Prva stopnja

Aritmetična progresija. Podrobna teorija s primeri (2019)

Zaporedje številk

Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.
Število s številom se imenuje th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Recimo, da imamo številčno zaporedje, pri katerem je razlika med sosednjima številoma enaka in enaka.
Na primer:

itd.
To številsko zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz "progresija" je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in je bil razumljen v več v širšem smislu, kot neskončno številsko zaporedje. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije zveznih razmerij, ki so jo preučevali stari Grki.

To je številsko zaporedje, katerega vsak člen je enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu. To število imenujemo razlika aritmetična progresija in je določen.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera ne:

a)
b)
c)
d)

Razumem? Primerjajmo naše odgovore:
je aritmetična progresija - b, c.
Ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se k dani progresiji () in poskusimo najti vrednost njenega th člena. obstaja dva način, kako ga najti.

1. Metoda

Število napredovanja lahko dodajamo prejšnji vrednosti, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Še dobro, da nimamo veliko za povzemati - samo tri vrednosti:

Torej je th člen opisane aritmetične progresije enak.

2. Metoda

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so se matematiki domislili načina, da prejšnji vrednosti ni treba dodajati razlike aritmetične progresije. Pobližje si oglejte narisano sličico ... Zagotovo ste že opazili določen vzorec, in sicer:

Na primer, poglejmo, iz česa je sestavljena vrednost th člena te aritmetične progresije:


Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način sami poiskati vrednost člana dane aritmetične progresije.

Ste izračunali? Primerjajte svoje zapiske z odgovorom:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodali člene aritmetičnega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo- Postavimo ga v splošno obliko in dobimo:

Aritmetične progresije so lahko naraščajoče ali padajoče.

Povečanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov večja od prejšnje.
Na primer:

Sestopanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu členov v naraščajočih in padajočih členih aritmetične progresije.
Preverimo to v praksi.
Dobili smo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih števil: Preverite, kakšno bo th število te aritmetične progresije, če za izračun uporabimo našo formulo:

Od takrat:

Tako smo prepričani, da formula deluje tako v padajoči kot v naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati th in th člen te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zakomplicirajmo problem - izpeljali bomo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Enostavno, rečete in začnete šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, ah, potem pa:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je progresija predstavljena z majhnimi vrednostmi, potem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napake pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda da, in to je tisto, kar bomo zdaj poskušali razkriti.

Zahtevani člen aritmetične progresije označimo tako, da nam je formula za iskanje znana - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

• prejšnji izraz napredovanja je:
• naslednji člen napredovanja je:

Povzemimo prejšnje in nadaljnje pogoje napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih členov napredovanja dvojna vrednost člena napredovanja, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, najti vrednost napredovalnega člena glede na znani prejšnji in zaporedne vrednosti, jih morate sešteti in razdeliti z.

Tako je, dobili smo isto številko. Zavarujmo material. Vrednost za napredovanje izračunajte sami, sploh ni težko.

Dobro opravljeno! O napredovanju veš skoraj vse! Najti je treba samo eno formulo, ki jo je po legendi zlahka izvedel eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učitelj, zaposlen s preverjanjem dela učencev v drugih razredih, v razredu zastavil naslednjo težavo: »Izračunajte vsoto vseh naravna števila od do (po drugih virih do) vključno.« Predstavljajte si učiteljevo presenečenje, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) minuto pozneje dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina pogumnih sošolcev po dolgih izračunih dobila napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil določen vzorec, ki ga zlahka opazite tudi vi.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -th členov: Najti moramo vsoto teh členov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če naloga zahteva iskanje vsote njegovih členov, kot je iskal Gauss?

Upodabljajmo napredovanje, ki nam je dano. Pobližje si oglejte označena števila in poskusite z njimi izvesti različne matematične operacije.


Ste poskusili? Kaj ste opazili? Prav! Njuni vsoti sta enaki

Zdaj pa mi povejte, koliko je takih parov skupaj v napredovanju, ki nam je dano? Seveda natanko polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh členov aritmetične progresije enaka in da so podobni pari enaki, dobimo, da skupni znesek je enako:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th člena, poznamo pa razliko napredovanja. Poskusite zamenjati formulo th člena v formulo vsote.
Kaj si dobil?

Dobro opravljeno! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki je bil zastavljen Carlu Gaussu: sami izračunajte, čemu je enaka vsota števil, ki se začnejo s th, in vsota števil, ki se začnejo s th.

Koliko si dobil?
Gauss je ugotovil, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto členov aritmetične progresije dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje v celoti izkoristili lastnosti aritmetične progresije.
Na primer, predstavljajte si Starodavni Egipt in največ obsežna gradnja tisti čas - gradnja piramide... Slika prikazuje njeno eno stran.

Kje je tu napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.


Zakaj ne aritmetična progresija? Izračunajte, koliko blokov je potrebnih za gradnjo ene stene, če so bloki opeke postavljeni na dno. Upam, da ne boste šteli med premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo povedali o aritmetični progresiji?

IN v tem primeru Napredovanje izgleda takole: .
Razlika aritmetične progresije.
Število členov aritmetične progresije.
Nadomestimo naše podatke v zadnje formule (izračunajte število blokov na 2 načina).

1. metoda.

2. metoda.

In zdaj lahko izračunate na monitorju: primerjajte dobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Razumem? Bravo, obvladali ste vsoto n-tih členov aritmetičnega napredovanja.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor je bloki:

Usposabljanje

Naloge:

1. Maša se pripravlja na poletje. Vsak dan poveča število počepov za. Kolikokrat bo Maša naredila počepe v enem tednu, če je počepe naredila na prvem treningu?
2. Kakšna je vsota vseh lihih števil v.
3. Drvarji pri skladiščenju hlodov zlagajo tako, da vsak zgornji sloj vsebuje en dnevnik manj kot prejšnji. Koliko brun je v enem zidu, če je temelj zidu bruna?

odgovori:

1. Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
   (tedni = dnevi).

   odgovor:Čez dva tedna naj bi Maša delala počepe enkrat na dan.

2. najprej liho število, zadnja številka.
   Razlika aritmetične progresije.
   Število lihih števil je polovica, vendar preverimo to dejstvo s formulo za iskanje th člena aritmetičnega napredovanja:

   Številke vsebujejo liha števila.
   Zamenjajmo razpoložljive podatke v formulo:

   odgovor: Vsota vseh lihih števil v je enaka.

3. Spomnimo se problema o piramidah. Za naš primer je a , ker je vsaka zgornja plast zmanjšana za en dnevnik, potem je skupaj kup plasti, tj.
   Zamenjajmo podatke v formulo:

   odgovor: V zidu so hlodi.

Naj povzamemo

1. - številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Lahko se povečuje ali zmanjšuje.
2. Iskanje formule Ti člen aritmetičnega napredovanja je zapisan s formulo - , kjer je število števil v napredovanju.
3. Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer je število števil v napredovanju.
4. Vsota členov aritmetične progresije lahko najdete na dva načina:
   
   , kjer je število vrednosti.

ARITMETIČNA PROGRESIJA. POVPREČNA STOPNJA

Zaporedje številk

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in lahko jih je poljubno veliko. Vedno pa lahko rečemo, katera je prva, katera druga in tako naprej, se pravi, da jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je mogoče povezati z določenim naravnim številom in edinstvenim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko imenujemo th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

Zelo priročno je, če lahko th člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je enak, razlika pa je). Ali (, razlika).

Formula n-ti člen

Formulo imenujemo ponavljajoča se, v kateri morate, da bi ugotovili th člen, poznati prejšnjega ali več prejšnjih:

Da bi našli na primer th člen napredovanja s to formulo, bomo morali izračunati prejšnjih devet. Na primer, pustite. Nato:

No, je zdaj jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo, pomnožimo z določeno številko. Kateri? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj priročno, kajne? Preverjamo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

rešitev:

Prvi izraz je enak. Kakšna je razlika? Evo kaj:

(Zato se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih členov napredovanja).

Torej, formula:

Potem je stoti člen enak:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi, velik matematik Karl Gauss je kot 9-letni deček to količino izračunal v nekaj minutah. Opazil je, da je vsota prvega in zadnji datum je enak, vsota drugega in predzadnjega je enaka, vsota tretjega in 3. od konca je enaka itd. Koliko je teh parov skupaj? Tako je, točno polovica števila vseh števil, torej. Torej,

Splošna formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja bo:

primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestna števila, večkratniki.

rešitev:

Prva taka številka je ta. Vsako naslednje število dobimo s seštevanjem prejšnjega števila. Tako števila, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula th člena za to napredovanje:

Koliko členov je v progresiji, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj se odločite sami:

1. Vsak dan športnik preteče več metrov kot prejšnji dan. Koliko skupaj kilometrov bo pretekel v enem tednu, če je prvi dan pretekel km m?
2. Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji dan. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora potovati, da premaga kilometer? Koliko kilometrov bo prevozil v zadnjem dnevu svojega potovanja?
3. Vsako leto se za toliko zniža cena hladilnika v trgovini. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če je bil dan v prodajo za rublje šest let pozneje prodan za rublje.

odgovori:

1. Pri tem je najpomembnejše prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
   .
   odgovor:
2. Tukaj je podano: , je treba najti.
   Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnjem problemu:
   .
   Zamenjajte vrednosti:

   Koren očitno ne ustreza, zato je odgovor.
   Izračunajmo pot, prevoženo v zadnjem dnevu, z uporabo formule th člena:
   (km).
   odgovor:

3. Podano: . Najti: .
   Ne more biti bolj preprosto:
   (drgniti).
   odgovor:

ARITMETIČNA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

To je številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.

Aritmetična progresija je lahko naraščajoča () in padajoča ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člena aritmetičnega napredovanja

se zapiše s formulo, kjer je število števil v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča vam enostavno iskanje člena progresije, če so njegovi sosednji členi znani - kje je število števil v progresiji.

Vsota členov aritmetične progresije

Znesek lahko najdete na dva načina:

Kje je število vrednosti.

Kje je število vrednosti.

Kaj glavna točka formule?

Ta formula vam omogoča iskanje kaj PO NJEGOVI ŠTEVILKI" n" .

Seveda je treba poznati tudi prvi izraz a 1 in razlika v napredovanju d, no, brez teh parametrov ne morete zapisati določenega napredovanja.

Pomnjenje (ali pisanje) te formule ni dovolj. Razumeti morate njeno bistvo in formulo uporabiti pri različnih težavah. In ne pozabite notri pravi trenutek, ampak kako ne pozabi- Nevem. In tukaj kako se spomnitiČe bo treba, vam bom zagotovo svetoval. Za tiste, ki dokončajo lekcijo do konca.)

Torej, poglejmo formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja.

Kaj sploh je formula? Mimogrede, poglejte, če niste prebrali. Tam je vse preprosto. Še vedno je treba ugotoviti, kaj je n-ti izraz.

Napredovanje v splošni pogled lahko zapišemo kot niz številk:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označuje prvi člen aritmetične progresije, a 3- tretji član, a 4- četrti in tako naprej. Če nas zanima peti mandat, recimo, da delamo s a 5, če sto dvajseti - s a 120.

Kako ga lahko na splošno opredelimo? kajčlen aritmetičnega napredovanja, s kajštevilka? Zelo preprosto! Všečkaj to:

a n

Tako je n-ti člen aritmetične progresije.Črka n skriva vse številke članov hkrati: 1, 2, 3, 4 itd.

In kaj nam tak zapis daje? Samo pomislite, namesto številke so zapisali črko ...

Ta vnos nam daje močno orodje za delo z aritmetično progresijo. Uporaba notacije a n, lahko hitro najdemo kajčlan kaj aritmetična progresija. In rešiti kup drugih težav pri napredovanju. Dalje se boste prepričali sami.

V formuli za n-ti člen aritmetične progresije:

a 1- prvi člen aritmetične progresije;

n- članska številka.

Formula povezuje ključne parametre katerega koli napredovanja: a n ; a 1; d in n. Vse težave pri napredovanju se vrtijo okoli teh parametrov.

Formulo n-tega člena lahko uporabite tudi za zapis določenega napredovanja. Težava lahko na primer pravi, da je napredovanje določeno s pogojem:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takšna težava je lahko slepa ulica ... Ni niti niza niti razlike ... Toda če primerjamo stanje s formulo, je enostavno razumeti, da v tem napredovanju a 1 =5 in d=2.

In lahko je še slabše!) Če vzamemo enak pogoj: a n = 5 + (n-1) 2, Da, odpreti oklepaj in prinesti podobne? Dobimo nova formula:

a n = 3 + 2n.

to Samo ne splošno, ampak za določen napredek. Tu se skriva past. Nekateri mislijo, da je prvi člen trojka. Čeprav je v resnici prvi člen pet ... Malo nižje bomo delali s tako spremenjeno formulo.

Pri težavah z napredovanjem obstaja še en zapis - a n+1. To je, kot ste uganili, "n plus prvi" člen napredovanja. Njegov pomen je preprost in neškodljiv.) To je člen napredovanja, katerega število je za ena večje od števila n. Na primer, če v neki težavi vzamemo a n peti mandat torej a n+1 bo šesti član. itd.

Najpogosteje oznaka a n+1 najdemo v ponavljajočih se formulah. Naj vas to ne prestraši grozna beseda!) To je preprosto način izražanja člana aritmetičnega napredovanja skozi prejšnjega. Recimo, da imamo aritmetično progresijo v tej obliki z uporabo ponavljajoče se formule:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četrti - skozi tretji, peti - skozi četrti in tako naprej. Kako lahko takoj štejemo recimo dvajseti mandat? a 20? Ampak ni možnosti!) Dokler ne ugotovimo 19. termina, ne moremo šteti 20. To je to temeljna razlika rekurentna formula iz formule n-tega člena. Ponavljajoče deluje samo skozi prejšnjičlen, formula n-tega člena pa je skozi prvi in dovoljuje takoj poiščite katerega koli člana po njegovi številki. Brez izračuna celotnega niza števil po vrstnem redu.

V aritmetični progresiji je ponavljajočo se formulo enostavno spremeniti v navadno. Preštejte par zaporednih členov, izračunajte razliko d, poiščite, če je treba, prvi izraz a 1, vpišite formulo v običajni obliki, in delati z njo. V Državni akademiji znanosti se takšne naloge pogosto srečujejo.

Uporaba formule za n-ti člen aritmetične progresije.

Najprej poglejmo neposredna uporaba formule. Na koncu prejšnje lekcije je prišlo do težave:

Podana je aritmetična progresija (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

Ta problem je mogoče rešiti brez kakršnih koli formul, preprosto na podlagi pomena aritmetičnega napredovanja. Dodaj in dodajaj ... Uro ali dve.)

In po formuli bo rešitev trajala manj kot minuto. Lahko ga merite.) Odločimo se.

Pogoji zagotavljajo vse podatke za uporabo formule: a 1 =3, d=1/6.Še vedno je treba ugotoviti, kaj je enako n. Brez problema! Moramo najti a 121. Torej pišemo:

Prosim, bodite pozorni! Namesto indeksa n pojavilo se je točno določeno število: 121. Kar je povsem logično.) Zanima nas člen aritmetične progresije. številka sto enaindvajset. To bo naše n. To je pomen n= 121 bomo nadomestili naprej v formulo, v oklepajih. V formulo nadomestimo vse številke in izračunamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je to. Prav tako hitro bi se našel petsto deseti člen, tisoč tretjina pa katerikoli. Namesto tega smo postavili n želeno številko v indeksu črke " a" in v oklepaju, in štejemo.

Naj vas spomnim na bistvo: ta formula vam omogoča, da najdete kajčlen aritmetične progresije PO NJEGOVI ŠTEVILKI" n" .

Rešimo problem na bolj zvit način. Naj naletimo na naslednjo težavo:

Poiščite prvi člen aritmetične progresije (a n), če je a 17 =-2; d=-0,5.

Če imate kakršne koli težave, vam povem prvi korak. Zapiši formulo za n-ti člen aritmetične progresije! Da Da. Zapišite z rokami, kar v svoj zvezek:

In zdaj, ko pogledamo črke formule, razumemo, katere podatke imamo in kaj manjka? Na voljo d=-0,5, tam je sedemnajsti član... Je to to? Če mislite, da je to to, potem ne boste rešili problema, ja ...

Še vedno imamo številko n! V stanju a 17 =-2 skrit dva parametra. To je hkrati vrednost sedemnajstega člena (-2) in njegovo število (17). Tisti. n=17. Ta »malenkost« pogosto zdrsne mimo glave in brez nje (brez »malenkosti«, ne glave!) problema ni mogoče rešiti. Čeprav ... in tudi brez glave.)

Zdaj lahko svoje podatke preprosto neumno nadomestimo s formulo:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

o ja, a 17 vemo, da je -2. V redu, zamenjajmo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je v bistvu vse. Iz formule je treba izraziti prvi člen aritmetičnega napredovanja in ga izračunati. Odgovor bo: a 1 = 6.

Ta tehnika je pisanje formule in preprosta zamenjava znani podatki – zelo pomaga pri preproste naloge. No, seveda moraš znati spremenljivko izraziti iz formule, a kaj storiti!? Brez te veščine morda sploh ne boste študirali matematike ...

Še ena priljubljena uganka:

Poiščite razliko aritmetične progresije (a n), če je a 1 =2; a 15 =12.

Kaj počnemo? Presenečeni boste, pišemo formulo!)

Poglejmo, kaj vemo: a 1 =2; a 15 =12; in (še posebej bom poudaril!) n=15. To lahko nadomestite s formulo:

12=2 + (15-1)d

Delamo aritmetiko.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

To je pravilen odgovor.

Torej, naloge za a n, a 1 in d odločila. Vse, kar ostane, je naučiti se najti številko:

Število 99 je člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 =12; d=3. Poiščite številko tega člana.

V formulo n-tega člena nadomestimo znane količine:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled sta tu dve neznani količini: a n in n. Ampak a n- to je neki člen progresije s številko n... In tega člana napredovanja poznamo! 99 je. Ne vemo njegove številke. n, To številko je torej tisto, kar morate najti. V formulo nadomestimo člen progresije 99:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražamo iz formule n, mislimo. Dobimo odgovor: n=30.

In zdaj problem na isto temo, vendar bolj ustvarjalen):

Ugotovi, ali je število 117 člen aritmetične progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ponovno zapišimo formulo. Kaj, ni parametrov? Hm ... Zakaj so nam dane oči?) Ali vidimo prvi člen napredovanja? Vidimo. To je -3,6. Lahko mirno napišete: a 1 = -3,6. Razlika d lahko določiš iz serije? Enostavno je, če veste, kakšna je razlika aritmetičnega napredovanja:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Torej, naredili smo najpreprostejšo stvar. Ostaja še ukvarjanje z neznano številko n in nerazumljivo število 117. Pri prejšnji nalogi je bilo vsaj znano, da je bil podan člen progresije. Tukaj pa sploh ne vemo ... Kaj storiti!? No, kaj storiti, kaj storiti ... Vklopi Ustvarjalne sposobnosti!)

mi domnevam da je 117 navsezadnje član našega napredovanja. Z neznano številko n. In, tako kot v prejšnjem problemu, poskusimo najti to številko. Tisti. napišemo formulo (da, da!)) in nadomestimo naše številke:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Spet izražamo iz formulen, preštejemo in dobimo:

Ups! Številka se je izkazala ulomek! Sto ena in pol. In ulomkov v progresijah ne more biti. Kakšen zaključek lahko naredimo? ja! Številka 117 ničlan našega napredovanja. Je nekje med sto prvim in sto drugim terminom. Če se je številka izkazala za naravno, tj. je pozitivno celo število, potem bi bilo število član progresije z najdenim številom. In v našem primeru bo odgovor na problem: št.

Na podlagi naloge prava možnost GIA:

Aritmetična progresija je podana s pogojem:

a n = -4 + 6,8n

Poiščite prvi in ​​deseti člen napredovanja.

Tukaj napredovanje ni povsem določeno na običajen način. Nekakšna formula ... Se zgodi.) Vendar pa je ta formula (kot sem napisal zgoraj) - tudi formula za n-ti člen aritmetične progresije! Ona tudi dovoljuje poiščite katerega koli člana progresije po njegovem številu.

Iščemo prvega člana. Tisti, ki misli. da je prvi člen minus štiri, je usodna napaka!) Ker je formula v nalogi spremenjena. Prvi člen aritmetičnega napredovanja v njem skrit. V redu je, zdaj ga bomo našli.)

Tako kot v prejšnjih težavah zamenjamo n=1 v to formulo:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tukaj! Prvi člen je 2,8, ne -4!

Na enak način iščemo deseti člen:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je to.

In zdaj, za tiste, ki so prebrali te vrstice, obljubljeni bonus.)

Recimo, da ste v težki bojni situaciji državnega izpita ali enotnega državnega izpita pozabili uporabno formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja. Nečesa se spomnim, a nekako negotovo ... Oz n tja, oz n+1, oz n-1... Kako biti!?

umirjeno! To formulo je enostavno izpeljati. Ne zelo strogo, ampak za samozavest in prava odločitev vsekakor dovolj!) Za zaključek je dovolj, da se spomnite osnovnega pomena aritmetičnega napredovanja in imate nekaj minut časa. Samo narisati morate sliko. Za jasnost.

Narišimo številska os in na njej označite prvo. drugi, tretji itd. člani. In ugotavljamo razliko d med člani. Všečkaj to:

Pogledamo sliko in razmišljamo: čemu je enak drugi člen? drugič eno d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kaj je tretji izraz? Tretjiččlen je enak prvemu členu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ali razumeš? Ni zaman, da nekatere besede poudarjam s krepkim tiskom. V redu, še en korak).

Kaj je četrti izraz? Četrtiččlen je enak prvemu členu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Čas je, da spoznamo, da število vrzeli, tj. d, Nenehno enega manj od števila članov, ki jih iščete n. Se pravi na število n, število presledkov volja n-1. Zato bo formula (brez sprememb!):

Na splošno so vizualne slike zelo koristne pri reševanju številnih problemov v matematiki. Ne zanemarjajte slik. Če pa je težko narisati sliko, potem ... samo formula!) Poleg tega vam formula n-tega člena omogoča, da z rešitvijo povežete celoten močan arzenal matematike - enačbe, neenakosti, sisteme itd. V enačbo ne moreš vstaviti slike ...

Naloge za samostojno reševanje.

Za ogrevanje:

1. V aritmetični progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Poiščite 3.

Namig: po sliki je problem rešljiv v 20 sekundah... Po formuli izpade težje. Toda za obvladovanje formule je bolj uporabno.) V razdelku 555 je ta problem rešen z uporabo slike in formule. Občutite razliko!)

In to ni več ogrevanje.)

2. V aritmetični progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Poišči a 3 .

Kaj, ne želite risati slike?) Seveda! Bolje po formuli, ja...

3. Aritmetična progresija je podana s pogojem:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Poiščite sto petindvajseti člen tega napredovanja.

V tej nalogi je napredovanje določeno na ponavljajoč se način. Toda štetje do sto petindvajsetega člena ... Ni vsakdo sposoben takšnega podviga.) Toda formula n-tega člena je v moči vsakega!

4. Glede na aritmetično progresijo (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Poiščite število najmanjšega pozitivnega člena progresije.

5. Glede na pogoje naloge 4 poiščite vsoto najmanjšega pozitivnega in največjega negativnega člena progresije.

6. Zmnožek petega in dvanajstega člena naraščajoče aritmetične progresije je enak -2,5, vsota tretjega in enajstega člena pa je enaka nič. Poiščite 14.

Ni najlažja naloga, ja ...) Metoda "s prstom" tukaj ne bo delovala. Napisati boste morali formule in rešiti enačbe.

Odgovori (v neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Se je zgodilo? Lepo je!)

Ne uspe vse? Se zgodi. Mimogrede, v zadnji nalogi je ena subtilna točka. Pri branju problema bo potrebna previdnost. In logika.

Rešitev vseh teh težav je podrobno obravnavana v razdelku 555. In element fantazije za četrto in subtilen trenutek za šesto in splošni pristopi za reševanje morebitnih težav, ki vključujejo formulo n-tega člena - vse je zapisano. Priporočam.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Splošni člen zaporedja je $u_n=n^2$. Če zamenjamo $n=1$, dobimo:

$$ u_1=1^2=1. $$

To je prvi člen zaporedja. Če nadomestimo $n=2$ v $u_n=n^2$, dobimo drugi člen zaporedja:

$$ u_2=2^2=4. $$

Če zamenjamo $n=3$, dobimo tretji člen zaporedja:

$$ u_3=3^2=9. $$

Na enak način najdemo četrti, peti, šesti in druge člene zaporedja. Tako dobimo ustrezne številke:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Vredno je upoštevati tudi člene zaporedja $u_n=n^3$. Tukaj je nekaj njegovih prvih članov:

\začetek(enačba)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(enačba)

Poleg tega se za oblikovanje splošnega člena serije pogosto uporablja zaporedje $u_n=n!$, katerega prvih nekaj členov je naslednjih:

\začetek(enačba)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(enačba)

Snemanje "n!" (beri "en factorial") označuje produkt vseh naravnih števil od 1 do n, tj.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Po definiciji se predpostavlja, da je $0!=1!=1$. Na primer, poiščimo 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Pogosto se uporabljajo tudi aritmetične in geometrijske progresije. Če je prvi člen aritmetičnega napredovanja enak $a_1$ in je razlika enaka $d$, potem skupni član aritmetična progresija je zapisana z naslednjo formulo:

\begin(enačba)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(enačba)

Kaj je aritmetična progresija? pokaži\skrij

Aritmetična progresija je zaporedje števil, v katerem je razlika med naslednjim in prejšnjim členom konstantna. Ta konstantna razlika se imenuje razlika v napredovanju

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Upoštevajte, da ne glede na to, kateri par sosednjih elementov vzamemo, bo razlika med naslednjim in prejšnjim članom vedno konstantna in enaka 7:

\begin(poravnano) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(poravnano)

To število, tj. 7, in obstaja razlika v napredovanju. Običajno se označuje s črko $d$, tj. $d=7$. Prvi element napredovanja je $a_1=3$. Splošni člen tega napredovanja zapišemo s formulo. Če vanj zamenjamo $a_1=3$ in $d=7$, bomo imeli:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Zaradi jasnosti uporabimo formulo $a_n=7n-4$, da poiščemo prvih nekaj členov aritmetičnega napredovanja:

\begin(poravnano) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \konec(poravnano)

Z zamenjavo poljubne vrednosti števila $n$ v formulo $a_n=7n-4$ lahko dobite katerega koli člana aritmetične progresije.

Omeniti velja tudi geometrijsko napredovanje. Če je prvi člen progresije enak $b_1$ in imenovalec enak $q$, potem je splošni člen geometrijske progresije podan z naslednjo formulo:

\begin(enačba)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(enačba)

Kaj se je zgodilo geometrijsko napredovanje? pokaži\skrij

Geometrijska progresija je zaporedje števil, v katerem je razmerje med naslednjim in prejšnjim členom konstantno. To stalno razmerje se imenuje imenovalec napredovanja. Na primer, upoštevajte naslednje zaporedje:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Upoštevajte, da ne glede na to, kateri par sosednjih elementov vzamemo, bo razmerje med naslednjim in prejšnjim vedno konstantno in enako 3:

\begin(poravnano) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \konec(poravnano)

To število, tj. 3 je imenovalec napredovanja. Običajno se označuje s črko $q$, tj. $q=3$. Prvi element napredovanja je $b_1=6$. Splošni člen tega napredovanja zapišemo s formulo. Če vanj zamenjamo $b_1=6$ in $q=3$, bomo imeli:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Zaradi jasnosti uporabimo formulo $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ za iskanje prvih nekaj členov geometrijske progresije:

\begin(poravnano) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \konec(poravnano)

Če zamenjate katero koli vrednost števila $n$ v formulo $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, lahko dobite kateri koli člen geometrijske progresije.

V vseh spodnjih primerih bomo člane niza označili s črkama $u_1$ (prvi član niza), $u_2$ (drugi član niza) itd. Zapis $u_n$ bo označeval skupni člen vrste.

Primer št. 1

Poiščite skupni člen niza $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

Bistvo takšnih nalog je opaziti vzorec, ki je neločljivo povezan s prvimi člani serije. In na podlagi tega vzorca sklepajte o vrsti skupnega člana. Kaj pomeni besedna zveza "najti skupni izraz"? To pomeni, da je treba najti tak izraz, nadomestiti $n=1$, v katerega dobimo prvi člen niza, tj. $\frac(1)(7)$; Z zamenjavo $n=2$ dobimo drugi člen vrste, tj. $\frac(2)(9)$; Z zamenjavo $n=3$ dobimo tretji člen niza, tj. $\frac(3)(11)$ in tako naprej. Poznamo prve štiri člene serije:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Premikajmo se postopoma. Vsi nam znani členi niza so ulomki, zato je smiselno domnevati, da je tudi skupni člen niza predstavljen z ulomkom:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Naša naloga je ugotoviti, kaj se skriva pod vprašaji v števcu in imenovalcu. Poglejmo najprej števec. Števci nam poznanih členov v nizu so števila 1, 2, 3 in 4. Upoštevajte, da je število vsakega člena v nizu enako števcu. Prvi člen ima števnik ena, drugi ima dvojko, tretji ima tri in četrti štirico.

Logično je domnevati, da bo imel n-ti člen $n$ v števcu:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Mimogrede, do tega zaključka lahko pridemo tudi drugače, bolj formalno. Kakšno je zaporedje 1, 2, 3, 4? Upoštevajte, da je vsak naslednji člen tega zaporedja za 1 večji od prejšnjega. Opravka imamo s štirimi členi aritmetične progresije, katerih prvi člen je $a_1=1$, razlika pa $d=1$. Z uporabo formule dobimo izraz za splošni člen napredovanja:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Torej je ugibanje ali formalni izračun stvar okusa. Glavno je, da smo zapisali števec skupnega člena serije. Pojdimo k imenovalcu.

V imenovalcih imamo zaporedje 7, 9, 11, 13. To so štirje členi aritmetične progresije, katerih prvi člen je enak $b_1=7$, razlika pa $d=2$. Splošni izraz napredovanja najdemo s formulo:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Nastali izraz, tj. $2n+5$ in bo imenovalec skupnega člena serije. Torej:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Dobljen je splošni člen serije. Preverimo, ali je formula, ki smo jo našli, $u_n=\frac(n)(2n+5)$ primerna za izračun že znanih členov serije. Poiščimo izraze $u_1$, $u_2$, $u_3$ in $u_4$ z uporabo formule $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Rezultati morajo seveda sovpadati s prvimi štirimi členi niza, ki nam ga je dal pogoj.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Tako je, rezultati so enaki. Niz, določen v pogoju, je zdaj mogoče zapisati v naslednji obliki: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Splošni člen vrste ima obliko $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\lpike $$

Ali taka serija nima pravice do obstoja? Še vedno je. In za to serijo lahko to napišemo

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Lahko napišete še eno nadaljevanje. Na primer to:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

In takšno nadaljevanje ne nasprotuje ničemur. V tem primeru lahko to zapišemo

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Če sta se vam prvi dve možnosti zdeli preveč formalni, potem predlagam tretjo. Zapišimo skupni izraz takole:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Izračunajmo prve štiri člene niza s predlagano formulo splošnega člena:

\begin(poravnano) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \konec(poravnano)

Kot lahko vidite, je predlagana formula za splošni izraz povsem pravilna. In lahko najdete neskončno število takšnih različic, njihovo število je neomejeno. IN standardni primeri se seveda uporablja standardni set nekatera znana zaporedja (progresije, stopnje, faktoriali itd.). Vendar je pri takšnih nalogah vedno prisotna negotovost in tega je priporočljivo zapomniti.

V vseh naslednjih primerih ta dvoumnost ne bo navedena. Se bomo odločili z uporabo standardnih metod, ki so sprejeti v večini problemskih knjig.

Odgovori: skupni člen serije: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Primer št. 2

Zapišite skupni člen niza $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Poznamo prvih pet členov serije:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Vsi poznani členi niza so ulomki, kar pomeni, da bomo skupni člen niza iskali v obliki ulomka:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Takoj bodimo pozorni na števnik. Vsi števci vsebujejo enote, zato bo tudi števec skupnega člena niza vseboval eno, tj.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Zdaj pa poglejmo imenovalec. Imenovalci prvih členov serije, ki jih poznamo, vsebujejo produkte števil: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Prva izmed teh števil so: 1, 3, 5, 7, 9. To zaporedje ima prvi člen $a_1=1$, vsako naslednje pa dobimo iz prejšnjega s seštevanjem števila $d=2$. Z drugimi besedami, to je prvih pet členov aritmetičnega napredovanja, katerih splošni člen lahko zapišemo s formulo:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

V izdelkih $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ so druge številke: 5, 8, 11, 14, 17. To so elementov aritmetične progresije, katere prvi člen je $b_1=5$, imenovalec pa $d=3$. Splošni izraz tega napredovanja zapišemo z isto formulo:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Sestavimo rezultate skupaj. Zmnožek v imenovalcu skupnega člena niza je: $(2n-1)(3n+2)$. In splošni izraz same serije ima naslednjo obliko:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Za preverjanje dobljenega rezultata uporabimo formulo $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$, da poiščemo prve štiri člane vrste, ki jih poznamo:

\begin(poravnano) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4) +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\ctočka 17). \konec(poravnano)

Torej vam formula $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ omogoča natančen izračun členov serije, znanih iz pogoja. Po želji dane serije lahko zapišemo takole:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Odgovori: skupni člen niza: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

To temo bomo nadaljevali v drugem in tretjem delu.

Mnogi ljudje so slišali za aritmetično napredovanje, vendar vsi nimajo dobre predstave o tem, kaj je. V tem članku bomo podali ustrezno definicijo in razmislili tudi o tem, kako najti razliko aritmetičnega napredovanja, in navedli številne primere.

Matematična definicija

Torej če govorimo o o aritmetičnem ali algebraičnem napredovanju (ti koncepti definirajo isto stvar), potem to pomeni, da obstaja nekaj številske serije, zadovoljivo naslednji zakon: Vsaki dve sosednji števili v nizu se razlikujeta za isto vrednost. Matematično je zapisano takole:

Pri tem n pomeni število elementa a n v zaporedju, število d pa je razlika progresije (njegovo ime izhaja iz predstavljene formule).

Kaj pomeni poznati razliko d? O tem, kako »daleč« so sosednje številke druga od druge. Nujno pa je znanje o d, pa ne zadosten pogoj določiti (obnoviti) celotno napredovanje. Potrebno je poznati še eno številko, ki je lahko absolutno kateri koli element obravnavane serije, na primer 4, a10, vendar praviloma uporabljajo prvo številko, to je 1.

Formule za določanje elementov napredovanja

Na splošno so zgornje informacije že dovolj za prehod na rešitev posebne naloge. Kljub temu, preden je podana aritmetična progresija in bo treba najti njeno razliko, predstavljamo nekaj uporabne formule, s čimer olajšamo kasnejši proces reševanja problemov.

Preprosto je pokazati, da lahko vsak element zaporedja s številko n najdemo na naslednji način:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Pravzaprav lahko vsakdo preveri to formulo s preprostim iskanjem: če zamenjate n = 1, dobite prvi element, če nadomestite n = 2, potem izraz poda vsoto prvega števila in razlike itd.

Pogoji številnih nalog so sestavljeni tako, da je treba ob znanem paru števil, katerih števila so tudi podana v zaporedju, rekonstruirati celotno številsko vrsto (poiskati razliko in prvi element). Zdaj bomo to težavo rešili na splošno.

Naj sta torej podana dva elementa s številkama n in m. Z uporabo zgornje formule lahko ustvarite sistem dveh enačb:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Za iskanje neznanih količin uporabimo znane preprost trik rešitve takega sistema: odštejemo levo in desno stran v paru, enakost bo ostala veljavna. Imamo:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo izločili eno neznanko (a 1). Zdaj lahko zapišemo končni izraz za določitev d:

d = (a n - a m) / (n - m), kjer je n > m

Prejeli smo zelo preprosta formula: za izračun razlike d v skladu s pogoji problema morate vzeti le razmerje razlik med samimi elementi in njihovimi serijske številke. Pozornost je treba posvetiti enemu pomembna točka pozor: upoštevane so razlike med »starejšimi« in »mlajšimi« člani, to je n > m (»starejši« pomeni, da stoji dlje od začetka zaporedja, absolutna vrednost je lahko večji ali manjši od "mlajšega" elementa).

Izraz za razliko d progresije je treba na začetku reševanja naloge nadomestiti v katerokoli od enačb, da dobimo vrednost prvega člena.

V naši dobi razvoja računalniška tehnologija Mnogi šolarji poskušajo najti rešitve za svoje naloge na internetu, zato se pogosto pojavljajo tovrstna vprašanja: poiščite razliko aritmetičnega napredovanja na spletu. Za takšno zahtevo vam iskalnik vrne več spletnih strani, ob obisku katerih boste morali vnesti podatke, znane iz pogoja (to sta lahko dva člena progresije ali vsota določenega števila le-teh). ) in takoj prejmete odgovor. Vendar pa je ta pristop k reševanju problema neproduktiven v smislu razvoja študenta in razumevanja bistva naloge, ki mu je dodeljena.

Rešitev brez uporabe formul

Rešimo prvo nalogo brez uporabe katere od danih formul. Podani so elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Poiščite razliko aritmetične progresije.

Znani elementi stojijo blizu drug drugega v vrsti. Kolikokrat je treba razliko d prišteti najmanjši, da dobimo največjo? Trikrat (prvič, ko dodamo d, dobimo sedmi element, drugič - osmi, končno, tretjič - deveti). Katero število je treba trikrat prišteti k tri, da dobimo 18? To je številka pet. res:

Tako je neznana razlika d = 5.

Seveda je rešitev mogoče doseči z uporabo ustrezno formulo, vendar to ni bilo storjeno namerno. Podrobna razlaga rešitev problema mora postati jasna in svetel primer Kaj je aritmetična progresija?

Naloga, podobna prejšnji

Zdaj pa rešimo podoben problem, vendar spremenimo vhodne podatke. Torej bi morali ugotoviti, če je a3 = 2, a9 = 19.

Seveda se lahko spet zatečete k metodi reševanja »na glavo«. Ker pa so podani elementi serije, ki so relativno daleč drug od drugega, ta metoda ne bo povsem priročna. Toda uporaba dobljene formule nas bo hitro pripeljala do odgovora:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Tukaj smo zaokrožili končna številka. V kolikšni meri je to zaokroževanje povzročilo napako, lahko ocenite s preverjanjem rezultata:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ta rezultat se le za 0,1 % razlikuje od vrednosti, navedene v pogoju. Zato se lahko zaokroževanje na najbližje stotinke šteje za uspešno izbiro.

Težave, ki vključujejo uporabo formule za izraz

Razmislimo klasičen primer naloge za določitev neznanke d: poišči razliko aritmetične progresije, če je a1 = 12, a5 = 40.

Ko sta podani dve številki neznanke algebraično zaporedje, in eden od njih je element a 1, potem vam ni treba dolgo razmišljati, ampak morate takoj uporabiti formulo za člen a n. V tem primeru imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pri deljenju smo dobili točno število, zato nima smisla preverjati točnosti izračunanega rezultata, kot je bilo storjeno v prejšnjem odstavku.

Rešimo še en podoben problem: najti moramo razliko aritmetične progresije, če je a1 = 16, a8 = 37.

Uporabimo pristop, podoben prejšnjemu, in dobimo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Kaj morate še vedeti o aritmetičnem napredovanju?

Poleg težav iskanja neznane razlike oz posamezne elemente, je pogosto potrebno rešiti probleme vsote prvih členov zaporedja. Upoštevanje teh nalog presega obseg članka, vendar zaradi popolnosti informacij, ki jih predstavljamo splošna formula za vsoto n števil v seriji:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2