KOTI, VKLJUČENI V KROGU

Kot razlomi ravnino na dva dela. Vsak od delov se imenuje ravninski kot. Na sliki 13 je eden od ravninskih kotov s stranicama a in b osenčen. Ravni koti z skupne strani se imenujejo dodatni.

Če je ravninski kot del polravnine, potem njegovo stopinjsko mero imenujemo stopinjska mera navadnega kota z enakima stranicama. Če ravninski kot vsebuje polravnino, potem je njegova stopinjska mera enaka 360° - b, kjer je b stopinjska mera dodatnega ravninskega kota (slika 14).

riž. 13

Osrednji kot v krogu je ravninski kot z ogliščem v središču. Del kroga, ki se nahaja znotraj ravninskega kota, se imenuje lok kroga, ki ustreza temu osrednjemu kotu (slika 15). Stopinska mera krožnega loka je stopinjska mera ustreznega središčnega kota.

riž. 15

Kot, katerega oglišče leži na krogu in katerega stranice sekajo ta krog, imenujemo včrtan v krog. Kot BAC na sliki 16 je vpisan v krog. Njegovo oglišče A leži na krožnici, njegove stranice pa krožnico sekajo v točkah B in C. Rečeno je tudi, da kot A leži na tetivi BC. Premica BC deli krog na dva loka. Osrednji kot, ki ustreza tistemu od teh lokov, ki ne vsebuje točke A, imenujemo središčni kot, ki ustreza danemu včrtanemu kotu.

Izrek 5. Krogu včrtan kot enaka polovici ustreznega središčnega kota.

Dokaz. Najprej razmislimo poseben primer, ko ena od strani kota poteka skozi središče kroga (slika 17, a). Trikotnik AOB je enakokrak, ker imata stranice OA in OB enaka polmera. Zato sta kota A in B trikotnika enaka. In ker je njuna vsota enaka zunanji kot trikotnika v oglišču O, potem je kot B trikotnika enak polovici kota AOC, kar je bilo treba tudi dokazati.

Splošni primer se zmanjša na obravnavani poseben primer z risanjem pomožnega premera BD (sl. 17, b, c). V primeru, predstavljenem na sliki 17, b, je ABC = CBD + ABD = S COD + S AOD = S AOC.

V primeru, predstavljenem na sliki 17, c,

CBD - ABD = COD - AOD = AOC.

Izrek je popolnoma dokazan.

PROPORCIONALNOST ODSEČKOV TETIV IN SEKANTOV KROGA

Če se tetivi AB in CD krožnice sekata v točki S

Potem je AS?BS=CS?DS.

Dokažimo najprej, da sta si trikotnika ASD in CSB podobna (slika 19). Včrtana kota DCB in DAB sta enaka po posledici izreka 5. Kota ASD in BSC sta enaka kot navpična kota. Iz enakosti navedenih kotov sledi, da sta si trikotnika ASZ in CSB podobna.

Iz podobnosti trikotnikov sledi razmerje

AS?BS = CS?DS, kar je bilo treba dokazati

Slika 19

Če dve sekanti narišemo iz točke P v krog, ki sekata krog v točkah A, B oziroma C, D, potem

Naj bosta točki A in C točki presečišča sekant s krožnico, ki je najbližja točki P (slika 20). Trikotnika PAD in PCB sta si podobna. V oglišču P imata skupni kot, kota pri ogliščih B in D pa sta enaka po lastnosti kotov, včrtanih v krog. Iz podobnosti trikotnikov sledi razmerje

Torej PA?PB=PC?PD, kar je bilo treba dokazati.

Pouk geometrije v 8. razredu na temo

"Sorazmernost odsekov tetiv, tangent in sekant"

Cilji lekcije:

prepoznati vzorce med segmenti tetiv, tangent in sekant; določite mero kota (ki ni niti središčni niti včrtan) med tangento in tetivo, ki poteka na točki tangente;

zagotavljajo dojemanje nove snovi z geometrijsko ilustracijo in pisnimi formulami;

vodi študente k samostojnemu odkrivanju dokazov izrekov z usmerjevalnimi vprašanji o predhodno obravnavanem gradivu; oblikovanje veščin dokazovanja;

učenje algoritmiranja dane naloge in uporabe nabranega znanja za njeno reševanje;

spodbujanje pismenosti pri oblikovanju geometrijskih dokazov;

oblikovanje sodb in sklepov z metodami analize, sinteze, indukcije;

pri učencih razvijajo takšne lastnosti, kot so natančnost, jasnost in logičnost pri oblikovanju in predstavitvi misli;

razvoj abstraktno mišljenje, aktivacija miselni procesi, razvoj vizualnih in slušni spomin, govorne sposobnosti študentov.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Načrt lekcije.

Priprava na učenje novih stvari teoretično gradivo z anketiranjem študentov na glavni teoretična načela o krogu in z njim povezanih elementih (tangente, sekante, tetive, koti).

Predstavitev teoretičnega gradiva.

1. Sorazmernost premera in segmentov tetive; sorazmernost odsekov tetive.

   Kot med tangento in tetivo, narisano na točko tangente.

   Sorazmernost sekante in tangente, sorazmernost sekante.

Povzetek lekcije: anketa študentov o formulacijah izrekov, ideje za dokazovanje izrekov, zapis domače naloge s komentarji učitelja.

Priprava na študij novega materiala.

Opomnik na glavne določbe tem " Medsebojni položaj krožnice in premice”, “Tangenta na krožnico”, “Lastnosti tangentnih odsekov”, “Osrednji kot”, “Včrtani kot. Merjenje včrtanega kota skozi središčni kot." Zajeti je treba naslednja vprašanja:

Podobni trikotniki; znamenja podobnosti trikotnikov.

Relativni položaj premice in krožnice: definicija sekante, tetiva kot odsek sekante, ki leži znotraj krožnice; tangenta.

Določitev središčnega kota; določitev včrtanega kota; stopinjska mera središčnega kota; merjenje včrtanega kota skozi središčno; posledice izreka o včrtanem kotu.

Preučevanje in zapisovanje novega teoretičnega gradiva.

2.1. Sorazmernost odsekov tetive.

to teoretični del vključuje izrek o sorazmernosti odsekov tetive in premera, ki imata eno skupno točko, posledico za primer dveh tetiv in posplošitev na primer poljubnega števila tetiv, ki potekajo skozi eno skupno točko.

Izrek 1: Če skozi točko (M), vzeto znotraj kroga, tetiva (AB) in premer (CD), potem je produkt odsekov tetive () enak produktu odsekov premera (
) (slika 1.).

D ano: Okr( O NAMESTITEV; OA),
− premer, AB− akord,
.

Dokaži:= .

Dokaz: Za dokaz enakosti zadostuje primerjava razmerij
in
. Proporcionalni segmenti so podobne stranice v podobnih trikotnikih. Razmislite o trikotnikih
in
. Ti trikotniki bodo podobni glede na prvi znak podobnosti trikotnikov: kot navpični; kot je napisano, počiva na istem loku IN. Iz podobnosti trikotnikov sledi sorazmernost podobnih stranic, tj.

, oz
, oz = .

Posledica 2: Če se dve tetivi krožnice sekata, je zmnožek odsekov ene tetive enak zmnožku odsekov druge tetive (slika 2.).

podano: Okr( O NAMESTITEV; OA), AB,EF− akordi,
.

Dokaži:=
.

Dokaz: Narišimo premer CD skozi točko M. Nato po teoremu 1 za tetivo AB: = ;

za akord EF:
= .

Ker sta desni strani enačb enaki, sta enaki tudi levi strani, tj.

Posledica 3 (generalizacija posledice 1): Če skozi točko (M), vzeto znotraj kroga, poteka poljubno število tetiv (AB, EF, KL,...), potem je produkt odsekov vsake tetive število, ki je konstantno za vse tetive (ker je za vsako tetivo ta produkt enak produktu odsekov premera, ki poteka skozi dano točko).

Kot med tangento in tetivo, narisano na točko tangente.

Ta element vam omogoča, da določite mero kota med tangento in tetivo, narisano na točko dotika (ki ni niti središčni kot niti kot vpisan v krog). Omogoča tudi dokazovanje izreka o sorazmernosti tangentnih in sekansnih odsekov.

Izrek 4: Kot med tangento in tetivo, ki poteka na točki stika, se meri s polovico loka, ki sega na to tetivo (slika 3.).

D ano: Okr( Oh OA), AC– tangenta, A– kontaktna točka,

AB– akord.

Dokaži:
.

Dokaz: Označimo zahtevano
skozi . Ker AC– tangenta, torej
. Razmislimo
- enakokraki ( JSC, VO– polmeri), potem

Najdimo

na drugi strani
, torej,
, oz
.

Sorazmernost tangentnih in sekansnih odsekov.

Ta del vam omogoča, da določite proporcionalni segmenti za tangento in sekanto, potegnjeno iz ene točke, za dve ali več sekant, potegnjenih iz ene točke na dano krožnico.

Izrek 5: Če iz točke (M), ki je vzeta izven kroga, nanjo potegnemo nekaj sekante (MA) in tangente (MS), potem je produkt sekante (MA) in njenega zunanjega dela (MB) enak kvadrat tangente (MC) (slika 4.).

D ano: Okr( Oh OA), MS– tangenta, MA- sekant

MV– zunanji del sekante MA.

Dokaži:
.

Dokaz: Za dokaz enakosti zadostuje primerjava razmerij
in
, torej razmislite
in
. Pokažimo, da sta si podobna. pravzaprav
- splošno,
kot je zapisano v, in
po izreku 4 (kot kot med tangento in tetivo, nategnjeno na točko tangente), tj. .

Torej je podoben (glede na 1. kriterij podobnosti trikotnikov), zato je = , ali .

Posledica 6: Če iz točke zunaj kroga potegnemo poljubno število sekant, potem je produkt vsake sekante in njenega zunanjega dela konstantno število za vse te sekante (ker je za vsako sekanto ta produkt enak kvadratu tangente, ki poteka skozi vzeto točko).

Če povzamem.

Primarno utrjevanje teoretičnega gradiva z izgovorjavo formulacij izrekov in posledic, idej za njihov dokaz.

Za domačo nalogo je bilo predlagano naslednje:

teoretični problem: Premer AB danega kroga, podaljšanega čez točko IN. Skozi neko točko Z tega nadaljevanja je narisana ravna črta
. če poljubna točka M povežite to pravokotno s točko A, potem (označeno z drugo presečišče s krožnico te premice) produkt
je konstantna vrednost za katero koli točko M.

problemi št. 666 in št. 671 (učbenik L. S. Atanasyan) o uporabi formul za proporcionalni segmenti tetive, tangente in sekante;

naloga št. 660 za pregled teme "Vpisani kot";

naučite se dobro prebranega teoretičnega gradiva (od naslednja lekcija naj bi začeli z testno delo po tej teoriji).

Produktivnost. Med lekcijo so učenci identificirali vzorce med segmenti tetiv, tangent in sekant; določi se mera kota med tangento in tetivo, ki poteka na točko tangente; zagotovljeno je bilo zaznavanje učencev nove snovi z geometrijsko ilustracijo in pisanjem formul; Študenti so bili usposobljeni za načrtovanje geometrijskih dokazov.

Če želite dokazati teoreme, se obrnite na gradivo na temo "Krog. Relativni položaj premice in kroga. Središčni in včrtani koti. Spomnite se koncepta sorazmernosti odsekov kot stranic podobni trikotniki.

Ločeno je treba poudariti sorazmernost segmentov dveh akordov. Dokaz se lahko izvaja pisno in ustno, odvisno od posameznega razreda in tempa pouka.

Bolje je, da učitelj zapiše teoretično snov (formulacije za pisanje) na tablo, da prihrani čas, kakovost oblikovanja in čim bolj vključi učence v odkrivanje dokazov izrekov.

Pri visokem tempu dela lahko razmislite teoretični problem, predlagan v domača naloga, predstavite idejo o dokazovanju in prepustite oblikovanje hiši.

Za nadzor gradiva, ki se preučuje v naslednji lekciji, bi morali izvesti frontalna anketa teorijo v obliki pisno delo, ki lahko vključuje preprosta naloga na osnovne formule sorazmernost v krogu.

Literatura.

sorazmernost segmente? Očitno zaradi podobnosti... npr. lekcijageometrija v VI razred na tema"Konstrukcija trikotnika Avtor: dva kota... nastala akord in tangente na lok na točkah, ki služijo kot konci akordi, so enaki" ...

Sorazmernost odsekov tetiv in sekant.

Lastnost tangentnih odsekov.

Izrek o geometrijskem mestu točk.

Pravokotna simetrala.

Opisani krog. Trikotnik, včrtan v krog.

V trikotnik včrtan krog.

Za vse pojme in trditve so predlagane težave.

Predstavitev je zasnovana za vrsto lekcij. Lahko se uporablja za učenje na daljavo.

Prenos:

Predogled:

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

TEMA: “KROG”.

krog. Radij. Akord. Premer. Osrednji kotiček. Osrednji kotiček. Včrtani kot. Naloga. Lastnost včrtanega kota. Naloga. Izrek o polovični vsoti lokov. Naloga. Izrek o polrazliki lokov. Naloga. Produkt odsekov sekajočih se tetiv. Sorazmernost odsekov tetiv in sekant. Lastnost tangentnih odsekov. Naloga. Geometrijsko mesto točk. Izrek o geometrijskem mestu točk. Pravokotna simetrala. Opisani krog. Trikotnik, včrtan v krog. Naloga. Naloga. Tangenta na krožnico. V trikotnik včrtan krog. Naloga. Okoli štirikotnika opisan krog. Naloga. Štirikotniku včrtan krog. Naloga.

Krog je lik, ki ga sestavljajo vse točke ravnine, ki so enako oddaljene od dane točke – središča kroga. Razdalja od središča O kroga do točke A, ki leži na njem, je 5 cm. Dokaži, da je razdalja od točke O do točke B tega kroga 5 cm, razdalja od O do točk C in D, ki ne ležita na njem. ni enaka 5 cm .obseg. O C D A B nazaj

POLMER. Polmer je segment, ki povezuje središče s katero koli točko na krogu. Točke X,Y,Z ležijo na krogu s središčem M. Ali je polmer tega kroga segment MX; segment YZ? Y X Z nazaj

AKORD. Kaj je tetiva kroga? Tetiva je odsek, ki povezuje dve točki na krožnici. nazaj O A B

PREMER. Kakšen je premer kroga? Premer je tetiva, ki poteka skozi sredino. nazaj O A B

SREDIŠNJI KOT Središčni kot je kot, katerega vrh je v središču krožnice. Stopinjska mera središčnega kota ustreza stopenjska mera lok, na katerega sloni (če je lok manjši od polkroga). Poimenuj vse središčne kote s slike. O C A B m nazaj

Če sta središčna kota določenega kroga enaka, sta tudi ustrezna loka po parih enaka. Oblikujte nasprotno trditev. A O C B D nazaj

VKLJUČEN KOT. Kot, katerega oglišče leži na krogu in katerega stranice sekajo ta krog, imenujemo včrtan v krog. Kateri koti so vpisani v krog? nazaj A B C

Krogu je vpisan kot ABC. AC – premer. Dokaži, da je kot ABC pravi kot. Naloga. nazaj O A C B

LASTNOST VKLJUČNEGA KOTA. Dokaži, da so vsi koti, vpisani v krog, enaki, katerih stranice potekajo skozi dve dani točki kroga, oglišča pa ležijo na isti strani premice, ki povezuje ti točki. nazaj

NALOGA. Točke A, B in C ležijo na krožnici s središčem O,  ABC = 50 ,  AB:  CB = 5 : 8. Poišči te loke in  AOC. nazaj

DOKAŽI IZREK IZ SLIKE. Kot ( ABC), katerega oglišče leži znotraj kroga, se meri s polvsoto dveh lokov (AC in D E), od katerih je eden med stranicama, drugi pa med podaljškoma stranic. .  ABC = 0,5 ( D E +  AC). D E A C nazaj

NALOGA. Tetivi MK in PT se sekata v točki A. Poišči dolžino AM, če je AR = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4. nazaj

DOKAŽI IZREK IZ SLIKE. Kot ( ABC), katerega oglišče leži zunaj kroga, stranice pa se sekajo s krožnico, se meri s polovično razliko dveh lokov (AC in D E), sklenjenih med njegovima stranicama.  ABC = 0,5 ( D E +  AC). B D E A C nazaj

NALOGA. Razdalja od točke A do središča kroga s polmerom 5 cm je 10 cm. Skozi točko A je narisana sekanta, ki krožnico seka v točkah B in C. Poišči AC, če točka B deli odsek AC na pol. nazaj

ZMNOŽEK ODSEČKOV SEKAČIH TETIV. Zmnožek dolžin odsekov sekajočih se tetiv je enak. Izrazite ta izrek z besedama "če" in "potem". Preizkusite se: »Če se tetive AB in C D sekata v točki M, potem je AM  BM = CM  D M C B m A D nazaj

PROPORCIONALNOST SEGMENTOV AKORDOV IN SEKUND. Zmnožek dolžin sekantnih odsekov je enak kvadratu dolžine tangentnega odseka. Če skozi točko M narišemo sekanto na krožnico in tangento in sta točki A in B presečišče krožnice s sekanto in je C točka dotikanja, potem je AM  BM = CM. M S V A nazaj

LASTNOSTI TANGENTNIH SEGMENTOV. Odseki dveh tangent, narisanih na krožnico iz točke zunaj nje, so enaki in tvorijo enaki koti z ravno črto, ki povezuje to točko s središčem. Dokažite izrek sami. A O C B nazaj

NALOGA. Iz točke M na krožnico s središčem O in polmerom 8 cm sta narisani tangenti AM in BM (A in B sta točki dotika). Poiščite obseg trikotnika ABM, če je kot AOB 120 . nazaj

GEOMETRIJSKA LOKACIJA TOČK. Geografsko mesto točk je lik, ki ga sestavljajo vse točke ravnine, ki imajo določeno lastnino. Pojasnite, zakaj je krog geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od dane točke. nazaj O A B

IZREK O GEOMETRIJSKIH TOČKAH. Geografsko mesto točk, ki so enako oddaljene od dveh danih točk, je premica, pravokotna na odsek, ki povezuje ti točki in poteka skozi njegovo središče. Podano: a; AB  a; AO = OB. Dokaži: a - lokus točke, ki so enako oddaljene od A in B. Ali bo izrek dokazan, če ugotovimo, da je katera koli točka na premici a enako oddaljena od A in B. nazaj A B O M a

SREDNJA PRAVOKOJNICA. Simetrala na dolg AB je premica, ki poteka skozi sredino dolga AB pravokotno nanj. Dokaži, da središče kroga leži na pravokotna simetrala na katerikoli akord tega kroga. nazaj

KROŽNI KROG. TRIKOTNIK, VRČAN V KROG. Krog se imenuje obkrožen okoli trikotnika, če poteka skozi vsa njegova oglišča. V tem primeru pravimo, da je trikotnik vpisan v krog. Dokaži, da so stranice včrtanega trikotnika tetive krožnice, ki je okrog njega opisana. Kje je središče okroglega kroga trikotnika? nazaj

Kje je središče obremenjenega kroga pravokotnega trikotnika? Naloga. nazaj O A C B

NALOGA. Poiščite polmer kroga, ki je obkrožen trikotniku s stranicami 10, 12 in 10 cm nazaj

TANGENTA NA KROŽNICO Premico, ki ima s krožnico samo eno skupno točko, imenujemo tangenta na krožnico. Skupna točka krožnico in tangento imenujemo tangentna točka. Kaj lahko rečemo o stranicah trikotnika C D E glede na krog? nazaj

V TRIKOTNIK VRŠEN KROG. Krog je vpisan v trikotnik, če se dotika vseh njegovih stranic. V tem primeru se trikotnik imenuje obkrožen okrog kroga. Kje je središče kroga, včrtanega v trikotnik? Trikotnik ABC je obkrožen okrog kroga. Kateri izmed trikotnikov AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA so enaki? nazaj

NALOGA. IN pravokotni trikotnik eden od kotov je 30 . Poišči manjšo stranico trikotnika, če je polmer včrtanega kroga enak 4 cm

KROG OPISAN OKROG ŠTIRIKOTNIKA. Če približno konveksni štirikotnik lahko opiše krog, nato pa njegovo vsoto nasprotni koti enaka dvema pravima kotoma. Dokaži:  A +  C = 180  . Oblikujte nasprotno trditev. Katerim štirikotnikom lahko narišemo krog? Zakaj? B C D A nazaj

NALOGA. Diagonala trapeza je c velika baza kot je 30 , središče kroga, opisanega ob trapezu, pa pripada tej osnovici. Poiščite površino trapeza, če je strani enaka 2 cm nazaj

ŠTIRIKOTEKU VČISAN KROG Če štirikotniku lahko vpišemo krog, potem je vsota njegovih dolžin nasprotnih straneh so enaki. Dokaži: AB+C D = BC+A D. Oblikujte nasprotno trditev. V katere štirikotnike lahko vpišemo krog? B C D A N P K M nazaj

NALOGA. Poiščite območje enakokraki trapez opisan okrog kroga, če sta njegovi osnovici 2 cm in 8 cm nazaj

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Cilj: povečati motivacijo za učenje; razvijati računalniške sposobnosti, inteligenco in sposobnost timskega dela.

Napredek lekcije

Posodabljanje znanja. Danes bomo še naprej govorili o krogih. Naj vas spomnim na definicijo kroga: kako se imenuje krog?

krog je premica, sestavljena iz vseh točk v ravnini, ki so na določeni razdalji od ene točke v ravnini, imenovane središče kroga.

Na prosojnici je prikazan krog, označeno je njegovo središče - točka O, narisana sta dva segmenta: OA in SV. Odsek OA povezuje središče kroga s točko na krogu. Imenuje se RADIUS (v latinščini radius - "spica v kolesu"). Odsek CB povezuje dve točki kroga in poteka skozi njegovo središče. To je premer kroga (v prevodu iz grščine "premer").

Potrebovali bomo tudi definicijo tetive kroga - to je segment, ki povezuje dve točki na krogu (na sliki - tetiva DE).

Ugotovimo vprašanje o relativni legi premice in kroga.

Naslednje vprašanje in bo glavno: ugotovi lastnosti, ki jih imajo sekajoče se tetive, sekante in tangente.

Te lastnosti boste dokazali pri pouku matematike, naša naloga pa je, da se naučimo uporabljati te lastnosti pri reševanju problemov, saj se pogosto uporabljajo na izpitih tako v obliki enotnega državnega izpita kot v obliki državnega izpita.

Naloga za ekipe.

• Nariši in zapiši lastnost tetiv CM in NF, ki se sekata v točki P.
• Nariši in zapiši lastnosti tangente KM in sekante KF.
• Nariši in zapiši lastnosti sekant KM in MF.

S pomočjo podatkov na sliki poiščite x. Diapozitiv 5–6

Kdor je hitrejši, je pravilnejši. Sledi razprava in preverjanje rešitev vseh problemov. Tisti, ki odgovorijo, prislužijo nagradne točke svoji ekipi.

No, zdaj pa preidimo na reševanje resnejših težav. Ponujamo vam tri bloke: sekajoče tetive, tangento in sekanto, dve sekanti. Podrobno bomo analizirali rešitev enega problema iz vsakega bloka.

(Raztopina se analizira z podroben zapis №4, №7, №12)

2. Delavnica reševanja problemov

a) Sekajoče se tetive

1. E – presečišče tetiv AB in CD. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. Poiščite CD.

rešitev:

2. E – presečišče tetiv AB in CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Poišči AE in BE.

rešitev:

3. E – presečišče tetiv AB in CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Poiščite CE.

rešitev:

4. E je presečišče tetiv AB in CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Poiščite CD.

rešitev:

b) Tangenta in sekansa

5. Iz ene točke na krožnico narišemo tangento in sekanto. Tangenta je 6, sekans je 18. Določite notranji odsek sekante.

rešitev:

6. Iz ene točke na krožnico potegnemo tangento in sekanto. Poiščite tangento, če je znano, da je za 4 manjša od notranjega odseka sekante in za 4 večja od zunanjega odseka.

rešitev:

7. Iz ene točke na krožnico narišemo tangento in sekanto. Poiščite sekans, če je znano, da je njegov notranji odsek povezan z zunanjim kot 3:1, dolžina tangente pa je 12.

rešitev:

8. Iz ene točke na krožnico narišemo tangento in sekanto. Poiščite zunanji odsek sekante, če je znano, da je njegov notranji odsek 12 in dolžina tangente 8.

rešitev:

9. Tangenta in sekanta, ki izhajata iz iste točke, sta enaka 12 oziroma 24, če je sekanta oddaljena od središča kroga.

rešitev:

c) Dve sekanti

10. Iz ene točke na krožnico narišemo dve sekanti, katerih notranja odseka sta enaka 8 oziroma 16. Zunanji odsek druge sekante je za 1 manjši od zunanjega odseka prvega. Poiščite dolžino vsake sekante.

rešitev:

11. Iz ene točke v krožnico narišemo dve sekanti. Zunanji segment prvega sekanta se nanaša na njegov notranji kot 1:3. Zunanji odsek drugega sekanta je za 1 manjši od zunanjega odseka prvega in je v razmerju do njegovega notranjega odseka 1:8. Poiščite dolžino vsake sekante.

rešitev:

12. Skozi točko A, ki se nahaja zunaj kroga na razdalji 7 od njegovega središča, je narisana ravna črta, ki seka krog v točkah B in C. Poiščite dolžino polmera kroga, če je AB = 3, BC = 5.

rešitev:

13. Iz točke A je na krožnico potegnjena sekansa dolžine 12 cm in tangenta, sestavina notranjega odseka sekante. Poiščite dolžino tangente.

rešitev:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Utrjevanje znanja

Verjamem, da imate dovolj znanja, da se odpravite na kratko popotovanje po labirintih svojega intelekta z obiskom naslednjih postaj:

• Razmisli o tem!
• Odločite se!
• odgovori mi!

Na postaji lahko ostanete največ 6 minut. Za vsakega prava odločitev naloge ekipa prejme spodbujevalne točke.

Ekipe dobijo liste poti:

Potni list

Rad bi te razočaral rezultati naše lekcije:

Upam, da ste se poleg novega znanja bolje spoznali in pridobili izkušnje pri timskem delu. Ali menite, da pridobljeno znanje uporabite kje v življenju?

Pesnik G. Longfellow je bil tudi matematik. Verjetno zato žive podobe, ki krasijo matematične koncepte, ki jih je uporabil v svojem romanu »Kawang«, omogočajo vtisniti nekatere izreke in njihove uporabe za življenje. V romanu beremo naslednji problem:

»Lilija, ki se je za en razpon dvigala nad gladino vode, se je pod sunkom svežega vetra dotaknila gladine jezera dva komolca od prejšnjega mesta; na podlagi tega je bilo treba določiti globino jezera« (1 ped je enaka 10 palcev, 2 komolca je 21 palcev).

In ta problem je rešen na podlagi lastnosti sekajočih se tetiv. Poglejte sliko in jasno vam bo, kako globoko je jezero.

rešitev:

V.Povzetek lekcije

U. Poimenuj vse nastale včrtane kote (slika 30).

D. KABINA; ABC; sonce

U. Poimenuj vse kote med tangento in tetivami.

D. NAB; NBA; KBC; KCB; MCA; MAC.

U. Katera od njiju bo enakovredna in zakaj?

D. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. Vsak par teh kotov med tangento in tetivo vsebuje enak lok, zato sta številčno enaka polovici, to je med seboj enaka.

U. Kateri koti trikotnika so enaki vsakemu od teh treh parov in zakaj?

D. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Ker je kot med tangento in tetivo enak včrtanemu kotu, ki ga sestavlja lok med tangento in tetivo.

U. Kaj lahko rečete o vrsti trikotnikov ANB; BKC; CMA?

D. so enakokraki, saj ima vsak od teh trikotnikov dva enaka kota.

VI. Domača naloga

Št. 656, 663 po Atanasjanovem učbeniku.

Naučite se teorije (priprava na test).

Lekcija 6 – 7

Predmet. Sorazmernost odsekov tetiv in sekant.

Cilji lekcije. Preverite znanje in razumevanje učencev na temo: »Včrtani kot«; upoštevajte teoretično gradivo (o akordih in sekantah); krepiti veščine reševanja problemov.

I. Vprašanja za domačo nalogo

II. Preizkus znanja

Preverjanje teorije, preverjanje znanja učencev pri temi »Včrtani kot« je testne narave. Test ne preverja le dejanskega poznavanja definicij in lastnosti, temveč tudi razumevanje povezav med pojmi. Zato nekatera vprašanja niso oblikovana strogo v skladu z učbenikom. Za dokončanje potrebujete 5-7 minut. Delo je treba ovrednotiti. Če učenec ne uspe, je priporočljivo, da ga preizkusite v poznavanju besedila iz učbenika.

Test se izvede na koncu teme, saj je treba razdelati vse povezave med lokom, središčnim in včrtanim kotom.

Dijaki morajo pri opravljanju testa napisati samo pripadajoče številke. Prihranimo čas in spodbudimo študente k razmišljanju.

Po testu lahko odgovorite na vprašanje, ki je vzbudilo zanimanje večine študentov.

Test (po učbeniku L. S. Atanasjana)

Združite začetek in konec fraze, da naredite resnična izjava. V odgovoru navedite številke levega in desnega dela naloge, na primer: 2-5.

Možnost 1

Možnost 2

odgovori: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Združite začetek in konec fraze, da dobite resnično trditev. V odgovoru navedite številke levega in desnega dela naloge, na primer: 2-5.

Možnost 1

odgovori: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Možnost 2

odgovori. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Razlaga nove snovi

U. Zapišimo temo lekcije in ustno analizirajmo problem z uporabo končane risbe (slika 31)

U. Premer, narisan v krogu AC, akordi BD, NE in AD in tangenta CN, ki z nadaljevanjem tetive AD tvori kot 30°.

Najdi DBC.

Razlog za težavo:

1) Kako se imenuje kot DBC, Na kateri lok sloni?

2) Kaj lahko rečemo o premogu LAHKO?

3) Lastnost tangente CN.

4) Kako lahko izračunate kot CAN in zakaj?

Sklep: DBC = 60°

Med sklepanjem na risbi označujemo enake kote, prav tako ACN = 90 °. Nato predlagamo, da razmislimo o trikotnikih HSR in AMD. Ti trikotniki so si podobni (lahko namignete, če tega sami ne vidite).

Da bi dokazali podobnost trikotnikov, se moramo spomniti znamenj podobnosti.

Na risbi so že označeni enaki koti C.B.M. = CAD(počitek na enem loku). Ostane le še opaziti navpične kote :

IUD = AMD, VSM ~ ∆AMD(v dveh kotih).

Kaj je treba povedati o ustreznih stranicah podobnih trikotnikov? Sestavite razmerje:

BMAM = CMDM = BCAD.

U.. Kateri so segmenti v krogu, ki so vključeni v delež?

D. Deli tetiv in premeri.

U. To pomeni, da lahko domnevamo, da obstaja povezava med sekajočimi se tetivami v krogu.

Oblikujmo izrek: če se dve tetivi kroga sekata, potem je produkt segmentov ene tetive enak produktu segmentov druge tetive.

Dokaz poteka po Atanasyanovem učbeniku, učenci so pripravljeni na razumevanje izreka, zapis pa naj ne vzame veliko časa.

Menimo, da je potrebno upoštevati izrek sekante.

Pripravimo risbo k izreku in ugotovimo, kaj pomeni sekanta krožnice: premica, ki krožnico seka v dveh točkah.

Snemanje formulacija izreka: če iz točke leži

zunaj kroga sta narisani dve sekanti, potem sta produkta sekante in njunih zunanjih delov enaka. (Ali: če sta iz točke P na krožnico narisani dve sekanti, ki krožnico sekata v točkah A, IN in C, D oziroma,

to ARB.P. = = C.P.- D.P..)

podano: B.P. in D.P.- sekante (slika 32).

Dokaži: BP AP = PD PC.

Dokaz:

1. Izvedimo dodatno konstrukcijo: soncenAD.

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Nadaljujmo z obravnavanjem relativnega položaja sekante in kroga. Če to risbo spremenimo tako, da sekansa PB zavzame položaj tangente, potem bo naš izrek formuliran takole: če sta sekansa in tangenta na ta krog narisani iz ene točke zunaj kroga, potem kvadrat tangente enako zmnožku sekanta na njen zunanji del.

p Torej, to moramo dokazati B.P. 2 = PDPC.

Narišimo akorde sonce in B.D.

BDC = ½usonce(kot je vpisano);

SVR = ½usonce(kot med tangento in tetivo), torej

BDC = C.B.P..

∆BPD ~ ∆ C.P.B.na dveh kotih.

Zapišimo delež:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, kar pomeni B.P.2=PCP.D.

Možno je, da zapišete formulacijo izreka, rešite problem št. 670 (Atanasyan) in tako izvedete dokaz izreka. Ker se načelo dokaza ponavlja, pri vseh treh izrekih temelji na podobnosti, lahko enega od učencev prosite, da izvede dokaz za tablo.

Problem 1

KL in MN sta sekanti (slika št. 34). Katero lastnost je mogoče formulirati? (Razpravljamo in pripravimo risbo, rešimo problem na podlagi te risbe.)

Akorda MN in KL sekata v točki C. Določi dolžino odsekaC.L., ČeKC= 3 cm, MS = 3 cm; CH = 9 cm. tema " Centralno in vpisana koti". Povzemite in ... Danes imamo finale lekcija Avtor: tema: "Centralno in vpisana koti"Ponavljamo, posplošujemo, predstavljamo ...