Hapësirat vektoriale janë shembuj të hapësirave vektoriale. Hapësirë ​​lineare vektoriale

1) X+në=në+X(ndryshueshmëria e shtimit);

2)(X+në) +z=x+ (y+z) (asociativiteti i shtimit);

3) ka një vektor zero 0 (ose vektor null) që plotëson kushtin x+ 0 =x: për çdo vektor x;

4) për çdo vektor X ka një vektor të kundërt në sikurse X+në = 0 ,

5) 1 x=X,

6) a(bx) = (ab)X(asociativiteti i shumëzimit);

7) (a+b)X=ah+bx (pronë distributive në lidhje me faktorin numerik);

8) a(X+në) =ah+ay(vetia shpërndarëse në raport me shumëzuesin vektorial).

Një hapësirë ​​vektoriale (ose lineare) është një grup R, i përbërë nga elementë të çdo natyre (të quajtur vektorë), në të cilët përcaktohen veprimet e mbledhjes së elementeve dhe shumëzimit të elementeve me numra realë që plotësojnë kushtet. A(kushtet 1-3 shprehin se operacioni i mbledhjes i përcaktuar në Hapësirë ​​vektoriale, e kthen atë në një grup komutativ). Shprehje

a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n (1)

Quhet një kombinim linear i vektorëve e 1 , e 2 ,..., e n me shanse një 1, një 2,..., një n. Kombinimi linear (1) quhet jo i parëndësishëm nëse të paktën një nga koeficientët a 1, a 2,..., a n të ndryshme nga zero. Vektorët e 1 , e 2 ,..., e n quhen të varura linearisht nëse ekziston një kombinim jo i parëndësishëm (1), i cili është një vektor zero. Përndryshe (d.m.th., nëse vetëm një kombinim i parëndësishëm i vektorëve e 1 , e 2 ,..., e n e barabartë me vektorin zero) vektorë e 1, e 2 ,..., e n quhen linearisht të pavarur.

Vektorët (të lirë) të hapësirës tre-dimensionale plotësojnë kushtin e mëposhtëm (kushti B): janë tre lineare vektor i pavarur; çdo katër vektorë janë linearisht të varur (çdo tre vektorë jozero që nuk shtrihen në të njëjtin plan janë linearisht të pavarur).

Hapësirë ​​vektoriale quhet n-dimensionale (ose ka "dimension n"), nëse ekziston n lineare elemente të pavarura e 1, e 2,..., e n, dhe ndonjë n+ 1 elementët janë të varur në mënyrë lineare (kushti i përgjithësuar B). Hapësirë ​​vektoriale quhen infinite-dimensionale nëse në të për ndonjë natyrore n ekziston n vektorë të pavarur në mënyrë lineare. Çdo n vektorë linearisht të pavarur n-dimensionale Hapësirë ​​vektoriale përbëjnë bazën e kësaj hapësire. Nëse e 1 , e 2 ,..., e n- bazë Hapësirë ​​vektoriale, pastaj çdo vektor X kjo hapësirë ​​mund të përfaqësohet në mënyrë unike si një kombinim linear i vektorëve bazë:

x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.

Në të njëjtën kohë, numrat a 1, a 2, ..., a n quhen koordinata vektoriale X në këtë bazë.

Shembuj Hapësirë ​​vektoriale Padyshim që formohet grupi i të gjithë vektorëve të hapësirës tredimensionale Hapësirë ​​vektoriale Më shumë shembull kompleks mund të shërbejë si e ashtuquajtura n-dimensionale hapësirë ​​aritmetike. Vektorët e kësaj hapësire janë sisteme të renditura të n numra realë: l 1, l 2,..., l n. Shuma e dy vektorëve dhe produkti me një numër përcaktohen nga relacionet:

(l 1 , l 2 , …, l n) + (m 1, m 2, …, m n) = (l 1+m 1, l 2+m 2, …, l n+m n);

a(l 1 , l 2 , …, l n) = (al 1, al 2, …, al n).

Baza në këtë hapësirë ​​mund të jetë, për shembull, sistemin e ardhshëm nga n vektorët e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Një tufë me R të gjithë polinomet a 0+a 1 u+ … +a n u n(çdo shkallë n) nga një ndryshore me koeficientë realë a 0, a 1,..., a n me te zakonshme rregullat algjebrike shtimi i polinomeve dhe shumimi i polinomeve me forma reale Hapësirë ​​vektoriale Polinome 1, u, u 2 ,..., u n(për çdo n) janë linearisht të pavarur në R, Kjo është arsyeja pse R- pafund-dimensionale Hapësirë ​​vektoriale

Polinome të shkallës jo më të larta se n formë Hapësirë ​​vektoriale dimensionet n+ 1 ; baza e tij mund të jenë polinomet 1, u, u 2 ,..., u n .

Nënhapësirat Hapësirë ​​vektoriale NË . P. R" i quajtur nënhapësirë R, Nëse R" Í R(domethënë çdo vektor i hapësirës R" ekziston edhe një vektor hapësinor R) dhe nëse për çdo vektor v О r" dhe për çdo dy vektorë v 1 Dhe v 2(v 1 , v 2 О R") vektor lv(për çdo l) dhe vektor v 1+v 2është i njëjtë pavarësisht nëse merren parasysh vektorët v, v 1, v 2 si elemente të hapësirës R" ose R. Vektorë linearë të guaskës x 1 , x 2 ,... x f quhet bashkësia e të gjitha kombinimeve të mundshme lineare të këtyre vektorëve, domethënë vektorëve të formës një 1 x 1+një 2 x 2+ … +a p x p. Në hapësirën tre-dimensionale, guaska lineare e njërit nuk është vektor zero x 1 padyshim do të jetë bashkësia e të gjithë vektorëve që shtrihen në vijën e përcaktuar nga vektori x 1 . Hapësirë ​​lineare e dy vektorëve që nuk shtrihen në të njëjtën linjë x 1 Dhe x 2 do të jetë mbledhja e të gjithë vektorëve të vendosur në rrafshin e përcaktuar nga vektorët x 1 Dhe x 2 . NË rast i përgjithshëm arbitrare Hapësirë ​​vektoriale R guaskë lineare vektorët x 1, x 2,..., x f e kësaj hapësire është një nënhapësirë ​​e hapësirës R dimensionet R. Në n-dimensionale Hapësirë ​​vektoriale ka nënhapësira të të gjitha dimensioneve më të vogla R.Çdo dimension i fundëm (i një dimensioni të caktuar k) nënhapësirë R" Hapësirë ​​vektoriale R ka një hapësirë ​​lineare të çdo k vektorë të pavarur linearisht të shtrirë në R". Hapësira e përbërë nga të gjithë polinomet e shkallës £n(hapësirë ​​lineare e polinomeve 1, u, u 2 ,..., u n), ka ( n+ 1 )- nënhapësirë ​​dimensionale të hapësirës R të gjithë polinomet.

Hapësirat euklidiane. Për zhvillim metodat gjeometrike në teori Hapësirë ​​vektoriale ju duhet të tregoni mënyra për të përgjithësuar koncepte të tilla si gjatësia e vektorit, këndi midis vektorëve, etj. Nje nga mënyrat e mundshmeështë se për çdo dy vektorë X Dhe në nga R numri i shënuar me ( x, y) dhe quhet prodhim skalar i vektorëve X Dhe u. Në këtë rast, kërkohet që të plotësohen aksiomat e mëposhtme produkt me pika:

1) (x, y) = (y, x) (ndryshueshmëria);

2) (x 1+x2, y) = (x 1, y) + (x2, y) (pasuri shpërndarëse);

3) (sëpatë, y) =a(x, y),

4) (x, x) ³ 0 për këdo X, dhe ( x, x) = 0 vetëm për X= 0 .

Produkti i zakonshëm skalar në hapësirën tredimensionale i plotëson këto aksioma. Hapësirë ​​vektoriale, në të cilën përcaktohet një produkt skalar që plotëson aksiomat e listuara, quhet hapësirë ​​Euklidiane; mund të jetë ose me dimensione të fundme (n-dimensionale) ose me dimensione të pafundme. Zakonisht quhet një hapësirë ​​Euklidiane me dimensione të pafundme Hapësira e Hilbertit. Gjatësia | x| vektoriale x dhe këndi ndërmjet vektorëve X Dhe në Hapësirat euklidiane përcaktohen përmes produktit skalar nga formulat

Një shembull i hapësirës Euklidiane është një hapësirë ​​e zakonshme tre-dimensionale me një produkt skalar të përcaktuar në llogaritjen vektoriale. Hapësira euklidiane n-dimensionale (aritmetike). E n marrim duke përcaktuar në n-aritmetikë dimensionale Hapësirë ​​vektoriale produkt pikash i vektorëve x = (l 1 , …, l n)dhe y= (m 1, …, m n) raport

(x, y) =l 1 m 1+l 2 m 2+… +l n m n . (2)

Në këtë rast, kërkesat 1)-4) janë përmbushur padyshim.

Në hapësirat Euklidiane prezantohet koncepti i vektorëve ortogonalë (perpendikularë). Janë vektorët X Dhe në quhen ortogonale nëse produkti skalar i tyre është zero: ( x, y) = 0. Në hapësirën e konsideruar E n kushti i ortogonalitetit të vektorit x= (l 1 , …, l n) Dhe y= (m 1, …, m n), si vijon nga relacioni (2), ka formën:

l 1 m 1+l 2 m 2+… +l n m n= 0. (3)

Zbatimi i V. fq. Koncepti Hapësirë ​​vektoriale(dhe përgjithësime të ndryshme) përdoret gjerësisht në matematikë dhe aplikimet e saj në shkencat natyrore. Le, për shembull, R- bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të një homogjene lineare ekuacioni diferencial y n+a 1(x)y (n+ 1 ) + … +a n(x)y= 0 . Është e qartë se shuma e dy zgjidhjeve dhe prodhimi i një zgjidhjeje me një numër janë zgjidhje të këtij ekuacioni. Kështu, R plotëson kushtet A. Është vërtetuar se për R Kushti i përgjithësuar B është i kënaqur. Rështë Hapësirë ​​vektorialeÇdo bazë në konsideruar Hapësirë ​​vektoriale thirrur sistemi themelor zgjidhje, njohja e të cilave ju lejon të gjeni të gjitha zgjidhjet e ekuacionit në shqyrtim. Koncepti i hapësirës Euklidiane na lejon të gjeometrizojmë plotësisht teorinë e sistemeve të ekuacioneve lineare homogjene:

Konsideroni në hapësirën Euklidiane E n vektorët a i = (a i1, a i2, …, një in),i=1, 2,..., n dhe zgjidhje vektoriale u= (u 1, u 2,..., u n). Përdorimi i formulës (2) për produktin skalar të vektorëve En, Le t'i japim sistemit (4) formën e mëposhtme:

(a unë, u) =0, i=1, 2, …, m. (5)

Nga relacionet (5) dhe formula (3) del se zgjidhja vektoriale u ortogonal me të gjithë vektorët a i. Me fjalë të tjera, ky vektor është ortogonal me trupin linear të vektorëve ai, kjo është zgjidhja uështë çdo vektor nga komplementi ortogonal i trupit linear të vektorëve a i. Rol i rendesishem lojë me dimensione të pafundme edhe në matematikë dhe fizikë hapësirat lineare. Një shembull i një hapësire të tillë është hapësira ME funksionet e vazhdueshme në një segment me veprimin e zakonshëm të mbledhjes dhe shumëzimit me numra realë. Hapësira e të gjithë polinomeve të përmendura më sipër është një nënhapësirë ​​e hapësirës ME.

Lit.: Alexandrov P. S., Ligjërata mbi gjeometria analitike, M., 1968; Gelfand I, M., Leksione mbi algjebrën lineare, M. - L., 1948.

E. G. Poznyak.

Artikull për fjalën " Hapësirë ​​vektoriale"në të madhe Enciklopedia Sovjetikeështë lexuar 20505 herë

Leksioni 6. Hapësira vektoriale.

Pyetjet kryesore.

1. Vektor hapësirë ​​lineare.

2. Baza dhe dimensioni i hapësirës.

3. Orientimi në hapësirë.

4. Zbërthimi i një vektori sipas bazës.

5. Koordinatat vektoriale.

1. Hapësirë ​​lineare vektoriale.

Një grup i përbërë nga elementë të çdo natyre në të cilën ato përcaktohen operacionet lineare: Mbledhja e dy elementeve dhe shumëzimi i një elementi me një numër quhen hapësirat, dhe elementet e tyre janë vektorët këtë hapësirë ​​dhe janë caktuar në të njëjtën mënyrë si sasive vektoriale në gjeometri: . Vektorët Hapësira të tilla abstrakte, si rregull, nuk kanë asgjë të përbashkët me vektorët e zakonshëm gjeometrikë. Elementet e hapësirave abstrakte mund të jenë funksione, një sistem numrash, matrica etj., dhe në një rast të veçantë, vektorë të zakonshëm. Prandaj, hapësira të tilla zakonisht quhen hapësira vektoriale .

Hapësirat vektoriale janë, Për shembull, një grup vektorësh kolinearë, të shënuar V1 , një tufë me vektorët koplanarë V2 , grup vektorësh të zakonshëm (hapësirë ​​reale) V3 .

Për këtë rast të veçantë mund të japim përkufizimin e mëposhtëm hapësirë ​​vektoriale.

Përkufizimi 1. Bashkësia e vektorëve quhet hapësirë ​​vektoriale, nëse një kombinim linear i ndonjë vektori të një grupi është gjithashtu një vektor i këtij grupi. Vetë vektorët quhen elementet hapësirë ​​vektoriale.

Më i rëndësishëm, si teorikisht ashtu edhe aplikativ, është koncepti i përgjithshëm (abstrakt) i hapësirës vektoriale.

Përkufizimi 2. Një tufë me R elemente, në të cilat shuma përcaktohet për çdo dy element dhe për çdo element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> të quajtur vektoriale(ose lineare) hapësirë, dhe elementet e tij janë vektorë, nëse veprimet e mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit të një vektori me një numër plotësojnë kushtet e mëposhtme ( aksiomat) :

1) shtimi është komutativ, d.m.th.gif" width="184" height="25">;

3) ekziston një element i tillë (vektor zero) që për çdo https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) për çdo vektor dhe çdo numër λ barazia vlen;

6) për çdo vektor dhe çdo numër λ Dhe µ barazia është e vërtetë: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> dhe çdo numër λ Dhe µ i drejtë ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Aksiomat më të thjeshta që përcaktojnë një hapësirë ​​vektoriale vijojnë: pasojat :

1. Në një hapësirë ​​vektoriale ka vetëm një zero - elementi - vektori zero.

2. Në hapësirën vektoriale, çdo vektor ka një vektor të vetëm të kundërt.

3. Për çdo element plotësohet barazia.

4. Për çdo numër real λ dhe vektori zero https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> është një vektor që plotëson barazinë https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Pra, me të vërtetë, moria e të gjithëve vektorët gjeometrikëështë një hapësirë ​​lineare (vektoriale), pasi për elementet e kësaj bashkësie janë përcaktuar veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një numër që plotësojnë aksiomat e formuluara.

2. Baza dhe dimensioni i hapësirës.

Konceptet thelbësore të një hapësire vektoriale janë konceptet e bazës dhe dimensionit.

Përkufizimi. Një grup vektorësh të pavarur linearisht të marrë në një rend të caktuar, përmes të cilit çdo vektor i hapësirës mund të shprehet në mënyrë lineare, quhet bazë këtë hapësirë. Vektorët. Përbërësit e bazës së hapësirës quhen bazë .

Baza e një grupi vektorësh të vendosur në një vijë arbitrare mund të konsiderohet një vektor kolinear për këtë linjë.

Baza në aeroplan le të quajmë dy vektorë jo-kolinearë në këtë rrafsh, të marrë në një rend të caktuar https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Nëse vektorët bazë janë pingul në çift (ortogonal), atëherë thirret baza ortogonale, dhe nëse këta vektorë kanë gjatësi, e barabartë me një, atëherë quhet baza ortonormale .

Numri më i madh quhen vektorë të pavarur linearisht të hapësirës dimension të kësaj hapësire, pra dimensioni i hapësirës përkon me numrin e vektorëve bazë të kësaj hapësire.

Pra, sipas këtyre përkufizimeve:

1. Hapësirë ​​njëdimensionale V1 është një vijë e drejtë, dhe baza përbëhet nga një kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Hapësira normale është hapësirë ​​tredimensionale V3 , baza e të cilit përbëhet nga tre jokoplanare vektorët

Nga këtu shohim se numri i vektorëve bazë në një vijë, në një rrafsh, në hapësirën reale përkon me atë që në gjeometri zakonisht quhet numri i dimensioneve (dimensionit) të një drejtëze, rrafshi, hapësire. Prandaj, është e natyrshme të futet një përkufizim më i përgjithshëm.

Përkufizimi. Hapësirë ​​vektoriale R thirrur n– dimensionale nëse nuk ka më shumë se n vektorë linearisht të pavarur dhe shënohet R n. Numri n thirrur dimension hapësirë.

Në përputhje me dimensionin e hapësirës ndahen në dimensionale të fundme Dhe pafund-dimensionale. Dimensioni i hapësirës nule konsiderohet i barabartë me zero sipas definicionit.

Shënim 1. Në çdo hapësirë ​​mund të specifikoni sa më shumë baza që dëshironi, por të gjitha bazat hapësirë ​​e dhënë përbëhet nga i njëjti numër vektorësh.

Shënim 2. NË n- në një hapësirë ​​vektoriale dimensionale, një bazë është çdo koleksion i porositur n vektorë të pavarur në mënyrë lineare.

3. Orientimi në hapësirë.

Për atë për të orientuar hapësirën, është e nevojshme të vendosni një bazë dhe ta deklaroni atë pozitive .

Mund të tregohet se bashkësia e të gjitha bazave të hapësirës ndahet në dy klasa, domethënë në dy nënbashkësi të shkëputura.

a) të gjitha bazat që i përkasin një nëngrupi (klase) kanë e njëjta orientimi (bazat me të njëjtin emër);

b) çdo dy baza që i përkasin të ndryshme nënbashkësi (klasa), kanë e kundërta orientim, ( emra të ndryshëm bazat).

Nëse njëra nga dy klasat e bazave të një hapësire shpallet pozitive dhe tjetra negative, atëherë thuhet se kjo hapësirë i orientuar .

Shpesh, gjatë orientimit të hapësirës, ​​thirren disa baza drejtë, dhe të tjerët - majtas .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> quhen drejtë, nëse, kur vëzhgoni nga fundi i vektorit të tretë, rrotullimi më i shkurtër i vektorit të parë https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > kryhet në drejtim të kundërt të orës(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Oriz. 1.8. Baza e djathtë (a) dhe baza e majtë (b)

Zakonisht baza e duhur e hapësirës deklarohet si bazë pozitive

Baza e djathtë (majtas) e hapësirës mund të përcaktohet gjithashtu duke përdorur rregullin e një vidhosje "djathtas" ("majtas").

Në analogji me këtë, prezantohet koncepti i djathtë dhe i majtë treshe vektorët jokoplanarë që duhet të renditen (Fig. 1.8).

Kështu, në rastin e përgjithshëm, dy treshe të renditura të vektorëve jokoplanarë kanë të njëjtin orientim (të njëjtin emër) në hapësirë. V3 nëse janë të dy djathtas ose të dy majtas, dhe - orientimi i kundërt (i kundërt) nëse njëri prej tyre është djathtas dhe tjetri majtas.

E njëjta gjë bëhet edhe në rastin e hapësirës V2 (aeroplan).

4. Zbërthimi i një vektori sipas bazës.

Për thjeshtësi të arsyetimit, le ta shqyrtojmë këtë pyetje duke përdorur shembullin e një hapësire vektoriale tre-dimensionale R3 .

Le të jetë https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> një vektor arbitrar i kësaj hapësire.

HAPËSIRË VEKTORI (hapësirë ​​lineare), një nga konceptet themelore algjebër, duke përgjithësuar konceptin e një koleksioni vektorësh (të lirë). Në hapësirën vektoriale, në vend të vektorëve, merren parasysh çdo objekt që mund të shtohet dhe të shumëzohet me numra; kjo kërkon që kryesore vetitë algjebrike Këto veprime ishin të njëjta si për vektorët në gjeometrinë elementare. NË përcaktim i saktë numrat zëvendësohen me elementë të çdo fushe K. Një hapësirë ​​vektoriale mbi fushën K është një bashkësi V me veprimin e mbledhjes së elementeve nga V dhe veprimin e shumëzimit të elementeve nga V me elemente nga fusha K, të cilat kanë këto veti:

x + y = y + x për çdo x, y nga V, d.m.th., në lidhje me mbledhjen, V është një grup abelian;

λ(x + y) = λ χ + λυ për çdo λ nga K dhe x, y nga V;

(λ + μ)x = λx + μx për çdo λ, μ nga K dhe x nga V;

(λ μ)х = λ(μх) për çdo λ, μ nga K dhe x nga V;

1x = x për çdo x nga V, këtu 1 nënkupton njësinë e fushës K.

Shembuj të një hapësire vektoriale janë: bashkësitë L 1, L 2 dhe L 3 të të gjithë vektorëve nga gjeometria elementare, përkatësisht, në një vijë, një plan dhe në hapësirë ​​me veprimet e zakonshme të mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit me një numër; Hapësira vektoriale koordinative K n, elementet e së cilës janë të gjitha rreshtat (vektorët) e mundshëm me gjatësi n me elementë nga fusha K, dhe veprimet jepen me formula

grupi F(M, K) i të gjitha funksioneve të përcaktuara në një grup fiks M dhe duke marrë vlera në fushën K, me operacionet e zakonshme në funksionet:

Elementet e hapësirës vektoriale e 1 ..., e n quhen linearisht të pavarur nëse nga barazia λ 1 e 1 + ... +λ n e n = 0 Є V rezulton se të gjitha λ 1, λ 2,..., λ. n = 0 Є K. Përndryshe, elementet e 1, e 2, ···> e n quhen të varur linearisht. Nëse në një hapësirë ​​vektoriale V çdo n + 1 element e 1 ,..., e n+1 janë të varur në mënyrë lineare dhe ka n elementë linearisht të pavarur, atëherë V quhet një hapësirë ​​vektoriale n-dimensionale dhe n është dimensioni i një hapësirë ​​vektoriale V. Nëse në një hapësirë ​​vektoriale V për çdo numër natyror n ka n vektorë të pavarur linearisht, atëherë V quhet hapësirë ​​vektoriale me dimensione të pafundme. Për shembull, hapësira vektoriale L 1, L 2, L 3 dhe K n janë përkatësisht 1-, 2-, 3- dhe n-dimensionale; nëse M - grup i pafund, atëherë hapësira vektoriale F(M, K) është infinite-dimensionale.

Hapësira vektoriale V dhe U mbi një fushë K thuhet se janë izomorfike nëse ka një hartë një me një φ : V -> U e tillë që φ(x+y) = φ(x) + φ(y) për çdo x, y nga V dhe φ (λx) = λ φ(x) për çdo λ nga K dhe x nga V. Hapësirat vektoriale izomorfe janë algjebrike të padallueshme. Klasifikimi i hapësirave vektoriale me dimensione të fundme, deri në izomorfizëm, jepet nga dimensioni i tyre: çdo hapësirë ​​vektoriale n-dimensionale mbi fushën K është izomorfe me hapësirën vektoriale koordinative K n. Shih gjithashtu hapësirën Hilbert, Algjebër lineare.

Konsideroni një sekuencë të përbërë nga n elementë të një fushe të thjeshtë GF(q) (a^, a......a p). Kjo sekuencë quhet l-po

pasojë mbi fushë GF)