Obrnite predznak enačbe. Neenakosti

O neenačbah smo se učili v šoli, kjer uporabljamo številske neenačbe. V tem članku bomo obravnavali lastnosti numeričnih neenakosti, iz katerih so zgrajena načela dela z njimi.

Lastnosti neenačb so podobne lastnostim številskih neenačb. Upoštevane bodo lastnosti, njena utemeljitev in podani bodo primeri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numerične neenakosti: definicija, primeri

Pri uvajanju koncepta neenakosti imamo, da je njihova definicija narejena glede na vrsto zapisa. Obstajajo algebraični izrazi, ki imajo znake ≠,< , >, ≤ , ≥ . Dajmo definicijo.

Definicija 1

Številska neenakost imenujemo neenakost, v kateri imata obe strani števila in numerični izraz.

Številske neenakosti obravnavamo v šoli po učenju naravnih števil. Takšne primerjalne operacije se preučujejo korak za korakom. Začetne so videti kot 1< 5 , 5 + 7 >3. Po tem, ko se pravila dopolnijo, neenakosti pa postanejo bolj zapletene, potem dobimo neenačbe oblike 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Lastnosti številskih neenačb

Za pravilno delo z neenačbami morate uporabiti lastnosti številskih neenakosti. Izhajajo iz koncepta neenakosti. Ta koncept je opredeljen z izjavo, ki je označena kot "več" ali "manj".

Definicija 2

število a je večje od b, če je razlika a - b pozitivno število;
število a je manjše od b, če je razlika a - b negativno število;
število a je enako b, ko je razlika a - b enaka nič.

Definicija se uporablja pri reševanju neenačb z relacijami »manj ali enako«, »večje ali enako«. To razumemo

Definicija 3

a je večje ali enako b, kadar je a - b nenegativno število;
a je manjše ali enako b, če je a - b nepozitivno število.

Definicije bodo uporabljene za dokazovanje lastnosti numeričnih neenakosti.

Osnovne lastnosti

Oglejmo si 3 glavne neenakosti. Uporaba znakov< и >značilnost naslednjih lastnosti:

Definicija 4

antirefleksivnost, ki pravi, da je vsako število a iz neenakosti a< a и a >a velja za napačno. Vemo, da za vsak a velja enakost a − a = 0, zato dobimo a = a. Torej a< a и a >a je napačen. Na primer, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 so napačne.
asimetrija. Ko sta števili a in b takšni, da je aa, in če je a > b, potem b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a a. Drugi del je dokazan na podoben način.

Primer 1

Na primer glede na neenakost 5< 11 имеем, что 11 >5, kar pomeni, da bo njegova številčna neenakost − 0, 27 > − 1, 3 prepisana kot − 1, 3< − 0 , 27 .

Preden preidete na naslednjo lastnost, upoštevajte, da lahko s pomočjo asimetrije neenakost berete od desne proti levi in obratno. Na ta način lahko numerične neenakosti spremenimo in zamenjamo.

Definicija 5

prehodnost. Ko števila a, b, c izpolnjujejo pogoj ab in b > c, nato a > c.

Dokazi 1

Prvo trditev je mogoče dokazati. Pogoj a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Drugi del z lastnostjo prehodnosti dokažemo na podoben način.

Primer 2

Analizirano lastnost obravnavamo na primeru neenakosti − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 in 1 8 > 1 32 sledi, da je 1 2 > 1 32.

Številske neenačbe, ki so zapisane s šibkimi znaki neenakosti, imajo lastnost refleksivnosti, ker ima lahko a ≤ a in a ≥ a primer enakosti a = a. Zanje je značilna asimetrija in prehodnost.

Opredelitev 6

Neenačbe, ki imajo v zapisu predznaka ≤ in ≥, imajo naslednje lastnosti:

refleksivnost a ≥ a in a ≤ a veljata za pravi neenakosti;
antisimetrija, ko je a ≤ b, potem je b ≥ a, in če je a ≥ b, potem je b ≤ a.
tranzitivnost, ko je a ≤ b in b ≤ c, potem je a ≤ c, in tudi, če je a ≥ b in b ≥ c, potem je a ≥ c.

Dokaz poteka na podoben način.

Druge pomembne lastnosti številskih neenačb

Za dopolnitev osnovnih lastnosti neenačb so uporabljeni rezultati, ki so praktičnega pomena. Princip metode se uporablja za ocenjevanje vrednosti izrazov, na katerih temeljijo principi reševanja neenačb.

Ta odstavek razkriva lastnosti neenakosti za en znak stroge neenakosti. Enako se naredi za nestroge. Oglejmo si primer in oblikujmo neenakost, če a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

če a > b, potem a + c > b + c;
če je a ≤ b, potem je a + c ≤ b + c;
če je a ≥ b, potem je a + c ≥ b + c.

Za priročno predstavitev podajamo ustrezno izjavo, ki je zapisana in podana dokazila, prikazani so primeri uporabe.

Opredelitev 7

Seštevanje ali računanje števila na obeh straneh. Z drugimi besedami, ko a in b ustrezata neenakosti a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Dokazi 2

Da bi to dokazali, mora enačba izpolnjevati pogoj a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Primer 3

Na primer, če obe strani neenakosti 7 > 3 povečamo za 15, dobimo 7 + 15 > 3 + 15. To je enako 22 > 18.

Opredelitev 8

Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim številom c, dobimo pravo neenakost. Če vzamete negativno število, se bo predznak spremenil v nasprotno. Sicer je videti takole: za a in b neenakost velja, ko ab·c.

Dokazi 3

Kadar obstaja primer c > 0, je treba sestaviti razliko med levo in desno stranjo neenakosti. Potem dobimo a · c − b · c = (a − b) · c . Iz pogoja a0, potem bo produkt (a − b) · c negativen. Iz tega sledi a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Pri dokazovanju lahko deljenje s celim številom nadomestimo z množenjem z obratnim številom danega, to je 1 c. Oglejmo si primer lastnosti določenih števil.

Primer 4

Dovoljeni sta obe strani neenakosti 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sedaj pa oblikujmo naslednja dva rezultata, ki se uporabljata pri reševanju neenačb:

Posledica 1. Pri spreminjanju predznakov delov numerične neenakosti se predznak same neenačbe spremeni v nasprotno, kot− b . To sledi pravilu množenja obeh strani z -1. Uporablja se za prehod. Na primer, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
Posledica 2. Pri zamenjavi delov številske neenačbe z nasprotnimi števili se spremeni tudi njen predznak, neenakost pa ostane resnična. Zato imamo a in b pozitivni števili, a1 b .

Pri deljenju obeh strani neenakosti a3 2 imamo to 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1b je lahko napačen.

Primer 5

Na primer, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 so napačna enačba.

Vse točke združuje dejstvo, da dejanja na delih neenakosti dajejo pravilno neenakost na izhodu. Razmislimo o lastnostih, kjer je na začetku več numeričnih neenakosti, njen rezultat pa dobimo s seštevanjem ali množenjem njenih delov.

Opredelitev 9

Ko za neenačbe a veljajo števila a, b, c, d< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Dokaz 4

Dokažimo, da je (a + c) − (b + d) negativno število, potem dobimo, da je a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Lastnost se uporablja za seštevanje treh, štirih ali več številskih neenakosti po členih. Števila a 1 , a 2 , … , a n in b 1 , b 2 , … , b n zadoščajo neenačbam a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Primer 6

Na primer, podane so tri številske neenakosti z enakim predznakom − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Opredelitev 10

Rezultat množenja obeh strani je pozitivno število. Ko a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Dokazi 5

Da bi to dokazali, potrebujemo obe strani neenakosti a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Ta lastnost velja za število števil, s katerimi je treba pomnožiti obe strani neenakosti. Potem a 1 , a 2 , … , a n in b 1, b 2, …, b n so pozitivna števila, kjer je 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Upoštevajte, da pri pisanju neenakosti obstajajo nepozitivna števila, nato pa njihovo množenje po členih vodi do napačnih neenakosti.

Primer 7

Na primer, neenakost 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Posledica: Člensko množenje neenačb a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Lastnosti številskih neenačb

Oglejmo si naslednje lastnosti numeričnih neenakosti.

a< a , a >a - nepravilne neenakosti,
a ≤ a, a ≥ a sta pravi neenakosti.
Čea - antisimetrija.
Če< b и b < c то a < c - транзитивность.
Če< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
Čeb·c.

Posledica 1: če-b.

Posledica 2: če sta a in b pozitivni števili in a1 b .

Če 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
Če je 1, 2, . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n so pozitivna števila in a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Posledica 1: če a< b , a in b pozitivna števila, potem je n< b n .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javne pomembne namene.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.

Množico vseh realnih števil lahko predstavimo kot zvezo treh množic: množice pozitivnih števil, množice negativnih števil in množice, ki jo sestavlja eno število - število nič. Da bi označili, da je številka A pozitivno, uporabite posnetek a > 0, za označevanje negativnega števila uporabite drug zapis a< 0 .

Tudi vsota in zmnožek pozitivnih števil sta pozitivna števila. Če število A negativno, nato številko -A pozitivno (in obratno). Za vsako pozitivno število a obstaja pozitivno racionalno število r, Kaj r< а . Ta dejstva so osnova teorije neenakosti.

Po definiciji je neenakost a > b (ali, kar je isto, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, tj. če je število a - b pozitivno.

Upoštevajte zlasti neenakost A< 0 . Kaj pomeni ta neenakost? Po zgornji definiciji pomeni, da 0 - a > 0, tj. -a > 0 ali z drugimi besedami, kakšna je številka -A pozitivno. Toda to se zgodi, če in samo, če je število A negativno. Torej neenakost A< 0 pomeni, da število ampak negativno.

Pogosto se uporablja tudi notacija ab(ali, kar je isto, ba).
Zapis ab, po definiciji pomeni, da bodisi a > b, oz a = b. Če upoštevamo rekord ab kot nedoločen stavek, potem lahko v zapisu matematične logike zapišemo

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Primer 1. Ali neenakosti 5 0, 0 0 držijo?

Neenakost 5 0 je kompleksna izjava, sestavljena iz dveh preprostih izjav, povezanih z logičnim veznikom »ali« (disjunkcija). Bodisi 5 > 0 bodisi 5 = 0. Prva izjava 5 > 0 je resnična, druga izjava 5 = 0 je napačna. Po definiciji disjunkcije je tako kompleksna izjava resnična.

Vnos 00 je obravnavan podobno.

Neenakosti oblike a > b, a< b imenovali jih bomo strogi, neenakosti oblike pa ab, ab- ni stroga.

Neenakosti a > b in c > d(oz A< b in z< d ) bomo imenovali neenakosti istega pomena in neenakosti a > b in c< d - neenakosti nasprotnega pomena. Upoštevajte, da se ta dva pojma (neenakosti enakega in nasprotnega pomena) nanašata le na obliko zapisa neenakosti, ne pa na sama dejstva, ki jih te neenakosti izražajo. Torej, v zvezi z neenakostjo A< b neenakost z< d je neenačba enakega pomena in v zapisu d>c(kar pomeni isto) - neenakost nasprotnega pomena.

Skupaj z neenakostmi oblike a>b, ab uporabljajo se tako imenovane dvojne neenakosti, tj. neenakosti oblike A< с < b , ac< b , a< cb ,
acb. Po definiciji rekord

A< с < b (1)
pomeni, da veljata obe neenakosti:

A< с in z< b.

Neenakosti imajo podoben pomen acb, ac< b, а < сb.

Dvojno neenakost (1) lahko zapišemo takole:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

in dvojna neenakost a ≤ c ≤ b lahko zapišemo v naslednji obliki:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Nadaljujmo s predstavitvijo osnovnih lastnosti in pravil delovanja na neenakosti, pri čemer smo se strinjali, da v tem članku črke a, b, c pomenijo realna števila in n pomeni naravno število.

1) Če je a > b in b > c, potem je a > c (tranzitivnost).

Dokaz.

Ker po pogoju a > b in b > c, nato pa številke a - b in b - c so pozitivni in zato število a - c = (a - b) + (b - c), kot vsota pozitivnih števil, je tudi pozitivna. To po definiciji pomeni, da a > c.

2) Če je a > b, potem za vsak c velja neenakost a + c > b + c.

Dokaz.

Ker a > b, nato številko a - b pozitivno. Zato je število (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b je tudi pozitiven, tj.
a + c > b + c.

3) Če je a + b > c, potem je a > b - c, to pomeni, da lahko katerikoli člen prenesemo iz enega dela neenakosti v drugega tako, da spremenimo predznak tega člena v nasprotno.

Dokaz izhaja iz lastnosti 2) zadostuje za obe strani neenakosti a + b > c dodajte številko - b.

4) Če je a > b in c > d, potem a + c > b + d, to pomeni, da pri seštevanju dveh enakih pomenov dobimo enako pomensko neenakost.

Dokaz.

Na podlagi definicije neenakosti je dovolj, da pokažemo, da je razlika
(a + c) - (b + c) pozitivno. To razliko lahko zapišemo na naslednji način:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Ker glede na stanje št a - b in c - d so torej pozitivni (a + c) - (b + d) obstaja tudi pozitivno število.

Posledica. Iz pravil 2) in 4) sledi naslednje pravilo za odštevanje neenačb: če a > b, c > d, To a - d > b - c(za dokaz je dovolj, da uporabimo obe strani neenakosti a + c > b + d dodajte številko - c - d).

5) Če je a > b, velja za c > 0 ac > bc in za c< 0 имеем ас < bc.

Z drugimi besedami, pri množenju obeh strani neenakosti s pozitivnim številom se znak neenakosti ohrani (tj. dobi se neenakost enakega pomena), ko pa se pomnoži z negativnim številom, se znak neenakosti spremeni v nasprotno (tj. dobimo neenakost nasprotnega pomena.

Dokaz.

če a > b, To a - b je pozitivno število. Zato je znak razlike ac-bc = c(a - b) se ujema s predznakom števila z: Če z je pozitivno število, potem razlika ac - bc je pozitiven in zato ac > bc, in če z< 0 , potem je ta razlika negativna in zato bc - ac pozitivno, tj. bc > ac.

6) Če je a > b > 0 in c > d > 0, potem je ac > bd, to je, če so vsi členi dveh neenakosti enakega pomena pozitivni, potem pri množenju teh neenakosti člen za členom dobimo neenakost enakega pomena.

Dokaz.

Imamo ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Ker c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, nato ac - bd > 0, tj. ac > bd.

Komentiraj. Iz dokaza je razvidno, da je pogoj d > 0 v formulaciji lastnosti 6) nepomembna: za veljavnost te lastnosti zadostuje, da so izpolnjeni pogoji a > b > 0, c > d, c > 0. Če (če so neenakosti izpolnjene a > b, c > d) številke a, b, c ne bo vse pozitivno, potem neenakost ac > bd morda ne bodo izpolnjeni. Na primer, kdaj A = 2, b =1, c= -2, d= -3 imamo a > b, c > d, ampak neenakost ac > bd(tj. -4 > -3) ni uspelo. Zato je zahteva, da so števila a, b, c pozitivna v formulaciji lastnosti 6) bistvena.

7) Če je a ≥ b > 0 in c > d > 0, velja (razdelitev neenačb).

Dokaz.

Imamo Števec ulomka na desni strani je pozitiven (glej lastnosti 5), 6)), pozitiven je tudi imenovalec. Zato,. To dokazuje lastnost 7).

Komentiraj. Opozorimo na pomemben poseben primer pravila 7), dobljenega za a = b = 1: če c > d > 0, potem. Torej, če so členi neenakosti pozitivni, potem pri prehodu na recipročne vrednosti dobimo neenakost nasprotnega pomena. Bralce vabimo, da preverijo, ali to pravilo velja tudi v 7) Če je ab > 0 in c > d > 0, potem (delitev neenačb).

Dokaz. to.

Zgoraj smo dokazali več lastnosti neenačb, zapisanih z znakom > (več). Vendar bi lahko vse te lastnosti oblikovali z uporabo znaka < (manj), saj je neenakost b< а pomeni po definiciji enako kot neenakost a > b. Poleg tega, kot je enostavno preveriti, so zgoraj dokazane lastnosti ohranjene tudi za nestroge neenakosti. Na primer, lastnost 1) za nestroge neenakosti bo imela naslednjo obliko: če ab in bc, To ac.

Zgoraj navedeno seveda ne omejuje splošnih lastnosti neenakosti. Obstaja tudi cela vrsta splošnih neenakosti, povezanih z upoštevanjem potenčnih, eksponentnih, logaritemskih in trigonometričnih funkcij. Splošni pristop za pisanje te vrste neenakosti je naslednji. Če kakšna funkcija y = f(x) monotono narašča na segmentu [a, b], potem imamo za x 1 > x 2 (kjer x 1 in x 2 pripadata temu segmentu) f (x 1) > f(x 2). Podobno, če funkcija y = f(x) monotono pada na intervalu [a, b], kdaj potem x 1 > x 2 (kje x 1 in X 2 spadata v ta segment) imamo f(x 1)< f(x 2 ). Seveda se povedano ne razlikuje od definicije monotonosti, vendar je ta tehnika zelo priročna za pomnjenje in pisanje neenakosti.

Tako je na primer za vsako naravno število n funkcija y = x n vzdolž žarka monotono narašča {0} {0} }