Në zhvillimin e idesë së de Broglie për vetitë valore të materies, E. Schrödinger mori të tijën ekuacioni i famshëm. Schrödinger krahasoi lëvizjen e mikrogrimcave funksion kompleks koordinatat dhe koha, të cilat ai i quajti funksion valor dhe i caktoi Letra greke"psi" (). Ne do ta quajmë atë funksioni psi.

Funksioni psi karakterizon gjendjen e mikrogrimcës. Forma e funksionit është marrë nga zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit, e cila duket si kjo:

Këtu është masa e grimcave, i - njësi imagjinare, - Operatori Laplace, rezultati i të cilit vepron në një funksion të caktuar është shuma e derivateve të dytë të pjesshëm në lidhje me koordinatat:

Shkronja U në ekuacionin (21.1) tregon funksionin e koordinatave dhe kohës, gradienti i të cilave, i marrë me shenjën e kundërt, përcakton forcën që vepron në grimcë. Në rastin kur funksioni U nuk varet shprehimisht nga koha, ai ka kuptimin e energjisë potenciale të grimcës.

Nga ekuacioni (21.1) rezulton se forma e funksionit psi përcaktohet nga funksioni U, d.m.th., në fund të fundit, nga natyra e forcave që veprojnë në grimcë.

Ekuacioni i Shrodingerit është ekuacioni themelor i mekanikës kuantike jorelativiste. Nuk mund të rrjedhë nga marrëdhënie të tjera. Duhet të konsiderohet si një supozim bazë fillestar, vlefshmëria e të cilit dëshmohet nga fakti se të gjitha pasojat që rrjedhin prej tij janë në përputhje më të saktë me faktet eksperimentale.

Schrödinger vendosi ekuacionin e tij bazuar në një analogji optiko-mekanike. Kjo analogji qëndron në ngjashmërinë e ekuacioneve që përshkruajnë rrugën e rrezeve të dritës me ekuacionet që përcaktojnë trajektoret e grimcave në mekanika analitike. Në optikë, rruga e rrezeve plotëson parimin e Fermatit (shih § 115 të vëllimit të dytë në mekanikë, lloji i trajektores plotëson të ashtuquajturin parim të veprimit më të vogël).

Nëse fusha e forcës në të cilën lëviz grimca është e palëvizshme, atëherë funksioni V nuk varet në mënyrë të qartë nga koha dhe, siç u përmend tashmë, ka kuptimin e energjisë potenciale. Në këtë rast, zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit ndahet në dy faktorë, njëri prej të cilëve varet vetëm nga koordinatat, tjetri - vetëm në kohë:

Këtu E është energjia totale e grimcës, e cila në rastin fushë e palëvizshme mbetet konstante. Për të verifikuar vlefshmërinë e shprehjes (21.3), le ta zëvendësojmë atë me ekuacionin (21.1). Si rezultat, marrim lidhjen

Reduktuar nga shumëzues i përbashkët arrijmë në një ekuacion diferencial që përcakton funksionin

Ekuacioni (21.4) quhet ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare. Në vijim do të merremi vetëm me këtë ekuacion dhe për shkurtim do ta quajmë thjesht ekuacioni i Shrodingerit. Ekuacioni (21.4) shpesh shkruhet në formë

Le të shpjegojmë se si mund të arrihet në ekuacionin e Shrodingerit. Për thjeshtësi, ne e kufizojmë veten në rastin njëdimensional. Le të shqyrtojmë një grimcë që lëviz lirshëm.

Sipas idesë së de Broglie, ajo duhet të shoqërohet me një valë avioni

(V Mekanika kuantikeËshtë e zakonshme të merret eksponenti me një shenjë minus). Duke zëvendësuar në përputhje me (18.1) dhe (18.2) përmes E dhe , arrijmë në shprehjen

Duke e diferencuar këtë shprehje një herë në lidhje me t, dhe një herë të dytë dy herë në lidhje me x, marrim

Në mekanikën klasike jo-relativiste, energjia E dhe momenti i një grimce të lirë lidhen nga relacioni

Duke zëvendësuar shprehjet (21.7) për E dhe në këtë relacion dhe më pas duke reduktuar me , marrim ekuacionin

që përkon me ekuacionin (21.1), nëse në këtë të fundit vendosim

Në rastin e një grimce që lëviz në një fushë force e karakterizuar nga energji potenciale U, energjia E dhe momenti lidhen nga relacioni

Duke zgjeruar shprehjet (21.7) për E në këtë rast, marrim

Duke e shumëzuar këtë raport me dhe duke lëvizur termin në të majtë, arrijmë në ekuacionin

që përkon me ekuacionin (21.1).

Arsyetimi i deklaruar nuk ka forcë provuese dhe nuk mund të konsiderohet si derivim i ekuacionit të Shrodingerit. Qëllimi i tyre është të shpjegojnë se si mund të arrihet ky ekuacion.

Në mekanikën kuantike, koncepti luan një rol të rëndësishëm Një operator është një rregull me të cilin një funksion (le ta shënojmë) lidhet me një funksion tjetër (le ta shënojmë). Në mënyrë simbolike kjo shkruhet si më poshtë:

Këtu është një përcaktim simbolik i operatorit (me të njëjtin sukses mund të merret çdo shkronjë tjetër me një "kapelë" sipër saj, për shembull, etj.). Në formulën (21.2), roli i Q luhet nga funksioni F, dhe roli i f është ana e djathtë e formulës.

Heisenberg u çua në përfundimin se ekuacioni i lëvizjes në mekanikën kuantike, i cili përshkruan lëvizjen e mikrogrimcave në të ndryshme fushat e forcës, duhet të ketë një ekuacion nga i cili do të pasojnë vlerat e vëzhguara eksperimentalisht vetitë e valës grimcat. Ekuacioni drejtues duhet të jetë një ekuacion për funksionin valor Ψ (x, y, z, t), meqenëse është pikërisht kjo, ose, më saktë, sasia |Ψ| 2, përcakton probabilitetin që një grimcë të jetë e pranishme në momentin e kohës t në vëllim Δ V, dmth në zonën me koordinata X Dhe x + dx, y Dhe y + dу, z Dhe z+ dz.

Ekuacioni bazë i mekanikës kuantike jorelativiste u formulua në vitin 1926 nga E. Schrödinger. Ekuacioni i Shrodingerit, si të gjitha ekuacionet bazë të fizikës (për shembull, ekuacionet e Njutonit në mekanikën klasike dhe ekuacionet e Maksuellit për fushë elektromagnetike), nuk rrjedh, por postulohet. Korrektësia e këtij ekuacioni konfirmohet nga pajtimi me përvojën e marrë prej tij duke përdorur rezultatet, e cila, nga ana tjetër, i jep karakterin e një ligji të natyrës.

Ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit është:

Ku ? =h/(2π), m- masa e grimcave, Δ - Operatori Laplace , i- njësi imagjinare, U(x, y, z, t) është funksioni potencial i një grimce në fushën e forcës në të cilën ajo lëviz, Ψ( x, y, z, t) - kërkohet kau veçori e re grimcat.

Ekuacioni (1) është i vlefshëm për çdo grimcë (me një rrotullim të barabartë me 0) që lëviz me një shpejtësi të ulët (në krahasim me shpejtësinë e dritës), d.m.th. υ "Me.

Ai plotësohet me kushte, mbivendosur në funksionin e valës:

1) funksioni i valës duhet të jetë i fundëm, i paqartë dhe i vazhdueshëm;

2) derivatet duhet të jetë i vazhdueshëm;

3) funksioni |Ψ| 2 duhet të jetë i integrueshëm (ky kusht në rastet më të thjeshta reduktohet në kusht për normalizimin e probabiliteteve).

Ekuacioni (1) quhet ekuacioni i Shrodingerit i varur nga koha.

Për shumë dukuritë fizike, i ndodhur në mikrobotë, ekuacioni (1) mund të thjeshtohet duke eliminuar varësinë e Ψ nga koha, d.m.th. gjeni ekuacionin e Shrodingerit për gjendjet stacionare - gjendjet me vlera fikse të energjisë. Kjo është e mundur nëse fusha e forcës në të cilën lëviz grimca është e palëvizshme, pra funksioni U = U(x, y,z) nuk varet shprehimisht nga koha dhe ka kuptimin e energjisë potenciale. NË në këtë rast zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit mund të paraqitet si

. (2)

Ekuacioni (2) quhet ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare.

Ky ekuacion përfshin energjinë totale si parametër E grimcat. Në teorinë e ekuacioneve diferenciale, vërtetohet se ekuacione të tilla kanë një numër të pafund zgjidhjesh, prej të cilave, duke imponuar Kushtet kufitare zgjidhni zgjidhjet që kanë kuptimi fizik. Për ekuacionin e Shrodingerit kushte të tilla janë kushtet për rregullsinë e funksioneve valore: Funksionet e reja duhet të jenë të fundme, të paqarta dhe të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të parë.

Pra, vetëm ato zgjidhje që shprehen me funksione të rregullta Ψ kanë kuptim fizik real. Por zgjidhjet e rregullta nuk ndodhin për asnjë vlerë parametri E, por vetëm për një grup të caktuar prej tyre, karakteristikë e një detyre të caktuar. Këto vlera të energjisë quhen eigenvalues . Zgjidhjet që korrespondojnë me eigenvlerat e energjisë quhen eigenfunctions . Eigenvlerat E mund të formojnë si të vazhdueshme ashtu edhe seri diskrete. Në rastin e parë, ata flasin për një spektër të vazhdueshëm, ose të ngurtë, në të dytën - për një spektër diskret.

Grimca në një "pus potencial" drejtkëndor njëdimensionalme "mure" pafundësisht të larta

Le të kryejmë analiza cilësore zgjidhjet e ekuacionit të Schrödinger-it të aplikuara për një grimcë në një "pus potencial" drejtkëndor njëdimensional me "mure" pafundësisht të larta. Një "vrimë" e tillë përshkruhet nga energjia potenciale e formës (për thjeshtësi, supozojmë se grimca lëviz përgjatë boshtit X)

Ku lështë gjerësia e "vrimës", dhe energjia llogaritet nga fundi i saj (Fig. 2).

Ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare në rastin e një problemi njëdimensional do të shkruhet në formën:

. (1)

Sipas kushteve të problemit ("muret" pafundësisht të larta), grimca nuk depërton përtej "vrimës", prandaj probabiliteti i zbulimit të saj (dhe, rrjedhimisht, funksioni i valës) jashtë "vrimës" është zero. Në kufijtë e "gropës" (në X= 0 dhe x = 1) funksioni i valës së vazhdueshme duhet gjithashtu të zhduket.

Prandaj, kushtet kufitare në këtë rast kanë formën:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

Brenda "gropës" (0 ≤ X≤ 0) ekuacioni i Shrodingerit (1) do të reduktohet në ekuacionin:

ose . (3)

Ku k 2 = 2mE / ? 2.(4)

Vendim i përbashkët ekuacioni diferencial (3):

Ψ ( x) = A mëkat kx + B cos kx.

Meqë sipas (2) Ψ (0) = 0, atëherë B = 0. Pastaj

Ψ ( x) = A mëkat kx. (5)

Gjendja Ψ ( l) = A mëkat kl= 0 (2) ekzekutohet vetëm kur kl = nπ, Ku n- numra të plotë, d.m.th. është e nevojshme që

k = nπ/l. (6)

Nga shprehjet (4) dhe (6) rezulton se:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

dmth. ekuacioni i palëvizshëm Schrödinger, i cili përshkruan lëvizjen e një grimce në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta, është i kënaqur vetëm për vlerat vetjake. E p, në varësi të një numri të plotë P. Prandaj, energjia E f grimcat në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta pranojnë vetëm të caktuara vlera diskrete, pra është e kuantizuar.

Vlerat e kuantizuara të energjisë E f quhen nivelet e energjisë dhe numri P, duke përcaktuar nivelet e energjisë quhen grimca numri kuantik kryesor. Kështu, një mikrogrimcë në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta mund të jetë vetëm në një nivel të caktuar energjie. E p, ose, siç thonë ata, grimca është në gjendje kuantike P.

Zëvendësimi në (5) i vlerës k nga (6), gjejmë eigenfunksionet:

.

Konstante integrimi A gjejmë nga kushti i normalizimit, i cili për këtë rast do të shkruhet në formën:

.

Si rezultat i integrimit marrim , dhe eigenfunksionet do të kenë formën:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Grafikët e eigenfunksioneve (8) që korrespondojnë me nivelet e energjisë (7) në n= 1,2,3, treguar në Fig. 3, A. Në Fig. 3, b tregon densitetin e probabilitetit të zbulimit të një grimce në distanca të ndryshme nga "muret" e vrimës, e barabartë me Ψ n(x) 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Për n = 1, 2 dhe 3. Nga figura rezulton se, për shembull, në një gjendje kuantike me n= 2, një grimcë nuk mund të jetë në mes të "vrimës", ndërsa po aq shpesh mund të jetë në të majtë dhe pjesët e duhura. Kjo sjellje e grimcave tregon se konceptet e trajektoreve të grimcave në mekanikën kuantike janë të paqëndrueshme.

Nga shprehja (7) rrjedh se intervali i energjisë midis dy niveleve ngjitur është i barabartë me:

Për shembull, për një elektron me dimensione pusi l= 10 -1 m ( elektronet e lira në metal) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, d.m.th. Nivelet e energjisë janë të vendosura aq afër sa që spektri praktikisht mund të konsiderohet i vazhdueshëm. Nëse dimensionet e pusit janë të krahasueshme me ato atomike ( l ≈ 10 -10 m), pastaj për elektronin Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, d.m.th. Përftohen dukshëm vlera diskrete të energjisë (spektri i linjës).

Kështu, aplikimi i ekuacionit të Shrodingerit për një grimcë në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta çon në vlera të kuantizuara të energjisë, ndërsa mekanika klasike nuk vendos asnjë kufizim në energjinë e kësaj grimce.

Për më tepër, shqyrtimi mekanik kuantik i këtij problemi çon në përfundimin se një grimcë "në një pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta nuk mund të ketë një energji më të vogël se energjia minimale e barabartë me π 2. ? 2 /(2t1 2). Prania e një energjie minimale jozero nuk është e rastësishme dhe rrjedh nga lidhja e pasigurisë. Pasiguria e koordinatave Δ X grimcat në një "gropë" të gjerë l e barabartë me Δ X= l.

Atëherë, sipas relacionit të pasigurisë, impulsi nuk mund të ketë një vlerë të saktë, në këtë rast zero. Pasiguria e momentit Δ R ≈ h/l. Kjo përhapje e vlerave të momentit korrespondon me energjia kinetike E min ≈(Δ fq) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Të gjitha nivelet e tjera ( p> 1) kanë një energji që tejkalon këtë vlerë minimale.

Nga formula (9) dhe (7) rezulton se për numrat e mëdhenj kuantikë ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P“1, pra nivelet ngjitur janë të vendosura afër: sa më afër, aq më shumë P. Nëse Pështë shumë i madh, atëherë mund të flasim për një sekuencë pothuajse të vazhdueshme nivelesh dhe tipar karakteristik proceset kuantike— zbutet diskretiteti. Ky rezultat është një rast i veçantë i parimit të korrespondencës së Bohr-it (1923), sipas të cilit ligjet e mekanikës kuantike duhet vlera të mëdha numrat kuantikë kaloni te ligjet e fizikës klasike.

§ 217. Ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit. Ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare

Interpretimi statistikor i valëve të da Broglie (shih § 216) dhe relacioni i pasigurisë së Heisenberg (shih § 215) çoi në përfundimin se ekuacioni i lëvizjes në mekanikën kuantike, i cili përshkruan lëvizjen e mikrogrimcave në fusha të ndryshme të forcës, duhet të jetë një ekuacion. nga të cilat të vëzhgueshmet mbi vetitë valore eksperimentale të grimcave. Ekuacioni qeverisës duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksionin valor (x, z, t ), y,t pasi është pikërisht kjo, ose, më saktë, sasia, që përcakton probabilitetin që një grimcë të jetë në momentin e kohësnë vëllim , dVx pra në zonën me koordinata x + Dhe . dx y dx + Dhe . dy + dz . zuz Meqenëse ekuacioni i kërkuar duhet të marrë parasysh vetitë valore të grimcave, ai duhet të jetë një ekuacion valor, i ngjashëm me ekuacionin që përshkruan.

valët elektromagnetikeEkuacioni bazë formuluar në vitin 1926 nga E. Schrödinger. Ekuacioni i Shrodingerit, si të gjitha ekuacionet bazë të fizikës (për shembull, ekuacionet e Njutonit në mekanikën klasike dhe ekuacionet e Maksuellit për fushën elektromagnetike), nuk është nxjerrë, por i postuluar.

(217.1)

Korrektësia e këtij ekuacioni konfirmohet nga pajtueshmëria me përvojën e rezultateve të marra me ndihmën e tij, e cila, nga ana tjetër, i jep atij karakterin e një ligji të natyrës. Ekuacioni i Shrodingerit ka formënKu, T ,

- - masa e grimcave, - Operatori Laplacenjësi imagjinare, V z , t ) (x, y,- funksioni potencial i një grimce në fushën e forcës në të cilën ajo lëviz, z, t ) (x, y,

- funksioni i dëshiruar valor i grimcës. Ekuacioni (217.1) është i vlefshëm për çdo grimcë (me një rrotullim të barabartë me 0; shih § 225) që lëviz me një shpejtësi të ulët (krahasuar me shpejtësinë e dritës), d.m.th., me shpejtësinë Ajo plotësohet nga kushtet e vendosura në valë funksioni: 1) funksioni valor duhet të jetë i fundëm, i paqartë dhe i vazhdueshëm (shih § 216); 2) derivatet

duhet të jetë i vazhdueshëm; 3) funksioni duhet të jetë

i integrueshëm; ky kusht në rastet më të thjeshta reduktohet në kushtin për normalizimin e probabiliteteve (216.3). Për të arritur në ekuacionin e Shrodingerit, merrni parasysh një grimcë që lëviz lirshëm, e cila, sipas idesë së de Broglie, shoqërohet me valë avioni . Për thjeshtësi, ne e konsiderojmë rastin njëdimensional. Ekuacioni i një vale të rrafshët që përhapet përgjatë një boshti X, ka formën (shih § 154), ose me shënime komplekse

Prandaj e sheshtë

(217.2)

vala de Broglie ka formën (është marrë parasysh se

Në mekanikën kuantike, eksponenti merret me një shenjë minus,

por meqenëse ka vetëm një kuptim fizik, kjo (shih (217.2)) është e parëndësishme. Pastaj

kuE Përdorimi i marrëdhënies ndërmjet energjisë dhe impuls

dhe duke zëvendësuar shprehjet

(217.3), marrim ekuacionin diferencialU që përkon me ekuacionin (217.1) për rastin

=0 (ne konsideruam një grimcë të lirë).U , Nëse një grimcë lëviz në një fushë force të karakterizuar nga energjia potenciale

SeE energji totale përbëhet nga tipike

energjitë aktuale dhe potenciale. Kryerja e të ngjashmeE yR arsyetimi dhe përdorimi i marrëdhënies ndërmjet (për këtë rast

mire se erdhe

° në një ekuacion diferencial që përkon me (217.1).

Ekuacioni (217.1) është ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit. Quhet gjithashtu ekuacioni Schroednäger i varur nga koha. Për shumë dukuri fizike që ndodhin në mikrobotë, ekuacioni (217.1) mund të thjeshtohet duke eliminuar varësinë nga koha, me fjalë të tjera, gjeni ekuacionin e Shrodingerit për gjendjet stacionare - gjendjet me vlera fikse të energjisë. Kjo është e mundur nëse fusha e forcës në të cilën lëviz grimca është e palëvizshme, pra funksioni nuk varet shprehimisht nga koha dhe ka kuptimin e energjisë potenciale. Në këtë rast, zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit mund të përfaqësohet si produkt i dy funksioneve, njëri prej të cilëve është funksion i vetëm koordinatave, tjetri - vetëm koha, dhe varësia nga koha shprehet me shumëzues.

Kështu që

KuE është energjia totale e grimcës, konstante në rastin e një fushe të palëvizshme. Duke zëvendësuar (217.4) në (217.1), marrim

prej nga, pas pjesëtimit me faktorë të përbashkët dhe transformime përkatëse

arrijmë në ekuacionin që përcakton funksionin

(217.5)

Ekuacioni (217.5) quhet ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare. Ky ekuacion përfshin energjinë totale si parametër E grimcat. Në teorinë e ekuacioneve diferenciale vërtetohet se ekuacione të tilla kanë një numër të pafund zgjidhjesh, nga të cilat zgjidhen zgjidhjet që kanë kuptim fizik duke vendosur kushte kufitare. Për ekuacionin e Schrödinger-it, kushte të tilla janë kushtet për rregullsinë e funksioneve valore: funksionet valore duhet të jenë të fundme, me një vlerë dhe të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të parë. E, Kështu, vetëm ato zgjidhje që shprehen me funksione të rregullta kanë një kuptim të vërtetë fizik, por zgjidhjet e rregullta nuk ndodhin për asnjë vlerë të parametrit por vetëm për një grup të caktuar prej tyre, karakteristikë e një detyre të caktuar. Këto vlera të energjisë quhen vlera të duhura. Zgjidhjet E , të cilat korrespondojnë me eigenvlerat e energjisë, quhen eigenfunctions. Eigenvlerat

mund të formojnë të dyja të përhershme

seri të ndërprera dhe diskrete. Në rastin e parë, ata flasin për një spektër të vazhdueshëm, ose të ngurtë, në të dytën - për një spektër diskret.

§ 218. Parimi i shkakësisë ■ mekanika kuantike Nga marrëdhënia e pasigurisë, shpesh nxirret përfundimi se parimi i shkakësisë nuk është i zbatueshëm për fenomenet që ndodhin në mikrokozmos. Kjo bazohet në konsideratat e mëposhtme. determinizmi klasik, bazuar në gjendjen e njohur të sistemit në një moment të caktuar në kohë (të përcaktuar plotësisht nga vlerat e koordinatave dhe momenteve të të gjitha grimcave të sistemit) dhe forcat e aplikuara ndaj tij, mund të përcaktohet me saktësi gjendjen në çdo moment të mëpasshëm. Prandaj, fizikës klasike bazohet në kuptimin e mëposhtëm të shkakësisë: gjendje sistemi mekanik V momenti i fillimit koha me ligjin e njohur të bashkëveprimit të grimcave është shkaku, dhe gjendja e saj në një moment pasues është efekti.

Nga ana tjetër, mikro-objektet nuk mund të kenë njëkohësisht një koordinatë të caktuar dhe një projeksion të caktuar korrespondues të momentit (të vendosur nga relacioni i pasigurisë (215.1)), prandaj arrihet në përfundimin se në momentin fillestar gjendja e sistemit është nuk është përcaktuar saktësisht. Nëse gjendja e sistemit nuk përcaktohet në momentin fillestar të kohës, atëherë gjendjet pasuese nuk mund të parashikohen, d.m.th. shkelet parimi i shkakësisë.

Megjithatë, nuk vërehet asnjë shkelje e parimit të shkakësisë në lidhje me mikro-objektet, pasi në mekanikën kuantike koncepti i gjendjes së një mikro-objekti merr një kuptim krejtësisht të ndryshëm nga ai i mekanikës klasike. Në mekanikën kuantike, gjendja e një mikroobjekti përcaktohet plotësisht nga funksioni i valës (x, Ekuacioni qeverisës duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksionin valor (x,z, t), katrori i modulit të të cilit (x, Ekuacioni qeverisës duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksionin valor (x,z, t)\ 2 specifikon densitetin e probabilitetit për të gjetur një grimcë në një pikë me koordinata x, y,z.

Nga ana tjetër, funksioni i valës (x, Ekuacioni qeverisës duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksionin valor (x,z, t) plotëson ekuacionin e Shrodingerit (217.1), që përmban derivatin e parë të funksionit në lidhje me kohën. Kjo do të thotë gjithashtu se specifikimi i një funksioni (për kohën t 0) përcakton vlerën e tij në momentet pasuese. Prandaj, në mekanikën kuantike gjendja fillestare

Ka një shkak, dhe gjendja në një moment të mëpasshëm është pasojë. Kjo është forma e parimit të shkakësisë në mekanikën kuantike, d.m.th., specifikimi i një funksioni paracakton vlerat e tij për çdo moment të mëpasshëm. Kështu, gjendja e një sistemi mikrogrimcash, të përcaktuara në mekanikën kuantike, rrjedh pa mëdyshje nga gjendja e mëparshme, siç kërkohet nga parimi i shkakësisë.

Sipas folklorit kaq të përhapur midis fizikantëve, ndodhi kështu: në vitin 1926, një fizikan teorik me emër foli në një seminar shkencor në Universitetin e Cyrihut. Ai foli për ide të reja të çuditshme në ajër, për mënyrën sesi objektet mikroskopike shpesh sillen më shumë si valë sesa si grimca. Pastaj një mësues i moshuar kërkoi të fliste dhe tha: "Schrödinger, a nuk e shihni se e gjithë kjo është e pakuptimtë? Apo nuk e dimë të gjithë se valët janë thjesht valë që përshkruhen me ekuacione valore?” Schrödinger e mori këtë si një fyerje personale dhe vendosi të zhvillojë një ekuacion valor për të përshkruar grimcat brenda kornizës së mekanikës kuantike - dhe e përballoi këtë detyrë shkëlqyeshëm.

Këtu duhet bërë një shpjegim. Në botën tonë të përditshme, energjia transferohet në dy mënyra: nga materia kur lëviz nga një vend në tjetrin (për shembull, një lokomotivë në lëvizje ose era) - grimcat përfshihen në një transferim të tillë energjie - ose nga valët (për shembull, valët e radios që transmetohen nga transmetues të fuqishëm dhe kapen nga antenat e televizioneve tona). Kjo do të thotë, në makrokozmosin ku jetojmë ju dhe unë, të gjithë transportuesit e energjisë ndahen rreptësisht në dy lloje - korpuskulare (që përbëhen nga grimca materiale) ose valë. Në këtë rast, përshkruhet çdo valë lloj i veçantë ekuacione - ekuacione valore. Të gjitha valët, pa përjashtim, janë valë të oqeanit, valët sizmike shkëmbinj, valët e radios nga galaktikat e largëta përshkruhen me të njëjtin lloj ekuacionesh valore. Ky shpjegim është i nevojshëm për të bërë të qartë se nëse duam të paraqesim dukuritë e botës nënatomike në termat e valëve të shpërndarjes së probabilitetit (shiko Mekanikë Kuantike), këto valë duhet të përshkruhen edhe nga ekuacioni valor përkatës.

Schrödinger aplikoi ekuacionin klasik diferencial të funksionit të valës në konceptin e valëve të probabilitetit dhe mori ekuacionin e famshëm që mban emrin e tij. Ashtu si ekuacioni i zakonshëm i funksionit të valës përshkruan përhapjen e, për shembull, valëzimeve në sipërfaqen e ujit, ekuacioni i Shrodingerit përshkruan përhapjen e një vale të probabilitetit për të gjetur një grimcë në një pikë të caktuar në hapësirë. Majat e kësaj vale (pikat e probabilitetit maksimal) tregojnë se ku në hapësirë ​​ka më shumë gjasa të përfundojë grimca. Edhe pse ekuacioni i Shrodingerit i përket rajonit matematikë e lartë, është kaq e rëndësishme të kuptohet fizika moderne, që unë do ta paraqes akoma këtu - në formën më të thjeshtë (i ashtuquajturi "ekuacioni stacionar njëdimensional i Shrodingerit"). Funksioni i valës së shpërndarjes së probabilitetit të mësipërm, i shënuar me shkronjën greke (psi), është zgjidhja e ekuacionit diferencial të mëposhtëm (është në rregull nëse nuk e kuptoni; thjesht merrni me besim se ky ekuacion tregon se probabiliteti sillet si një valë ): :

Pamja e ngjarjeve kuantike që na jep ekuacioni i Shrodingerit është se elektronet dhe të tjera grimcat elementare sillen si valë në sipërfaqen e oqeanit. Me kalimin e kohës, kulmi i valës (që korrespondon me vendndodhjen ku ka më shumë gjasa të jetë elektroni) lëviz në hapësirë ​​në përputhje me ekuacionin që përshkruan këtë valë. Kjo do të thotë, ajo që ne tradicionalisht e konsideronim një grimcë sillet shumë si një valë në botën kuantike.

Kur Schrödinger publikoi për herë të parë rezultatet e tij, bota fizikës teorike shpërtheu një stuhi në një gotë me ujë. Fakti është se pothuajse në të njëjtën kohë, u shfaq vepra e bashkëkohësit të Schrödinger, Werner Heisenberg (shih Parimin e Pasigurisë së Heisenberg), në të cilin autori parashtroi konceptin e "mekanikës së matricës", ku u zgjidhën të njëjtat probleme të mekanikës kuantike. në një sistem tjetër, më kompleks. pikë matematikore pamjen e formës së matricës. Trazirat u shkaktuan nga fakti se shkencëtarët thjesht kishin frikë nëse të dy ishin në në mënyrë të barabartë qasje bindëse për përshkrimin e mikrobotës. Shqetësimet ishin të kota. Në të njëjtin vit, vetë Schrödinger vërtetoi ekuivalencën e plotë të dy teorive - domethënë, ekuacioni i matricës rrjedh nga ekuacioni i valës dhe anasjelltas; rezultatet janë identike. Sot, është kryesisht versioni i Shrodingerit (nganjëherë i quajtur "mekanika valore") që përdoret sepse ekuacioni i tij është më pak i rëndë dhe më i lehtë për t'u mësuar.

Megjithatë, nuk është aq e lehtë të imagjinohet dhe të pranohet se diçka si një elektron sillet si një valë. NË Jeta e përditshme ne përplasemi ose me një grimcë ose me një valë. Topi është një grimcë, tingulli është një valë dhe kaq. Në botën e mekanikës kuantike, gjithçka nuk është aq e thjeshtë. Në fakt - dhe eksperimentet shpejt e treguan këtë - në botën kuantike, entitetet ndryshojnë nga objektet me të cilat jemi njohur dhe kanë veti të ndryshme. Drita, të cilën ne e mendojmë si valë, ndonjëherë sillet si një grimcë (e quajtur foton), dhe grimcat si elektronet dhe protonet mund të sillen si valë (shih Parimin e Plotësimit).

Ky problem zakonisht quhet natyra e dyfishtë ose e dyfishtë e grimcave-valë të grimcave kuantike, dhe është karakteristikë, me sa duket, për të gjitha objektet e botës nënatomike (shih Teoremën e Bell-it). Ne duhet të kuptojmë se në mikrobotë idetë tona të zakonshme intuitive rreth asaj se çfarë formash mund të marrë materia dhe si mund të sillet thjesht nuk zbatohen. Vetë fakti që ne përdorim ekuacionin e valës për të përshkruar lëvizjen e asaj që jemi mësuar të mendojmë si grimca është një provë e qartë për këtë. Siç u përmend në hyrje, nuk ka ndonjë kontradiktë të veçantë në këtë. Në fund të fundit, ne nuk kemi arsye bindëse për të besuar se ajo që vëzhgojmë në makrokozmos duhet të riprodhohet me saktësi në nivelin e mikrokozmosit. Megjithatë, natyra e dyfishtë e grimcave elementare mbetet një nga aspektet më të çuditshme dhe shqetësuese të mekanikës kuantike për shumë njerëz, dhe nuk është e tepruar të thuhet se të gjitha problemet filluan me Erwin Schrödinger.

Enciklopedia nga James Trefil “Natyra e shkencës. 200 ligjet e universit."

James Trefil është profesor i fizikës në Universitetin George Mason (SHBA), një nga autorët më të famshëm perëndimorë të librave shkencorë popullorë.

Max Planck, një nga themeluesit e mekanikës kuantike, erdhi në idetë e kuantizimit të energjisë, duke u përpjekur të shpjegojë teorikisht procesin e ndërveprimit midis valëve elektromagnetike dhe atomeve të zbuluara së fundmi dhe, në këtë mënyrë, të zgjidhë problemin e rrezatimit të trupit të zi. Ai kuptoi se për të shpjeguar spektrin e emetimit të vëzhguar të atomeve, është e nevojshme të merret si e mirëqenë që atomet emetojnë dhe thithin energji në pjesë (të cilat shkencëtari i quajti kuantë) dhe vetëm në frekuenca valore individuale.

Absolutisht trup i zi, plotësisht thithëse rrezatimi elektromagnetik e çdo frekuence, kur nxehet, lëshon energji në formën e valëve të shpërndara në mënyrë të barabartë në të gjithë spektrin e frekuencës.

Fjala "quantum" vjen nga latinishtja quantum ("sa shumë, sa") dhe anglishtja quantum ("sasi, pjesë, kuantike"). "Mekanikë" ka qenë prej kohësh emri i dhënë shkencës së lëvizjes së materies. Prandaj, termi "mekanikë kuantike" nënkupton shkencën e lëvizjes së materies në pjesë (ose, në termat moderne gjuha shkencore shkenca e lëvizjes së materies së kuantizuar). Termi "kuant" u krijua nga fizikani gjerman Max Planck për të përshkruar ndërveprimin e dritës me atomet.

Një nga faktet e botës nënatomike është se objektet e saj - si elektronet apo fotonet - nuk janë aspak të ngjashme me objektet e zakonshme të botës makro. Ata nuk sillen as si grimca dhe as si valë, por si plotësisht Edukim special, duke ekspozuar të dyja valët dhe vetitë korpuskulare në varësi të rrethanave. Është një gjë të bësh një deklaratë, por krejt tjetër të lidhësh së bashku aspektet e valës dhe grimcave të sjelljes së grimcave kuantike, duke i përshkruar ato me një ekuacion të saktë. Kjo është pikërisht ajo që u bë në marrëdhënien de Broglie.

Në jetën e përditshme, ekzistojnë dy mënyra për të transferuar energjinë në hapësirë ​​- përmes grimcave ose valëve. NË jeta e përditshme Nuk ka kontradikta të dukshme midis dy mekanizmave të transferimit të energjisë. Pra, një basketboll është një grimcë, dhe tingulli është një valë, dhe gjithçka është e qartë. Megjithatë, në mekanikën kuantike gjërat nuk janë aq të thjeshta. Edhe nga eksperimentet më të thjeshta me objekte kuantike shumë shpejt bëhet e qartë se në mikrobotën nuk zbatohen parimet dhe ligjet e makrobotës që ne jemi mësuar të zbatojmë. Drita, të cilën ne jemi mësuar ta mendojmë si valë, ndonjëherë sillet sikur të përbëhet nga një rrymë grimcash (fotone), dhe grimcat elementare, si një elektron apo edhe një proton masiv, shpesh shfaqin vetitë e një valë.

Mbi të gjitha, Ajnshtajni protestoi kundër nevojës për të përshkruar fenomenet e mikrobotës në aspektin e probabiliteteve dhe funksioneve valore, dhe jo nga pozicioni i zakonshëm i koordinatave dhe shpejtësive të grimcave. Kjo është ajo që ai nënkuptonte me "hedhjen e zarit". Ai pranoi se përshkrimi i lëvizjes së elektroneve në termat e shpejtësive dhe koordinatave të tyre bie ndesh me parimin e pasigurisë. Por, argumentoi Ajnshtajni, duhet të ketë disa variabla ose parametra të tjerë, duke marrë parasysh të cilët tabloja mekanike kuantike e mikrobotës do të kthehet në rrugën e integritetit dhe determinizmit. Dmth, këmbënguli, vetëm na duket se Zoti po luan zare me ne, se ne nuk kuptojmë gjithçka. Kështu, ai ishte i pari që formuloi hipotezën e ndryshores së fshehur në ekuacionet e mekanikës kuantike. Ai qëndron në faktin se në fakt elektronet kanë koordinata dhe shpejtësi fikse, si topat e bilardos së Njutonit, dhe parimi i pasigurisë dhe qasja probabilistike për përcaktimin e tyre brenda kornizës së mekanikës kuantike janë rezultat i paplotësisë së vetë teorisë, e cila është pse nuk i lejon ato për të përcaktuar.

Julia Zotova

Do të mësoni: Cilat teknologji quhen kuantike dhe pse. Cili është avantazhi i teknologjive kuantike ndaj atyre klasike? Çfarë mund dhe nuk mund kompjuter kuantik. Si bëjnë fizikanët një kompjuter kuantik. Kur do të krijohet.

Fizikani francez Pierre Simon Laplace vënë pyetje e rëndësishme, nëse çdo gjë në botë është e paracaktuar nga gjendja e mëparshme e botës, apo nëse një shkak mund të shkaktojë disa pasoja. Siç pritej nga tradita filozofike, vetë Laplace në librin e tij "Ekspozita e Sistemit Botëror" nuk bëri asnjë pyetje, por tha një përgjigje të gatshme se po, gjithçka në botë është e paracaktuar, megjithatë, siç ndodh shpesh në filozofi, fotografia e botës e propozuar nga Laplace nuk i bindi të gjithë dhe kështu përgjigja e tij shkaktoi një debat rreth çështjes që vazhdon edhe sot e kësaj dite. Pavarësisht mendimit të disa filozofëve se mekanika kuantike ka zgjidhur kjo pyetje në favor të qasjes probabiliste, megjithatë, teoria e Laplasit për paracaktimin e plotë, ose siç quhet ndryshe teoria e determinizmit Laplace, diskutohet ende sot.

Gordey Lesovik

Disa kohë më parë, unë dhe një grup bashkautorë filluam të nxjerrim ligjin e dytë të termodinamikës nga pikëpamja e mekanikës kuantike. Për shembull, në një nga formulimet e tij, ku thuhet se entropia sistem i mbyllur nuk zvogëlohet, zakonisht rritet dhe ndonjëherë mbetet konstant nëse sistemi është i izoluar energjikisht. Përdorimi i rezultateve të njohura teoria kuantike informacion, ne kemi nxjerrë disa kushte në të cilat kjo deklaratë është e vërtetë. Pa pritur, doli që këto kushte nuk përkojnë me gjendjen e izolimit të energjisë të sistemeve.

Profesori i fizikës Jim Al-Khalili eksploron më të saktën dhe një nga më konfuzet teoritë shkencore- fizika kuantike. Në fillim të shekullit të 20-të, shkencëtarët hodhën thellësitë e fshehura të materies, blloqet ndërtuese nënatomike të botës përreth nesh. Ata zbuluan fenomene që ishin të ndryshme nga çdo gjë e parë më parë. Një botë ku gjithçka mund të jetë në shumë vende në të njëjtën kohë, ku realiteti ekziston vetëm kur e vëzhgojmë atë. Albert Ajnshtajni i rezistoi thjesht idesë se thelbi i natyrës bazohej në rastësi. Fizika kuantike nënkupton që grimcat nënatomike mund të ndërveprojnë shpejtësi më të shpejtë dritë, dhe kjo bie ndesh me teorinë e tij të relativitetit.

Nga interpretimi statistikor i valëve të de Broglie (shih § dhe marrëdhëniet e pasigurisë së Heisenberg (shih § 215) doli që ekuacioni i lëvizjes në mekanikën kuantike, që përshkruan lëvizjen e mikrogrimcave në fusha të ndryshme të forcës, duhet të jetë një ekuacion nga i cili vëzhgimet do të pasonte - vetitë valore të përcaktuara eksperimentalisht të grimcave.

Ekuacioni kryesor duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksionin valor, pasi është pikërisht ai, ose, më saktë, vlera |Ф|2, që përcakton probabilitetin që një grimcë të jetë e pranishme në momentin e kohës. t në vëllim dV, në zonën me koordinata dhe X+ dx, y+dy,

z dhe Meqenëse ekuacioni i kërkuar duhet të marrë parasysh vetitë valore të grimcave, duhet të jetë ekuacioni i valës, ngjashëm me ekuacionin që përshkruan valët elektromagnetike. Ekuacioni bazë mekanika kuantike jorelativiste formuluar në vitin 1926 nga E. Schrödinger. Ekuacioni i Shrodingerit, si të gjitha ekuacionet bazë të fizikës (për shembull, ekuacionet e Njutonit në mekanikën klasike dhe ekuacionet e Maksuellit për fushën elektromagnetike), nuk rrjedh, por supozohet. Korrektësia e këtij ekuacioni konfirmohet nga pajtueshmëria me përvojën e rezultateve të marra me ndihmën e tij, e cila, nga ana tjetër, i jep atij karakterin e një ligji të natyrës. Ekuacioni

Schrödinger ka formën

Njësi imagjinare, y,z,t) -

Funksioni i mundshëm grimcat në fushën e forcës në të cilën lëviz; z,t) - funksioni i dëshiruar i valës

Ekuacioni është i vlefshëm për çdo grimcë (me një rrotullim të barabartë me 0; shih § 225) që lëviz me një shpejtësi të ulët (në krahasim me shpejtësinë e dritës), d.m.th. v Me. Ai plotësohet nga kushtet e vendosura në funksionin valor: 1) funksioni valor duhet të jetë i fundëm, i paqartë dhe i vazhdueshëm (shih § 216);

2) derivatet -, -, --, duhet-

dh doo

duhet të jemi të vazhdueshëm; 3) funksioni |Ф|2 duhet të jetë i integrueshëm; kjo gjendje në rastet më të thjeshta reduktohet në

Gjendja e normalizimit (216.3).

Për të arritur në ekuacionin e Schrödinger-it, le të shqyrtojmë një grimcë që lëviz lirshëm, me të cilën, sipas de Broglie, është e lidhur për thjeshtësi, le të shqyrtojmë rastin njëdimensional. Ekuacioni i një vale të rrafshët që përhapet përgjatë një boshti . Për thjeshtësi, ne e konsiderojmë rastin njëdimensional. Ekuacioni i një vale të rrafshët që përhapet përgjatë një boshti ka formën (shih § 154) t) = A cos - ose shënim kompleks t)- Prandaj, vala e planit de Broglie ka formën

(217.2)

(është marrë parasysh se - = -). Në kuantike

Eksponenti merret me shenjën “-”, pasi vetëm |Ф|2 ka kuptim fizik, kjo është e parëndësishme. Pastaj

Përdorimi i marrëdhënies ndërmjet energjisë E dhe impuls = --) dhe zëvendësues

shprehja (217.3), fitojmë ekuacionin diferencial

që përkon me ekuacionin për rastin U- O (ne konsideruam një grimcë të lirë).

Nëse një grimcë lëviz në një fushë force të karakterizuar nga energjia potenciale U, atëherë energjia totale E përbëhet nga energjitë kinetike dhe potenciale. Kryerja e arsyetimit të ngjashëm dhe përdorimi i marrëdhënies ndërmjet ("për

Rastet = E-U), arrijmë në një ekuacion diferencial që përkon me (217.1).

Arsyetimi i mësipërm nuk duhet të merret si rrjedhim i ekuacionit të Shrodingerit. Ata shpjegojnë vetëm se si mund të arrihet në këtë ekuacion. Dëshmia e korrektësisë së ekuacionit të Shrodingerit është pajtueshmëria me përvojën e përfundimeve në të cilat ai çon.

Ekuacioni (217.1) është ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit. Quhet gjithashtu ekuacioni i Shrodingerit i varur nga koha. Për shumë dukuri fizike që ndodhin në mikrobotë, ekuacioni (217.1) mund të thjeshtohet duke eliminuar varësinë kohore, me fjalë të tjera, gjeni ekuacionin e Shrodingerit për gjendje stacionare - gjendje me vlera fikse të energjisë. Kjo është e mundur nëse fusha e forcës në të cilën lëviz grimca është e palëvizshme, pra funksioni U=z) nuk varet shprehimisht nga koha dhe ka kuptimin e energjisë potenciale.

Në këtë rast, zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit mund të përfaqësohet si produkt i dy funksioneve, njëri prej të cilëve është funksion i vetëm koordinatave, tjetri - vetëm koha, dhe varësia nga koha shprehet me

Shumëzohet me e" = e, pra

(217.4)

Ku Eështë energjia totale e grimcës, konstante në rastin e një fushe të palëvizshme. Duke zëvendësuar (217.4) në (217.1), marrim

Ku, pas pjesëtimit me faktorin e përbashkët e të shndërrimeve përkatëse

Formimi, arrijmë në ekuacionin që përcakton funksionin

Ekuacioni ekuacioni

Teoria e Shrodingerit për gjendjet stacionare. Ky ekuacion përfshin energjinë totale si parametër E grimcat. Në teorinë e ekuacioneve diferenciale vërtetohet se ekuacione të tilla kanë një numër të pafund zgjidhjesh, nga të cilat përmes duke imponuar kushte kufitare zgjidhni zgjidhjet që kanë një fizike

Për ekuacionin e Shrodingerit kushte të tilla janë Kushtet për rregullsinë e funksioneve valore: Funksionet valore duhet të jenë të fundme, me një vlerë dhe të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të parë.

Kështu, vetëm ato zgjidhje që shprehen me funksione të rregullta kanë një kuptim të vërtetë fizik, por zgjidhjet e rregullta nuk ndodhin për asnjë vlerë të parametrit E, por vetëm për një grup të caktuar prej tyre, karakteristikë e një problemi të caktuar. Këto vlerat e energjisë quhen vet. Zgjidhjet që korrespondojnë me eigenvlerat e energjisë quhen funksionet e veta. Eigenvlerat E mund të formojnë një seri të vazhdueshme dhe diskrete. Në rastin e parë flasim për e vazhdueshme, ose spektri i vazhdueshëm në të dytën - rreth spektër diskret.

§ 218. Parimi i shkakësisë në mekanikën kuantike

Nga marrëdhënia e pasigurisë shpesh arrihet në përfundimin se

parimi i shkakësisë ndaj dukurive që ndodhin në mikrokozmos. Kjo bazohet në konsideratat e mëposhtme. Në mekanikën klasike, sipas parimi i shkakësisë - parimi i determinizmit klasik, Nga gjendja e njohur e sistemit në një moment të caktuar në kohë (i përcaktuar plotësisht nga vlerat e koordinatave dhe momenteve të të gjitha grimcave të sistemit) dhe forcat e aplikuara ndaj tij, mund të përcaktohet me saktësi gjendjen e tij në çdo moment pasues . Rrjedhimisht, fizika klasike bazohet në kuptimin e mëposhtëm të shkakësisë: gjendja e një sistemi mekanik në momentin fillestar të kohës me një ligj të njohur të ndërveprimit të grimcave është shkaku, dhe gjendja e tij në momentin pasues është efekti.

Nga ana tjetër, mikroobjektet nuk mund të kenë njëkohësisht një koordinatë të caktuar dhe një projeksion të caktuar korrespondues të momentit [janë dhënë nga relacioni i pasigurisë, prandaj, arrihet në përfundimin se në momentin fillestar gjendja e sistemit nuk është përcaktuar saktësisht. Nëse gjendja e sistemit nuk është e sigurt në momentin fillestar, atëherë gjendjet e mëvonshme nuk mund të parashikohen, pra cenohet parimi i shkakësisë.

Sidoqoftë, nuk vërehet asnjë shkelje e parimit të shkakësisë në lidhje me mikroobjektet, pasi në mekanikën kuantike koncepti i gjendjes së një mikroobjekti merr një kuptim krejtësisht të ndryshëm sesa në mekanikën klasike. Në mekanikën kuantike, gjendja e një mikroobjekti përcaktohet plotësisht nga funksioni i valës, moduli i të cilit është katror.

2 specifikon densitetin e probabilitetit për të gjetur një grimcë në një pikë me koordinata x, y, z.

Nga ana tjetër, funksioni i valës plotëson ekuacionin

Schrödinger që përmban derivatin e parë të funksionit Ф në lidhje me kohën. Kjo do të thotë gjithashtu se specifikimi i një funksioni (për një moment në kohë përcakton vlerën e tij në momentet pasuese. Për rrjedhojë, në mekanikën kuantike, gjendja fillestare është shkaku, dhe gjendja Ф në momentin pasues është efekti. Kjo është forma e parimi i shkakësisë në mekanikën kuantike, d.m.th., specifikimi i një funksioni paracakton vlerat e tij për çdo moment të mëvonshëm Kështu, gjendja e një sistemi mikrogrimcash të përcaktuara në mekanikën kuantike rrjedh pa mëdyshje nga gjendja e mëparshme, siç kërkohet nga parimi i shkakësisë. .

§219. Lëvizja e një grimce të lirë

Grimca e lirë - një grimcë që lëviz në mungesë të fushave të jashtme. Që nga ai i lirë (le të lëvizë përgjatë boshtit X) forcat nuk veprojnë, atëherë energjia potenciale e grimcës U(x) = konst dhe mund të pranohet e barabartë me zero. Atëherë energjia totale e grimcës përkon me energjinë e saj kinetike. Në këtë rast, ekuacioni i Shrodingerit (217.5) për gjendjet stacionare do të marrë formën

(219.1)

Me zëvendësim të drejtpërdrejtë mund të verifikojmë që një zgjidhje e veçantë e ekuacionit (219.1) është funksioni - Ku A = konst dhe te= konst, s eigenvalue energji

Funksioni = = përfaqëson vetëm pjesën koordinative të funksionit valor Prandaj, funksioni valor i varur nga koha, sipas (217.4).

(219.3) është një valë e rrafshët monokromatike de Broglie [shih (217.2)].

Nga shprehja (219.2) rezulton se varësia e energjisë nga momenti

rezulton të jetë e zakonshme për grimcat jorelativiste. Rrjedhimisht, energjia e një grimce të lirë mund të marrë çdo vlerë(që nga numri i valës te mund të marrë çdo vlerë pozitive), pra energji varg grimca e lirë është të vazhdueshme.

Pra pa pagesë grimca kuantike përshkruhet nga një valë e rrafshët monokromatike e de Broglie. Kjo korrespondon me densitetin e probabilitetit të pavarur nga koha për të zbuluar një grimcë në një pikë të caktuar në hapësirë

domethënë, të gjitha pozicionet e një grimce të lirë në hapësirë ​​janë njësoj të mundshme.

§ 220. Grimca në një “pus potencial” drejtkëndor njëdimensional me të lartë pafundësisht

"muret"

Le të bëjmë një analizë cilësore të zgjidhjeve të ekuacionit të Shrodingerit duke përdorur

Oriz. 299

(220.4)

në lidhje me grimcën V një "pus potencial" drejtkëndor njëdimensional me "mure" pafundësisht të larta. Një "pus" i tillë përshkruhet nga energjia potenciale e formës (për thjeshtësi, supozojmë se grimca lëviz përgjatë boshtit X)

ku është gjerësia e "gropës", A energjia llogaritet nga fundi i saj (Fig. 299).

Ekuacioni i Shrodingerit (217.5) për gjendjet e palëvizshme në rastin e një problemi njëdimensional do të shkruhet në formën

Sipas kushteve të problemit ("muret" pafundësisht të larta), grimca nuk depërton përtej "vrimës", kështu që probabiliteti i zbulimit të saj (dhe, rrjedhimisht, funksioni i valës) jashtë "vrimës" është zero. Në kufijtë e "gropës" (në X- 0 dhe x = funksioni i valës së vazhdueshme duhet gjithashtu të zhduket. Për rrjedhojë, kushtet kufitare në këtë rast kanë formën

Brenda "gropës" (0 X ekuacioni i Shrodingerit (220.1) do të reduktohet në ekuacion

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial (220.3):

Meqenëse sipas (220.2) = 0, atëherë NË= 0.

(220.5)

Gjendja (220.2) = 0 ekzekutohet vetëm për ku P- numra të plotë, pra është e nevojshme që

Nga shprehjet (220.4) dhe (220.6) rrjedh,

d.m.th., ekuacioni i palëvizshëm i Shrodingerit, i cili përshkruan lëvizjen e një grimce në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta, është i kënaqur vetëm për vlerat vetjake në varësi të numrit të plotë. P. Prandaj, energjia e grimcave në

një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta merr vetëm disa vlera diskrete, ato. të kuantizuara.

Vlerat e kuantizuara të energjisë quhen nivelet e energjisë dhe numri P, që përcakton nivelet e energjisë së një grimce quhet numri kuantik kryesor. Kështu, një mikrogrimcë në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta mund të jetë vetëm në një nivel të caktuar energjie ose, siç thonë ata, grimca është në një kuantike

Duke zëvendësuar vlerën në (220.5). te nga (220.6), gjejmë eigenfunksionet:

Konstante integrimi A gjejmë nga kushti i normalizimit (216.3), i cili për këtë rast do të shkruhet në formë

NË rezultat i integrimit të gjysmë-

A - A eigenfunksionet do të duken si

Unë Rafiki eigenfunksionet(220.8), që korrespondon me nivelet

energji (220.7) në n=1.2, 3 janë paraqitur në Fig. 300, A. Në Fig. 300, b tregon densitetin e probabilitetit të zbulimit të një grimce në distanca të ndryshme nga "muret" e vrimës, e barabartë me =

Për n= 1, 2 dhe 3. Nga figura rezulton se, për shembull, në një gjendje kuantike me P= 2, grimca nuk mund të jetë në mes të "pusit", ndërsa po aq shpesh mund të jetë në pjesën e majtë dhe të djathtë të saj. Kjo sjellje e grimcave tregon se idetë rreth trajektoreve të grimcave në mekanikën kuantike janë të paqëndrueshme. Nga shprehja (220.7) rezulton se intervali i energjisë ndërmjet dy

Nivelet fqinje janë të barabarta me

Për shembull, për një elektron me dimensione pusi - 10"1 m (rrymë falas

Frone në metal) 10 J

Kjo do të thotë, nivelet e energjisë janë të vendosura aq afër sa që spektri praktikisht mund të konsiderohet i vazhdueshëm. Nëse dimensionet e pusit janë në përpjesëtim me m atomike), atëherë për një elektron J eV, d.m.th. Natyrisht, fitohen vlera diskrete të energjisë (spektri i linjës).

Kështu, aplikimi i ekuacionit të Shrodingerit në një grimcë në një "pus potencial" me pafundësisht të lartë

"Muret" çojnë në vlera të kuantizuara të energjisë, ndërsa mekanika klasike nuk vendos asnjë kufizim në energjinë e kësaj grimce.

Përveç kësaj,

Shqyrtimi i këtij problemi të çon në përfundimin se grimca është "në një pus potencial" me "pafundësisht të lartë" muret"Nuk mund të ketë më pak energji

Minimumi, i barabartë me [shih. (220.7)].

Prania e një energjie minimale jozero nuk është e rastësishme dhe rrjedh nga lidhja e pasigurisë. Koordinoni pasigurinë Oh grimcat në një "gropë" të gjerë Ah= Atëherë, sipas relacionit të pasigurisë, impulsi nuk mund të ketë një vlerë të saktë, në këtë rast zero. Pasiguria impulsive

Një përhapje e tillë vlerash

impulsi korrespondon me energjinë kinetike

Të gjitha nivelet e tjera (n > 1) kanë energji që tejkalon këtë vlerë minimale.

Nga formulat (220.9) dhe (220.7) rezulton se për numrat e mëdhenj kuantikë

d.m.th., nivelet ngjitur janë të vendosura afër: sa më afër, aq më shumë P. Nëse Pështë shumë i madh, atëherë mund të flasim për një sekuencë pothuajse të vazhdueshme nivelesh dhe veçoria karakteristike e proceseve kuantike - diskretiteti - zbutet. Ky rezultat është një rast i veçantë Parimi i korrespondencës së Bohr-it (1923), sipas të cilit ligjet e mekanikës kuantike duhet të shndërrohen në ligjet e fizikës klasike në vlera të mëdha të numrave kuantikë.

Më shumë interpretimi i përgjithshëm i parimit të korrespondencës: ndonjë të re, më shumë teori e përgjithshme, që është një zhvillim i asaj klasike, nuk e refuzon plotësisht, por përfshin teorinë klasike, duke treguar kufijtë e zbatimit të saj dhe në disa raste kufizuese. teori e re shkon në të vjetrën. Kështu, formulat e kinematikës dhe dinamikës teori e veçantë relativiteti kalon në v c te formulat e mekanikës së Njutonit. Për shembull, megjithëse hipoteza e da Broglie u atribuon vetitë valore të gjithë trupave, në ato raste kur kemi të bëjmë me trupa makroskopikë, vetitë e tyre valore mund të neglizhohen, d.m.th. aplikoni mekanika klasike Njutoni.

§ 221. Kalimi i një grimce nëpër një pengesë potenciale.

Efekti i tunelit

pengesa potenciale më e thjeshtë e një forme drejtkëndore (Fig. për njëdimensionale (përgjatë boshtit të lëvizjes së grimcës. Për një pengesë potenciale të një forme drejtkëndore me lartësi dhe gjerësi / mund të shkruajmë

Në kushtet e dhëna të problemit, një grimcë klasike, që ka energji E, ose do të kalojë pa pengesa mbi barrierën (nëse E > U), ose do të pasqyrohet prej tij (nëse E< U) do të hyjë brenda ana e kundërt, d.m.th. ajo nuk mund të depërtojë në barrierë. Për një mikrogrimcë, edhe me E > U, në dispozicion i shkëlqyer nga zero probabiliteti që një grimcë të reflektohet nga barriera dhe të lëvizë në drejtim të kundërt. Në E ekziston gjithashtu një probabilitet jo zero që grimca të përfundojë në rajon x> ato. do të depërtojë në barrierë. Përfundime të ngjashme në dukje paradoksale rrjedhin drejtpërdrejt nga zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit, duke përshkruar

412

duke përshkruar lëvizjen e një mikrogrimce në kushtet e këtij problemi.

Ekuacioni (217.5) për gjendjet stacionare për secilën nga Fig. 301, A rajoni ka

(për rajonet

(për zonën

Zgjidhje të përgjithshme këto ekuacione diferenciale:

Zgjidhja (221.3) gjithashtu përmban valë (pas shumëzimit me një faktor kohor) që përhapen në të dy drejtimet. Megjithatë, në zonë 3 ka vetëm një valë që ka kaluar nëpër barrierë dhe përhapet nga e majta në të djathtë. Prandaj, koeficienti i formulës (221.3) duhet të merret i barabartë me zero.

Në zonë 2 vendimi varet nga marrëdhëniet E>U ose E Me interes fizik është rasti kur energjia totale e grimcës është më e vogël se lartësia e pengesës potenciale, pasi në E ligjet e fizikës klasike në mënyrë të qartë nuk lejojnë një grimcë të depërtojë në barrierë. Në këtë rast, sipas q= - numër imagjinar, ku

(për zonën

(për zonën 2);

Kuptimi q dhe 0, marrim zgjidhje për ekuacionin e Shrodingerit për tre rajone në formën e mëposhtme:

(për zonën 3).

NË në veçanti për rajonin 1 funksioni i plotë valor, sipas (217.4), do të ketë formën

Në këtë shprehje, termi i parë përfaqëson një valë të rrafshët të tipit (219.3), që përhapet në drejtim pozitiv të boshtit. X(korrespondon me një grimcë që lëviz drejt pengesës), dhe e dyta është një valë që përhapet në drejtim të kundërt, d.m.th. e reflektuar nga pengesa (korrespondon me një grimcë që lëviz nga barriera në të majtë).

(për zonën 3).

Në zonë 2 funksioni nuk korrespondon më me valët e rrafshët që përhapen në të dy drejtimet, pasi eksponentët e eksponentëve nuk janë imagjinarë, por realë. Mund të tregohet se për rastin e veçantë të një pengese të lartë dhe të gjerë, kur 1,

Natyra cilësore e funksioneve është ilustruar në Fig. 301, nga ku rezulton se vala-

Funksioni nuk është i barabartë me zero edhe brenda barrierës, por në rajon 3, nëse barriera nuk është shumë e gjerë, ajo do të ketë përsëri formën e valëve de Broglie me të njëjtin impuls, d.m.th., me të njëjtën frekuencë, por me një amplitudë më të vogël. Rrjedhimisht, ne zbuluam se një grimcë ka një probabilitet jozero për të kaluar përmes një pengese potenciale me gjerësi të fundme.

Kështu, mekanika kuantike çon në një fenomen thelbësisht të ri specifik kuantik, të quajtur efekti i tunelit, si rezultat i së cilës një mikroobjekt mund të "kalojë" përmes një pengese të mundshme. via Një zgjidhje e përbashkët e ekuacioneve për një pengesë potenciale drejtkëndore jep (duke supozuar se koeficienti i transparencës është i vogël në krahasim me unitetin)

ku është një faktor konstant që mund të jetë i barabartë me një; U- lartësia e pengesës së mundshme; E - energjia e grimcave; - gjerësia e pengesës.

Nga shprehja (221.7) del se D varet fort nga masa Ku, grimcat, gjerësia/barriera dhe nga (U - Sa më e gjerë të jetë pengesa, aq më pak ka gjasa që një grimcë të kalojë nëpër të.

Për një pengesë potenciale të formës arbitrare (Fig. 302), duke përmbushur kushtet e të ashtuquajturës përafrim gjysmëklasik(një formë mjaft e lëmuar e kurbës), kemi

Ku U= U(x).

Nga pikëpamja klasike, kalimi i një grimce përmes një pengese potenciale në E e pamundur, pasi grimca, duke qenë në rajonin e barrierës, do të duhej të kishte energji kinetike negative. Efekti i tunelit është një efekt kuantik specifik.

Kalimi i një grimce përmes një rajoni në të cilin, sipas ligjeve të mekanikës klasike, ajo nuk mund të depërtojë, mund të shpjegohet me relacionin e pasigurisë. Pasiguria e momentit Ar në segment Ah =është Ar > -. E lidhur me këtë shpërndarje në vlerat e momentit të kinetikës

302

Energjia çeke mund të jetë

të mjaftueshme për të plotë

energjia e grimcave doli të ishte më e madhe se potenciali.

Themelet e teorisë së tranzicionit të tunelit janë hedhur në veprat e L. I. Mandelshtam

Tuneli përmes një pengese potenciale qëndron në themel të shumë fenomeneve në fizikën e gjendjes së ngurtë (për shembull, fenomenet në shtresën e kontaktit në kufirin e dy gjysmëpërçuesve), fizikën atomike dhe bërthamore (për shembull, prishja, shfaqja e reaksioneve termonukleare).

§ 222. Linear oshilator harmonik

Në mekanikën kuantike

Oscilator harmonik linear- një sistem që i nënshtrohet lëvizjes njëdimensionale nën veprimin e një force pothuajse elastike është një model i përdorur në shumë probleme të teorisë klasike dhe kuantike (shih § 142). Lavjerrësit pranverorë, fizikë dhe matematikorë janë shembuj të oshilatorëve harmonikë klasikë.

Energjia potenciale e një oshilatori harmonik [shih. (141.5)] është e barabartë me

Ku është frekuenca natyrore e oshilatorit; T - masë grimcash.

Varësia (222.1) ka formën e një parabole (Fig. 303), d.m.th. "Pusi i mundshëm" në këtë rast është parabolik.

Amplituda e lëkundjeve të vogla të një oshilatori klasik përcaktohet nga energjia totale e tij E(shih Fig. 17).

Dinger duke marrë parasysh shprehjen (222.1) për energjinë potenciale. Pastaj gjendjet e palëvizshme të oshilatorit kuantik përcaktohen nga ekuacioni i Schrödinger-it të formës

= 0, (222.2)

Ku E - energjia totale e oshilatorit. Në teorinë e ekuacioneve diferenciale

Është vërtetuar se ekuacioni (222.2) mund të zgjidhet vetëm për vlerat vetjake të energjisë

(222.3)

Formula (222.3) tregon se energjia e një oshilatori kuantik mund

kanë vetëm vlera diskrete, dmth. të kuantizuara. Energjia kufizohet nga poshtë nga një vlerë minimale jozero e energjisë, si për një "pus" drejtkëndor me "mure" pafundësisht të larta (shih § 220). = Su-

ekzistenca e energjisë minimale - quhet energjia e dridhjeve me pikë zero - është tipike për sistemet kuantike dhe është pasojë e drejtpërdrejtë e lidhjes së pasigurisë.

Prania e lëkundjeve me pikë zero do të thotë që grimca nuk mund të jetë në fund të "pusit potencial" (pavarësisht nga forma e pusit). Në fakt, "rënia në fund të vrimës" shoqërohet me zhdukjen e momentit të grimcave, dhe në të njëjtën kohë pasigurinë e saj. Atëherë pasiguria e koordinatës bëhet në mënyrë arbitrare e madhe, e cila, nga ana tjetër, bie ndesh me praninë e grimcës në

"vrima e mundshme".

Përfundimi për praninë e energjisë së lëkundjeve me pikë zero të një oshilatori kuantik bie ndesh me përfundimet e teorisë klasike, sipas së cilës energjia më e ulët që mund të ketë një oshilator është e barabartë me zero (korrespondon me një grimcë në qetësi në pozicionin e ekuilibrit ). Për shembull, sipas përfundimeve të fizikës klasike në T= 0, energjia e lëvizjes vibruese të atomeve të kristalit duhet të zhduket. Rrjedhimisht, shpërndarja e dritës për shkak të dridhjeve atomike gjithashtu duhet të zhduket. Megjithatë, eksperimenti tregon se intensiteti i shpërndarjes së dritës me uljen e temperaturës nuk është i barabartë me zero, por tenton në një vlerë të caktuar kufizuese, që tregon se kur T 0 dridhjet e atomeve në një kristal nuk ndalen. Kjo konfirmon praninë e lëkundjeve zero.

Nga formula (222.3) rrjedh gjithashtu se nivelet e energjisë së një oshilatori harmonik linear janë të vendosura në distanca të barabarta nga njëri-tjetri (shih Fig. 303), domethënë, distanca midis niveleve të energjisë fqinje është e barabartë me dhe vlera minimale e energjisë është =

Një zgjidhje rigoroze për problemin e një oshilatori kuantik çon në një ndryshim tjetër domethënës nga ai klasik.