Teorija verjetnosti. Zapiski predavanj iz teorije verjetnosti in matematične statistike

§1. Kaj preučuje teorija verjetnosti in kdaj je nastala? Koncept naključnega eksperimenta. Prostor elementarnih rezultatov. Vrste in primeri. Elementi kombinatorike. Koncept dogodka.

Zgodovinska referenca:

Zgodovinsko gledano je teorija verjetnosti nastala kot teorija iger na srečo (ruleta, kocke, karte itd.). ob koncu 17. stoletja. Začetek njenega razvoja je povezan z imeni Pascala, Bernoullija, Moivreja, Laplacea ter kasneje (začetek 19. stoletja) Gaussa in Poissona.

Prve študije o teoriji verjetnosti v Rusiji segajo v sredino 19. stoletja in so povezane z imeni tako izjemnih matematikov, kot je N.I. Lobačevski, M.V. Ostrogradski, V.Ya. Bunyakovsky (eden prvih, ki je izdal učbenik z aplikacijami v zavarovanju in demografiji).

Nadaljnji razvoj teorije verjetnosti (konec 19. in dvajseta leta 20. stoletja) je povezan predvsem z imeni ruskih znanstvenikov Čebiševa, Ljapunova in Makarova. Od 30. let 20. stoletja je ta veja matematike doživela obdobje razcveta in našla aplikacije na različnih področjih znanosti in tehnologije. V tem času so ruski znanstveniki Bernstein, Khinchin in Kolmogorov pomembno prispevali k razvoju teorije verjetnosti. Kolmogorov je leta 1933, star 30 let, predlagal aksiomatsko konstrukcijo teorije verjetnosti in vzpostavil njeno povezavo z drugimi vejami matematike (teorija množic, teorija mer, funkcionalna analiza).

Teorija verjetnosti je veja matematike, ki preučuje matematični modeli naključnih poskusov, tj. poskusi, katerih rezultatov ni mogoče nedvoumno določiti s pogoji eksperimenta. Predpostavlja se, da je sam poskus mogoče ponoviti (vsaj načeloma) poljubno število krat pod nespremenjenim nizom pogojev, rezultati poskusa pa so statistično stabilni.

Koncept naključnega eksperimenta

Primeri naključnih poskusov:

1. Enkrat vrzite kovanec.

2. Enkrat vrzite kocko.

3. Naključna izbira žoge iz žare.

4. Merjenje časa delovanja žarnice.

5. Merjenje števila prispelih klicev na PBX na časovno enoto.

Poskus je naključen, če je nemogoče napovedati rezultat ne samo prvega poskusa, pa tudi vse dlje. Izvede se na primer neka kemična reakcija, katere izid ni znan. Če ga izvedete enkrat in dobite določen rezultat, potem z nadaljnjim eksperimentiranjem pod enakimi pogoji naključnost izgine.

Tovrstnih primerov lahko navedete kolikor želite. Kakšna je skupnost poskusov z naključnimi izidi? Izkazalo se je, da kljub dejstvu, da je nemogoče napovedati rezultate vsakega od zgoraj naštetih poskusov, je v praksi zanje že dolgo opažen določen tip vzorca, in sicer: pri izvajanju velikega števila testov opazovane frekvence pojav vsakega naključnega dogodka se stabilizirajo, tiste. se vedno manj razlikujejo od določene številke, imenovane verjetnost dogodka.

Opazovana frekvenca dogodka A () je razmerje med številom pojavitev dogodka A (
) na skupno število testov (N):

Na primer pri metanju poštenega kovanca, ulomek

pri

(
-število orlov, n– skupno število metov)

Ta lastnost stabilnosti frekvence omogoča natančno napovedovanje lastnosti pojavov, povezanih z zadevno izkušnjo, ne da bi bilo mogoče napovedati izid posameznega poskusa. Zato so metode teorije verjetnosti v sodobnem življenju prodrle v vse sfere človekovega delovanja, ne le v naravoslovje, ekonomijo, ampak tudi v humanistiko, kot so zgodovina, jezikoslovje itd. Na podlagi tega pristopa statistična določitev verjetnosti.

pri
(opazovana pogostost dogodka se nagiba k njegovi verjetnosti, ko se število eksperimentov povečuje, to je z n
).

Definicija 1.1: Osnovni izid (ali elementarni dogodek) imenujemo kateri koli najenostavnejši (tj. nedeljiv v okviru dane izkušnje) rezultat eksperimenta. Množico vseh elementarnih rezultatov bomo imenovali prostor elementarnih rezultatov.

Primer konstruiranja prostora elementarnih rezultatov:

Oglejmo si naslednji naključni eksperiment: kocko vržemo enkrat, opazujemo število izpadlih točk na zgornji strani. Konstruirajmo prostor elementarnih rezultatov zanj:

Vsebuje vse možnosti, videz vsake možnosti izključuje pojav drugih, vse možnosti so nedeljive.

Prostor elementarnih rezultatov (vrste in primeri za vsako vrsto):

Razmislite o naslednjem diagramu

Diskretni prostori– to so prostori, v katerih je mogoče ločiti posamezne rezultate . V diskretnem končnem lahko natančno navedete njihovo število.

Primeri diskretnih prostorov elementarnih rezultatov

Poskus:met enega kovanca

, Kje

Lahko se vključi v izdelavo e.i. možnost, da kovanec pade na njegov rob, vendar jo izključujemo iz modela kot malo verjetno (vsak model je nek približek)

Če je kovanec pravilen, tj. Ker ima povsod enako gostoto in ne premaknjeno težišče, imata izidi "grb" in "repi" enake možnosti za pojav. Če je težišče kovanca premaknjeno, je verjetnost, da se zgodijo rezultati, drugačna.

Komentiraj: Če težava ne pove ničesar o kovancu, se domneva, da je pravilna.

Poskus:en sam met dveh kovancev.

Opomba: če sta kovanca enaka, se izida RG in GR vizualno ne razlikujeta. Enega od kovancev lahko označite z barvo in potem bodo vizualno drugačni.

Model je mogoče zgraditi na različne načine:

ali ločimo med izidi RG, GR in potem dobimo 4 var

, Kje

V tem primeru, če sta oba kovanca pravilna, imajo vse možnosti enake možnosti, da se pojavijo.

ali pa ne razlikujemo med možnostma RG in GR in potem imamo na koncu 3 možnosti.

, Kje

V tem primeru, če sta oba kovanca pravilna, ima možnost RG večjo možnost, da se pojavi kot možnosti GG in RR, ker izvaja se na dva načina: grb na prvem kovancu in rep na drugem in obratno.

Eksperiment: naključni izbor iz skupine študentov, ki jo sestavlja 20 ljudi, 5 oseba za potovanje na konferenco. Rezultat poskusa: konkretnih pet. Pri izbiri nam je pomembna le sestava, t.j. ni pomembno, koga smo izbrali prvega, koga drugega itd. pri čemer

(koliko "petic" različnih sestav lahko dobimo od 20 ljudi) (faktorial)

Odgovor na to vprašanje spet daje veda kombinatorika.

(

Vseh 15504 možnosti imajo enake možnosti za nastop, saj izbira je naključna.

Eksperiment: naključni izbor iz skupine študentov, ki jo sestavlja 20 ljudi, 5 ljudi prejme bonuse različnih zneskov. Rezultat poskusa: določena urejena peterica. Pri izbiri nam ni pomembna samo sestava, ampak tudi vrstni red izbire, saj Velikost bonusa je odvisna od tega, kako je oseba izbrana.

1860480 ( koliko naročenih različnih petic lahko dobi 20 oseb).

Odgovor na to vprašanje spet daje veda kombinatorika.

(

Vse 1860480 možnosti enake možnosti za pojav, saj izbira je naključna.

Jasno je, da bo več urejenih petic kot neurejenih, ker pri isti sestavi je lahko več vrst vrstnega reda: v tem primeru je v vsaki sestavi 5 oseb možnih 120 različnih vrst vrstnega reda.

ELEMENTI KOMBINATORIKE

Splošno pravilo množenja:

Naj se bo treba zavezatimneodvisna dejanja, prvo dejanje pa je mogoče izvesti načine, drugi - načine itd. ….m-to dejanje
načine. Nato je mogoče izvesti celotno zaporedje dejanj

načine

Preureditve.

Permutacija iznelementi vsaka urejena množica teh elementov se imenuje.

-število permutacij n elementov

Pojasnilo: Prvi element lahko izberete na n načinov, drugega na n-1 način itd. zadnji element se izvede na en način, množijo pa se po pravilu posplošenega množenja

Umestitve.

Namestitev odnAvtor:m imenovano katera koli naročen komplet m elementov, naključno izbranih iz populacije, ki vsebuje n elementov (m

Število postavitev n elementov po m (število možnosti za tako urejeno izbiro).

Pojasnilo: Prvi element lahko izberete na n načinov, drugega na n-1 način itd. , in se množijo po pravilu posplošenega množenja.

Kombinacije.

KombinacijanAvtor:m imenovano katera koli neurejen niz m elementov, naključno izbranih iz populacije, ki vsebuje n elementov.

Kombinacije in umestitve so povezane na naslednji način:

(za vsako kompozicijo m elementov imamo m! urejenih množic). torej

število kombinacij n elementov od m (število možnosti za takšno neurejeno izbiro

Primer zveznega prostora elementarnih rezultatov

Poskus: dve osebi se dogovorita na določenem mestu med 12. in 13. uro, vsaka pa lahko kadar koli pride v ta čas. Sledimo trenutkom njihovega prihoda. Vsaka možnost za prihod 2 oseb je točka iz kvadrata s stranico 60 (ker je v eni uri 60 minut).

(prvi lahko pride ob 12. uri x minut, drugi ob 12. uri y minut). Vseh točk v kvadratu je mogoče prešteti in preštevilčiti. To je njegova kontinuirana struktura in zato v tem eksperimentu kontinuiran prostor elementarnih izidov.

Dogodki in operacije na njih:

Opredelitev 1.2

Kaj niz elementarnih izidov imenujemo dogodek. Z dogodki so označeni z velikimi latiničnimi črkami A, B, C ali črkami z indeksi A 1, A 2, A 3 itd.

Pogosto se uporablja naslednja terminologija: pravijo, da se je dogodek A zgodil (ali se je zgodil), če se je kot posledica izkušnje pojavil kateri koli od osnovnih izidov.
.

Primeri dogodkov

Vrnimo se k poskusu metanja kocke. Razmislite o naslednjih dogodkih:

A=(vrti sodo število točk)

B=(vrti liho število točk)

C=(premetavanje števila točk, ki je večkratnik 3)

Potem, v skladu z prej uvedenim zapisom,

Opredelitev 1.3

Dogodek, sestavljen iz vseh elementarnih izidov, tj. imenujemo dogodek, ki se nujno pojavi v dani izkušnji zanesljiv. Določeno je
kot tudi prostor elementarnih izidov.

Primer zanesljivega dogodka: Pri metu kocke se ne prikaže več kot 6 točk oziroma pri metu kocke se pojavi vsaj ena točka.

Opredelitev 1.4

Dogodek, ki ne vsebuje niti enega elementarnega izida, tj. dogodek, ki se nikoli ne zgodi v dani izkušnji, imenujemo nemogoč. Označena je s simbolom  .

Primer nemogočega dogodka: Pri metu dveh kock bo skupno število vrženih točk 20.

Delovanje na dogodkih:

stavek, se je zgodil vsaj eden od dogodkov A ali B).

Opredelitev 1.5 Dogodka A in B se imenujeta nezdružljivo,če je njuno presečišče nemogoč dogodek, tj. AB=  .

Primer naloge o operacijah nad dogodki:

V tarčo se izstrelijo trije streli. Upoštevajte dogodke

(Zadetek z i-tim strelom), i=1..3

Z uporabo teoretičnih operacij izrazite naslednje dogodke z dogodki A i:

A=(trije zadetki)=

B=(trije zgrešeni)=

C=(vsaj en zadetek)=

D=(vsaj ena napaka)=

E=(vsaj dva zadetka)=
+
+
+

F=(ne več kot en zadetek)=
++
+

G=(zadeti tarčo ne prej kot tretji strel)=

Ideja: naslednje bodo naloge te vrste: verjetnosti dogodkov so podane in ob poznavanju teh verjetnosti je potrebno najti verjetnosti dogodkov A, B, C, D, E, F, G

§2. POJEM VERJETNOSTI

Za kvantitativno primerjavo možnosti, da se dogodki zgodijo, je uveden koncept verjetnosti.

Opredelitev 2.1 Naj vsak dogodek A dostavljeno v skladuštevilo p(A). Pokliče se numerična funkcija P verjetnost ali verjetnostna mera, če izpolnjuje naslednje aksiome:

Aksiom nenegativnosti

Aksiom normalizacije

Aksiom seštevanja (razširjeno) nekateri se preučujejo naključen dogodek ...

1. POGLAVJE TEORIJA VERJETNOSTI

Verjetnostni poskus. Predmet in naloge teorije verjetnosti.

Rezultati katerega koli poskusa so v eni ali drugi meri odvisni od nabora pogojev S, pod katerimi se izvaja poskus. Ti pogoji objektivno obstajajo ali pa so ustvarjeni umetno (tj. poskus je načrtovan).

Glede na stopnjo odvisnosti rezultatov eksperimenta od pogojev, pod katerimi je bil izveden, lahko vse poskuse razdelimo v dva razreda: deterministične in verjetnostne.

o Deterministični poskusi - To so poskusi, katerih rezultate je mogoče predvideti vnaprej na podlagi naravoslovnih zakonov, ki temeljijo na danem nizu pogojev S.

Primer determinističnega poskusa je določitev pospeška, ki ga prejme telo z maso m pod vplivom sile F, tj. želena vrednost je enolično določena z nizom eksperimentalnih pogojev (tj. masa telesa m in sila F).

Deterministični so na primer vsi procesi, ki temeljijo na uporabi zakonov klasične mehanike, po katerih je gibanje telesa enolično določeno z danimi začetnimi pogoji in silami, ki delujejo na telo.

o Verjetnostni poskusi (stohastični ali naključni) - poskusi, ki jih je mogoče ponoviti poljubno število krat pod enakimi stabilnimi pogoji, vendar je za razliko od determinističnega eksperimenta izid verjetnostnega eksperimenta dvoumen in naključen. Tisti. Nemogoče je predvideti rezultat verjetnostnega poskusa, ki temelji na nizu pogojev S. Vendar, če se verjetnostni poskus večkrat ponovi pod enakimi pogoji, potem celota izidov takih poskusov sledi določenim vzorcem. Teorija verjetnosti preučuje te vzorce (ali bolje rečeno njihove matematične modele). Naj navedemo nekaj primerov verjetnostnih eksperimentov, ki jih bomo v prihodnje preprosto imenovali eksperimenti.

Primer 1

Naj bo poskus sestavljen iz enkratnega metanja simetričnega kovanca. Ta poskus se lahko konča z enim od medsebojno izključujočih se rezultatov: izpad grba ali rešetke (repov). Če natančno poznate začetne hitrosti translacijskega in rotacijskega gibanja ter začetni položaj kovanca v trenutku metanja, lahko predvidite rezultat tega poskusa v skladu z zakoni klasične mehanike. Tisti. bilo bi deterministično. Vendar začetnih podatkov poskusa ni mogoče popraviti in se nenehno spreminjajo. Zato pravijo, da je rezultat poskusa dvoumen, naključen. Če pa isti simetrični kovanec večkrat vržemo po dovolj dolgi trajektoriji, tj. če je mogoče, če ohranjamo določene pogoje eksperimenta stabilne, potem je skupno število njegovih izidov podvrženo določenim vzorcem: relativna pogostost izpadanja grba, pogostost metov (n je število metov, m 1 je številka izpadajočega grba, m 2 je rep).

Primer 2

Predpostavimo, da izpolnjujemo karto športnega lota. Pred zmagovalnim žrebom je nemogoče napovedati, koliko številk bo pravilno uganjenih. Izkušnje pri žrebanju športnega lota pa kažejo, da povprečni odstotek igralcev, ki so uganili m (1≤m≤6) številk, niha okoli določene konstantne vrednosti. Ti »vzorci« (povprečni odstotek pravilnega uganjanja določenega števila številk) se uporabljajo za izračun dobitkov.

Verjetnostni poskusi imajo naslednje skupne lastnosti: nepredvidljivost rezultata; prisotnost določenih kvantitativnih vzorcev, ko se večkrat ponovijo pod enakimi pogoji; veliko možnih rezultatov.

o Predmet teorije verjetnosti je kvantitativna in kvalitativna analiza matematičnih modelov verjetnostnih eksperimentov, imenovana statična obdelava eksperimentalnih podatkov.

o Teorija verjetnosti - veda, ki se ukvarja z analizo matematičnih modelov za odločanje v pogojih negotovosti.

Dogodki in operacije na njih.

Relativne frekvence in njihove lastnosti

Primarni koncept teorije verjetnosti, ki ni definiran z drugimi koncepti, je prostor elementarnih rezultatov Ω. Običajno se kot prostor elementarnih rezultatov vzamejo edini možni nerazgradljivi rezultati eksperimenta.

Primer

1. Recimo, da je vržen simetričen kovanec. Nato (grb in rep).

2. Kocke .

3. Vržena sta dva kovanca.

4. Vrženi sta dve kocki. Število elementarnih rezultatov je 36.

5. Točka je naključno vržena na številsko os w.

6. Vrženi sta dve točki.

l

Opredelitev. Dogodek je poljubna podmnožica A prostora elementarnih rezultatov Ω. Tisti osnovni rezultati, ki sestavljajo dogodek A, se imenujejo ugodno dogodek A.

Za dogodek A pravimo, da se je zgodil, če se kot rezultat poskusa pojavi elementarni rezultat w A, tj. ugoden dogodek A.

Poglejmo primer 2. , – dogodek sestavljen iz lihega števila točk; – dogodek, sestavljen iz sodega števila točk.

o Pokličemo celoten prostor elementarnih izidov Ω, če ga vzamemo kot dogodek zanesljiv dogodek, saj se pojavi v vsakem poskusu (vedno).

o Pokliče se prazna množica (tj. množica, ki ne vsebuje niti enega osnovnega izida). nemogoče dogodek, ker se nikoli ne zgodi.

Pokličejo se vsi ostali dogodki, razen Ω in naključen.

Operacije na dogodkih

0.1 Znesek dogodka A in B imenujemo unija teh množic A B.

– dogodek, ki se zgodi, če in samo če se zgodi vsaj eden od dogodkov A ali B.

0.2 Delo dogodkov A in B imenujemo presečišče množic A in B, tj. A B. Označeno kot AB.

AB je dogodek, ko se zgodita A in B hkrati.

0.3 Z razliko dogodka A in B imenujemo razlika množic A\B.

A\B je dogodek, ki se zgodi<=>ko se A zgodi in B se ne zgodi.

o Pokličeta dogodka A in B nezdružljivo, Če . Če sta A in B nekompatibilna, bomo označili .

o Za dogodek A velja, da vključuje dogodek B, če je A podmnožica B, tj. (ko se zgodi A, se zgodi B).

o Dogodek se imenuje nasprotje na dogodek A.

Primer 2. . se zgodi, ko se A ne pojavi.

o Pravijo, da dogodki Н 1 , Н 2 ,…, Н n tvorijo popolno skupino, če je Н 1 +Н 2 +…+Н n =Ω (tj. Н 1 , Н 2 , Н n so nekompatibilni, tj. Н i Н j = če i≠j).

Na primer A in tvorita popolno skupino: .

Predpostavimo, da je izveden nek naključni poskus, katerega rezultat je opisan s prostorom Ω. Izvedimo N poskusov. Naj bo A nek dogodek (), N(A) bo število tistih poskusov, v katerih se je zgodil dogodek A.

Potem številka klical relativna pogostost dogodka A.

Aksiomi teorije verjetnosti

Naj bo Ω prostor elementarnih rezultatov. Recimo, da je F nek razred podmnožic Ω.

o Dogodek je podmnožica Ω, ki pripada razredu F. Vsak dogodek je povezan z realnim številom P(A), imenovanim verjetnost A , zato so aksiomi izpolnjeni:

Aksiom 1.

Aksiom 2., tiste. verjetnost določenega dogodka je 1.

Aksiom 3.(štetna aditivnost) Če in , potem (za nezdružljive dogodke).

Elementi kombinatorike

Lema 1. Iz m elementov a 1 ,…,a m prve skupine in n elementov b 1 ,…,b n druge skupine je mogoče sestaviti točno m∙n urejenih parov oblike (a i , b j ), ki vsebujejo en element iz vsake skupine.

Dokaz:

Skupaj imamo m∙n parov.

Primer. V kompletu so 4 barve (srce, pik, palica, karo), vsaka barva ima 9 kart. Skupaj n=4∙9=36.

Lema 2. Iz n 1 elementov prve skupine a 1, a 2,… in n 1,

n 2 elementa druge skupine b 1, b 2,…, b n 2,

n 3 elementi k-te skupine x 1 , x 2 ,…, x nk

možno je sestaviti točno n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k različnih urejenih kombinacij oblike , ki vsebujejo en element iz vsake skupine.

1. Za k=2 je trditev resnična (lema 1).

2. Recimo, da lema 2 velja za k. Dokažimo za k+1 skupino elementov. Razmislite o kombinaciji tako dobro, kot . Predpostavka omogoča izračun števila kombinacij k elementov, njihovih n 1 n 2 n k . V skladu z lemo 1 je število kombinacij k+1 elementov n 1 n 2 … n k +1.

Primer. Pri metu dveh kock N=6∙6=36. Pri metu treh kock N=6∙6∙6=216.

Geometrijske verjetnosti

Recimo, da je na številski premici določen odsek in je na tem odseku naključno vržena točka. Poiščite verjetnost, da bo ta točka padla na .

-geometrijska verjetnost na premici.

Naj bo ravninski lik g del ravninskega lika G. Na lik G je naključno vržena točka. Verjetnost, da točka pade na sliko g, je določena z enakostjo:

-geometrijska verjetnost na ravnini.

Naj je v prostoru lik v, ki je del lika V. Na lik V je naključno vržena točka. Verjetnost, da točka pride na sliko v, je določena z enakostjo:

-geometrijska verjetnost v prostoru.

Pomanjkljivost klasične definicije verjetnosti je, da ni uporabna za poskuse z neskončnim številom rezultatov. Da bi odpravili to pomanjkljivost, uvajajo geometrijske verjetnosti.

Lastnosti verjetnosti

Lastnost 1. Verjetnost nemogočega dogodka je 0, tj. . .

Lastnost 2. Verjetnost zanesljivega dogodka je 1, tj. , .

Nepremičnina 3. Za vsak dogodek. , Ker , potem in torej .

Lastnina 4.Če sta dogodka A in B nezdružljiva, potem je verjetnost vsote enaka vsoti verjetnosti:

Naključne spremenljivke

o Naključna spremenljivka X je funkcija X(w), ki preslika prostor elementarnih rezultatov Ω v množico realnih števil R.

Primer. Dvakrat naj se vrže kovanec. Potem.

Oglejmo si naključno spremenljivko X – število pojavitev grba na prostoru elementarnih izidov Ω. Množica možnih vrednosti naključne spremenljivke je: 2,1,0.

Množica vrednosti naključne spremenljivke je označena z Ω x. Ena od pomembnih značilnosti naključne spremenljivke je porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke.

o Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke X imenujemo funkcija F(x) realne spremenljivke x, ki določa verjetnost, da bo naključna spremenljivka X kot rezultat poskusa zavzela vrednost, manjšo od določenega fiksnega števila x.

Če obravnavamo X kot naključno točko na osi x, potem je F(x) z geometrijskega vidika verjetnost, da bo naključna točka X kot rezultat poskusa padla levo od točke x.

Najenostavnejši tok dogodkov.

Oglejmo si dogodke, ki se zgodijo ob naključnih trenutkih.

o Tok dogodkov pokličite zaporedje dogodkov, ki se zgodijo ob naključnih trenutkih.

Primeri tokov so: prihod klicev na telefonsko centralo, na postajo nujne medicinske pomoči, prihod letala na letališče, prihod strank v podjetje za potrošniške storitve, zaporedje okvar elementov in mnogi drugi.

Med lastnostmi, ki jih lahko imajo tokovi, izpostavljamo lastnosti stacionarnosti, odsotnosti posledic in navadnosti.

o Tok dogodkov se imenuje stacionarni, če je verjetnost pojava k dogodkov v časovnem obdobju trajanja t odvisna samo od k in t.

Tako je za lastnost stacionarnosti značilno, da je verjetnost pojava k dogodkov v katerem koli časovnem intervalu odvisna samo od števila k in od trajanja t intervala in ni odvisna od začetka njegovega štetja; v tem primeru se domneva, da so različni časovni intervali nepovezani. Na primer, verjetnosti pojava k dogodkov na časovnih intervalih (1, 7), (10, 16), (T, T+6) enakega trajanja t=6 časovnih enot so med seboj enake.

o Tok dogodkov se imenuje vsakdanji, če se v neskončno majhnem časovnem obdobju ne more zgoditi več kot en dogodek.

Za lastnost navadnosti je torej značilno, da je pojav dveh ali več dogodkov v kratkem času praktično nemogoč. Z drugimi besedami, verjetnost, da se zgodi več kot en dogodek hkrati, je praktično enaka nič.

o Tok dogodkov naj bi imel lastnost brez posledic, če obstaja medsebojna neodvisnost pojavov enega ali drugega števila dogodkov v časovnih intervalih, ki se ne prekrivajo. Tako je za lastnost brez posledic značilno dejstvo, da verjetnost pojava k dogodkov v katerem koli časovnem intervalu ni odvisna od tega, ali so se dogodki pojavili ali ne v točkah v času pred začetkom obravnavanega obdobja. Z drugimi besedami, pogojna verjetnost pojava k dogodkov v katerem koli časovnem obdobju, izračunana ob poljubni predpostavki o tem, kaj se je zgodilo pred začetkom zadevnega obdobja (tj. koliko dogodkov se je pojavilo, v kakšnem zaporedju), je enaka do brezpogojne verjetnosti. Posledično zgodovina toka ne vpliva na verjetnost dogodkov, ki se zgodijo v bližnji prihodnosti.

o Tok dogodkov se imenuje najpreprostejši ali Poisson, če je mirujoča, navadna, brez posledic.

o Jakost toka λ je povprečno število dogodkov, ki se zgodijo na časovno enoto.

Če je znana konstantna intenzivnost toka, potem je verjetnost pojava k dogodkov najpreprostejšega toka v časovnem obdobju trajanja t določena s formulo:

, . Poissonova formula.

Ta formula odraža vse lastnosti najpreprostejšega toka, zato jo lahko štejemo za matematični model najpreprostejšega toka.

Primer. Povprečno število prejetih klicev na PBX na minuto je dva. Poiščite verjetnost, da boste v 5 minutah prejeli: a) dva klica; b) manj kot dva klica; c) vsaj dva klica. Potek klica naj bi bil preprost.

Po pogoju λ=2, t=5, k=2. Po Poissonovi formuli

A) - ta dogodek je praktično nemogoč.

B) - dogodek je praktično nemogoč, ker dogodka »ni prejetih klicev« in »en prejeti klic« nista združljiva.

B) - ta dogodek je skoraj gotov.

Lastnosti disperzije.

Lastnost 1. Varianca konstantne vrednosti C je 0.DC=0.

Lastnost 2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo:

Nepremičnina 3. Varianca vsote dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc teh spremenljivk:

Posledica. Varianca vsote več neodvisnih slučajnih spremenljivk je enaka vsoti varianc teh spremenljivk.

2. izrek. Varianca števila pojavitev dogodka A v n neodvisnih poskusih, pri vsakem od katerih je verjetnost p pojava dogodka konstantna, je enaka produktu števila poskusov in verjetnosti pojava in ne- nastop dogodka v enem poskusu: .

Naključna spremenljivka X je število pojavitev dogodka A v n neodvisnih poskusih. , kjer je X i število pojavov dogodkov v i-tem poskusu, ki so med seboj neodvisni, ker rezultat vsakega poskusa je neodvisen od rezultatov drugih.

Ker MX 1 = str. , to . Očitno je tudi varianca preostalih naključnih spremenljivk enaka pq, od koder je .

Primer. Izvede se 10 neodvisnih poskusov, pri vsakem od njih je verjetnost, da se zgodi dogodek, 0,6. Poiščite varianco naključne spremenljivke X – število pojavitev dogodka v teh poskusih.

n=10; p=0,6; q=0,4.

o Začetni trenutek urejenosti naključnih spremenljivk X se imenuje matematično pričakovanje naključne spremenljivke X k:

. Še posebej, , .

Z uporabo teh točk dobimo formulo za izračun variance lahko zapišemo takole: .

Poleg trenutkov naključne spremenljivke X je priporočljivo upoštevati tudi trenutke odstopanja X-XM.

o Centralni moment reda k naključna spremenljivka X se imenuje matematično pričakovanje vrednosti (X-MX) k.

. Še posebej

Zato,.

Na podlagi definicije osrednjega momenta in z uporabo lastnosti matematičnega pričakovanja lahko dobimo formule:

Trenutki višjega reda se redko uporabljajo.

Komentiraj. Zgoraj opredeljeni trenutki se imenujejo teoretično. V nasprotju s teoretičnimi trenutki se imenujejo trenutki, ki so izračunani iz opazovalnih podatkov empirično.

Sistemi naključnih spremenljivk.

o Vektor, kjer -naključne spremenljivke imenujemo n- dimenzionalni naključni vektor.

Tako naključni vektor preslika prostor elementarnih izidov Ω→IR n v n-dimenzionalni realni prostor IR n.

o Funkcija

Poklican funkcija naključne vektorske porazdelitve oz distribucijska funkcija sklepa naključne spremenljivke.

Lastnina 4.

o Pokliče se naključni vektor diskretna, če so vse njegove komponente diskretne naključne spremenljivke.

o Naključni vektor klical neprekinjeno, če obstaja nenegativna funkcija, imenujemo porazdelitvena gostota naključnih spremenljivk, tako da porazdelitvena funkcija .

Korelacijske lastnosti.

Lastnost 1. Absolutna vrednost korelacijskega koeficienta ne presega enote, tj. .

Lastnost 2. Da bi bilo potrebno in zadostno, da sta naključni spremenljivki X in Y povezani z linearnim razmerjem. Tisti. z verjetnostjo 1.

Nepremičnina 3.Če so naključne spremenljivke neodvisne, potem so nekorelirane, tj. r=0.

Naj sta X in Y neodvisna, potem po lastnosti matematičnega pričakovanja

o Poklicani sta dve naključni spremenljivki X in Y korelirano, če je njihov korelacijski koeficient različen od nič.

o Naključni spremenljivki X in Y se imenujeta nekoreliraniče je njihov korelacijski koeficient 0.

Komentiraj. Korelacija dveh naključnih spremenljivk implicira njuno odvisnost, vendar odvisnost še ne implicira korelacije. Iz neodvisnosti dveh naključnih spremenljivk sledi, da sta nekorelirani, iz nekorelacije pa še vedno ni mogoče sklepati, da sta ti spremenljivki neodvisni.

Korelacijski koeficient označuje nagnjenost naključnih spremenljivk k linearni odvisnosti. Večja kot je absolutna vrednost korelacijskega koeficienta, večja je težnja k linearni odvisnosti.

o Koeficient asimetrije naključna spremenljivka X je število

Predznak koeficienta asimetrije označuje desno ali levo stransko asimetrijo.

o Kurtoza naključne spremenljivke X je število.

Označuje gladkost porazdelitvene krivulje glede na običajno porazdelitveno krivuljo.

Generiranje funkcij

o Pod celo število Z naključno spremenljivko mislimo na diskretno naključno spremenljivko, ki ima lahko vrednosti 0,1,2,...

Torej, če je naključna spremenljivka X celo število, potem ima porazdelitveni niz

Njena tvorna funkcija se imenuje funkcija

x-kvadratna porazdelitev

Naj sta X i normalni neodvisni naključni spremenljivki in je matematično pričakovanje vsake od njih enako nič, standardni odklon (ali varianca) pa je enak ena. Nato vsota kvadratov teh količin porazdeljena po zakonu X 2 s k=n prostostnimi stopnjami. Če so te vrednosti X i povezane z enim linearnim razmerjem, na primer, potem je število stopenj svobode k = n-1.

Gostota te porazdelitve je , kjer je -gama funkcija; zlasti G(n+1)=n!

To kaže, da porazdelitev "x in kvadrat" določa en parameter - število prostostnih stopinj k. Z večanjem števila svobodnih stopenj se porazdelitev počasi približuje normalni.

Distribucija študentov

Naj bo Z-normalno porazdeljena količina in M(Z)=0, G 2 =1, tj. Z~N(0,1), V pa je količina, neodvisna od Z, ki je porazdeljena po zakonu X 2 s k prostostnimi stopnjami. Nato ima količina porazdelitev, ki jo imenujemo t-porazdelitev ali Studentova porazdelitev (psevdonim angleškega statistika W. Gosseta), s k prostostnimi stopnjami. Ko se število prostostnih stopinj poveča, se Studentova porazdelitev hitro približa normalni.

Gostota porazdelitve naključne spremenljivke t ima obliko , .

Naključna spremenljivka t ima matematično pričakovanje Mt=0, (k>2).

Fisherjeva distribucija

Če sta U in V neodvisni naključni spremenljivki, porazdeljeni po zakonu X 2 s prostostnima stopnjama k 1 in k 2 , potem ima vrednost Fisherjevo porazdelitev F s prostostnima stopnjama k 1 in k 2 . Gostota te porazdelitve , Kje

.

Fisherjeva porazdelitev F je določena z dvema parametroma – številom prostostnih stopinj.

Značilne funkcije

0. 1 Naključna spremenljivka, kjer je i imaginarna enota, tj. , X in Y pa sta realni naključni spremenljivki, se imenuje kompleksno vrednoten naključna spremenljivka. (i 2 = –1).

0. 2 Matematično pričakovanje naključne spremenljivke Z s kompleksnimi vrednostmi se imenuje . Vse lastnosti matematičnega pričakovanja ostajajo veljavne za naključne spremenljivke s kompleksnimi vrednostmi.

0. 3 Slučajni spremenljivki Z 1 =X 1 +iY 1 in Z 2 =X 2 +iY 2 se imenujeta neodvisni, če sta neodvisni.

Zakoni velikih števil

Naključne funkcije

o Naključna funkcija je funkcija X(t), katere vrednost je za poljubno vrednost argumenta t naključna spremenljivka.

Z drugimi besedami, naključna funkcija je funkcija, ki lahko kot rezultat poskusa zavzame eno ali drugo specifično obliko, čeprav vnaprej ni znano, katero.

o Posebna oblika, ki jo naključna spremenljivka prevzame kot rezultat poskusa, se imenuje izvajanje naključne funkcije.

Ker v praksi je argument t najpogosteje začasen, takrat se drugače pokliče naključna funkcija naključni proces.

Slika prikazuje več izvedb naključnega procesa.

Če popravimo vrednost argumenta t, se bo naključna funkcija X(t) spremenila v naključno spremenljivko, ki jo imenujemo presek naključne funkcije, ki ustreza času t. Predpostavili bomo, da je porazdelitev preseka zvezna. Potem je X(t) za dani t določen z gostoto porazdelitve p(x; t).

Očitno p(x; t) ni izčrpna značilnost naključne funkcije X(t), saj ne izraža odvisnosti med odseki X(t) v različnih časih t. Bolj popoln opis daje funkcija - skupna gostota porazdelitve sistema slučajnih spremenljivk , kjer sta t 1 in t 2 poljubni vrednosti argumenta t naključne funkcije. Še popolnejšo karakterizacijo naključne funkcije X(t) bo podala združljiva gostota porazdelitve sistema treh naključnih spremenljivk itd.

o Pravijo, da naključen proces ima naročilo št, če je popolnoma določena z gostoto kompatibilne porazdelitve n poljubnih odsekov procesa, tj. sistem n naključnih spremenljivk, kjer je X(t i) presek procesa, ki ustreza trenutku časa t i, vendar ni določen s podajanjem skupne porazdelitve manj kot n števila presekov.

o Če gostota skupne porazdelitve poljubnih dveh prerezov procesa popolnoma določa, potem se tak proces imenuje Markovskega.

Naj obstaja naključna funkcija X(t). Naloga se pojavi, da ga opišemo z uporabo ene ali več nenaključnih značilnosti. Kot prvi izmed njih je naravno prevzeti funkcijo -matematično pričakovanje naključnega procesa. Drugi se šteje za standardni odklon naključnega procesa.

Te značilnosti so nekatere funkcije t. Prva od teh je povprečna trajektorija za vse možne izvedbe. Drugi označuje možno širjenje realizacij naključne funkcije okoli povprečne trajektorije. Vendar te lastnosti niso dovolj. Pomembno je poznati odvisnost količin X(t 1) in X(t 2). To odvisnost je mogoče označiti s korelacijsko funkcijo ali korelacijskim momentom.

Naj obstajata dva naključna procesa, katerih več izvedb je prikazanih na slikah.

Ti naključni procesi imajo približno enaka matematična pričakovanja in standardna odstopanja. Vendar so to različni procesi. Vsaka izvedba za naključno funkcijo X 1 (t) počasi spreminja svoje vrednosti s spremembo t, česar pa ne moremo reči o naključni funkciji X 2 (t). Za prvi proces bo odvisnost med prerezi X 1 (t) in večja kot odvisnost za prereze X 2 (t) in drugi proces, tj. zmanjšuje počasneje kot , z naraščajočim Δt. V drugem primeru proces hitreje »pozabi« svojo preteklost.

Oglejmo si še lastnosti korelacijske funkcije, ki izhajajo iz lastnosti korelacijskega momenta para naključnih spremenljivk.

Lastnost 1. Lastnost simetrije.

Lastnost 2.Če naključni funkciji X(t) dodamo nenaključni člen, se korelacijska funkcija ne bo spremenila, tj. .

Izvedba načrtovanega dejanja, ki vodi do določenega rezultata, se imenuje poskus (izkušnja). Če je na podlagi pogojev, ki opisujejo poskus, njegov rezultat predvidljiv, potem je takšen poskus deterministični. (Primer: navzgor vržen kamen bo zagotovo padel. Dvig življenjskega standarda povzroči povečanje porabe dobrin. Okvara sistemske enote onemogoči računalnik.)

Poskus se upošteva naključen, če se lahko konča s katerim koli od določenega niza znanih rezultatov, vendar je pred izvedbo poskusa nemogoče reči, kateri. TV raziskuje prav naključne eksperimente ali bolje rečeno modele poskusi z naključnimi rezultati. V tem primeru se upoštevajo samo tisti poskusi, ki jih je mogoče ponoviti (reprodukovati) pod nespremenjenim nizom pogojev poljubno število krat (vsaj teoretično). Bomo razmislili dogodek kot rezultat testa. Primeri:1. Strelec strelja v tarčo, razdeljeno na več delov. Strel je preizkus, zadetek v določeno področje tarče je dogodek. 2. Odstranjevanje žoge iz žare je preizkušnja; pojav krogle določene barve je dogodek. 3. Opravljen izpit je test (naključni poskus), prejeti oceno je dogodek.

Konec dela -

Ta tema spada v razdelek:

Zapiski predavanj iz teorije verjetnosti in matematične statistike

In matematična statistika.. Za specialnost Upravljanje informacijskih virov..

Če potrebujete dodatno gradivo o tej temi ali niste našli tistega, kar ste iskali, priporočamo iskanje v naši bazi del:

Kaj bomo naredili s prejetim materialom:

Če vam je bilo to gradivo koristno, ga lahko shranite na svojo stran v družabnih omrežjih:

Vse teme v tem razdelku:

Predmet teorije verjetnosti in matematične statistike ter njuna vloga v ekonomiji in managementu
Teorija verjetnosti je poseben del predmeta višje matematike, ki se ukvarja s proučevanjem matematičnih vzorcev masovnih homogenih naključnih pojavov. Moral bi

Prostor elementarnega dogajanja
Naj se kot rezultat testa pojavi en in samo eden od dogodkov dogodka

Skupni in neskupni dogodki
Dva dogodka se imenujeta skupna v dani izkušnji, če pojav enega od njiju ne izključuje pojava drugega. Primeri: zadeti neuničljivo tarčo d

Lastnosti dogodkovnih operacij
Nekatere lastnosti operacij na dogodkih so postulirane, druge je mogoče enostavno pridobiti z uporabo Vennovih diagramov. Brez dokazov predstavljamo glavne od teh lastnosti.

Algebra in sigma algebra dogodkov
Naj bo prostor vseh elementarnih izidov za nek naključni eksperiment, katerega vsak rezultat ustreza

Izrek. Enakovredni dogodki imajo enake verjetnosti, tj. če, potem
Dokaz. Pravzaprav je vsak elementarni izid dogodka prav tako elementaren

Statistična določitev verjetnosti dogodka. Primeri neenakih izidov
Klasična definicija verjetnosti ima omejeno uporabnost. Zato je nesprejemljivo, če rezultati testa niso enako mogoči. V mnogih primerih je bolj priročno

Geometrijske verjetnosti
Da bi odpravili pomanjkljivost klasične definicije verjetnosti, povezano z njeno neuporabnostjo za teste z neskončnim številom rezultatov, je uveden koncept geometrijske verjetnosti.

Aksiomatska konstrukcija teorije verjetnosti
Konstrukcija logično popolne teorije verjetnosti temelji na aksiomatski definiciji naključnega dogodka in njegove verjetnosti. V sistemu aksiomov, ki ga je predlagal A.N. Kolmogorov, osnovno izobraževanje

Celotna skupina dogodkov
Niz parno nezdružljivih dogodkov se imenuje popolna skupina dogodkov, če se bo za kateri koli rezultat naključnega poskusa zagotovo zgodil eden od dogodkov, vključenih v ta niz.

Pogojna verjetnost
V mnogih primerih je verjetnost, da se bodo nekateri dogodki zgodili, odvisna od tega, ali se je zgodil drug dogodek ali ne. Verjetnost dogodka, izračunajte

Formula za seštevanje verjetnosti
Izrek: Verjetnost vsote končnega števila nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov.

Izrek: Verjetnost zmnožka končnega števila dogodkov, ki so neodvisni v množici, je enaka zmnožku verjetnosti teh dogodkov
. Naj ponazorimo razliko v uporabi formul za verjetnost pojava dogodkov za odvisne in neodvisne

Formula skupne verjetnosti
Naj se dogodek zgodi samo z enim od nekompatibilnih dogodkov

Bayesova formula
Naj se dogodek zgodi istočasno z enim od nekompatibilnih dogodkov

Pravila vsote in zmnožka
Pravilo vsote - če je element a mogoče izbrati na več načinov in element b na m načinov, potem je eden od teh

Primer nedosledne verjetnosti dogodka v poskusih
Predpostavili smo, da je verjetnost dogodka v vsakem poskusu konstantna. V praksi pogosto naletimo na bolj zapleten primer, ko se eksperimenti izvajajo v neodimu.

Koncept toka dogodkov
Poissonova formula se uporablja v teoriji čakalnih vrst. Lahko ga obravnavamo kot matematični model najpreprostejšega toka dogodkov z intenzivnostjo

Dogodki z uporabo funkcij in gostoto porazdelitve
Eden najpomembnejših pojmov v teoriji verjetnosti je koncept naključne spremenljivke. Naključna vrednost je vrednost, ki bo kot rezultat testiranja vzela eno

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke
Ujemanje med vsemi možnimi vrednostmi diskretne naključne spremenljivke in njihovimi verjetnostmi, tj. zbirka parov številk ()

Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke in njene lastnosti
Kot smo že omenili, lahko diskretno naključno spremenljivko določimo s seznamom vseh možnih vrednosti in njihovih verjetnosti. Ta metoda ni uporabna za zvezne naključne spremenljivke, ker je nemogoča

Lastnosti porazdelitvene funkcije
Naj predstavimo številne lastnosti porazdelitvene funkcije, ki neposredno izhajajo iz njene definicije. 1. Funkcija porazdelitve vzame vrednosti iz intervala

Lastnosti gostote verjetnosti
1. Dejansko, ker je distribucijska funkcija nepadajoča funkcija, torej

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke
Matematično pričakovanje označuje povprečno pričakovano vrednost naključne spremenljivke, tj. približno enaka njegovi povprečni vrednosti (verjetnostni pomen matematičnega pričakovanja). Včasih je znanje tega x

Lastnosti matematičnega pričakovanja
Preden oblikujemo lastnosti matematičnega pričakovanja, je treba razjasniti pomen aritmetičnih operacij,

Disperzija slučajne spremenljivke in njene lastnosti
V praksi je pogosto treba oceniti disperzijo naključne spremenljivke okoli njene srednje vrednosti. Na primer, delnice dveh podjetij lahko v povprečju izplačajo enake dividende, vendar

Standardni odklon
Za oceno disperzije možnih vrednosti naključne spremenljivke okoli njene srednje vrednosti se poleg disperzije uporabljajo tudi nekatere druge karakteristike. Ti vključujejo srednji kvadratni odklon

Binomska porazdelitev, njeno matematično pričakovanje in varianca
Zakon porazdelitve naključne spremenljivke za število pojavitev dogodka v Bernoullijevi shemi je

Poissonova porazdelitev
Prej smo opazili, da če produkt ostane konstanten, ko se število poskusov poveča, potem binomska porazdelitev n

Geometrijska porazdelitev
Diskretna naključna spremenljivka ima geometrijsko porazdelitev, če zavzame vrednosti

Enakomerna porazdelitev
Zvezna naključna spremenljivka se šteje za enakomerno porazdeljeno na segmentu (a,b), če ima njena gostota verjetnosti obliko:

Eksponentna porazdelitev
Eksponentna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke se imenuje

Normalna porazdelitev in njene lastnosti
Zvezna naključna spremenljivka ima normalen porazdelitveni zakon s parametri

Lastnosti Gaussove funkcije
Graf gostote normalne porazdelitve se imenuje normalna Gaussova krivulja. Preučimo obnašanje funkcije gostote verjetnosti

Verjetnost, da običajna naključna spremenljivka pade v dani interval
Pogosto je treba določiti verjetnost, da naključna spremenljivka pade v določen interval. To verjetnost je mogoče izraziti kot razliko v funkciji porazdelitve verjetnosti na mejnih točkah:

Odstopanje normalne naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja. Pravilo treh sigm
Pogosto je treba izračunati verjetnost, da odstopanje normalno porazdeljene naključne spremenljivke v absolutni vrednosti od njene matematične vrednosti

Multivariatne naključne spremenljivke
Doslej smo obravnavali naključne spremenljivke, katerih možne vrednosti so določene z enim samim številom (enodimenzionalne naključne spremenljivke). Na primer število točk, ki jih je mogoče vrniti

Zakon verjetnostne porazdelitve dvodimenzionalne naključne spremenljivke
Zakon porazdelitve diskretne dvodimenzionalne naključne spremenljivke je seznam možnih vrednosti te količine, tj. paro

Skupna porazdelitvena funkcija dveh naključnih spremenljivk
Funkcija, ki za vsak par števil določi verjetnost, da

Lastnosti skupne porazdelitvene funkcije dveh naključnih spremenljivk
1. Vrednosti skupne porazdelitvene funkcije izpolnjujejo neenakost: . 2.

Zvezna dvodimenzionalna naključna spremenljivka
Zvezno dvodimenzionalno naključno spremenljivko je mogoče določiti z gostoto porazdelitve. Skupna gostota verjetnosti

Neodvisne naključne spremenljivke
Dve naključni spremenljivki se imenujeta neodvisni, če distribucijski zakon ene od njiju ni odvisen od možnih vrednosti, ki jih je sprejela druga spremenljivka.

Trenutek korelacije
Značilnost odvisnosti med naključnimi spremenljivkami je matematična enačba.

Lastnosti korelacijskega koeficienta
1. 2. Če, potem

Čebiševljeva neenakost
Verjetnost, da je odstopanje naključne spremenljivke X od njenega matematičnega pričakovanja v absolutni vrednosti manjše od pozitivnega števila e, ni manjša od

Čebiševljev izrek
Če so po paru neodvisne naključne spremenljivke in so njihove variance omejene (ne presegajo konstantnega števila C), potem ne glede na to, kako majhne

Centralni mejni izrek
Razlog za izjemno široko razširjenost naključnih spremenljivk, opisanih z normalno porazdelitvijo, pojasnjuje centralni mejni izrek, ki ga je dokazal A.M. Ljapunov.

Metoda vzorčenja za analizo lastnosti populacije
Predmet matematične statistike je preučevanje naključnih dogodkov in naključnih spremenljivk na podlagi rezultatov opazovanja. Niz na nek način združenih predmetov ali pojavov

Izbirne metode
V praksi se uporabljajo različne selekcijske metode, ki jih lahko razdelimo na dve vrsti: · selekcija, ki ne zahteva delitve populacije na dele. To vključuje

Variacijske vrste za diskretne in zvezne naključne spremenljivke
Naj vzorec izvlečemo iz splošne populacije in opazujemo vrednost parametra, ki ga proučujemo

Poligon in histogram
Grafično je statistična porazdelitev predstavljena zlasti z uporabo poligona in histograma. Frekvenčni poligon

Empirična porazdelitvena funkcija
Naj bo znana statistična frekvenčna porazdelitev kvantitativne karakteristike X. Označimo s številom opazovanj, pri katerih

Najpomembnejše lastnosti statističnih ocen
Naj bo treba preučiti nekaj kvantitativnih značilnosti splošne populacije. Predpostavimo, da je bilo iz teoretičnih premislekov mogoče ugotoviti, katera porazdelitev n

Vzorčna sredina in varianca
Naj bo vzorec velikosti n ekstrahiran za preučevanje splošne populacije glede kvantitativne značilnosti X. Vzorčno povprečje

Zanesljivost in interval zaupanja
Doslej smo upoštevali točkovne ocene, tj. take ocene, ki so določene z eno samo številko. Za majhno velikost vzorca lahko točkovna ocena

Interval zaupanja za matematično pričakovanje normalne porazdelitve z znano varianco
Naj bo kvantitativna značilnost X splošne populacije porazdeljena normalno in je standardni odklon s te porazdelitve znan. Potrebno je oceniti

Interval zaupanja za matematično pričakovanje normalne porazdelitve z neznano varianco
Naj bo kvantitativna značilnost X splošne populacije porazdeljena normalno, standardni odklon s te porazdelitve pa ni znan. Tre

Interval zaupanja za oceno standardnega odklona s normalne porazdelitve
Naj bo kvantitativna značilnost X populacije normalno porazdeljena in potrebno je oceniti neznano splošno standardno odstopanje s od popravljenega vzorčnega povprečja k

Preizkušanje statističnih hipotez
V zadnjem predavanju smo se posvetili problemu konstruiranja intervalov zaupanja za neznane parametre populacije. Danes bomo nadaljevali s preučevanjem glavnih problemov matematične statistike

Kritične točke
Po izbiri določenega kriterija se množica vseh njegovih možnih vrednosti razdeli na dve disjunktni podmnožici, od katerih ena vsebuje vrednosti kriterija, pri katerih

Pearsonov test primernosti za vrsto porazdelitve
Če distribucijski zakon ni znan, vendar obstaja razlog za domnevo, da ima določeno obliko, potem preverite ničelni r

(UIR). Koncept regresijske analize
Dve ali več naključnih spremenljivk je lahko povezanih funkcionalno ali statistično (stohastično)

Koncept regresijske analize
Pri obravnavanju odnosov se praviloma ena od količin (X) obravnava kot neodvisna (razlagalna), druga (Y) pa kot odvisna (razložena). V tem primeru je sprememba prvega od

Linearna regresija
Če je regresijska funkcija linearna, potem govorimo o linearni regresiji. Linearna regresija (linearna enačba) je običajna (in preprosta) vrsta odvisnosti

Reprezentativni model
Eksponentno funkcijo lahko uporabimo pri analizi sprememb spremenljivke Y s konstantno stopnjo rasti

(UIR). Koncept korelacijske analize
Ekonomski pojavi in ​​procesi so med seboj tesno povezani, preučevanje tega odnosa pa ima v ekonomskih raziskavah pomembno vlogo. Poznavanje medsebojnih odnosov posameznih gospodarstev

A. Parna korelacija
Enačba tako linearne kot nelinearne regresije je vedno dopolnjena z indikatorjem tesnosti povezave. Pri uporabi linearne regresije kot

Ocenjevanje pomembnosti regresijske enačbe kot celote
Pomembnost (kakovost) regresijske enačbe kot celote ocenjujemo s Fisherjevim F-testom (F-test). V tem primeru je postavljena ničelna hipoteza, da koeficient

Ocenjevanje pomembnosti posameznih regresijskih parametrov
Za vsak parameter se določi njegova standardna napaka. Standardna napaka koeficienta linearne regresije o

B. Multipla korelacija
Večkratna regresija se pogosto uporablja pri preučevanju funkcije proizvodnih stroškov, v makroekonomskih izračunih itd. Glavni cilj korelacijske analize v tem primeru je konstruirati

(UIR). Markovske verige z diskretnim časom
Markovljeve verige se pogosto uporabljajo v ekonomskih raziskavah, zlasti pri preučevanju čakalnih sistemov. Primeri procesov čakalne vrste vključujejo:

Homogene markovske verige
Markovljeva veriga se imenuje homogena, če je pogojna verjetnost prehoda iz stanja enaka

Prehodne verjetnosti. Prehodna matrica
Verjetnost prehoda je pogojna verjetnost, da iz drž

Markova enakost
Označimo z verjetnostjo, da se bo sistem zaradi n korakov (poskusov) premaknil iz stanja

Markovljeve verige v zveznem času
Markovljev naključni proces se imenuje neprekinjena Markovljeva veriga, če prehodi sistema iz stanja v stanje ne potekajo ob določenem času.

Kolmogorove enačbe
Naj ima sistem končno število stanj in za naključni proces, ki se v njem dogaja, so značilne določene verjetnosti, da je sistem v vsakem od teh stanj. V primeru Markoviana

Končne verjetnosti stanj sistema
Če proces, ki se dogaja v sistemu, traja dovolj dolgo, potem je smiselno govoriti o mejnem obnašanju verjetnosti pri

Sistemi čakalnih vrst
Za sisteme čakalne vrste (QS) je značilen Markovljev naključni proces z zveznim časom. Zahtevki za storitve, ki prihajajo ob naključnih trenutkih v QS

A. Enokanalni model z napakami
Za najenostavnejši enokanalni model QS je značilna eksponentna porazdelitev tako trajanja intervalov med prejemom zahtevkov kot trajanja storitve. Gostota porazdeljena

B. Enokanalni model s čakanjem
Naj ima QS še vedno en kanal, vendar se zahteva, ki prispe, ko je kanal zaseden, postavi v čakalno vrsto in čaka na storitev. Predpostavimo, da ta sistem (čakalna vrsta + storitev

Večkanalni modeli
Omejimo se na primer večkanalne QS z napakami. V večkanalnem

Verjetnostni prostor je matematični model naključnega eksperimenta (izkušnje) v aksiomatiki A. N. Kolmogorova. Verjetnostni prostor vsebuje vse informacije o lastnostih naključnega eksperimenta, potrebne za njegovo matematično analizo s pomočjo teorije verjetnosti. Vsak problem v teoriji verjetnosti se rešuje v okviru določenega verjetnostnega prostora, ki je na začetku popolnoma določen. Na področje matematične statistike sodijo problemi, pri katerih verjetnostni prostor ni popolnoma specificiran in je treba manjkajoče informacije pridobiti iz rezultatov opazovanja.

Opredelitev

Verjetnostni prostor je trojka, kjer je:

Upoštevajte, da je zadnja lastnost sigma-aditivnosti mere enakovredna (ob upoštevanju vseh drugih lastnosti, vključno s končno aditivnostjo) kateri koli od naslednjih lastnosti kontinuiteta mere:

Primeri najpogosteje uporabljenih verjetnostnih prostorov

Diskretni verjetnostni prostori

Če je niz elementarnih izidov končen ali preštev: , potem se ustrezen verjetnostni prostor imenuje diskretna. V primeru diskretnih verjetnostnih prostorov se dogodki običajno obravnavajo kot vse možne podmnožice. V tem primeru je za določitev verjetnosti potrebno in zadostno vsakemu elementarnemu izidu dodeliti število, tako da je njihova vsota enaka 1. Potem je verjetnost katerega koli dogodka podana na naslednji način:

Pomemben poseben primer takega prostora je klasičen način določanja verjetnosti, ko je število elementarnih rezultatov končno in imajo vsi enako verjetnost. Potem je verjetnost katerega koli dogodka definirana kot razmerje njegove moči (tj. število elementarnih rezultatov, ugodno dani dogodek) na skupno število elementarnih rezultatov:

Vedno pa si je treba zapomniti, da je za uporabo te metode potrebno zagotoviti, da so osnovni izidi resnično enako verjetni. To je treba oblikovati kot začetni pogoj ali pa to dejstvo strogo izpeljati iz obstoječih začetnih pogojev.

Verjetnostni prostori na premici

Verjetnostni prostori na premici () nastanejo naravno pri študiju naključnih spremenljivk. V tem primeru v splošnem primeru ni več mogoče nobene podmnožice premice obravnavati kot dogodke, saj je na tako širokem razredu običajno nemogoče določiti verjetnostno mero, ki izpolnjuje potrebne aksiome. Univerzalna sigma algebra dogodkov, ki zadostuje za delovanje, je sigma algebra Borelovih množic: najmanjša sigma algebra, ki vsebuje vse odprte množice. Ekvivalentna definicija je najmanjša sigma algebra, ki vsebuje vse intervale. Univerzalen način za določanje verjetnostne mere na dani sigma algebri je prek porazdelitvene funkcije naključne spremenljivke.

Verjetnostni prostori v končnodimenzionalnem prostoru

Verjetnostni prostori s številnimi osnovnimi izidi nastanejo naravno pri preučevanju naključnih vektorjev. V tem primeru je univerzalna sigma algebra dogodkov tudi Borelova sigma algebra, ki jo generirajo vse odprte množice. V bistvu se ta primer ne razlikuje veliko od primera ene ravne črte.

Osnovni pojmi 1 TV

1. 
   Model naključnega eksperimenta.
2. 
   Dogodki (naključni dogodki) in njihove lastnosti.
3. 
   Verjetnost in njene lastnosti.
4. 
   Pogojna verjetnost.
5. 
   Neodvisnost dogodkov.
6. 
   Formula skupne verjetnosti.
7. 
   Bayesova formula.

1. 
   Model naključnega eksperimenta , verjetnostni prostor.

Model takega poskusa je z dogovorjeni trojček predmetov (Ω , A ,R):

Ω = { ω } - prostor elementarnih rezultatov, množica vseh možnih elementarnih rezultatov poskusa . Različni osnovni izidi se ne sekajo; v poskusu se ne morejo pojaviti hkrati.

A = { A, B,...} - prireditveni razred, celoten sklop dogodkov, ki nas zanimajo .
Vsak dogodek je določena podmnožica možnih elementarnih rezultatov poskusa.

R - verjetnostna mera dogodkov poskus .
Za vsak dogodek A njegova verjetnost je določena R(A), izračunano po enem samem pravilu .

1. 
   Lastnosti dogodka :

Popolnost prireditveni razred A pomeni:

A) z vsakim dogodkom A tudi mi razmišljamo o tem dodatek- dogodek, sestavljen iz vseh možnih elementarnih izidov poskusa, ki niso vključeni v dogodek A;

B) skupaj s poljubnima dogodkoma A in IN jih pregledujemo zveza
, In križišče
.

Posledice:



klical zanesljiv dogodek, in klical nemogoče dogodek.

Če je = , potem dogodki A in IN klical nezdružljivo.

1. 
   Lastnosti verjetnosti :

• 
  Klasična verjetnost. če

B) Vsi osnovni izidi  dogodki ( elementarni dogodki), ω  A .

C) Verjetnosti vseh elementarnih dogodkov so enake ( enotna verjetnostna mera), R(ω ) = 1 / n .

Potem verjetnost katerega koli dogodka A je opredeljen kot delež števila elementarnih rezultatov v A( A) o številu elementarnih rezultatov v Ω . R(A) =  A ⁄  Ω  .

• 
  Geometrijska verjetnost. Če na prostoru elementarnih izidov Ω podana je končna nenegativna mera s (· ), potem verjetnost katerega koli dogodka A je opredeljen kot razmerje mere A,s (A), do te mere Ω , s (Ω ). R(A) = s (A) ⁄ s (Ω ).
• 
  Gostota porazdelitve.če

B) Podana je nenegativna funkcija R (ω ), (R (ω ) ≥ 0 ), s površino ( s (· )) številke V Ω , omejeno z urnikom R (ω ) in številsko os Ω , enako 1 (s (V Ω ) = 1).

A) Funkcija R (ω ) je poklican gostota porazdelitve.

B) Verjetnost katerega koli dogodka A⊆ Ω podano po območjih s (V A) slika, omejena z grafom R (ω ) na dele Aštevilska os in številska os Ω . R(A) = s (V A).

1. 
   Pogojna verjetnost .

1. 
   Neodvisnost dogodkov .

Trije dogodki kolektivno neodvisniče:
a) vsaka dva sta neodvisna in
b) združevanje vsakih dveh dogodkov neodvisno s tretjim dogodkom.

Koncept neodvisnosti v agregatu se na podoben način razširi na večje število dogodkov.

1. 
   Celotna skupina dogodkov .

1. 
   Formula skupne verjetnosti.

R(A)) = ∑ jaz [p(n jaz)· R(A n jaz)].

Verjetnost dogodka lahko izračunamo kot uteženo vsoto pogojnih verjetnosti tega dogodka, če so se zgodili dogodki iz celotne skupine dogodkov, pri čemer se kot utežni koeficienti vzamejo verjetnosti ustreznih dogodkov iz celotne skupine.

1. 
   Bayesova formula .

R A (n Za) = (R(An Za)) ⁄ (R(A)) = (R(An Za)) ⁄ (∑ jaz [p(n jaz)· R(A n jaz)]).

1. 
   Tipični modeli naključnega eksperimenta.

U (2). Najenostavnejši model Urn.

Pridobivanje kroglice iz žare z dvema kroglicama. Model je enakovreden Bernoullijevemu modelu IN (½).

U(n) oz R(n). Klasični model žare.

Pridobivanje žoge iz žare n preštevilčene žoge. Osnovni izid – osnovni dogodek – številka izžrebane žogice. Klasična verjetnost z enakomerno verjetnostno porazdelitvijo elementarnih dogodkov.

U(n; m) . Model žare.
Pridobivanje žoge iz žare m bela in ( n – m) črne kroglice.
Model je enakovreden Bernoullijevemu modelu IN (m / n).

1. 
   Zaporedje naključnih poskusov .

U(n *n). Zaporedno ekstrakcijo in vrnitev dveh žog iz žare z nžogice.

U(2 * 2). Zaporedna ekstrakcija in vračanje dveh kroglic iz žare z dvema kroglicama. Model je enakovreden binomskemu modelu IN (2; str).

U(n *(n -1)). Zaporedno ekstrakcijo brez vrnitve dveh žog iz žare z nžogice.