Spletni kalkulator.
Izolacija kvadrata binoma in faktorizacija kvadratnega trinoma.

Tisti. težave se skrčijo na iskanje števil \(p, q\) in \(n, m\)

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja.

Ta program je lahko koristen za srednješolce v splošnih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate svoje usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega trinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vnos kvadratnega polinoma

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.

Števila lahko vnesete kot cela ali delna števila.
Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne samo v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celotnega dela ločen s piko ali vejico.
Tako lahko na primer vnesete decimalne ulomke: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen.

Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju vneseni izraz najprej poenostavimo.
Na primer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Primer podrobne rešitve

Izolacija kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \desno)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\levo(\frac(1)(2) \desno)\cdot x + \levo(\frac(1)(2) \desno)^2 \desno)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\levo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \levo(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \desno) = $$ $$ 2 \levo(x \levo(x +2 \desno) -1 \levo(x +2 \desno) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Ločitev kvadrata binoma od kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kot a(x+p) 2 +q, kjer sta p in q realni števili, potem pravimo, da iz kvadratni trinom, kvadrat binoma je poudarjen.

Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izluščimo kvadrat binoma.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Če želite to narediti, si predstavljajte 6x kot zmnožek 2*3*x, nato pa seštejte in odštejte 3 2. Dobimo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

to. mi izvleček kvadratnega binoma iz kvadratnega trinoma in pokazal, da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen v obliki a(x+n)(x+m), kjer sta n in m realni števili, se reče, da je bila operacija izvedena faktorizacija kvadratnega trinoma.

S primerom pokažimo, kako poteka ta preobrazba.

Razčlenimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.

Vzemimo koeficient a iz oklepaja, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformirajmo izraz v oklepajih.
Če želite to narediti, si predstavljajte 2x kot razliko 3x-1x in -3 kot -1*3. Dobimo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

to. mi faktoriziral kvadratni trinom in pokazal, da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Upoštevajte, da je faktoriziranje kvadratnega trinoma možno le, če ima kvadratna enačba, ki ustreza temu trinomu, korenine.
Tisti. v našem primeru je možno faktorizirati trinom 2x 2 +4x-6, če ima kvadratna enačba 2x 2 +4x-6 =0 korene. V procesu faktorizacije smo ugotovili, da ima enačba 2x 2 + 4x-6 = 0 dva korena 1 in -3, ker s temi vrednostmi se enačba 2(x-1)(x+3)=0 spremeni v pravo enakost.

Opredelitev

Izraze oblike 2 x 2 + 3 x + 5 imenujemo kvadratni trinomi. Na splošno je kvadratni trinom izraz v obliki a x 2 + b x + c, kjer so a, b, c a, b, c poljubna števila in a ≠ 0.

Razmislite o kvadratnem trinomu x 2 - 4 x + 5. Zapišimo ga v tej obliki: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Temu izrazu dodamo 2 2 in odštejemo 2 2, dobimo: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Upoštevajte, da je x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, torej x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Preobrazba, ki smo jo naredili, se imenuje "izolacija popolnega kvadrata od kvadratnega trinoma".

Določite popolni kvadrat iz kvadratnega trinoma 9 x 2 + 3 x + 1.

Upoštevajte, da je 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Potem `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Dobljenemu izrazu dodamo in odštejemo `(1/2)^2`, dobimo

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Pokazali bomo, kako se metoda izolacije popolnega kvadrata od kvadratnega trinoma uporablja za faktorizacijo kvadratnega trinoma.

Faktoriziraj kvadratni trinom 4 x 2 - 12 x + 5.

Iz kvadratnega trinoma izberemo popoln kvadrat: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Zdaj uporabimo formulo a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , dobimo: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Faktoriziraj kvadratni trinom - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Zdaj opazimo, da je 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Izrazu 9 x 2 - 12 x dodamo izraz 2 2, dobimo:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Uporabimo formulo za razliko kvadratov, imamo:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktoriziraj kvadratni trinom 3 x 2 - 14 x - 5 .

Izraza 3 x 2 ne moremo predstaviti kot kvadrat nekega izraza, ker tega v šoli še nismo učili. To boste šli kasneje, v nalogi št. 4 pa bomo preučevali kvadratne korene. Pokažimo, kako lahko faktorizirate dani kvadratni trinom:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Pokazali vam bomo, kako uporabiti metodo popolnega kvadrata za iskanje največje ali najmanjše vrednosti kvadratnega trinoma.
Razmislite o kvadratnem trinomu x 2 - x + 3. Izberite celoten kvadrat:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Upoštevajte, da je pri `x=1/2` vrednost kvadratnega trinoma `11/4`, pri `x!=1/2` pa se vrednosti `11/4` doda pozitivno število, tako da dobite število, večje od `11/ 4`. Tako je najmanjša vrednost kvadratnega trinoma `11/4` in jo dobimo, ko je `x=1/2`.

Poiščite največjo vrednost kvadratnega trinoma - 16 2 + 8 x + 6.

Iz kvadratnega trinoma izberemo popoln kvadrat: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Pri `x=1/4` je vrednost kvadratnega trinoma 7, pri `x!=1/4` pa se od števila 7 odšteje pozitivno število, kar pomeni, da dobimo število manjše od 7. Tako je število 7 največja vrednost kvadratnega trinoma in je pridobljeno z `x=1/4`.

Razčlenite števec in imenovalec ulomka `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` in pomanjšajte ulomek.

Upoštevajte, da je imenovalec ulomka x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Razložimo števec ulomka na faktorje z metodo izolacije celotnega kvadrata od kvadratnega trinoma. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .

Ta ulomek smo zmanjšali na obliko `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` po zmanjšanju za (x - 3) dobimo `(x+5)/(x-3) )`.

Polinom faktoriziraj x 4 - 13 x 2 + 36.

Za ta polinom uporabimo metodo izolacije celotnega kvadrata. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

x poklical

1.2.3. Uporaba skrajšanih množilnih istovetnosti

Primer. Faktor x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Faktoriziranje polinoma z uporabo njegovih korenin

Izrek. Naj ima polinom P x koren x 1 . Nato lahko ta polinom faktoriziramo na naslednji način: P x x x 1 S x , kjer je S x nek polinom, katerega stopnja je ena manjša

vrednosti izmenično v izraz za P x Dobimo, da ko x 2 vi-.

izraz se bo spremenil v 0, to je P 2 0, kar pomeni, da je x 2 koren multi-

član. Polinom P x delimo z x 2 .

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Izbira celotnega kvadrata

Metoda izbire celotnega kvadrata temelji na uporabi formul: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Izolacija celotnega kvadrata je identitetna transformacija, pri kateri je dani trinom predstavljen kot a b 2 vsota ali razlika kvadrata binoma in nekega številskega ali abecednega izraza.

Kvadratni trinom glede na spremenljivko daje izraz oblike

Nato predstavimo izraz b x kot 2b x (dvakratni produkt

Izrazu v oklepaju prištejemo in odštejemo število

2 x 12 7.

4 in 2,

1.4. Polinomi več spremenljivk

Polinome v več spremenljivkah, tako kot polinome v eni spremenljivki, lahko seštevamo, množimo in povišamo na naravno potenco.

Pomembna identitetna transformacija polinoma v več spremenljivkah je faktorizacija. Tu se uporabljajo takšne metode faktorizacije, kot so postavljanje skupnega faktorja izven oklepajev, združevanje, uporaba skrajšanih množilnih identitet, izolacija celotnega kvadrata in uvedba pomožnih spremenljivk.

1. Faktoriziraj polinom P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Faktor P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Uporabimo metodo združevanja

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Faktor P x ,y x 4 4y 4 . Izberimo celoten kvadrat:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Lastnosti stopnje s poljubnim racionalnim eksponentom

Stopnja s poljubnim racionalnim eksponentom ima naslednje lastnosti:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

kjer so a 0;b 0;r 1;r 2 poljubna racionalna števila.

1.6. Vaje, ki jih izvajate sami

1. Izvedite dejanja z uporabo skrajšanih formul za množenje. 1) a 52;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2.

4) 1 x 3;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Izračunajte z uporabo skrajšanih množilnih identitet:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Dokaži identitete:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax x2 bx ay2 .

4. Faktoriziraj naslednje polinome:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 sekira 3 45 sekira 2 45 sekira 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Izračunajte na najenostavnejši način:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Poiščite količnik in ostanek polinoma P x s polinomom Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5; Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2.

7. Dokaži, da polinom x 2 2x 2 nima pravih korenin.

8. Poiščite korenine polinoma:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3 x 2 5 x 15.

9. Faktor:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6 x 2 11 x 6.

10. Rešite enačbe z izolacijo celotnega kvadrata:

1) x 2 2 x 3 0;

2) x 2 13 x 30 0 .

11. Poiščite pomene izrazov:

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Izračunaj:

16 0,25

16 0,25

V tej lekciji se bomo spomnili vseh predhodno preučenih metod faktoriziranja polinoma in razmislili o primerih njihove uporabe, poleg tega pa bomo preučili novo metodo - metodo izolacije celotnega kvadrata in se jo naučili uporabljati pri reševanju različnih problemov . Zadeva:Faktoriziranje polinomov Lekcija:Faktoriziranje polinomov. Metoda izbire celotnega kvadrata. Kombinacija metod Spomnimo se osnovnih metod faktoriziranja polinoma, ki smo jih preučevali prej: Metoda postavljanja skupnega faktorja iz oklepaja, to je faktorja, ki je prisoten v vseh členih polinoma. Poglejmo primer: Spomnimo se, da je monom produkt potenc in števil. V našem primeru imata oba izraza nekaj skupnih, enakih elementov. Torej, vzemimo skupni faktor iz oklepajev: ; Naj vas spomnimo, da lahko z množenjem izvzetega faktorja z oklepajem preverite pravilnost izvzetega faktorja. Metoda združevanja. V polinomu ni vedno mogoče izluščiti skupnega faktorja. V tem primeru morate njene člane razdeliti v skupine tako, da lahko v vsaki skupini vzamete skupni faktor in ga poskusite razčleniti tako, da se po izločitvi dejavnikov v skupinah pojavi skupni dejavnik v celoten izraz in lahko nadaljujete z razgradnjo. Poglejmo primer: Združimo prvi člen s četrtim, drugi s petim in tretji s šestim: Izločimo skupne dejavnike v skupinah: Izraz ima zdaj skupni faktor. Vzemimo ven: Uporaba formul za skrajšano množenje. Poglejmo primer: ; Zapišimo izraz podrobno: Očitno je to formula za kvadrat razlike, saj je vsota kvadratov dveh izrazov in njun dvojni produkt se od tega odšteje. Uporabimo formulo: Danes se bomo naučili druge metode - metode izbire celotnega kvadrata. Temelji na formulah kvadrata vsote in kvadrata razlike. Naj jih spomnimo: Formula za kvadrat vsote (razlike); Posebnost teh formul je, da vsebujejo kvadrata dveh izrazov in njun dvojni produkt. Poglejmo primer: Zapišimo izraz: Torej, prvi izraz je , drugi pa . Da bi ustvarili formulo za kvadrat vsote ali razlike, dvakratni produkt izrazov ni dovolj. Treba je dodati in odšteti: Dopolnimo kvadrat vsote: Preoblikujemo dobljeni izraz: Uporabimo formulo za razliko kvadratov, spomnimo se, da je razlika kvadratov dveh izrazov produkt in vsota njune razlike: Torej, ta metoda je najprej sestavljena iz identifikacije izrazov a in b, ki sta kvadrirana, to je določanja, kateri izrazi so kvadrirani v tem primeru. Po tem morate preveriti, ali obstaja dvojni produkt, in če ga ni, ga dodajte in odštejte, to ne bo spremenilo pomena primera, vendar je polinom mogoče faktorizirati z uporabo formul za kvadrat vsoto ali razliko in razliko kvadratov, če je mogoče. Pojdimo k reševanju primerov. Primer 1 - faktorizacija: Poiščimo izraze, ki so na kvadrat: Zapišimo, kakšen mora biti njihov dvojni produkt: Dodajmo in odštejmo dvojni produkt: Dopolnimo kvadrat vsote in podajmo podobne: Zapišimo ga s formulo razlike kvadratov: Primer 2 - reši enačbo: ; Na levi strani enačbe je trinom. Razložiti ga morate na faktorje. Uporabljamo formulo kvadratne razlike: Imamo kvadrat prvega izraza in dvojni produkt, kvadrat drugega izraza manjka, seštejmo in odštejmo ga: Zložimo celoten kvadrat in podamo podobne izraze: Uporabimo formulo razlike kvadratov: Torej imamo enačbo Vemo, da je produkt enak nič le, če je vsaj eden izmed faktorjev enak nič. Na podlagi tega sestavimo naslednje enačbe: Rešimo prvo enačbo: Rešimo drugo enačbo: Odgovor: oz ; Nadaljujemo podobno kot v prejšnjem primeru - izberemo kvadrat razlike. Kot sem že omenil, v integralnem računu ni priročne formule za integracijo ulomka. In zato obstaja žalosten trend: bolj sofisticiran kot je ulomek, težje je najti njegov integral. V zvezi s tem se morate zateči k različnim trikom, o katerih vam bom zdaj povedal. Pripravljeni bralci lahko takoj izkoristijo kazalo: Metoda subsumiranja diferencialnega predznaka za enostavne ulomke Metoda pretvorbe umetnega števca Primer 1 Mimogrede, obravnavani integral je mogoče rešiti tudi s spremembo metode spremenljivke, ki označuje , vendar bo pisanje rešitve veliko daljše. Primer 2 Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje. To je primer, ki ga morate rešiti sami. Upoštevati je treba, da metoda zamenjave spremenljivk tukaj ne bo več delovala. Pozor, pomembno! Primera št. 1, 2 sta značilna in se pogosto pojavljata. Zlasti takšni integrali pogosto nastanejo med reševanjem drugih integralov, zlasti pri integraciji iracionalnih funkcij (korenin). Obravnavana tehnika deluje tudi v primeru če je najvišja stopnja števca večja od najvišje stopnje imenovalca. Primer 3 Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje. Začnemo izbirati števec. Algoritem za izbiro števca je približno tak: 1) V števcu moram organizirati, ampak tam. Kaj storiti? Dam v oklepaj in pomnožim z: . 2) Zdaj poskušam odpreti te oklepaje, kaj se zgodi? . Hmm ... to je že bolje, ampak v števcu na začetku ni dveh. Kaj storiti? Morate pomnožiti z: 3) Ponovno odpiram oklepaje: . In tu je prvi uspeh! Izkazalo se je ravno prav! Toda problem je, da se je pojavil dodaten izraz. Kaj storiti? Da preprečim spremembo izraza, moram svoji konstrukciji dodati isto: . Življenje je postalo lažje. Ali je mogoče ponovno organizirati v števcu? 4) Možno je. Poskusimo: . Odprite oklepaje drugega izraza: . Oprostite, toda v prejšnjem koraku sem dejansko imel , ne . Kaj storiti? Drugi izraz morate pomnožiti z: 5) Ponovno, da preverim, odprem oklepaje v drugem izrazu: . Zdaj je normalno: izhaja iz končne konstrukcije točke 3! Ampak spet obstaja majhen "ampak", pojavil se je dodaten izraz, kar pomeni, da moram svojemu izrazu dodati: Če je vse narejeno pravilno, bi morali, ko odpremo vse oklepaje, dobiti prvotni števec integranda. Preverjamo: Hood. Tako: pripravljena V zadnjem terminu sem uporabil metodo subsumiranja funkcije pod diferencial. Če najdemo odvod odgovora in reduciramo izraz na skupni imenovalec, potem bomo dobili natanko originalno funkcijo integranda. Obravnavana metoda razgradnje v vsoto ni nič drugega kot obratno dejanje spravljanja izraza na skupni imenovalec. Algoritem za izbiro števca v takih primerih je najbolje narediti v obliki osnutka. Z nekaj veščinami bo delovalo mentalno. Spomnim se rekordnega primera, ko sem izvajal selekcijo na 11. potenco in je razširitev števnika zavzela skoraj dve vrstici Verda. Primer 4 Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje. To je primer, ki ga morate rešiti sami. Metoda subsumiranja diferencialnega predznaka za enostavne ulomke Pojdimo k preučitvi naslednje vrste ulomkov. , , , (koeficienti in niso enaki nič). Pravzaprav je bilo nekaj primerov z arksinusom in arktangensom že omenjenih v lekciji Metoda spreminjanja spremenljivke v nedoločenem integralu. Takšne primere rešujemo tako, da funkcijo podstavimo pod diferencialni predznak in nadalje integriramo s tabelo. Tukaj je bolj tipičnih primerov z dolgimi in visokimi logaritmi: Primer 5 Primer 6 Tukaj je priporočljivo vzeti tabelo integralov in videti, katere formule in kako pride do preobrazbe. Opomba, kako in zakaj Kvadrati v teh primerih so poudarjeni. Zlasti v primeru 6 moramo najprej predstaviti imenovalec v obliki , nato pa ga pripeljite pod znak diferenciala. In vse to je treba narediti za uporabo standardne tabelarične formule . Zakaj bi gledali, poskusite sami rešiti primera št. 7, 8, še posebej, ker sta precej kratka: Primer 7 Primer 8 Poiščite nedoločen integral: Če vam uspe preveriti tudi te primere, potem veliko spoštovanje - vaše sposobnosti razlikovanja so odlične. Metoda izbire polnega kvadrata Integrali oblike (koeficienti in niso enaki nič) so rešeni metoda popolne kvadratne ekstrakcije, ki se je že pojavila v lekciji Geometrijske transformacije grafov. Pravzaprav se takšni integrali reducirajo na enega od štirih tabelarnih integralov, ki smo si jih pravkar ogledali. In to dosežemo z znanimi skrajšanimi formulami za množenje: Formule se uporabljajo ravno v tej smeri, to je, da je ideja metode umetno organizirati izraze v imenovalcu in jih nato ustrezno pretvoriti v bodisi. Primer 9 Poiščite nedoločen integral To je najpreprostejši primer, v katerem z izrazom – enotski koeficient(ne neka številka ali minus). Poglejmo imenovalec, tukaj je vsa zadeva očitno le naključje. Začnimo pretvarjati imenovalec: Očitno morate dodati 4. In, da se izraz ne spremeni, odštejte iste štiri: Zdaj lahko uporabite formulo: Po končani pretvorbi NENEHNO Priporočljivo je, da izvedete obratno potezo: vse je v redu, ni napak. Končna zasnova zadevnega primera bi morala izgledati nekako takole: pripravljena Vključevanje »proste« kompleksne funkcije pod diferencialni predznak: načeloma lahko zanemarimo Primer 10 Poiščite nedoločen integral: To je primer, ki ga morate rešiti sami, odgovor je na koncu lekcije Primer 11 Poiščite nedoločen integral: Kaj storiti, ko je spredaj minus? V tem primeru moramo minus vzeti iz oklepaja in izraze razporediti v vrstnem redu, ki ga potrebujemo: . Konstanta("dva" v tem primeru) ne dotikaj se! Zdaj dodamo enega v oklepaju. Če analiziramo izraz, pridemo do zaključka, da moramo enega dodati zunaj oklepaja: Tukaj dobimo formulo, uporabimo: NENEHNO Preverimo osnutek: , kar je bilo treba preveriti. Čisti primer izgleda nekako takole: Otežitev naloge Primer 12 Poiščite nedoločen integral: Tukaj izraz ni več koeficient enote, ampak "pet". (1) Če obstaja konstanta pri, jo takoj vzamemo iz oklepaja. (2) Na splošno je vedno bolje to konstanto premakniti izven integrala, da ne bo v napoto. (3) Očitno se bo vse spustilo na formulo. Razumeti moramo izraz, in sicer dobiti "dvojico" (4) Ja, . To pomeni, da izrazu dodajamo in odštevamo isti ulomek. (5) Zdaj izberite celoten kvadrat. V splošnem primeru moramo izračunati tudi , vendar imamo tukaj formulo za dolgi logaritem , in nima smisla izvajati dejanja, bo jasno v nadaljevanju. (6) Pravzaprav lahko uporabimo formulo , le namesto “X” imamo , kar pa ne zanika veljavnosti tabelnega integrala. Strogo gledano je bil zgrešen en korak - pred integracijo bi morala biti funkcija pod diferencialnim predznakom: , a kot sem že večkrat ugotovil, je to pogosto zanemarjeno. (7) V odgovoru pod korenom je priporočljivo razširiti vse oklepaje nazaj: Težko? To ni najtežji del integralnega računa. Čeprav obravnavani primeri niso toliko zapleteni, saj zahtevajo dobre računalniške tehnike. Primer 13 Poiščite nedoločen integral: To je primer, ki ga morate rešiti sami. Odgovor je na koncu lekcije. Obstajajo integrali s koreni v imenovalcu, ki se s pomočjo substitucije reducirajo na integrale obravnavanega tipa, o njih lahko preberete v članku Kompleksni integrali, vendar je namenjen zelo pripravljenim študentom. Vštevanje števca pod diferencialni znak To je zadnji del lekcije, vendar so integrali te vrste precej pogosti! Če ste utrujeni, je morda bolje, da jutri preberete? ;) Integrali, ki jih bomo obravnavali, so podobni integralom iz prejšnjega odstavka, imajo obliko: oz (koeficienti , in niso enaki nič). To pomeni, da imamo zdaj linearno funkcijo v števcu. Kako rešiti take integrale? Vam je bil članek všeč? Delite s prijatelji! Delite naprej Facebook Preberite tudi O rešitvi degeneriranih in slabo pogojenih sistemov linearnih algebrskih enačb Rešitev nelinearnih enačb in sistemov nelinearnih enačb Kako otroku na preprost način razložiti seštevanje in odštevanje dvomestnih števil? Kakšne so lastnosti in ime snovi NH3? Predstavitev okoljskih problemov Krima Projekt o vodni ekologiji na Krimu Analiza Lovilec v rži Salingerja "Mahabharata", ki jo je uredil B Lekcija pismenosti "Branje besed s črko y" Kitajska vojska: velikost, sestava, orožje Noak Kitajske Vrh