Pikat në pafundësi dhe vetitë e tyre. Pika e vetme në pafundësi

Para së gjithash, vërejmë se rrafshi projektues, ndryshe nga rrafshi Euklidian, nuk ka shtrirje të pafundme. Le të zbulojmë se cili është ndryshimi mes tyre dhe nga ana tjetër, si kanë lidhje me njëri-tjetrin? Për ta bërë këtë, le të sqarojmë se cilat pozicione të rrafshit Euklidian përdoren në gjeometrinë projektive. Gjeometria projektive bazohet në sistemin e vet të aksiomave. Dhe megjithëse ndërtimet logjike mbi një bazë aksiomatike janë një ilustrim i mrekullueshëm metodë matematikore, megjithatë, duke qenë në të njëjtën kohë e ndarë nga gjeometria Euklidiane, një paraqitje e tillë e gjeometrisë projektive është shumë abstrakte. Prandaj, për specifikë dhe qartësi më të madhe, këshillohet që të vazhdohet nga modeli i planit Euklidian.

Dihet se një drejtëz në rrafshin Euklidian vazhdon pafundësisht në të dy drejtimet dhe se mund të krijohet një korrespodencë një me një ndërmjet pikave të drejtëzës dhe të gjithë numrave realë, në të cilin renditja natyrore e pikave në vijë korrespondon. sipas renditjes së numrave, por madhësisë së tyre.

Tani le të plotësojmë vijën e drejtë "majtas dhe djathtas" me të njëjtën pikë e kushtëzuar të cilën e quajmë pikë në pafundësi.

Është e qartë se lind dyshimi - a është e mundur të flitet për realitetin e pikave inekzistente? Megjithatë, në teoritë moderne kjo ndodh shpesh. Kështu, për shembull, edhe pse ndër numra realë jo pafundësisht numra të mëdhenj, në analizën matematikore e vërteta e simbolit përdoret jo si numër, por për të treguar rritje të pakufizuar. (Në të njëjtin kuptim, simboli përdoret në lidhje me funksionet trigonometrike.) Pas shtimit të një pike në pafundësi në një vijë të rregullt, vija "e përfunduar" mbyllet. Tani le t'i shtojmë secilës drejtëz të zakonshme një pikë në pafundësi, dhe le të biem dakord që kur drejtëzat janë paralele, atëherë pikat e shtuara në to përputhen, por kur drejtëzat nuk janë paralele, atëherë pikat e tyre në pafundësi janë të ndryshme.

Dy drejtëza që kryqëzohen në rrafshin Euklidian kryqëzohen në një pikë të zakonshme dhe pikat në pafundësi të këtyre vijave nuk përkojnë. Prandaj, në këtë gjeometri e re Nuk ka vija paralele, kërkohen çdo dy rreshta

kryqëzohen në një pikë. Një familje e drejtëzave paralele me njëra-tjetrën në gjeometrinë e zakonshme ka një pikë të përbashkët në pafundësi, ndërsa drejtzat në drejtime të ndryshme kanë pika të ndryshme në pafundësi. Në këtë drejtim, pafundësisht pikat e largëta pafundësisht shumë.

Bashkësia e këtyre pikave në pafundësi, përsëri sipas përkufizimit, përbën një të ashtuquajtur vijë të drejtë në pafundësi.

Kështu ne marrim një gjeometri në të cilën një vijë e drejtë në pafundësi i shtohet rrafshit Euklidian.

Në thelb, kjo gjeometri nuk është ende shumë e ndryshme nga gjeometria Euklidiane. Në vend të propozimit se dy drejtëza janë paralele, paraqitet propozimi që ato të kryqëzohen në një pikë në pafundësi.

Aksiomat themelore të pranuara në gjeometrinë projektive thonë se dy pika përcaktojnë një drejtëz (nëse të dyja pikat janë në pafundësi, atëherë ato përcaktojnë drejtëzën në pafundësi dhe se dy drejtëza gjithmonë kryqëzohen në një pikë. Dhe megjithëse dispozitat e këtyre dy aksiomave janë shumë të rëndësishme , por për aq kohë sa ne ndajmë

disa pika në një vijë të drejtë në pafundësi, ne praktikisht nuk e ndryshojmë thelbin e gjeometrisë Euklidiane dhe nuk futim asgjë të re në gjeometri.

Një nga fushat e aplikimit më efektiv të metodave me 2 rrotullime doli të ishte studimi i problemeve asimptotike në teorinë e relativitetit. Një shembull i problemeve të tilla, duke pasur e rëndësishme, mund të shërbejë për të përcaktuar sasinë totale të momentit të energjisë që përmbahet në një hapësirë-kohë asimptotike të sheshtë dhe rrezatim gravitacional. Në këtë rast, metodat e spinorit janë veçanërisht efektive në kombinim me metodën, në të cilën "pafundësia bëhet e fundme" nga transformimi konform i metrikës. Me këtë metodë, ne transformojmë metrikën hapësirë-kohë duke zëvendësuar metrikën fizike origjinale me një metrikë të re, "jofizike" të lidhur konformisht me

ku - mjaft i qetë dhe kudo funksion pozitiv, i përcaktuar në tensorin Metrik dhe tensori i tij i kundërt transformohen sipas formulave

Nëse ka strukturën e duhur asimptotike dhe zgjidhet një faktor i përshtatshëm konformal, atëherë mund të "bashkangjitet" një sipërfaqe kufitare 3 [ky emërtim lexon "buzë" - një shkurtim i "skriptit I"]. Kjo sipërfaqe paraqitet në atë mënyrë që metrika "jofizike" të mund të shtrihet në pika të reja që shtrihen në kufi pa degjenerim dhe me në një masë të caktuar butësi. Funksioni J gjithashtu mund të vazhdohet me shkallën e duhur të butësisë, por në sipërfaqe ai zhduket. Kjo do të thotë që metrika fizike duhet të jetë e pafundme në kufirin Y, dhe për këtë arsye nuk mund të shtrihet në të. Pra, për sa i përket metrikës fizike, pikat e reja (domethënë, pikat në sipërfaqe janë pafundësisht të largëta nga

pikat ngjitur me to. Në fizikë, kjo korrespondon me "pikat në pafundësi".

Ngjitja e një sipërfaqeje me këtë lloj hapësire-kohë na jep një shumëfish të lëmuar me kufi, të cilin do ta shënojmë me simbolin dhe

Simboli i kufirit është një simbol i rajonit të brendshëm të kolektorit). Avantazhi i qasjes së propozuar është se ajo tani mund të zbatohet për të fuqishmit metodat lokale gjeometria diferenciale dhe algjebra spinore, të cilat do të japin informacion për asimptotikën e hapësirë-kohës Kështu, gjatë studimit ligjet më të rëndësishme zvogëlimi i sasive fizike dhe gjeometrike, për shembull në pyetjet që lidhen me rrezatimin në hapësirë-kohë asimptotike të sheshtë, nuk ka nevojë për kalime komplekse deri në kufi. Dhe vetë përkufizimi i Euklidianitetit asimptotik në teori e përgjithshme relativiteti tani mund të jepet në një formë të përshtatshme "pa koordinata". Metodat konformale janë shumë të përshtatshme për teorinë e relativitetit për arsyen e thjeshtë se shumica e saj është konformisht e pandryshueshme: ekuacionet për pa masë fushë e lirë, tensori konformal Weyl, gjeodezika izotropike, hipersipërfaqet izotropike, kauzaliteti relativist dhe (veçanërisht në rastin e hapësirës Minkowski) teoria e rrotullimit. Metoda e propozuar është e ngjashme me atë të përdorur në analizë gjithëpërfshirëse, ku për të marrë një sferë Riemannian një "pikë në pafundësi" i është bashkangjitur rrafshit Argand (Kapitulli 1, § 2), si dhe metoda e përdorur në gjeometrinë projektive.

Përshkrimi në formë të qartë koordinative

Së pari, le të shqyrtojmë procedurën për ndërtimin e pafundësisë konformale për hapësirën Minkowski M. Në këtë rast, metrika fizike në koordinatat sferike duket si

Për lehtësi, ne prezantojmë dy parametra kohorë: vonesa dhe drejtuese

Liria në zgjedhjen e një faktori konform është mjaft e madhe. Megjithatë, në rastin e hapësirë-kohës që na intereson këtu (domethënë, asimptotikisht e thjeshtë), nga konsideratat e përgjithshme [shih. teksti pas formulës (9.7.22)] funksioni duhet të zgjidhet në mënyrë që të priret në zero përgjatë çdo rreze (si në të kaluarën ashtu edhe në të ardhmen) si reciproke e parametrit afin të rrezes A (d.m.th. për në së bashku rrezja). Çdo hipersipërfaqe është një kon i lehtë i së ardhmes, i ndërtuar nga rrezet (vijat e drejta izotropike), për të cilin vlerat 0 dhe gjithashtu mbeten konstante. Koordinata luan rolin e një parametri afine për të ardhmen e secilës prej këtyre rrezeve radiale. Në mënyrë të ngjashme, koordinata shërben si një parametër afin i së kaluarës së këtyre rrezeve. Prandaj, ne duhet të kërkojmë që të plotësohen kushtet në dhe në rreze në dhe në rreze Nëse duam gjithashtu që funksioni të jetë i qetë në pjesë të fundme të hapësirës-kohës, atëherë zgjedhja lind natyrshëm

(faktori 2 futet për lehtësi më vonë), dhe më pas

Shumë forma të tjera të funksionit janë të vlefshme, por kjo, siç do ta shohim së shpejti, rezulton të jetë veçanërisht e përshtatshme.

Kështu që "pikat tona në pafundësi" korrespondojnë vlerat përfundimtare koordinatat, u dhe o duhet të zëvendësohen me parametra të tillë që

Kufijtë e ndryshimit të variablave dhe janë treguar në Fig. 9.1, ku çdo pikë përfaqëson një 2-sferë me rreze. Vija vertikale i përgjigjet origjinës hapësinore dhe përfaqëson vetëm një singularitet koordinativ. Vetë hapësira-koha në këtë linjë (dhe kudo), natyrisht, është josingulare. Vijat e pjerrëta përfaqësojnë pafundësinë (izotropike) (të shënuar me simbolet përkatësisht) të hapësirës Minkowski (pasi këto rreshta korrespondojnë me vlerat, por metrika (9.1.5) është padyshim idealisht e rregullt në këto linja. Mund të pritet që kjo hapësirë -koha

Oriz. 9.1. Rajoni i hapësirës që i përgjigjet hapësirës M. Vija e drejtë do të thotë se është boshti i simetrisë sferike.

dhe metrika e saj do të jetë josingulare jashtë këtyre rajoneve. Vija vertikale është gjithashtu një singularitet koordinativ i të njëjtit lloj si vija e drejtë. I gjithë brezi vertikal mund të përdoret për të përcaktuar hapësirën-kohën, struktura globale e së cilës korrespondon me produktin e një 3-sfere të ngjashme me hapësirën dhe një kohore të pafundme. linjë (“Universi statik i Ajnshtajnit”). Për ta verifikuar këtë, le të zgjedhim koordinatat e reja

Pjesa e kësaj metrike përmbahet në mbajtëset, është metrika e njësisë 3-sferë.

Pjesa e hapësirës-kohës në përputhje me hapësirën origjinale të Minkowskit mund të konsiderohet si hapësira e mbyllur midis koneve të lehta të pikave Një pikë ka koordinata, dhe një pikë ka koordinata

Oriz. 9.2. Rajoni në cilindrin e Ajnshtajnit që korrespondon me hapësirën M.

dhe mbyllet në anën e pasme në një pikë të vetme me koordinata. Vini re se në pikën a kjo do të thotë se pika duhet të konsiderohet si një pikë e vetme dhe jo një sferë. Situata në shqyrtim është paraqitur në Fig. 9.2, ku dy dimensione janë hedhur poshtë. Dy-hapësira Minkowski është konforme me brendësinë e sheshit (treguar e anuar në 45°). Ky katror mbështillet rreth një cilindri, i cili përfaqëson një version dy-dimensional të universit statik të Ajnshtajnit. Marrja parasysh e matjeve që mungojnë nuk ndryshon asgjë në mënyrë të konsiderueshme. Pranë një pike, zona me interes për ne është brenda konit të dritës së ardhshme të lidhur me pikën (d.m.th., grupi i pikës "i fshirë" nga rrezet që shkojnë nga pika në të ardhmen) fokusohet në anën e pasme të. Universi i Ajnshtajnit në një pikë (i cili në relacionin hapësinor është diametralisht i kundërt me pikën. Pranë pikës, rajoni me interes për ne (hapësira Minkowski) shtrihet në drejtime të ngjashme me hapësirën nga koni i dritës së ardhshme për pikën, përsëri pozicioni hapësinor fokusohet në një pikë.

Ne e përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Pika z = ∞ është një pikë njëjës e izoluar funksioni analitik w = f (z ), nëse në ndonjë lagje të kësaj pike nuk ka pika të tjera njëjës të këtij funksioni. Për të përcaktuar llojin e kësaj pike njëjës, ne bëjmë një ndryshim të ndryshores dhe pikës z = ∞ shkon në pikën z 1 = 0, funksion w = f (z ) do të marrë formën . Lloji i pikës njëjës z = ∞ funksionet w = f (z ) do të quajmë llojin e pikës njëjës z 1 = 0 funksione w = φ (z 1). Nëse zgjerimi i funksionit w = f (z ) sipas shkallëve z në afërsi të një pike z = ∞, d.m.th. në vlera mjaftueshëm të mëdha të modulit z , ka formën , pastaj, duke zëvendësuar z më , ne do të marrim . Kështu, me një ndryshim të tillë të ndryshores, pjesët kryesore dhe të rregullta të serisë Laurent ndryshojnë vendet dhe llojin e pikës njëjës. z = ∞ përcaktohet nga numri i termave në pjesën e saktë të zgjerimit të funksionit në serinë Laurent në fuqi z në afërsi të një pike z = 0. Prandaj
1. Pika z = ∞ - i lëvizshëm pikë njëjës, nëse në këtë zgjerim mungon pjesa e saktë (me përjashtim të mundshëm të termit A 0);
2. Pika z = ∞ - pol n -rendi i th nese pjesa e djathte mbaron me term Një n · z n ;
3. Pika z = ∞ është një pikë në thelb njëjës nëse pjesa e rregullt përmban pafundësisht shumë terma.

Në këtë rast mbeten të vlefshme kriteret për llojet e pikave njëjës sipas vlerës: nëse z= ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme, atëherë ky kufi ekziston dhe është i fundëm nëse z= ∞ është një pol, atëherë ky kufi është i pafund nëse z= ∞ është një pikë në thelb njëjës, atëherë ky kufi nuk ekziston (as i fundëm, as i pafund).

Shembuj: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Funksioni është tashmë një polinom në fuqi z , shkalla më e lartë është e gjashta, pra z
I njëjti rezultat mund të merret në një mënyrë tjetër. Ne do të zëvendësojmë z më pastaj . Për funksionin φ (z 1) pikë z 1 = 0 është një pol i rendit të gjashtë, pra për f (z ) pika z = ∞ - pol i rendit të gjashtë.
2. . Për këtë funksion, merrni një zgjerim të fuqisë z e vështirë, kështu që le të gjejmë: ; kufiri ekziston dhe është i fundëm, pra pika z
3. . Korrigjoni pjesën e zgjerimit të fuqisë z përmban pafundësisht shumë terma, pra z = ∞ është një pikë në thelb njëjës. Përndryshe, ky fakt mund të vërtetohet duke u bazuar në faktin se ai nuk ekziston.

Mbetja e një funksioni në një pikë njëjës pafundësisht të largët.

Për pikën e fundit njëjës a , Ku γ - një qark që nuk përmban të tjerë përveç a , pika njëjës, të përshkuara në mënyrë të tillë që zona e kufizuar prej saj dhe që përmban pikën njëjës të mbetet në të majtë (në drejtim të kundërt të akrepave të orës).

Le të përcaktojmë në mënyrë të ngjashme: , ku Γ − është kontura që kufizon një lagje të tillë U (∞, r ) pikë z = ∞, e cila nuk përmban pika të tjera njëjës dhe e përshkueshme në mënyrë që kjo lagje të mbetet në të majtë (d.m.th., në drejtim të akrepave të orës). Kështu, të gjitha pikat e tjera njëjës (përfundimtare) të funksionit duhet të vendosen brenda konturit Γ − . Le të ndryshojmë drejtimin e kalimit të konturit Γ − : . Nga teorema kryesore mbi mbetjet , ku përmbledhja kryhet mbi të gjitha pikat e fundme njëjës. Prandaj, më në fund

ato. mbetje në një pikë njëjës pafundësisht të largët e barabartë me shumën mbetje mbi të gjitha pikat e fundme njëjës, të marra me shenjën e kundërt.

Si pasojë, ekziston teorema e shumës totale: nëse funksioni w = f (z ) është analitike kudo në aeroplan ME , me përjashtim të një numri të kufizuar pikash njëjës z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , atëherë shuma e mbetjeve në të gjitha pikat e fundme të njëjës dhe mbetja në pafundësi është e barabartë me zero.

Vini re se nëse z = ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme, atëherë mbetja në të mund të jetë e ndryshme nga zero. Pra, për funksionin, padyshim, ; z = 0 është e vetmja pikë njëjës e fundme e këtij funksioni, pra , pavarësisht se, d.m.th. z = ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme.

Përkufizimi
Pasoja (βn) quhet një sekuencë pafundësisht e madhe, nëse për dikë, në mënyrë arbitrare numer i madh M, ka një gjë të tillë numri natyror N M në varësi të M ashtu që për të gjitha n > N M natyrore vlen pabarazia e mëposhtme:
|βn | > M.
Në këtë rast ata shkruajnë
.
Ose në.
Thonë se priret në pafundësi, ose konvergon në pafundësi.

Nëse, duke u nisur nga një numër N 0 , Kjo
( konvergon në plus pafundësi).
Nese atehere
( konvergon në minus pafundësi).

Le të shkruajmë këto përkufizime duke përdorur simbolet logjike të ekzistencës dhe universalitetit:
(1) .
(2) .
(3) .

Sekuencat me kufijtë (2) dhe (3) janë raste të veçanta të pafundësisë sekuencë e madhe(1). Nga këto përkufizime rezulton se nëse kufiri i një sekuence është i barabartë me plus ose minus pafundësi, atëherë ai është gjithashtu i barabartë me pafundësinë:
.
E kundërta, natyrisht, nuk është e vërtetë. Anëtarët e një sekuence mund të kenë shenja të alternuara. Në këtë rast, kufiri mund të jetë i barabartë me pafundësinë, por pa një shenjë specifike.

Vini re gjithashtu se nëse disa veti vlen për një sekuencë arbitrare me një kufi të barabartë me pafundësinë, atëherë e njëjta veti vlen për një sekuencë kufiri i së cilës është i barabartë me plus ose minus pafundësi.

Në shumë tekste të llogaritjes, përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe thotë se numri M është pozitiv: M > 0 . Megjithatë, kjo kërkesë është e panevojshme. Nëse anulohet, atëherë nuk lindin kontradikta. Vetëm se vlerat e vogla apo negative nuk na interesojnë. Ne jemi të interesuar në sjelljen e sekuencës për të mëdha arbitrare vlerat pozitive M. Prandaj, nëse lind nevoja, atëherë M mund të kufizohet nga poshtë nga ndonjë, paraprakisht numri i dhënë a, domethënë supozojmë se M > a.

Kur e kemi përcaktuar ε - lagje pika e fundit, atëherë kërkesa ε > 0 është një e rëndësishme. Në vlerat negative, pabarazia nuk mund të qëndrojë fare.

Lagjet e pikave në pafundësi

Kur kemi marrë në konsideratë kufijtë e fundëm, kemi prezantuar konceptin e një fqinjësie të një pike. Kujtoni se një lagje e një pike fundore është një interval i hapur që përmban këtë pikë. Mund të prezantojmë gjithashtu konceptin e lagjeve të pikave në pafundësi.

Le të jetë M një numër arbitrar.
Lagjja e pikës "pafundësi", , quhet grup.
Lagjja e pikës "plus pafundësi", , quhet grup.
Në afërsi të pikës "minus pafundësi", , quhet grup.

Në mënyrë të rreptë, fqinjësia e pikës "pafundësi" është grupi
(4) ,
ku M 1 dhe M 2 - numra pozitivë arbitrarë. Do të përdorim përkufizimin e parë, pasi është më i thjeshtë. Megjithëse, gjithçka që thuhet më poshtë është gjithashtu e vërtetë kur përdoret përkufizimi (4).

Tani mund të japim një përkufizim të unifikuar të kufirit të një sekuence që zbatohet si për të fundme ashtu edhe për deri në kufij të pafund.

Përkufizimi universal i kufirit të sekuencës.
Një pikë a (fundme ose në pafundësi) është kufiri i një sekuence nëse për çdo fqinjësi të kësaj pike ka një numër natyror N i tillë që të gjithë elementët e vargut me numra i përkasin kësaj fqinjësie.

Kështu, nëse ekziston një kufi, atëherë mund të ketë vetëm jashtë fqinjësisë së pikës a numri përfundimtar anëtarët e një sekuence, ose grupi bosh. Ky kusht është i nevojshëm dhe i mjaftueshëm. Dëshmia e kësaj prone është saktësisht e njëjtë si për kufij të fundëm.

Vetia e fqinjësisë së një sekuence konvergjente
Në mënyrë që një pikë a (i fundme ose në pafundësi) të jetë një kufi i sekuencës, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që jashtë çdo fqinjësie të kësaj pike të ketë një numër të kufizuar termash të sekuencës ose një grup bosh.
Dëshmi .

Gjithashtu ndonjëherë prezantohen konceptet e ε - lagje të pikave në pafundësi.
Kujtojmë se ε-fqia e një pike të fundme a është bashkësia .
Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm. Le të shënojmë ε fqinjësinë e pikës a. Pastaj për pikën përfundimtare,
.
Për pikat në pafundësi:
;
;
.
Duke përdorur konceptet e ε - lagje, mund të japim një tjetër përkufizim universal kufiri i sekuencës:

Një pikë a (terminale ose në pafundësi) është kufiri i sekuencës nëse ka ndonjë numër pozitiv ε > 0 ekziston një numër natyror N ε në varësi të ε, i tillë që për të gjithë numrat n > N ε, termat x n i përkasin ε- fqinjësisë së pikës a:
.

Duke përdorur simbolet logjike të ekzistencës dhe universalitetit, ky përkufizim mund të shkruhet si më poshtë:
.

Shembuj të sekuencave pafundësisht të mëdha

Fillimisht do të shikojmë tre shembuj të thjeshtë të ngjashëm dhe më pas do të zgjidhim një më kompleks.

Shembulli 1

.
Le të shkruajmë përkufizimin e një sekuence pafundësisht të madhe:
(1) .
Në rastin tonë
.

Prezantojmë numrat dhe , duke i lidhur me pabarazitë:
.
Sipas vetive të pabarazive, nëse dhe , atëherë
.
Vini re se kjo pabarazi vlen për çdo n. Prandaj, ju mund të zgjidhni si kjo:
në ;
në .

Pra, për cilindo mund të gjejmë një numër natyror që plotëson pabarazinë. Pastaj për të gjithë,
.
Do të thotë që.

Kjo do të thotë, sekuenca është pafundësisht e madhe.

Shembulli 2
.

(2) .
Duke përdorur përkufizimin e një sekuence pafundësisht të madhe, tregoni se
.

Termi i përgjithshëm i sekuencës së dhënë ka formën:
.
.

Atëherë për cilindo mund të gjendet një numër natyror që plotëson pabarazinë, kështu që për të gjithë ,
.
Do të thotë që.

Shembulli 3

Shembulli 2
.

Le të shkruajmë përkufizimin e kufirit të një sekuence të barabartë me minus pafundësinë:
(3) .
Duke përdorur përkufizimin e një sekuence pafundësisht të madhe, tregoni se
.

Termi i përgjithshëm i sekuencës së dhënë ka formën:
.
Nga kjo është e qartë se nëse dhe , atëherë
.

Meqenëse për cilindo është e mundur të gjendet një numër natyror që plotëson pabarazinë, atëherë
.

Duke pasur parasysh , si N mund të marrim çdo numër natyror që plotëson pabarazinë e mëposhtme:
.

Shembulli 4

Shembulli 2
.

Ne do ta shkruajmë atë anëtar i përbashkët sekuencat:
.
Le të shkruajmë përkufizimin e kufirit të një sekuence të barabartë me plus pafundësinë:
(2) .

Meqenëse n është një numër natyror, n = 1, 2, 3, ... , Kjo
;
;
.

Ne prezantojmë numrat dhe M, duke i lidhur ato me pabarazi:
.
Nga kjo është e qartë se nëse dhe , atëherë
.

Pra, për çdo numër M mund të gjejmë një numër natyror që plotëson mosbarazimin. Pastaj për të gjithë,
.
Do të thotë që.

Referencat:
L.D. Kudryavtsev. Epo analiza matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 2003.
CM. Nikolsky. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 1983.

Përkufizimi. Pika në pafundësi plan kompleks thirrur pikë njëjës e izoluar funksion unik analitik f(z), Nëse jashtë rrethi me disa rreze R,

ato. për , nuk ka asnjë pikë të fundme njëjës të funksionit f(z).

Për të studiuar funksionin në një pikë në pafundësi, bëjmë zëvendësimin
Funksioni

do të ketë një singularitet në pikë ζ = 0, dhe kjo pikë do të jetë e izoluar, pasi

brenda rrethit
Nuk ka pika të tjera njëjës sipas kushtit. Duke qenë analitik në këtë

rrethi (përveç të ashtuquajturit ζ = 0), funksion
mund të zgjerohet në një seri Laurent në fuqi ζ . Klasifikimi i përshkruar në paragrafin e mëparshëm mbetet plotësisht i pandryshuar.

Megjithatë, nëse kthehemi në variablin origjinal z, pastaj seritë në fuqi pozitive dhe negative z'ndërroni' vendet. Ato. Klasifikimi i pikave në pafundësi do të duket kështu:

Shembuj. 1.
. Pika z = i − pol i rendit të 3-të.

2.
. Pika z = ∞ − një pikë në thelb njëjës.

§18. Mbetja e një funksioni analitik në një pikë njëjës të izoluar.

Lëreni pikën z 0 është një pikë njëjës e izoluar e një funksioni analitik me një vlerë të vetme

f(z) . Sipas të mëparshmes, në afërsi të kësaj pike f(z) mund të përfaqësohet në mënyrë unike nga seria Laurent:
Ku

Përkufizimi.Zbritja funksioni analitik f(z) në një pikë të veçuar njëjës z 0

thirrur numër kompleks, e barabartë me vlerën e integralit
, marrë në drejtim pozitiv përgjatë çdo konture të mbyllur që shtrihet në domenin e analiticitetit të funksionit dhe që përmban brenda vetes një pikë të vetme njëjës z 0 .

Zbritja tregohet me simbolin Res [f(z),z 0 ].

Është e lehtë të shihet se mbetja në një pikë njëjës të rregullt ose të lëvizshme është e barabartë me zero.

Në një pikë pol ose në thelb të vetme, mbetja është e barabartë me koeficientin Me-1 rresht Laurent:

Shembull. Gjeni mbetjen e një funksioni
.

(Le të jetë e lehtë për ta parë atë

Koeficient Me-1 fitohet kur shumëzohen termat me n= 0: Rez[ f(z),i ] =
}

Shpesh është e mundur të llogariten mbetjet e funksioneve në një mënyrë të thjeshtë. Lëreni funksionin f(z) ka përfshirë. z 0 pol i rendit të parë. Në këtë rast, zgjerimi i funksionit në një seri Laurent ka formën (§16):. Le ta shumëzojmë këtë barazi me (z−z 0) dhe të shkojmë te kufiri në
. Si rezultat marrim: Res[ f(z),z 0 ] =
Pra, në