1. Le të jepen dy hapësira vektoriale dhe, përkatësisht, matjet mbi një fushë numerike, dhe operator linear, duke u shfaqur në . Në këtë seksion do të zbulojmë se si matrica që korrespondon me një operator të caktuar linear ndryshon kur bazat hyjnë dhe ndryshojnë.
Le të zgjedhim baza arbitrare dhe . Në këto baza, operatori do të korrespondojë me matricën. Barazi vektoriale
korrespondon me barazinë e matricës
ku dhe janë kolonat koordinative për vektorë dhe në baza dhe .
Le të zgjedhim tani në dhe baza të tjera dhe . Në bazat e reja, në vend të , , do të kemi: , , . Në të njëjtën kohë
Le të shënojmë me dhe matricat katrore josingulare të urdhrave dhe, përkatësisht, që kryejnë transformimin e koordinatave në hapësira dhe në kalimin nga bazat e vjetra në ato të reja (shih § 4):
Pastaj nga (27) dhe (29) marrim:
Duke supozuar, nga (28) dhe (30) gjejmë:
Përkufizimi 8. Dy matrica drejtkëndëshe dhe të njëjtat madhësi thuhet se janë ekuivalente nëse ekzistojnë dy matrica katrore jo njëjëse të tilla që
Nga (31) rrjedh se dy matrica që i korrespondojnë të njëjtit operator linear me zgjedhje të ndryshme bazash në dhe janë gjithmonë ekuivalente me njëra-tjetrën. Është e lehtë të shihet se, anasjelltas, nëse një matricë korrespondon me një operator për disa baza në dhe, matrica është ekuivalente me një matricë, atëherë ajo korrespondon me të njëjtin operator linear për disa baza të tjera në dhe.
Kështu, çdo operator linear harton dhe korrespondon me një klasë matricash ekuivalente me njëra-tjetrën me elementë nga fusha.
2. Teorema e mëposhtme vendos një kriter për ekuivalencën e dy matricave:
Teorema 2. Që dy matrica drejtkëndëshe me madhësi të njëjtë të jenë ekuivalente, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që këto matrica të kenë të njëjtin rang.
Dëshmi. Kushti është i nevojshëm. Kur shumëzohet një matricë drejtkëndëshe me ndonjë jo njëjës matricë katrore(majtas ose djathtas) rangu i matricës origjinale drejtkëndore nuk mund të ndryshojë (shih Kapitullin I, faqe 27). Prandaj, nga (32) rrjedh
Gjendja është e mjaftueshme. le - matricë drejtkëndëshe madhësia . Ai përcakton një operator linear që harton një hapësirë me një bazë në një hapësirë me një bazë. Le të shënojmë me numër në mënyrë lineare vektorë të pavarur midis vektorëve 
. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se vektorët janë linearisht të pavarur 
, dhe pjesa tjetër shprehet në mënyrë lineare përmes tyre:
. (33)
Le të përcaktojmë një bazë të re si më poshtë:
(34)
Pastaj në bazë të (33)
. (35)
Vektorët janë linearisht të pavarur. Le t'i plotësojmë ato me disa vektorë në një bazë në .
Pastaj matrica që i korrespondon të njëjtit operator në baza të reja; , sipas (35) dhe (36) do të ketë formën
. (37)
Në matricë, ato shkojnë përgjatë diagonales kryesore nga lart poshtë; të gjithë elementët e tjerë të matricës janë të barabartë me zero. Meqenëse matricat korrespondojnë me të njëjtin operator, ato janë ekuivalente me njëra-tjetrën. Sipas asaj që është vërtetuar, matricat ekuivalente kanë të njëjtën rang. Prandaj, rangu i matricës origjinale është i barabartë me .
Ne kemi treguar se një matricë arbitrare e renditjes drejtkëndore është ekuivalente me matricën "kanonike". Por matrica përcaktohet plotësisht duke specifikuar dimensionet dhe numrat. Prandaj, të gjitha matricat drejtkëndore të madhësive të dhëna dhe renditjes së dhënë janë ekuivalente me të njëjtën matricë dhe, për rrjedhojë, ekuivalente me njëra-tjetrën. Teorema është e vërtetuar.
3. Le të jepet një operator linear që përfaqëson -hapësirë dimensionale në -dimensionale. Një grup vektorësh të formës , ku , formon hapësirë vektoriale. Këtë hapësirë do ta shënojmë me ; është pjesë e hapësirës ose, siç thonë ata, është një nënhapësirë në hapësirë.
Së bashku me nënhapësirën in, ne konsiderojmë grupin e të gjithë vektorëve që plotësojnë ekuacionin
Këta vektorë gjithashtu formojnë një nënhapësirë në ; Këtë nënhapësirë do ta shënojmë me .
Përkufizimi 9. Nëse një operator linear përshtatet me , atëherë numri i dimensioneve të hapësirës quhet rang i operatorit, dhe numri i dimensioneve të hapësirës që përbëhet nga të gjithë vektorët që plotësojnë kushtin (38) quhet defekt i operatorit. .
Ndër të gjitha matricat ekuivalente drejtkëndore që përcaktojnë një operator të caktuar në baza të ndryshme, ekziston matricë kanonike[shih (37)]. Le të shënojmë me dhe bazat përkatëse në dhe . Pastaj
, 
.
Nga përkufizimi dhe rrjedh se vektorët formojnë një bazë në , dhe vektorët krahasojnë bazën në . Nga kjo rezulton se është grada e operatorit dhe
Nëse është një matricë arbitrare që korrespondon me operatorin, atëherë ajo është ekuivalente dhe për këtë arsye ka të njëjtën rang. Kështu, rangu i operatorit përkon me gradën e matricës drejtkëndore
,
duke përcaktuar operatorin në disa baza 
Dhe 
.
Kolonat e matricës përmbajnë koordinatat e vektorëve . Meqenëse rrjedh se rangu i operatorit, pra numri i dimensioneve, është i barabartë me numri maksimal vektorë linearisht të pavarur ndër . Kështu, rangu i matricës përkon me numrin e kolonave linearisht të pavarura të matricës. Meqenëse gjatë transpozimit, rreshtat e matricës bëhen në kolona, dhe rangu nuk ndryshon, numri i rreshtave linearisht të pavarur të matricës është gjithashtu i barabartë me gradën e matricës.
4. Le të jepen dy operatorë linearë dhe produkti i tyre.
Lejo që operatori të hartojë në , dhe operatori të hartojë në . Pastaj operatori harton në:
Le të prezantojmë matricat , , që korrespondojnë me operatorët , , për një zgjedhje të caktuar të bazave , dhe . Atëherë barazia e operatorit do të korrespondojë me barazinë e matricës ., d.m.th. në, .
Dokumenti: D.m.th. Renditja e matricës ruhet kur kryeni operacionet e mëposhtme:
1. Ndryshimi i renditjes së rreshtave.
2. Shumëzimi i një matrice me një numër të ndryshëm nga zero.
3. Transpozimi.
4. Eliminimi i një vargu zerosh.
5. Shtimi i një vargu tjetër në një varg, i shumëzuar me një numër arbitrar.
Transformimi i parë do të lërë të pandryshuar disa të mitur, por disave do t’ua ndryshojë shenjën në të kundërt. Transformimi i dytë gjithashtu do të lërë të pandryshuar disa të mitur, ndërsa të tjerët do të shumëzohen me një numër të ndryshëm nga zero. Transformimi i tretë do të ruajë të gjithë të miturit. Prandaj, gjatë aplikimit të këtyre transformimeve do të ruhet edhe rangu i matricës (përkufizimi i dytë). Eliminimi i një rreshti zero nuk mund të ndryshojë renditjen e matricës, sepse një rresht i tillë nuk mund të hyjë në një minor jo zero. Le të shqyrtojmë transformimin e pestë.
Ne do të supozojmë se baza e vogël Δp është e vendosur në rreshtat e parë p. Le të shtohet një varg arbitrar b në vargun a, i cili është një nga këto vargje, i shumëzuar me një numër λ. Ato. vargut a i shtohet një kombinim linear vargjesh që përmbajnë bazën minor. Në këtë rast, baza e vogël Δp do të mbetet e pandryshuar (dhe e ndryshme nga 0). Të miturit e tjerë të vendosur në rreshtat e parë p mbeten gjithashtu të pandryshuara, e njëjta gjë vlen edhe për të gjithë të miturit e tjerë. Se. V në këtë rast rangu (sipas përkufizimit të dytë) do të ruhet. Tani merrni parasysh minoren Ms, e cila nuk i ka të gjitha rreshtat nga rreshtat e parë p (dhe ndoshta nuk ka asnjë).
Duke shtuar një varg arbitrar b në vargun ai, të shumëzuar me numrin λ, marrim një të re të vogël Ms‘, dhe Ms‘=Ms+λ Ms, ku
Nëse s>p, atëherë Ms=Ms=0, sepse të gjitha minoret e rendit më të madh se p të matricës origjinale janë të barabarta me 0. Por atëherë Ms‘=0, dhe rangu i transformimeve të matricës nuk rritet. Por as ajo nuk mund të zvogëlohej, pasi minorja bazë nuk pësoi asnjë ndryshim. Pra, rangu i matricës mbetet i pandryshuar.
Ju gjithashtu mund të gjeni informacionin për të cilin jeni të interesuar në motorin e kërkimit shkencor Otvety.Online. Përdorni formularin e kërkimit:
Forma më e thjeshtë e matricës së operatorit linear.
Matricat A Dhe B quhen ekuivalente nëse ka matrica jo njëjës P Dhe T, Çfarë A=QBT.
Teorema 6.1. Nëse matricat janë ekuivalente, atëherë radhët e tyre janë të barabarta.
Dëshmi. Meqenëse rangu i produktit nuk i kalon radhët e faktorëve, atëherë . Që atëherë. Duke kombinuar dy pabarazitë, marrim deklaratën e kërkuar.
Teorema 6.2. Transformimet elementare me rreshta dhe kolona të një matrice A mund të reduktohet në formën e bllokut , ku është matrica njësi e rendit k, dhe 0 është një matricë zero e madhësive përkatëse.
Dëshmi. Le të paraqesim një algoritëm për reduktimin e matricës A për të lloji i specifikuar. Numrat e kolonave do të tregohen në kllapa katrore, dhe numrat e rreshtave janë në kllapa.
1. Le të vëmë r=1.
2. Nëse atëherë shkojmë në hapin 4, përndryshe shkojmë në hapin 3.
3. Le të bëjmë transformime me vargje 
, Ku i=r+1,…,m, dhe me kolona 
, Ku j=r+1,…,n, Dhe . Të rritemi r në 1 dhe kthehu në hapin 2.
4. Nëse, në i=r+1,…,m, j=r+1,…,n, atëherë ka mbaruar. Përndryshe do të gjejmë i,j>r, Çfarë . Le të riorganizojmë rreshtat dhe kolonat dhe të kthehemi në hapin 2.
Natyrisht, algoritmi do të ndërtojë një sekuencë matricash ekuivalente, e fundit prej të cilave ka formën e kërkuar.
Teorema 6.3. Matricat A Dhe B me të njëjtën madhësi janë ekuivalente nëse dhe vetëm nëse gradat e tyre janë të barabarta.
Dëshmi. Nëse matricat janë ekuivalente, atëherë radhët e tyre janë të barabarta (Teorema 6.1). Lërini radhët e matricave të jenë të barabarta. Pastaj ka matrica jo njëjës të tilla që 
, Ku r=rgA=rgB(Teorema 6.2). Prandaj, 
, dhe matricat A Dhe B– janë ekuivalente.
Rezultatet e këtij paragrafi ju lejojnë të gjeni forma më e thjeshtë matricat e operatorit linear dhe bazat e hapësirave në të cilat matrica e operatorit linear ka këtë formë më të thjeshtë.
Matricat ekuivalente
Siç u përmend më lart, minorja e një matrice të rendit s është përcaktuesi i një matrice të formuar nga elementët e matricës origjinale të vendosura në kryqëzimin e çdo rreshti s dhe s kolonë të zgjedhur.
Përkufizimi. Në një matricë të rendit mn, një minor i rendit r quhet bazë nëse nuk është e barabartë me zero, dhe të gjitha minoret e rendit r+1 e më lart janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë fare, d.m.th. r përputhet me më të voglin prej m ose n.
Kolonat dhe rreshtat e matricës mbi të cilat qëndron baza minor quhen gjithashtu bazë.
Një matricë mund të ketë disa të vogla bazë të ndryshme që kanë të njëjtin rend.
Përkufizimi. Rendi i bazës minor të një matrice quhet rangu i matricës dhe shënohet me Rg A.
Shumë pronë e rëndësishme transformimet elementare të matricës është se ato nuk e ndryshojnë rangun e matricës.
Përkufizimi. Matricat e marra si rezultat i një transformimi elementar quhen ekuivalente.
Duhet të theksohet se matricat e barabarta dhe matricat ekuivalente janë koncepte krejtësisht të ndryshme.
Teorema. Numri më i madh kolonat lineare të pavarura në një matricë janë të barabarta me numrin e rreshtave linearisht të pavarur.
Sepse transformimet elementare nuk e ndryshojnë rangun e matricës, atëherë procesi i gjetjes së renditjes së matricës mund të thjeshtohet ndjeshëm.
Shembull. Përcaktoni gradën e matricës.
2. Shembull: Përcaktoni rangun e matricës.
Nëse, duke përdorur transformimet elementare, nuk është e mundur të gjendet një matricë ekuivalente me atë origjinale, por me një madhësi më të vogël, atëherë gjetja e renditjes së matricës duhet të fillojë duke llogaritur minorët e rendit më të lartë të mundshëm. Në shembullin e mësipërm, këto janë minore të rendit 3. Nëse të paktën njëri prej tyre nuk është i barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me rendin e kësaj minoreje.
Teorema mbi bazën e vogël.
Teorema. Në një matricë arbitrare A, çdo kolonë (rresht) është një kombinim linear i kolonave (rreshtave) në të cilat ndodhet baza e vogël.
Pra, grada matricë arbitrare A është e barabartë me numrin maksimal të rreshtave (kolonave) linearisht të pavarur në matricë.
Nëse A është një matricë katrore dhe det A = 0, atëherë të paktën një nga kolonat është një kombinim linear i kolonave të mbetura. E njëjta gjë vlen edhe për vargjet. Ky pohim rrjedh nga vetia e varësisë lineare kur përcaktorja është e barabartë me zero.
Zgjidhja e sistemeve arbitrare të ekuacioneve lineare
Siç u tha më lart, metoda e matricës dhe metoda e Cramer-it janë të zbatueshme vetëm për ato sisteme ekuacionet lineare, në të cilën numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve. Më pas, ne konsiderojmë sisteme arbitrare të ekuacioneve lineare.
Përkufizimi. Sistemi i m ekuacioneve me n të panjohura në pamje e përgjithshme shkruhet si më poshtë:
ku aij janë koeficientë dhe bi janë konstante. Zgjidhjet e sistemit janë n numra, të cilët, kur zëvendësohen në sistem, e kthejnë secilin prej ekuacioneve të tij në një identitet.
Përkufizimi. Nëse një sistem ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet bashkim. Nëse një sistem nuk ka një zgjidhje të vetme, atëherë ai quhet jokonsistent.
Përkufizimi. Një sistem quhet i përcaktuar nëse ka vetëm një zgjidhje dhe i pacaktuar nëse ka më shumë se një.
Përkufizimi. Për një sistem ekuacionesh lineare matrica
A = quhet matrica e sistemit, dhe matrica
A*= quhet matrica e zgjeruar e sistemit
Përkufizimi. Nëse b1, b2, …,bm = 0, atëherë sistemi quhet homogjen. sistem homogjen gjithmonë të përbashkët, sepse gjithmonë ka një zgjidhje zero.
Transformimet e sistemit elementar
TE transformimet elementare përfshijnë:
1) Shtimi në të dyja anët e njërit ekuacion të pjesëve përkatëse të tjetrit, të shumëzuara me të njëjtin numër, jo të barabartë me zero.
2) Rirregullimi i ekuacioneve.
3) Heqja nga sistemi ekuacionet që janë identitete për të gjitha x.
Teorema Kronecker-Kapeli (kushti i konsistencës për sistemin).
(Leopold Kronecker (1823-1891) matematikan gjerman)
Teorema: Një sistem është konsistent (ka të paktën një zgjidhje) nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së sistemit është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar.
Natyrisht, sistemi (1) mund të shkruhet në formë.
Kalimi në një bazë të re.
Le të jenë (1) dhe (2) dy baza të së njëjtës hapësirë lineare m-dimensionale X.
Meqenëse (1) është një bazë, vektorët e bazës së dytë mund të zgjerohen prej saj:
Nga koeficientët ne krijojmë një matricë:
(4) – matrica e transformimit të koordinatave kur lëviz nga baza (1) në bazën (2).
Le të jetë një vektor, pastaj (5) dhe (6).
Marrëdhënia (7) do të thotë se
Matrica P është jo e degjeneruar, pasi përndryshe do të ishte varësia lineare ndërmjet kolonave të tij dhe më pas ndërmjet vektorëve të tij.
E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo matricë jo njëjës është një matricë transformimi koordinative e përcaktuar nga formula (8). Sepse P është një matricë jo njëjës, atëherë ekziston anasjellta e saj. Duke shumëzuar të dyja anët e (8) me, marrim: (9).
Le të jenë 3 baza të zgjedhura në hapësirën lineare X: (10), (11), (12).
Nga ku, d.m.th. (13).
Se. me transformim sekuencial të koordinatave, matrica e transformimit që rezulton është e barabartë me produktin e matricave të transformimeve të komponentëve.
Le të jetë një operator linear dhe le të zgjidhet një çift bazash në X: (I) dhe (II), dhe në Y - (III) dhe (IV).
Operatori A në një çift bazash I – III i përgjigjet barazisë: (14). I njëjti operator në çiftin e bazave II – IV i përgjigjet barazisë: (15). Se. për një operator të dhënë A kemi dy matrica dhe. Ne duam të krijojmë një varësi mes tyre.
Le të jetë P matrica e transformimit të koordinatave gjatë kalimit nga I në III.
Le të jetë Q matrica e transformimit të koordinatave gjatë kalimit nga II në IV.
Pastaj (16), (17). Duke zëvendësuar shprehjet për dhe nga (16) dhe (17) në (14), marrim:
Duke krahasuar këtë barazi me (15), marrim:
Relacioni (19) lidh matricën e të njëjtit operator në baza të ndryshme. Në rastin kur hapësirat X dhe Y përkojnë, roli III baza luan I, dhe IV – II, pastaj relacioni (19) merr formën: .
Bibliografia:
3. Kostrikin A.I. Hyrje në algjebër. pjesa II. Bazat e algjebrës: tekst shkollor për universitetet, -M. : Literatura e fizikës dhe matematikës, 2000, 368 f.
Leksioni nr. 16 (semestri II)
Tema: E nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme ekuivalenca e matricës.
Quhen dy matrica, A dhe B, me të njëjtën madhësi ekuivalente, nëse ka dy matrica jo njëjëse R dhe S të tilla që (1).
Shembull: Dy matrica që korrespondojnë me të njëjtin operator për zgjedhje të ndryshme të bazave në hapësirat lineare x X dhe Y janë ekuivalente.
Është e qartë se relacioni i përcaktuar në grupin e të gjitha matricave me të njëjtën madhësi duke përdorur përkufizimin e mësipërm është një lidhje ekuivalente.
Teorema 8: Në mënyrë që dy matrica drejtkëndëshe të së njëjtës madhësi të jenë ekuivalente, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ato të jenë të së njëjtës rang.
Dëshmi:
1. Le të jenë A dhe B dy matrica për të cilat ka kuptim. Renditja e produktit (matrica C) nuk është më e lartë se renditja e secilit prej faktorëve.
Shohim se kolona k e matricës C është një kombinim linear i vektorëve të kolonave të matricës A dhe kjo vlen për të gjitha kolonat e matricës C, d.m.th. për të gjithë. Se. , d.m.th. – nënhapësirë e hapësirës lineare.
Meqenëse dhe duke qenë se dimensioni i nënhapësirës është më i vogël ose i barabartë me dimensionin e hapësirës, atëherë rangu i matricës C është më i vogël ose i barabartë me gradën e matricës A.
Në barazitë (2), ne rregullojmë indeksin i dhe caktojmë k të gjitha vlerat e mundshme nga 1 në s. Pastaj marrim një sistem barazish të ngjashëm me sistemin (3):
Nga barazitë (4) shihet qartë se rreshti i-të matrica C është një kombinim linear i rreshtave të matricës B për të gjitha i, dhe pastaj trupi linear i shtrirë nga rreshtat e matricës C përmbahet në trupin linear të shtrirë nga rreshtat e matricës B, dhe më pas dimensioni i kësaj guaskë lineareështë më e vogël ose e barabartë me dimensionin e trupit linear të vektorëve të rreshtit të matricës B, që do të thotë se rangu i matricës C është më i vogël ose i barabartë me gradën e matricës B.
2. Rangu i prodhimit të matricës A në të majtë dhe në të djathtë nga një matricë katrore jo njëjës Q është e barabartë me rangimin e matricës A.(). Ato. Rangu i matricës C është i barabartë me gradën e matricës A.
Dëshmi: Sipas asaj që u vërtetua në rastin (1). Meqenëse matrica Q është jo njëjës, atëherë për të ekziston: dhe në përputhje me atë që u vërtetua në pohimin e mëparshëm.
3. Le të vërtetojmë se nëse matricat janë ekuivalente, atëherë ato kanë të njëjtat radhë. Sipas përkufizimit, A dhe B janë ekuivalente nëse ka R dhe S të tillë që. Meqenëse shumëzimi i A në të majtë me R dhe në të djathtë me S prodhon matrica të së njëjtës rang, siç vërtetohet në pikën (2), rangu i A është i barabartë me gradën e B.
4. Le të jenë matricat A dhe B të të njëjtit rang. Le të vërtetojmë se ato janë ekuivalente. Le të shqyrtojmë.
Le të jenë X dhe Y dy hapësira lineare në të cilat zgjidhen bazat (baza X) dhe (baza Y). Siç dihet, çdo matricë e formës përcakton një operator të caktuar linear që vepron nga X në Y.
Meqenëse r është rangu i matricës A, atëherë midis vektorëve saktësisht r janë linearisht të pavarur. Pa humbje të përgjithshme, mund të supozojmë se vektorët e parë r janë linearisht të pavarur. Atëherë gjithçka tjetër mund të shprehet në mënyrë lineare përmes tyre, dhe ne mund të shkruajmë:
Le të përcaktojmë një bazë të re në hapësirën X si më poshtë: . (7)
Baza e re në hapësirën Y është si më poshtë:
Vektorët, sipas kushteve, janë linearisht të pavarur. Le t'i plotësojmë me disa vektorë në bazën Y: (8). Pra (7) dhe (8) janë dy baza të reja X dhe Y. Le të gjejmë matricën e operatorit A në këto baza:
Pra, në çiftin e ri të bazave, matrica e operatorit A është matrica J. Matrica A ishte fillimisht një matricë arbitrare drejtkëndore e formës, rang r. Meqenëse matricat e të njëjtit operator në baza të ndryshme janë ekuivalente, kjo tregon se çdo matricë drejtkëndore e tipit dhe e rendit r është ekuivalente me J. Meqenëse kemi të bëjmë me një relacion ekuivalence, kjo tregon se çdo dy matrica A dhe B të tipit dhe rang r , duke qenë ekuivalente me matricën J janë ekuivalente me njëra-tjetrën.
Bibliografia:
1. Voevodin V.V. Algjebër lineare. Shën Petersburg: Lan, 2008, 416 f.
2. Kursi Beklemishev D.V gjeometria analitike Dhe algjebër lineare. M.: Fizmatlit, 2006, 304 f.
3. Kostrikin A.I. Hyrje në algjebër. pjesa II. Bazat e algjebrës: tekst shkollor për universitetet, -M. : Literatura e fizikës dhe matematikës, 2000, 368 f.
Leksioni nr. 17 (semestri II)
Tema: Eigenvlerat dhe eigjenvektorë. Nënhapësirat e veta. Shembuj.
