Si të vendosni kur diskriminuesi është 0. Jini gjithmonë në humor

Ekuacionet kuadratike shfaqen shpesh gjatë zgjidhjes detyra të ndryshme fizikës dhe matematikës. Në këtë artikull do të shikojmë se si t'i zgjidhim këto barazi në mënyrë universale“përmes diskriminuesit”. Në artikull jepen edhe shembuj të përdorimit të njohurive të marra.

Për cilat ekuacione do të flasim?

Figura më poshtë tregon një formulë në të cilën x është një ndryshore e panjohur dhe karaktere latine a, b, c paraqesin disa numra të njohur.

Secili prej këtyre simboleve quhet koeficient. Siç mund ta shihni, numri "a" shfaqet para ndryshores x në katror. Kjo shkallë maksimale shprehja e dhënë, prandaj quhet ekuacion kuadratik. Emri tjetër i tij përdoret shpesh: ekuacion i rendit të dytë. Vlera e një vetë është koeficienti katror(duke qëndruar me variablin në katror), b është një koeficient linear (është i vendosur pranë ndryshores së ngritur në fuqinë e parë), në fund, numri c është anëtar i lirë.

Vini re se lloji i ekuacionit të paraqitur në figurën e mësipërme është një shprehje e përgjithshme klasike kuadratike. Përveç tij, ekzistojnë ekuacione të tjera të rendit të dytë në të cilat koeficientët b dhe c mund të jenë zero.

Kur vendoset detyra për të zgjidhur barazinë në fjalë, kjo do të thotë që duhet të gjenden vlera të tilla të ndryshores x që do ta kënaqin atë. Këtu, gjëja e parë që duhet të mbani mend është gjëja e mëposhtme: meqenëse shkalla maksimale e X është 2, atëherë ky lloj shprehjet nuk mund të kenë më shumë se 2 zgjidhje. Kjo do të thotë që nëse, gjatë zgjidhjes së një ekuacioni, janë gjetur 2 vlera të x që e plotësojnë atë, atëherë mund të jeni i sigurt se nuk ka numër të tretë, duke e zëvendësuar atë me x, barazia do të ishte gjithashtu e vërtetë. Zgjidhjet e një ekuacioni në matematikë quhen rrënjët e tij.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të dytë

Zgjidhja e ekuacioneve të këtij lloji kërkon njohuri të disa teorive rreth tyre. NË kursi shkollor algjebra konsideron 4 metoda të ndryshme Zgjidhjet. Le t'i rendisim ato:

• duke përdorur faktorizimin;
• duke përdorur formulën për një katror të përsosur;
• duke zbatuar grafikun e funksionit kuadratik përkatës;
• duke përdorur ekuacionin diskriminues.

Avantazhi i metodës së parë është thjeshtësia e saj, megjithatë, ajo nuk mund të përdoret për të gjitha ekuacionet. Metoda e dytë është universale, por disi e rëndë. Metoda e tretë dallohet nga qartësia e saj, por nuk është gjithmonë e përshtatshme dhe e zbatueshme. Dhe së fundi, përdorimi i ekuacionit diskriminues është një mënyrë universale dhe mjaft e thjeshtë për të gjetur rrënjët e absolutisht çdo ekuacioni të rendit të dytë. Prandaj, në këtë artikull ne do ta shqyrtojmë vetëm atë.

Formula për marrjen e rrënjëve të ekuacionit

Le të kthehemi tek pamjen e përgjithshme ekuacioni kuadratik. Le ta shkruajmë: a*x²+ b*x + c =0. Përpara se të përdorni metodën e zgjidhjes së tij "përmes një diskriminuesi", duhet të sillni gjithmonë barazinë në formën e tij të shkruar. Kjo do të thotë, duhet të përbëhet nga tre terma (ose më pak nëse b ose c është 0).

Për shembull, nëse ekziston një shprehje: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², atëherë së pari duhet të zhvendosni të gjithë termat e saj në njërën anë të barazisë dhe të shtoni termat që përmbajnë ndryshoren x në të njëjtat fuqi.

NË në këtë rast ky veprim do të çojë në shprehjen e mëposhtme: -6*x²-4*x+8=0, që është ekuivalente me ekuacionin 6*x²+4*x-8=0 (këtu kemi shumëzuar anën e majtë dhe të djathtë të barazi me -1).

Në shembullin e mësipërm, a = 6, b=4, c=-8. Vini re se të gjithë termat e barazisë në shqyrtim mblidhen gjithmonë së bashku, kështu që nëse shfaqet shenja "-", kjo do të thotë se koeficienti përkatës është negativ, si numri c në këtë rast.

Duke shqyrtuar këtë pikë, le të kalojmë tani në vetë formulën, e cila bën të mundur marrjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Duket si ajo e treguar në foton më poshtë.

Siç shihet nga kjo shprehje, ju lejon të merrni dy rrënjë (i kushtoni vëmendje shenjës "±"). Për ta bërë këtë, mjafton të zëvendësoni koeficientët b, c dhe a në të.

Koncepti i një diskriminuesi

Në paragrafin e mëparshëm, u dha një formulë që ju lejon të zgjidhni shpejt çdo ekuacion të rendit të dytë. Në të, shprehja radikale quhet diskriminuese, domethënë D = b²-4*a*c.

Pse është e theksuar kjo pjesë e formulës, dhe madje ka emri i duhur? Fakti është se diskriminuesi lidh të tre koeficientët e ekuacionit në një shprehje të vetme. Fakti i fundit do të thotë që mbart plotësisht informacione për rrënjët, të cilat mund të shprehen në listën e mëposhtme:

1. D>0: barazia ka 2 zgjidhje të ndryshme, që të dy janë numra realë.
2. D=0: Ekuacioni ka vetëm një rrënjë, dhe ai është një numër real.

Detyrë për përcaktimin e diskriminimit

Le të japim një shembull të thjeshtë se si të gjesh një diskriminues. Le të jepet barazia e mëposhtme: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Le ta sjellim në pamje standarde, marrim: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, nga ku vijmë te barazia: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Këtu a=-2, b=2, c=-11.

Tani mund të përdorni formulën e mësipërme për diskriminuesin: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Numri që rezulton është përgjigja e detyrës. Meqenëse në shembullin diskriminues më pak se zero, atëherë mund të themi se ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale. Zgjidhja e tij do të jetë vetëm numra të tipit kompleks.

Një shembull i pabarazisë përmes një diskriminuesi

Le të zgjidhim probleme të një lloji paksa të ndryshëm: duke pasur parasysh barazinë -3*x²-6*x+c = 0. Është e nevojshme të gjejmë vlerat e c për të cilat D>0.

Në këtë rast njihen vetëm 2 nga 3 koeficientët, pra nuk mund të llogaritet saktësisht vlera e diskriminuesit, por dihet se është pozitiv. Ne përdorim faktin e fundit kur kompozojmë pabarazinë: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Zgjidhja e pabarazisë që rezulton çon në rezultatin: c>-3.

Le të kontrollojmë numrin që rezulton. Për ta bërë këtë, ne llogarisim D për 2 raste: c=-2 dhe c=-4. Numri -2 plotëson rezultatin e marrë (-2>-3), diskriminuesi përkatës do të ketë vlerën: D = 12>0. Nga ana tjetër, numri -4 nuk plotëson pabarazinë (-4. Kështu, çdo numër c që është më i madh se -3 do të plotësojë kushtin.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Le të paraqesim një problem që përfshin jo vetëm gjetjen e diskriminuesit, por edhe zgjidhjen e ekuacionit. Është e nevojshme të gjenden rrënjët për barazinë -2*x²+7-9*x = 0.

Në këtë shembull, diskriminuesi është vlerën tjetër: D = 81-4*(-2)*7= 137. Atëherë rrënjët e ekuacionit do të përcaktohen si më poshtë: x = (9±√137)/(-4). Kjo vlerat e sakta rrënjët, nëse llogaritni rrënjën afërsisht, atëherë merrni numrat: x = -5,176 dhe x = 0,676.

Problemi gjeometrik

Ne do të zgjidhim një problem që do të kërkojë jo vetëm aftësinë për të llogaritur diskriminuesin, por edhe zbatimin e aftësive të menduarit abstrakt dhe njohuri për mënyrën e shkrimit të ekuacioneve kuadratike.

Bob kishte një jorgan 5 x 4 metra. Djali donte t'i qepte një rrip të vazhdueshëm pëlhure të bukur rreth të gjithë perimetrit. Sa i trashë do të jetë ky rrip nëse e dimë se Bob ka 10 m² pëlhurë.

Lëreni shiritin të ketë një trashësi prej x m, atëherë sipërfaqja e pëlhurës përgjatë anës së gjatë të batanijes do të jetë (5+2*x)*x, dhe duke qenë se ka 2 anë të gjata, kemi: 2*x *(5+2*x). Në anën e shkurtër, sipërfaqja e pëlhurës së qepur do të jetë 4*x, pasi ka 2 nga këto anë, marrim vlerën 8*x. Vini re se vlera 2*x iu shtua anës së gjatë sepse gjatësia e batanijes u rrit me atë numër. Sipërfaqja e përgjithshme e pëlhurës së qepur në batanije është 10 m². Prandaj, marrim barazinë: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Për këtë shembull, diskriminuesi është i barabartë me: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Rrënja e tij është 22. Duke përdorur formulën, gjejmë rrënjët e kërkuara: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Natyrisht, nga dy rrënjët, vetëm numri 0.5 është i përshtatshëm sipas kushteve të problemit.

Kështu, brezi i pëlhurës që Bob qep në batanijen e tij do të jetë 50 cm i gjerë.

Për shembull, për trinomin \(3x^2+2x-7\), diskriminuesi do të jetë i barabartë me \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dhe për trinomin \(x^2-5x+11\), do të jetë i barabartë me \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminuesi shënohet me \(D\) dhe përdoret shpesh në zgjidhje. Gjithashtu, nga vlera e diskriminuesit, mund të kuptoni se si duket përafërsisht grafiku (shih më poshtë).

Diskriminues dhe rrënjët e ekuacionit

Vlera diskriminuese tregon numrin e ekuacioneve kuadratike:
- nëse \(D\) është pozitive, ekuacioni do të ketë dy rrënjë;
- nëse \(D\) është e barabartë me zero - ka vetëm një rrënjë;
- nëse \(D\) është negative, nuk ka rrënjë.

Kjo nuk ka nevojë të mësohet, nuk është e vështirë të arrish në një përfundim të tillë, thjesht duke ditur se nga diskriminuesi (d.m.th., \(\sqrt(D)\) përfshihet në formulën për llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dhe \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Le të shohim më në detaje secilin rast.

Nëse diskriminuesi është pozitiv

Në këtë rast, rrënja e saj është disa numër pozitiv, që do të thotë \(x_(1)\) dhe \(x_(2)\) do të kenë kuptime të ndryshme, sepse në formulën e parë shtohet \(\sqrt(D)\), dhe në të dytën zbritet. Dhe ne kemi dy rrënjë të ndryshme.

Shembull : Gjeni rrënjët e ekuacionit \(x^2+2x-3=0\)
Zgjidhje :

Përgjigju : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Nëse diskriminuesi është zero

Dhe sa rrënjë do të ketë nëse diskriminuesi e barabartë me zero? Le të arsyetojmë.

Formulat rrënjësore duken kështu: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dhe \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dhe nëse diskriminuesi është zero, atëherë rrënja e tij është gjithashtu zero. Pastaj rezulton:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Kjo do të thotë, vlerat e rrënjëve të ekuacionit do të jenë të njëjta, sepse shtimi ose zbritja e zeros nuk ndryshon asgjë.

Shembull : Gjeni rrënjët e ekuacionit \(x^2-4x+4=0\)
Zgjidhje :

Përgjigju : \(x=2\)

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën e 8-të, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është absolutisht e nevojshme.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrar, dhe një ≠ 0.

Para se të studioni metoda specifike të zgjidhjes, vini re se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. nuk kanë rrënjë;
2. Të ketë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Kjo është dallim i rëndësishëm ekuacionet kuadratike nga ato lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac.

Ju duhet ta dini këtë formulë përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç besojnë shumë njerëz për disa arsye. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Le të shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe të gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në mënyrë të ngjashme:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit i mbetur është:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është zero - rrënja do të jetë një.

Ju lutemi vini re se koeficientët janë shkruar për secilin ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme, por nuk do të ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse e kuptoni, pas një kohe nuk do të keni nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë në vetë zgjidhjen. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, mund të përdorni ndonjë nga këto formula - do të merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillim(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe mund të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur zëvendësohen koeficientët negativë në formulë. Këtu përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, shkruani çdo hap - dhe shumë shpejt do të shpëtoni nga gabimet.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që një ekuacion kuadratik është paksa i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Është e lehtë të vërehet se këtyre ekuacioneve u mungon një nga termat. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato as nuk kërkojnë llogaritjen e diskriminuesit. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b = c = 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën ax 2 = 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një rrënjë të vetme: x = 0.

Le të shqyrtojmë rastet e mbetura. Le të b = 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0. Le ta transformojmë pak:

Që nga aritmetika Rrenja katrore ekziston vetëm nga numër jo negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm për (−c /a) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse në një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 plotësohet pabarazia (−c /a) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c /a)< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, diskriminuesi nuk kërkohej - në ekuacionet kuadratike jo të plota nuk ka llogaritjet komplekse. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c /a) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të shohim ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizohet polinomi:

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, le të shohim disa nga këto ekuacione:

Detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nuk ka rrënjë, sepse një katror nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Diskriminuesi është një term me shumë vlera. Në këtë artikull do të flasim për diskriminuesin e një polinomi, i cili ju lejon të përcaktoni nëse një polinom i caktuar ka zgjidhje të vlefshme. Formula për polinomin kuadratik gjendet në lëndën shkollore për algjebër dhe analizë. Si të gjeni një diskriminues? Çfarë nevojitet për të zgjidhur ekuacionin?

Një polinom kuadratik ose ekuacion i shkallës së dytë quhet i * w ^ 2 + j * w + k është e barabartë me 0, ku "i" dhe "j" janë koeficientët e parë dhe të dytë, përkatësisht, "k" është një konstante, e quajtur ndonjëherë "termi shpërfillës" dhe "w" është një variabël. Rrënjët e tij do të jenë të gjitha vlerat e ndryshores në të cilën ai kthehet në identitet. Një barazi e tillë mund të rishkruhet si prodhim i i, (w - w1) dhe (w - w2) i barabartë me 0. Në këtë rast, është e qartë se nëse koeficienti "i" nuk bëhet zero, atëherë funksioni në ana e majtë do të bëhet zero vetëm nëse x merr vlerën w1 ose w2. Këto vlera janë rezultat i vendosjes së polinomit të barabartë me zero.

Për të gjetur vlerën e një ndryshoreje në të cilën polinom kuadratik bëhet zero, përdoret një konstruksion ndihmës, i ndërtuar mbi koeficientët e tij dhe quhet diskriminues. Ky dizajn llogaritet sipas formulës D është e barabartë me j * j - 4 * i * k. Pse përdoret?

1. Ajo thotë se ka ndonjë rezultate të vlefshme.
2. Ajo ndihmon në llogaritjen e tyre.

Si e tregon kjo vlerë praninë e rrënjëve reale:

• Nëse është pozitive, atëherë mund të gjejmë dy rrënjë në rajon numra realë.
• Nëse diskriminuesi është zero, atëherë të dyja zgjidhjet janë të njëjta. Mund të themi se ka vetëm një zgjidhje dhe ajo është nga fusha e numrave realë.
• Nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë polinomi nuk ka rrënjë reale.

Opsionet e llogaritjes për sigurimin e materialit

Për shumën (7 * w^2; 3 * w; 1) e barabartë me 0 Ne llogarisim D duke përdorur formulën 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, marrim -19. Një vlerë diskriminuese nën zero tregon se nuk ka rezultate në linjën aktuale.

Nëse marrim parasysh 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekuivalente me 0, atëherë D llogaritet si (-3) në katror minus produktin e numrave (4; 2; 1) dhe është i barabartë me 9 - 8, domethënë 1. Vlera pozitive thotë se ka dy rezultate në vijën reale.

Nëse marrim shumën (w ^ 2; 2 * w; 1) dhe e barazojmë me 0, D llogaritet si dy në katror minus produktin e numrave (4; 1; 1). Kjo shprehje do të thjeshtohet në 4 - 4 dhe do të shkojë në zero. Rezulton se rezultatet janë të njëjta. Nëse shikoni nga afër këtë formulë, atëherë do të bëhet e qartë se kjo është " katror i përsosur" Kjo do të thotë se barazia mund të rishkruhet në formën (w + 1) ^ 2 = 0. U bë e qartë se rezultati në këtë problem është "-1". Në një situatë ku D është 0, ana e majte Barazimet gjithmonë mund të shemben duke përdorur formulën "katrori i shumës".

Përdorimi i një diskriminuesi në llogaritjen e rrënjëve

Ky ndërtim ndihmës jo vetëm që tregon numrin e zgjidhjeve reale, por gjithashtu ndihmon në gjetjen e tyre. Formula e përgjithshme Llogaritja për ekuacionin e shkallës së dytë është:

w = (-j +/- d) / (2 * i), ku d është diskriminues në fuqinë e 1/2.

Le të themi se diskriminuesi është nën zero, atëherë d është imagjinar dhe rezultatet janë imagjinare.

D është zero, atëherë d e barabartë me D me fuqinë 1/2 është gjithashtu zero. Zgjidhje: -j / (2 * i). Përsëri duke marrë parasysh 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, gjejmë rezultate ekuivalente me -2 / (2 * 1) = -1.

Supozoni D > 0, pastaj d - numër real, dhe përgjigja këtu ndahet në dy pjesë: w1 = (-j + d) / (2 * i) dhe w2 = (-j - d) / (2 * i). Të dy rezultatet do të jenë të vlefshme. Le të shohim 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Këtu diskriminuesi dhe d janë njësh. Rezulton se w1 është i barabartë me (3 + 1) i ndarë me (2 * 2) ose 1, dhe w2 është i barabartë me (3 - 1) i ndarë me 2 * 2 ose 1/2.

Rezultati i ekuacionit shprehje kuadratike në zero llogaritet sipas algoritmit:

1. Përcaktimi i sasisë zgjidhje të vlefshme.
2. Llogaritja d = D^(1/2).
3. Gjetja e rezultatit sipas formulës (-j +/- d) / (2 * i).
4. Zëvendësimi i rezultatit të marrë në barazinë origjinale për verifikim.

Disa raste të veçanta

Në varësi të koeficientëve, zgjidhja mund të thjeshtohet disi. Natyrisht, nëse koeficienti i një ndryshoreje ndaj fuqisë së dytë është zero, atëherë fitohet një barazi lineare. Kur koeficienti i një variabli ndaj fuqisë së parë është zero, atëherë janë të mundshme dy opsione:

1. polinomi zgjerohet në një diferencë katrorësh kur termi i lirë është negativ;
2. për një konstante pozitive, nuk mund të gjenden zgjidhje reale.

Nëse termi i lirë është zero, atëherë rrënjët do të jenë (0; -j)

Por ka raste të tjera të veçanta që thjeshtojnë gjetjen e një zgjidhjeje.

Ekuacioni i shkallës së dytë të reduktuar

E dhëna quhet të tilla trinom kuadratik, ku koeficienti përballë termit kryesor është një. Për këtë situatë, është e zbatueshme teorema e Vietës, e cila thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e ndryshores në fuqinë e parë, shumëzuar me -1, dhe produkti korrespondon me konstanten "k".

Prandaj, w1 + w2 është e barabartë me -j dhe w1 * w2 është e barabartë me k nëse koeficienti i parë është një. Për të verifikuar korrektësinë e këtij paraqitjeje, mund të shprehni w2 = -j - w1 nga formula e parë dhe ta zëvendësoni atë në barazinë e dytë w1 * (-j - w1) = k. Rezultati është barazia origjinale w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Është e rëndësishme të theksohet, që i * w ^ 2 + j * w + k = 0 mund të arrihet duke pjesëtuar me “i”. Rezultati do të jetë: w^2 + j1 * w + k1 = 0, ku j1 është e barabartë me j/i dhe k1 është e barabartë me k/i.

Le të shohim 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 tashmë të zgjidhura me rezultatet w1 = 1 dhe w2 = 1/2. Duhet ta ndajmë në gjysmë, si rezultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Le të kontrollojmë nëse kushtet e teoremës janë të vërteta për rezultatet e gjetura: 1 + 1/2 = 3/ 2 dhe 1*1/2 = 1/2.

Edhe faktori i dytë

Nëse faktori i një ndryshoreje me fuqinë e parë (j) pjesëtohet me 2, atëherë do të jetë e mundur të thjeshtohet formula dhe të kërkohet një zgjidhje përmes një të katërtës së diskriminuesit D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. rezulton w = (-j +/- d/2) / i, ku d/2 = D/4 në fuqinë 1/2.

Nëse i = 1, dhe koeficienti j është çift, atëherë zgjidhja do të jetë prodhimi i -1 dhe gjysmës së koeficientit të ndryshores w, plus/minus rrënjën e katrorit të kësaj gjysme minus konstanten “k”. Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Rendi më i lartë diskriminues

Diskriminuesi i trinomit të shkallës së dytë i diskutuar më sipër është më i përdoruri rast i veçantë. Në rastin e përgjithshëm, diskriminuesi i një polinomi është katrorët e shumëzuar të dallimeve të rrënjëve të këtij polinomi. Prandaj, një diskriminues i barabartë me zero tregon praninë e të paktën dy zgjidhjeve të shumëfishta.

Konsideroni i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Supozoni se diskriminuesi kalon zero. Kjo do të thotë se ka tre rrënjë në rajonin e numrave realë. Në zero ka shumë zgjidhje. Nëse D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают kuptim negativ kur katrore, dhe gjithashtu një rrënjë është reale.

Video

Videoja jonë do t'ju tregojë në detaje rreth llogaritjes së diskriminuesit.

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.