Naj razmislim o materialni točki, katere gibanje je omejeno tako, da ima samo eno prostostno stopnjo.
To pomeni, da je njegov položaj mogoče določiti z eno samo količino, kot je koordinata x. Primer je krogla, ki drsi brez trenja po fiksni žici, upognjeni v navpični ravnini (slika 26.1a).
Drug primer je krogla, pritrjena na konec vzmeti, ki drsi brez trenja na vodoravno vodilo (slika 26.2, a).
Na kroglo deluje konservativna sila: v prvem primeru je to sila težnosti, v drugem primeru pa prožnostna sila deformirane vzmeti. Grafi potencialne energije so prikazani na sl. 26.1, b in 26.2, b.
Ker se kroglice po žici gibljejo brez trenja, je sila, s katero žica deluje na žogico, v obeh primerih pravokotna na hitrost žogice in zato na žogico ne deluje. Zato se varčuje z energijo:
Iz (26.1) sledi, da se lahko kinetična energija poveča samo zaradi zmanjšanja amplitudne energije. Če je torej žogica v takem stanju, da je njena hitrost enaka nič in ima potencialna energija minimalno vrednost, se brez zunanjega vpliva ne bo mogla premakniti, to je, da bo v ravnotežju.
Minimumi U ustrezajo enakim vrednostim v grafih (na sliki 26.2 je dolžina nedeformirane ekipe) Pogoj za najmanjšo potencialno energijo ima obliko
V skladu s t (22.4) je pogoj (26.2) enakovreden dejstvu, da
(v primeru, da je U funkcija samo ene spremenljivke, ). Tako ima položaj, ki ustreza najmanjši potencialni energiji, to lastnost, da je sila, ki deluje na telo, enaka nič.
V primeru, prikazanem na sl. 26.1 sta pogoja (26.2) in (26.3) izpolnjena tudi za x, ki je enak (tj. za največ U). Tudi položaj žoge, določen s to vrednostjo, bo ravnotežni. Vendar pa bo to ravnovesje, za razliko od ravnotežja pri , nestabilno: dovolj je, da rahlo odstranite žogo iz tega položaja in pojavila se bo sila, ki bo žogo premaknila stran od položaja . Sile, ki nastanejo, ko se kroglica premakne iz stabilnega ravnotežnega položaja (za katerega ), so usmerjene tako, da težijo vrniti kroglico v ravnotežni položaj.
Če poznamo vrsto funkcije t, ki izraža potencialno energijo, lahko naredimo številne zaključke o naravi gibanja delca. Naj to razložimo z grafom, prikazanim na sl. 26.1, b. Če ima skupna energija vrednost, prikazano na sliki, potem se lahko delec giblje v območju od do ali v območju od do neskončnosti. Delec ne more prodreti v območje, saj potencialna energija ne more postati večja od skupne energije (če bi se to zgodilo, bi kinetična energija postala negativna). Tako območje predstavlja potencialno oviro, skozi katero delec ne more prodreti glede na dano količino celotne energije. Območje se imenuje potencialni vodnjak.
Če se delec med svojim gibanjem ne more oddaljiti v neskončnost, imenujemo gibanje končno. Če gre delec tako daleč, kot želimo, se gibanje imenuje neskončno. Delec v potencialni jami je podvržen končnemu gibanju. Tudi gibanje delca z negativno skupno energijo v osrednjem polju privlačnih sil bo končno (predpostavimo, da potencialna energija v neskončnosti izniči).
Mehansko ravnotežje
Mehansko ravnotežje- stanje mehanskega sistema, v katerem je vsota vseh sil, ki delujejo na vsakega od njegovih delcev, enaka nič, in vsota momentov vseh sil, ki delujejo na telo glede na katero koli poljubno os vrtenja, je prav tako nič.
V ravnotežnem stanju telo v izbranem referenčnem sistemu miruje (vektor hitrosti je nič) bodisi se giblje enakomerno premo ali pa se vrti brez tangencialnega pospeška.
Opredelitev skozi sistemsko energijo
Ker so energija in sile povezane s temeljnimi odnosi, je ta definicija enakovredna prvi. Vendar se lahko definicija v smislu energije razširi, da zagotovi informacije o stabilnosti ravnotežnega položaja.
Vrste ravnovesja
Navedimo primer sistema z eno prostostno stopnjo. V tem primeru bo zadosten pogoj za ravnotežni položaj prisotnost lokalnega ekstrema v preučevani točki. Kot je znano, je pogoj za lokalni ekstrem diferenciabilne funkcije ta, da je njen prvi odvod enak nič. Če želite ugotoviti, kdaj je ta točka minimum ali maksimum, morate analizirati njen drugi derivat. Za stabilnost ravnotežnega položaja so značilne naslednje možnosti:
- nestabilno ravnotežje;
- stabilno ravnovesje;
- indiferentno ravnotežje.
Nestabilno ravnotežje
V primeru, ko je drugi odvod negativen, je potencialna energija sistema v stanju lokalnega maksimuma. To pomeni, da je ravnotežni položaj nestabilen. Če sistem premaknemo za majhno razdaljo, bo nadaljeval svoje gibanje zaradi sil, ki delujejo na sistem.
Stabilno ravnotežje
Drugi odvod > 0: potencialna energija pri lokalnem minimumu, ravnotežni položaj trajnostno(glej Lagrangeov izrek o stabilnosti ravnovesja). Če se sistem premakne za majhno razdaljo, se vrne nazaj v ravnotežno stanje. Ravnotežje je stabilno, če zavzema težišče telesa najnižjo lego v primerjavi z vsemi možnimi sosednjimi legami.
Indiferentno ravnotežje
Drugi odvod = 0: v tem območju se energija ne spreminja in ravnotežni položaj je enak. Če sistem premaknete za majhno razdaljo, bo ostal v novem položaju.
Stabilnost v sistemih z velikim številom prostostnih stopenj
Če ima sistem več stopenj svobode, se lahko izkaže, da je pri premikih v nekaterih smereh ravnotežje stabilno, v drugih pa nestabilno. Najenostavnejši primer takšne situacije je "sedlo" ali "prelaz" (dobro bi bilo postaviti sliko na to mesto).
Ravnotežje sistema z več prostostnimi stopnjami bo stabilno le, če je stabilno v vse smeri.
Fundacija Wikimedia. 2010.
Oglejte si, kaj je "mehansko ravnotežje" v drugih slovarjih:
mehansko ravnovesje- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. mehansko ravnovesje vok. mechanisches Gleichgewicht, n rus. mehansko ravnotežje, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas
- ... Wikipedia
Fazni prehodi I. člen ... Wikipedia
Stanje termodinamičnega sistema, v katerega pride spontano po dovolj dolgem časovnem obdobju v pogojih izolacije od okolja, po katerem se parametri stanja sistema skozi čas ne spreminjajo več. Izolacija... ... Velika sovjetska enciklopedija
RAVNOTEŽJE- (1) mehansko stanje negibnosti telesa, ki je posledica R. sil, ki delujejo na telo (ko je vsota vseh sil, ki delujejo na telo, enaka nič, to pomeni, da ne daje pospeška) . R. se razlikujejo: a) stabilni, ko pri odstopanju od ... ... Velika politehnična enciklopedija
Mehansko stanje sistem, v katerem so vse njegove točke nepremične glede na dani referenčni sistem. Če je ta referenčni sistem inercialni, se imenuje R.M. absolutno, sicer relativno. Odvisno od obnašanja telesa po... Veliki enciklopedični politehnični slovar
Termodinamično ravnovesje je stanje izoliranega termodinamičnega sistema, v katerem je v vsaki točki za vse kemične, difuzijske, jedrske in druge procese hitrost neposredne reakcije enaka hitrosti povratne. Termodinamika... ... Wikipedia
Ravnotežje- najverjetnejše makrostanje snovi, ko spremenljive količine ne glede na izbiro ostanejo konstantne s popolnim opisom sistema. Ravnovesja ločimo: mehansko, termodinamično, kemično, fazno itd.: Poglejte... ... Enciklopedični slovar metalurgije
Vsebina 1 Klasična definicija 2 Definicija skozi energijo sistema 3 Vrste ravnovesja ... Wikipedia
Fazni prehodi Članek je del serije Termodinamika. Koncept faze Fazno ravnovesje Kvantni fazni prehod Oddelki termodinamike Načela termodinamike Enačba stanja ... Wikipedia
To predavanje pokriva naslednja vprašanja:
1. Pogoji za ravnotežje mehanskih sistemov.
2. Stabilnost ravnotežja.
3. Primer določanja ravnotežnih položajev in proučevanje njihove stabilnosti.
Preučevanje teh vprašanj je potrebno za preučevanje nihajnih gibanj mehanskega sistema glede na ravnotežni položaj v disciplini "Strojni deli", za reševanje problemov v disciplinah "Teorija strojev in mehanizmov" in "Trdnost materialov".
Pomemben primer gibanja mehanskih sistemov je njihovo nihanje. Nihanja so ponavljajoča se gibanja mehanskega sistema glede na nekatere njegove položaje, ki se skozi čas pojavljajo bolj ali manj redno. Predmet proučuje nihajno gibanje mehanskega sistema glede na ravnovesno lego (relativno ali absolutno).
Mehanski sistem lahko niha dovolj dolgo le v bližini stabilnega ravnotežnega položaja. Zato je treba pred sestavljanjem enačb nihajnega gibanja najti ravnotežne položaje in preučiti njihovo stabilnost.
Ravnotežni pogoji za mehanske sisteme.
V skladu z načelom možnih premikov (osnovna enačba statike) je za ravnovesje mehanskega sistema, na katerega so naložene idealne, stacionarne, zadrževalne in holonomne omejitve, nujno in zadostno, da so vse posplošene sile v tem sistemu biti enak nič:
Kje - posplošena sila, ki ustreza j- oh generalizirana koordinata;
s- število generaliziranih koordinat v mehanskem sistemu.
Če so bile za preučevani sistem sestavljene diferencialne enačbe gibanja v obliki Lagrangeovih enačb druge vrste, potem je za določitev možnih ravnotežnih položajev dovolj enačiti posplošene sile na nič in rešiti nastale enačbe glede na posplošene koordinate.
Če je mehanski sistem v potencialnem polju sile v ravnovesju, dobimo iz enačb (1) naslednje ravnotežne pogoje:
Zato ima v ravnotežnem položaju potencialna energija ekstremno vrednost. Vsakega ravnotežja, določenega z zgornjimi formulami, ni mogoče praktično uresničiti. Glede na obnašanje sistema, ko odstopa od ravnotežnega položaja, govorimo o stabilnosti ali nestabilnosti tega položaja.
Ravnotežna stabilnost
Opredelitev koncepta stabilnosti ravnotežnega položaja je bila podana konec 19. stoletja v delih ruskega znanstvenika A. M. Lyapunova. Poglejmo to definicijo.
Za poenostavitev izračunov se bomo dodatno dogovorili za posplošene koordinate q 1 , q 2 ,...,q s štetje od ravnotežnega položaja sistema:
Kje
Ravnotežni položaj imenujemo stabilen, če je za poljubno majhno številolahko najdeš drugo številko , da v primeru, ko začetne vrednosti posplošenih koordinat in hitrosti ne bodo presegle:
vrednosti posplošenih koordinat in hitrosti med nadaljnjim gibanjem sistema ne bodo presegle .
Z drugimi besedami, ravnotežni položaj sistema q 1 = q 2 = ...= q s = 0 se imenuje trajnostno, če je vedno mogoče najti tako dovolj majhne začetne vrednosti, pri katerem gibanje sistemane bo zapustil nobene dane, poljubno majhne okolice ravnotežnega položaja. Za sistem z eno prostostno stopnjo lahko stabilno gibanje sistema jasno prikažemo v fazni ravnini (slika 1).Za stabilen ravnotežni položaj je gibanje reprezentativne točke, ki se začne v regiji [ ] , v prihodnosti ne bo presegla regije.
Slika 1
Ravnotežni položaj se imenuje asimptotično stabilen , če se sčasoma sistem približa ravnotežnemu položaju, tj
Ugotavljanje pogojev stabilnosti ravnotežnega položaja je precej zapletena naloga, zato se bomo omejili na najpreprostejši primer: proučevanje stabilnosti ravnotežja konservativnih sistemov.
Določeni so zadostni pogoji za stabilnost ravnotežnih položajev za takšne sisteme Lagrange-Dirichletov izrek : ravnotežni položaj konzervativnega mehanskega sistema je stabilen, če ima v ravnotežnem položaju potencialna energija sistema izoliran minimum .
Potencialna energija mehanskega sistema je določena natančno do konstante. Izberimo to konstanto tako, da bo v ravnotežnem položaju potencialna energija enaka nič:
P (0)=0.
Potem bo za sistem z eno prostostno stopnjo zadosten pogoj za obstoj izoliranega minimuma poleg nujnega pogoja (2) pogoj
Ker ima v ravnotežnem položaju potencialna energija izoliran minimum in P (0)=0 , potem v neki končni okolici tega položaja
P(q)=0.
Klicane so funkcije, ki imajo konstanten predznak in so enake nič le, če so vsi njihovi argumenti nič določen v znamenju. Posledično, da je ravnotežni položaj mehanskega sistema stabilen, je nujno in zadostno, da je v bližini tega položaja potencialna energija pozitivno določena funkcija posplošenih koordinat.
Za linearne sisteme in za sisteme, ki jih je mogoče reducirati na linearne za majhne odklone od ravnotežnega položaja (linearizirati), lahko potencialno energijo predstavimo v obliki kvadratne oblike posplošenih koordinat
Kje - posplošeni koeficienti togosti.
Posplošeni koeficientiso konstantne številke, ki jih je mogoče določiti neposredno iz serijske ekspanzije potencialne energije ali iz vrednosti drugih derivatov potencialne energije glede na posplošene koordinate v ravnotežnem položaju:
Iz formule (4) sledi, da so posplošeni koeficienti togosti simetrični glede na indekse
Za to Da bi bili zadostni pogoji za stabilnost ravnotežnega položaja izpolnjeni, mora biti potencialna energija pozitivno določena kvadratna oblika svojih posplošenih koordinat.
V matematiki obstaja Sylvestrovo merilo , ki daje potrebne in zadostne pogoje za pozitivno določenost kvadratnih oblik: kvadratna oblika (3) bo pozitivno določena, če so determinanta, ki jo sestavljajo njeni koeficienti in vsi njeni glavni diagonalni minori, pozitivni, tj. če kvote bodo izpolnjevali pogoje
.....
Zlasti za linearni sistem z dvema prostostnima stopnjama bodo potencialna energija in pogoji Sylvestrovega kriterija imeli obliko
Na podoben način je možno proučevati položaje relativnega ravnovesja, če namesto potencialne energije upoštevamo potencialno energijo reduciranega sistema.
p Primer določanja ravnotežnih položajev in študija njihove stabilnosti
Slika 2
Razmislite o mehanskem sistemu, sestavljenem iz cevi AB, ki je palica OO 1 povezana z vodoravno osjo vrtenja in krogla, ki se brez trenja giblje po cevi in je povezana s točko A cevi z vzmetjo (slika 2). Določimo ravnotežne položaje sistema in ocenimo njihovo stabilnost pri naslednjih parametrih: dolžina cevi l 2 = 1 m , dolžina palice l 1 = 0,5 m . nedeformirana dolžina vzmeti l 0 = 0,6 m togost vzmeti c= 100 N/m. Teža cevi m 2 = 2 kg, palica - m 1 = 1 kg in žoga - m 3 = 0,5 kg. Razdalja O.A. enako l 3 = 0,4 m.
Zapišimo izraz za potencialno energijo obravnavanega sistema. Sestavljena je iz potencialne energije treh teles, ki se nahajajo v enakomernem težnem polju, in potencialne energije deformirane vzmeti.
Potencialna energija telesa v gravitacijskem polju je enaka zmnožku teže telesa in višine njegovega težišča nad ravnino, v kateri je potencialna energija enaka nič. Naj bo potencialna energija v ravnini, ki poteka skozi vrtilno os palice, enaka nič O.O. 1, potem za gravitacijo
Za elastično silo je potencialna energija določena z velikostjo deformacije
Poiščimo možne ravnotežne položaje sistema. Vrednosti koordinat na ravnotežnih položajih so korenine naslednjega sistema enačb.
Podoben sistem enačb je mogoče sestaviti za vsak mehanski sistem z dvema prostostnima stopnjama. V nekaterih primerih je možno dobiti natančno rešitev sistema. Za sistem (5) taka rešitev ne obstaja, zato je treba korene iskati z numeričnimi metodami.
Z reševanjem sistema transcendentnih enačb (5) dobimo dva možna ravnotežna položaja:
Za oceno stabilnosti dobljenih ravnotežnih položajev bomo poiskali vse druge odvode potencialne energije glede na posplošene koordinate in iz njih določili posplošene koeficiente togosti.
OPREDELITEV
Stabilno ravnotežje- to je ravnotežje, v katerem se telo, odmaknjeno od ravnotežnega položaja in prepuščeno samo sebi, vrne v prejšnji položaj.
To se zgodi, če z rahlim premikom telesa v katero koli smer od prvotnega položaja rezultanta sil, ki delujejo na telo, postane različna od nič in je usmerjena proti ravnotežnemu položaju. Na primer krogla, ki leži na dnu sferične vdolbine (slika 1 a).
OPREDELITEV
Nestabilno ravnotežje- to je ravnotežje, v katerem bo telo, vzeto iz ravnotežnega položaja in prepuščeno samo sebi, še bolj odstopalo od ravnotežnega položaja.
V tem primeru je z rahlim premikom telesa iz ravnotežnega položaja rezultanta sil, ki delujejo nanj, enaka nič in je usmerjena iz ravnotežnega položaja. Primer je krogla, ki se nahaja na zgornji točki konveksne sferične površine (slika 1 b).
OPREDELITEV
Indiferentno ravnotežje- to je ravnotežje, v katerem telo, vzeto iz ravnotežnega položaja in prepuščeno samo sebi, ne spremeni svojega položaja (stanja).
V tem primeru z majhnimi premiki telesa iz prvotnega položaja ostane rezultanta sil, ki delujejo na telo, enaka nič. Na primer žoga, ki leži na ravni površini (slika 1, c).
Slika 1. Različne vrste ravnotežja telesa na opori: a) stabilno ravnotežje; b) nestabilno ravnotežje; c) indiferentno ravnotežje.
Statično in dinamično ravnotežje teles
Če telo zaradi delovanja sil ne dobi pospeška, lahko miruje ali pa se giblje enakomerno premo. Zato lahko govorimo o statičnem in dinamičnem ravnotežju.
OPREDELITEV
Statično ravnotežje- to je ravnotežje, ko telo pod vplivom uporabljenih sil miruje.
Dinamično ravnotežje- to je ravnotežje, ko zaradi delovanja sil telo ne spremeni svojega gibanja.
Luč, obešena na kable, ali katera koli gradbena konstrukcija je v stanju statičnega ravnovesja. Kot primer dinamičnega ravnovesja razmislite o kolesu, ki se kotali po ravni površini brez tornih sil.
Predstavimo enačbe (16) iz § 107 in (35) ali (38) v obliki:
Pokažimo, da se iz teh enačb, ki so posledice zakonov, navedenih v § 74, dobijo vsi začetni rezultati statike.
1. Če mehanski sistem miruje, so hitrosti vseh njegovih točk enake nič in zato je O katera koli točka. Nato enačbe (40) dajo:
Tako so pogoji (40) nujni pogoji za ravnotežje katerega koli mehanskega sistema. Ta rezultat vsebuje zlasti načelo strjevanja, formulirano v § 2.
Toda za vsak sistem pogoji (40) očitno niso zadostni ravnotežni pogoji. Na primer, če je prikazano na sl. 274 točk je prostih, nato pa se lahko pod vplivom sil premikajo ena proti drugi, čeprav bodo pogoji (40) za te sile izpolnjeni.
Nujni in zadostni pogoji za ravnotežje mehanskega sistema bodo predstavljeni v 139. in 144. členu.
2. Dokažimo, da so pogoji (40) ne le nujni, temveč tudi zadostni ravnotežni pogoji za sile, ki delujejo na absolutno togo telo. Naj začne na prosto togo telo v mirovanju delovati sistem sil, ki izpolnjuje pogoje (40), kjer je O poljubna točka, tj. zlasti točka C. Potem enačbe (40) dajejo , in ker je telo je sprva mirovalo, nato je V točki C negibno in telo se lahko vrti le s kotno hitrostjo c okoli določene trenutne osi (glej § 60). Potem bo po formuli (33) telo imelo . Obstaja pa projekcija vektorja na os in od takrat in od koder sledi, da in tj. da ob izpolnjenih pogojih (40) telo miruje.
3. Iz prejšnjih rezultatov izhajata zlasti začetni določbi 1 in 2, oblikovani v § 2, saj je očitno, da sta sili, prikazani na sl. 2, izpolnjujejo pogoje (40) in so uravnoteženi in da če silam, ki delujejo na telo, dodamo (ali jim odštejemo) uravnotežen sistem sil, tj. ki izpolnjuje pogoje (40), potem niti ti pogoji niti enačbe ( 40), se določanje gibanja telesa ne bo spremenilo.
