Ekuacioni i difuzionit dydimensional. Ekuacionet e Linjave të Transmetimit

Në kap. XIII, § 2, 6, ne studiuam ekuacionin integral (56) për përcjellshmërinë termike dhe difuzionin. Nga metoda e nxjerrjes së tij është e qartë se ky ekuacion është i zbatueshëm në më shumë rast i përgjithshëm diskutuar në këtë paragraf. Do të shohim që në realitet ka edhe më shumë kuptimi i përgjithshëm. Në fakt, sipas parimit të përcaktuar në Kap. XIII, § 2, 3, funksionet e përfshira në këtë ekuacion mund të konsiderohen si disa probabilitete. Prandaj, nëse gjendja e disa sistemi fizik përcaktohet nga një ndryshore e varur nga koha në një mënyrë statistikore, d.m.th., duke iu nënshtruar një lloj lëvizjeje Brownian, atëherë kjo lëvizje do të përshkruhet përsëri nga ekuacioni integral (51).

Nëse ekziston një probabilitet që sistemi në një kohë është ndërmjet probabilitetit nga i cili lëviz sistemi pozicioni fillestar, shtrirë midis pozicionit përfundimtar, shtrirja midis atëherë plotëson ekuacionin integral linear:

thelbi i të cilit është përgjithësisht asimetrik.

Në rastin e lëvizjes së zakonshme Brownian, në mungesë të forcave të jashtme, bërthama është relativisht simetrike dhe ka formën e përcaktuar në kapitullin. XIII, §2, (56a). Zgjidhja e ekuacionit (8) në këtë rast tregohet gjithashtu atje Për të gjetur një zgjidhje në rastin e përgjithshëm, këshillohet që ekuacioni integral (8) të shndërrohet në një ekuacion diferencial në mënyrën e mëposhtme.

Le të prezantojmë së pari në ekuacionin (8) në vend të kësaj një ndryshore të re që përfaqëson zhvendosjen e sistemit me kalimin e kohës, atëherë ekuacioni (8) do të marrë formën:

ku shprehja është e dukshme, e barabartë me probabilitetin që sistemi të lëvizë me kalimin e kohës nga pozicioni fillestar x në distancën ndërmjet dhe Le të supozojmë tani se është shumë i vogël dhe të zgjerohet anën e majtë(9) me gradë

deri në kushtet e rendit të parë, dhe anën e djathtë me gradë Atëherë do të marrim

ku sasitë kanë kuptim:

Nga përkufizimi i një funksioni si probabilitet, menjëherë rrjedh se Supozoni tani që ka vlera kufizuese:

Pastaj nga (10) marrim një ekuacion diferencial për funksionin

ku është operatori

Ky ekuacion quhet fizika statistikore Ekuacioni diferencial Fokker-Planck Ka një shumëllojshmëri të gjerë aplikimesh.

Nëse sistemi mekanik përjeton luhatje të rastësishme të jodit për shkak të veprimit të forcave të jashtme, nga njëra anë, dhe për shkak të lëvizjes termike të molekulave, nga ana tjetër, siç është rasti i zakonshëm. Lëvizja Browniane, atëherë funksioni sipas (11) dhe (12) është shpejtësi mesatare të fituara nga grimcat nën ndikimin e forcave të jashtme. Më tej, në këtë rast a all at janë identike të barabarta me zero. Kështu, (13) hyn në ekuacionin e përgjithësuar të difuzionit (6), ku ka një koeficient difuzioni. Sipas (11) dhe (12):

d.m.th., e barabartë me katrorin mesatar të zhvendosjes pjesëtuar me raportin që kemi takuar tashmë në kapitull. XIII, § 2, (23) nën emrin e formulës së Ajnshtajnit.

Nëse forcat e jashtme mungojnë, domethënë, nëse funksioni në (8) është simetrik në lidhje me, atëherë funksioni, sipas (12), është identikisht i barabartë me zero, dhe (13) shkon në ekuacionin e zakonshëm të difuzionit diferencial Ch. XIII, § 1 (22). Prandaj, çdo funksion i përcaktuar nga ekuacioni integral (50) Ch. § 2, duhet të përmbushë njëkohësisht ekuacionin (22) Ch.

Nëse forcat e jashtme nuk janë të barabarta me zero, atëherë mund të gjejmë zgjidhje stacionare dhe ekuacioni Fokker-Planck, që korrespondon me gjendjen e vendosur pas mjaftueshëm hendek i madh kohë pavarësisht nga gjendja fillestare. Në këtë rast, ekziston një probabilitet që sistemi të jetë në intervalin ndërmjet ose numrit relativ sisteme identike, e vendosur në këtë interval, nëse në momenti i fillimit ato u shpërndanë

Ekuacioni i difuzionit përshkruan përhapjen (përhapjen) me kalimin e kohës mbi një trup të zgjeruar të një substance, për shembull, nxehtësinë ose përqendrimin. Në rastin njëdimensional, trupi duket i shtrirë përgjatë boshtit x.

Aktiv oriz. 19.2 tregon një shembull të shpërndarjes përgjatë boshtit x parametër të tillë si temperatura T. Dihet mirë nga përvoja e zakonshme që në çdo moment të kohës t temperatura T në pjesë të ndryshme të trupit x ka kuptime të ndryshme, pra ndryshon në varësi të zonës dhe kohës. Kjo do të thotë, duhet të ketë një ligj sipas të cilit vlera e këtij parametri ndryshon T si funksione të ( x, t). Për temperaturën, ky ligj më së shpeshti jepet nga ekuacioni i difuzionit.

Nëse parametri i ndryshores (në rastin e përgjithshëm) caktohet si y, koha gjatë së cilës monitorohen ndryshimet në parametrat shënohet si t, dhe boshti përgjatë të cilit ndodh ndryshimi i parametrit, si x, atëherë ekuacioni i difuzionit ka formën:

dhe zakonisht plotësohet me kushte – vlera të ndryshueshme y në skajet dhe kufijtë: në skajin e majtë x= 0, në skajin e djathtë x = L, në kufi - kushtet fillestare (t = 0):

y(x, 0) = f 1 (x),
y(0, t) = f 2 (t),
y(L, t) = f 3 (t),
Ku f 1 (x), f 2 (t) Dhe f 3 (t) - funksionet e specifikuara.

Aktiv oriz. 19.3Është paraqitur një pamje skematike e zonës për të cilën janë përcaktuar kufijtë dhe kushtet fillestare. Funksionet f 1 (x), f 2 (t), f 3 (t) dhe vetë ekuacioni i difuzionit paracakton sjelljen e funksionit y(x, t) brenda kësaj zone, të cilit pamje e plotë zakonisht duhet të përcaktohet. Nëse ndërtoni shtesë një bosht në diagram y(cm. oriz. 19.4), atëherë vetë lloji i funksioneve mund të shfaqet vizualisht në figurë. Figura tregon qartë se në qoshet e diagramit vlerat e funksioneve të specifikuara duhet të përkojnë.

Koeficienti α ka kuptimin e koeficientit të përçueshmërisë termike; f(x, t) ka kuptimin e një funksioni që përshkruan funksionimin e burimeve të nxehtësisë dhe lavamanëve.

Madhësia y, e cila përshkruan shpërndarjen e temperaturës, është një funksion i dy variablave - shtrirja e trupit x dhe koha t: y(x, t). Grafikisht, një funksion përfaqësohet nga një sipërfaqe (shih oriz. 19.5) ose një grup izolinash (shih. oriz. 19.6), lloji i të cilit zakonisht duhet të përcaktohet.

Nëse i zëvendësojmë shprehjet e derivateve me analogun e tyre diskret, atëherë në formën e ndryshimit ekuacioni do të duket kështu:

ose, duke shprehur të panjohurën në terma të sasive të njohura:

Si rezultat, merret një formulë llogaritëse, e zbatuar në një dixhital kompjuter. Falë kësaj formule, ju mund të llogarisni vlerën e parametrit y në çdo moment ( x, t).

Le ta quajmë vlerën y(x, t) nyja llogaritëse. Më pas, në mënyrë skematike, llogaritja duket si një rrjet nyjesh në një fushë të përbërë nga pjesë të trupit dhe intervale kohore (shih Fig. oriz. 19.7). Formula për llogaritjen e një nyje varet nga gjendja e tre nyjeve (majtas y(x – Δ x, t – Δ t), e drejtë y(x + Δ x, t – Δ t), vet y(x, t – Δ t)) tek e mëparshme ( t – Δ t) pikë në kohë dhe i ngjan një modeli trekëndor. Përpara se të fillojë llogaritja, gjendja e të gjitha nyjeve për t= 0. Duke aplikuar formulën në mënyrë sekuenciale në të gjitha nyjet për momentin tjetër në kohë, mund të përcaktoni temperaturën në të gjitha nyjet e shtresës së ardhshme kohore ( t + Δ t). Përveç nyjeve më të majta dhe më të djathta, gjendja e tyre nuk mund të llogaritet, por specifikohet nga kushtet kufitare.

Nëse procedura përsëritet, duke lëvizur nga një pikë e trupit x në një tjetër, dhe pastaj nga një shtresë kohore në tjetrën, më pas duke përdorur këtë formulë mund të llogarisni vlerën e temperaturës në çdo pjesë të trupit në çdo kohë. Kështu, llogaritja mbulon të gjithë fushën (L x T)(cm. oriz. 19.7). Përcaktimi sekuencial i vlerave të panjohura në në këtë rast ndoshta sepse shablloni ka formën e një shprehjeje eksplicite - e vetmja e panjohur në formulë shprehet në terma të vlerave të llogaritura më parë.

Vini re se kur vlera të mëdha derivatet dhe vlerat e mëdha të hapave, llogaritja mund të japë zgjidhje të pasakta. Zgjidhjet mund të rezultojnë të pasakta apo edhe të paqëndrueshme (cilësisht të pasakta) (shih leksionin 10. Metodat numerike integrimin ekuacionet diferenciale. Metoda e Euler-it").

Kushti i qëndrueshmërisë për një shabllon trekëndor kur zgjidhet ekuacioni i difuzionit: Δ x/Δ t > α (shih detajet oriz. 19.12).

Gjatë modelimit, është e mundur të përdoren formula të tjera dallimi (shabllone) (shih. oriz. 19.8). Kur zgjidhni një shabllon, është e nevojshme të merret parasysh nëse shablloni është i qartë apo jo, çfarë saktësie ofron dhe në çfarë vlerash hapi siguron qëndrueshmërinë e llogaritjes. Kështu, për shembull, një shabllon në formën e një drejtkëndëshi është i nënkuptuar: në një formula e llogaritjes përmban dy sasi të panjohura njëherësh. Prandaj, kur përdorni një model të tillë, është e nevojshme të zgjidhet sistemi ekuacionet algjebrike madhësia (L T).

Në praktikë, stabiliteti, dhe më pas saktësia, arrihet duke marrë zgjidhje duke përdorur shabllone të ndryshëm dhe kuptime të ndryshme hap. Nëse vlerat e ndryshores së dëshiruar, llogariten me hapa h dhe me hapa h/2, ndryshojnë në nyjet me të njëjtat indekse jo më shumë se 1-5%, atëherë vlera e llogaritur merret si një zgjidhje e përafërt e problemit. Përndryshe, hapi zvogëlohet me një faktor tjetër prej dy, dhe procedura e vlerësimit përsëritet. (Për më shumë informacion, shihni leksionin “A mund të llogarisim në kompjuter?”.)

Vetitë e ekuacionit të difuzionit pasqyrohen në oriz. 19.9 dhe konsistojnë në faktin se kur ndodh johomogjeniteti në çdo pjesë të trupit, me kalimin e kohës, nxehtësia rrjedh në zonat fqinje për shkak të proceseve të shkëmbimit të nxehtësisë. Temperaturat e zonave fqinje janë të barazuara dhe mesatare. Ritmi i procesit varet nga vlera e koeficientit të përçueshmërisë termike.

Nëse pranojmë kushtin që problemi të jetë i palëvizshëm, d.m.th., proceset zgjasin aq shumë sa të gjitha proceset kalimtare kanë kohë për të përfunduar (derivati i kohës është i barabartë me 0), atëherë ekuacioni i difuzionit merr formën e mëposhtme (për rastin të hapësirës dydimensionale - boshti x Dhe z) pa burime dhe lavamanë:

∂ 2 y/∂x 2 + ∂ 2 y/∂z 2 = 0.

Në formën e diferencës, ekuacioni duket si ky:

(Y i + 1, j– 2 · Y i , j + Y i – 1, j)/Δ x 2 + (Y i , j– 1 – 2 · Y i , j + Y i , j+ 1)/Δ z 2 = 0.

Nëse marrim Δ x = Δ z, atëherë ekuacioni do të marrë formën:

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0.

Është e lehtë të kuptohet se shablloni për llogaritjen e ekuacionit është i nënkuptuar dhe ka formën e një kryqi (për të llogaritur vlerën e temperaturës në një nyje rrjeti, duhet të dini temperaturat e fqinjëve të saj në të majtë, të djathtë, sipër dhe poshtë ). Nëse muri i shtëpisë është 2 metra me 2 metra, dhe hapi është Δ x = Δ z= 20 mm, pastaj totali për llogaritjen regjimi i temperaturës muret do të duhet të zgjidhen nga një sistem prej 10,000 ekuacionet lineare me 10.000 të panjohura Y i , j :

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j+ 1 = 0, për i= 1÷100 dhe j= 1÷100,

të cilave duhet t'i bashkëngjiten 400 pjesë të kushteve kufitare:
Y 0, j = f 1 (j);
Y 101, j = f 2 (j);
Y i , 0 = f 3 (i);
Y i , 101 = f 4 (i).

Zgjidhja e ekuacionit tregohet në oriz. 19.6.

Për të përshkruar transportin pasiv - difuzionin e joneve në biofizikë, përdoret teoria e elektrodifuzionit, sipas së cilës rrjedha totale e joneve nëpër membranë gjatë transportit pasiv përcaktohet nga 2 faktorë: pabarazia e shpërndarjes së tyre (gradienti i përqendrimit) dhe efekti i një fushë elektrike (gradient elektrik). Dendësia e fluksit të joneve për tretësirat e holluara përcaktohet nga ekuacioni Nernst-Planck:

ku: F - rrjedha e substancës, u - lëvizshmëria e një joni, molekulë, R - konstanta universale e gazit (8,314 J/mol*K), T - temperatura në shkallën K 0, dC/dx - gradient përqendrimi, C - përqendrimi në nishane, Z- vlera e ngarkesës së joneve, F - numri Faraday (96500 C/mol), d φ /dx - gradient potencial.

Shenjat minus para gradientëve tregojnë se gradienti i përqendrimit shkakton transferimin e një substance nga vendet me përqendrim më të lartë në vendet me përqendrim më të ulët; dhe gradienti potencial shkakton transferimin e ngarkesave pozitive nga vendet me potencial më të lartë në vendet me më pak.

Për të përshkruar difuzionin e grimcave të pangarkuara, përdoret ekuacioni Fick:

Në këtë formë, ekuacioni Fick përcakton rrjedhën e grimcave të pangarkuara nëpër një sipërfaqe njësi në rastin kur nuk ka ndarje (membranë) që mund të pengojë transportin, ku:

D D - koeficienti i difuzionit, - gradient përqendrimi

Për një membranë qelizore: dx = L - trashësia e membranës, dC = C i - C e, ku C i dhe C e janë përqendrimi i grimcave brenda dhe jashtë qelizës. Koeficienti K (koeficienti i ndarjes) i shtohet ekuacionit Fick për një qelizë, i cili përcakton raportin e përqendrimit të grimcave midis mediumit dhe membranës dhe, në fund të fundit, shpejtësinë e transferimit. Duke marrë parasysh këtë, ekuacioni Fick për membranën qelizore përfaqësohet si:

DK / L = P - quhet koeficienti efektiv i përshkueshmërisë, atëherë Ф = - P (ME e - Ci)

6. Mekanizmi transport aktiv jonet K+ dheNa+ përmes membranës. Fazat kryesore të punësK, Na- ATP-azat. Konsumi i energjisë i transferimit kundër gradientit (formula).

Jonet e Na dhe K përcaktojnë metabolizmin ujë-elektrolit të trupit. Normalisht, në qelizat e gjalla të kafshëve ka një asimetri në përqendrimet e këtyre joneve brenda (i) dhe jashtë (e) qelizës. Përqendrimi i K është më i madh brenda qelizës, përqendrimi i Na është më i madh jashtë. Membrana qelizore është njësoj e përshkueshme nga të dy jonet. Prandaj, për të ruajtur asimetrinë, transferimi kundër-gradient kryhet duke përdorur Na, K - ATPase ose një pompë Na-K, për shkak të energjisë së çliruar gjatë hidrolizës së ATP.

ATP + H2O = ADP + Ph n + ∆G, ku Ph n është fosfat inorganik.

Fazat kryesore të punës së ATPase:

1) Ngjitja e 3 joneve Na dhe fosforilimi i enzimës brenda qelizës.

2) Translokimi nr. 1 – transferimi i qendrës lidhëse të jonit Na në pjesën e jashtme.

3) Shkëputja e 3 joneve Na dhe zëvendësimi i tyre me 2 jone K.

4) Eliminimi i mbetjeve të acidit fosforik.

5) Translokimi nr. 2 – transferimi i qendrës së lidhjes së jonit K në qelizë.

6) Shkëputja e 2 joneve K dhe shtimi i 3 joneve Na, pastaj fosforilimi i enzimës.

Transferimi i 2 joneve K në qelizë dhe lirimi i joneve 3 Na jashtë përfundimisht çon në transferimin e një ngarkese pozitive shtesë nga citoplazma në sipërfaqen e membranës. Prandaj, përmbajtja ndërqelizore ka një shenjë (-), dhe përmbajtja jashtëqelizore (+). Në përgjithësi, energjia që lirohet gjatë hidrolizës së ATP për transportin aktiv të Na + dhe K + përcaktohet nga formula:

ku termi i parë përcakton energjinë për transferimin kundër gradientit të dy joneve K, i dyti - energjinë për transferimin kundër gradientit të tre joneve Na, i treti - energjinë për të kapërcyer forcat e fushës elektrike që lindin në membrana për shkak të transportit aktiv.

Për t'u mësuar me teoremën, le të shohim një shembull se si zbatohet. Le të kthehemi përsëri në shpërndarjen e nxehtësisë, le të themi në metal. Le të shqyrtojmë një rast shumë të thjeshtë: e gjithë nxehtësia i është furnizuar trupit paraprakisht, dhe tani trupi po ftohet. Nuk ka burime nxehtësie, kështu që sasia e nxehtësisë ruhet. Sa nxehtësi atëherë duhet të jetë brenda një vëllimi të caktuar në një moment në kohë? Duhet të ulet saktësisht me sasinë që lë sipërfaqja e vëllimit. Nëse ky vëllim është një kub i vogël, atëherë, sipas formulës (3.17), mund të shkruajmë

Por kjo duhet të jetë e barabartë me shkallën e humbjes së nxehtësisë nga pjesa e brendshme e kubit. Nëse është sasia e nxehtësisë për njësi vëllimi, atëherë i gjithë furnizimi me nxehtësi është në një kub dhe shkalla e humbjes është e barabartë me

(3.20)

Duke krahasuar (3.19) me (3.20), shohim se

(3.21)

Shikoni nga afër formën e këtij ekuacioni; kjo formë gjendet shpesh në fizikë. Ai shpreh ligjin e ruajtjes, në këtë rast ligjin e ruajtjes së nxehtësisë. Në ekuacionin (3.13) e njëjta gjë fakt fizik u shpreh ndryshe. Kishte një formë integrale të ekuacionit të ruajtjes, dhe këtu kemi një formë diferenciale.

Ne përftuam ekuacionin (3.21) duke aplikuar formulën (3.13) në një kub infinitimal. Mund të shkoni në një mënyrë tjetër. Për një vëllim të madh të kufizuar nga një sipërfaqe, ligji i Gausit thotë se

(3.22)

Duke përdorur (3.21), integrali në anën e djathtë mund të shndërrohet në formën , dhe më pas marrim formulën (3.13).

Tani le të shohim një rast tjetër. Le të imagjinojmë se ka një vrimë të vogël në një bllok materies, dhe në të ka reaksion kimik, duke gjeneruar nxehtësi. Dikush gjithashtu mund ta imagjinojë atë rezistencë e ulët Brenda bllokut ka tela që e ngrohin atë goditje elektrike. Le të supozojmë se nxehtësia krijohet pothuajse në një pikë, dhe a përfaqëson energjinë e gjeneruar në atë pikë për sekondë. Në pjesën tjetër të vëllimit, le të ruhet nxehtësia dhe, përveç kësaj, le të fillojë gjenerimi i nxehtësisë aq shumë kohë më parë, saqë tani temperatura nuk ndryshon më askund. Pyetja është: si duket vektori i rrjedhës së nxehtësisë pika të ndryshme metal? Sa nxehtësi kalon nëpër secilën pikë?

Ne e dimë se nëse integrojmë komponentin normal mbi një sipërfaqe të mbyllur, burimi rrethues, gjithmonë do të funksionojë. E gjithë nxehtësia që gjenerohet në një burim pikësor duhet të rrjedhë nëpër sipërfaqe sepse rrjedha supozohet të jetë konstante. Para nesh detyrë e vështirë gjetja e një fushe vektoriale që, pas integrimit mbi një sipërfaqe arbitrare, do të jepte gjithmonë . Por ne mund ta gjejmë këtë fushë relativisht lehtë duke përzgjedhur sipërfaqen lloj i veçantë. Le të marrim një sferë me rreze me qendër në burim dhe të supozojmë se rrjedha e nxehtësisë është radiale (Fig. 3.6). Intuita na thotë se duhet të drejtohet përgjatë një rrezeje nëse blloku i materies është i madh dhe nuk i afrohemi shumë kufijve të tij; përveç kësaj, vlera në të gjitha pikat e sferës duhet të jetë e njëjtë. E shihni që për të marrë një përgjigje për llogaritjet tona, ne jemi të detyruar të shtojmë një sasi të caktuar spekulimesh (zakonisht kjo quhet "intuitë fizike").

Figura 3.6. Në rajonin afër një burimi pika, rrjedha e nxehtësisë drejtohet në mënyrë radiale nga jashtë.

Kur në mënyrë radiale dhe sferike simetrike, integrali i komponentit normal mbi sipërfaqen llogaritet shumë thjesht sepse komponenti normal është saktësisht i barabartë dhe konstant. Zona mbi të cilën është e integruar është e barabartë me . Pastaj marrim

, (3.23)

ku është vlera absolute. Ky integral duhet të jetë i barabartë me shpejtësinë me të cilën burimi gjeneron nxehtësi. Rezulton

ku, si gjithmonë, shënon vektorin njësi në drejtimin radial. Ky rezultat na tregon se është në proporcion dhe ndryshon në mënyrë të anasjelltë me katrorin e distancës nga burimi.

Rezultati i sapo përftuar vlen për rrjedhën e nxehtësisë pranë një burimi pika të nxehtësisë. Tani le të përpiqemi të gjejmë ekuacione që janë të vlefshme për vetë rrjedhën e nxehtësisë pamje e përgjithshme(duke iu përmbajtur kushtit të vetëm që sasia e nxehtësisë duhet të ruhet). Ne do të jemi të interesuar vetëm për atë që ndodh në vende jashtë çdo burimi ose ftohësi.

Ekuacioni diferencial për përhapjen e nxehtësisë është marrë në Kap. 2. Sipas ekuacionit (2.44),

(Mos harroni se ky raport është i përafërt, por për disa substanca si metalet qëndron mirë.) Është i zbatueshëm, natyrisht, vetëm në ato pjesë të trupit ku nuk ka as gjenerim dhe as përthithje të nxehtësisë. Më sipër kemi nxjerrë një relacion tjetër (3.21), i cili kënaqet kur ruhet sasia e nxehtësisë. Nëse e kombinojmë këtë ekuacion me (3.25), marrim

nëse - sasia është konstante. Më lejoni t'ju kujtoj se është sasia e nxehtësisë në një njësi vëllimi, a është laplacian, d.m.th. operatori

Nëse tani bëjmë një supozim më shumë, menjëherë lind një ekuacion shumë interesant. Le të supozojmë se temperatura e materialit është proporcionale me përmbajtjen e nxehtësisë për njësi vëllimi, domethënë që materiali ka një kapacitet të caktuar specifik të nxehtësisë. Kur ky supozim është i vërtetë (dhe ky është shpesh rasti), ne mund të shkruajmë dhe - për temperaturën.

Ekuacioni diferencial (3.28) quhet ekuacioni i difuzionit të nxehtësisë, ose ekuacioni i përcjelljes së nxehtësisë. Shpesh shkruhet në formë

ku është një konstante. Është e barabartë.

Ekuacioni i difuzionit shfaqet në shumë probleme fizike: në lidhje me difuzionin e gazit, përhapjen e neutroneve dhe të tjera. Ne kemi diskutuar tashmë fizikën e disa prej këtyre fenomeneve në Vol. 4, kap. 43. Tani para jush ekuacion i plotë, i cili përshkruan difuzionin në formën e tij më të përgjithshme. Pak më vonë do të punojmë në zgjidhjen e ekuacionit të difuzionit për të parë se si shpërndahet temperatura në disa raste. Tani le të kthehemi te shqyrtimi i teoremave të tjera rreth fushave vektoriale.

Le të shqyrtojmë një tub të zbrazët me seksion kryq të vogël konstant, në çdo seksion të të cilit përqendrimi i substancës difuzive mund të konsiderohet konstant. Le ta drejtojmë boshtin Ox përgjatë tubit, atëherë përqendrimi i substancës në tub shprehet me funksionin Q(x,t) dhe mund të përshkruhet me ekuacionin:

ku Q(x,t) është përqendrimi vëllimor (ose dendësia) e substancës difuzuese, kg/m3;

f(x,t) – dendësia vëllimore e burimit të papastërtisë, kg m -3 s -1.

Me kusht që koeficienti i difuzionit D të jetë konstant, koeficienti a përcaktohet nga shprehja:

, (2.58)

ku D është koeficienti i difuzionit, m 2 /s;

C – koeficienti i porozitetit.

, (2.59)

ku V është vëllimi i poreve brenda të cilave mund të ndodhë difuzioni, m3;

V 0 - vëllimi i përgjithshëm, m 3.

Nëse mediumi nuk është poroz, atëherë koeficienti C = 1 dhe koeficienti a 2 = D.

Si kushte fillestare, specifikohet shpërndarja e densitetit të substancës difuze përgjatë tubit të zbrazët të konsideruar në momentin fillestar:

Kushtet kufitare mund të specifikohen në formën e mëposhtme:

1) Në kufijtë e tubit të uritur, përqendrimi i substancës difuzive mbahet konstant (në veçanti e barabartë me zero) (kushtet kufitare të llojit të parë):

2) Planet kufitare të tubit janë të padepërtueshëm (kushtet kufitare të llojit të dytë):

; (2.63)

. (2.64)

3) Planet kufitare janë gjysmë të përshkueshme dhe difuzioni nëpër këto plane ndodh sipas ligjit të Njutonit për transferimin konvektiv të nxehtësisë (kushtet kufitare të llojit të tretë):

, (2.65)

, (2.66)

ku φ 1 (t), φ 2 (t) është dendësia e substancës difuzuese në mjedisi në të dy skajet e tubit;

α është koeficienti i përshkueshmërisë në skajet.

Vendosni një problem me vlerë kufitare për procesin e difuzionit të grimcave të pezulluara duke marrë parasysh sedimentimin, duke supozuar se shpejtësia e grimcave e shkaktuar nga graviteti është konstante dhe densiteti i grimcave varet vetëm nga lartësia z dhe koha t. Shkruani kusht kufitar, që korrespondon me një ndarje të padepërtueshme.

Funksioni Q(x,t) që përshkruan densitetin e grimcave të pezulluara në tub përcaktohet nga ekuacioni:

D – koeficienti i difuzionit, m 2 /s;

ν – shpejtësia e vendosjes së grimcave, m/s.

Kushti kufitar për kushtin e formuluar shkruhet si:

2.7 Ekuacionet e linjave të transmetimit

Konsideroni gjatësinë e kabllit l nën rrymë. Kablloja ka parametrat e mëposhtëm për njësi të gjatësisë së telit:

– rezistenca aktive R, Ohm/m;

– induktiviteti L, H/m;

– kapaciteti C, F/m;

– përcjellshmëria e izolimit G, (Ohm m) -1.

Tensioni U dhe rryma I në çdo kohë t në çdo pikë x mund të gjenden nga ekuacionet e mëposhtme:

1) Ekuacioni i telefonit:

ku Q(x,t)=U(x,t) ose Q(x,t)=I(x,t).

2) Ekuacioni telegrafik (ekuacioni telegrafik) që i nënshtrohet vlerave të papërfillshme të induktivitetit dhe përçueshmërisë L=G=0:

. (2.68)

3) Ekuacioni i radios (në vlera të ulëta të rezistencës aktive dhe përçueshmërisë R=G=0):

, (2.69)

ku k 2 =1/(LC).

Në të gjitha ekuacionet, si tensioni U(x,t) ashtu edhe rryma I(x,t) mund të konsiderohen si sasi të shpërndara në dalje.

Për ekuacionet telefonike dhe radio, të cilat përmbajnë derivatin e dytë në lidhje me kohën t, është e nevojshme të specifikohen kushtet fillestare në formën e sasisë më të shpërndarë në momentin fillestar të kohës përgjatë gjithë linjës dhe derivati i saj në lidhje me tek koha t. Le të shqyrtojmë llogaritjen e tyre.

Le të specifikohet shpërndarja e tensionit dhe rrymës përgjatë vijës:

Kushtet kufitare mund të specifikohen në mënyra të ndryshme. Le të shqyrtojmë ato më të zakonshmet, për njërën skaj të kabllit (linja), për shembull x= l.

1) Në fund ka një bateri me forcë elektromotore konstante E, B:

2) Fundi i linjës është nën tension sinusoidal me frekuencë ω:

3) Fundi i rreshtit është i bazuar:

. (2.76)

4) Fundi i telit është i izoluar:

. (2.77)

5) Në fillim dhe në fund të linjës, marrës me rezistencë omike R 0 dhe R janë ndezur l dhe vetë-induksioni L 0 dhe L l :

; (2.78)

, (2.79)

ku E është forca elektromotore e baterisë, V;

Unë 0, I l– forca aktuale në fillim dhe në fund të linjës, A.

6) Në fillim dhe në fund të linjës përfshihen kondensatorët ndarës me kapacitete C 0 dhe C l :

; (2.80)

, (2.81)

ku U l– tension në fund të linjës.

Një linjë transmetimi 1000 km e gjatë është fillimisht në gjendje të qëndrueshme me një potencial prej 1200 V në fundin transmetues (x=0) dhe 1100 V në skajin marrës (x= l= 1000). Fundi marrës i linjës është i tokëzuar papritmas dhe një potencial prej 1200 V mbetet në burim.

Meqenëse L=G=0, ne përdorim një ekuacion telegrafik të formës:

ku 0≤х≤ 1000.

Kushtet fillestare (tensioni fillestar i gjendjes së qëndrueshme) përshkruhen nga një ekuacion i formës:

,
.

Gjeni rrymën I(x,t) në një tel me gjatësi l, përgjatë së cilës rrjedh AC, nëse nuk ka rrjedhje aktuale, dhe rezistenca omike dhe përçueshmëria mund të neglizhohen. Supozohet se rryma fillestare në tel (në t=0) është zero, dhe tensioni fillestar jepet me formulën: