Teorija na temo priprava na trikotnik za enotni državni izpit. Osnovni predmeti in aksiomi planimetrije

Tema lekcije

Trapez

Cilji lekcije

Nadaljujte z uvajanjem novih definicij v geometriji;
Utrditi znanje o že preučenih geometrijskih oblikah;
Predstavite formulacijo in dokaze o lastnostih trapeza;
Naučite se uporabljati lastnosti različnih figur pri reševanju problemov in izpolnjevanju nalog;
Nadaljujte z razvojem pozornosti pri šolarjih, logično razmišljanje in matematični govor;
Gojite zanimanje za predmet.

Cilji lekcije

Vzbuditi zanimanje za znanje geometrije;
Še naprej usposabljati učence za reševanje problemov;
Pokliči kognitivni interes za pouk matematike.

Načrt lekcije

1. Preglejte prej preučeno gradivo.
2. Uvod v trapez, njegove lastnosti in karakteristike.
3. Reševanje problemov in izpolnjevanje nalog.

Ponavljanje predhodno preučene snovi

V prejšnji lekciji ste se seznanili s takšno figuro, kot je štirikotnik. Utrdimo prejeto snov in odgovorimo na zastavljena vprašanja:

1. Koliko kotov in stranic ima štirikotnik?
2. Oblikujte definicijo 4-kotnika?
3. Kako je ime? nasprotnih straneh 4-kotnik?
4. Katere vrste štirikotnikov poznaš? Naštej jih in vsakega od njih definiraj.
5. Nariši primer konveksnega in nekonveksnega štirikotnika.

Trapez. Splošne lastnosti in definicija

Trapez je štirikotnik, v katerem je samo en par nasprotnih stranic vzporeden.

IN geometrijska definicija Trapez je štirikotnik, ki ima dva vzporedne stranice, druga dva pa ne.

Ime je takšno nenavadna figura, saj "trapez" izhaja iz besede "trapezion", ki je prevedena iz grški jezik, označuje besedo miza, iz katere izvira tudi beseda obrok in druge sorodne besede.

V nekaterih primerih je v trapezu par nasprotnih stranic vzporeden, njegov drugi par pa ni vzporeden. V tem primeru se trapez imenuje ukrivljen.

Trapezoidni elementi

Trapez je sestavljen iz elementov, kot so osnova, stranske črte, srednjo črto in njeno višino.

Osnova trapeza sta njegovi vzporedni stranici;
Stranici sta drugi dve stranici trapeza, ki nista vzporedni;
Srednja črta trapeza je segment, ki povezuje središča njegovih stranic;
Višina trapeza je razdalja med njegovima osnovama.

Vrste trapeza

Vaja:

1. Formulirajte definicijo enakokrakega trapeza.
2. Kateri trapez imenujemo pravokotnik?
3. Kaj pomeni ostrokotni trapez?
4. Kateri trapez je top?

Splošne lastnosti trapeza

Prvič, srednja črta trapeza je vzporedna z osnovo figure in je enaka njegovi polvsoti;

Drugič, odsek, ki povezuje središča diagonal 4-kotne figure, je enak polovični razliki njenih baz;

Tretjič, v trapezu so vzporedne črte, ki sekajo stranice kota dane figure, odrezane proporcionalni segmenti s strani vogala.

Četrtič, v kateri koli vrsti trapeza je vsota kotov, ki mejijo na njegovo stran, enaka 180°.

Kje je še prisoten trapez?

Beseda "trapez" ni prisotna le v geometriji, ampak ima tudi širšo uporabo vsakdanjem življenju.

to nenavadna beseda Med spremljanjem športnih tekmovanj lahko srečamo telovadce, ki izvajajo akrobatske vaje na trapezu. V gimnastiki je trapez športna naprava, ki je sestavljena iz prečke, obešene na dve vrvi.

To besedo lahko slišite tudi med vadbo v telovadnici ali med ljudmi, ki se ukvarjajo z bodybuildingom, saj trapez ni le geometrijska figura ali športno akrobatski aparat, temveč tudi močne hrbtne mišice, ki se nahajajo na zadnji strani vratu.

Na sliki je zračni trapez, ki ga je za cirkuške akrobate izumil umetnik Julius Leotard že v devetnajstem stoletju v Franciji. Ustvarjalec tega dejanja je svoj projektil najprej namestil na nizko nadmorsko višino, na koncu pa so ga premaknili tik pod cirkuško kupolo.

Letalci v cirkusu izvajajo trike letenja s trapeza na trapez, izvajajo prečne polete in izvajajo salte v zraku.

V konjeniškem športu je trapez vaja za raztezanje ali raztezanje konjevega telesa, ki je za žival zelo koristna in prijetna. Ko konj stoji v trapeznem položaju, deluje raztezanje nog ali hrbtnih mišic živali. to lepa vadba lahko opazimo med priklonom ali tako imenovanim »front crunch«, ko se konj globoko upogne.

Naloga: Navedite svoje primere, kje drugje v vsakdanjem življenju lahko slišite besedo "trapez"?

Ali ste vedeli, da je leta 1947 slavni francoski modni oblikovalec Christian Dior prvič priredil modno revijo, na kateri je bila prisotna silhueta a-kroja. In čeprav je minilo več kot šestdeset let, je ta silhueta še vedno v modi in do danes ne izgubi svoje pomembnosti.

V garderobi angleška kraljica krilo A-kroja je postalo nepogrešljiv kos in njena vizitka.

Spominja geometrijska oblika Istoimensko krilo A-kroja se odlično poda k vsem bluzam, bluzam, topom in jaknam. Klasičnost in demokratičnost tega priljubljenega sloga omogočata, da ga nosite s formalnimi suknjiči in rahlo lahkomiselnimi topi. Takšno krilo bi bilo primerno nositi tako v pisarni kot v diskoteki.

Težave s trapezom

Za lažje reševanje problemov s trapezi si je pomembno zapomniti nekaj osnovnih pravil:

Najprej narišite dve višini: BF in CK.

V enem od primerov boste kot rezultat dobili pravokotnik - ВСФК, iz katerega je razvidno, da je FК = ВС.

AD=AF+FK+KD, torej AD=AF+BC+KD.

Poleg tega je takoj očitno, da sta ABF in DCK pravokotna trikotnika.

Druga možnost je možna, ko trapez ni povsem standarden, kje

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

Toda najpreprostejša možnost je, če je naš trapez enakokrak. Potem postane reševanje problema še lažje, saj sta ABF in DCK pravokotna trikotnika in sta enaka. AB=CD, ker je trapez enakokrak, in BF=CK, kot višina trapeza. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost ustreznih stranic.

Trapezoid se imenuje konveksni štirikotnik, pri kateri je en par nasprotnih stranic med seboj vzporeden, drugi pa ne.

Na podlagi definicije trapeza in značilnosti paralelograma vzporedni stranici trapeza ne moreta biti enaki. V nasprotnem primeru bi tudi drugi par strani postal vzporeden in enak drug drugemu. V tem primeru bi imeli opravka s paralelogramom.

Vzporedni nasprotni stranici trapeza se imenujeta razlogov. To pomeni, da ima trapez dve osnovi. Nevzporedne nasprotne stranice trapeza imenujemo straneh.

Glede na to, katere stranske stranice, katere kote tvorijo z osnovami, jih ločimo različne vrste trapez. Najpogosteje se trapezi delijo na neenake (enostranske), enakokrake (enakostranične) in pravokotne.

U poševni trapezi stranice med seboj niso enake. Poleg tega lahko z veliko osnovo oba tvorita samo ostre kote ali pa bo en kot tup, drugi pa oster. V prvem primeru se imenuje trapez ostrokoten, v drugem - obtusen.

U enakokraki trapezi stranice so med seboj enake. Poleg tega lahko z veliko osnovo tvorijo le ostre kote, tj. Vsi enakokraki trapezi so ostrokotni. Zato jih ne delimo na ostrokotne in tupokotne.

U pravokotne trapeze eno strani pravokotno na osnove. Druga stranica ne more biti pravokotna nanje, ker bi imeli v tem primeru opravka s pravokotnikom. Pri pravokotnem trapezu nepravokotna stranica z večjo osnovo vedno tvori oster kot. Pravokotna stranica je pravokotna na obe osnovici, ker sta osnovici vzporedni.

Trapez. Definicija, formule in lastnosti

Trapez je štirikotnik, katerega par nasprotnih stranic je vzporeden.

Opomba. V tem primeru je paralelogram poseben primer trapeza.

Vzporedni nasprotni stranici se imenujeta osnovici trapeza, drugi dve pa stranski stranici.

Trapezi so:

- vsestranski ;

- enakokraki;

- pravokotne

A - enakokraki (enakokraki, enakokraki) trapez
B- pravokotni trapez
C - skalen trapez

Raztegljiv trapez ima vse stranice različnih dolžin in osnovici sta vzporedni.

Stranici sta enaki in osnovici sta vzporedni.

Osnovici sta vzporedni, ena stranica je pravokotna na osnovo, druga stranica pa je nagnjena na osnovo.

Lastnosti trapeza

• Srednja črta trapeza vzporedni z bazami in enaki njihovi polvsoti
• Odsek, ki povezuje središča diagonal, enaka polovici razlika med osnovami in leži na srednja črta. Njegova dolžina
• Vzporedne črte, ki sekajo stranice katerega koli kota trapeza, režejo proporcionalne odseke od stranic kota (glej Thalesov izrek)
• Točka presečišča diagonal trapeza, leži presečišče podaljškov njegovih stranic in sredina njegovih osnov na isti premici (glej tudi lastnosti štirikotnika)
• Trikotniki, ki ležijo na podstavkih trapezi, katerih oglišča so presečišče njegovih diagonal, so podobni. Razmerje med ploščinami takih trikotnikov je enako kvadratu razmerja med osnovami trapeza.
• Trikotniki, ki ležijo ob straneh trapezi, katerih oglišča so presečišče njegovih diagonal, so po površini enaki (enaki po površini)
• V trapez lahko vpišete krog, če je vsota dolžin osnov trapeza enaka vsoti dolžin njegovih stranic. V tem primeru je srednja črta enaka vsoti stranic, deljeni z 2 (ker je srednja črta trapeza enaka polovici vsote osnov)
• Odsek, vzporeden z osnovami in poteka skozi presečišče diagonal, se s slednjo deli na polovico in je enaka dvakratnemu produktu baz, deljenem z njihovo vsoto 2ab / (a ​​​​+ b) (formula Burakova)

Trapezni koti

Pravokotni trapez ima dva prava kota, druga dva pa sta ostra in topa. Druge vrste trapeza imajo: dva ostri koti in dva neumna.

Topi koti trapezi spadajo med manjše po dolžini baze in začinjeno - več osnova.

Upošteva se lahko vsak trapez kot prisekan trikotnik, katere presečna črta je vzporedna z osnovo trikotnika.
Pomembno. Upoštevajte, da na ta način ( dodatna gradnja trapeze v trikotnike) je mogoče rešiti nekatere probleme o trapezih in dokazati nekatere izreke.

Kako najti stranice in diagonale trapeza

Iskanje stranic in diagonal trapeza poteka z uporabo spodnjih formul:

V teh formulah je uporabljen zapis kot na sliki.

a - manjša od osnov trapeza
b - večja od osnov trapeza
c,d - strani
h 1 h 2 - diagonale

Vsota kvadratov diagonal trapeza je enaka dvakratnemu zmnožku osnov trapeza in vsoti kvadratov stranskih stranic (formula 2)

1. Odsek, ki povezuje razpoloviščni točki diagonal trapeza, je enak polovici razlike osnov
2. Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza in segmenti diagonal do točke njihovega presečišča, so si podobni
3. Trikotniki, ki jih tvorijo segmenti diagonal trapeza, katerih stranice ležijo na stranskih stranicah trapeza - enake velikosti (imajo enako površino)
4. Če stranice trapeza razširite vstran manjša osnova, potem se v eni točki sekata s črto, ki povezuje razpolovišči baz
5. Odsek, ki povezuje osnove trapeza in poteka skozi točko presečišča diagonal trapeza, je razdeljen s to točko v razmerju, ki je enako razmerju dolžin osnov trapeza.
6. Odsek, ki je vzporeden z osnovami trapeza in je narisan skozi presečišče diagonal, je s to točko razdeljen na pol, njegova dolžina pa je enaka 2ab/(a + b), kjer sta a in b osnovici trapeza. trapez

Lastnosti odseka, ki povezuje razpolovišča diagonal trapeza

Povežimo razpolovišči diagonal trapeza ABCD, zaradi česar bomo dobili odsek LM.
Odsek, ki povezuje središčni točki diagonal trapeza leži na srednji črti trapeza.

Ta segment vzporedno z osnovami trapeza.

Dolžina odseka, ki povezuje središči diagonal trapeza, je enaka polovici razlike njegovih baz.

LM = (AD - BC)/2
oz
LM = (a-b)/2

Lastnosti trikotnikov, ki jih tvorijo diagonale trapeza

Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza in presečišče diagonal trapeza - so podobni.
Trikotnika BOC in AOD sta si podobna. Ker sta kota BOC in AOD navpična, sta enaka.
Kota OCB in OAD sta notranja kota, ki navzkrižno ležita na vzporednicah AD in BC (osnovici trapeza sta med seboj vzporedni) in sekanti AC, zato sta enaka.
Kota OBC in ODA sta enaka iz istega razloga (notranji navzkrižno).

Ker so vsi trije koti enega trikotnika enaki ustreznim kotom drugega trikotnika, so si ti trikotniki podobni.

Kaj iz tega sledi?

Za reševanje problemov v geometriji se podobnost trikotnikov uporablja na naslednji način. Če poznamo dolžini dveh ustreznih elementov podobni trikotniki, potem poiščemo koeficient podobnosti (delimo enega z drugim). Od koder so dolžine vseh drugih elementov med seboj povezane s popolnoma enako vrednostjo.

Lastnosti trikotnikov, ki ležijo na stranski stranici, in diagonale trapeza

Razmislite o dveh trikotnikih, ki ležita na stranskih stranicah trapeza AB in CD. To sta trikotnika AOB in COD. Čeprav velikosti posamezne stranke ti trikotniki so lahko popolnoma različni, vendar ploščini trikotnikov, ki jih tvorita stranski stranici in presečišče diagonal trapeza, sta enaki, to pomeni, da sta trikotnika enako velika.

Če stranice trapeza podaljšamo proti manjši osnovici, bo presečišče stranic sovpadajo z ravno črto, ki poteka skozi sredino baz.

Tako lahko vsak trapez razširimo v trikotnik. V tem primeru:

• Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza z skupni vrh na presečišču razširjenih stranskih strani so podobni
• Premica, ki povezuje razpolovišči osnov trapeza, je hkrati mediana sestavljenega trikotnika.

Lastnosti segmenta, ki povezuje osnove trapeza

Če narišemo segment, katerega konci ležijo na osnovah trapeza, ki leži na presečišču diagonal trapeza (KN), potem je razmerje njegovih sestavnih segmentov od strani baze do presečišča diagonal (KO/ON) bo enako razmerju osnov trapeza(pr. n. št./n. št.).

KO/ON = BC/AD

Ta lastnost izhaja iz podobnosti ustreznih trikotnikov (glej zgoraj).

Lastnosti odseka, vzporednega z osnovami trapeza

Če narišemo segment, ki je vzporeden z osnovami trapeza in poteka skozi presečišče diagonal trapeza, bo imel naslednje lastnosti:

• Določena razdalja (KM) razpolovljeno s presečiščem diagonal trapeza
• Dolžina odseka, ki poteka skozi presečišče diagonal trapeza in vzporedno z osnovami, je enako KM = 2ab/(a + b)

Formule za iskanje diagonal trapeza

a, b- trapezne osnove

c,d- stranice trapeza

d1 d2- diagonale trapeza

α β - koti z večjo osnovo trapeza

Formule za iskanje diagonal trapeza skozi osnove, stranice in kote na dnu

Prva skupina formul (1-3) odraža eno glavnih lastnosti trapeznih diagonal:

1. Vsota kvadratov diagonal trapeza je enaka vsoti kvadratov stranic plus dvakratni produkt njegovih osnov. To lastnost trapeznih diagonal lahko dokažemo kot ločen izrek

2 . Ta formula dobimo s transformacijo prejšnje formule. Kvadrat druge diagonale vržemo skozi znak enačaja, nato pa izvlečemo kvadratni koren iz leve in desne strani izraza.

3 . Ta formula za iskanje dolžine diagonale trapeza je podobna prejšnji, s to razliko, da na levi strani izraza ostane še ena diagonala

Naslednja skupina formul (4-5) je pomensko podobna in izraža podobno razmerje.

Skupina formul (6-7) vam omogoča, da najdete diagonalo trapeza, če so znani večja osnova trapeza, ena stranica in kot pri dnu.

Formule za iskanje diagonal trapeza skozi višino

Naloga.
Diagonali trapeza ABCD (AD | | BC) se sekata v točki O. Poiščite dolžino osnovke BC trapeza, če je osnovica AD = 24 cm, dolžina AO = 9 cm, dolžina OS = 6 cm.

rešitev.
Rešitev tega problema je ideološko popolnoma enaka prejšnjim problemom.

Trikotnika AOD in BOC sta si podobna v treh kotih - AOD in BOC sta navpična, preostali koti pa so po paru enaki, saj nastanejo s presečiščem ene premice in dveh vzporednih premic.

Ker sta si trikotnika podobna, so vse njune geometrijske dimenzije med seboj povezane, tako kot geometrijske mere odsekov AO in OC, ki jih poznamo glede na pogoje problema. To je

AO/OC = AD/BC
6. 9. = 24. pr. n. št
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Odgovori: 16 cm

Naloga .
V trapezu ABCD je znano, da je AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Poiščite območje trapeza.

rešitev
Da poiščemo višino trapeza iz oglišč manjše osnovke B in C, znižamo dve višini na večjo osnovo. Ker je trapez neenakomeren, označimo dolžino AM = a, dolžino KD = b ( ne smemo zamenjevati z zapisom v formuli iskanje površine trapeza). Ker sta osnovici trapeza vzporedni, smo spustili dve višini pravokotno razlog več, potem je MBCK pravokotnik.

Pomeni
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trikotnika DBM in ACK sta pravokotna, zato njuna prava kota tvorita višini trapeza. Višino trapeza označimo s h. Potem pa po Pitagorejskem izreku

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
in
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Upoštevajmo, da je a = 16 - b, potem v prvi enačbi
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Nadomestimo vrednost kvadrata višine v drugo enačbo, dobljeno s pomočjo Pitagorovega izreka. Dobimo:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Torej KD = 12
kje
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Poiščite površino trapeza skozi njegovo višino in polovico vsote baz
, kjer a b - osnova trapeza, h - višina trapeza
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Odgovori: površina trapeza je 80 cm2.

Da bi se počutili samozavestno in uspešno reševali probleme pri pouku geometrije, ni dovolj, da se naučite formul. Najprej jih je treba razumeti. Bojati se, še bolj pa sovražiti formule, je neproduktivno. V tem članku dostopen jezik bodo analizirani različne načine Iskanje območja trapeza. Da bi bolje razumeli ustrezna pravila in izreke, bomo nekaj pozornosti namenili njegovim lastnostim. To vam bo pomagalo razumeti, kako pravila delujejo in v katerih primerih je treba uporabiti določene formule.

Definiranje trapeza

Kakšna številka je to na splošno? Trapez je mnogokotnik s štirimi vogali in dvema vzporednima stranicama. Drugi dve stranici trapeza sta lahko nagnjeni pod različnimi koti. Njegove vzporedne stranice se imenujejo osnove, za nevzporedne stranice pa se uporablja ime "stranice" ali "boki". Takšne številke so v vsakdanjem življenju. Obrisi trapeza so vidni v silhuetah oblačil, notranjih predmetov, pohištva, posode in mnogih drugih. Trapez se zgodi različne vrste: skalen, enakostranični in pravokotni. Njihove vrste in lastnosti bomo podrobneje preučili kasneje v članku.

Lastnosti trapeza

Na kratko se osredotočimo na lastnosti te figure. Vsota kotov, ki mejijo na katero koli stran, je vedno 180°. Vedeti je treba, da vsi koti trapeza seštejejo 360°. Trapez ima koncept srednje črte. Če polovice stranic povežete z odsekom, bo to srednja črta. Označuje se z m. Srednja črta ima pomembne lastnosti: vedno je vzporeden z bazami (spomnimo se, da sta vzporedni tudi osnovi) in enak njihovi polvsoti:

To definicijo se je treba naučiti in razumeti, saj je ključ do rešitve mnogih problemov!

Pri trapezu lahko vedno znižaš višino na podlago. Nadmorska višina je navpičnica, pogosto označena s simbolom h, ki je potegnjena iz katere koli točke ene baze na drugo bazo ali njen podaljšek. Srednja črta in višina vam bosta pomagala najti območje trapeza. Podobne naloge so najpogostejši v šolski tečaj geometrije in se redno pojavljajo med testnimi in izpitnimi nalogami.

Najenostavnejše formule za območje trapeza

Poglejmo si dva najbolj priljubljena in preproste formule, s pomočjo katerega se najde območje trapeza. Dovolj je, da višino pomnožite s polovično vsoto baz, da zlahka najdete, kar iščete:

S = h*(a + b)/2.

V tej formuli a, b označujeta osnove trapeza, h - višino. Zaradi lažjega dojemanja so v tem članku znaki za množenje v formulah označeni s simbolom (*), čeprav je v uradnih referenčnih knjigah znak za množenje običajno izpuščen.

Poglejmo si primer.

Podano: trapez z dvema osnovama, enakima 10 in 14 cm, višina je 7 cm. Kolikšna je ploščina trapeza?

Poglejmo rešitev te težave. S to formulo morate najprej poiskati polovično vsoto osnov: (10+14)/2 = 12. Torej je polovična vsota enaka 12 cm. Zdaj pomnožimo polovično vsoto z višino: 12*7 = 84. Kar iščemo, je najdeno. Odgovor: Površina trapeza je 84 kvadratnih metrov. cm.

drugič znana formula navaja: površina trapeza je enaka produktu srednje črte in višine trapeza. To pomeni, da dejansko izhaja iz prejšnjega koncepta srednje črte: S=m*h.

Uporaba diagonal za izračune

Drug način za iskanje območja trapeza pravzaprav ni tako zapleten. Povezan je s svojimi diagonalami. S to formulo morate za iskanje površine pomnožiti polprodukt njenih diagonal (d 1 d 2) s sinusom kota med njima:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Oglejmo si problem, ki prikazuje uporabo te metode. Podano je: trapez z dolžino diagonal enak 8 oziroma 13 cm, je kot a med diagonalama. Poiščite območje trapeza.

rešitev. Z uporabo zgornje formule je enostavno izračunati, kaj je potrebno. Kot veste, je sin 30° 0,5. Zato je S = 8*13*0,5=52. Odgovor: površina je 52 kvadratnih metrov. cm.

Iskanje površine enakokrakega trapeza

Trapez je lahko enakokrak (enakokrak). Njegove stranice so enake in koti pri vznožcih so enaki, kar dobro prikazuje slika. Enakokraki trapez ima enake lastnosti kot običajni, poleg tega pa še vrsto posebnih. Okoli enakokrakega trapeza lahko opišemo krog in vanj vpišemo krog.

Katere metode obstajajo za izračun površine takšne figure? Spodnja metoda bo zahtevala veliko izračunov. Če ga želite uporabiti, morate poznati vrednosti sinusa (sin) in kosinusa (cos) kota na dnu trapeza. Njihovi izračuni zahtevajo bodisi Bradisove tabele oz inženirski kalkulator. Tukaj je formula:

S= c*greh a*(a - c*cos a),

kje z- stransko stegno, a- kot na spodnji podlagi.

Enakostranični trapez ima enako dolge diagonale. Velja tudi obratno: če ima trapez enaki diagonali, potem je enakokrak. Od tukaj naslednjo formulo, ki pomaga najti površino trapeza - polovični produkt kvadrata diagonal in sinusa kota med njimi: S = ½ d 2 sin a.

Iskanje površine pravokotnega trapeza

Znano poseben primer pravokotni trapez. To je trapez, v katerem ena stran (njegovo stegno) meji na osnove pod pravim kotom. Ima lastnosti pravilnega trapeza. Poleg tega ima zelo zanimiva lastnost. Razlika v kvadratih diagonal takega trapeza je enaka razliki v kvadratih njegovih baz. Zanj se uporabljajo vse prej opisane metode za izračun površine.

Uporabljamo iznajdljivost

Obstaja en trik, ki vam lahko pomaga, če pozabite določene formule. Oglejmo si podrobneje, kaj je trapez. Če ga mentalno razdelimo na dele, bomo dobili znane in razumljive geometrijske oblike: kvadrat ali pravokotnik in trikotnik (enega ali dva). Če sta znani višina in stranice trapeza, lahko uporabite formule za površino trikotnika in pravokotnika in nato seštejete vse nastale vrednosti.

Naj to ponazorimo naslednji primer. Podan je pravokoten trapez. Kot C = 45°, kota A, D sta 90°. Zgornja osnova trapeza je 20 cm, višina je 16 cm. Izračunati morate površino figure.

Ta številka je očitno sestavljena iz pravokotnika (če sta dva kota enaka 90°) in trikotnika. Ker je trapez pravokoten, je njegova višina enaka njegovi stranici, to je 16 cm. Imamo pravokotnik s stranicami 20 oziroma 16 cm. Zdaj razmislite o trikotniku, katerega kot je 45°. Vemo, da ima ena stranica 16 cm. Ker je ta stranica tudi višina trapeza (in vemo, da se višina spušča na osnovo pod pravim kotom), je torej drugi kot trikotnika 90°. Zato je preostali kot trikotnika 45°. Kot rezultat tega dobimo pravokotnik enakokraki trikotnik, katerega strani sta enaki. To pomeni, da je druga stranica trikotnika enaka višini, to je 16 cm.

Ploščina pravokotnega trikotnika je enaka polovici produkta njegovih nog: S = (16*16)/2 = 128. Ploščina pravokotnika je enaka produktu njegove širine in dolžine: S = 20 * 16 = 320. Našli smo zahtevano: območje trapeza S = 128 + 320 = 448 kvadratnih metrov. glej. Z zgornjimi formulami se lahko preprosto dvakrat preverite, odgovor bo enak.

Uporabljamo formulo Pick

S = M/2 + N - 1,

v tej formuli je M število vozlišč, tj. presečišča črt slike s črtami celice na mejah trapeza (oranžne pike na sliki), N je število vozlišč znotraj slike (modre pike). Najbolj priročno ga je uporabiti pri iskanju območja nepravilni mnogokotnik. Vendar večji kot je arzenal uporabljenih tehnik, manj je napak in boljši so rezultati.

Seveda predložene informacije ne izčrpajo vrst in lastnosti trapeza, pa tudi metod za iskanje njegovega območja. Ta članek ponuja pregled njegovih najpomembnejših značilnosti. Pri reševanju geometrijskih nalog je pomembno postopoma, začeti z enostavnimi formulami in nalogami, dosledno utrjevati svoje razumevanje in prehajati na drugo stopnjo zahtevnosti.

Skupaj zbrane najpogostejše formule bodo učencem pomagale krmariti po različnih načinih izračuna površine trapeza in se bolje pripraviti na teste in testi na to temo.