Naloge za delo z rešitvami

1. Dva delavca opravljata nekaj dela. Po 45 minutah skupnega dela je bil prvi delavec premeščen na drugo delovno mesto, drugi delavec pa je ostalo delo opravil v 2 urah 15 minut. V kolikšnem času bi lahko vsak delavec posebej opravil vse delo, če je znano, da bo drugi za to potreboval 1 uro več kot prvi?
2. Dve ekipi, ki delata hkrati, obdelata parcelo v 12 urah V kolikšnem času bi lahko to parcelo obdelala prva brigada posebej, če je hitrost dela prve in druge brigade v razmerju 3:2?
3. Ena posadka lahko očisti polje v 12 dneh, medtem ko druga opravi isto delo v 75 % časa, ki ga potrebuje prva posadka. Ko je prva ekipa delala 5 dni, se ji je pridružila druga ekipa in skupaj zaključili delo. Koliko dni sta ekipi delali skupaj?
4. Dva mojstra, od katerih drugi začne delati 1,5 dni kasneje kot prvi, lahko opravita nalogo v 7 dneh. Če bi to nalogo opravljal vsak posebej, bi prvi potreboval 3 dni več kot drugi. Koliko dni bi potreboval vsak mojster posebej, da opravi to nalogo?
5. Bazen se lahko polni z vodo iz dveh pip. Če je prva pipa odprta 10 minut in druga 20 minut, se bazen napolni. Če je prva pipa odprta 5 minut, druga pa 15 minut, se napolni 3/5 bazena. Koliko časa traja polnjenje celotnega bazena iz vsake pipe posebej?
6. Za neko nalogo sta bili dodeljeni dve strojepiski. Drugi je začel delati 1 uro kasneje kot prvi. 3 ure po tem, ko je prvi začel delovati, jim je ostala le še ena naloga. Na koncu dela se je izkazalo, da je vsaka strojepiska opravila polovico celotne naloge. V koliko urah bi lahko vsak posebej opravil celotno nalogo?
7. Gre za dva motorja enake moči. Eden od njih je med delom porabil 600 g bencina, drugi, ki je delal 2 uri manj, pa 384 g bencina. Če bi prvi motor porabil toliko bencina na uro kot drugi, drugi pa, nasprotno, toliko kot prvi, bi bila v istem času delovanja poraba bencina v obeh motorjih enaka. Koliko bencina porabi vsak motor na uro?
8. Dve osebi opravljata delo. Sprva je prvi delal toliko časa, v katerem drugi opravi vse delo. Nato je drugi delal toliko časa, v katerem bi prvi opravil ostalo delo. Pravkar so opravili vse delo. Koliko časa potrebuje vsaka oseba, da opravi to nalogo, če je znano, da jo bo, če dela skupaj, opravila v 3 urah 36 minutah?
9. Dve ekipi, ki sodelujeta morata popraviti določen odsek ceste v 18 dneh. V resnici se je izkazalo, da je sprva delala samo prva brigada, druga brigada, katere produktivnost je bila višja od produktivnosti prve brigade, pa je dokončala popravilo mesta. Posledično je popravilo mesta trajalo 40 dni in prva ekipa v svojem delovni čas dokončal vse delo. Koliko dni bi trajalo popravilo odseka ceste s strani vsake ekipe posebej?
10. Trije zidarji (različnih kvalifikacij) so zidali zid in prvi je delal 6 ur, drugi 4 ure, tretji pa 7 ur. Če je prvi zidar delal 4 ure 2 uri, tretji pa 5 ur, potem bi bilo delo opravljeno prav vse delo. Koliko ur bi zidarji potrebovali, da bi dokončali zidanje, če bi delali skupaj enako dolgo?
11. Voda enakomerno teče v jamo. Deset enakih črpalk, ki delujejo hkrati, lahko izčrpa vodo iz napolnjene jame v 12 urah, 15 takih črpalk pa v 6 urah. Kako dolgo lahko 25 teh črpalk črpa vodo iz napolnjene jame, ko delajo skupaj?
12. Voda vstopa v rezervoar iz dveh cevi različnih premerov. Prvi dan sta obe cevi, ki delujeta hkrati, dovajali 14 m 3 vode. Drugi dan sem samo delal majhna cev in dobavila tudi 14 m 3 vode, saj je delala 5 ur dlje kot prejšnji dan. Tretji dan sta obe cevi najprej dovajali 21 m 3 vode, nato pa je delovala le velika cev, ki je dovajala še 20 m 3 vode in skupno trajanječasu je bila zaloga vode enaka kot drugi dan. Določite produktivnost vsake cevi.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

1. Bazen se napolni z dvema cevema v 6 urah. Ena prva cev ga napolni 5 ur hitreje kot druga. Kako dolgo bo trajalo, da vsaka cev, ki deluje ločeno, napolni bazen? Odgovor: 10 ur; 15 h
2. Učenec je prebral knjigo, ki obsega 480 strani. Vsak dan je prebral enako število strani. Če bi vsak dan prebral še 16 strani, bi knjigo prebral v 5 dneh. Koliko dni je učenec bral knjigo? Odgovor: 6 dni
3. Za raztovarjanje ladje sta bili dodeljeni dve ekipi. Če seštejete časovne intervale, v katerih lahko prva in druga ekipa neodvisno raztovorita parnik, dobite 12 ur. Določite te intervale, če je njuna razlika 45 % časa, v katerem lahko obe ekipi skupaj raztovorita parnik. Odgovor: h; h
4. Ekipa monterjev bi lahko končala napeljavo ob 16. uri, položila pa je 8 m kabla na uro. Po opravljeni polovici celotne naloge je ekipo zapustil en delavec. V zvezi s tem je ekipa začela polagati 6 metrov kabla na uro in zaključila delo, načrtovano za ta dan ob 18:00. Koliko metrov kabla je bilo položenih in v koliko urah? Odgovor: 96 minut, 14 ur
5. Na bazen sta povezani dve cevi. Skozi prvo se bazen polni, skozi drugo pa voda odteka iz bazena. Pol ure po hkratnem začetku obratovanja cevi so prvo preklopili tudi na odvod vode iz bazena. Koliko časa po zamenjavi prve cevi se nivo vode v bazenu vrne na prvotno raven, če je prostornina prve cevi dvakrat večja od prostornine druge? Odgovor: v 10 minutah
6. Številni delavci so delo zaključili v nekaj dneh. Če se število delavcev poveča za 3, bo delo opravljeno 2 dni hitreje, če se število delavcev poveča za 12, pa 5 dni hitreje. Določite število delavcev in čas, potreben za dokončanje tega dela. Odgovor: 12 delovnih dni, 10 dni
7. Bazen se lahko polni z vodo z dvema črpalkama različnih zmogljivosti. Če se polovica bazena napolni tako, da se vklopi samo prva črpalka in nato, ko jo izklopite, nadaljujete s polnjenjem z drugo črpalko, bo celoten bazen napolnjen v 2 urah 30 minutah. Če obe črpalki delujeta hkrati, se bo bazen napolnil v 1 uri 12 minutah. Kolikšen del bazena napolni v 20 minutah delovanja črpalka z manjšo zmogljivostjo? Odgovor: 1/9
8. Pet ljudi opravi neko nalogo. Prvi trije, ki delajo skupaj, bodo celotno nalogo opravili v 7,5 urah; prvi, tretji in peti - v 5 urah; prvi, tretji in četrti - v 6 urah; drugi, četrti in peti - v 4 urah. Koliko časa bo potrebnih vseh pet ljudi, da opravijo to nalogo? Odgovor: v 3 urah
9. Dva delavca sta skupaj opravila neko delo v 12 urah, če bi prvi delavec opravil polovico tega dela, nato pa drugi delavec, bi bilo vse delo opravljeno v 25 urah. Koliko časa bi potreboval vsak delavec posebej, da bi opravil to delo? Odgovor: 16 ur, 16/3 ure
10. Mojstra A in B sta delala enako število dni. Če bi A delal en dan manj, B pa 7 dni manj, bi A zaslužil 7200 RUB, B pa 6480 RUB. Če bi nasprotno A delal 7 dni manj, B pa en dan manj, bi B zaslužil 3240 rubljev. več A. Koliko je dejansko zaslužil vsak mojster? Odgovor: 7500 rub.; 9000 rubljev.
11. Za polnjenje rezervoarja smo odprli dve cevi, po katerih je 20 minut dovajala vodo, nato smo odprli tretjo cev, po 5 minutah pa smo rezervoar napolnili in zaprli vse cevi. Produktivnost druge cevi je 1,2-krat večja od produktivnosti prve. Skozi drugo in tretjo cev, ki sta odprti hkrati, se rezervoar napolni v 0,9-kratnem času, ki je potreben za polnjenje skozi prvo in tretjo cev, ko delujeta skupaj. Koliko časa bo trajalo polnjenje rezervoarja, če so vse tri cevi odprte hkrati? Odgovor: 16 min
12. Tri avtomatske linije proizvajajo enake izdelke, vendar imajo različno produktivnost. Produktivnost vseh treh sočasno delujočih linij je 1,5-krat višja od produktivnosti prve in druge sočasno delujoče linije. Druga in tretja linija, ki delujeta sočasno, lahko opravita izmensko nalogo prve linije 4 ure 48 minut hitreje, kot jo opravi prva linija; Druga linija opravi isto nalogo 2 uri hitreje v primerjavi s prvo. Poiščite čas, ki je potreben, da prva linija opravi svojo izmensko nalogo. Odgovor: 8 ur

POGLAVJE 8

ALGEBRAIČNE IN ARITMETIČNE TEŽAVE

793. Tipkarica je izračunala, da če bi dnevno natisnila 2 lista več od norme, določene zanjo, bi delo končala 3 dni prej, kot je bilo predvideno; če natisne 4 liste nad normo, bo delo končal 5 dni pred rokom. Koliko listov naj ponatisne in v kolikšnem roku? .Rešitev

794. Delavec je v roku, ki mu je bil naložen, izdelal določeno število enakih delov. Če bi jih naredil vsak dan še 10, bi to delo opravil v 4 dneh in pol pred rokom, in če bi naredil 5 detajlov manj na dan, bi zamujal 3 dni z dogovorjenim rokom. Koliko delov je dokončal in v kakšnem časovnem okviru? .Rešitev

795. Tipkarica je morala opraviti delo v določenem roku, vsak dan je natisnila določeno število listov. Izračunala je, da če vsak dan natisne 2 lista več od norme, bo delo končala 2 dni pred rokom, če pa natisne 60 %. več kot normalno, potem ko bo delo končal 4 dni pred rokom, bo natisnil 8 listov več od predvidenega dela. Koliko listov naj natisne na dan in v kolikšnem času naj konča delo? .Rešitev

796. Dva delavca, ki delata skupaj, opravita neko delo v 8 urah. Prvi od njih, ki dela ločeno, lahko opravi vse delo 12 ur. namesto drugega delavca, če ta dela ločeno. V koliko urah lahko vsak od njih, če dela ločeno, dokonča delo?

797. Bazen se z dvema cevema napolni v 6 urah. Ena prva cev ga polni 5 ur. namesto ene sekunde. Kako dolgo bo trajalo, da vsaka cev, ki deluje ločeno, napolni bazen?

798. Dva delavca sta bila zadolžena za izdelavo serije enakih delov. Ko je prvi delal 7 ur, drugi pa 4 ure, se je izkazalo, da sta opravila 5/9 celotnega dela. Potem ko so skupaj delali še 4 ure, so ugotovili, da jim je ostalo še 1/18 celotnega dela. V koliko urah bi lahko vsak od njih, če dela ločeno, dokončal celotno delo?

799. Ladjo nakladajo žerjavi. Najprej so začeli nakladati 4 žerjavi enake moči. Po 2 urah dela so nanje priklopili še 2 žerjava manjše moči, nato pa je bilo nakladanje zaključeno po 3 urah. Če bi vsa dvigala začela delovati hkrati, bi bilo nakladanje končano v 4,5 ure. Ugotovite, v koliko urah bi en žerjav večje in en žerjav manjše moči lahko končal nakladanje. .Rešitev

800. Gradnja zahteva 8 ur. prevoz gradbenega materiala s postaje. Najprej so na prevoz poslali 30 tritonskih vozil. Po dveh urah dela teh strojev so jim na pomoč poslali še 9 pettonskih vozil, skupaj s katerimi je bil prevoz pravočasno opravljen. Če bi najprej poslali pettonska vozila in 2 uri kasneje tritonska vozila, bi v navedenem času odpeljali le 13/15 celotnega tovora. Ugotovi, koliko ur bi potreboval en tritonski tovornjak, en pettonski tovornjak, da bi prepeljal ta celoten tovor in v kolikšnem času bi 30 pettonskih tovornjakov prepeljalo celoten tovor..Rešitev

801. Za nekaj dela sta bili dodeljeni dve strojepiski. Drugi od njih je začel delati 1 uro kasneje kot prvi. 3 ure po tem, ko je prvi začel z delom, jim je ostalo še 9/20 dela za dokončanje. Na koncu dela se je izkazalo, da je vsaka strojepiska opravila polovico celotnega dela. V koliko urah bi lahko vsak posebej opravil vse delo?

802. Dva vlaka sta zapeljala drug proti drugemu s postaje A in B, pri čemer je drugi odpeljal pol ure kasneje kot prvi. 2 uri po odhodu prvega vlaka je bila razdalja med vlakoma 19/30 celotne razdalje med A in B. Nadaljevala sta se na pol poti med A in B. Koliko časa bi vsak vlak potreboval, da prevozi celotno razdaljo med končne postaje? rešitev

803. Za pranje fotografskih negativov uporabite kopel v obliki pravokotni paralelopiped, dimenzij 20 cm x 90 cm x 25 cm, voda v kadi teče skozi eno pipo in hkrati teče skozi drugo. Izpraznitev polne kadi z drugo pipo traja 5 minut. manj časa, kot da ga napolnite s prvo pipo, če zaprete drugo. Če odprete obe pipi, bo polna kopel izpraznjena v 1 uri. Poiščite količino vode, ki teče skozi vsako pipo v 1 minuti. .Rešitev

804. Pri gradnji objekta je bilo potrebno v določenem času odstraniti 8000 m 3 zemlje. Dela so bila opravljena 8 dni pred predvidenim rokom, saj je ekipa izkopa vsak dan presegla načrt za 50 m 3. Določite, kdaj naj bo delo končano, in poiščite dnevni odstotek previsoke izpolnitve. rešitev

805. Progo sta popravljali dve ekipi. Vsak od njih je popravil 10 km, kljub temu, da je druga ekipa delala dan manj kot prva. Koliko kilometrov proge je vsaka ekipa popravila na dan, če sta obe skupaj popravili 4,5 km na dan? .Rešitev

806. Dva delavca sta skupaj opravila neko delo v 12 urah. Če bi najprej prvi opravil polovico tega dela, nato pa drugi ostalo, bi bilo celotno delo opravljeno v 25 urah. Kako dolgo bi lahko vsaka oseba opravljala to delo posebej?

807. Dva traktorja različnih moči, ki sta sodelovala, sta orala njivo za t dnevi. Če bi najprej delal samo en traktor in preoral polovico njive, nato pa drugič dokončal delo, bi bila njiva v takšnih razmerah preorana. k dnevi. V koliko dneh lahko vsak traktor, ki dela posebej, zorje celotno njivo? .Rešitev

808. Za poglobitev plovne poti na vhodu v pristanišče so bili uporabljeni 3 različni bagri. Če bi veljal le prvi, bi dela trajala 10 dni dlje; če bi delal samo drugi, potem bi se delo vleklo za 20 dodatnih dni. S samo enim tretjim bagrom bi poglabljanje plovne poti trajalo šestkrat dlje kot z vsemi tremi stroji, ki delujejo hkrati. Koliko časa bo trajalo dokončanje celotnega dela z vsakim bagrom posebej?

809. Dva delavca, od katerih drugi začne delati 1 1/2 dni kasneje kot prvi, lahko opravita delo v 7 dneh. Če bi to delo opravljal vsak posebej, bi prvi potreboval 3 dni več kot drugi. V koliko dneh bo vsak posebej opravil to delo? rešitev

810. Ko sta skupaj delala dva traktorja različnih moči, je bila kolektivna njiva preorana v 8 dneh. Če bi pol njive najprej zoral z enim traktorjem, nato nadaljnje delo Z dvema traktorjema bi celotno delo opravili v 10 dneh. V koliko dneh bi lahko zorali celotno njivo z vsakim traktorjem posebej? .Rešitev

811. Več ljudi se je lotilo kopanja jarka in bi delo lahko končali v 6 urah, če bi ga začeli hkrati, vendar so začeli dela drug za drugim v enakih presledkih. Po enakem času po odhodu v službo zadnji udeleženec jarek je bil izkopan, vsak od udeležencev pa je ostal na delu do konca. Koliko časa so potrebovali, da so kopali jarek, če je tisti, ki je začel delati prvi, delal 5-krat dlje kot tisti, ki je začel delati zadnji? .Rešitev

812. Trije delavci lahko sodelujejo pri dokončanju nekega dela t uro. Prvi med njimi, ki dela sam, lahko to delo opravi dvakrat hitreje kot tretji in eno uro hitreje kot drugi. Koliko časa lahko vsak od njih, ki delata ločeno, opravi to delo? .Rešitev

813. Bazen se polni z vodo iz dveh pip. Prvič, prva pipa je bila odprta za eno tretjino časa, ki bi ga potrebovali za polnjenje bazena, če bi odprli samo drugo pipo. Nato je bila druga pipa odprta za eno tretjino časa, ki je bil potreben za polnjenje bazena samo s prvo pipo. Po tem se je izkazalo, da je 13/18 bazena napolnjenega. Izračunajte, koliko časa traja napolnitev bazena z vsako pipo posebej, če obe pipi, odprti skupaj, napolnita bazen v 3 urah 36 minutah

814. Pri gradnji elektrarne je morala ekipa zidarjev v določenem času zložiti 120 tisoč zidakov. Ekipa je delo zaključila 4 dni pred rokom. Ugotovi, kolikšen je bil normativ dnevnega zidanja in koliko opek je bilo dejansko dnevno zloženih, če je znano, da je ekipa v 3 dneh položila 5000 zidakov več, kot naj bi jih po normativu položila v 4 dneh. .Rešitev

815. Tri posode so napolnjene z vodo. Če 1/3 vode iz prve posode prelijemo v drugo, nato 1/4 vode iz druge v tretjo in nazadnje 1/10 vode iz tretje v prvo, potem bo vsaka posoda vsebovala 9 litrov. Koliko vode je bilo v vsaki posodi? rešitev

816. Nekaj ​​alkohola so izlili iz rezervoarja, napolnjenega s čistim alkoholom, in dodali enako količino vode; nato iz rezervoarja izlijemo enako število litrov mešanice; nato je v rezervoarju ostalo še 49 litrov čistega alkohola. Prostornina rezervoarja 64 l. Koliko alkohola je bilo natočeno prvič in koliko drugič? Naloga je napisana ob predpostavki, da prostornina mešanice enaka vsoti količine alkohola in vode. Pravzaprav je nekoliko manjši. rešitev

817. 20-litrska posoda je napolnjena z alkoholom. Določeno količino alkohola vlijemo iz nje v drugo, enako, in, ko napolnimo preostanek druge posode z vodo, prvo posodo dopolnimo s to mešanico. Nato se iz prve v drugo prelije 6 2/3 litrov, nakar obe posodi vsebujeta enako količino alkohola. Koliko alkohola je bilo prvotno pretočeno iz prve posode v drugo? .Rešitev

818. Posoda s prostornino 8 litrov je napolnjena z zrakom, ki vsebuje 16 % kisika. Iz te posode se spusti določena količina zraka in se vnese enaka količina dušika, nakar se ponovno sprosti enaka količina zmesi kot prvič in ponovno dopolni z enako količino dušika. Nova mešanica je vsebovala 9 % kisika. Ugotovite, koliko litrov je vsakič izteklo iz posode. .Rešitev

819. Dva kolektivna kmeta sta skupaj prinesla na trg 100 jajc. Prodam jajca za različne cene, oba sta zaslužila enak znesek. Če bi prva prodala toliko jajc kot druga, bi zaslužila 9 rubljev; če bi druga prodala toliko jajc kot prva, bi zaslužila 4 rublje. Koliko jajc je imel vsak? .Rešitev

820. .Dva kolektivna kmeta skupaj A l mleka, pri prodaji prejeli enake količine, prodajali mleko po različnih cenah. Če bi prvi prodal toliko kot drugi, bi dobil T rub., in če bi drugi prodal toliko kot prvi, bi prejel p , drgnite. ( t>str ). Koliko litrov mleka je imel vsak kolektivni kmet? rešitev

821. Pri testiranju učinkovitosti dveh motorjev notranje zgorevanje enake moči je bilo ugotovljeno, da je eden od njih porabil 600 g bencina, drugi, ki je delal 2 uri manj, pa 384 g. Če je prvi motor porabil toliko bencina na uro kot drugi, drugi pa naprej nasprotno, toliko kot prvi, potem bi bila v istem obratovalnem času poraba bencina pri obeh motorjih enaka. Koliko bencina porabi vsak motor na uro? .Rešitev

822. Obstajata dve zlitini zlata in srebra; v enem je količina teh kovin v razmerju 2:3, v drugem pa v razmerju 3:7. Koliko vsake zlitine je treba vzeti, da dobimo 8 kg nove zlitine, v kateri bi bilo zlato in srebro. razmerje 5:11? .Rešitev

823. V enem sodu je mešanica alkohola in vode v razmerju 2:3, v drugem pa v razmerju 3:7. Koliko veder je treba vzeti iz vsakega soda, da dobimo 12 veder mešanice, v kateri bi bila alkohol in voda v razmerju 3:5? rešitev

824. Neka zlitina je sestavljena iz dveh kovin v razmerju 1:2, druga pa vsebuje iste kovine v razmerju 2:3. Iz koliko delov obeh zlitin lahko dobimo tretjo zlitino, ki vsebuje iste kovine v razmerju 17:27?

Naloge za delati skupaj in produktivnost

Naloge te vrste običajno vsebujejo podatke o tem, kako več subjektov (delavci, mehanizmi, črpalke itd.) opravljajo neko delo, katerega obseg ni naveden in ni zahtevan (na primer ponatis rokopisa, izdelava delov, kopanje). jarki, polnjenje rezervoarja skozi cevi ipd.). Predpostavlja se, da se delo, ki se izvaja, izvaja enakomerno, tj. s konstantno produktivnostjo za vsak predmet. Ker nas ne zanima količina opravljenega dela (ali na primer prostornina polnjenega bazena), nas zanima obseg vseh del. ali bazen je vzet kot enota. Čast, potrebno za dokončanje celotnega dela, P pa je proizvajalecintenzivnost dela, to je količina opravljenega dela na časovno enoto, so povezani

razmerjep= 1/t .Koristno je poznati standardno shemo za reševanje tipičnih problemov.

Naj en delavec opravi neko delo v x urah, drugi delavec pa v y urah. Nato bodo v eni uri dokončali 1/xin 1/ldel dela. Skupaj v eni uri bodo opravili 1/x +1/ ldel dela. Če torej delata skupaj, bo vse delo opravljeno v 1/ (1/x+ 1/ l)

Reševanje problemov sodelovanja je za študente izziv, zato lahko pri pripravi na izpit začnete z reševanjem najbolj preproste naloge. Oglejmo si vrsto problemov, pri katerih je dovolj vnesti samo eno spremenljivko.

Naloga 1. En štukater lahko nalogo opravi 5 ur hitreje kot drugi. Oba skupaj bosta to nalogo opravila v 6 urah. Koliko ur bo vsak od njih potreboval za dokončanje naloge?

rešitev. Naj prvi štukater opravi nalogo vxuri, potem bo drugi štukater opravil to nalogo vx+5 ur. V 1 uri skupnega dela bodo opravili 1/x + 1/( x+5) naloge. Sestavimo enačbo

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 ozx² - 7 x-30 = 0. Reševanje podana enačba,dobimox= 10 inx= -3. Glede na pogoje problemax– vrednost je pozitivna. Tako lahko prvi štukater opravi delo v 10 urah, drugi pa v 15 urah.

Problem 2 . Dva delavca sta delo opravila v 12 dneh. Koliko dni lahko vsak delavec opravi delo, če je eden od njiju potreboval 10 dni več kot drugi, da je opravil celotno delo?

rešitev . Naj prvi delavec porabi za vse deloxdni, nato drugi- (x-10 dni. V 1 dnevu skupnega dela opravijo 1/x+ 1/( x-10) naloge. Sestavimo enačbo

12×(1/x+ 1/( x-10)= 1 ozx²- 34x+120=0. Če rešimo to enačbo, dobimox=30 inx= 4. Pogoje problema izpolnjuje lex=30. Prvi delavec lahko torej opravi delo v 30 dneh, drugi pa v 20 dneh.

Naloga 3. V 4 dneh skupnega dela je bilo z dvema traktorjema zorano 2/3 njive. V koliko dneh bi lahko z vsakim traktorjem zorali celotno njivo, če jo lahko prvi zorje 5 dni hitreje od drugega?

rešitev. Naj prvi traktor porabidokončati nalogo x dni, nato drugi - x + 5 dni. V 4 dneh skupnega dela sta oba traktorja preorala 4×(1/ x + 1/( x +5)) nalog, to je 2/3 polja. Ustvarimo enačbo 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 ozx² -7x-30 = 0. . Če rešimo to enačbo, dobimox= 10 inx= -3. Glede na pogoje problemax– vrednost je pozitivna. Torej lahko prvi traktor preorje njivo v 10 urah, drugi pa v 15 urah.

Problem 4 . Maša lahko natisne 10 strani v 1 uri. Tanja lahko natisne 4 strani v 0,5, Olja pa 3 strani v 20 minutah. Kako naj dekleta med seboj razdelijo 54 strani besedila, tako da bo vsaka delovala enako dolgo?

rešitev . Po pogoju Tanya natisne 4 strani v 0,5 ure, tj. 8 strani v 1 uri, Olya pa 9 strani v 1 uri. Določil X ure - čas, med katerim so dekleta delala, dobimo enačbo

10X + 8X + 9X = 54, od česar je X = 2.

To pomeni, da mora Tanja natisniti 20 strani, Tanja 16 strani, Olja pa 18 strani.

Naloga 5. Z dvema kopirnima strojema, ki delujeta hkrati, lahko naredite kopijo rokopisa v 20 minutah. V kolikšnem času lahko to delo opravimo na vsakem stroju posebej, če vemo, da bo pri delu na prvem trajalo 30 minut manj kot pri delu na drugem?

rešitev. Naj bo X min čas, potreben za dokončanje kopije na prvi napravi, nato pa X+30 min-čas delo na drugi napravi. Nato prvi stroj izvede kopijo 1/X v 1 minuti in 1/(X+30) izvodov - drugi stroj.

Sestavimo enačbo: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, dobimoX²-10X-600= 0. Od koder je X = 30 in X = - 20. Pogoji problema so izpolnjeni pri X = 30. Dobili smo: 30 minut - čas, ko prva naprava naredi kopijo, 60 minut za drugo .

Naloga 6. Podjetje A lahko neko naročilo za izdelavo igrač izpolni 4 dni hitreje kot podjetje B. Kako dolgo lahko vsako podjetje izpolni to naročilo, če vemo, da pri sodelovanju opravijo 5-krat večje naročilo v 24 dneh?

rešitev. Določil X dni - čas, ki jih podjetje A potrebuje za dokončanje naročila, potem je X + 4 dni čas za podjetje B. Pri sestavljanju enačbe je treba upoštevati, da v 24 dneh skupnega dela ne bo 1 naročilo, ampak 5 naročil biti dokončan. Dobimo 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. Od tod sledi 5 X²- 28X-96 = 0. Z reševanjem kvadratne enačbe dobimo X = 8 in X = - 12/5. Prvo podjetje lahko naročilo zaključi v 8 dneh, podjetje B v 12 dneh.

Pri reševanju naslednjih problemov morate vnesti več kot eno spremenljivkoin rešiti sisteme enačb.

Problem 7 . Dva delavca opravljata nekaj dela. Po 45 minutah skupnega dela je bil prvi delavec premeščen na drugo delovno mesto, drugi delavec pa je ostalo delo opravil v 2 urah 15 minut. V kolikšnem času bi lahko vsak delavec posebej opravil vse delo, če je znano, da bo drugi za to potreboval 1 uro več kot prvi?

rešitev. Naj prvi delavec opravi vse delo v x urah, drugi delavec pa v y urah. Iz pogojev problema imamo x = y -1. 1 uro najprej

delavec bo opravil 1/xdel dela, drugi pa - 1/ldel dela.T.Za. skupaj sta delala ¾ ure, nato sta v tem času opravila ¾ (1/x + 1/ l)

del dela. zadaj2 in 1/4ura dela druga opravljena 9/4× (1/l) del dela.T.Za. vse delo je opravljeno, potem sestavimo enačbo ¾ (1/x+1/ l)+9/4×1/l=1 oz

¾ ×1/x+ 3 ×1/l =1

rešitve iz 1 = rokapri 2 = 4 ure ni primerna (obe podrejeniOki sta skupaj delala le ¾ ure!). Potem je y = 4 in x =3.

Odgovori. 3 ure, 4 ure.

Naloga 8. Bazen se lahko polni z vodo iz dveh pip. Če je prva pipa odprta 10 minut in druga 20 minut, se bazen napolni.

Če je prva pipa odprta 5 minut, druga pa 15 minut, bo napolnjenih 3/5 bazen

Koliko časa traja polnjenje celotnega bazena iz vsake pipe posebej?

rešitev. Naj bo bazen iz prve pipe napolnjen v x minutah, iz druge pipe pa v y 1 minuti. Prva pipa se napolni del bazena, drugi pa . V 10 minutah od prve pipe bo napolnjena del bazena in v 20 minutah od druge pipe - . T.Za. bo bazen napolnjen, dobimo prvo enačbo: . Na enak način sestavimo drugo enačbo (napolni celoten bazen, vendar samo njegova prostornina). Za poenostavitev rešitve problema uvajamo nove spremenljivke: Potem imamo linearni sistem enačbe:

10u + 20v =1,

katere rešitev bo u = v = . Od tu dobimo odgovor: x = min, y = 50 min.

Naloga 9 . Dve osebi opravljata delo. Prvi je deloval čas, v katerem drugi opravi vse delo. Potem je drugi deloval čas, v katerem bi prvi opravil preostalo delo. Oba sta le dokončana vse delo. Koliko časa potrebuje vsaka oseba, da dokonča to delo, če je znano, da bo to opravila, če bo sodelovala3 h36 min?

rešitev. Označimo z x urami in y urami čas, ki ga prvi in ​​drugi porabijo za dokončanje vsega dela. Potem in

Tiste dele dela, za katere opravljajo1 uroDeluje (pogojno) čas bo prvi dokončan del dela. Bo ostalo neizpolnjeno del dela, ki bi ga porabil prvi ure. Po drugem pogoju 1 deluje/3 tokrat. Potem bo naredil del dela. Skupaj sta le dokončala vse delo. Zato dobimo enačbo . Skupno delo za1 oba bosta naredila eno uro + del dela. Ker bodo glede na pogoje problematike to delo opravili v3 h36 min (to je sa 3 ure), nato za1 to bodo naredili v eni uri vse delo. Zato 1/x + 1/ l = 5/18. Oznaka v prvi enačbi , dobimo kvadratno enačbo

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , katerih korenine so enaket 1 =2/3 , t 2 =3/2. Ker ni znano, kdo deluje hitreje, obravnavamo oba primera.

A)t = => y = X. Zamenjajte y v drugo enačbo: Očitno to ni rešitev

nalog, saj skupaj delo opravijo v več kot 3 urah.

b) t=3/2 => l=3/2 x. Iz druge enačbe imamo 1/x+2/3× 1/x=5/18.Od tukajx=6,y =9.

Naloga 10. Voda vstopa v rezervoar iz dveh cevi različnih premerov. Prvi dan sta obe cevi, ki delujeta hkrati, dovajali 14m 3 vodo. Drugi dan je bila prižgana samo mala cev. Služila je 14 m 3 vode, delal 5 ur dlje kot prvi dan. Tretji dan se je delo nadaljevalo enako dolgo kot drugi dan, vendar sta najprej delovali obe cevi, ki sta oddali 21 m 3 vodo. In potem je delovala samo velika cev, ki je dovajala še 20 m 3 vodo. Poiščite produktivnost vsake cevi.

rešitev. V tem problemu ni abstraktni koncept“prostornina rezervoarja” in navedene so specifične količine vode, ki teče skozi cevi. Vendar metoda za rešitev problema dejansko ostaja enaka.

Manjša in večja cev naj črpata x in y m v 1 uri3 vodo. Skupaj obe cevi dovajata x + y m3 vodo.

Posledično so prvi dan cevi delovale 14/(x+ l) ure. Drugi dan je cev delala 5 ur več, to je 5+14/(x+ l) . Za to

čas, ko je odslužila 14 m 3 vodo. Od tu dobimo prvo enačbo 14 ali 5+14/(x+ l)=14/ x. Tretji dan sta obe cevi delovali skupaj21/(x+ l) ur, nato pa je velika cev delovala 20/xure. Skupni čas cevi sovpada z obratovalnim časom prve cevi drugi dan, tj.

5+14/( x+ l) =21/( x+ l)+ 20/ x. Ker sta levi strani enačbe enaki, imamo . Osvobojeni imenovalcev, dobimo homogena enačba 20 x 2 +27 xy-14 l 2 =0. Enačbo delimo zl 2 in označevanjex/ l= t, imamo 20t 2 +27 t-14=0. Iz dveh korenin tega kvadratna enačba (t 1 = , t 2 = ) glede na pomen problema je primeren samot= . torejx= l. Nadomeščanjexv prvo enačbo, najdemol=5. Potemx=2.

Naloga 11. Dve ekipi sta skupaj izkopali jarek v dveh dneh. Po tem so začeli kopati jarek enake globine in širine, vendar 5-krat daljši od prvega. Sprva je delala samo prva ekipa, nato pa le druga ekipa, ki je opravila en in pol krat manj dela kot prva ekipa. Kopanje drugega jarka je bilo končano v 21 dneh. V koliko dneh bi lahko druga ekipa izkopala prvi jarek, če je znano, da je količina dela, ki jo v enem dnevu opravi prva ekipa, večja od količine dela, ki jo v enem dnevu opravi druga ekipa?

rešitev.To težavo je bolj priročno rešiti, če se delo, ki se izvaja, prenese v enak obseg. Če bi obe ekipi delali skupaj, da bi prvi jarek izkopali v 2 dneh, potem bi očitno drugi jarek (petkrat dlje) izkopali v 10 dneh. Naj prva brigada izkoplje ta jarek v x dneh, druga pa v y, t.j. v 1 dnevu bi prvi izkopal del jarka, drugi - za 1/l , in skupaj -1/x+1/ l del rova.

Potem imamo . Pri kopanju drugega jarka sta ekipi delali ločeno. Če je druga ekipa opravila obseg delam, nato (glede na pogoje problema) - prva brigada . Kerm + m = m je enako obsegu vsega dela, vzetega kot enota, torejm = . Posledično se je druga brigada izkopala okopov in porabil za to ob dnevih. Prva brigada je kopala rove in porabil X dnevi. Od tu imamo ozX = 35- . Če nadomestimo x v prvo enačbo, pridemo do kvadratne enačbe2у 2 - 95у +1050 = 0, katerega korenine bodo y 1 = in pri 2 = 30. Potem ustreznoX 1 = in X 2 =15. Iz izjave o problemu izberite tistega, ki ga potrebujete: y = 30. Ker se najdena vrednost nanaša na drugi jarek, bi druga ekipa izkopala prvi jarek (petkrat krajši) v 6 dneh.

Naloga 12. Pri izkopu jame s prostornino 340 m so sodelovali trije bagri 3 . V eni uri prvi bager odstrani 40 m 3 funt, drugi - na sm 3 manj kot prvi, tretji pa je za 2c večji od prvega. Najprej sta prvi in ​​drugi bager delala hkrati in izkopala 140 m 3 prst. Nato sta preostanek jame izkopala, hkrati pa sta delala prvi in ​​tretji bager. Določite vrednosti z(0<с<15), v kateri je bila jama izkopana v 4 urah, če je delo potekalo nemoteno.

rešitev. Odkar je prvi bager izkopal 40 m 3 tla na uro, nato drugi - (40-s) m 3 , in tretji - (40+2s) m 3 funtov na uro. Naj prvi in ​​drugi bager delata skupaj x ur. Potem iz pogojev problema sledi (40+40-с)х = 140 ali (80-с)х = 140. Če sta prvi in ​​tretji bager delala skupaj ob uri, potem imamo (40+40+2с)у = 340-140 ali (80+2c)y - 200. Ker je skupni čas delovanja 4 ure, dobimo naslednjo enačbo za določitev c: x + y = 4 oz.

Ta enačba je enakovredna kvadratni enačbiz 2 -30s+ 200 =0, čigave odločitve bodo s 1 = 10 m 3 in z 2 = 20m 3 . Glede na pogoje problema samoco

s = 10 m 3 .

Naloga 10. Vsak od dveh delavcev je bil dodeljen za obdelavo enakega števila delov. Prvi se je dela lotil takoj in ga opravil v 8 urah, za nastavitev naprave pa je najprej porabil več kot 2 uri, nato pa z njeno pomočjo delo končal 3 ure prej kot prvi. Znano je, da je drugi delavec eno uro po začetku dela obdelal enako število delov, kot jih je prvi obdelal do tega trenutka. Kolikokrat naprava poveča produktivnost stroja (tj. število obdelanih delov na uro delovanja)?

rešitev. To je primer problema, pri katerem ni treba najti vseh neznank.

Označimo čas nastavitve stroja s strani drugega delavca z x (pogoju x>2). Recimo, da je bilo potrebno obdelati vsakeganpodrobnosti.

Nato prvi delavec na uro obdela podrobnosti in drugo podrobnosti. Oba delavca sta eno uro po tem, ko je drugi začel delati, obdelala enako število delov. To pomeni, da Od tu dobimo enačbo za določanje x: X 2 -4x + 3-0 katerih korenine so x 1 = 1 inX 2 = 3. Ker

x > 2, torej zahtevana vrednost- to je x = 3. Zato drugi delavec obdela na uro podrobnosti. Ker prvi delavec na uro obdela

delov, potem ugotovimo, da naprava povečuje produktivnost dela v = 4-krat.

Naloga 1 3. Trije delavci morajo izdelati določeno število delov. Sprva je dela začel le en delavec, čez nekaj časa pa se mu je pridružil še drugi. Ko je bila narejena 1/6 vseh delov, je tretji delavec začel delati. Delo so končali istočasno, vsak pa je izdelal enako število delov. Koliko časa je delal tretji delavec, če je znano, da je delal dve uri manj kot drugi in da sta prvi in ​​drugi skupaj lahko izdelala vse zahtevano število delov 9 ur prej, kot bi to lahko naredil tretji, ločeno. ?

rešitev. Naj prvi delavec dela x ur, tretji pa x ur. Nato je drugi delavec delal 2 uri več, tj. y+2 uri. Vsak izmed njih je izdelal enako število delov, to je 1/3 vseh delov. Posledično bi prvi izdelal vse dele v 3 urah, drugi v 3(y+2) urah in tretji v 3y urah. Zato prvi proizvede v eni uri del vseh podrobnosti, drugi - in tretji - .

Ker so vsi trije v času sodelovanja izdelali vse podrobnosti, potem dobimo prvo enačbo (vsi trije so delali skupaj pri uri)

. (1)

Prvi in ​​drugi delavec bi skupaj izdelala vse dele 9 ur prej, kot bi to storil tretji delavec, ki bi delal sam. Od tu dobimo drugo enačbo

. (2)

Ti dve enačbi je mogoče enostavno zreducirati na enakovredni sistem

Če izrazimo x iz druge enačbe in ga nadomestimo v prvo enačbo, dobimo y 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Ta enačba je faktorizirana(l- 9)(y +2) 2 = 0.

Ker je y > 0, ima enačba le en zahtevan koren, y = 9.odgovor:y = 9.

Naloga 14. Voda teče v jamo enakomerno; 10 enakih črpalk, ki delujejo hkrati, lahko izčrpajo vodo iz napolnjene jame v 12 urah, 15 takih črpalk pa v 6 urah.h.Kako dolgo lahko 25 od teh črpalk črpa vodo iz napolnjene jame, ko delajo skupaj?

rešitev.Pustite prostornino jameVm 3 , produktivnost vsake črpalke pa je x m 3 ob enih. Voda neprekinjeno teče v jamo.T.ker količina njegovega prejema ni znana, jo označimo z y m 3 na uro - prostornina vode, ki vstopa v jamo. Deset črpalk bo izčrpalo v 12 urah X= 120x voda. Ta količina vode je enaka skupni prostornini jame in količini vode, ki vstopi v jamo v 12 urah. Celotna prostornina je enakaV+12 l. Če izenačimo te prostornine, ustvarimo prvo enačbo 120x =V + 12 l .

Enačba za 15 takih črpalk je sestavljena podobno:15-6 x = V + 6 lali 90x = V + 6 l. Iz prve enačbe imamo V = 120x - 12y. Če nadomestimo V v drugo enačbo, dobimo y = 5x.

Koliko časa bo delovalo 25 od teh črpalk, ni znano. Označimo ga zt. Nato ob upoštevanju pogojev problema sestavimo zadnjo enačbo po analogiji. Imamo 25tx=V+ty. Če nadomestimo y in V v to enačbo, dobimo 25tx= 120x -12 5x +t 5x ali 20tx= 60x. Od tu naprejt= 3 ure.odgovor: čez 3 ure.

Naloga 15. Dve ekipi sta skupaj delali 15 dni, nato se jima je pridružila še tretja ekipa in 5 dni zatem je bilo celotno delo zaključeno. Znano je, da druga brigada proizvede 20% več na dan kot prva. Druga in tretja brigada bi lahko skupaj opravili vse delo čas, potreben za dokončanje celotnega dela prve in tretje ekipe, ko delata skupaj. V kolikšnem času bi lahko vse tri ekipe, ki delajo skupaj, dokončale celotno delo?

rešitev. Naj prva, druga in tretja ekipa opravijo vse delo, ločeno, v x, y ozzdnevi. Potem na dan nastopa del dela. Preoblikovanje prvega pogoja problema v enačbo ob predpostavki, da je celotna količina dela enako ena, dobimo

15 oz

(1)

20 .

Ker druga ekipa proizvede 120 % tistega, kar naredi prva (20 % več), imamo oz . (2)

Druga in tretja ekipa bi vse delo opravili v 1. dni, prvi in ​​tretji pa za 1/ dnevi. Po pogoju je prva količina enaka

(3)