Valj je lik, sestavljen iz cilindrična površina in dva vzporedna kroga. Izračun površine valja je naloga geometrijski odsek matematika, ki se rešuje povsem preprosto. Obstaja več metod za reševanje, ki se na koncu vedno skrčijo na eno formulo.
Kako najti površino valja - pravila za izračun
- Če želite izvedeti površino valja, morate dodati dve površini osnove s površino stranske površine: S = Sstran + 2Sosnova. V podrobnejši različici je ta formula videti takole: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Bočna površina danega geometrijsko telo se lahko izračuna, če sta znana njegova višina in polmer kroga, ki leži na njegovem dnu. IN v tem primeru lahko izrazimo polmer iz oboda kroga, če je podan. Višino je mogoče najti, če je v pogoju navedena vrednost generatorja. V tem primeru bo generatrisa enaka višini. Formula za stransko ploskev tega telesa izgleda takole: S= 2 π rh.
- Površina baze se izračuna po formuli za iskanje površine kroga: S osn= π r 2 . Pri nekaterih nalogah polmer morda ni podan, lahko pa je podan obseg. S to formulo se radij izrazi precej enostavno. С=2π r, r= С/2π. Zapomniti si morate tudi, da je polmer polovica premera.
- Pri izvajanju vseh teh izračunov se število π običajno ne pretvori v 3,14159 ... Samo dodati ga je treba poleg številčna vrednost, ki je bila pridobljena kot rezultat izračunov.
- Nato morate le pomnožiti najdeno površino osnove z 2 in dobljeni številki dodati izračunano površino stranske površine figure.
- Če težava kaže, da jeklenka vsebuje aksialni prerez in je to pravokotnik, potem bo rešitev nekoliko drugačna. V tem primeru bo širina pravokotnika enaka premeru kroga, ki leži na dnu telesa. Dolžina figure bo enaka generatrisi ali višini valja. Treba je izračunati zahtevane vrednosti in jo nadomestimo v že znano formulo. V tem primeru je treba širino pravokotnika deliti z dvema, da bi našli površino osnove. Da bi našli stransko površino, dolžino pomnožimo z dvema polmeroma in številom π.
- Ploščino danega geometrijskega telesa lahko izračunate z njegovo prostornino. Če želite to narediti, morate manjkajočo vrednost izpeljati iz formule V=π r 2 h.
- Pri izračunu površine valja ni nič zapletenega. Samo poznati morate formule in znati iz njih izpeljati količine, potrebne za izvedbo izračunov.
Površina piramide. V tem članku si bomo ogledali težave z običajnimi piramidami. Naj vas spomnim, da je pravilna piramida piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, vrh piramide je projiciran v središče tega mnogokotnika.
Stranska stran takšne piramide je enakokraki trikotnik.Višina tega trikotnika, potegnjena iz vrha redna piramida, imenovan apotem, SF – apotem:
V vrsti problema, ki je predstavljen spodaj, morate najti površino celotne piramide ali površino njene stranske površine. Na blogu je bilo že obravnavanih več težav s pravilnimi piramidami, kjer se je pojavilo vprašanje iskanja elementov (višina, osnovni rob, stranski rob).
IN Naloge za enotni državni izpit Praviloma se upoštevajo pravilne trikotne, štirikotne in šesterokotne piramide. Pri navadnih peterokotnih in sedemkotnih piramidah nisem opazil nobenih težav.
Formula za površino celotne površine je preprosta - najti morate vsoto površine osnove piramide in površine njene stranske površine:
Razmislimo o nalogah:
Stranice podstavka so pravilne štirikotna piramida enako 72, stranska rebra so enaki 164. Poiščite površino te piramide.
Površina piramide je enaka vsoti površin stranske površine in osnove:
* Stranska ploskev je sestavljena iz štirih enako velikih trikotnikov. Osnova piramide je kvadrat.
Ploščino stranice piramide lahko izračunamo z:
Tako je površina piramide:
Odgovor: 28224
Stranice podstavka so pravilne šesterokotna piramida so 22, stranski robovi so 61. Poiščite stransko površino te piramide.
Osnova pravilne šesterokotne piramide je pravilni šesterokotnik.
Stranska površina te piramide je sestavljena iz šestih območij enakih trikotnikov s stranicami 61,61 in 22:
Poiščimo površino trikotnika s Heronovo formulo:
Tako je bočna površina:
Odgovor: 3240
*V zgoraj predstavljenih težavah je mogoče površino stranske ploskve najti z drugo formulo trikotnika, vendar morate za to izračunati apotem.
27155. Poiščite površino pravilne štirikotne piramide, katere osnovne stranice so 6 in višina 4.
Da bi našli površino piramide, moramo poznati površino osnove in površino stranske površine:
Površina osnove je 36, saj je kvadrat s stranico 6.
Stranska površina je sestavljena iz štirih ploskev, ki so enaki trikotniki. Če želite najti območje takšnega trikotnika, morate poznati njegovo osnovo in višino (apotem):
* Ploščina trikotnika je enaka polovici zmnožka osnove in na to osnovo narisane višine.
Osnova je znana, enaka je šest. Poiščimo višino. Razmislite o pravokotnem trikotniku (označeno rumeno):
En krak je enak 4, ker je to višina piramide, drugi je enak 3, ker je enaka polovici osnovna rebra. Hipotenuzo lahko najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka:
To pomeni, da je površina stranske površine piramide:
Tako je površina celotne piramide:
Odgovor: 96
27069. Strani osnove pravilne štirikotne piramide so enake 10, stranski robovi so enaki 13. Poiščite površino te piramide.
27070. Strani osnove pravilne šesterokotne piramide so enake 10, stranski robovi so enaki 13. Poiščite stransko površino te piramide.
Obstajajo tudi formule za stransko površino pravilne piramide. V pravilni piramidi je osnova pravokotna projekcija stransko površino, torej:
p- osnovni obod, l- apotem piramide
*Ta formula temelji na formuli za ploščino trikotnika.
Če želite izvedeti več o tem, kako so te formule izpeljane, ne zamudite, spremljajte objavo člankov.To je vse. Vso srečo!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Piramida- ena od vrst poliedra, sestavljenega iz poligonov in trikotnikov, ki ležijo na dnu in so njegovi obrazi.
Poleg tega so na vrhu piramide (tj. na eni točki) vsi obrazi združeni.
Za izračun površine piramide je vredno ugotoviti, da je njena stranska površina sestavljena iz več trikotnikov. In z lahkoto najdemo njihova področja
razne formule. Glede na podatke, ki jih poznamo o trikotnikih, iščemo njihovo ploščino.
Navajamo nekaj formul, ki jih lahko uporabimo za iskanje površine trikotnikov:
- S = (a*h)/2 . V tem primeru poznamo višino trikotnika h , ki je spuščen na stran a .
- S = a*b*sinβ . Tukaj so stranice trikotnika a , b , in kot med njima je β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Tukaj so stranice trikotnika a, b, c . Polmer kroga, včrtanega v trikotnik, je r .
- S = (a*b*c)/4*R . Polmer kroga, opisanega okoli trikotnika, je R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ta formula uporabiti le, če je trikotnik pravokoten.
- S = (a²*√3)/4 . To formulo uporabimo za enakostranični trikotnik.
Šele ko izračunamo površine vseh trikotnikov, ki so ploskve naše piramide, lahko izračunamo površino njene stranske površine. Za to bomo uporabili zgornje formule.
Da bi izračunali površino stranske površine piramide, ne nastanejo nobene težave: ugotoviti morate vsoto površin vseh trikotnikov. Izrazimo to s formulo:
Sp = ΣSi
Tukaj Si je območje prvega trikotnika in S n - območje stranske površine piramide.
Poglejmo si primer. Če imamo pravilno piramido, njene stranske ploskve tvori več enakostraničnih trikotnikov,
« Geometrija je najmočnejše orodje za izostritev naših mentalnih sposobnosti».
Galileo Galilej.
in kvadrat je osnova piramide. Poleg tega je rob piramide dolg 17 cm. Poiščimo območje stransko površino te piramide.
Razmišljamo takole: vemo, da so ploskve piramide trikotniki, so enakostranični. Vemo tudi, kolikšna je dolžina roba te piramide. Iz tega sledi, da so vsi trikotniki enaki straneh, njihova dolžina je 17 cm.
Za izračun površine vsakega od teh trikotnikov lahko uporabite naslednjo formulo:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Torej, ker vemo, da na dnu piramide leži kvadrat, se izkaže, da imamo štiri enakostranične trikotnike. To pomeni, da je površino stranske površine piramide mogoče enostavno izračunati z uporabo naslednjo formulo: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Naš odgovor je naslednji: 500,548 cm² - to je površina stranske površine te piramide.
Navodila
Najprej je vredno razumeti, da je stranska površina piramide predstavljena z več trikotniki, katerih območja lahko najdete z uporabo največ razne formule, odvisno od znanih podatkov:
S = (a*h)/2, kjer je h višina, spuščena na stran a;
S = a*b*sinβ, kjer sta a, b stranice trikotnika, β pa je kot med tema stranicama;
S = (r*(a + b + c))/2, kjer so a, b, c stranice trikotnika, r pa polmer kroga, včrtanega v ta trikotnik;
S = (a*b*c)/4*R, kjer je R polmer trikotnika, opisanega okoli kroga;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (če je trikotnik pravokoten);
S = S = (a²*√3)/4 (če je trikotnik enakostranični).
Pravzaprav so to le najosnovnejši znane formule najti površino trikotnika.
Ko izračunate površine vseh trikotnikov, ki so ploskve piramide, z uporabo zgornjih formul, lahko začnete izračunavati površino te piramide. To se naredi izjemno preprosto: sešteti morate površine vseh trikotnikov, ki nastanejo stransko površino piramide. To lahko izrazimo s formulo:
Sp = ΣSi, kjer je Sp območje stranske površine, Si območje i-tega trikotnika, ki je del njegove stranske površine.
Za večjo jasnost lahko razmislimo o majhnem primeru: dana je pravilna piramida, katere stranske ploskve tvorijo enakostranični trikotniki, na njenem dnu pa leži kvadrat. Dolžina roba te piramide je 17 cm. Potrebno je najti površino bočne površine te piramide.
Rešitev: znana je dolžina roba te piramide, znano je, da so njene ploskve enakostranični trikotniki. Tako lahko rečemo, da so vse stranice vseh trikotnikov na stranski površini enake 17 cm. Zato boste morali za izračun površine katerega koli od teh trikotnikov uporabiti formulo:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Znano je, da na dnu piramide leži kvadrat. Tako je jasno, da podatki enakostranični trikotnikištiri. Nato se površina stranske površine piramide izračuna na naslednji način:
125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Odgovor: stranska površina piramide je 500,548 cm²
Najprej izračunajmo površino stranske površine piramide. Bočna ploskev je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Če imate opravka s pravilno piramido (to je takšno, ki ima na svojem dnu pravilen mnogokotnik, vrh pa je projiciran v središče tega mnogokotnika), je za izračun celotne stranske ploskve dovolj, da pomnožite obseg osnovo (to je vsota dolžin vseh strani mnogokotnika, ki leži na osnovni piramidi) z višino stranske ploskve (sicer imenovane apotem) in dobljeno vrednost delite z 2: Sb = 1/2P* h, kjer je Sb površina stranske površine, P je obseg osnove, h je višina stranske ploskve (apotem).
Če imate pred seboj poljubno piramido, boste morali posebej izračunati ploščine vseh ploskev in jih nato sešteti. Ker so stranske ploskve piramide trikotniki, uporabite formulo za površino trikotnika: S=1/2b*h, kjer je b osnova trikotnika, h pa višina. Ko so površine vseh ploskev izračunane, ostane le še, da jih seštejemo, da dobimo stransko površino piramide.
Nato morate izračunati površino osnove piramide. Izbira formule za izračun je odvisna od tega, kateri mnogokotnik leži na dnu piramide: pravilen (to je eden z vsemi stranicami enake dolžine) ali nepravilen. kvadrat pravilni mnogokotnik lahko izračunamo tako, da pomnožimo obseg s polmerom kroga, včrtanega v mnogokotnik, in dobljeno vrednost delimo z 2: Sn=1/2P*r, kjer je Sn ploščina mnogokotnika, P je obseg in r je polmer kroga, včrtanega mnogokotniku.
Prisekana piramida je polieder, ki ga tvorita piramida in njen presek, vzporedno z osnovo. Iskanje bočne površine piramide sploh ni težko. Zelo preprosto: ploščina je enaka zmnožku polovice vsote baz z . Oglejmo si primer izračuna bočne površine. Recimo, da imamo pravilno piramido. Dolžine baze so b = 5 cm, apotem a = 4 cm. V veliki podlagi bo enako p1=4b=4*5=20 cm. manjša osnova formula bo naslednja: p2=4c=4*3=12 cm, torej bo površina enaka: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.
Če je na dnu piramide nepravilen poligon, morate za izračun površine celotne figure poligon najprej razdeliti na trikotnike, izračunati površino vsakega in jih nato dodati. V drugih primerih, da bi našli stransko površino piramide, morate najti površino vsake od njenih stranskih ploskev in sešteti rezultate. V nekaterih primerih je naloga iskanja stranske površine piramide lažja. Če je ena stranska ploskev pravokotna na osnovo ali sta dve sosednji stranski ploskvi pravokotni na osnovo, se osnova piramide šteje za pravokotno projekcijo dela njene stranske ploskve in sta povezani s formulami.
Za dokončanje izračuna površine piramide dodajte površine stranske površine in osnove piramide.
Piramida je polieder, katerega ena ploskev (osnova) je poljuben mnogokotnik, preostale ploskve (stranice) pa so trikotniki z . Glede na število kotov so osnove piramide trikotne (tetraeder), štirikotne itd.
Piramida je polieder z osnovo v obliki mnogokotnika, preostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom. Apotem je višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha.
Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik, stranske ploskve pa so trikotniki, ki imajo eno skupno oglišče. kvadrat površine piramide enaka vsoti površin stranskih površine in razlogi piramide.
Potrebovali boste
- Papir, pero, kalkulator
Navodila
Najprej izračunamo površino stranice površine . S stransko ploskvijo razumemo vsoto vseh stranskih ploskev. Če imate opravka s pravilno piramido (to je takšno, v kateri leži pravilen mnogokotnik in je vrh projiciran v središče tega mnogokotnika), potem izračunajte celotno stransko površine dovolj je, da pomnožimo obseg baze (to je vsota dolžin vseh strani mnogokotnika, ki leži na dnu piramide) z višino stranske ploskve (drugače imenovano) in dobljeno vrednost delite z 2: Sb=1/2P*h, kjer je Sb površina stranice površine, P - obseg baze, h - višina stranske ploskve (apotem).
Če imate pred seboj poljubno piramido, boste morali izračunati ploščine vseh ploskev in jih nato sešteti. Od stranskih obrazov piramide so , uporabite formulo za ploščino trikotnika: S=1/2b*h, kjer je b osnova trikotnika, h pa višina. Ko so površine vseh ploskev izračunane, ostane le še, da jih seštejemo, da dobimo površino stranice površine piramide.
Nato morate izračunati površino baze piramide. Izbira za izračun je odvisna od tega, ali mnogokotnik leži na dnu piramide: pravilen (to je tisti, katerega stranice so enako dolge) ali. kvadrat pravilnega mnogokotnika lahko izračunate tako, da obseg pomnožite s polmerom včrtanega kroga v mnogokotnik in dobljeno vrednost delite z 2: Sn = 1/2P*r, kjer je Sn ploščina mnogokotnika, P je obseg, r pa je polmer včrtanega kroga v mnogokotnik.
Če v osnovi piramide leži nepravilen mnogokotnik, potem boste morali za izračun površine celotne figure spet razdeliti mnogokotnik na trikotnike, izračunati površino vsakega in jih nato dodati.
Za dokončanje izračuna površine površine piramide, zložite kvadratno stran površine in razlogi piramide.
Video na temo
Poligon predstavlja geometrijski lik, zgrajena z zapiranjem lomljene črte. Obstaja več vrst poligonov, ki se razlikujejo glede na število oglišč. Za vsako vrsto poligona se površina izračuna na določene načine.
Navodila
Pomnožite dolžine stranic, če želite izračunati površino kvadrata ali pravokotnika. Če morate poznati območje pravokotni trikotnik, ga zgradite v pravokotnik, izračunajte njegovo ploščino in jo razdelite z dva.
Uporabite naslednjo metodo za izračun ploščine, če lik nima več kot 180 stopinj (konveksen mnogokotnik), medtem ko so vsa njegova oglišča v koordinatni mreži in se ne seka.
Okoli takega mnogokotnika narišite pravokotnik, tako da so njegove stranice vzporedne z mrežnimi črtami (koordinatnimi osemi). V tem primeru mora biti vsaj eno od oglišč mnogokotnika oglišče pravokotnika.
Samo okrnjena ima lahko dve bazi piramide. V tem primeru je druga osnova oblikovana z odsekom, vzporednim z večjo osnovo piramide. Poiščite enega od razlogov mogoče, če je znano oz linearni elementi drugo.
Potrebovali boste
- - lastnosti piramide;
- - trigonometrične funkcije;
- - podobnost figur;
- - iskanje ploščin mnogokotnikov.
Navodila
Če je osnova navaden trikotnik, najdi kvadrat tako da pomnožite kvadrat stranice s kvadratnim korenom iz 3, deljeno s 4. Če je osnova kvadrat, dvignite njegovo stran na drugo potenco. IN splošni primer, za kateri koli pravilni mnogokotnik uporabite formulo S=(n/4) a² ctg(180º/n), kjer je n število stranic pravilnega mnogokotnika, a je dolžina njegove stranice.
Poiščite stranico manjše osnove z uporabo formule b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n). Tukaj a – večjo osnovo, h – višina prisekanega piramide, α – diedrski kot na njenem dnu, n – število stranic razlogov(enako je). Poiščite ploščino druge baze podobno kot prve, pri čemer v formuli uporabite dolžino stranice S=(n/4) b² ctg(180º/n).
Če so osnove druge vrste mnogokotnikov, so znane vse stranice enega izmed njih razlogov, in eno od stranic druge, nato izračunajte preostale stranice kot podobne. Na primer, stranice večje baze so 4, 6, 8 cm. Velika stran manjša osnovna rana 4 cm Izračunajte sorazmernostni koeficient, 4/8 = 2 (vzemite stranice v vsaki od. razlogov), ostale stranice pa izračunamo 6/2=3 cm, 4/2=2 cm Dobimo stranice 2, 3, 4 cm pri manjši osnovi stranice. Zdaj jih izračunajte kot površine trikotnikov.
Če je znano razmerje ustreznih elementov v okrnjenem, potem je razmerje površin razlogov bo enako razmerju kvadratov teh elementov. Na primer, če so upoštevne stranke znane razlogov a in a1, potem je a²/a1²=S/S1.
Pod območje piramide se običajno nanaša na področje njene stranske oz polna površina. V osnovi tega geometrijskega telesa je mnogokotnik. Stranski obrazi imajo trikotna oblika. Imajo skupno vozlišče, ki je tudi vrh piramide.
Potrebovali boste
- - list papirja;
- - pero;
- - kalkulator;
- - piramida z danimi parametri.
Navodila
Razmislite o piramidi, podani v nalogi. Ugotovite, ali je mnogokotnik na svoji osnovi pravilen ali nepravilen. Pravilni ima vse strani enake. Ploščina je v tem primeru enaka polovici produkta oboda in polmera. Poiščite obseg tako, da dolžino stranice l pomnožite s številom stranic n, to je P=l*n. Ploščino baze lahko izrazimo s formulo So=1/2P*r, kjer je P obseg, r pa polmer včrtanega kroga.
Obseg in ploščina nepravilnega mnogokotnika se izračunata drugače. Strani imajo različne dolžine. Za
Paralelepiped je štirikotna prizma s paralelogramom na dnu. Obstajajo že pripravljene formule za izračun stranskih in polna površina površine figure, za katere so potrebne le dolžine treh dimenzij paralelopipeda.
Kako najti stransko površino pravokotnega paralelopipeda
Treba je razlikovati med pravokotnim in ravnim paralelopipedom. Osnova ravne figure je lahko poljuben paralelogram. Območje takšne figure je treba izračunati z drugimi formulami.
Vsoto S stranskih ploskev pravokotnega paralelepipeda izračunamo s preprosto formulo P*h, kjer je P obseg in h višina. Slika prikazuje pravokotni paralelepiped nasprotni obrazi sta enaka, višina h pa sovpada z dolžino robov, pravokotnih na osnovo.
Površina kvadra
Skupna površina figure je sestavljena iz stranice in površine dveh baz. Kako najti območje pravokotnega paralelopipeda:
Kjer so a, b in c dimenzije geometrijskega telesa.
Opisane formule so lahko razumljive in uporabne pri reševanju številnih geometrijskih problemov. Primer tipična naloga predstavljeno na naslednji sliki.
Pri reševanju tovrstnih problemov je treba upoštevati, da je osnova štirikotna prizma je izbran naključno. Če za osnovo vzamemo ploskev z dimenzijami x in 3, bodo vrednosti Sside drugačne, Stotal pa bo ostal 94 cm2.
Površina kocke
Kocka je kvader, v katerem so vse 3 dimenzije med seboj enake. V zvezi s tem se formule za celotno in stransko površino kocke razlikujejo od standardnih.
Obseg kocke je 4a, zato je Sstran = 4*a*a = 4*a2. Ti izrazi niso potrebni za pomnjenje, vendar bistveno pospešijo reševanje nalog.
