli. No, če je tako ... In če niste v srednji šoli, lahko pogledate v posebni razdelek 555. Mimogrede, tam boste spoznali tudi neprave ulomke.
No, to je praktično vse. Spomnili ste se vrst ulomkov in razumeli kako prenašati iz ene vrste v drugo. Vprašanje ostaja: Za kaj naredi? Kje in kdaj uporabiti to globoko znanje?
odgovorim. Vsak primer sam nakazuje potrebna dejanja. Če v primeru pomešamo navadne ulomke, decimalke in celo mešana števila, vse pretvorimo v navadne ulomke. Vedno se da narediti. No, če piše nekaj takega kot 0,8 + 0,3, potem štejemo tako, brez prevoda. Zakaj potrebujemo dodatno delo? Izberemo rešitev, ki je priročna nas !
Če so v nalogi vsi decimalni ulomki, ampak hm... nekakšni zlobni, pojdi k navadnim, poskusi! Glej, vse se bo izšlo. Na primer, morali boste kvadrirati število 0,125. Ni tako enostavno, če se niste navadili uporabljati kalkulatorja! Ne samo, da morate množiti števila v stolpcu, razmišljati morate tudi o tem, kam vstaviti vejico! V vaši glavi zagotovo ne bo delovalo! Kaj če preidemo na navadni ulomek?
0,125 = 125/1000. Zmanjšamo ga za 5 (to je za začetek). Dobimo 25/200. Še enkrat za 5. Dobimo 5/40. Oh, še vedno se krči! Nazaj na 5! Dobimo 1/8. Z lahkoto ga lahko kvadriramo (v mislih!) in dobimo 1/64. Vse!
Povzemimo to lekcijo.
1. Obstajajo tri vrste ulomkov. Navadna, decimalna in mešana števila.
2. Decimalne in mešane številke Nenehno lahko pretvorimo v navadne ulomke. Povratni prenos ni vedno na voljo.
3. Izbira vrste ulomkov za delo z nalogo je odvisna od naloge same. Če so v eni nalogi različne vrste ulomkov, je najbolj zanesljivo preiti na navadne ulomke.
Zdaj lahko vadite. Najprej pretvorite te decimalne ulomke v navadne ulomke:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Morali bi dobiti takšne odgovore (v zmešnjavi!):
Končajmo tukaj. V tej lekciji smo si osvežili spomin na ključne točke o ulomkih. Zgodi pa se, da ni kaj posebnega za osvežiti ...) Če je kdo čisto pozabil ali še ni obvladal ... Potem lahko greste na poseben razdelek 555. Vse osnove so tam podrobno obravnavane. Mnogi nenadoma razumeti vse se začenjajo. In rešujejo ulomke sproti).
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Otroci se v šoli učijo pravil zmanjševanja ulomkov v 6. razredu. V tem članku vam bomo najprej povedali, kaj to dejanje pomeni, nato pa bomo razložili, kako skrčljiv ulomek pretvoriti v nezmanjšljiv ulomek. Naslednja točka bodo pravila za zmanjševanje ulomkov, nato pa bomo postopoma prišli do primerov.
Kaj pomeni "zmanjšati delček"?
Torej, vsi vemo, da so navadni ulomki razdeljeni v dve skupini: zmanjšljive in nezmanjšljive. Že po imenih lahko razbereš, da so tiste, ki so skrčljive, skrčene, tiste, ki so nezmanjšljive, pa niso skrčene.
- Zmanjšati ulomek pomeni deliti njegov imenovalec in števec z njunim (razen z enim) pozitivnim deliteljem. Rezultat je seveda nov ulomek z manjšim imenovalcem in števcem. Nastali ulomek bo enak prvotnemu ulomku.
Omeniti velja, da v matematičnih knjigah z nalogo "zmanjšaj ulomek" to pomeni, da morate prvotni ulomek zmanjšati na to nezmanjšano obliko. Preprosto povedano, deljenje imenovalca in števca z največjim skupnim deliteljem je zmanjšanje.
Kako zmanjšati ulomek. Pravila za zmanjševanje ulomkov (6. razred)
Tu torej veljata le dve pravili.
- Prvo pravilo krajšanja ulomkov je, da najprej poiščete največji skupni faktor imenovalca in števca svojega ulomka.
- Drugo pravilo: imenovalec in števec delimo z največjim skupnim deliteljem, tako da na koncu dobimo nezmanjšani ulomek.
Kako zmanjšati nepravilni ulomek?
Pravila za zmanjševanje ulomkov so enaka pravilom za zmanjševanje nepravih ulomkov.
Če želite skrajšati nepravilni ulomek, morate najprej razdeliti imenovalec in števec na prafaktorje in šele nato zmanjšati skupne faktorje.
Zmanjšanje mešanih frakcij
Pravila za zmanjševanje ulomkov veljajo tudi za zmanjševanje mešanih ulomkov. Obstaja le majhna razlika: ne moremo se dotakniti celega dela, ampak ulomek pomanjšamo ali mešani ulomek pretvorimo v nepravi ulomek, nato ga pomanjšamo in spet pretvorimo v pravi ulomek.
Obstajata dva načina za zmanjšanje mešanih frakcij.
Najprej: zapišite ulomek na prafaktorje in nato pustite cel del pri miru.
Drugi način: najprej ga pretvorite v nepravi ulomek, zapišite v navadne faktorje, nato pa ulomek zmanjšajte. Že dobljeni nepravi ulomek pretvori v pravilnega.
Primere si lahko ogledate na zgornji fotografiji.
Resnično upamo, da smo lahko pomagali vam in vašim otrokom. Navsezadnje so pri pouku pogosto nepozorni, zato se morajo intenzivneje učiti sami doma.
Ulomki in njihovo zmanjševanje je še ena tema, ki se začne v 5. razredu. Tu se oblikuje osnova tega delovanja, nato pa se te veščine po nitki vlečejo v višjo matematiko. Če študent ne razume, ima lahko težave pri algebri. Zato je bolje razumeti nekaj pravil enkrat za vselej. In zapomnite si tudi eno prepoved in je nikoli ne kršite.
Ulomek in njegovo zmanjšanje
Vsak študent ve, kaj je to. Vsaki dve števki, ki se nahajata med vodoravno črto, takoj zaznamo kot ulomek. Vendar pa vsi ne razumejo, da lahko to postane katera koli številka. Če je celo število, ga lahko vedno delimo z ena in potem dobimo nepravilen ulomek. A več o tem kasneje.
Začetek je vedno preprost. Najprej morate ugotoviti, kako zmanjšati pravi ulomek. To je tisto, v katerem je števec manjši od imenovalca. Če želite to narediti, se morate spomniti osnovne lastnosti ulomka. Navaja, da pri hkratnem množenju (pa tudi deljenju) njegovega števca in imenovalca z istim številom dobimo enakovreden ulomek.
Dejanja delitve, ki se izvajajo na tej nepremičnini in povzročijo zmanjšanje. Se pravi čim bolj poenostaviti. Ulomek je mogoče zmanjšati, če so skupni faktorji nad in pod črto. Ko jih ni več, je zmanjšanje nemogoče. In pravijo, da je ta ulomek nezmanjšljiv.
Dva načina
1.Zmanjšanje po korakih. Uporablja metodo ocenjevanja, kjer sta obe števili deljeni z najmanjšim skupnim faktorjem, ki ga študent opazi. Če je po prvem popadku jasno, da to še ni konec, se delitev nadaljuje. Dokler ulomek ne postane nezmanjšljiv.
2. Iskanje največjega skupnega delitelja števca in imenovalca. To je najbolj racionalen način za zmanjšanje ulomkov. Vključuje faktorizacijo števca in imenovalca na prafaktorje. Med njimi morate nato izbrati vse enake. Njihov produkt bo dal največji skupni faktor, za katerega se ulomek zmanjša.
Obe metodi sta enakovredni. Učenca spodbujamo, da jih obvlada in uporablja tisto, ki mu je najbolj všeč.
Kaj pa, če obstajajo črke ter operacije seštevanja in odštevanja?
Prvi del vprašanja je bolj ali manj jasen. Črke lahko skrajšamo tako kot številke. Glavna stvar je, da delujejo kot multiplikatorji. Marsikdo pa ima težave z drugim.
Pomembno si je zapomniti! Zmanjšate lahko le števila, ki so faktorji. Če so seštevalci, je nemogoče.
Da bi razumeli, kako zmanjšati ulomke, ki imajo obliko algebraičnega izraza, morate razumeti pravilo. Najprej izrazite števec in imenovalec kot zmnožek. Potem lahko zmanjšate, če se pojavijo skupni dejavniki. Za predstavitev v obliki množiteljev so uporabne naslednje tehnike:
- združevanje v skupine;
- oklepaji;
- uporaba skrajšanih množilnih identitet.
Poleg tega slednja metoda omogoča takojšnje pridobivanje izrazov v obliki množiteljev. Zato ga je treba vedno uporabiti, če je viden znani vzorec.
Ampak to še ni strašljivo, potem se pojavijo naloge s stopnjami in koreninami. Takrat se morate opogumiti in naučiti nekaj novih pravil.
Izražanje s stopnjo
Ulomek. Števec in imenovalec sta produkt. Obstajajo črke in številke. Prav tako so povzdignjeni na potenco, ki je prav tako sestavljena iz členov ali faktorjev. Nekaj se je treba bati.
Da bi razumeli, kako zmanjšati ulomke s potencami, se boste morali naučiti dveh stvari:
- če eksponent vsebuje vsoto, potem jo je mogoče razstaviti na faktorje, katerih potence bodo prvotni členi;
- če razlika, potem dividenda in delitelj, prvi bo imel minuend na potenco, drugi bo imel subtrahend.
Po zaključku teh korakov postanejo vidni skupni množitelji. V takih primerih ni treba izračunati vseh potenc. Dovolj je, da preprosto zmanjšate stopnje z enakimi eksponenti in osnovami.
Da bi končno obvladali zmanjševanje ulomkov s potencami, potrebujete veliko vaje. Po več podobnih primerih bodo dejanja izvedena samodejno.
Kaj pa, če izraz vsebuje koren?
Lahko se tudi skrajša. Samo spet po pravilih. Še več, vse zgoraj opisano drži. Na splošno, če je vprašanje, kako zmanjšati ulomek s koreninami, potem morate razdeliti.
Lahko ga razdelimo tudi na iracionalne izraze. To pomeni, da če imata števec in imenovalec enaka faktorja, zaprta pod znakom korena, ju je mogoče varno zmanjšati. To bo poenostavilo izraz in dokončalo nalogo.
Če po zmanjšanju iracionalnost ostane pod ulomkovo črto, se je morate znebiti. Z drugimi besedami, pomnožite števec in imenovalec z njim. Če se po tej operaciji pojavijo skupni dejavniki, jih bo treba znova zmanjšati.
To je verjetno vse o tem, kako zmanjšati ulomke. Malo je pravil, a le ena prepoved. Nikoli ne skrajšajte rokov!
Ta članek nadaljuje temo pretvorbe algebrskih ulomkov: obravnavajte takšno dejanje kot zmanjševanje algebrskih ulomkov. Opredelimo sam izraz, oblikujmo pravilo redukcije in analizirajmo praktične primere.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pomen zmanjševanja algebraičnega ulomka
V gradivih o navadnih ulomkih smo si ogledali njegovo zmanjševanje. Zmanjševanje ulomka smo definirali kot deljenje njegovega števca in imenovalca s skupnim faktorjem.
Zmanjšanje algebraičnega ulomka je podobna operacija.
Definicija 1
Zmanjšanje algebraičnega ulomka je deljenje njegovega števca in imenovalca s skupnim faktorjem. V tem primeru je v nasprotju z redukcijo navadnega ulomka (skupni imenovalec je lahko samo število) skupni faktor števca in imenovalca algebraičnega ulomka lahko polinom, zlasti monom ali število.
Na primer, algebraični ulomek 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 lahko zmanjšamo za število 3, kar ima za posledico: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Isti ulomek lahko zmanjšamo za spremenljivko x, kar nam bo dalo izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Dani ulomek je mogoče tudi zmanjšati z monomom 3 x ali katerega od polinomov x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y oz 3 x 2 + 6 x y.
Končni cilj reduciranja algebraičnega ulomka je ulomek enostavnejše oblike, v najboljšem primeru nezmanjšljiv ulomek.
Ali so vsi algebraični ulomki predmet redukcije?
Ponovno iz materialov o navadnih ulomkih vemo, da obstajajo zmanjšljivi in nezmanjšljivi ulomki. Nezmanjšljivi ulomki so ulomki, ki nimajo skupnih faktorjev v števcu in imenovalcu razen 1.
Enako je z algebrskimi ulomki: lahko imajo skupne faktorje v števcu in imenovalcu ali pa jih nimajo. Prisotnost skupnih faktorjev vam omogoča, da poenostavite prvotni ulomek z redukcijo. Če ni skupnih faktorjev, je nemogoče optimizirati dano frakcijo z metodo redukcije.
V splošnih primerih je glede na vrsto ulomka precej težko razumeti, ali ga je mogoče zmanjšati. Seveda je v nekaterih primerih prisotnost skupnega faktorja med števcem in imenovalcem očitna. Na primer, v algebraičnem ulomku 3 x 2 3 y je povsem jasno, da je skupni faktor število 3.
Pri ulomku - x · y 5 · x · y · z 3 prav tako takoj razumemo, da ga lahko zmanjšamo za x, ali y ali x · y. In vendar veliko pogosteje obstajajo primeri algebraičnih ulomkov, ko skupnega faktorja števca in imenovalca ni tako enostavno videti, še pogosteje pa ga preprosto ni.
Na primer, ulomek x 3 - 1 x 2 - 1 lahko skrajšamo z x - 1, medtem ko navedenega skupnega faktorja v vnosu ni. Toda ulomka x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ni mogoče skrajšati, saj števec in imenovalec nimata skupnega faktorja.
Tako vprašanje določanja zmanjšljivosti algebraičnega ulomka ni tako preprosto in pogosto je lažje delati z ulomkom dane oblike kot poskušati ugotoviti, ali je zmanjšljiv. V tem primeru pride do takšnih transformacij, ki v posameznih primerih omogočajo določitev skupnega faktorja števca in imenovalca ali sklepanje o nezmanjšanosti ulomka. To vprašanje bomo podrobno preučili v naslednjem odstavku članka.
Pravilo za zmanjševanje algebraičnih ulomkov
Pravilo za zmanjševanje algebraičnih ulomkov je sestavljen iz dveh zaporednih dejanj:
- iskanje skupnih faktorjev števca in imenovalca;
- če jih najdemo, se neposredno izvede dejanje zmanjšanja frakcije.
Najprimernejša metoda za iskanje skupnih imenovalcev je faktorizacija polinomov v števcu in imenovalcu danega algebraičnega ulomka. To vam omogoča, da takoj jasno vidite prisotnost ali odsotnost skupnih dejavnikov.
Samo dejanje zmanjševanja algebraičnega ulomka temelji na glavni lastnosti algebraičnega ulomka, izraženi z enakostjo undefined, kjer so a, b, c nekateri polinomi, b in c pa različna od nič. Prvi korak je redukcija ulomka na obliko a · c b · c, pri kateri takoj opazimo skupni faktor c. Drugi korak je izvedba redukcije, tj. prehod v ulomek oblike a b .
Tipični primeri
Kljub določeni očitnosti pojasnimo poseben primer, ko sta števec in imenovalec algebraičnega ulomka enaka. Podobni ulomki so identično enaki 1 na celotnem ODZ spremenljivk tega ulomka:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Ker so navadni ulomki poseben primer algebrskih ulomkov, se spomnimo, kako so reducirani. Naravna števila, zapisana v števcu in imenovalcu, faktoriziramo v prafaktorje, nato pa skupne faktorje črtamo (če obstajajo).
Na primer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Produkt enostavnih enakih faktorjev lahko zapišemo kot potence in v procesu zmanjševanja ulomka uporabimo lastnost deljenja potenc z enakimi bazami. Potem bi bila zgornja rešitev:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(števec in imenovalec deljena s skupnim faktorjem 2 2 3). Ali zaradi jasnosti, ki temelji na lastnostih množenja in deljenja, damo rešitvi naslednjo obliko:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Po analogiji se izvede redukcija algebraičnih ulomkov, v katerih imata števec in imenovalec monome s celimi koeficienti.
Primer 1
Podan je algebraični ulomek - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Treba ga je zmanjšati.
rešitev
Števec in imenovalec danega ulomka je mogoče zapisati kot zmnožek enostavnih faktorjev in spremenljivk, nato pa izvesti redukcijo:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Vendar bi bilo bolj racionalno, če bi rešitev zapisali kot izraz s potencami:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Kadar števec in imenovalec algebraičnega ulomka vsebujeta ulomke koeficiente, obstajata dva možna načina nadaljnjega ukrepanja: ali te ulomke razdelite ločeno ali pa se najprej znebite ulomkov koeficientov tako, da pomnožite števec in imenovalec z nekim naravnim številom. Zadnja transformacija je izvedena zaradi osnovne lastnosti algebraičnega ulomka (o tem si lahko preberete v članku “Zmanjšanje algebraičnega ulomka na nov imenovalec”).
Primer 2
Dani ulomek je 2 5 x 0, 3 x 3. Treba ga je zmanjšati.
rešitev
Delež je mogoče zmanjšati na ta način:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Poskusimo problem rešiti drugače, tako da se najprej znebimo delnih koeficientov - pomnožimo števec in imenovalec z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev teh koeficientov, tj. na LCM (5, 10) = 10. Potem dobimo:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Ko reduciramo splošne algebrske ulomke, v katerih so lahko števci in imenovalci monomi ali polinomi, lahko pride do težave, kjer skupni faktor ni vedno takoj viden. Ali pa preprosto ne obstaja. Nato se za določitev skupnega faktorja ali zapis dejstva, da ga ni, faktorizirata števec in imenovalec algebraičnega ulomka.
Primer 3
Podan je racionalni ulomek 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Treba ga je zmanjšati.
rešitev
Razčlenimo polinome v števcu in imenovalcu. Dajmo iz oklepaja:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vidimo, da lahko izraz v oklepaju pretvorimo s skrajšanimi formulami za množenje:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Jasno je razvidno, da je mogoče ulomek zmanjšati s skupnim faktorjem b 2 (a + 7). Naredimo zmanjšanje:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Zapišimo kratko rešitev brez razlage kot verigo enačb:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Zgodi se, da skupne faktorje skrijejo številski koeficienti. Potem je pri zmanjševanju ulomkov optimalno dati številske faktorje pri višjih potencah števca in imenovalca iz oklepaja.
Primer 4
Podan je algebraični ulomek 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Če je mogoče, ga je treba zmanjšati.
rešitev
Na prvi pogled števec in imenovalec nimata skupnega imenovalca. Vendar pa poskusimo pretvoriti dani ulomek. Izvzemimo faktor x iz števca:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Zdaj lahko vidite nekaj podobnosti med izrazom v oklepajih in izrazom v imenovalcu zaradi x 2 y . Izvzemimo numerične koeficiente višjih potenc teh polinomov:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Zdaj postane skupni faktor viden, izvedemo redukcijo:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Naj poudarimo, da je spretnost zmanjševanja racionalnih ulomkov odvisna od sposobnosti faktoriziranja polinomov.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
