Izrek: Če dve vzporedni premici seka prečnica, sta sečna kota enaka. in v A B = 2 s
Dokaz: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Naj bosta premici AB in CD vzporedni, MN njuna sekanta. Dokažimo, da sta navzkrižna kota 1 in 2 med seboj enaka. Predpostavimo, da 1 in 2 nista enaka. Skozi točko O narišimo premico KF. Potem je v točki O mogoče zgraditi KON, ki leži navzkrižno in je enaka 2. Če pa je KON = 2, bo premica KF vzporedna s CD. Ugotovili smo, da sta skozi točko O narisani dve premici AB in KF, vzporedni s premico CD. Ampak to ne more biti. Prišli smo do protislovja, ker smo predpostavili, da 1 in 2 nista enaka. Zato je naša predpostavka napačna in mora biti 1 enako 2, kar pomeni, da sta navzkrižna kota enaka. F
Izrek: Če dve vzporedni premici seka prečnica, sta ustrezna kota enaka. in v A B = 2
Izrek: Če dve vzporedni premici seka prečnica, je vsota enostraničnih kotov 180°. in v A B = 180°
Dokaz: Naj vzporednici a in b seka sekanta AB, potem bosta ustrezni 1 in 2 enaki, 2 in 3 bosta sosednji, torej = 180°. Iz enakosti 1 = 2 in = 180° sledi, da je = 180°. Izrek je dokazan. 2 a v A B 3 1
Rešitev: 1. Naj bo X 2, potem je 1 = (X+70°), ker vsota kotov 1 in 2 = 180°, ker sta sosednja. Sestavimo enačbo: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Kot 2) 2. Poišči 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, ker je so navpične. 3 = 5, ker ležijo navzkriž. 125° 5 = 7, ker so navpične. 2 = 4, ker so navpične. 4 = 6, ker ležijo navzkriž. 55° 6 = 8, ker so navpične. 1. naloga: A B Pogoj: Poiščite vse kote, ki nastanejo, ko se dve vzporedni premici A in B sekata s prečnico C, če je eden od kotov za 70° večji od drugega.
Rešitev: 1. 1= 2, ker so navpične, kar pomeni, da 2= 45° meji na 2, torej 3+ 2=180°, iz tega pa sledi, da je 3= 180° - 45°= 135° = 180°, ker so enostranski. 4 = 45°. Odgovor: 4=45°; 3=135°. Problem 3: A B 2 Pogoj: dve vzporedni premici A in B seka sekanta C. Ugotovite, čemu bosta enaka 4 in 3, če je 1=45°
§ 1 Konverzni izrek
V lekciji bomo izvedeli, kateri izreki se imenujejo konverzni, podali primere konverznih izrekov, oblikovali izreke o kotih, ki jih tvorita dve vzporedni premici in prečnica, ter se seznanili z metodo dokaza s protislovjem.
Pri preučevanju različnih geometrijskih likov se običajno oblikujejo definicije, dokazujejo izreki in upoštevajo posledice iz izrekov. Vsak izrek ima dva dela: pogoj in sklep.
Pogoj izreka je tisto, kar je dano, sklep pa tisto, kar je treba dokazati. Zelo pogosto se pogoj izreka začne z besedo »če«, zaključek pa z besedo »potem«. Na primer, izrek o lastnostih enakokrakega trikotnika je mogoče formulirati na naslednji način: "Če je trikotnik enakokrak, potem so koti na njegovi osnovi enaki." Prvi del izreka »Če je trikotnik enakokrak« je pogoj izreka, drugi del izreka »potem sta kota na njegovem dnu enaka« je zaključek izreka.
Izrek, kjer sta pogoj in sklep zamenjana, se imenuje obratni izrek. Nasprotni izrek izreku o lastnostih enakokrakega trikotnika bo zvenel takole: "Če sta dva kota v trikotniku enaka, potem je tak trikotnik enakokrak."
Na kratko zapišimo vsakega od njih:
Vidimo, da sta pogoj in sklep zamenjala mesti.
Vsaka od teh trditev je resnična.
Postavlja se vprašanje: ali je trditev, kjer se pogoj spremeni s sklepom, vedno resnična?
Poglejmo si primer.
Če sta kota navpična, sta enaka. To je resnična izjava in ima dokaze. Oblikujmo nasprotno trditev: če sta kota enaka, sta navpična. Ta trditev ni pravilna, to je enostavno preveriti tako, da navedemo zavračen primer: vzemimo dva prava kota (glej sliko), enaka sta, vendar nista navpična.
Tako obratne trditve (izreki) glede na že dokazane trditve (teoreme) vedno zahtevajo dokaz.
§ 2 Izreki o kotih, ki jih tvorita dve vzporedni premici in prečnica
Zdaj se spomnimo dokazanih trditev - izrekov, ki izražajo znake vzporednosti dveh ravnih črt, oblikujemo njihove nasprotne izreke in preverimo njihovo veljavnost z dokazi.
Prvi znak vzporednih črt.
Če sta pri premicah navzkrižno sekajoči koti enaki, sta premici vzporedni.
Konverzni izrek:
Če dve vzporedni premici seka prečnica, sta sečna kota enaka.
Dokažimo to trditev.
Podano: vzporednici a in b seka sekanta AB.
Dokaži: prekrižana kota 1 in 2 sta enaka. (glej sliko)
Dokaz:
Predpostavimo, da kota 1 in 2 nista enaka.
Žarku AB odstavimo kot CAB, ki je enak kotu 2, tako da sta kota CAB in kot 2 navzkrižno ležeča kota v presečišču premic CA in b s sekanto AB.
Konstrukcijsko sta ta navzkrižna kota enaka, kar pomeni, da je premica CA vzporedna s premico b.
Ugotovili smo, da potekata premici a in CA skozi točko A, vzporedno s premico b. To je v nasprotju z aksiomom vzporednih premic: skozi točko, ki ne leži na dani premici, poteka samo ena premica, ki je vzporedna z dano.
To pomeni, da naša predpostavka ni pravilna, kota 1 in 2 sta enaka.
Izrek je dokazan.
§ 3 Dokazna metoda s protislovjem
Pri dokazovanju tega izreka smo uporabili metodo sklepanja, imenovano metoda dokaza s protislovjem. Ko smo začeli z dokazom, smo domnevali nasprotno od tega, kar smo želeli dokazati. Glede na to, da je ta domneva pravilna, smo z razmišljanjem prišli do protislovja z aksiomom o vzporednih premicah. Iz tega smo sklepali, da naša predpostavka ne drži, drži pa trditev izreka. Ta vrsta dokaza se pogosto uporablja v matematiki.
Razmislimo o posledici dokazanega izreka.
Posledica:
Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo.
Naj bo premica a vzporedna s premico b, premica c pravokotna na premico a, tj. kot 1 = 90º.
Premica c seka premico a, kar pomeni, da tudi premica c seka premico b.
Ko se vzporednice sekajo s prečnico, sta navzkrižna kota enaka, kar pomeni kot 1 = kot 2.
Ker je kot 1 = 90º, potem je kot 2 = 90º, kar pomeni, da je premica c pravokotna na premico b.
Preiskava je dokazana.
Inverzni izrek za drugi kriterij vzporednosti premic:
Če dve vzporedni premici seka prečnica, sta ustrezna kota enaka.
Obratni izrek za tretji kriterij vzporednosti premic:
Če dve vzporedni premici seka prečnica, je vsota enostranskih kotov 180°.
Tako smo v tej lekciji ugotovili, kateri izreki se imenujejo konverzni, oblikovali in pregledali izreke o kotih, ki jih tvorita dve vzporedni premici in prečnico, ter se seznanili z metodo dokaza s protislovjem.
Seznam uporabljene literature:
- Geometrija. 7.-9. razred: učbenik. za splošno izobraževanje organizacije / L.S. Atanasjan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev et al.: Izobraževanje, 2013. - 383 str.: ilustr.
- Gavrilova N.F. Potek učne ure geometrije 7. razred. - M.: "VAKO", 2004, 288 str. - (V pomoč učitelju).
- Belitskaya O.V. Geometrija. 7. razred. 1. del. Testi. – Saratov: Licej, 2014. – 64 str.
Video lekcija o izrekih o kotih med dvema vzporednima premicama in njuni prečnici vsebuje gradivo, ki predstavlja strukturne značilnosti izreka, primere oblikovanja in dokaz nasprotnih izrekov ter posledice iz njih. Namen te video lekcije je poglobiti koncept izreka, ga razstaviti na njegove komponente, upoštevati koncept inverznega izreka, razviti sposobnost konstruiranja izreka, inverznega danemu izreku, posledice izreka in razvijati zmožnost dokazovanja trditev.
Oblika video lekcije vam omogoča, da pri predstavitvi snovi uspešno postavite poudarke, kar olajša razumevanje in zapomnitev snovi. Tema te video lekcije je kompleksna in pomembna, zato uporaba vizualnega pripomočka ni samo priporočljiva, ampak tudi zaželena. Zagotavlja priložnost za izboljšanje kakovosti učenja. Animirani učinki izboljšajo podajanje učne snovi, približajo učni proces tradicionalnemu, uporaba videa pa učitelja sprosti za poglobljeno individualno delo.
Video lekcija se začne z napovedjo teme. Na začetku lekcije je razčlenitev izreka na njegove komponente obravnavana zaradi boljšega razumevanja njegove strukture in možnosti za nadaljnje raziskovanje. Na zaslonu je prikazan diagram, ki prikazuje, da je izrek sestavljen iz pogojev in zaključkov. Koncept pogoja in sklepa je opisan na primeru znaka vzporednih premic, pri čemer upoštevamo, da je del izjave pogoj izreka, sklep pa sklep.
S poglabljanjem pridobljenega znanja o strukturi izreka študenti dobijo pojem izrek inverzen danemu. Nastane kot posledica zamenjave - pogoj postane sklep, zaključek - pogoj. Da bi razvili zmožnost učencev za konstruiranje izrekov v primerjavi s podatki in sposobnost njihovega dokazovanja, so upoštevani izreki v nasprotju s tistimi, obravnavanimi v lekciji 25 o predznakih vzporednih premic.
Na zaslonu se prikaže izrek, inverzen prvemu izreku, ki opisuje znak vzporednih premic. Z zamenjavo pogoja in sklepa dobimo trditev, da če katero koli vzporedno črto seka prečnica, bodo navzkrižni koti, ki nastanejo v tem primeru, enaki. Dokaz je prikazan na sliki, ki prikazuje premice a, b in prečnico, ki poteka skozi te premice v točkah M in N. Na sliki sta označena navzkrižna kota ∠1 in ∠2. Treba je dokazati njihovo enakopravnost. Prvič, dokaz temelji na predpostavki, da ti koti niso enaki. V ta namen skozi točko M narišemo določeno premico P. Konstruiramo kot `∠PMN, ki leži navzkrižno s kotom ∠2 glede na MN. Kota `∠PMN in ∠2 sta konstrukcijsko enaka, torej MP║b. Sklep - skozi b sta narisani premici, vzporedni s točko. Vendar je to nemogoče, ker ne ustreza aksiomu o vzporednih premicah. Podana predpostavka se izkaže za napačno, kar dokazuje veljavnost prvotne izjave. Izrek je dokazan.
Nato se učenci opozorijo na dokazno metodo, ki je bila uporabljena med sklepanjem. Dokaz, pri katerem se domneva, da je dokazovana trditev napačna, se v geometriji imenuje dokaz s protislovjem. Ta metoda se pogosto uporablja za dokazovanje različnih geometrijskih trditev. V tem primeru se je ob predpostavki neenakosti navzkrižno ležečih kotov med sklepanjem pojavilo protislovje, ki zanika veljavnost takega protislovja.
Učence opozorimo, da je bila podobna metoda že uporabljena pri dokazovanju. Primer tega je dokaz izreka v 12. lekciji, da se dve premici, ki sta pravokotni na tretjo, ne sekata, kot tudi dokaz posledic v 28. lekciji iz aksioma o vzporednih premicah.
Druga dokazljiva posledica pravi, da je premica pravokotna na obe vzporedni premici, če je pravokotna na eno od njiju. Slika prikazuje premici a in b ter nanju pravokotno premico c. Pravokotnost premice c na a pomeni, da je z njo sestavljen kot enak 90°. Vzporednost a in b ter njuno presečišče s premico c pomeni, da premica c seka b. Kot ∠2, ki ga tvori premica b, je navzkrižno na kot ∠1. In ker sta po pogoju črti vzporedni, sta ta kota enaka. Skladno s tem bo tudi kot ∠2 enak 90°. To pomeni, da je premica c pravokotna na premico b. Obravnavani izrek je dokazan.
Nato dokažemo izrek v nasprotju z drugim kriterijem za vzporedne premice. Obratni izrek pravi, da če sta dve ravni črti vzporedni, bosta ustrezna kota, ki ju tvorita, enaka. Dokaz se začne s konstrukcijo sekante c in vzporednic a in b. Koti, ki nastanejo v tem primeru, so označeni na sliki. Obstaja par ustreznih kotov, imenovanih ∠1 in ∠2, ter označen kot ∠3, ki leži navzkrižno s kotom ∠1. Vzporednost a in b pomeni navzkrižno ležečo enakost ∠3=∠1. Glede na to, da sta ∠3, ∠2 navpična, sta tudi enaka. Posledica takih enakosti je trditev, da je ∠1=∠2. Obravnavani izrek je dokazan.
Zadnji izrek, ki ga bomo dokazali v tej lekciji, je obratni izrek zadnjega kriterija za vzporedne premice. Njegovo besedilo pravi, da je vsota tvorjenih enostraničnih kotov enaka 180°, če poteka transverzala skozi vzporedne premice. Napredek dokaza je prikazan na sliki, ki prikazuje premici a in b, ki sekata sekanto c. Dokazati je treba, da bo vsota enostranskih kotov enaka 180°, to je ∠4+∠1 = 180°. Iz vzporednosti premic a in b sledi enakost pripadajočih kotov ∠1 in ∠2. Sosednost kotov ∠4, ∠2 pomeni, da seštevek znaša 180°. V tem primeru bosta kota ∠1= ∠2 - to pomeni, da bo ∠1 dodan kotu ∠4 180°. Izrek je dokazan.
Za globlje razumevanje, kako nastajajo in dokazujejo inverzni izreki, je posebej opozorjeno, da če je izrek dokazan in resničen, to ne pomeni, da bo resničen tudi inverzni izrek. Da bi to razumeli, je podan preprost primer. Obstaja izrek, da so vsi navpični koti enaki. Obratni izrek se sliši, kot da so vsi enaki koti navpični, kar ni res. Navsezadnje lahko sestavite dva enaka kota, ki nista navpična. To je razvidno iz prikazane slike.
Video lekcija “Izreki o kotih, ki jih tvorita dve vzporedni premici in prečnica” je vizualni pripomoček, ki ga lahko uporablja učitelj pri pouku geometrije, prav tako pa lahko uspešno oblikuje predstavo o inverznih izrekih in posledicah ter njihovo dokazovanje pri samostojnem študiju snovi in koristno pri usposabljanju na daljavo.
