Pravzaprav, da bi našli območje figure, ne potrebujete toliko znanja o nedoločenem in določenem integralu. Naloga »izračunaj ploščino z določenim integralom« vedno vključuje sestavo risbe, zato bo vaše znanje in spretnosti pri sestavljanju risb veliko bolj pereče vprašanje. V zvezi s tem je koristno osvežiti spomin na grafe osnovnih elementarnih funkcij in biti vsaj sposoben sestaviti ravno črto in hiperbolo.
Ukrivljeni trapez je ravna figura, omejena z osjo, ravnimi črtami in grafom funkcije, ki je neprekinjena na segmentu, ki na tem intervalu ne spremeni predznaka. Naj se ta številka nahaja ne manj x-os:
Potem je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu. Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen.
Z vidika geometrije je določen integral AREA.
To pomeni, da določen integral (če obstaja) geometrijsko ustreza območju določene figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa krivuljo na ravnini, ki se nahaja nad osjo (tisti, ki želijo, lahko naredijo risbo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.
Primer 1
To je tipična izjava o dodelitvi. Prva in najpomembnejša točka pri odločitvi je risanje. Poleg tega mora biti risba sestavljena PRAVILNO.
Pri konstruiranju risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej je bolje zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in šele nato - parabole, hiperbole in grafe drugih funkcij. Bolj donosno je sestaviti grafe funkcij od točke do točke.
V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo risbo (upoštevajte, da enačba določa os):
Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:
odgovor:
Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, približno 9 jih bo, zdi se, da je res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.
Primer 3
Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.
Rešitev: Narišimo:
Če se ukrivljeni trapez nahaja pod osjo (ali vsaj ne višje podana os), potem lahko njeno ploščino najdemo s formulo:
V tem primeru:
Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:
1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.
2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.
V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.
Primer 4
Poiščite ploščino ravninske figure, omejene s črtami , .
Rešitev: Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo točke presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:
To pomeni, da je spodnja meja integracije , zgornja meja integracije pa .
Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabite.
Veliko bolj dobičkonosno in hitreje je graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne »same od sebe«. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.
Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:
In zdaj delovna formula: Če je na segmentu neka zvezna funkcija večja ali enaka neki zvezni funkciji, potem je območje slike, omejeno z grafi teh funkcij in ravnimi črtami, mogoče najti s formulo: 
Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je, kateri graf je VIŠJI (glede na drug graf) in kateri SPODAJ.
V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od
Končana rešitev bi lahko izgledala takole:
Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:
odgovor:
Primer 4
Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .
Rešitev: Najprej naredimo risbo:
Figura, katere območje moramo najti, je osenčena z modro (pozorno poglejte stanje - kako omejena je figura!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi "napaka", da morate najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!
Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov.
res:
1) Na segmentu nad osjo je graf ravne črte;
2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.
Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:
V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S postavitvijo takšnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s poučevanjem določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijsko interpretacijo pridobljenega znanja v praksi.
Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:
- Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
- Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znane Newton-Leibnizove formule;
- Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumeti, kako bo v enem ali drugem primeru bolj priročno izvesti integracijo? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
- No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.
Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:
1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Nad vsakim grafom s svinčnikom podpišemo ime te funkcije. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.
2. Če meje integracije niso eksplicitno podane, poiščemo presečišča grafov med seboj in preverimo, ali naša grafična rešitev sovpada z analitično.
3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so razporejeni funkcijski grafi, obstajajo različni pristopi k iskanju območja figure. Oglejmo si različne primere iskanja območja figure z uporabo integralov.
3.1. Najbolj klasična in najpreprostejša različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y = 0), ravnimi črtami x = a, x = b in poljubno neprekinjeno krivuljo v intervalu od a do b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli:
Primer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 - 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OX, je nenegativna, ker vse točke te parabole imajo pozitivne vrednosti. Nato sta podani ravni črti x = 1 in x = 3, ki potekata vzporedno z osjo operacijskega ojačevalnika in sta mejni črti slike na levi in desni. No, y = 0, kar je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nato rešimo z uporabo Newton-Leibnizove formule.
3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni Newton-Leibnizovi formuli je dodan minus. Kako rešiti takšno težavo, bomo razmislili spodaj.
Primer 2. Izračunajte površino figure, ki je omejena s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izhaja izpod osi OX, premice x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno številko od zgoraj. Premici x = -4 in x = -1 sta meji, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da dana funkcija ni pozitivna in je tudi zvezna na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-ov, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.
Članek ni dokončan.
V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S postavitvijo takšnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s poučevanjem določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijsko interpretacijo pridobljenega znanja v praksi.
Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:
- Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
- Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znane Newton-Leibnizove formule;
- Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumeti, kako bo v enem ali drugem primeru bolj priročno izvesti integracijo? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
- No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.
Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:
1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Nad vsakim grafom s svinčnikom podpišemo ime te funkcije. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.
2. Če meje integracije niso eksplicitno podane, poiščemo presečišča grafov med seboj in preverimo, ali naša grafična rešitev sovpada z analitično.
3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so razporejeni funkcijski grafi, obstajajo različni pristopi k iskanju območja figure. Oglejmo si različne primere iskanja območja figure z uporabo integralov.
3.1. Najbolj klasična in najpreprostejša različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y = 0), ravnimi črtami x = a, x = b in poljubno neprekinjeno krivuljo v intervalu od a do b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli:
Primer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 - 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OX, je nenegativna, ker vse točke te parabole imajo pozitivne vrednosti. Nato sta podani ravni črti x = 1 in x = 3, ki potekata vzporedno z osjo operacijskega ojačevalnika in sta mejni črti slike na levi in desni. No, y = 0, kar je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nato rešimo z uporabo Newton-Leibnizove formule.
3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni Newton-Leibnizovi formuli je dodan minus. Kako rešiti takšno težavo, bomo razmislili spodaj.
Primer 2. Izračunajte površino figure, ki je omejena s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izhaja izpod osi OX, premice x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno številko od zgoraj. Premici x = -4 in x = -1 sta meji, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da dana funkcija ni pozitivna in je tudi zvezna na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-ov, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.
Članek ni dokončan.
Določen integral. Kako izračunati površino figureNadaljujmo z uporabo integralnega računa. V tej lekciji bomo analizirali tipično in najpogostejšo težavo - kako izračunati površino ravninske figure z uporabo določenega integrala. Končno tisti, ki iščete smisel v višji matematiki - naj ga najdejo. Nikoli ne veš. V resničnem življenju boste morali približati parcelo dače z uporabo elementarnih funkcij in poiskati njeno območje z določenim integralom.
Za uspešno obvladovanje gradiva morate:
1) Razumevanje nedoločenega integrala vsaj na srednji ravni. Tako naj se lutke najprej seznanijo z lekcijo Ne.
2) Znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo in izračunati določen integral. Na strani Določeni integral lahko vzpostavite tople prijateljske odnose z določenimi integrali. Primeri rešitev.
Pravzaprav, da bi našli območje figure, ne potrebujete toliko znanja o nedoločenem in določenem integralu. Naloga »izračunaj ploščino z določenim integralom« vedno vključuje sestavo risbe, zato bo vaše znanje in spretnosti pri sestavljanju risb veliko bolj pereče vprašanje. V zvezi s tem je koristno osvežiti spomin na grafe osnovnih elementarnih funkcij in vsaj znati sestaviti ravno črto, parabolo in hiperbolo. To je mogoče storiti (za mnoge je potrebno) s pomočjo metodološkega gradiva in članka o geometrijskih transformacijah grafov.
Pravzaprav so vsi seznanjeni z nalogo iskanja območja z uporabo določenega integrala že od šole in ne bomo šli veliko dlje od šolskega kurikuluma. Ta članek morda sploh ne bi obstajal, a dejstvo je, da se težava pojavi v 99 primerih od 100, ko študent trpi zaradi osovražene šole in navdušeno obvlada predmet višje matematike.
Gradivo te delavnice je predstavljeno preprosto, podrobno in z minimalno teorijo.
Začnimo z ukrivljenim trapezom.
Ukrivljeni trapez je ravna figura, omejena z osjo, ravnimi črtami in grafom funkcije, ki je neprekinjena na segmentu, ki na tem intervalu ne spremeni predznaka. Naj se ta številka nahaja ne manj x-os:
Potem je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu. Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Pri lekciji Določeni integral. Primeri rešitev Rekel sem, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA.
To pomeni, da določen integral (če obstaja) geometrijsko ustreza območju določene figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa krivuljo na ravnini, ki se nahaja nad osjo (tisti, ki želijo, lahko naredijo risbo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.
Primer 1
To je tipična izjava o dodelitvi. Prva in najpomembnejša točka pri odločitvi je risanje. Poleg tega mora biti risba sestavljena PRAVILNO.
Pri konstruiranju risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej je bolje zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in šele nato parabole, hiperbole in grafe drugih funkcij. Bolj donosno je graditi grafe funkcij točkovno, tehniko točkovne konstrukcije najdete v referenčnem gradivu Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Tam lahko najdete tudi zelo uporaben material za našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.
V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo risbo (upoštevajte, da enačba določa os):
Ukrivljenega trapeza ne bom senčil, tukaj je očitno, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:
Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:
odgovor:
Kdo ima težave z izračunom določenega integrala in uporabo Newton-Leibnizove formule 
, glej predavanje Določeni integral. Primeri rešitev.
Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru štejemo število celic na risbi "na oko" - no, približno 9 jih bo, zdi se res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.
Primer 2
Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami , , in osjo
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Kaj storiti, če se pod osjo nahaja ukrivljen trapez?
Primer 3
Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.
Rešitev: Narišimo: 
Če se ukrivljeni trapez nahaja pod osjo (ali vsaj ne višje podana os), potem lahko njeno ploščino najdemo s formulo:
V tem primeru: 
Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:
1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.
2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.
V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.
Primer 4
Poiščite ploščino ravninske figure, omejene s črtami , .
Rešitev: Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo točke presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:
To pomeni, da je spodnja meja integracije , zgornja meja integracije pa .
Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabite.
Veliko bolj dobičkonosno in hitreje je graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne »same od sebe«. Tehnika točkovne konstrukcije za različne grafe je podrobno obravnavana v pomoči Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.
Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo: 
Ponavljam, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje ugotavljajo »samodejno«.
In zdaj delovna formula: Če je na segmentu neka zvezna funkcija večja ali enaka neki zvezni funkciji, potem je območje slike, omejeno z grafi teh funkcij in ravnimi črtami, mogoče najti s formulo: 
Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je, kateri graf je VIŠJI (glede na drug graf) in kateri SPODAJ.
V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od
Končana rešitev bi lahko izgledala takole:
Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:
odgovor:
Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule 
. Ker je os določena z enačbo, se nahaja graf funkcije ne višje sekire, torej 
In zdaj nekaj primerov za vašo rešitev
Primer 5
Primer 6
Poiščite območje figure, omejeno s črtami , .
Pri reševanju nalog, ki vključujejo izračun ploščine z določenim integralom, se včasih zgodi kakšen smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, vendar zaradi neprevidnosti ... je bilo ugotovljeno območje napačne figure, točno tako se je vaš ponižni služabnik večkrat zmotil. Tukaj je primer iz resničnega življenja:
Primer 7
Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .
Rešitev: Najprej naredimo risbo: 
...Eh, risba je izpadla bedno, ampak se zdi, da je vse berljivo.
Figura, katere območje moramo najti, je osenčena z modro (pozorno poglejte stanje - kako omejena je figura!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi "napaka", da morate najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!
Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov. res:
1) Na segmentu nad osjo je graf ravne črte;
2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.
Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:
odgovor:
Pojdimo k drugi smiselni nalogi.
Primer 8
Izračunaj površino figure, omejene s črtami,
Predstavimo enačbe v "šolski" obliki in naredimo risbo po točkah: 
Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja "dobra": .
Toda kaj je spodnja meja?! Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj je? Morda? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, lahko se izkaže, da ... Ali pa korenina. Kaj pa, če smo graf sestavili narobe?
V takih primerih morate porabiti dodaten čas in analitično razjasniti meje integracije.
Poiščimo presečišča premice in parabole.
Da bi to naredili, rešimo enačbo: 
,
Res,.
Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih; izračuni tukaj niso najpreprostejši.
Na segmentu 
, po ustrezni formuli: 
odgovor: 
No, za zaključek lekcije si oglejmo še dve težji nalogi.
Primer 9
Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte , ,
Rešitev: Upodobimo to figuro na risbi. 
Prekleto, pozabil sem podpisati urnik in, oprostite, nisem hotel ponoviti slike. Ni dan za žrebanje, skratka, danes je dan =)
Za gradnjo po točkah morate poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno poznati grafe vseh osnovnih funkcij), pa tudi nekatere vrednosti sinusa, ki jih najdete v trigonometrično tabelo. V nekaterih primerih (kot v tem primeru) je mogoče sestaviti shematsko risbo, na kateri bi morali biti grafi in meje integracije načeloma pravilno prikazani.
Tukaj ni težav z mejami integracije; izhajajo neposredno iz pogoja: "x" se spremeni iz nič v "pi". Odločimo se še naprej:
Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:
Kako vstaviti matematične formule na spletno stran?
Če boste kdaj morali na spletno stran dodati eno ali dve matematični formuli, potem je to najlažji način, kot je opisano v članku: matematične formule se enostavno vstavijo na spletno mesto v obliki slik, ki jih samodejno ustvari Wolfram Alpha. . Poleg preprostosti bo ta univerzalna metoda pomagala izboljšati prepoznavnost spletnega mesta v iskalnikih. Deluje že dolgo (in mislim, da bo deloval večno), vendar je že moralno zastarel.
Če na svojem spletnem mestu redno uporabljate matematične formule, priporočam, da uporabite MathJax – posebno knjižnico JavaScript, ki prikazuje matematični zapis v spletnih brskalnikih z uporabo oznak MathML, LaTeX ali ASCIIMathML.
MathJax lahko začnete uporabljati na dva načina: (1) s preprosto kodo lahko na spletno stran hitro povežete skript MathJax, ki se ob pravem času samodejno naloži z oddaljenega strežnika (seznam strežnikov); (2) prenesite skript MathJax z oddaljenega strežnika na svoj strežnik in ga povežite z vsemi stranmi vašega spletnega mesta. Druga metoda - bolj zapletena in dolgotrajna - bo pospešila nalaganje strani vašega spletnega mesta in če nadrejeni strežnik MathJax iz nekega razloga postane začasno nedosegljiv, to na noben način ne bo vplivalo na vaše lastno spletno mesto. Kljub tem prednostim sem izbral prvo metodo, saj je preprostejša, hitrejša in ne zahteva tehničnega znanja. Sledite mojemu zgledu in v samo 5 minutah boste lahko uporabljali vse funkcije MathJaxa na svojem spletnem mestu.
Skript knjižnice MathJax lahko povežete z oddaljenega strežnika z uporabo dveh možnosti kode, vzetih z glavnega spletnega mesta MathJax ali na strani z dokumentacijo:
Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.
MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte pripomoček, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretjih oseb, vanj kopirajte prvo ali drugo različico kode za prenos, predstavljeno zgoraj, in pripomoček postavite bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.
Vsak fraktal je zgrajen po določenem pravilu, ki se dosledno uporablja neomejeno število krat. Vsak tak čas se imenuje ponovitev.
Iterativni algoritem za izdelavo Mengerjeve gobe je precej preprost: originalna kocka s stranico 1 je razdeljena z ravninami, vzporednimi z njenimi ploskvami, na 27 enakih kock. Iz nje se odstrani ena osrednja kocka in 6 kock, ki mejijo nanjo vzdolž ploskev. Rezultat je niz, sestavljen iz preostalih 20 manjših kock. Če enako naredimo z vsako od teh kock, dobimo niz, sestavljen iz 400 manjših kock. Če ta postopek nadaljujemo v nedogled, dobimo Mengerjevo gobo.
