Shkurtimisht: një shumë e nënhapësirave quhet shumë e drejtpërdrejtë nëse zbërthimi i çdo vektori të shumës në nënhapësira është unik.

Shuma e drejtpërdrejtë e nënhapësirave nuk është një operacion i ri në nënhapësira. Kjo është thjesht një veçori e shumës së futur më parë të nënhapësirave.

Nëse shuma e nënhapësirave është e drejtpërdrejtë, atëherë kryqëzimi i këtyre nënhapësirave përbëhet nga një - zero - vektor.

Kriteri për shumën e drejtpërdrejtë të nënhapësirave

Për nënhapësirat me dimensione të fundme hapësirë ​​lineare deklaratat e mëposhtme janë ekuivalente:

1) Shuma e nënhapësirave është e drejtpërdrejtë

2) Bashkësia e bazave nënhapësirë ​​është linearisht e pavarur

3) Grupi i bazave të nënhapësirave formon bazën e shumës së nënhapësirave https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Ekziston një vektor nga shuma për të cilin zgjerimi në nënhapësira është unik.

6) Sistemi arbitrar vektorë jozero, të marrë nga një nga çdo nënhapësirë ​​lineare, të pavarur në mënyrë lineare

7) Kryqëzimi i nënhapësirave lineare është vetëm një vektor zero: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> quhet një shtesë Nënhapësirë ​​në L, nëse .

Në mënyrë figurative, nënhapësira shtesë, si të thuash, "plotëson" nënhapësirën për të plotësuar hapësirën.

Teorema mbi ekzistencën e një nënhapësire shtesë

Për çdo nënhapësirë ​​të hapësirës lineare https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> është një vektor i hapësirës V. Kompleti H , i përbërë nga të gjithë vektorët e formës , ku https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Nënhapësirë ​​udhëzuese

Nënhapësira L në përkufizimin e një manifoldi linear quhet nënhapësirë ​​drejtuese e manifoldit linear H.

Hapësira e faktorit

Le të jetë V një hapësirë ​​lineare mbi fushën P, L nënhapësirën e saj. Hapësira herësore e një hapësire lineare V mbi një nënhapësirë ​​L (shënohet V/L) është një bashkësi e përbërë nga klasa ekuivalente H. Këto klasa u korrespondojnë të gjitha manifoldeve lineare të marra nga nënhapësira L: .

Rregulli përcakton ligji i jashtëm përbërja në V/L (shumëzimi i elementit H nga V/L me numrin (ose elementin e fushës kryesore P) α, rregulli - ligji i brendshëm përbërja (shtimi i dy elementeve - H1 dhe H2 - nga V/L).

2.4. Nënhapësira e tretësirave të një SLAE homogjene

Nënhapësira të përcaktuara nga një sistem homogjen ekuacionesh algjebrike lineare

Ky është një grup vendimesh sistem homogjen ekuacionet lineare, ku A është matrica e koeficientëve të ekuacioneve lineare të sistemit.

Leksioni nr. 5. Seksioni 3. Nënhapësirat e hapësirës lineare euklidiane (unitare)

3.1. Plotësimi ortogonal i nënhapësirës

Vektor ortogonal ndaj nënhapësirës

Le të L - nënhapësirë ​​lineare Hapësirë ​​euklidiane (unitare). Një vektor x thuhet se është ortogonal me një nënhapësirë ​​L nëse është ortogonal me çdo vektor nga kjo nënhapësirë. Emërtimi: .

Plotësimi ortogonal i nënhapësirës

Le të jetë L një nënhapësirë ​​lineare e hapësirës Euklidiane. Tërësia të gjithë vektorët https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" width="20" height="20 src=">.

Teorema mbi komplementin ortogonal si nënhapësirë

Komplementi ortogonal i një nënhapësire është një nënhapësirë ​​lineare e së njëjtës hapësirë.

3.2. Projeksion drejtshkrimor, komponent drejtshkrimor

Projeksioni ortogonal i një vektori në një nënhapësirë

Le të jetë L një nënhapësirë ​​lineare e hapësirës Euklidiane (unitare) https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> në formën e një shumë: , ku https ://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Vektor g thirrur projeksion ortogonal vektor f në nënhapësirën L, vektor h quhet komponenti ortogonal.

Komponenti vektorial ortogonal

Komponenti ortogonal i vektorit f në lidhje me nënhapësirën L të hapësirës Euklidiane (unitare) https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src= ">, ku .gif" width="43" height="27 src="> quhet vektor h në zgjerim, ku https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

I zhdrejtë në nënhapësirë

Vektor f në zbërthim https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

Teorema mbi shumën e një nënhapësire dhe komplementit të saj ortogonal

Nëse është një nënhapësirë ​​lineare e hapësirës, ​​atëherë shuma e drejtpërdrejtë e kësaj nënhapësire lineare dhe komplementit të saj ortogonal formon të gjithë hapësirën: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18" > është një nënhapësirë ​​lineare e hapësirës, ​​atëherë për çdo vektor ekziston, dhe për më tepër, një paraqitje unike f si shumë: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Largësia nga vektori në nënhapësirë

Largësia nga vektori në nënhapësirë

Distanca nga një vektor në një nënhapësirë ​​është gjatësia e pingulit të rënë nga ky vektor në nënhapësirë ​​(d.m.th., gjatësia e përbërësit ortogonal të vektorit në lidhje me këtë nënhapësirë).

Leksioni nr 6. Seksioni 4. Format bilineare dhe kuadratike.

4.1. Forma lineare

4.2. Forma bilineare

4.1. Forma lineare

Funksioni linear (formë lineare)

Le të jetë një hapësirë ​​lineare mbi fushë. Funksioni f, hartëzimi i një vektori nga hapësira në një numër (elementi i fushës https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21">, quhet lineare , Nëse:

1) për të gjithë vektorët https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> për çdo numër a(elementi i fushës) dhe çdo vektor

Regjistroni ndonjë formë lineare në disa baza (arbitrare). e duket kështu:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - numrat (elementet fushat P) në varësi të bazës e dhe, natyrisht, nga forma f.

Vini re se kur zgjidhni një bazë të ndryshme e a 1", a 2", …, a n".

Matrica Lineare

Matrica A e formës lineare f në bazë quhet një matricë rreshtash e përbërë nga numra - rezultatet e veprimit të një forme lineare në vektorët e kësaj baze:

A = ( a 1, a 2, …, a n) = .

Le të jenë X = koordinatat e vektorit x në bazë e, A – matricë e formës lineare f mbi të njëjtën bazë. Pastaj vlera f(x) është e barabartë me produktin e matricës A dhe kolonës X:

f(x) = A·X.

Teorema mbi ndryshimin e një matrice të formës lineare kur lëviz nga një bazë në tjetrën

Kur lëvizni nga baza në bazë https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) matrica e formës lineare ndryshon si më poshtë:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - hapësirë ​​lineare mbi fushë. (numerik) Funksioni a dy argumente vektoriale https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">quhet formë bilineare nëse është lineare në secilin argument:

2)

4)

- çdo vektor të hapësirës L, - numër arbitrar(elementi i fushës P).

Regjistrimi i çdo forme bilineare https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

ku ( x 1, x 2, …, x n) dhe ( y 1, y 2, …, y n) – koordinatat në bazë e vektorët x dhe y përkatësisht, a 11, a 12, …, a 1n,…, a nn – një grup prej n2 numrash (elemente të fushës P).

Vini re se numrat a 11, a 12, …, a 1n,…, a nn varen nga baza e dhe, natyrisht, nga vetë forma a. Kur zgjidhni një bazë të ndryshme e "Grupi përkatës i numrave, në përgjithësi, do të jetë i ndryshëm: a 11", a 12", …, a nn".

Matrica Bilineare

Le të jepet formë bilineare dhe disa baza (arbitrare). e .

Le të shkruajmë veprimin e formës bilineare në këtë bazë:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">në bazë e Matrica e mëposhtme quhet:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">për një çift (të renditur) të vektorëve bazë ( e i, e j). Kështu:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> është një matricë e një forme unike bilineare në një bazë hapësire të caktuar (fikse).

Teorema mbi ndryshimin e një matrice të një forme bilineare kur kalon nga një bazë në tjetrën

Kur lëviz nga baza në bazë (Matrica e tranzicionit https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

Rangu i formës bilineare

Rangu i një forme bilineare është radha e matricës së saj në baza arbitrare.

(jo) Forma bilineare e degjeneruar

Një formë bilineare thuhet se është e degjeneruar nëse , dhe jo i degjeneruar nëse https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> quhet simetrik nëse për . Një formë bilineare quhet skew-symmetric (ose skew-symmetric) nëse për https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src=">.

Koment:

Matrica e një forme bilineare anore-simetrike (në çdo bazë) është anore-simetrike: , për të gjitha i, j. Në veçanti, për të gjithë i barazi DIV_ADBLOCK81">

4.3. Forma kuadratike

Format bilineare dhe kuadratike në hapësirën arbitrare lineare

4.3. Forma kuadratike

Forma kuadratike

Le të jepet një formë bilineare simetrike https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Le të shqyrtojmë veprimin e kësaj forme bilineare vetëm në çiftet e vektorëve që përputhen, d.m.th. a(x, x). Ne marrim një funksion që cakton çdo vektor x numri i hapësirës lineare (elementi i fushës kryesore P) f(x) = a(x, x). Funksioni f(x) = quhet forma kuadratike që korrespondon me formën e dhënë simetrike bilineare https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> quhet forma bilineare simetrike përkatëse.

Teorema e formës bilineare polare

Forma bilineare polare për çdo formë kuadratike të përcaktuara në mënyrë të qartë.

Matrica kuadratike

Një matricë e një forme kuadratike është një matricë e formës së saj polare bilineare.

Rangu i formës kuadratike

Rangu i një forme kuadratike është radha e matricës së saj në baza arbitrare.

(jo) formë kuadratike e degjeneruar

Një formë kuadratike quhet e degjeneruar nëse https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src=">.

Vetitë e një matrice të formës kuadratike

1) Matrica e formës kuadratike është simetrike

2) Çdo matricë simetrike katrore është një matricë e të vetmes formë kuadratike në një bazë të caktuar

3) Kur lëviz nga baza në bazë (Matrica e tranzicionit https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) Le të jetë një bazë fikse arbitrare. Lëreni formën kuadratike f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src="> dhe një vektor arbitrar x ka koordinata në të njëjtën bazë ( x 1, x 2, …, x n). Pastaj rezultati i veprimit të formës kuadratike në vektor x mund të shkruhet si

f(x) = ,

ose në një formë më kompakte:

f(x) =

ku X = - kolona e koordinatave vektoriale x në bazë e

4.4. Forma kanonike e formës kuadratike

Forma kanonike e formës kuadratike

Forma kanonike e një forme kuadratike është shënimi i saj që përmban vetëm katrorët e ndryshoreve:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (disa prej të cilëve mund të jenë zero) quhen koeficientë kanonik të formës kuadratike.

Natyrisht, numri i koeficientëve jo zero në formë kanonike e një forme kuadratike përkon me gradën e saj.

Baza kanonike e formës kuadratike

f(x) = a(x, x),

nëse regjistrimi i kësaj forme në këtë bazë është kanonik, domethënë përmban vetëm katrorët e variablave:

Gjuha e matricës" tingëllon si kjo:

Baza quhet baza kanonike e trajtës kuadratike f(x) = a(x, x),

nëse matrica Ae e kësaj forme në këtë bazë ka një formë diagonale:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. Hiq koeficientin (≠ 0) kur kjo ndryshore është në katror:

DIV_ADBLOCK83">

Komentoni.

Nëse e vendosni shumën e shkruar në katror dhe e shumëzoni me koeficientin jashtë kllapave, rezultati do të jetë të gjithë termat që përmbajnë variablin x 1, përfshirë në shënimin e formës kuadratike. Në të njëjtën kohë, do të shfaqen terma (dhe mjaft) që nuk janë përfshirë në regjistrimin origjinal të formës kuadratike. Por të gjithë termat "të rinj" nuk përmbajnë një ndryshore x 1.

Kështu, shkrimi i formës kuadratike merr formën e mëposhtme:

kllapa". Pasi kemi bërë një ndryshim të ndryshoreve, në të cilat shënojmë "kllapa e parë" me x 1", e dyta - përmes x 2", etj., marrim shënimin e mëposhtëm të formës kuadratike, termat në të cilat përmbajnë vetëm katrorët e ndryshoreve:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

Si rezultat i këtij zëvendësimi, termi aijxixj, që përmban produktin e ndryshoreve xi Dhe xj, është shndërruar në dy terma që përmbajnë tashmë katrorët e ndryshoreve xi"Dhe xj":

DIV_ADBLOCK84">

Teorema mbi ekzistencën e një baze kanonike ortonormale (reduktimi në boshtet kryesore).

Për çdo formë kuadratike në hapësirën Euklidiane ekziston një bazë ortonormale në të cilën ajo ka një formë kanonike.

formula Jacobi

Nëse në një matricë të formës kuadratike f(x) renditet e para https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> , pastaj ka një bazë e, në të cilën matrica e formës kuadratike ka një formë diagonale

Për më tepër, koeficientët kanonikë λ i forma kuadratike shoqërohen me minore këndore Δ i marrëdhëniet e mëposhtme: ,

të cilat quhen formula Jacobi.

Format bilineare dhe kuadratike

në hapësirën reale (reale) lineare.

4.5. Indekset e inercisë kuadratike

Indekset e inercisë kuadratike

Lëreni formën kuadratike f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. Numri i koeficientëve pozitivë e barabartë me numrin ndryshimet e shenjave në këtë sekuencë.

4.6. Forma kuadratike të përcaktuara dhe të alternuara

Forma kuadratike e caktuar

Një formë kuadratike thuhet se është pozitive (negative) e përcaktuar nëse merr vetëm vlera pozitive (negative) në të gjithë vektorët jozero: f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. Forma të tilla quhen shenjë e përcaktuar.

Forma kuadratike alternative

Një formë kuadratike për të cilën ka vektorë https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> të tillë që f(x) = > 0 dhe f(y) = < 0 называется знакопеременной.

Kriteri për shenjën e një forme kuadratike

Një formë kuadratike është pozitivisht (negativisht) e përcaktuar nëse dhe vetëm nëse indeksi i saj pozitiv (përkatësisht negativ) i inercisë përkon me dimensionin e hapësirës.

Kjo do të thotë, në çdo formë kanonike të një forme kuadratike të caktuar pozitive (negative) në hapësirën n-dimensionale

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Një formë kuadratike është e përcaktuar pozitive nëse dhe vetëm nëse të gjitha minoret këndore të saj janë pozitive.

Një formë kuadratike është e përcaktuar negative nëse dhe vetëm nëse shenjat e saj të mitur në qoshe alternative, dhe kodet e shkurtra">

Pr a b = |b|cos(a,b) ose

Ku a b është prodhimi skalar i vektorëve, |a| - moduli i vektorit a.

Udhëzimet. Për të gjetur projeksionin e vektorit Пp a b in modaliteti në internetështë e nevojshme të tregohen koordinatat e vektorëve a dhe b. Në këtë rast, vektori mund të specifikohet në plan (dy koordinata) dhe në hapësirë ​​(tre koordinata). Zgjidhja që rezulton ruhet në një skedar Word. Nëse vektorët specifikohen përmes koordinatave të pikave, atëherë duhet të përdorni këtë kalkulator.

Klasifikimi i projeksioneve vektoriale

Llojet e projeksioneve sipas përkufizimit projeksion vektorial

Llojet e projeksioneve sipas sistemit të koordinatave

Vetitë e projeksionit të vektorit

1. Projeksioni gjeometrik i një vektori është një vektor (ka një drejtim).
2. Projeksioni algjebrik i një vektori është një numër.

Teoremat e projeksionit vektorial

Pr a b = |b|cos(a,b)

Llojet e projeksioneve vektoriale

1. projeksioni në boshtin OX.
2. projeksioni në boshtin OY.
3. projeksioni në një vektor.

Projeksioni në boshtin OX	Projeksioni në boshtin OY	Projeksion në vektor
Nëse drejtimi i vektorit A’B’ përkon me drejtimin e boshtit OX, atëherë projeksioni i vektorit A’B’ ka një shenjë pozitive.	Nëse drejtimi i vektorit A’B’ përkon me drejtimin e boshtit OY, atëherë projeksioni i vektorit A’B’ ka një shenjë pozitive.	Nëse drejtimi i vektorit A'B' përkon me drejtimin e vektorit NM, atëherë projeksioni i vektorit A'B' ka një shenjë pozitive.
Nëse drejtimi i vektorit është i kundërt me drejtimin e boshtit OX, atëherë projeksioni i vektorit A'B' ka shenjë negative.	Nëse drejtimi i vektorit A’B’ është i kundërt me drejtimin e boshtit OY, atëherë projeksioni i vektorit A’B’ ka një shenjë negative.	Nëse drejtimi i vektorit A'B' është i kundërt me drejtimin e vektorit NM, atëherë projeksioni i vektorit A'B' ka një shenjë negative.
Nëse vektori AB është paralel me boshtin OX, atëherë projeksioni i vektorit A'B' është i barabartë me vlerën absolute të vektorit AB.	Nëse vektori AB është paralel me boshtin OY, atëherë projeksioni i vektorit A'B' është i barabartë me vlerën absolute të vektorit AB.	Nëse vektori AB është paralel me vektorin NM, atëherë projeksioni i vektorit A'B' është i barabartë me vlerën absolute të vektorit AB.
Nëse vektori AB është pingul me boshtin OX, atëherë projeksioni A'B' është i barabartë me zero (vektor zero).	Nëse vektori AB është pingul me boshtin OY, atëherë projeksioni A'B' është i barabartë me zero (vektor zero).	Nëse vektori AB është pingul me vektorin NM, atëherë projeksioni A'B' është i barabartë me zero (vektor zero).

1. Pyetje: A mundet projeksioni i një vektori të ketë shenjë negative? Përgjigje: Po, mund të ketë projeksione vektoriale vlerë negative. Në këtë rast, vektori ka drejtim i kundërt(shiko si drejtohet boshti OX dhe vektori AB)
2. Pyetje: A mund të përputhet projeksioni i një vektori me vlerën absolute të vektorit? Përgjigje: Po, mundet. Në këtë rast, vektorët janë paralelë (ose shtrihen në të njëjtën linjë).
3. Pyetje: A mund të jetë projeksioni i një vektori të barabartë me zero (vektor null). Përgjigje: Po, mundet. Në këtë rast, vektori është pingul me boshtin (vektorin) përkatës.

Shembulli 1. Vektori (Fig. 1) formon një kënd prej 60° me boshtin OX (ai specifikohet nga vektori a). Nëse OE është një njësi e shkallës, atëherë |b|=4, pra .

Në të vërtetë, gjatësia e vektorit ( projeksioni gjeometrik b) është e barabartë me 2, dhe drejtimi përkon me drejtimin e boshtit OX.

Shembulli 2. Vektori (Fig. 2) formon një kënd (a,b) = 120 o me boshtin OX (me vektorin a). Gjatësia |b| vektori b është i barabartë me 4, pra pr a b=4·cos120 o = -2.

Në të vërtetë, gjatësia e vektorit është 2, dhe drejtimi është i kundërt me drejtimin e boshtit.