Klasike dhe kuantike fizikës statistikore. Derivimi i relacionit Gibbs. Parimet termodinamike. Teorema e Liouville dhe ekuacionet kinetike të Boltzmann dhe Ziegler. Metodat e fizikës statistikore në media heterogjene.

1. Derivimi i relacionit Gibbs

Shënime hyrëse . Vendin qendror në mekanikën e mediave heterogjene e zë nxjerrja e ekuacioneve qeverisëse. Janë ekuacionet konstituive që përmbajnë specifikimin që mundëson dallimin ndërmjet mediave me veti të ndryshme mekanike. Ka mënyra të ndryshme për të nxjerrë ekuacionet qeverisëse - si ato strikte të bazuara në metoda mesatare, ashtu edhe ato heuristike. Metoda më e zakonshme është një kombinim i eksperimenteve të mendimit duke marrë parasysh parimet termodinamike. Të dyja këto qasje janë fenomenologjike, megjithëse metoda termodinamike është thellësisht e zhvilluar dhe e bazuar në ligjet themelore fizike. Është e qartë se derivimi fenomenologjik i marrëdhënieve përcaktuese duhet të justifikohet bazuar në parimet e përgjithshme fizike, në veçanti, duke përdorur metoda statistikore.

Fizika statistikore studion sistemet që përbëhen nga numër i madh elemente me përbërje të njëjtë ose të ngjashme (atome, molekula, jone, struktura nënmolekulare etj.). Në mekanikën e mediave heterogjene, elementë të tillë janë mikroinhomogjenitetet (poret, çarjet, kokrrizat, etj.). Studimi i tyre duke përdorur metoda deterministe është pothuajse i pamundur. Në të njëjtën kohë, një numër i madh i këtyre elementeve lejon shfaqjen e modeleve statistikore dhe studimin e këtij sistemi duke përdorur metoda statistikore.

Në thelb metodat statistikore janë konceptet e sistemit dhe nënsistemit kryesor. Sistemi kryesor (termostati) është shumë më i madh se nënsistemi, por të dy janë në një gjendje ekuilibri termodinamik. Objekti i studimit në fizikën statistikore është pikërisht nënsistemi, i cili në mekanikën e kontinumit identifikohet me një vëllim elementar, dhe në mekanikën heterogjene me një vëllim fazash në një vëllim elementar.

Metoda Gibbs në fizikën statistikore bazohet në konceptet hapësirë ​​fazore dhe trajektoret në hapësirën fazore. Hapësira fazore është prodhimi topologjik i hapësirave koordinative dhe momentale të secilës grimcë që përbën nënsistemin. Trajektoret në hapësirën fazore përmbajnë shumë informacione të panevojshme, për shembull, vlerat fillestare dhe informacion rreth kushteve kufitare kur trajektorja arrin kufirin. Kur përshkruhet një trajektore e vetme në hapësirën fazore, zakonisht përdoret hipoteza ergodike (ose ndonjë zëvendësues i saj, i cili e modifikon pak atë, por është i përshtatshëm për prova rigoroze). Hollësitë e vërtetimit të hipotezës ergodike nuk janë të rëndësishme, prandaj ne nuk ndalemi në to. Ai lejon që një trajektore të zëvendësohet nga një ansambël i tërë shtetesh. Një përshkrim ekuivalent duke përdorur një ansambël shtetesh na lejon të heqim qafe këtë informacion të panevojshëm. Ansambli i shteteve lejon një interpretim të thjeshtë dhe transparent. Mund të imagjinohet si një gaz fiktiv në hapësirën fazore, i cili përshkruhet duke përdorur ekuacionin e transportit.

Qasja statistikore përfshin dy nivele të kërkimit - kuantike dhe klasike. Çdo inhomogjenitet mikroskopik i një mjedisi heterogjen përshkruhet nga mekanika e vazhdimësisë si një trup homogjen homogjen. Supozohet se teoria e fizikës statistikore kuantike është përdorur tashmë gjatë studimit të vetive mekanike dhe termodinamike të këtyre inhomogjeniteteve. Kur kryejmë mesataren mbi inhomogjenitetet e rastësishme në një mjedis heterogjen, ne i konsiderojmë këto johomogjenitete si objekte klasike të rastit. Linja e arsyetimit në fizikën statistikore kuantike dhe klasike është shumë e ngjashme, megjithëse ka disa dallime. Në statistikat kuantike, vëllimi fazor merr vlera diskrete. Megjithatë, ky nuk është i vetmi ndryshim. Në statistikat kuantike, një gaz fiktiv është i pakompresueshëm dhe i nënshtrohet vetëm transportit. Në statistikat klasike, ekuacioni i transportit përfshin një term që përshkruan proceset shpërhapëse në nivel molekular. Formalisht, duket si një burim. Pamja divergjente e këtij burimi lejon ruajtjen e masës së plotë të gazit fiktiv, por lejon zhdukjen dhe rishfaqjen e tij lokale. Ky proces i ngjan difuzionit në hapësirën fazore fiktive.

Më tej, në bazë të statistikave klasike, vetë termodinamika është shpjeguar më tej, duke përfshirë termodinamikën procese të pakthyeshme. Paraqiten konceptet e funksioneve termodinamike, me ndihmën e të cilave nxirren ekuacionet drejtuese. Mediat poroelastike përfshijnë procese konservatore dhe disipative. Në skelet ndodhin deformime elastike të kthyeshme, të cilat përfaqësojnë një sistem termodinamik konservator dhe në lëng ndodhin procese shpërhapëse. Në një mjedis poroz-viskoz, të dy fazat (skeletore dhe fluide) janë shpërndarëse.

Mikroproceset dhe makroproceset . Në median heterogjene, një nënsistem është një vëllim elementar që plotëson postulatet e mediave heterogjene. Në veçanti, ai plotëson kushtet e homogjenitetit statistikor lokal dhe ekuilibrit termodinamik lokal. Prandaj, të gjitha objektet dhe proceset ndryshojnë në shkallën e tyre në mikroprocese dhe makroprocese. Ne do të përshkruajmë makroproceset duke përdorur koordinatat e përgjithësuara dhe forcat e përgjithësuara . Këtu, nënshkrimet nënkuptojnë jo vetëm indekse vektoriale dhe tensore, por edhe sasi të ndryshme (përfshirë sasitë me dimensione të ndryshme tensori). Kur shqyrtojmë mikroproceset ne do të përdorim koordinatat e përgjithësuaraDhe shpejtësi të përgjithësuara. Këto koordinata përshkruajnë lëvizjen e molekulave të mëdha, lidhjet dhe inhomogjenitetet e tyre, të cilat konsiderohen si objekte klasike. Hapësira fazore e nënsistemit formohet nga koordinatat dhe shpejtësitë të gjitha grimcat që përbëjnë një vëllim të caktuar elementar.

Duhet të theksohet se në mekanikën kuantike natyra e grimcave është vendosur rreptësisht. Numri i grimcave është i kufizuar dhe ligjet e lëvizjes së tyre janë të njohura dhe uniforme për çdo lloj grimce. Një situatë krejtësisht e ndryshme lind në mekanikën e mediave heterogjene. Si rregull, kemi marrëdhënie konstituive të nxjerra nga metoda fenomenologjike për secilën nga fazat. Marrëdhëniet e përgjithshme konstituive për të gjithë vëllimin elementar në nivel makro janë zakonisht objekt i hulumtimit. Për këtë arsye, ndërveprimi i elementeve të nivelit mikro në mjedise heterogjene nuk i përshtatet metodave standarde të kërkimit.

Në këtë drejtim, kërkohen metoda dhe qasje të reja, të cilat ende nuk janë zhvilluar plotësisht. Një qasje e tillë është përgjithësimi i teorisë së Gibbs nga Ziegler. Thelbi i tij qëndron në disa modifikime të ekuacionit të Liouville. Kjo qasje do të përshkruhet më në detaje më poshtë. Ne fillimisht bëjmë një prezantim standard të teorisë së Gibbs-it dhe më pas paraqesim idetë që e përgjithësojnë atë.

Energjia e sistemit ndryshime për shkak të punës
në nivel makro, i cili shprehet me relacionin

. Ai gjithashtu ndryshon për shkak të fluksit të nxehtësisë
të lidhura me lëvizjen e molekulave. Le të shkruajmë ligjin e parë të termodinamikës në formë diferenciale

. (1.1)

Ne do të përshkruajmë mikroproceset duke përdorur Ekuacionet e Lagranzhit

, (1.2) ku
–Funksioni i Lagranzhit,- kinetike, dhe - energji potenciale.

Teoria e Gibbs-it vendos kufizimet e mëposhtme. Supozohet se energjia potenciale varet nga mikrokoordinatat dhe makrokoordinatat, dhe energjia kinetike varet vetëm nga mikrokoordinatat dhe shpejtësitë e tyre. Në kushte të tilla, funksioni Lagranzh nuk varet nga koha dhe makro-shpejtësitë.

.

Qasja e bazuar në ekuacionet e lëvizjes në formën e Lagranzhit (1.2) mund të zëvendësohet nga një formalizëm ekuivalent Hamiltonian duke futur momente të përgjithësuara për mikrokoordinatat

,
, Dhe Funksioni i Hamiltonit
, që ka kuptimin e energjisë totale të grimcës. Le të shkruajmë rritjen e funksionit Hamilton

Për shkak të përcaktimit të impulseve dhe ekuacioneve të lëvizjes së Lagranzhit, kjo shprehje transformohet

, (1.2) që vijon Ekuacionet e lëvizjes së Hamiltonit

,
. (1.3a) ku
ka kuptimin e energjisë së sistemit, si dhe identitetin shtesë të racave

. (1.3b)

Këtu duhet theksuar se funksionet Lagranzh dhe Hamilton shprehen me argumente të ndryshme. Prandaj, identiteti i fundit ka një kuptim jo krejtësisht të parëndësishëm. Le të shkruajmë shprehjen diferenciale (1.2) për një grimcë përgjatë trajektores së saj

.

Duke përdorur (1.3), ne e transformojmë këtë shprehje

.

Rrjedhimisht, energjia e grimcave varet vetëm nga makrokoordinatat e përgjithësuara. Nëse ato nuk ndryshojnë me kalimin e kohës, atëherë energjia ruhet.

Metoda statistikore për përshkrimin e një sistemi . Mungesa e informacionit për kushtet fillestare për sistemin (1.3) dhe për sjelljen e tij në kufirin e trupit mund të tejkalohet nëse përdorim një qasje statistikore për studimin e këtij sistemi. Le të ketë ky sistem mekanik shkallët e lirisë që lidhen me variablat mikroskopikë. Me fjalë të tjera, pozicioni i të gjitha pikave në të zakonshmen hapësirë ​​tredimensionale karakterizuar koordinatat e përgjithësuara(
). Le të shqyrtojmë hapësirën fazore të një numri më të madh variablash
. Gjendja fazore karakterizohet nga një pikë me koordinata
V
-hapësirë ​​euklidiane dimensionale. Në praktikë, ne gjithmonë studiojmë një objekt specifik që është pjesë e një sistemi të madh (në krahasim me objektin e dhënë) ( mjedisi i jashtëm ). Ky objekt zakonisht ndërvepron me mjedisin e jashtëm. Prandaj, në të ardhmen do të flasim nënsistem(që zë një pjesë të hapësirës fazore) duke ndërvepruar me sistemin (i cili zë të gjithë hapësirën fazore).

Kur hyni brenda
-hapësirë ​​dimensionale, një trajektore e vetme gradualisht mbush gjithë këtë hapësirë ​​fazore. Le të vendosim
dhe shënoni me
ajo pjesë e vëllimit të hapësirës fazore në të cilën një nënsistem i caktuar kalon "pothuajse gjithë kohën". Këtu nënkuptojmë kohën gjatë së cilës nënsistemi është në gjendje kuazi-ekuilibri. Gjatë një periudhe mjaft të gjatë kohore, trajektorja e fazës do të kalojë nëpër këtë seksion të hapësirës fazore shumë herë. Le të pranojmë hipotezën ergodike, sipas së cilës, në vend të një pike lëvizëse në hapësirën fazore, mund të konsiderojmë shumë pika që formojnë një ansambël statistikor. Kalimi në vëllimin e fazës elementare pafundësisht të vogël

, le të prezantojmë një funksion të shpërndarjes së vazhdueshme duke përdorur raportin

. Këtu – numri i pikave në elementin e vëllimit fazor
,
– numri i plotë pikat në të gjithë hapësirën e fazës, – një koeficient normalizimi të caktuar që ka dimensionin e veprimit. Karakterizon peshën statistikore të elementit të vëllimit të hapësirës fazore të zgjedhur. Funksioni i shpërndarjes plotëson kushtin e normalizimit

ose
. (1.4)

Le
– koha totale që kalon sistemi brenda vëllimit elementar
, A – kohë e plotë lëvizja e një pike materiale përgjatë trajektores së saj. Në përputhje me hipotezën ergodike, supozojmë se

. (1.5)

Duke arsyetuar thjesht formalisht, mund të supozojmë se ka një gaz fiktiv në hapësirën fazore, dendësia e të cilit është e barabartë me densitetin e numrit të pikave në hapësirën fazore. Ruajtja e numrit të molekulave fiktive të gazit shprehet me një ekuacion transportues në hapësirën fazore, i ngjashëm me ligjin e ruajtjes së masës në hapësirën e zakonshme tredimensionale. Ky ligj ruajtjeje quhet teorema e Liouville

. (1.6)

Në bazë të ekuacioneve të Hamiltonit, kushti për moskompresibilitetin e lëngut fazor vijon:

(1.7)

Le të prezantojmë derivatin konvektiv

.

Duke kombinuar (1.6) dhe (1.7), marrim ekuacionin e transportit të lëngut fazor

ose
. (1.8)

Në bazë të hipotezës ergodike, dendësia e numrit të grimcave në hapësirën fazore është proporcionale me densitetin e probabilitetit në grupin e gjendjeve. Prandaj, ekuacioni (1.8) mund të paraqitet si

. (1.9)

Në një gjendje ekuilibri me parametra të jashtëm konstant, energjia e mikrosistemit, e përfaqësuar nga Hamiltoniani, ruhet përgjatë trajektores në hapësirën fazore. Në të njëjtën mënyrë, për shkak të (1.9), ruhet densiteti i probabilitetit. Nga kjo rrjedh se densiteti i probabilitetit është një funksion i energjisë.

. (1.10)

Varësia nga është e lehtë për t'u marrë nëse vëreni se energjitë e nënsistemeve janë shtuar dhe probabilitetet janë shumëzuar. Kjo gjendje plotësohet nga forma e vetme e varësisë funksionale

. (1.11) Kjo shpërndarje quhet kanonike. Këtu – konstante Boltzmann, sasitë
Dhe
kanë dimensionin e energjisë. Sasitë
Dhe quhen energji dhe temperaturë e lirë.

Le të përcaktojmë energjinë e brendshme si vlera mesatare e energjisë së vërtetë

. (1.12)

Duke zëvendësuar (1.11) këtu, marrim

.

Entropia përcaktuar si

Marrëdhënia (1.13) prezanton një koncept të ri - entropinë. Ligji i dytë i termodinamikës thotë se gjendje ekuilibri Sistemi, entropia e tij tenton të rritet dhe në një gjendje ekuilibri termodinamik entropia mbetet konstante. Duke kombinuar (1.12) dhe (1.13), marrim

. (1.14) Marrëdhënia (1.14) është baza për nxjerrjen e funksioneve të tjera termodinamike që përshkruajnë gjendjen e ekuilibrit të nënsistemit.

Le të supozojmë se brenda vëllimit fazor
e një nënsistemi të caktuar densiteti i probabilitetit është pothuajse konstant. Me fjalë të tjera, ky nënsistem është i lidhur dobët me mjedisin dhe është në një gjendje ekuilibri. Marrëdhënia është e vlefshme për të

. (1.15) Këtu
– funksioni delta.

Kjo shpërndarje quhet mikrokanonike në kontrast me shpërndarjen kanonike (1.11). Në pamje të parë, duket se të dyja shpërndarjet janë shumë të ndryshme dhe madje kundërshtojnë njëra-tjetrën. Në fakt, nuk ka asnjë kontradiktë mes tyre. Le të hyjmë në rreze në hapësirën fazore shumëdimensionale është shumë numer i madh matjet. Në një shtresë sferike të hollë të barabartë (në energji), numri i pikave tejkalon ndjeshëm numrin e pikave brenda kësaj sfere. Është për këtë arsye që shpërndarjet (1.11) dhe (1.15) ndryshojnë pak nga njëra-tjetra.

Për të përmbushur relacionin e fundit (1.4) është e nevojshme që kjo densitet probabiliteti të jetë e barabartë me

. (1.16)

Le të zëvendësojmë shpërndarjen (1.11) në relacionin e fundit (1.4)

dhe ta diferenconi atë. Duke marrë parasysh atë
është funksion i makrokoordinatave, kemi

,
.

Duke përdorur (1.14), ne e transformojmë këtë shprehje

. (1.17a) Këtu
- rrjedha e nxehtësisë,
- Punë forcat e jashtme. Kjo marrëdhënie u zhvillua për herë të parë nga Gibbs dhe mban emrin e tij. Për gazin ka një formë veçanërisht të thjeshtë

. (1.17b) Këtu - presioni, - vëllimi.

Në planin fenomenologjik jepet edhe përkufizimi i temperaturës. Vini re se rrjedha e nxehtësisë nuk është një diferencial i funksionit termodinamik, ndërsa entropia është e tillë sipas përkufizimit. Për këtë arsye, në shprehjen (1.17) ekziston një faktor integrues , e cila quhet temperaturë. Mund të merrni pak lëng pune (ujë ose merkur) dhe të prezantoni një shkallë ndryshimi të temperaturës. Një trup i tillë quhet termometri. Le të shkruajmë (1.17) në formë

. Temperatura në këtë lidhje është një sasi intensive.

Forcat dhe zhvendosjet e përgjithësuara janë sasi të konjuguara termodinamikisht. Po kështu, temperatura dhe entropia janë sasi të konjuguara, nga të cilat njëra është një forcë e përgjithësuar dhe tjetra është një zhvendosje e përgjithësuar. Nga (1.17) vijon

. (1.18)

Në bazë të (1.14) për energji e lirë kemi një shprehje diferenciale të ngjashme

. (1.19) Në këtë relacion, temperatura dhe entropia si sasi të konjuguara ndryshojnë vendet, dhe shprehja (1.18) modifikohet

. (1.20)

Për të përdorur këto marrëdhënie, është e nevojshme të specifikohen parametra dhe shprehje të pavarura përcaktuese për funksionet termodinamike.

Mund të jepet një përkufizim më i rreptë për temperaturën. Le të shqyrtojmë, për shembull, një sistem të mbyllur (të izoluar) të përbërë nga dy trupa dhe në një gjendje ekuilibri termodinamik. Energjia dhe entropia janë sasi shtesë
,
. Vini re se entropia është një funksion i energjisë, pra
. Në ekuilibër, entropia është pikë e palëvizshme në lidhje me rishpërndarjen e energjisë ndërmjet dy nënsistemeve, d.m.th.

.

Kjo pason drejtpërdrejt

. (1.21)

Derivati ​​i entropisë në lidhje me energjinë quhet temperaturë absolute (ose thjesht temperaturë ). Ky fakt gjithashtu rrjedh drejtpërdrejt nga (1.17). Marrëdhënia (1.21) do të thotë diçka më shumë: në një gjendje ekuilibri termodinamik, temperaturat e trupave janë të barabarta

. (1.22)

STATISTIKORE, seksioni statistikor. fizikë, kushtuar vërtetimit të ligjeve bazuar në ligjet e ndërveprimit. dhe lëvizjet e grimcave që përbëjnë sistemin. Për sistemet në një gjendje ekuilibri, statistikat mundësojnë llogaritjen, regjistrimin, fazën dhe kushtet kimike. . Statistikat jo-ekuilibër japin një justifikim për marrëdhëniet (ekuacionet e transferimit të energjisë, momentit, masës dhe kushteve të tyre kufitare) dhe mundësojnë llogaritjen e kinetikës së përfshirë në ekuacionet e transferimit. koeficientët Statistikat vendosin sasi. lidhja midis mikro dhe makro vetive të fizike. dhe kimi. sistemeve Metodat e llogaritjes

statistikore përdoren në të gjitha drejtimet e modernes. teorike . Për statistikore përshkrimet makroskopike sistemet J. Gibbs (1901) propozoi përdorimin e koncepteve të statistikës. hapësira ansambël dhe fazore, e cila bën të mundur aplikimin e metodave të teorisë së probabilitetit për zgjidhjen e problemeve. Statistikore ansamble - një koleksion i një numri shumë të madh sistemesh identike në shumësi. grimcat (d.m.th., "kopjet" e sistemit në shqyrtim) të vendosura në të njëjtën makrostate, e cila përcaktohet nga ; Mikrogjendjet e sistemit mund të ndryshojnë. bazë statistikore ansamble - mikrokanonike, kanonike, kanonike të mëdha.

dhe izobarike-izotermike.

Mikrokanonike Ansambli Gibbs përdoret kur merret parasysh (jo shkëmbimi i energjisë E me) që ka një vëllim konstant V dhe numrin e grimcave identike N (sistemet E, V dhe N).

Kanoniç. Ansambli Gibbs përdoret për të përshkruar sistemet me vëllim konstant që janë në c termike (temperatura absolute T) me një numër konstant të grimcave N (V, T, N). Kanuni i Madh. Ansambli Gibbs përdoret për të përshkruar ato që ndodhen në c termike (temperatura T) dhe materiale me një rezervuar grimcash (të gjitha grimcat shkëmbehen përmes "mureve" që rrethojnë sistemin me vëllim V). të një sistemi të tillë - V, T dhe m - potenciali kimik i grimcave. Izobarike-izotermike Ansambli Gibbs përdoret për të përshkruar sistemet termike dhe lesh. klasike sistemi f(p, q) karakterizon densitetin e probabilitetit të zbatimit të një mikro të caktuargjendjet (p, q) në elementin vëllimor dГ të hapësirës fazore.

Probabiliteti që grimcat N të jenë në një vëllim pafundësisht të vogël të hapësirës fazore është e barabartë me: ku dГ N është elementi i vëllimit fazor të sistemit në njësi h 3N, h është konstanta e Planck-ut; pjesëtues N! merr parasysh faktin se rirregullimi i identiteteve. grimcat nuk e ndryshojnë gjendjen e sistemit. Funksioni i shpërndarjes plotëson kushtin e normalizimit t f(p, q)dГ N = 1, sepse sistemi është i besueshëm në k.-l. gjendje. Për sistemet kuantike, funksioni i shpërndarjes përcakton probabilitetin w i , N të gjetjes së një sistemi me N grimcash në , të specifikuar nga grupi numrat kuantikë

i , me energji E i,N subjekt normalizimiVlera mesatare në kohën t (d.m.th. sipas

intervali kohor pafundësisht i vogël nga t në t + dt) çdo fizik. vlera A(p, q), e cila është një funksion i koordinatave dhe momentit të të gjitha grimcave në sistem, llogaritet duke përdorur funksionin e shpërndarjes sipas rregullit (përfshirë për proceset jo ekuilibër):

Integrimi mbi koordinatat kryhet në të gjithë vëllimin e sistemit, dhe integrimi mbi impulset nga - , në +, . Gjendja termodinamike sistemet duhet të konsiderohen si kufi t: , . Për gjendjet e ekuilibrit, funksionet e shpërndarjes përcaktohen pa zgjidhur ekuacionin e lëvizjes së grimcave që përbëjnë sistemin. Forma e këtyre funksioneve (e njëjta për sistemet klasike dhe kuantike) u krijua nga J. Gibbs (1901).

Në mikrokanon. Në ansamblin Gibbs, të gjitha mikrostatet me një energji të caktuar E janë njësoj të mundshme dhe funksioni i shpërndarjes për klasiken sistemet kanë formën: f(p,q) = A

d, Ku d - Funksioni delta i Dirakut, H(p, q) - Funksioni i Hamiltonit, i cili është shuma e kinetikës. dhe potencial energjitë e të gjitha grimcave; konstanta A përcaktohet nga gjendja e normalizimit të funksionit f(p, q). Për sistemet kuantike me saktësi specifikimi, e barabartë me vlerën< Е и E k >D E, në përputhje me ndërmjet energjisë dhe kohës (midis momentit dhe koordinatës së grimcave), funksioni w (E k) = -1, nëse EE k E + D E, dhe w (E k) = 0, nëse E k

E + D E. Vlera g(E, N, V)-t. thirrur statistikore , e barabartë me numrin në energji. shtresa D E. Një marrëdhënie e rëndësishme statistikore është lidhja ndërmjet sistemit dhe atij statistikor. :

S(E, N, V) = klng(E, N, V), ku konstanta k-Boltzmann.Në kanun. Në ansamblin Gibbs, probabiliteti që sistemi të jetë në një mikrogjendje të përcaktuar nga koordinatat dhe momentet e të gjitha N grimcave ose vlerat e E i,N ka formën: f(p, q) = exp (/kT) ;

w i,N = exp[(F - E i,N)/kT],

ku Z N -statistika. shumën (në rast sistemi kuantik

) ose statistikore integral (në rastin e një sistemi klasik), i përcaktuar nga kushti për normalizimin e funksioneve w i,N ose f(p, q): Z N =

t exp[-H(р, q)/kT]dpdq/(N!h 3N)

(shuma mbi r mbi të gjitha sistemet, dhe integrimi kryhet në të gjithë hapësirën e fazës).

d, Në kanunin e madh. Funksioni i shpërndarjes së ansamblit Gibbs f(p, q) dhe statistikor. shuma X, e përcaktuar nga kushti i normalizimit, ka formën:

W - termodinamik

potencial në varësi të variablave V, T, m (përmbledhja kryhet mbi të gjithë numrat e plotë pozitivë N). Në izobarike-izotermike Shpërndarja e ansamblit Gibbs dhe funksioni statistikor. shuma Q, e përcaktuar nga kushti i normalizimit, ka formën: ku sistemet G (potenciali izobarik-izotermik, i lirë). Për të llogaritur termodinamikë. funksionet, ju mund të përdorni çdo shpërndarje: ato janë ekuivalente me njëra-tjetrën dhe korrespondojnë me fizike të ndryshme. kushtet. Mikrokanonike Zbatohet shpërndarja Gibbs. arr. në teori kërkimore. Për zgjidhje në të jashtme të dhëna kushtet (E, V, N), pra gjendja e ekuilibrit është më së shumti. gjendje e mundshme (me maksimum. statistikor ). Prandaj, kalimi nga një gjendje jo ekuilibër në një gjendje ekuilibri është një proces i kalimit nga gjendjet më pak të mundshme në ato më të mundshme. Kjo është pika statistikore. kuptimi i ligjit të rritjes, sipas të cilit mund të rritet vetëm (shih). Në t-re abs. zero, çdo sistem është në thelb gjendje në të cilën w 0 = 1 dhe S = 0. Ky pohim është (shih). Është e rëndësishme që për përkufizim i paqartë nevoja për të përdorur përshkrim kuantik, sepse në klasike statistikat m.b. përkufizohet vetëm deri në një afat arbitrar.

Sisteme ideale. Llogaritja e statistikave shumat e shumicës së sistemeve përfaqësojnë detyrë e vështirë. Është thjeshtuar ndjeshëm nëse kontributi i potencialit. energji në plot energji sistemet mund të neglizhohen. Në këtë rast, funksioni i shpërndarjes së plotë f(p, q) për N grimca sistemi ideal shprehet përmes produktit të funksioneve të shpërndarjes me një grimcë f 1 (p, q):

Shpërndarja e grimcave midis mikrogjendeve varet nga kinetika e tyre. energji dhe nga shenjtorët kuantikë në sistem, për shkak tëpër shkak të identitetit të grimcave. Të gjitha grimcat ndahen në dy klasa: fermione dhe bozone. Lloji i statistikave që i nënshtrohen grimcave lidhet në mënyrë unike me .

Statistikat Fermi-Dirac përshkruan shpërndarjen në një sistem identitetesh. grimcat me gjysmënumër të plotë 1/2, 3/2,... në njësi ђ = h/2p. Një grimcë (ose kuazigrimcë) që i bindet statistikave të specifikuara quhet. fermion. Fermionet përfshijnë në, dhe, me tek, me diferencë dhe numra tek, kuazigrimca (për shembull, vrima në), etj. Kjo statistikë u propozua nga E. Fermi në vitin 1926; në të njëjtin vit, P. Dirac zbuloi mekanikën e tij kuantike.

kuptimi. Funksioni valor i sistemit të fermionit është antisimetrik, d.m.th. ndryshon shenjën e tij kur riorganizon koordinatat dhe çdo identitet. grimcat. Secila mund të përmbajë jo më shumë se një grimcë (shih). Numri mesatar i grimcave të fermionit n i në një gjendje me energji E i përcaktohet nga funksioni i shpërndarjes Fermi-Dirac:

n i =(1+exp[(E i -

m)/kT]) -1, ku i është një grup numrash kuantikë që karakterizojnë gjendjen e grimcës. nga një numër çift fermionesh, për shembull. me numër të përgjithshëm çift dhe (deuteron, 4 He bërthama etj.).

Bozonët përfshijnë gjithashtu fonone në dhe lëng 4 He, eksitone në dhe. Funksioni valor i sistemit është simetrik në lidhje me ndërrimin e çdo identiteti. grimcat. Numrat plotësues nuk kufizohen në asnjë mënyrë, d.m.th. Çdo numër grimcash mund të ekzistojnë në një gjendje. Numri mesatar i grimcave n i bozon në një gjendje me energji E i përshkruhet nga funksioni i shpërndarjes Bose-Einstein:

n i =(shp[(E i - m)/kT]-1) -1. Statistikat e Boltzmann janë rast i veçantë Statistikat kuantike, kur efektet kuantike mund të neglizhohen (

t-ry e lartë ). Ai merr në konsideratë shpërndarjen e grimcave sipas momentit dhe koordinatave në hapësirën fazore të një grimce, dhe jo në hapësirën fazore të të gjitha grimcave, si në shpërndarjet Gibbs. Si minimum

njësitë e vëllimit të hapësirës fazore, e cila ka gjashtë dimensione (tre koordinata dhe tre projeksione të momentit të grimcave), në përputhje me mekanikën kuantike. , nuk mund të zgjidhni një vëllim më të vogël se h 3 . Numri mesatar i grimcave n i në një gjendje me energji E i përshkruhet nga funksioni i shpërndarjes Boltzmann:n i =exp[( m -E i)/kT]. Për grimcat që lëvizin sipas ligjeve klasike. mekanika në të jashtme potencial fusha U(r), funksioni statistikisht i ekuilibrit të shpërndarjes f 1 (p,r) mbi momentin p dhe koordinatat r të grimcave ka formën:

f 1 (p,r) = A exp( - [p 2 /2m + U(r)]/kT).

Këtu p 2 /2t-kinetike. energjia e masës w, konstanta A përcaktohet nga kushti i normalizimit. Kjo shprehjeshpesh quhet Shpërndarja Maxwell-Boltzmann, dhe shpërndarja Boltzmann quhet. funksionin n(r) = n 0 exp[-U(r)]/kT], ku n(r) =

Shpërndarja Maxwell nuk varet nga ndërveprimi. ndërmjet grimcave dhe është e vërtetë jo vetëm për , por edhe për (nëse është i mundur një përshkrim klasik për to), si dhe për grimcat Browniane të pezulluara në dhe . Përdoret për të numëruar numrin e përplasjeve ndërmjet njëri-tjetrit gjatë reaksioneve kimike. rrethi dhe nga sipërfaqja.

Shuma sipas shtetit. Statistikore shuma në kanonike Ansambli Gibbs shprehet përmes shumës mbi gjendjet e një Q 1:

ku E i është energjia e nivelit të i-të kuantik (i = O korrespondon niveli zero), g i -statistikë. niveli i-të. NË rast i përgjithshëm specie individuale

lëvizjet e , dhe grupet në, si dhe lëvizja në tërësi janë të ndërlidhura, por përafërsisht ato mund të konsiderohen si të pavarura. Atëherë shuma mbi shtetet mund të jetë paraqitet në formën e një produkti të përbërësve individualë të lidhur me hapat. lëvizje (Q post) dhe me intramol. lëvizjet (Q int):

d, Q 1 = Q post ·Q int, Q post = l (V/N), l = (2p mkT/h 2) 3/2. Për Q ext paraqet shumën e gjendjeve elektronike dhe bërthamore; për Q int - shuma e lëkundjeve elektronike, bërthamore. dhe rrotullohen. shteteve. NË zona t-r nga 10 në 10 3 K, zakonisht përdoret një përshkrim i përafërt, në të cilin secili nga llojet e treguara të lëvizjes konsiderohet në mënyrë të pavarur: Q in = Q el · Q helm · Q rrotullimi · Q numërimi / g, ku g është numri,

e barabartë me numrin

identiteti. konfigurimet që lindin gjatë rrotullimit, të përbëra nga identike ose grupe. Shuma e gjendjeve të lëvizjes elektronike Q el është e barabartë me statistikore. R t bas. gjendje elektronike. Në shumës rastet bas. niveli është jo i degjeneruar dhe i ndarë nga niveli më i afërt i ngacmuar, që do të thotë. energji: (P t = 1). Megjithatë, në disa raste, p.sh. për O 2, Р t = z, në thelb. gjendje, momenti i sasisë së lëvizjes është i ndryshëm nga zero dhe ndodh, dhe energjia mund. mjaft e ulët. Shuma mbi gjendjet e helmit Q, për shkak të degjenerimit të atyre bërthamore, është e barabartë me: ku s i është rrotullimi i bërthamës i, produkti merret mbi të gjitha . Shuma sipas gjendjeve të lëkundjes. lëvizjes ku v i -frekuencat

Kur llogaritet në temperatura mbi 10 3 K, është e nevojshme të merret parasysh anharmoniteti i dridhjeve, efektet e ndërveprimit. lëkunden dhe rrotullohen. shkallët e lirisë (shih), si dhe gjendjet elektronike, popullsia e niveleve të ngacmuara, etj. Kur t-rah të ulët(nën 10 K) është e nevojshme të merren parasysh efektet kuantike (veçanërisht për ato diatomike). Mirë, le ta rrotullojmë. Lëvizja e AB heteronukleare përshkruhet me formulën e mëposhtme:

l-numri rrotullohet. shtetet, dhe për homonuklear A 2 (veçanërisht për H 2, D 2, T 2) bërthamore dhe rrotullohen. ndërveprimin e shkallëve të lirisë Shokume shok: Q helm. rrotullohen

Q helm ·Q rrotullim Njohja e shumës mbi gjendjet ju lejon të llogarisni termodinamikën. Shenjtorët dhe, përfshirë. kimi. , shkalla e ekuilibrit të jonizimit etj. E rëndësishme në teorinë e abs. shpejtësitë r-tions ka aftësinë për të llogaritur procesin e formimit të aktivizimit. kompleks ( gjendje tranzicioni

), i cili paraqitet si modifikim. grimcë, një nga dridhjet. shkallët e lirisë prerja zëvendësohet me shkallën e lirisë së hyrjes. lëvizjet. Sisteme jo ideale.

d,

Në ndërveprim së bashku. Në këtë rast, shuma mbi gjendjet e ansamblit nuk reduktohet në produktin e shumave mbi gjendjet e atyre individuale. Nëse supozojmë se intermoli. ndërveprim nuk ndikojnë në brendësi shteteve, statistikore shuma e sistemit në klasik përafrim për , i përbërë nga N identitete. grimcat kanë formën:<2 KëtuN-konfigurimi.

integrale duke marrë parasysh ndërveprimin. . Naib, shpesh potencial. energjia U konsiderohet si një shumë e potencialeve çift: U = =ku U(r ij) është potenciali qendror. forcat në varësi të

Për teorike përshkrimet e vetive të dendura dhe zgjidhjet e jo-elektroliteve dhe ndërfaqeve në këto sisteme janë më të përshtatshme se llogaritja e drejtpërdrejtë e të dhënave statistikore.shuma është metoda e funksioneve të shpërndarjes së n-grimcave. Në të, në vend që të numërohen statistikat. çdo shtet me një fikse energjia përdor marrëdhëniet ndërmjet funksioneve të shpërndarjes f n, të cilat karakterizojnë probabilitetin e gjetjes së grimcave njëkohësisht në pikat e hapësirës me koordinatat r 1,..., r n; për n = N f N = b t f(p, r) dp (këtu dhe më poshtë q i = r i). Funksioni me një grimcë f 1 (r 1) (n = 1) karakterizon shpërndarjen e densitetit të substancës. Për këtë periodik. f-tion me maksimum në nyjet kristalore. strukturat; për ose në mungesë të jashtme fusha është një vlerë konstante e barabartë me makroskopike.

dendësia e lumit Funksioni i shpërndarjes me dy grimca (n = 2) karakterizon probabilitetin e gjetjes

Modelet e kondensatorëve të rrjetës.

gjendjet kanë gjetur zbatim të gjerë në termodinamikë. duke marrë parasysh pothuajse të gjitha fiziko-kimike. detyrat. I gjithë vëllimi i sistemit është i ndarë në rajone lokale me një madhësi karakteristike sipas rendit të madhësisë u 0. Në përgjithësi, në modele të ndryshme madhësia e zonës lokale mund të jetë edhe më e madhe edhe më e vogël se u 0 ;në shumicën e rasteve janë të njëjta. Kalimi në një shpërndarje diskrete në hapësirë ​​thjeshton ndjeshëm llogaritjen e ndryshimit. . Modelet e rrjetave marrin parasysh ndërveprimin. së bashku; ndërveprimin e energjisë të përshkruara në mënyrë energjike. parametrave. Në një numër rastesh, modelet e rrjetës lejojnë zgjidhje të sakta, gjë që bën të mundur vlerësimin e natyrës së përafrimeve të përdorura. Me ndihmën e tyre, është e mundur të merren parasysh ato me shumë grimca dhe ato specifike. ndërveprim, orientim efektet etj. Modelet e rrjetave janë themelore në studimin dhe zbatimin e llogaritjeve të aplikuara dhe sistemeve shumë johomogjene.Metodat numerike për përcaktimin e termodinamikës. St.-in po bëhen gjithnjë e më të rëndësishme me zhvillimin e informatikës.

teknologjisë. Në metodën Monte Carlo, integralet shumëdimensionale llogariten drejtpërdrejt, gjë që lejon marrjen e drejtpërdrejtë të të dhënave statistikore. mesatare e vërejtur

vlerat A(r1.....r N) sipas ndonjë prej statistikave

ansamblet

Kinetika fizike është një pjesë e statistikave. fizika, e cila jep justifikim për marrëdhëniet që përshkruajnë transferimin e energjisë, momentit dhe masës, si dhe ndikimin e ndikimeve të jashtme në këto procese. fusha. Kinetike. koeficientët makroskopikë karakteristikat e një mjedisi të vazhdueshëm që përcaktojnë varësitë e rrjedhave fizike. sasitë (nxehtësia, momenti, masa e përbërësve etj.) ngaprurjet e gradientit që shkaktojnë këto prurje janë hidrodinamike. shpejtësia etj.Duhet të dallohen koeficientët Onsager të përfshirë në ekuacionet që lidhin rrjedhat me termodinamikën.

forcat (ekuacioni termodinamik i lëvizjes), dhe koeficientët e transferimit (, etj.) të përfshira në ekuacionin e transferimit. I pari m.b. shprehur nëpërmjet kësaj të fundit duke përdorur marrëdhëniet ndërmjet makroskopike. karakteristikat e sistemit, kështu që në të ardhmen do të merren parasysh vetëm koeficientët. transferimi.

Për të llogaritur makroskopike

d, Koeficient transferimi, është e nevojshme të kryhet mesatarizimi i probabiliteteve të realizimit të transfertave elementare duke përdorur një funksion shpërndarjeje joekuilibri. Vështirësia kryesore është se analitit. forma e funksionit të shpërndarjes f(p, q, t) (t-koha) është e panjohur (në ndryshim nga gjendja e ekuilibrit të sistemit, e cila përshkruhet duke përdorur funksionet e shpërndarjes Gibbs të marra në t: , ). Konsideroni funksionet e shpërndarjes së n-grimcave f n (r, q, t), të cilat përftohen nga funksionet f (p, q, t) duke matur mbi koordinatat dhe momentin e grimcave të mbetura (N - n):Për ta, ndoshta. është përpiluar një sistem ekuacionesh që mundëson përshkrimin e gjendjeve arbitrare joekuilibri. Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh është shumë e vështirë. Si rregull, në kinetike teorisë dhe kuazigrimcave të gazta (fermione dhe bozone), përdoret vetëm ekuacioni për funksionin e shpërndarjes me një grimcë f 1. Nën supozimin se nuk ka korrelacion midis gjendjeve të ndonjë grimce (hipoteza e kaosit molekular), të ashtuquajturat kinetike Ekuacioni Boltzmann (L. Boltzmann, 1872). Ky ekuacion merr parasysh ndryshimin në shpërndarjen e grimcave nën ndikimin e ndikimeve të jashtme. forcat F(r, m) dhe përplasjet e çifteve ndërmjet grimcave:pas një përplasjeje; u dhe -shpejtësitë e grimcave para përplasjes, u" dhe -shpejtësitë e të njëjtave grimca pas përplasjes, dhe = |u -|-moduli i shpejtësisë relative të grimcave që përplasen, q - këndi ndërmjet shpejtësisë relative të u - grimcat përplasëse dhe linja që lidh qendrat e tyre , s (u,q )dW - seksion kryq efektiv diferencial për shpërndarjen e grimcave në këndin e ngurtë dW në sistemin e koordinatave laboratorike, në varësi të ligjit të ndërveprimit të grimcave për modelin në formë e sferave të ngurtë elastike me rreze R, s = 4R 2 cosq Në kuadrin e mekanikës klasike, seksioni kryq diferencial shprehet në termat e parametrave të përplasjes b dhe e (distanca përkatëse e goditjes dhe këndi azimutal i vijës së qendrave) : s dW = bdbde, dhe konsiderohen si qendra të forcave me një potencial në varësi të distancës, duke marrë parasysh ndikimin e efekteve në probabilitetin e përplasjes.

Nëse sistemi është në statistikë , integrali i përplasjes Stf është i barabartë me zero dhe zgjidhja e kinetikës. Ekuacioni Boltzmann do të jetë shpërndarja e Maxwell. Për gjendjet jo ekuilibër, zgjidhjet e kinetikës. Ekuacionet e Boltzmann-it zakonisht kërkohen në formën e një zgjerimi serik të funksionit f 1 (u, r, m) në parametra të vegjël në lidhje me funksionin e shpërndarjes Maxwell.

Në përafrimin më të thjeshtë (relaksues), integrali i përplasjes përafrohet si Stgas; sepse (funksioni i zakonshëm i shpërndarjes me një grimcë f 1 i molekulave në lëngje nuk zbulon specifikat e dukurive dhe kërkohet shqyrtimi i funksionit të shpërndarjes me dy grimca f 2. Megjithatë, për procese mjaft të ngadalta dhe në rastet kur shkallët e inhomogjenitetet hapësinore janë dukshëm më të vogla se shkalla e korrelacionit midis grimcave, mund të përdorni një funksion të shpërndarjes me një grimcë ekuilibër lokal me t-roy, potencialet kimike dhe shpejtësinë hidrodinamike, të cilat korrespondojnë me vëllimin e vogël në shqyrtim të përbërësve llogaritni flukset e impulseve, energjisë dhe materies, dhe gjithashtu justifikoni ekuacionin Navier-Stokes, dhe në këtë rast, koeficientët e transferimit rezultojnë të jenë në përpjesëtim me korrelacionet hapësinore-kohore të rrjedhave të energjisë, momentit dhe materies komponent.

Për të përshkruar lëndën në dhe në ndërfaqe, përdoret gjerësisht modeli i kondensatorit të rrjetës. fazat. gjendja e sistemit përshkruhet në themel. t f(p,q,t)du- funksioni i shpërndarjes, mesatarisht mbi impulset (shpejtësitë) e të gjitha N grimcave, duke përshkruar shpërndarjen e grimcave mbi nyjet e strukturës së rrjetës (numri i tyre është N y, N< N y), q- номер узла или его координата. В модели "решеточного " частица может находиться в узле (узел занят) или отсутствовать (узел свободен); W(q : q") është probabiliteti i kalimit të sistemit për njësi të kohës nga gjendja q, e përshkruar nga një grup i plotë i koordinatave të grimcave, në një gjendje tjetër q". Shuma e parë përshkruan kontributin e të gjitha proceseve në të cilat kryhet kalimi në një gjendje të caktuar q, shuma e dytë përshkruan daljen nga kjo gjendje. Në rastin e shpërndarjes së grimcave ekuilibër (t : , ) P(q) = exp[-H(q)/kT]/Q, ku Q-statistika. shuma, H(q) është energjia e sistemit në gjendjen q. Probabilitetet e tranzicionit plotësojnë parimin e detajuar: W(q" : q)exp[-H(q")/kT] = W(q : q")exp[-H(q)/kT]. Në bazë të ekuacioneve për funksionet P(q,t) ndërtohet një ekuacion kinetik. ekuacionet për funksionet e shpërndarjes së n-grimcave, të cilat përftohen nga mesatarja mbi vendndodhjet e të gjitha grimcave të tjera (N - n). Për të voglat h në kufirin me, rritjen, transformimet fazore, etj. Për transferimin ndërfazor, për shkak të ndryshimeve në kohët karakteristike të proceseve të migrimit të grimcave elementare, lloji i kushteve kufitare në kufijtë e fazës luan një rol të rëndësishëm.

Për sistemet e vogla (numri i nyjeve N y = 10 2 - 10 5) sistemi i ekuacioneve në lidhje me funksionin P(q,t) mund të jetë zgjidhur numerikisht duke përdorur metodën Monte Carlo. Faza e sistemit në një gjendje ekuilibri na lejon të marrim parasysh ndryshimet. proceset kalimtare në studimin e kinetikës së shndërrimeve fazore, rritjes, kinetikës së reaksioneve sipërfaqësore etj. dhe përcaktoni dinamikën e tyre. karakteristikat, duke përfshirë koeficientin. transferimi.

Për të llogaritur koeficientin. transferimi në faza të gazta, të lëngëta dhe të ngurta, si dhe në kufijtë e fazës, përdoren në mënyrë aktive variante të ndryshme të metodës. dinamika, e cila na lejon të gjurmojmë në detaje sistemet nga kohët ~10 -15 s deri në ~10 -10 s (në kohë të rendit 10 -10 - 10 -9 s e më shumë, i ashtuquajturi ekuacion Langevin është përdorur, ky ekuacion konceptet e Njutonit që përmbajnë një term stokastik në anën e djathtë).

Për sistemet me kimikate p-tionet, natyra e shpërndarjes së grimcave ndikohet shumë nga marrëdhënia midis kohërave karakteristike të transferimit dhe vetive të tyre kimike. transformimet. Nëse shpejtësia e kimikateve transformimi është i vogël, shpërndarja e grimcave nuk ndryshon shumë nga rasti kur nuk ka zgjidhje. Nëse shpejtësia e shpërndarjes është e lartë, ndikimi i saj në natyrën e shpërndarjes së grimcave është i madh dhe është e pamundur të përdoren grimcat mesatare (d.m.th. funksionet e shpërndarjes me n = 1), siç veprohet gjatë përdorimit. Është e nevojshme të përshkruhet më hollësisht shpërndarja duke përdorur funksionet e shpërndarjes f n me n > 1. E rëndësishme në përshkrimin e reaksionit. rrjedhjet e grimcave në sipërfaqe dhe shpejtësitë kanë kushtet kufitare(cm. ).

Lit.: Kubo R., Mekanika statistikore, përkth. nga anglishtja, M., 1967; Zubarev D.N., Statistikore joekuilibri, M., 1971; Ishihara A., Fizika Statistikore, përkth. nga anglishtja, M., 1973; Landau L. D., Lifshits E. M L

Termodinamika dhe fizika statistikore

Udhëzimet dhe detyrat e kontrollit për studentët e mësimit në distancë

Shelkunova Z.V., Saneev E.L.

Udhëzime metodologjike dhe detyra testimi për studentët e mësimit në distancë të specialiteteve inxhinierike, teknike dhe teknologjike. Përmban seksione të programeve "Fizika statistikore", "Termodinamika", shembuj të zgjidhjes së problemeve tipike dhe variante të detyrave të testimit.

Fjalët kyçe: Energji e brendshme, nxehtësi, punë; izoproceset, entropia: funksionet e shpërndarjes: Maxwell, Boltzmann, Bose – Einstein; Fermi – Dirac; Energjia Fermi, kapaciteti i nxehtësisë, temperatura karakteristike e Ajnshtajnit dhe Debye.

Redaktori T.Yu.Artyunina

Përgatitur për printim 6080 1/16

Kushtëzuar p.l.

___________________________________________________

; ed.l. 3.0; Qarkullimi ____ kopje. Urdhri nr.

RIO VSTU, Ulan-Ude, Klyuchevskaya, 40a

Shtypur në rrotullimin e VSTU, Ulan-Ude,

Klyuchevskaya, 42.

Agjencia Federale për Arsimin

Shteti i Siberisë Lindore

Universiteti i Teknologjisë

FIZIKA Nr 4

(Termodinamika dhe fizika statistikore)

Udhëzimet dhe detyrat e kontrollit

për studentët e mësimit në distancë

Përpiluar nga: Shelkunova Z.V.

Saneev E.L.

Shtëpia Botuese VSTU

Ulan-Ude, 2009

Fizika statistikore dhe termodinamika

Tema 1 Modelet dinamike dhe statistikore në fizikë. Metodat termodinamike dhe statistikore. Elementet e teorisë kinetike molekulare. Gjendja makroskopike. Madhësitë fizike dhe gjendjet e sistemeve fizike. Parametrat makroskopik si vlera mesatare. Ekuilibri termik. Model gaz ideal

. Ekuacioni i gjendjes së një gazi ideal. Koncepti i temperaturës.

Dukuritë e transferimit. Difuzioni. Përçueshmëri termike. Koeficienti i difuzionit. Koeficienti i përçueshmërisë termike. Difuziviteti termik. Difuzioni në gaze, lëngje dhe trupa të ngurtë. Viskoziteti. Koeficienti i viskozitetit të gazeve dhe lëngjeve.

Tema 3

Elementet e termodinamikës. Ligji i parë i termodinamikës. Energjia e brendshme. Parametra intensivë dhe të gjerë.

Tema 4

Procese të kthyeshme dhe të pakthyeshme. Entropia. Ligji i dytë i termodinamikës. Potencialet termodinamike dhe kushtet e ekuilibrit. Potenciali kimik. Kushtet e ekuilibrit kimik. Cikli Carnot.

Tema 5

Funksionet e shpërndarjes. Parametrat mikroskopikë. Probabiliteti dhe luhatjet. Shpërndarja Maxwell. Energjia mesatare kinetike e një grimce. Shpërndarja Boltzmann. Kapaciteti termik i gazeve poliatomike. Kufizimet e teorisë klasike të kapacitetit të nxehtësisë.

Tema 6

Shpërndarja e Gibbs. Modeli i sistemit në termostat. Shpërndarja kanonike e Gibbs. Kuptimi statistikor i potencialeve termodinamike dhe i temperaturës. Roli i energjisë së lirë.

Tema 7

Shpërndarja Gibbs për një sistem me një numër të ndryshueshëm grimcash. Entropia dhe probabiliteti. Përcaktimi i entropisë së një sistemi ekuilibri përmes peshës statistikore të një mikrogjendjeje.

Tema 8

Funksionet e shpërndarjes Bose dhe Fermi. Formula e Planck-ut për rrezatimin termik të peshuar. Rendi dhe çrregullimi në natyrë. Entropia si matës sasior i kaosit. Parimi i rritjes së entropisë. Kalimi nga rendi në çrregullim në lidhje me gjendjen e ekuilibrit termik.

Tema 9

Metodat eksperimentale për studimin e spektrit vibrues të kristaleve. Koncepti i fononeve. Ligjet e dispersionit për fononet akustike dhe optike. Kapaciteti termik i kristaleve në temperatura të ulëta dhe të larta. Kapaciteti elektronik i nxehtësisë dhe përçueshmëria termike.

Tema 10

Elektrone në kristale. Përafrimi i bashkimit të fortë dhe të dobët. Modeli me elektron të lirë. Niveli i Fermit. Elementet e teorisë së brezit të kristaleve. Funksioni i Bloch. Struktura e brezit të spektrit të energjisë së elektroneve.

Tema 11

Sipërfaqja e Fermit. Numri dhe dendësia e numrit të gjendjeve elektronike në zonë. Mbushjet me brez: metale, dielektrikë dhe gjysmëpërçues. Përçueshmëria elektrike e gjysmëpërçuesve. Koncepti i përçueshmërisë së vrimës. Gjysmëpërçuesit e brendshëm dhe të papastërtisë. Koncepti i p-n kryqëzim. Transistor.

Tema 12

Përçueshmëria elektrike e metaleve. Transportuesit e rrymës në metale. Pamjaftueshmëria e teorisë klasike elektronike. Gazi elektron Fermi në metal. Bartësit aktual si kuazigrimca. Fenomeni i superpërcjellshmërisë. Çiftimi i elektroneve me bakër. Kontakti i tunelit. Efekti Josephson dhe aplikimi i tij. Kapja dhe kuantizimi fluksi magnetik. Koncepti i përçueshmërisë së temperaturës së lartë.

FIZIKA STATISTIKE. TERMODINAMIKA

Formulat bazë

1. Sasia e substancës së një gazi homogjen (në mol):

Ku N- numri i molekulave të gazit; N A- Numri i Avogadro-s; m- masa e gazit; -masa molare e gazit.

Nëse sistemi është një përzierje e disa gazeve, atëherë sasia e substancës në sistem

,

,

Ku  i , N i , m i ,  i - përkatësisht sasia e substancës, numri i molekulave, masa, masë molare i- përbërësit e përzierjes.

2. Ekuacioni Clapeyron-Mendeleev (ekuacioni i gjendjes së një gazi ideal):

Ku m- masa e gazit;  - masa molare; R- konstante universale e gazit;  = m/ - sasia e substancës; T-temperatura termodinamike Kelvin.

3. Ligjet eksperimentale të gazit, të cilat janë raste të veçanta të ekuacionit Clapeyron-Mendeleev për izoproceset:

Ligji Boyle-Mariotte

(procesi izotermik - T=konst; m=konst):

ose për dy gjendje gazi:

Ku fq 1 dhe V 1 - presioni dhe vëllimi i gazit në gjendjen fillestare; fq 2 dhe V 2

Ligji i Gay-Lussac (procesi izobarik - p=konst, m=konst):

ose për dy shtete:

Ku V 1 Dhe T 1 - vëllimi dhe temperatura e gazit në gjendjen fillestare; V 2 Dhe T 2 - të njëjtat vlera në gjendjen përfundimtare;

ligji i Charles (procesi izokorik - V=konst, m=konst):

ose për dy shtete:

Ku R 1 Dhe T 1 - presioni dhe temperatura e gazit në gjendjen fillestare; R 2 Dhe T 2 - të njëjtat vlera në gjendjen përfundimtare;

të kombinuara ligji i gazit (m=konst):

Ku R 1 , V 1 , T 1 - presioni, vëllimi dhe temperatura e gazit në gjendjen fillestare; R 2 , V 2 , T 2 - të njëjtat vlera në gjendjen përfundimtare.

4. Ligji i Daltonit, i cili përcakton presionin e një përzierjeje gazi:

p = p 1 + fq 2 + ... +r n

Ku fq i- presionet e pjesshme të përbërësve të përzierjes; n- numri i përbërësve të përzierjes.

5. Masa molare e një përzierje gazesh:

Ku m i- peshë i- përbërësi i përzierjes;  i = m i / i- sasia e substancës i- përbërësi i përzierjes; n- numri i përbërësve të përzierjes.

6. Pjesa masive  i i Përbërësi i th i përzierjes së gazit (në fraksione të njësisë ose përqindjes):

Ku m- masa e përzierjes.

7. Përqendrimi i molekulave (numri i molekulave për njësi vëllimi):

Ku N-numri i molekulave që përmban një sistem i caktuar;  është dendësia e substancës. Formula është e vlefshme jo vetëm për gazrat, por edhe për çdo gjendje grumbullimi të një substance.

8. Ekuacioni bazë teoria kinetike gazrat:

,

Ku<>- energjia kinetike mesatare e lëvizjes përkthimore të një molekule.

9. Energjia mesatare kinetike e lëvizjes përkthimore të një molekule:

,

Ku k- Konstante Boltzmann.

10. Energjia mesatare totale kinetike e një molekule:

Ku i- numri i shkallëve të lirisë së molekulës.

11. Varësia e presionit të gazit nga përqendrimi i molekulave dhe temperatura:

p = nkT.

12. Shpejtësitë molekulare:

katror mesatar ;

mesatare aritmetike ;

me shumë gjasa ,

Biblioteka > Librat e fizikës > Fizika statistikore

Fizika statistikore

• Aizenshits R. Teoria statistikore e proceseve të pakthyeshme. M.: Shtëpia botuese. I huaj lit., 1963 (djvu)
• Anselm A.I. Bazat e fizikës statistikore dhe termodinamikës. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Metodat e fizikës statistikore. M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Bazarov I.P. Probleme metodologjike fizika statistikore dhe termodinamika. M.: Shtëpia Botuese e Universitetit Shtetëror të Moskës, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. Punime të zgjedhura në fizikën statistikore. M.: Shtëpia Botuese e Universitetit Shtetëror të Moskës, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. (Jr.), Sadovnikov B.I. Disa pyetje mekanika statistikore. M.: Më e lartë. shkolla, 1975 (djvu)
• Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. Metoda e funksionit të Green-it në mekanikën statistikore. M.: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2.61 Mb)
• Vasiliev A.M. Hyrje në fizikën statistikore. M.: Më e lartë. shkolla, 1980 (djvu)
• Vlasov A.A. Mekanika statistikore jolokale. M.: Nauka, 1978 (djvu)
• Gibbs J.W. Parimet bazë të mekanikës statistikore (të paraqitura me zbatim të veçantë në themelin racional të termodinamikës). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
• Gurov K.P. Bazat e teorisë kinetike. Metoda N.N. Bogolyubova. M.: Nauka, 1966 (djvu)
• Zaslavsky G.M. Parikthyeshmëria statistikore në sistemet jolineare. M.: Nauka, 1970 (djvu)
• Zakharov A.Yu. Modelet e rrjetave të fizikës statistikore. Veliki Novgorod: NovGU, 2006 (pdf)
• Zakharov A.Yu. Metodat funksionale në fizikën statistikore klasike. Veliky Novgorod: NovGU, 2006 (pdf)
• Ios G. Kursi fizikës teorike. Pjesa 2. Termodinamika. Fizika statistikore. Teoria kuantike. Fizika bërthamore. M.: Arsimi, 1964 (djvu)
• Ishihara A. Fizika statistikore. M.: Mir, 1973 (djvu)
• Kadanov L., Beim G. Mekanika statistikore kuantike. Metodat e funksionit të Green-it në teorinë e proceseve të ekuilibrit dhe joekuilibrit. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Katz M. Probabiliteti dhe çështjet e lidhura me të në fizikë. M.: Mir, 1965 (djvu)
• Katz M. Disa probleme probabilistike të fizikës dhe matematikës. M.: Nauka, 1967 (djvu)
• Kittel Ch. Fizika statistikore elementare. M.: IL, 1960 (djvu)
• Kittel Ch. Termodinamika statistikore. M: Nauka, 1977 (djvu)
• Kozlov V.V. Ekuilibri termik sipas Gibbs dhe Poincaré. Moskë-Izhevsk: Instituti i Kërkimeve Kompjuterike, 2002 (djvu)
• Kompaneets A.S. Ligjet e statistikave fizike. Valët goditëse. Substancë e tepërt e dendur. M.: Nauka, 1976 (djvu)
• Kompaneets A.S. Kursi i fizikës teorike. Vëllimi 2. Ligjet statistikore. M.: Arsimi, 1975 (djvu)
• Kotkin G.L. Leksione mbi fizikën statistikore, NSU (pdf)
• Krylov N.S. Punon për vërtetimin e fizikës statistikore. M.-L.: Nga Akademia e Shkencave e BRSS, 1950 (djvu)
• Kubo R. Mekanika statistikore. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Landsberg P. (red.) Probleme në termodinamikë dhe fizikë statistikore. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Levich V.G. Hyrje në fizikën statistikore (botim i dytë) M.: GITTL, 1954 (djvu)
• Libov R. Hyrje në teori ekuacionet kinetike. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Mayer J., Geppert-Mayer M. Mekanika statistikore. M.: Mir, 1980 (djvu)
• Minlos R.A. (red.) Matematikë. E re në shkencën e huaj-11. Gibbs deklaron në fizikën statistikore. Përmbledhje e artikujve. M.: Mir, 1978 (djvu)
• Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Kursi i fizikës statistikore. M.: Më e lartë. shkolla, 1965 (djvu)
• Prigogine I. Mekanika statistikore joekuilibërore. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Radushkevich L.V. Kursi i fizikës statistikore (red. 2.) M.: Edukimi, 1966 (djvu)
• Reif F. Berkeley kurs në fizikë. Vëllimi 5. Fizika statistikore. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamika, fizika statistikore dhe kinetika. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamika, fizika statistikore dhe kinetika (redaktimi i dytë). M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Ruel D. Mekanika statistikore. M.: Mir, 1971 (djvu)
• Savukov V.V. Sqarimi i parimeve aksiomatike të fizikës statistikore. SPb.: Balt. shteti teknologjisë. Univ. "Voenmekh", 2006

10. Postulatet bazë të termodinamikës statistikore

Kur përshkruhen sisteme që përbëhen nga një numër i madh grimcash, mund të përdoren dy qasje: mikroskopike dhe makroskopike. Në qasjen e parë, bazuar në mekanikën klasike ose kuantike, mikrogjendja e sistemit karakterizohet në detaje, për shembull, koordinatat dhe momentet e secilës grimcë në çdo moment në kohë. Përshkrimi mikroskopik kërkon zgjidhje të klasike ose ekuacionet kuantike lëvizjet për një numër të madh variablash. Kështu, çdo mikrogjendje e një gazi ideal në mekanikën klasike përshkruhet nga 6 N variablat ( N- numri i grimcave): 3 N koordinatat dhe 3 N projeksionet e impulseve.

Qasja makroskopike, e cila përdoret nga termodinamika klasike, karakterizon vetëm makrostatet e sistemit dhe përdor një numër të vogël variablash për këtë, për shembull, tre: temperatura, vëllimi dhe numri i grimcave. Nëse një sistem është në gjendje ekuilibri, atëherë parametrat makroskopikë të tij janë konstantë, ndërsa parametrat mikroskopikë ndryshojnë me kalimin e kohës. Kjo do të thotë se për çdo makrostate ka disa (në fakt, pafundësisht shumë) mikrostate.

Termodinamika statistikore vendos një lidhje midis këtyre dy qasjeve. Ideja themelore është kjo: nëse çdo makrostate ka shumë mikrostate të lidhura me të, atëherë secila prej tyre kontribuon në makrostate. Atëherë vetitë e makrostatit mund të llogariten si mesatare mbi të gjitha mikrostatet, d.m.th. duke përmbledhur kontributet e tyre duke marrë parasysh peshat statistikore.

Mesatarja mbi mikrostatet kryhet duke përdorur konceptin e një ansambli statistikor. Ansambëlështë një grup i pafund sistemesh identike të vendosura në të gjitha mikrostatet e mundshme që korrespondojnë me një makrostate. Çdo sistem i ansamblit është një mikroshtet. I gjithë ansambli përshkruhet nga disa funksioni i shpërndarjes sipas koordinatave dhe momentit ( fq, q, t), i cili përcaktohet si më poshtë:

(fq, q, t) dp dqështë probabiliteti që sistemi i ansamblit të jetë i vendosur në një element vëllimor dp dq pika e afert ( fq, q) në momentin e kohës t.

Kuptimi i funksionit të shpërndarjes është se ai përcakton peshën statistikore të çdo mikrostate në makrostate.

Nga përkufizimi ndiqni vetitë elementare të funksionit të shpërndarjes:

1. Normalizimi

. (10.1)

2. Siguria pozitive

(fq, q, t) i 0 (10.2)

Shumë veti makroskopike të një sistemi mund të përkufizohen si vlera mesatare funksionet e koordinatave dhe momentit f(fq, q) nga ansambli:

Për shembull, energjia e brendshmeështë vlera mesatare e funksionit Hamilton H(fq,q):

Ekzistenca e një funksioni të shpërndarjes është thelbi postulati bazë i mekanikës statistikore klasike:

Gjendja makroskopike e sistemit është plotësisht e specifikuar nga disa funksione të shpërndarjes që plotëson kushtet (10.1) dhe (10.2).

Për sistemet e ekuilibrit dhe ansamblet e ekuilibrit, funksioni i shpërndarjes nuk varet në mënyrë eksplicite nga koha: = ( fq,q). Forma e qartë e funksionit të shpërndarjes varet nga lloji i ansamblit. Ekzistojnë tre lloje kryesore të ansambleve:

1) Mikrokanonike ansambli përshkruan sisteme të izoluara dhe karakterizohet nga variablat e mëposhtëm: E(energji), V(vëllimi), N(numri i grimcave). NË sistem i izoluar të gjitha mikrogjendjet janë njëlloj të mundshme ( postulat i probabilitetit të barabartë paraprak):

2) Ansambli Kanonik përshkruan sistemet që janë në ekuilibër termik me mjedisin e tyre. Ekuilibri termik karakterizohet nga temperatura T. Prandaj, funksioni i shpërndarjes varet gjithashtu nga temperatura:

(10.6)

(k= 1,38 10 -23 J/K - konstante Boltzmann). Vlera e konstantës në (10.6) përcaktohet nga kushti i normalizimit (shih (11.2)).

Një rast i veçantë i shpërndarjes kanonike (10.6) është Shpërndarja Maxwell me shpejtësi v, e cila është e vlefshme për gazrat:

(10.7)

(m- masa e një molekule gazi). Shprehja (v) d v përshkruan probabilitetin që ka një molekulë vlere absolute shpejtësi në rangun nga v në v + d v. Maksimumi i funksionit (10.7) jep shpejtësinë më të mundshme të molekulave, dhe integrale

Shpejtësia mesatare e molekulave.

Nëse sistemi ka nivele diskrete të energjisë dhe përshkruhet mekanikisht kuantik, atëherë në vend të funksionit Hamilton H(fq,q) përdorni operatorin Hamilton H, dhe në vend të funksionit të shpërndarjes - operatori i matricës së densitetit:

(10.9)

Elementet diagonale të matricës së densitetit japin probabilitetin që sistemi të jetë brenda i-të gjendja energjetike dhe ka energji E i:

(10.10)

Vlera e konstantës përcaktohet nga kushti i normalizimit: S i = 1:

(10.11)

Emëruesi i kësaj shprehjeje quhet shuma mbi gjendjet (shih Kapitullin 11). Është kyç për vlerësim statistikor vetitë termodinamike të sistemit Nga (10.10) dhe (10.11) mund të gjendet numri i grimcave N i duke pasur energji E i:

(10.12)

(N - numri i përgjithshëm grimcat). Shpërndarja e grimcave (10.12) mbi nivelet e energjisë quhet Shpërndarja Boltzmann, dhe numëruesi i kësaj shpërndarjeje është faktori Boltzmann (shumëzuesi). Ndonjëherë kjo shpërndarje shkruhet në një formë tjetër: nëse ka disa nivele me të njëjtën energji E i, pastaj ato kombinohen në një grup duke përmbledhur faktorët Boltzmann:

(10.13)

(g i- numri i niveleve të energjisë E i, ose pesha statistikore).

Shumë parametra makroskopikë të një sistemi termodinamik mund të llogariten duke përdorur shpërndarjen Boltzmann. Për shembull, energjia mesatare përcaktohet si mesatarja e niveleve të energjisë duke marrë parasysh peshat e tyre statistikore:

, (10.14)

3) Ansambli i Madh Kanonik përshkruan sisteme të hapura që janë në ekuilibër termik dhe të aftë për të shkëmbyer lëndën me mjedisin. Ekuilibri termik karakterizohet nga temperatura T, dhe ekuilibri në numrin e grimcave është potenciali kimik. Prandaj, funksioni i shpërndarjes varet nga temperatura dhe potenciali kimik. Ne nuk do të përdorim një shprehje të qartë për funksionin e shpërndarjes së ansamblit të madh kanonik këtu.

Në teorinë statistikore vërtetohet se për sistemet me një numër i madh grimcat (~ 10 23) të tre llojet e ansambleve janë ekuivalente me njëri-tjetrin. Përdorimi i çdo ansambli çon në të njëjtat veti termodinamike, prandaj zgjedhja e një ose një ansambli tjetër për përshkrimin e një sistemi termodinamik diktohet vetëm nga komoditeti i përpunimit matematikor të funksioneve të shpërndarjes.

SHEMBUJ

Shembulli 10-1. Një molekulë mund të jetë në dy nivele me energji 0 dhe 300 cm -1. Sa është probabiliteti që molekula të jetë në niveli i sipërm në 250 o C?

Zgjidhje. Është e nevojshme të zbatohet shpërndarja Boltzmann dhe për të kthyer njësinë spektroskopike të energjisë cm -1 në joule, përdorni shumëzuesin hc (h= 6,63 10 -34 J. s, c= 3 10 10 cm/s): 300 cm -1 = 300 6,63 10 -34 3 10 10 = 5,97 10 -21 J.

Përgjigju. 0.304.

Shembulli 10-2. Një molekulë mund të jetë në një nivel me energji 0 ose në një nga tre nivelet me energji E. Në çfarë temperature a) të gjitha molekulat do të jenë në nivelin më të ulët, b) numri i molekulave në nivelin më të ulët do të jetë i barabartë me numrin e molekulave në nivelet e sipërme, c) numri i molekulave në nivelin më të ulët do të jetë tre herë më pak se numri i molekulave në nivelet e sipërme?

Zgjidhje. Le të përdorim shpërndarjen Boltzmann (10.13):

A) N 0 / N= 1; exp(- E/kT) = 0; T= 0. Me uljen e temperaturës, molekulat grumbullohen në nivele më të ulëta.

b) N 0 / N= 1/2; exp(- E/kT) = 1/3; T = E / [k ln(3)].

V) N 0 / N= 1/4; exp(- E/kT) = 1; T= . Në temperaturat e larta molekulat shpërndahen në mënyrë të barabartë nëpër nivele të energjisë, sepse të gjithë faktorët Boltzmann janë pothuajse të njëjtë dhe të barabartë me 1.

Përgjigju. A) T= 0; b) T = E / [k ln(3)]; V) T = .

Shembulli 10-3. Kur çdo sistem termodinamik nxehet, popullsia e disa niveleve rritet dhe të tjerave zvogëlohet. Duke përdorur ligjin e shpërndarjes së Boltzmann-it, përcaktoni se cila duhet të jetë energjia e një niveli në mënyrë që popullsia e tij të rritet me rritjen e temperaturës.

Zgjidhje. Okupimi është proporcioni i molekulave të vendosura në një nivel të caktuar energjie. Sipas kushtit, derivati ​​i kësaj sasie në lidhje me temperaturën duhet të jetë pozitiv:

Në rreshtin e dytë kemi përdorur përkufizimin e energjisë mesatare (10.14). Kështu, popullsia rritet me temperaturën për të gjitha nivelet e mësipërme energji mesatare sistemeve.

Përgjigju. .

DETYRAT

10-1. Një molekulë mund të jetë në dy nivele me energji 0 dhe 100 cm -1. Sa është probabiliteti që molekula të jetë në niveli më i ulët në 25 o C?

10-2. Një molekulë mund të jetë në dy nivele me energji 0 dhe 600 cm -1. Në cilën temperaturë do të ketë dy herë më shumë molekula në nivelin e sipërm se në nivelin më të ulët?

10-3. Një molekulë mund të jetë në një nivel me energji 0 ose në një nga tre nivelet me energji E. Gjeni energjinë mesatare të molekulave: a) në shumë temperaturat e ulëta, b) në temperatura shumë të larta.

10-4. Kur çdo sistem termodinamik ftohet, popullsia e disa niveleve rritet dhe të tjerave zvogëlohet. Duke përdorur ligjin e shpërndarjes së Boltzmann-it, përcaktoni se cila duhet të jetë energjia e një niveli në mënyrë që popullsia e tij të rritet me uljen e temperaturës.

10-5. Llogaritni shpejtësinë më të mundshme të molekulave dioksid karboni në një temperaturë prej 300 K.

10-6. Llogaritni Shpejtësia mesatare atomet e heliumit në kushte normale.

10-7. Llogaritni shpejtësinë më të mundshme të molekulave të ozonit në një temperaturë prej -30 o C.

10-8. Në cilën temperaturë shpejtësia mesatare e molekulave të oksigjenit është e barabartë me 500 m/s?

10-9. Në disa kushte, shpejtësia mesatare e molekulave të oksigjenit është 400 m/s. Sa është shpejtësia mesatare e molekulave të hidrogjenit në të njëjtat kushte?

10-10. Sa është pjesa e molekulave që peshojnë m, duke patur një shpejtësi mbi mesataren në temperaturë T? A varet ky fraksion nga masa e molekulave dhe temperatura?

10-11. Duke përdorur shpërndarjen e Maksuellit, llogaritni energjinë mesatare kinetike të lëvizjes së molekulave të masës m në një temperaturë T. A është kjo energji e barabartë energjia kinetike me shpejtësi mesatare?