Trikotnik je sestavljen iz. Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

Najenostavnejši mnogokotnik, ki se preučuje v šoli, je trikotnik. Učencem je bolj razumljiv in naleti na manj težav. Kljub temu, da obstajajo različne vrste trikotnikov, ki imajo posebne lastnosti.

Katero obliko imenujemo trikotnik?

Sestavljeno iz treh točk in segmentov. Prva se imenujejo oglišča, druga pa stranice. Poleg tega morajo biti vsi trije segmenti povezani tako, da se med njimi tvorijo koti. Od tod tudi ime figure "trikotnik".

Razlike v imenih čez vogale

Ker so lahko ostri, topi in ravni, so vrste trikotnikov določene s temi imeni. V skladu s tem obstajajo tri skupine takih številk.

najprej Če so vsi koti trikotnika ostri, se bo imenoval oster. Vse je logično.

drugič Eden od kotov je topi, kar pomeni, da je trikotnik topi. Ne bi moglo biti bolj preprosto.

Tretjič. Obstaja kot, enak 90 stopinj, ki se imenuje pravi kot. Trikotnik postane pravokoten.

Razlike v imenih na straneh

Glede na značilnosti stranic ločimo naslednje vrste trikotnikov:

splošni primer je skalen, pri katerem so vse stranice poljubne dolžine;

enakokraki, katerega stranice imajo enake številske vrednosti;

enakostranični, so dolžine vseh njegovih stranic enake.

Če težava ne določa določene vrste trikotnika, morate narisati poljubnega. V katerem so vsi vogali ostri, stranice pa imajo različne dolžine.

Lastnosti, ki so skupne vsem trikotnikom

Če seštejete vse kote trikotnika, dobite število enako 180º. In ni pomembno, katere vrste je. To pravilo vedno velja.
Številčna vrednost katere koli stranice trikotnika je manjša od drugih dveh seštetih. Poleg tega je večja od njihove razlike.
Vsak zunanji kot ima vrednost, ki jo dobimo s seštevanjem dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita. Poleg tega je vedno večji od notranjega, ki meji nanj.
Najmanjši kot je vedno nasproti manjši stranici trikotnika. In obratno, če je stran velika, bo kot največji.

Te lastnosti so vedno veljavne, ne glede na to, katere vrste trikotnikov so obravnavane v težavah. Vse ostalo izhaja iz posebnih lastnosti.

Lastnosti enakokrakega trikotnika

Koti, ki mejijo na osnovo, so enaki.
Višina, ki je narisana na osnovo, je tudi sredina in simetrala.
Višine, mediane in simetrale, ki so zgrajene na stranskih stranicah trikotnika, so med seboj enake.

Lastnosti enakostraničnega trikotnika

Če obstaja takšna številka, bodo vse lastnosti, opisane malo zgoraj, resnične. Ker bo enakostranik vedno enakokrak. Vendar ne obratno; enakokraki trikotnik ne bo nujno enakostranični.

Vsi njegovi koti so med seboj enaki in imajo vrednost 60º.
Vsaka mediana enakostraničnega trikotnika je njegova višina in simetrala. Poleg tega so vsi med seboj enakopravni. Za določitev njihovih vrednosti obstaja formula, ki je sestavljena iz produkta stranice in kvadratnega korena iz 3, deljeno z 2.

Lastnosti pravokotnega trikotnika

Seštevek dveh ostrih kotov znaša 90°.
Dolžina hipotenuze je vedno večja od dolžine katere koli noge.
Številska vrednost mediane, potegnjene na hipotenuzo, je enaka njeni polovici.
Krak je enak enaki vrednosti, če leži nasproti kota 30º.
Višina, ki je narisana iz vrha z vrednostjo 90º, ima določeno matematično odvisnost od nog: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Tukaj: a, b - noge, n - višina.

Težave z različnimi vrstami trikotnikov

št. 1. Podan je enakokraki trikotnik. Njegov obod je znan in je enak 90 cm. Kot dodaten pogoj: stranska stranica je 1,2-krat manjša od osnovne.

Vrednost oboda je neposredno odvisna od količin, ki jih je treba najti. Seštevek vseh treh strani bo dal 90 cm. Zdaj se morate spomniti znaka trikotnika, po katerem je enakokrak. To pomeni, da sta obe strani enaki. Lahko sestavite enačbo z dvema neznankama: 2a + b = 90. Tu je a stranica, b je osnova.

Zdaj je čas za dodatni pogoj. Po njej dobimo drugo enačbo: b = 1,2a. Ta izraz lahko nadomestite s prvim. Izkazalo se je: 2a + 1,2a = 90. Po transformacijah: 3,2a = 90. Zato je a = 28,125 (cm). Zdaj je enostavno najti osnovo. To je najbolje narediti iz drugega pogoja: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Če želite preveriti, lahko seštejete tri vrednosti: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Tako je.

Odgovor: Stranice trikotnika so 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

št. 2. Stranica enakostraničnega trikotnika je 12 cm. Izračunati morate njegovo višino.

rešitev. Da bi našli odgovor, je dovolj, da se vrnemo v trenutek, kjer so bile opisane lastnosti trikotnika. To je formula za iskanje višine, mediane in simetrale enakostraničnega trikotnika.

n = a * √3 / 2, kjer je n višina in a stranica.

Zamenjava in izračun data naslednji rezultat: n = 6 √3 (cm).

Te formule si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo, da višina deli trikotnik na dva pravokotna. Poleg tega se izkaže, da je noga, hipotenuza v njej pa je stran prvotne, druga noga je polovica znane strani. Zdaj morate zapisati Pitagorov izrek in izpeljati formulo za višino.

Odgovor: višina je 6 √3 cm.

št. 3. Če je MKR trikotnik, pri katerem sta znani kot MR in KR enaki 30 cm, moramo ugotoviti vrednost kota P.

rešitev. Če narišete, postane jasno, da je MR hipotenuza. Poleg tega je dvakrat večji od stranice KR. Spet se morate obrniti na lastnosti. Eden od njih je povezan s koti. Iz tega je razvidno, da je kot KMR 30º. To pomeni, da bo želeni kot P enak 60º. To izhaja iz druge lastnosti, ki pravi, da mora biti vsota dveh ostrih kotov enaka 90º.

Odgovor: kot P je 60º.

št. 4. Poiskati moramo vse kote enakokrakega trikotnika. O njem je znano, da je zunanji kot od kota pri dnu 110º.

rešitev. Ker je podan samo zunanji kot, je to tisto, kar morate uporabiti. Z notranjim tvori raztegnjen kot. To pomeni, da bodo skupaj dali 180º. To pomeni, da bo kot na dnu trikotnika enak 70 °. Ker je enakokrak, ima drugi kot enako vrednost. Ostaja še izračun tretjega kota. Glede na lastnost, ki je skupna vsem trikotnikom, je vsota kotov 180º. To pomeni, da bo tretji definiran kot 180º - 70º - 70º = 40º.

Odgovor: koti so 70º, 70º, 40º.

št. 5. Znano je, da je v enakokrakem trikotniku kot nasproti osnove 90º. Na podlagi je označena točka. Odsek, ki ga povezuje s pravim kotom, ga deli v razmerju 1 proti 4. Ugotoviti morate vse kote manjšega trikotnika.

rešitev. Enega od kotov lahko določimo takoj. Ker je trikotnik pravokoten in enakokrak, bodo tisti, ki ležijo na njegovem dnu, 45º vsak, to je 90º/2.

Drugi od njih vam bo pomagal najti relacijo, ki je znana v pogoju. Ker je enako od 1 do 4, je delov, na katere je razdeljen, le 5. To pomeni, da za določitev manjšega kota trikotnika potrebujete 90º/5 = 18º. Treba je izvedeti tretjega. Če želite to narediti, morate od 180º (vsota vseh kotov trikotnika) odšteti 45º in 18º. Izračuni so preprosti in dobite: 117º.

Med študijem matematike se učenci začnejo seznanjati z različnimi vrstami geometrijskih oblik. Danes bomo govorili o različnih vrstah trikotnikov.

Opredelitev

Geometrijske figure, ki so sestavljene iz treh točk, ki niso na isti premici, imenujemo trikotniki.

Odseke, ki povezujejo točke, imenujemo stranice, točke pa oglišča. Točke so označene z velikimi črkami, na primer: A, B, C.

Stranice so označene z imeni dveh točk, iz katerih so sestavljene - AB, BC, AC. Sekajoče se stranice tvorijo kote. Spodnja stran velja za osnovo figure.

riž. 1. Trikotnik ABC.

Vrste trikotnikov

Trikotniki so razvrščeni glede na kote in stranice. Vsaka vrsta trikotnika ima svoje lastnosti.

Na vogalih so tri vrste trikotnikov:

ostrokotni;
pravokoten;
topokoten.

Vsi koti ostrokoten trikotniki so ostri, kar pomeni, da stopnja vsakega ni večja od 90 0.

Pravokoten trikotnik vsebuje pravi kot. Druga dva kota bosta vedno ostra, saj bo sicer vsota kotov trikotnika presegla 180 stopinj, kar je nemogoče. Stran, ki je nasproti pravemu kotu, se imenuje hipotenuza, drugi dve pa kateta. Hipotenuza je vedno večja od noge.

Topo trikotnik vsebuje top kot. To je kot, večji od 90 stopinj. Druga dva kota v takem trikotniku bosta ostra.

riž. 2. Vrste trikotnikov na vogalih.

Pitagorejski trikotnik je pravokotnik, katerega stranice so 3, 4, 5.

Poleg tega je večja stran hipotenuza.

Takšni trikotniki se pogosto uporabljajo za konstruiranje preprostih problemov v geometriji. Zato si zapomnite: če sta dve strani trikotnika enaki 3, bo tretja zagotovo 5. To bo poenostavilo izračune.

Vrste trikotnikov na straneh:

enakostranični;
enakokraki;
vsestranski.

Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake. Vsi koti takega trikotnika so enaki 60 0, kar pomeni, da je vedno oster.

Enakokraki trikotnik - trikotnik, ki ima samo dve strani enaki. Te strani se imenujejo stranske, tretja pa osnova. Poleg tega so koti na dnu enakokrakega trikotnika enaki in vedno ostri.

Vsestranski ali poljuben trikotnik je trikotnik, v katerem vse dolžine in vsi koti med seboj niso enaki.

Če problem ne vsebuje nobenih pojasnil glede figure, potem je splošno sprejeto, da govorimo o poljubnem trikotniku.

riž. 3. Vrste trikotnikov na straneh.

Vsota vseh kotov trikotnika, ne glede na njegovo vrsto, je 1800.

Nasproti večjega kota je večja stranica. In tudi dolžina katere koli strani je vedno manjša od vsote njenih drugih dveh strani. Te lastnosti potrjuje izrek o neenakosti trikotnika.

Obstaja koncept zlatega trikotnika. To je enakokraki trikotnik, v katerem sta dve strani sorazmerni z osnovo in enaki določenemu številu. Pri takšni sliki so koti sorazmerni v razmerju 2:2:1.

Naloga:

Ali obstaja trikotnik s stranicami 6 cm, 3 cm, 4 cm?

rešitev:

Za rešitev te naloge morate uporabiti neenakost a

Kaj smo se naučili?

Iz tega gradiva pri predmetu matematika v 5. razredu smo izvedeli, da trikotnike delimo glede na stranice in velikosti kotov. Trikotniki imajo določene lastnosti, ki jih lahko uporabimo za reševanje problemov.

Trikotnik je mnogokotnik s tremi stranicami (ali tremi koti). Stranice trikotnika so pogosto označene z malimi črkami (a, b, c), ki ustrezajo velikim črkam, ki označujejo nasprotna oglišča (A, B, C).

Če so vsi trije koti trikotnika ostri, potem je ostrokotni trikotnik.

Če je eden od kotov v trikotniku pravi, potem je pravokotni trikotnik. Imenujejo se stranice, ki tvorijo pravi kot noge. Stran nasproti pravega kota se imenuje hipotenuza.

Če je eden od kotov v trikotniku top, potem je topokotni trikotnik.

Enakokraki trikotnik, če sta njegovi strani enaki; te enake stranice se imenujejo stranske, tretja stranica pa se imenuje osnova trikotnika.

Enakostranični trikotnik, če so vse njegove stranice enake.

Osnovne lastnosti trikotnikov

V poljubnem trikotniku:

1. Nasproti večje stranice leži večji kot in obratno.

2. Nasproti enakih stranic ležita enaka kota in obratno.
Predvsem so vsi koti v enakostraničnem trikotniku enaki.

3. Vsota kotov trikotnika je 180º.
Iz zadnjih dveh lastnosti sledi, da je vsak kot v enakostranici
trikotnik je 60º.

4. Če nadaljujemo eno od strani trikotnika, dobimo zunanjo
kotiček. Zunanji kot trikotnika je enak vsoti notranjih kotov,
ne meji nanj.

5. Katera koli stranica trikotnika je manjša od vsote drugih dveh stranic in večja
njihove razlike.

Znaki enakosti trikotnikov.

Trikotniki so skladni, če so enaki:

A) dve stranici in kot med njima;
b) dva vogala in stran, ki meji nanju;
c) tri strani.

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov.

Dva pravokotna trikotnika sta skladna, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

1) noge so enake;
2) noga in hipotenuza enega trikotnika sta enaki nogi in hipotenuzi drugega;
3) hipotenuza in ostri kot enega trikotnika sta enaka hipotenuzi in ostremu kotu drugega;
4) krak in sosednji ostri kot enega trikotnika sta enaka kraku in sosednjemu ostremu kotu drugega;
5) krak in nasprotni ostri kot enega trikotnika sta enaka kraku in nasprotni ostri kot drugega.

Višina trikotnika je navpičnica, spuščena iz poljubnega oglišča na nasprotno stran (ali njeno nadaljevanje). Ta stranica se imenuje osnova trikotnika. Tri višine trikotnika se vedno sekajo v eni točki, imenovani ortocenter trikotnika. Ortocenter ostrega trikotnika se nahaja znotraj trikotnika, ortocenter tupokotnega trikotnika pa zunaj; Ortocenter pravokotnega trikotnika sovpada z vrhom pravega kota.

Mediana je odsek, ki povezuje poljubno oglišče trikotnika s sredino nasprotne stranice. Tri mediane trikotnika se sekajo v eni točki, ki vedno leži znotraj trikotnika in je njegova težišče. Ta točka deli vsako mediano v razmerju 2:1, šteto od vrha.

Lastnost mediane enakokrakega trikotnika. V enakokrakem trikotniku je mediana, potegnjena na osnovo, simetrala in nadmorska višina.

Simetrala- to je simetrala kota od vrha do presečišča z nasprotno stranjo. Tri simetrale trikotnika se sekajo v eni točki, ki vedno leži znotraj trikotnika in je središče včrtanega kroga. Simetrala deli nasprotno stran na dele, ki so sorazmerni s sosednjimi stranicami.

Srednja pravokotna je navpičnica, potegnjena iz sredine odseka (stranice). Tri sredinske pravokotnice trikotnika se sekajo v eni točki, ki je središče opisanega kroga. V ostrokotnem trikotniku ta točka leži znotraj trikotnika; v tupem kotu - zunaj; v pravokotnem - na sredini hipotenuze. Ortocenter, težišče, središče kroga in včrtana krožnica sovpadajo samo v enakostraničnem trikotniku.

Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje razpoloviščni točki obeh stranic.

Lastnost srednje črte trikotnika. Srednja črta trikotnika, ki povezuje razpolovišči dveh danih stranic, je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici.

Pitagorov izrek. V pravokotnem trikotniku je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin katet. c 2 = a 2 + b 2 .

Dokazi Pitagorovega izreka lahko vidiš Tukaj.

Sinusni izrek. Stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov .

Kosinusni izrek. Kvadrat katere koli stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic brez dvojnega zmnožka teh stranic s kosinusom kota med njima .

Dokazi sinusnega in kosinusnega izreka lahko vidiš Tukaj.

Izrek o vsoti kotov v trikotniku. Vsota notranjih kotov trikotnika je 180°.

Izrek o zunanjem kotu trikotnika. Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita.

Danes se odpravljamo v deželo geometrije, kjer se bomo seznanili z različnimi vrstami trikotnikov.

Razmislite o geometrijskih oblikah in med njimi poiščite »odvečno« (slika 1).

riž. 1. Ilustracija na primer

Vidimo, da so figure št. 1, 2, 3, 5 štirikotniki. Vsak od njih ima svoje ime (slika 2).

riž. 2. Štirikotniki

To pomeni, da je "dodatna" figura trikotnik (slika 3).

riž. 3. Ilustracija na primer

Trikotnik je figura, ki je sestavljena iz treh točk, ki ne ležijo na isti premici, in treh segmentov, ki te točke povezujejo v parih.

Točke se imenujejo oglišča trikotnika, segmenti - njegovi stranke. Stranice trikotnika tvorijo Na ogliščih trikotnika so trije koti.

Glavne značilnosti trikotnika so tri stranice in tri vogale. Glede na velikost kota so trikotniki ostro, pravokotno in topo.

Trikotnik se imenuje ostrokoten, če so vsi trije njegovi koti ostri, to je manjši od 90° (slika 4).

riž. 4. Ostrokotni trikotnik

Trikotnik se imenuje pravokoten, če je eden od njegovih kotov 90° (slika 5).

riž. 5. Pravokotni trikotnik

Trikotnik se imenuje top, če je eden od njegovih kotov top, to je več kot 90° (slika 6).

riž. 6. Topokotni trikotnik

Glede na število enakih stranic so trikotniki enakostranični, enakokraki, skalni.

Enakokraki trikotnik je tisti, pri katerem sta stranici enaki (slika 7).

riž. 7. Enakokraki trikotnik

Te strani se imenujejo bočna, Tretja stran - osnova. V enakokrakem trikotniku sta osnovna kota enaka.

Obstajajo enakokraki trikotniki oster in obtusen(slika 8) .

riž. 8. Ostri in topi enakokraki trikotnik

Enakostranični trikotnik je tisti, pri katerem so vse tri stranice enake (slika 9).

riž. 9. Enakostranični trikotnik

V enakostraničnem trikotniku vsi koti so enaki. Enakostranični trikotniki Nenehno ostrokotni.

Razmerni trikotnik je tisti, pri katerem so vse tri stranice različno dolge (slika 10).

riž. 10. Scalenski trikotnik

Izpolni nalogo. Te trikotnike razdelite v tri skupine (slika 11).

riž. 11. Ilustracija k nalogi

Najprej porazdelimo glede na velikost kotov.

Ostrokotni trikotniki: št. 1, št. 3.

Pravokotni trikotniki: št. 2, št. 6.

Topokotni trikotniki: št. 4, št. 5.

Enake trikotnike bomo razdelili v skupine glede na število enakih stranic.

Razmerjeni trikotniki: št. 4, št. 6.

Enakokraki trikotniki: št. 2, št. 3, št. 5.

Enakostranični trikotnik: št. 1.

Poglej slike.

Pomislite, iz katerega kosa žice je bil narejen posamezen trikotnik (slika 12).

riž. 12. Ilustracija k nalogi

Lahko razmišljate takole.

Prvi kos žice razdelimo na tri enake dele, tako da lahko iz njega sestavimo enakostranični trikotnik. Na sliki je prikazan tretji.

Drugi kos žice je razdeljen na tri različne dele, tako da se lahko uporabi za izdelavo skalnega trikotnika. Na sliki je prikazan prvi.

Tretji kos žice razdelimo na tri dele, pri čemer sta dva dela enako dolga, kar pomeni, da lahko iz njega sestavimo enakokraki trikotnik. Na sliki je prikazan drugi.

Danes smo se pri pouku učili o različnih vrstah trikotnikov.

Bibliografija

M.I. Moreau, M.A. Bantova in drugi: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 1. del. - M.: "Razsvetljenje", 2012.
M.I. Moreau, M.A. Bantova in drugi: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 2. del. - M.: "Razsvetljenje", 2012.
M.I. Moro. Pouk matematike: Metodološka priporočila za učitelje. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.
Regulativni dokument. Spremljanje in vrednotenje učnih rezultatov. - M.: "Razsvetljenje", 2011.
"Šola Rusije": Programi za osnovno šolo. - M.: "Razsvetljenje", 2011.
S.I. Volkova. Matematika: Testno delo. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Testi. - M.: "Izpit", 2012.