Pogojni zakoni porazdelitve. Regresija.

Opredelitev. Pogojni porazdelitveni zakon ene od enodimenzionalnih komponent dvodimenzionalne naključne spremenljivke (X, Y) je njen porazdelitveni zakon, izračunan pod pogojem, da je druga komponenta zavzela določeno vrednost (ali padla v nek interval). V prejšnjem predavanju smo si ogledali iskanje pogojnih porazdelitev za diskretne naključne spremenljivke. Tam so podane tudi formule za pogojne verjetnosti:

V primeru zveznih naključnih spremenljivk je treba določiti verjetnostne gostote pogojnih porazdelitev j y (x) in j X (y). V ta namen v podanih formulah zamenjamo verjetnosti dogodkov z njihovimi “elementi verjetnosti”!

po zmanjšanju za dx in dy dobimo:

tiste. pogojna gostota verjetnosti ene od enodimenzionalnih komponent dvodimenzionalne naključne spremenljivke je enaka razmerju njene skupne gostote proti verjetnostni gostoti druge komponente. Te relacije so zapisane v obliki

se imenujejo izrek (pravilo) za množenje porazdelitvenih gostot.

Pogojni gostoti j y (x) in j X (y). imajo vse lastnosti "brezpogojne" gostote.

Pri preučevanju dvodimenzionalnih naključnih spremenljivk se upoštevajo numerične značilnosti enodimenzionalnih komponent X in Y - matematična pričakovanja in variance. Za zvezno naključno spremenljivko (X, Y) jih določajo formule:

Poleg njih so upoštevane tudi numerične značilnosti pogojnih porazdelitev: pogojna matematična pričakovanja M x (Y) in M ​​y (X) ter pogojne variance D x (Y) in D Y (X). Te značilnosti se najdejo z uporabo običajnih formul matematičnega pričakovanja in variance, v katerih se namesto verjetnosti dogodkov ali gostote verjetnosti uporabljajo pogojne verjetnosti ali pogojne gostote verjetnosti.

Pogojno matematično pričakovanje naključne spremenljivke Y pri X = x, tj. M x (Y) je funkcija x, imenovana regresijska funkcija ali preprosto regresija Y na X. Podobno se M Y (X) imenuje regresijska funkcija ali preprosto regresija X na Y. Grafi teh funkcij so imenovane regresijske črte (ali regresijske krivulje) Y po X oziroma X po Y.

Odvisne in neodvisne naključne spremenljivke.

Opredelitev. Naključni spremenljivki X in Y se imenujeta neodvisni, če je njuna skupna porazdelitvena funkcija F(x,y) predstavljena kot produkt porazdelitvenih funkcij F 1 (x) in F 2 (y) teh naključnih spremenljivk, tj.

V nasprotnem primeru se naključni spremenljivki X in Y imenujeta odvisni.

Če enakost dvakrat diferenciramo glede na argumenta x in y, dobimo

tiste. za neodvisni zvezni naključni spremenljivki X in Y je njuna skupna gostota j(x,y) enaka produktu verjetnostnih gostot j 1 (x) in j 2 (y) teh naključnih spremenljivk.

Do sedaj smo se srečevali s konceptom funkcionalnega odnosa med spremenljivkama X in Y, ko je vsaka vrednost x ene spremenljivke ustrezala strogo določeni vrednosti druge. Na primer, razmerje med dvema naključnima spremenljivkama – številom okvarjenih kosov opreme v določenem časovnem obdobju in njihovimi stroški – je funkcionalno.

Na splošno se soočajo z drugačno vrsto odvisnosti, manj hudo od funkcionalne.

Opredelitev. Razmerje med dvema naključnima spremenljivkama se imenuje verjetnostno (stohastično ali statistično), če vsaka vrednost ene od njiju ustreza določeni (pogojni) porazdelitvi druge.

V primeru verjetnostne (stohastične) odvisnosti je nemogoče, če poznate vrednost ene od njih, natančno določiti vrednost druge, lahko pa samo navedete porazdelitev druge količine. Na primer razmerje med številom okvar opreme in stroški njenih preventivnih popravil, težo in višino osebe, časom, ki ga šolar porabi za gledanje televizijskih programov in branje knjig itd. so verjetnostni (stohastični).

Na sl. Slika 5.10 prikazuje primere odvisnih in neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y.

iz česar sklepamo, da sta m1, m2 matematična pričakovanja komponent X, Y dvodimenzionalne normalne naključne spremenljivke (X, Y), σ1, σ2 sta standardna odstopanja njunih komponent.

Graf dvodimenzionalne normalne gostote v prostoru je ploskev v obliki hriba, ki se nahaja nad celotno ravnino xOy, asimptotično se ji približuje, ko je odmaknjena v neskončnost, simetrična glede na navpično os, ki poteka skozi središče (m1, m2), in z točko na tej točki. Vsak odsek površine grafa normalne gostote z ravnino, pravokotno na xOy, je Gaussova krivulja.

6.5 Odvisnost in neodvisnost dveh slučajnih spremenljivk

Opredelitev. Naključne spremenljivke X, Y imenujemo neodvisne, če so dogodki X neodvisni< x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y) называются зависимыми.

Izrek. Splošni nujni in zadostni pogoj za neodvisnost dveh naključnih spremenljivk:

FXY (x, y) = FX (x) FY (y)

za poljubna realna x in y.

Ta pogoj je drugače zapisan nujni in zadostni pogoj za neodvisnost dveh dogodkov: P (AB) = P (A)P (B) za primer dogodkov A = (X< x), B = (Y < y).

Izrek. Nujen in zadosten pogoj za neodvisnost dveh zveznih naključnih spremenljivk:

fXY (x, y) = fX (x) fY (y), x, y.

Izrek. Potreben in zadosten pogoj za neodvisnost dveh diskretnih naključnih spremenljivk:

p ik= p i · p k

za vsak i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n.

Komentiraj. Enakost korelacijskega koeficienta ρ nič je nujen in zadosten pogoj za neodvisnost komponent X, Y dvodimenzionalne normalne slučajne spremenljivke (X, Y).

6.6 Pogojni zakoni porazdelitve. Numerične značilnosti dvodimenzionalne naključne spremenljivke. Odnos med naključnimi spremenljivkami

6.6.1 Pogojni zakoni porazdelitve

Opredelitev. Zakon o pogojni distribuciji ena od enodimenzionalnih komponent dvodimenzionalne naključne spremenljivke (X, Y) se imenuje njen porazdelitveni zakon, izračunan pod pogojem, da je druga komponenta prevzela določeno vrednost (ali padla v nekaj intervala).

V primeru diskretnih naključnih spremenljivk imajo formule za iskanje pogojnih verjetnosti obliko:

V primeru zveznih naključnih spremenljivk imajo te formule obliko

tiste. pogojna gostota verjetnosti ene od enodimenzionalnih komponent dvodimenzionalne naključne spremenljivke je enaka razmerju njene skupne gostote proti verjetnostni gostoti njene druge komponente.

Ta razmerja, zapisana v obrazcu

fXY (x, y) = fX (x)fX (y) = fX (y)fY (x),

se imenujejo izrek (pravilo) za množenje porazdelitvenih gostot.

S formulami za pridobivanje enodimenzionalnih komponent zvezne naključne spremenljivke zapišemo formule za pogojne komponente:

6.6.2 Numerične značilnosti

Upoštevajte naključno spremenljivko ϕ(X, Y), ki je funkcija komponent X, Y dvodimenzionalne naključne spremenljivke (X, Y). Veljajo splošne formule:

za diskretni primer.

Tu je fXY (x, y) gostota verjetnosti naključne spremenljivke (X, Y) in pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, . ., n) - zakon diskretne dvodimenzionalne spremenljivke

Z uporabo teh formul lahko napišete formule za matematično pričakovanje in disperzijo enodimenzionalnih komponent diskretne naključne spremenljivke.

Formule za iskanje matematičnega pričakovanja so:

M(Y) = yfXY (x, y)dxdy

za zvezne naključne spremenljivke;

M(X) = xi pik;

M(Y) = yk pik

za diskretni primer.

Formule za izračun variance enodimenzionalnih komponent dvodimenzionalne naključne spremenljivke imajo obliko:

D(Y) = M[(Y − M(Y))2 ] = (yk − M(Y))pik

za diskretni primer.

6.6.3 Korelacijski moment in korelacijski koeficient

Funkcionalne značilnosti odvisnosti dveh naključnih spremenljivk so bile formulirane zgoraj. Oglejmo si zdaj numerične značilnosti odnosa med naključnimi spremenljivkami.

Opredelitev. Korelacijski moment K XY, drugače - kovarianca , dve naključni spremenljivki X, Y imenujemo matematično pričakovanje produkta odstopanj teh naključnih spremenljivk od njihovih matematičnih pričakovanj:

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

Očitno je KXY = KY X.

Formule za izračun KXY so:

Naključne spremenljivke imenujemo neodvisne, če porazdelitveni zakon ene od njih ni odvisen od vrednosti druge naključne spremenljivke. Koncept odvisnosti naključnih spremenljivk je zelo pomemben v teoriji verjetnosti. Pogojne porazdelitve neodvisnih naključnih spremenljivk so enake njihovim brezpogojnim porazdelitvam. Določimo potrebne in zadostne pogoje za neodvisnost slučajnih spremenljivk.

Izrek. Da sta naključni spremenljivki X in Y neodvisni, je nujno in zadostno, da je porazdelitvena funkcija sistema (X, Y) enaka produktu porazdelitvenih funkcij komponent.

Podoben izrek lahko formuliramo za gostoto porazdelitve:

Izrek. Da bi bili slučajni spremenljivki X in Y neodvisni, je nujno in zadostno, da je skupna gostota porazdelitve sistema (X, Y) enaka produktu gostot porazdelitve komponent.

Korelacijski moment mxy naključnih spremenljivk X in Y je matematično pričakovanje produkta odstopanj teh vrednosti.

V praksi se uporabljajo naslednje formule:

Za diskretne naključne spremenljivke:

Za zvezne naključne spremenljivke:

Korelacijski moment služi za karakterizacijo odnosa med naključnimi spremenljivkami. Če so naključne spremenljivke neodvisne, je njihov korelacijski moment enak nič.

Korelacijski moment ima dimenzijo, ki je enaka zmnožku dimenzij naključnih spremenljivk X in Y. To dejstvo je pomanjkljivost te numerične značilnosti, ker Z različnimi merskimi enotami dobimo različne korelacijske momente, kar otežuje primerjavo korelacijskih momentov različnih slučajnih spremenljivk.

Da bi odpravili to pomanjkljivost, se uporablja še ena značilnost - korelacijski koeficient.

Korelacijski koeficient rxy slučajnih spremenljivk X in Y je razmerje med korelacijskim momentom in produktom standardnih odklonov teh vrednosti.

Korelacijski koeficient je brezdimenzijska količina. Korelacijski koeficient neodvisnih naključnih spremenljivk je enak nič.

Lastnost: Absolutna vrednost korelacijskega momenta dveh naključnih spremenljivk X in Y ne presega geometrične sredine njunih varianc.

Lastnost: Absolutna vrednost korelacijskega koeficienta ne presega ena.

Naključne spremenljivke imenujemo korelirane, če je njihov korelacijski moment različen od nič, in nekorelirane, če je njihov korelacijski moment enak nič.

Če so naključne spremenljivke neodvisne, potem so nekorelirane, vendar iz nekorelacije ne moremo sklepati, da so neodvisne.

Če sta dve količini odvisni, potem sta lahko korelirani ali nekorelirani.

Pogosto lahko iz dane gostote porazdelitve sistema naključnih spremenljivk določimo odvisnost ali neodvisnost teh spremenljivk.

Poleg korelacijskega koeficienta lahko stopnjo odvisnosti naključnih spremenljivk označimo z drugo količino, ki se imenuje kovariančni koeficient. Koeficient kovariance se določi po formuli:

Primer. Podana je gostota porazdelitve sistema naključnih spremenljivk X in Y.

Ugotovite, ali sta naključni spremenljivki X in Y neodvisni.

Za rešitev tega problema transformiramo gostoto porazdelitve:

Tako bi lahko gostoto porazdelitve predstavili kot produkt dveh funkcij, od katerih je ena odvisna samo od x, druga pa samo od y. Tisti. naključni spremenljivki X in Y sta neodvisni. Seveda bodo tudi nekorelirani.

Dve naključni spremenljivki $X$ in $Y$ se imenujeta neodvisni, če se distribucijski zakon ene naključne spremenljivke ne spremeni glede na možne vrednosti druge naključne spremenljivke. To pomeni, da sta dogodka $X=x$ in $Y=y$ neodvisna za poljubna $x$ in $y$. Ker sta dogodka $X=x$ in $Y=y$ neodvisna, potem po izreku produkta verjetnosti neodvisnih dogodkov $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ desno)\desno)=P \levo(X=x\desno)P\levo(Y=y\desno)$.

Primer 1 . Naj naključna spremenljivka $X$ izraža denarne dobitke na srečkah ene loterije "Ruski loto", naključna spremenljivka $Y$ pa izraža denarne dobitke na srečkah druge loterije "Zlati ključ". Očitno je, da bodo naključne spremenljivke $X,\Y$ neodvisne, saj dobitek na srečkah ene loterije ni odvisen od zakona porazdelitve dobitkov na srečkah druge loterije. V primeru, da bi naključne spremenljivke $X,\Y$ izražale dobitke iste loterije, bi bile te naključne spremenljivke očitno odvisne.

Primer 2 . Dva delavca delata v različnih delavnicah in proizvajata različne izdelke, ki med seboj niso povezani po proizvodnih tehnologijah in uporabljenih surovinah. Porazdelitveni zakon za število izdelkov z napako, ki jih izdela prvi delavec na izmeno, ima naslednjo obliko:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
Število \ okvarjenih \ izdelkov \ x & 0 & 1 \\
\hline
Verjetnost & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\konec(matrika)$

Število izdelkov z napako, ki jih proizvede drugi delavec na izmeno, je podrejeno naslednjemu zakonu porazdelitve.

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
Število \ okvarjenih \ izdelkov \ y & 0 & 1 \\
\hline
Verjetnost & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\konec(matrika)$

Poiščimo porazdelitveni zakon za število izdelkov z napako, ki jih proizvedeta dva delavca v izmeni.

Naj bo naključna spremenljivka $X$ število izdelkov z napako, ki jih proizvede prvi delavec na izmeno, $Y$ pa število izdelkov z napako, ki jih proizvede drugi delavec na izmeno. Po pogoju sta naključni spremenljivki $X,\Y$ neodvisni.

Število izdelkov z napako, ki jih proizvedeta dva delavca na izmeno, je naključna spremenljivka $X+Y$. Njegove možne vrednosti so $0,\ 1$ in $2$. Poiščimo verjetnosti, s katerimi naključna spremenljivka $X+Y$ zavzame svoje vrednosti.

$P\levo(X+Y=0\desno)=P\levo(X=0,\Y=0\desno)=P\levo(X=0\desno)P\levo(Y=0\desno) =0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\levo(X+Y=1\desno)=P\levo(X=0,\Y=1\ ali\X=1,\Y=0\desno)=P\levo(X=0\desno )P\levo(Y=1\desno)+P\levo(X=1\desno)P\levo(Y=0\desno)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\levo(X+Y=2\desno)=P\levo(X=1,\Y=1\desno)=P\levo(X=1\desno)P\levo(Y=1\desno) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Nato zakon porazdelitve števila izdelkov z napako, ki jih izdelata dva delavca na izmeno:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
Število \ okvarjenih \ izdelkov & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Verjetnost & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\konec(matrika)$

V prejšnjem primeru smo izvedli operacijo nad naključnimi spremenljivkami $X,\Y$, in sicer smo našli njihovo vsoto $X+Y$. Podajte zdaj strožjo definicijo operacij (seštevanje, razlika, množenje) nad naključnimi spremenljivkami in navedite primere rešitev.

Definicija 1. Produkt $kX$ naključne spremenljivke $X$ s konstantno spremenljivko $k$ je naključna spremenljivka, ki zavzema vrednosti $kx_i$ z enakimi verjetnostmi $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \pike ,\ n\ desno)$.

Definicija 2. Vsota (razlika ali produkt) naključnih spremenljivk $X$ in $Y$ je naključna spremenljivka, ki ima vse možne vrednosti oblike $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ ali $x_i\cdot y_i$) , kjer je $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, z verjetnostmi $p_(ij)$, da bo naključna spremenljivka $X$ prevzela vrednost $x_i$, $Y$ pa vrednost $y_j$:

$$p_(ij)=P\levo[\levo(X=x_i\desno)\levo(Y=y_j\desno)\desno].$$

Ker sta naključni spremenljivki $X,\Y$ neodvisni, je v skladu z izrekom o množenju verjetnosti za neodvisne dogodke: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ desno)= p_i\cdot p_j$.

Primer 3 . Neodvisne naključne spremenljivke $X,\ Y$ so podane z njihovimi zakoni porazdelitve verjetnosti.

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\konec(matrika)$

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\konec(matrika)$

Formulirajmo porazdelitveni zakon naključne spremenljivke $Z=2X+Y$. Vsota naključnih spremenljivk $X$ in $Y$, to je $X+Y$, je naključna spremenljivka, ki ima vse možne vrednosti oblike $x_i+y_j$, kjer je $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , z verjetnostmi $p_(ij)$, da bo naključna spremenljivka $X$ prevzela vrednost $x_i$, $Y$ pa vrednost $y_j$: $p_(ij)=P\left [\levo(X=x_i\desno )\levo(Y=y_j\desno)\desno]$. Ker sta naključni spremenljivki $X,\Y$ neodvisni, je v skladu z izrekom o množenju verjetnosti za neodvisne dogodke: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ desno)= p_i\cdot p_j$.

Torej ima distribucijske zakone za naključne spremenljivke $2X$ oziroma $Y$.

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\konec(matrika)$

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\konec(matrika)$

Za udobje iskanja vseh vrednosti vsote $Z=2X+Y$ in njihovih verjetnosti bomo sestavili pomožno tabelo, v vsaki celici katere bomo v levi kot postavili vrednosti vsote $ Z=2X+Y$, v desnem kotu pa - verjetnosti teh vrednosti, dobljene kot rezultat množenja verjetnosti ustreznih vrednosti naključnih spremenljivk $2X$ in $Y$.

Kot rezultat dobimo porazdelitev $Z=2X+Y$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\konec(matrika)$

Pojma odvisnosti in neodvisnosti naključnih dogodkov. Pogojna verjetnost. Formule za seštevanje in množenje verjetnosti odvisnih in neodvisnih naključnih dogodkov. Formula popolne verjetnosti in Bayesova formula.

Verjetnostni adicijski izreki

Poiščimo verjetnost vsote dogodkov A in B (ob predpostavki njune združljivosti ali nezdružljivosti).

Izrek 2.1. Verjetnost vsote končnega števila nekompatibilnih dogodkov je enaka vsoti njihovih verjetnosti:

P\(A+B+\lpike+N\)=P\(A\)+P\(B\)+\lpike+P\(N\).

Primer 1. Verjetnost, da bo trgovina prodala par moških čevljev velikosti 44, je 0,12; 45. - 0,04; 46. ​​in več - 0,01. Poiščite verjetnost, da bo prodan par moških čevljev vsaj velikosti 44.

rešitev. Zahtevani dogodek D se bo zgodil, če bo prodan par čevljev velikosti 44 (dogodek A) ali velikosti 45 (dogodek B) ali vsaj velikosti 46 (dogodek C), tj. dogodek D je vsota dogodkov A, B ,C . Dogodki A, B in C so nekompatibilni. Zato po izreku vsote verjetnosti dobimo

P\(D\)=P\(A+B+C\)=P\(A\)+P\(B\)+P\(C\)=0,\!12+0,\!04 +0,\!01 =0,\!17.

Primer 2. Pod pogoji primera 1 poiščite verjetnost, da bo prodan naslednji par čevljev, manjših od številke 44.

rešitev. Dogodka »prodan bo naslednji par čevljev, manjših od številke 44« in »prodan bo par čevljev, manjših od številke 44«, sta nasprotna. Zato je po formuli (1.2) verjetnost pojava želenega dogodka

P\(\overline(D)\)=1-P\(D\)=1-0,\!17=0,\!83.

ker je P\(D\)=0,\!17 kot je bilo ugotovljeno v primeru 1.

Izrek 2.1 seštevanja verjetnosti velja samo za nekompatibilne dogodke. Njegova uporaba za iskanje verjetnosti skupnih dogodkov lahko vodi do napačnih in včasih absurdnih zaključkov, kot je jasno razvidno iz naslednjega primera. Naj pravočasnost izvedbe naročila s strani Electre Ltd ocenimo z verjetnostjo 0,7. Kolikšna je verjetnost, da bo podjetje od treh naročil vsaj eno opravilo pravočasno? Dogodke, da bo podjetje pravočasno izpolnilo prvo, drugo in tretje naročilo, označujemo z A, B, C. Če za iskanje želene verjetnosti uporabimo izrek 2.1 o seštevanju verjetnosti, dobimo P\(A+B+C\)=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1. Izkazalo se je, da je verjetnost dogodka večja od ena, kar je nemogoče. To je razloženo z dejstvom, da so dogodki A, B, C skupni. Pravočasna izpolnitev prvega naročila namreč ne izključuje pravočasne izpolnitve drugih dveh.

Oblikujmo izrek za seštevanje verjetnosti v primeru dveh skupnih dogodkov (upoštevana bo verjetnost njunega skupnega nastopa).

Izrek 2.2. Verjetnost vsote dveh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dveh dogodkov brez verjetnosti njunega skupnega nastopa:

P\(A+B\)=P\(A\)+P\(B\)-P\(AB\).

Odvisni in neodvisni dogodki. Pogojna verjetnost

Obstajajo odvisni in neodvisni dogodki. Dva dogodka imenujemo neodvisna, če nastop enega od njiju ne spremeni verjetnosti pojava drugega. Na primer, če v delavnici obratujeta dve avtomatski liniji, ki zaradi proizvodnih pogojev nista med seboj povezani, so zaustavitve teh linij neodvisni dogodki.

Primer 3. Kovanec se vrže dvakrat. Verjetnost, da se "grb" pojavi v prvem poskusu (dogodek A), ni odvisna od pojava ali nepojavitve "grba" v drugem poskusu (dogodek B). Po drugi strani pa verjetnost, da se bo "grb" pojavil v drugem poskusu, ni odvisna od rezultata prvega poskusa. Tako sta dogodka A in B neodvisna.

Poklicanih je več dogodkov kolektivno neodvisni, če kateri od njih ni odvisen od katerega koli drugega dogodka in od katere koli kombinacije drugih.

Dogodki se imenujejo odvisen, če eden od njih vpliva na verjetnost drugega. Dva proizvodna obrata sta na primer povezana z enim tehnološkim ciklom. Potem je verjetnost okvare enega od njih odvisna od stanja drugega. Verjetnost enega dogodka B, izračunana ob predpostavki pojava drugega dogodka A, se imenuje pogojna verjetnost dogodek B in je označen s P\(B|A\) .

Pogoj za neodvisnost dogodka B od dogodka A je zapisan v obliki P\(B|A\)=P\(B\) , pogoj za njegovo odvisnost pa v obliki P\(B|A\)\ne(P\(B\)). Oglejmo si primer izračuna pogojne verjetnosti dogodka.

Primer 4. V škatli je 5 rezalnikov: dva nošena in trije novi. Izvedemo dve zaporedni ekstrakciji sekalcev. Določite pogojno verjetnost, da se obrabljen rezilo pojavi med drugim izvlekom, pod pogojem, da se rezilo, odstranjeno prvič, ne vrne v škatlo.

rešitev. Označimo z A ekstrakcijo dotrajanega rezila v prvem primeru, \overline(A) pa ekstrakcijo novega. Potem P\(A\)=\frac(2)(5),~P\(\overline(A)\)=1-\frac(2)(5)=\frac(3)(5). Ker odstranjenega rezkarja ne vrnemo nazaj v škatlo, se spremeni razmerje med količino obrabljenih in novih rezil. Posledično je verjetnost odstranitve obrabljenega rezalnika v drugem primeru odvisna od tega, kateri dogodek se je zgodil prej.

Označimo z B dogodek, ki pomeni odstranitev obrabljenega rezila v drugem primeru. Verjetnosti tega dogodka so lahko:

P\(B|A\)=\frac(1)(4),~~~P\(B|\overline(A)\)=\frac(2)(4)=\frac(1)(2 ).

Zato je verjetnost dogodka B odvisna od tega, ali se dogodek A zgodi ali ne.

Formule za množenje verjetnosti

Naj sta dogodka A in B neodvisna in sta verjetnosti teh dogodkov znani. Poiščimo verjetnost združevanja dogodkov A in B.

Izrek 2.3. Verjetnost skupnega nastopa dveh neodvisnih dogodkov je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B\).

Posledica 2.1. Verjetnost skupnega nastopa več dogodkov, ki so v agregatu neodvisni, je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov:

P\(A_1A_2\lpike(A_n)\)=P\(A_1\)P\(A_2\)\lpike(P\(A_n\)).

Primer 5. Tri škatle vsebujejo 10 delov. V prvi škatli je 8 standardnih delov, v drugi 7 in v tretji 9. Iz vsake škatle naključno vzamemo en del. Poiščite verjetnost, da bodo vsi trije vzeti deli standardni.

rešitev. Verjetnost, da je standardni del vzet iz prve škatle (dogodek A), P\(A\)=\frac(8)(10)=\frac(4)(5). Verjetnost, da je standardni del vzet iz druge škatle (dogodek B), P\(B\)=\frac(7)(10). Verjetnost, da je standardni del vzet iz tretje škatle (dogodek C), P\(C\)=\frac(9)(10). Ker so dogodki A, B in C neodvisni v agregatu, je želena verjetnost (po izreku množenja)

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B\)P\(C\)=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

Naj sta dogodka A in B odvisna in sta verjetnosti P\(A\) in P\(B|A\) znani. Poiščimo verjetnost zmnožka teh dogodkov, to je verjetnost, da se pojavita tako dogodek A kot dogodek B.

Izrek 2.4. Verjetnost skupnega nastopa dveh odvisnih dogodkov je enaka zmnožku verjetnosti enega od njiju s pogojno verjetnostjo drugega, izračunano ob predpostavki, da se je prvi dogodek že zgodil:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B|A\);\qquad P\(AB\)=P\(B\)\cdot P\(A|B\)

Posledica 2.2. Verjetnost skupnega nastopa več odvisnih dogodkov je enaka zmnožku verjetnosti enega od njih in pogojnih verjetnosti vseh ostalih, verjetnost vsakega naslednjega dogodka pa se izračuna ob predpostavki, da so se vsi prejšnji dogodki že zgodili. .

Primer 6.Žara vsebuje 5 belih kroglic, 4 črne in 3 modre. Vsak test je sestavljen iz naključnega žrebanja ene krogle, ne da bi jo vrnili v žaro. Poiščite verjetnost, da se bo pri prvem poskusu (dogodek A) pojavila bela kroglica, pri drugem črna kroglica (dogodek B) in modra kroglica pri tretjem (dogodek C).

rešitev. Verjetnost, da se bela kroglica pojavi pri prvem poskusu P\(A\)=\frac(5)(12). Verjetnost, da se v drugem poskusu pojavi črna kroglica, izračunana ob predpostavki, da se je v prvem poskusu pojavila bela kroglica, tj. pogojna verjetnost P\(B|A\)=\frac(4)(11). Verjetnost, da se v tretjem poskusu pojavi modra kroglica, izračunana ob predpostavki, da se je v prvem poskusu pojavila bela kroglica, v drugem pa črna kroglica, P\(C|AB\)=\frac(3)(10). Zahtevana verjetnost

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B|A\)P\(C|AB\)=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3) )(10).

Formula skupne verjetnosti

Izrek 2.5. Če se dogodek A zgodi samo pod pogojem, da se zgodi eden od dogodkov, ki tvorijo popolno skupino nezdružljivih dogodkov, potem je verjetnost dogodka A enaka vsoti zmnožkov verjetnosti vsakega od dogodkov B_1,B_2,\lpike(B_n) na ustrezno pogojno verjetnost dogodka B_1,B_2,\lpike(B_n):

P\(A\)=\vsota\meje_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\(A|B_i\).

V tem primeru se dogodki B_i,~i=1,\ldots,n imenujejo hipoteze, verjetnosti P\(B_i\) pa apriori. Ta formula se imenuje formula skupne verjetnosti.

Primer 7. Na tekoči trak prihajajo deli iz treh strojev. Produktivnost strojev ni enaka. Prvi stroj proizvede 50% vseh delov, drugi - 30%, tretji - 20%. Verjetnost visokokakovostnega sestava pri uporabi dela, izdelanega na prvem, drugem in tretjem stroju, je 0,98, 0,95 oziroma 0,8. Določite verjetnost, da je sestav, ki pride s tekočega traku, visoke kakovosti.

rešitev. Z A označimo dogodek, ki označuje veljavnost sestavljenega vozlišča; B_1, B_2 in B_3 - dogodki, ki pomenijo, da so bili deli izdelani na prvem, drugem in tretjem stroju. Potem

P\(B_1\)=0,\!5;~~~~~P\(B_2\)=0,\!3;~~~~~P\(B_3\)=0,\!2;
P\(A|B_1\)=0,\!98;~~~P\(A|B_2\)=0,\!95;~~~P\(A|B_3\)=0,\!8 .

Zahtevana verjetnost

Bayesova formula

Ta formula se uporablja pri reševanju praktičnih problemov, ko se dogodek A pojavi skupaj s katerim koli od dogodkov B_1,B_2,\lpike(B_n), ki tvori popolno skupino dogodkov, in je treba izvesti kvantitativno ponovno oceno verjetnosti hipotez B_1,B_2,\lpike(B_n). Priorne (pred izkušnjo) verjetnosti P\(B_1\),P\(B_2\),\lpike(P\(B_n\)) znan. Potrebno je izračunati posteriorne (po poskusu) verjetnosti, tj. v bistvu morate najti pogojne verjetnosti P\(B_1|A\),P\(B_2|A\),\lpike(P\(B_n|A\)). Za hipotezo B_j je Bayesova formula videti takole:

P\(B_j|A\)=\frac(P\(B_j\) P\(A|B_j\))(P\(A\)).

Če razširimo P\(A\) v tej enačbi z uporabo formule za popolno verjetnost (2.1), dobimo

P\(B_j|A\)=\dfrac(P\(B_j\)P\(A|B_j\))(\vsota\mej_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\( A|B_i\)).

Primer 8. Pod pogoji iz primera 7 izračunajte verjetnosti, da sestav vključuje del, izdelan na prvem, drugem oziroma tretjem stroju, če je sestav, ki prihaja s tekočega traku, visoke kakovosti.