Eigenvlerat (numrat) dhe eigenvectors.
Shembuj zgjidhjesh

Bëhu vetvetja

Nga të dy ekuacionet rezulton se .

Le ta vendosim atëherë: .

Si rezultat: – vetvektori i dytë.

Le të përsërisim pika të rëndësishme Zgjidhjet:

– sistemi që rezulton sigurisht që ka vendim të përbashkët(ekuacionet janë të varura në mënyrë lineare);

– “y” e zgjedhim në atë mënyrë që të jetë numër i plotë dhe koordinata e parë “x” të jetë numër i plotë, pozitiv dhe sa më i vogël.

– kontrollojmë që zgjidhja e caktuar të plotësojë çdo ekuacion të sistemit.

Përgjigju .

Kishte mjaftueshëm "pika kontrolli" të ndërmjetme, kështu që kontrollimi i barazisë është, në parim, i panevojshëm.

NË burime të ndryshme informacion, koordinatat e eigenvektorëve shpesh shkruhen jo në kolona, ​​por në rreshta, për shembull: (dhe, për të qenë i sinqertë, unë vetë jam mësuar t'i shkruaj në rreshta). Ky opsion është i pranueshëm, por në dritën e temës transformimet lineare teknikisht më i përshtatshëm për t'u përdorur vektorët e kolonës.

Ndoshta zgjidhja ju është dukur shumë e gjatë, por kjo ndodh vetëm sepse e komentova me shumë detaje shembullin e parë.

Shembulli 2

Matricat

Le të stërvitemi vetë! Mostra e përafërt duke përfunduar detyrën në fund të orës së mësimit.

Ndonjëherë ju duhet të bëni detyrë shtesë, domethënë:

shkruani zbërthimin e matricës kanonike

Cfare eshte?

Nëse formohen vetvektorët e matricës bazë, atëherë mund të përfaqësohet si:

Ku është një matricë e përbërë nga koordinatat e vetvektorëve, - diagonale matricë me eigenvlerat përkatëse.

Ky zbërthim i matricës quhet kanonike ose diagonale.

Le të shohim matricën e shembullit të parë. Vektorët e tij i pavarur në mënyrë lineare(jokolineare) dhe formojnë një bazë. Le të krijojmë një matricë të koordinatave të tyre:

Aktiv diagonale kryesore matricat në rendin e duhur eigenvlerat janë të vendosura, dhe elementët e mbetur janë të barabartë me zero:
– E theksoj edhe një herë rëndësinë e rendit: "dy" korrespondon me vektorin e parë dhe për këtë arsye ndodhet në kolonën e parë, "tre" - në vektorin e 2-të.

Përdorimi i algoritmit të zakonshëm për gjetjen matricë e anasjelltë ose Metoda Gauss-Jordan ne gjejme . Jo, nuk është një gabim shtypi! - para jush është i rrallë, si eklipsi diellor një ngjarje kur anasjellta përkon me matricën origjinale.

Mbetet për të shkruar zbërthimin kanonik të matricës:

Sistemi mund të zgjidhet duke përdorur transformimet elementare dhe ne shembujt e mëposhtëm ne do t'i drejtohemi këtë metodë. Por këtu metoda "shkollë" funksionon shumë më shpejt. Nga ekuacioni i tretë shprehim: – zëvendësojmë në ekuacionin e dytë:

Meqenëse koordinata e parë është zero, marrim një sistem, nga çdo ekuacion i të cilit rrjedh se .

Dhe perseri kushtojini vëmendje pranisë së detyrueshme të një marrëdhënie lineare. Nëse merret vetëm një zgjidhje e parëndësishme , atëherë ose eigenvalue është gjetur gabimisht, ose sistemi është kompiluar/zgjidhur me një gabim.

Koordinatat kompakte japin vlerën

Vektori vetjak:

Dhe edhe një herë, ne kontrollojmë se zgjidhja është gjetur plotëson çdo ekuacion të sistemit. Në paragrafët pasues dhe në detyrat pasuese, unë rekomandoj ta merrni këtë dëshirë si një rregull të detyrueshëm.

2) Për eigenvalue, duke përdorur të njëjtin parim, marrim sistemin e mëposhtëm:

Nga ekuacioni i dytë i sistemit shprehim: – zëvendësojmë në ekuacionin e tretë:

Meqenëse koordinata "zeta" është e barabartë me zero, marrim një sistem nga secili ekuacion i të cilit pason një varësi lineare.

Le

Duke kontrolluar se zgjidhja plotëson çdo ekuacion të sistemit.

Kështu, vetvektori është: .

3) Dhe së fundi, sistemi korrespondon me vlerën e vet:

Ekuacioni i dytë duket më i thjeshtë, kështu që le ta shprehim atë dhe ta zëvendësojmë me ekuacionet e 1-rë dhe të tretë:

Gjithçka është në rregull - është shfaqur një marrëdhënie lineare, të cilën ne e zëvendësojmë në shprehjen:

Si rezultat, "x" dhe "y" u shprehën përmes "z": . Në praktikë, nuk është e nevojshme të arrihen saktësisht marrëdhënie të tilla, në disa raste është më e përshtatshme të shprehen si përmes ose përmes . Ose edhe "tren" - për shembull, "X" përmes "I" dhe "I" përmes "Z"

Le ta vendosim atëherë:

Kontrollojmë nëse zgjidhja është gjetur plotëson çdo ekuacion të sistemit dhe shkruan vetvektorin e tretë

Përgjigju: vektorët e vet:

Gjeometrikisht, këta vektorë përcaktojnë tre drejtime të ndryshme hapësinore ("Atje dhe përsëri"), sipas të cilit transformim linear shndërron vektorët jozero (eigenvektorë) në vektorë kolinearë.

Nëse kushti kërkon gjetjen e dekompozimit kanonik, atëherë kjo është e mundur këtu, sepse eigenvlera të ndryshme korrespondojnë me eigenvektorë të ndryshëm linearisht të pavarur. Bërja e një matrice nga koordinatat e tyre, një matricë diagonale nga relevante eigenvlerat dhe gjeni matricë e anasjelltë .

Nëse, sipas kushtit, duhet të shkruani matricë transformim linear në bazë të vetvektorëve, pastaj përgjigjen e japim në formë . Ka një ndryshim, dhe ndryshimi është i rëndësishëm! Sepse kjo matricë është matrica "de".

Problem me më shumë llogaritje të thjeshta Për vendim i pavarur:

Shembulli 5

Gjeni vetvektorët e një transformimi linear të dhënë nga një matricë

Kur gjeni numrat tuaj, përpiquni të mos shkoni deri në një polinom të shkallës së 3-të. Për më tepër, zgjidhjet e sistemit tuaj mund të ndryshojnë nga zgjidhjet e mia - këtu nuk ka siguri; dhe vektorët që gjeni mund të ndryshojnë nga vektorët e mostrës deri në proporcionalitetin e koordinatave të tyre përkatëse. Për shembull, dhe. Është më e këndshme nga ana estetike të paraqesësh përgjigjen në formë, por është në rregull nëse ndalesh në opsionin e dytë. Megjithatë, ka kufizime të arsyeshme për çdo gjë, versioni nuk duket më shumë i mirë.

Një mostër përfundimtare e përafërt e detyrës në fund të mësimit.

Si të zgjidhet problemi në rastin e vlerave të shumta eigen?

Algoritmi i përgjithshëm mbetet e njëjtë, por ka karakteristikat e veta, dhe këshillohet që disa pjesë të zgjidhjes të mbahen në një stil akademik më të rreptë:

Shembulli 6

Gjeni eigenvlerat dhe eigenvectors

Zgjidhje

Sigurisht, le të përshkruajmë me kapital kolonën e parë përrallore:

Dhe, pas dekompozimit trinomi kuadratik nga shumëzuesit:

Si rezultat, fitohen vlerat vetjake, dy prej të cilave janë shumëfish.

Le të gjejmë eigenvektorët:

1) Le të merremi me një ushtar të vetmuar sipas një skeme "të thjeshtuar":

Nga dy ekuacionet e fundit, barazia është qartë e dukshme, e cila, padyshim, duhet të zëvendësohet në ekuacionin e parë të sistemit:

Nuk do të gjeni një kombinim më të mirë:
Vektori vetjak:

2-3) Tani heqim disa roje. NË në këtë rast mund të funksionojë ose dy ose një vetvektor. Pavarësisht nga shumësia e rrënjëve, ne e zëvendësojmë vlerën në përcaktor që na sjell tjetrën sistemi homogjen i ekuacioneve lineare:

Eigenvektorët janë pikërisht vektorë
sistemi themelor i zgjidhjeve

Në fakt, gjatë gjithë mësimit nuk bëmë gjë tjetër veçse gjetëm vektorët e sistemit themelor. Vetëm për momentin këtë term nuk kishte vërtet nevojë. Meqë ra fjala, ata studentë të zgjuar që e humbën temën me kostume kamuflazhi ekuacionet homogjene, do të detyrohet ta pijë duhan tani.

Veprimi i vetëm ishte fshirja linja shtesë. Rezultati është një matricë një nga tre me një "hap" zyrtar në mes.
– variabla bazë, – variabla të lira. Ka dy variabla të lira, prandaj, ekzistojnë edhe dy vektorë të sistemit themelor.

Të shprehim variablin bazë me variabla të lira: . Faktori zero përpara "X" e lejon atë të marrë absolutisht çdo vlerë (e cila është qartë e dukshme nga sistemi i ekuacioneve).

Në kontekstin e këtij problemi, është më e përshtatshme të shkruani zgjidhjen e përgjithshme jo në një rresht, por në një kolonë:

Çifti korrespondon me një vektor të veçantë:
Çifti korrespondon me një vektor të veçantë:

shënim : lexuesit e sofistikuar mund t'i zgjedhin këta vektorë me gojë - thjesht duke analizuar sistemin , por këtu nevojiten disa njohuri: ka tre variabla, rangu i matricës së sistemit- një, që do të thotë sistemi themelor i vendimeve përbëhet nga 3 – 1 = 2 vektorë. Sidoqoftë, vektorët e gjetur janë qartë të dukshëm edhe pa këtë njohuri, thjesht në një nivel intuitiv. Në këtë rast, vektori i tretë do të shkruhet edhe më “bukur”: . Megjithatë, ju paralajmëroj se në një shembull tjetër, një përzgjedhje e thjeshtë mund të mos jetë e mundur, prandaj klauzola është menduar për njerëzit me përvojë. Përveç kësaj, pse të mos e marrim, të themi, si vektor të tretë? Në fund të fundit, koordinatat e tij gjithashtu plotësojnë çdo ekuacion të sistemit dhe vektorët i pavarur në mënyrë lineare. Ky opsion, në parim, është i përshtatshëm, por "i shtrembër", pasi vektori "tjetër" është një kombinim linear i vektorëve të sistemit themelor.

Përgjigju: eigenvalues: , eigenvectors:

Shembull i ngjashëm për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 7

Gjeni eigenvlerat dhe eigenvectors

Një mostër e përafërt e modelit përfundimtar në fund të mësimit.

Duhet të theksohet se në të dy shembujt e 6-të dhe të 7-të është marrë një trefish i eigjenvektorëve linearisht të pavarur, dhe për këtë arsye matrica origjinale është e përfaqësuar në zbërthimin kanonik. Por mjedra të tilla nuk ndodhin në të gjitha rastet:

Shembulli 8

Zgjidhje: të kompozojmë e të zgjidhim ekuacioni karakteristik:

Le të zgjerojmë përcaktorin në kolonën e parë:

Ne kryejmë thjeshtime të mëtejshme sipas metodës së konsideruar, duke shmangur polinomin e shkallës së tretë:

– eigenvlerat.

Le të gjejmë eigenvektorët:

1) Nuk ka vështirësi me rrënjën:

Mos u habitni, përveç kompletit, ka edhe variabla në përdorim - këtu nuk ka asnjë ndryshim.

Nga ekuacioni i 3-të e shprehim atë dhe e zëvendësojmë me ekuacionin e parë dhe të dytë:

Nga të dy ekuacionet rezulton:

Lëreni atëherë:

2-3) Për vlera të shumta marrim sistemin .

Le të shkruajmë matricën e sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ku? është një skalar i caktuar, domethënë real ose numër kompleks.
Domethënë eigenvektorët e matricës A janë vektorë jo zero që, nën veprimin e një transformimi linear, specifikohen nga matrica A nuk ndryshojnë drejtimin, por a mund të ndryshojnë gjatësinë me një faktor?.
Matrica ka dimensione jo më shumë se N eigenvektorët dhe eigenvlerat që korrespondojnë me to.
Lidhja (*) gjithashtu ka kuptim për operator linear në hapësirën vektoriale V. Nëse kjo hapësirë ​​është me dimensione të fundme, atëherë operatori mund të shkruhet si një matricë në lidhje me një bazë specifike V.
Meqenëse eigenvectors dhe eigenvalues ​​u shënuan pa përdorur koordinata, pavarësisht nga zgjedhja e bazës. Prandaj, matricat e ngjashme kanë të njëjtat eigenvlera.
Rolin kryesor në kuptimin e vlerave vetjake të matricave e luan teorema Hamilton-Cayley. Nga kjo rrjedh se eigenvlerat e matricës A dhe vetëm ato janë rrënjët polinom karakteristik matricat A:

fq (?) është një polinom i shkallës n, prandaj, nga teorema themelore e algjebrës, ekziston saktësisht n eigenvlerat komplekse, duke marrë parasysh shumëfishin e tyre.
Pra matrica A nuk ka më n eigenvalues ​​(por një grup eigenvektorësh për secilin prej tyre).
Le të shkruajmë polinomin karakteristik përmes rrënjëve të tij:

Shumësia e rrënjës së polinomit karakteristik të një matrice quhet shumësia algjebrike eigenvalue
Bashkësia e të gjitha vlerave vetjake të një matrice ose operatori linear në një hapësirë ​​vektoriale me dimensione të fundme quhet spektrit matricë ose operator linear. (Kjo terminologji është modifikuar për jo-skinchenotherworldly hapësira vektoriale: V rast i përgjithshëm, spektri i operatorit mund të përfshijë?, të cilat nuk janë vlera vetjake.)
Për shkak të lidhjes ndërmjet polinomit karakteristik të një matrice dhe eigenvlerave të saj, këto të fundit quhen edhe numrat karakteristik matricat.
Për çdo vlerë vetjake, marrim sistemin tonë të ekuacioneve:

Çfarë do të ketë lineare vendime të pavarura.
Grupi i të gjitha zgjidhjeve të formave të sistemit nënhapësirë ​​lineare dimensionet dhe quhet hapësirën e vet(anglisht) eigenspace) matricat me vlera vetjake.
Dimensioni i hapësirës së duhur quhet shumëfishimi gjeometrik eigenvalue korresponduese?.
Të gjitha hapësirat vetjake janë nënhapësira invariante për .
Nëse ka të paktën dy eigenvektorë të pavarur linearisht me të njëjtën vlerë vetjake?, atëherë një eigenvlerë e tillë quhet i degjeneruar. Kjo terminologji përdoret kryesisht kur shumëzimet gjeometrike dhe algjebrike të vlerave eigen përkojnë, për shembull, për matricat hermitiane.

Ku - Matrica e madhësisë katrore n x n,-Kollona e dytë e së cilës është një vektor, A - Kjo është një matricë diagonale me vlerat përkatëse.

Problemi i eigenvalue është problemi i gjetjes së eigenvektorëve dhe numrave të një matrice.
Sipas përkufizimit (duke përdorur ekuacionin karakteristik), mund të gjeni vetëm eigenvlerat e matricave me dimensione më të vogla se pesë. Ekuacioni karakteristik ka shkallë në mënyrë të barabartë matricat. Për gradat më të larta gjetja e zgjidhjeve të ekuacionit bëhet shumë problematike, ndaj përdorin të ndryshme metodat numerike
Detyra të ndryshme kërkojnë marrjen sasi të ndryshme eigenvlerat. Prandaj, ka disa probleme për gjetjen e vlerave eigen, secila prej të cilave përdor metodat e veta.
Duket se problemi i pjesshëm i vlerave vetjake është një problem i pjesshëm i atij të plotë dhe zgjidhet me të njëjtat metoda si ai i plotë. Megjithatë, metodat e aplikuara për probleme të veçanta janë shumë më efikase, kështu që ato mund të aplikohen në matrica me dimensione të larta (për shembull, në fizika bërthamore lindin probleme në gjetjen e vlerave vetjake për matricat e dimensioneve 10 3 – 10 6).
Metoda Jacobi

Një nga më të vjetrat dhe më qasje të përbashkëta ndaj një vendimi problem i plotë Eigenvalues ​​është metoda Jacobi, e botuar për herë të parë në 1846.
Metoda zbatohet në një matricë simetrike A
Ky është një algoritëm i thjeshtë përsëritës në të cilin matrica e vektorëve vetjak llogaritet nga një seri shumëzimesh.

Matricat diagonale kanë strukturën më të thjeshtë. Shtrohet pyetja nëse është e mundur të gjendet një bazë në të cilën matrica e operatorit linear do të kishte një formë diagonale. Një bazë e tillë ekziston.
Le të jepet hapësirë ​​lineare R n dhe operatori linear A që vepron në të; në këtë rast, operatori A merr R n në vetvete, domethënë A:R n → R n .

Përkufizimi. Një vektor x jo zero quhet eigenvektor i operatorit A nëse operatori A e transformon x në një vektor kolinear, domethënë. Numri λ quhet eigenvalue ose eigenvalue i operatorit A, që i korrespondon eigenvektorit x.
Le të vëmë re disa veti të eigenvlerave dhe eigenvectors.
1. Çdo kombinim linear i vetvektorëve operatori A që i korrespondon të njëjtës eigenvalue λ është një vektor eigen me të njëjtën vlerë eigen.
2. Vektorët e vet operatori A me vlera eigjene të ndryshme në çift λ 1 , λ 2 , ..., λ m janë linearisht të pavarur.
3. Nëse vlerat vetjake λ 1 =λ 2 = λ m = λ, atëherë vlera vetjake λ korrespondon me jo më shumë se m eigenvektorë të pavarur linearisht.

Pra, nëse ka n eigjenvektorë të pavarur linearisht , që korrespondojnë me vlera të ndryshme eigen λ 1, λ 2, ..., λ n, atëherë ato janë linearisht të pavarura, prandaj mund të merren si bazë e hapësirës R n. Le të gjejmë formën e matricës së operatorit linear A në bazë të vetvektorëve të tij, për të cilin do të veprojmë me operatorin A në bazë të vektorëve: Pastaj .
Kështu, matrica e operatorit linear A në bazë të eigenvektorëve të tij ka një formë diagonale, dhe vlerat vetjake të operatorit A janë përgjatë diagonales.
A ka një bazë tjetër në të cilën matrica ka një formë diagonale? Përgjigja për këtë pyetje jepet nga teorema e mëposhtme.

Teorema. Matrica e një operatori linear A në bazën (i = 1..n) ka një formë diagonale nëse dhe vetëm nëse të gjithë vektorët e bazës janë eigjenvektorë të operatorit A.

Rregulla për gjetjen e vlerave vetjake dhe eigenvektorëve

. (*)

(1)
Ku - matrica e operatorit linear.

Sistemi (1) ka një zgjidhje jo zero nëse përcaktorja e tij D e barabartë me zero

Shembulli 12. Operatori linear A vepron në R 3 sipas ligjit, ku x 1, x 2, .., x n janë koordinatat e vektorit në bazë , , . Gjeni eigenvlerat dhe eigenvektorët e këtij operatori.
Zgjidhje. Ne ndërtojmë matricën e këtij operatori:
.
Ne krijojmë një sistem për përcaktimin e koordinatave të eigenvektorëve:

Ne hartojmë një ekuacion karakteristik dhe e zgjidhim atë:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Duke zëvendësuar λ = -1 në sistem, kemi:
ose
Sepse , atëherë ka dy variabla të varur dhe një variabël të lirë.
Le të jetë x 1 një e panjohur e lirë, atëherë Ne e zgjidhim këtë sistem në çdo mënyrë dhe gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të këtij sistemi: Sistemi themelor zgjidhjet përbëhen nga një zgjidhje, pasi n - r = 3 - 2 = 1.
Bashkësia e eigenvektorëve që i korrespondon vlerës vetjake λ = -1 ka formën: , ku x 1 është çdo numër tjetër nga zero. Le të zgjedhim një vektor nga ky grup, për shembull, duke vendosur x 1 = 1: .
Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, gjejmë eigenvektorin që korrespondon me vlerën vetjake λ = 3: .
Në hapësirën R3, baza përbëhet nga tre lineare vektorë të pavarur, morëm vetëm dy eigenvektorë të pavarur linearisht, nga të cilët nuk mund të përbëhet një bazë në R 3. Rrjedhimisht, ne nuk mund ta reduktojmë matricën A të një operatori linear në formë diagonale.

Shembulli 13. Jepet një matricë .
1. Vërtetoni se vektori është eigenvektor i matricës A. Gjeni eigenvektorin që i korrespondon këtij vektori.
2. Gjeni një bazë në të cilën matrica A ka një formë diagonale.
Zgjidhje.
1. Nëse , atëherë x është një vektor vetjak

.
Vektori (1, 8, -1) është një vektor vetjak. Eigenvalue λ = -1.
Matrica ka një formë diagonale në një bazë të përbërë nga eigenvektorë. Njëri prej tyre është i famshëm. Le të gjejmë pjesën tjetër.
Ne kërkojmë eigenvektorë nga sistemi:

Ekuacioni karakteristik: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Le të gjejmë eigenvektorin që i korrespondon vlerës vetjake λ = -3:

Rangu i matricës së këtij sistemi është dy dhe e barabartë me numrin të panjohura, kështu që ky sistem ka vetëm zgjidhjen zero x 1 = x 3 = 0. x 2 këtu mund të jetë çdo gjë tjetër përveç zeros, për shembull, x 2 = 1. Kështu, vektori (0,1,0) është një vektor vetjak , që korrespondon me λ = -3. Le të kontrollojmë:
.
Nëse λ = 1, atëherë marrim sistemin
Rangu i matricës është dy. Ne kryqëzojmë ekuacionin e fundit.
Le të jetë x 3 një e panjohur e lirë. Pastaj x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Duke supozuar x 3 = 1, ne kemi (-3,-9,1) - një vektor të veçantë që korrespondon me vlerën vetjake λ = 1. Kontrolloni:

.
Meqenëse vlerat vetjake janë reale dhe të dallueshme, vektorët që u korrespondojnë janë linearisht të pavarur, kështu që ato mund të merren si bazë në R3. Kështu, në bazë , , matrica A ka formën:
.
Jo çdo matricë e një operatori linear A:R n → R n mund të reduktohet në formë diagonale, pasi për disa operatorë linearë mund të ketë më pak se n eigjenvektorë të pavarur linearë. Sidoqoftë, nëse matrica është simetrike, atëherë rrënja e ekuacionit karakteristik të shumëfishimit m korrespondon saktësisht me m vektorë të pavarur linearisht.

Përkufizimi. Një matricë simetrike quhet matricë katrore, në të cilën elementet simetrike për diagonalen kryesore janë të barabarta, domethënë në të cilën .
Shënime. 1. Të gjitha eigenvlerat e një matrice simetrike janë reale.
2. Eigenvektorët e një matrice simetrike që korrespondojnë me eigenvlera të ndryshme në çift janë ortogonale.
Si një nga aplikimet e shumta të aparatit të studiuar, ne konsiderojmë problemin e përcaktimit të llojit të një lakore të rendit të dytë.

Vektori X ≠ 0 quhet vetvektor operator linear me matricën A, nëse ka një numër të tillë që AX =X.

Në këtë rast thirret numri fi eigenvalue operatori (matrica A) që i përgjigjet vektorit x.

Me fjalë të tjera, një vektor vetjak është një vektor që, nën veprimin e një operatori linear, shndërrohet në vektor kolinear, d.m.th. thjesht shumëzo me një numër. Në të kundërt, vektorët e pahijshëm janë më kompleks për t'u transformuar.

Le të shkruajmë përkufizimin e një vektori të veçantë në formën e një sistemi ekuacionesh:

Le t'i zhvendosim të gjitha termat në anën e majtë:

Sistemi i fundit mund të shkruhet në formën e matricës si më poshtë:

(A - E)X = O

Sistemi që rezulton ka gjithmonë një zgjidhje zero X = O. Sisteme të tilla në të cilat të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero quhen homogjene. Nëse matrica e një sistemi të tillë është katror dhe përcaktori i tij nuk është i barabartë me zero, atëherë duke përdorur formulat e Cramer-it do të marrim gjithmonë një zgjidhje unike - zero. Mund të vërtetohet se një sistem ka zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e kësaj matrice është e barabartë me zero, d.m.th.

|A - E| = = 0

Ky ekuacion me një të panjohur quhet ekuacioni karakteristik(polinom karakteristik) matrica A (operator linear).

Mund të vërtetohet se polinomi karakteristik i një operatori linear nuk varet nga zgjedhja e bazës.

Për shembull, le të gjejmë eigenvlerat dhe eigenvektorët e operatorit linear të përcaktuar nga matrica A =.

Për ta bërë këtë, le të krijojmë një ekuacion karakteristik |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; vlerat vetjake 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Për të gjetur eigenvektorë, ne zgjidhim dy sisteme ekuacionesh

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Për të parën prej tyre, matrica e zgjeruar merr formën

,

prej nga x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, d.m.th. X (1) = (-(2/3)s; s).

Për të dytën prej tyre, matrica e zgjeruar merr formën

,

nga ku x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, d.m.th. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Kështu, vektorët vetjak të këtij operatori linear janë të gjithë vektorët e formës (-(2/3)с; c) me vlerën vetjake (-5) dhe të gjithë vektorët e formës ((2/3)с 1 ; с 1) me eigenvalue 7 .

Mund të vërtetohet se matrica e operatorit A në bazën e përbërë nga eigenvektorët e tij është diagonale dhe ka formën:

,

ku  i janë eigenvlerat e kësaj matrice.

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse matrica A në një bazë është diagonale, atëherë të gjithë vektorët e kësaj baze do të jenë eigenvektorë të kësaj matrice.

Mund të vërtetohet gjithashtu se nëse një operator linear ka n vlera vetjake të dallueshme në çift, atëherë eigenvektorët përkatës janë linearisht të pavarur dhe matrica e këtij operatori në bazën përkatëse ka një formë diagonale.

Përkufizimi: Le të jetë L një e dhënë n- hapësirë ​​lineare dimensionale. Një vektor L jo zero quhet vetvektor transformimi linear A, nëse ka një numër të tillë që barazia vlen:

A
(7.1)

Në këtë rast thirret numri  eigenvalue (numër karakteristik) transformimi linear A që i përgjigjet vektorit .

Duke u transferuar anën e djathtë(7.1) në të majtë dhe duke marrë parasysh relacionin
, e rishkruajmë (7.1) në formë

(7.2)

Ekuacioni (7.2) është i barabartë me një sistem ekuacionesh homogjene lineare:

(7.3)

Për ekzistimin e një zgjidhjeje jozero të sistemit të ekuacioneve homogjene lineare (7.3), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktori i koeficientëve të këtij sistemi të jetë i barabartë me zero, d.m.th.

|A-λE|=
(7.4)

Kjo përcaktor është një polinom i shkallës së n-të në lidhje me λ dhe quhet polinom karakteristik transformimi linear A, dhe ekuacioni (7.4) - ekuacioni karakteristik matricat A.

Përkufizimi: Nëse një transformim linear A në ndonjë bazë ,,…,ka matricën A =
, atëherë vlerat vetjake të transformimit linear A mund të gjenden si rrënjët  1 ,  2 , … ,  n të ekuacionit karakteristik:

Le të shqyrtojmë rast i veçantë . Le të jetë A ndonjë transformim linear i rrafshit matrica e të cilit është e barabartë me
. Pastaj transformimi A mund të jepet me formulat:

;

mbi disa baza
.

Nëse një transformim A ka një vektor eigen me një vlerë të veçantë , atëherë A
.

ose

Sepse vetvektor jo zero, atëherë x 1 dhe x 2 nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Sepse Nëse ky sistem është homogjen, atëherë që ai të ketë një zgjidhje jo të parëndësishme, përcaktorja e sistemit duhet të jetë e barabartë me zero. Përndryshe, sipas rregullit të Cramer, sistemi ka një zgjidhje unike - zero, e cila është e pamundur.

Ekuacioni që rezulton është ekuacioni karakteristik i transformimit linear A.

Kështu, mund të gjendet vetvektori (x 1, x 2) transformimi linear A me një vlerë eigen, ku është rrënja e ekuacionit karakteristik, dhe x 1 dhe x 2 janë rrënjët e sistemit të ekuacioneve kur vlera zëvendësohet në të.

Është e qartë se nëse ekuacioni karakteristik nuk ka rrënjë reale, atëherë transformimi linear A nuk ka eigenvektorë.

Duhet theksuar se nëse është eigenvektor i transformimit A, atëherë çdo vektor kolinear me të është gjithashtu eigenvektor me të njëjtën vlerë eigen.

Vërtet,. Nëse marrim parasysh se vektorët kanë origjinë të njëjtë, atëherë këta vektorë formojnë të ashtuquajturat drejtimin e vet ose linjë e vet.

Sepse ekuacioni karakteristik mund të ketë dy rrënjë të ndryshme reale  1 dhe  2, atëherë në këtë rast, kur i zëvendësojmë ato në sistemin e ekuacioneve, fitojmë një numër të pafund zgjidhjesh. (Sepse ekuacionet janë të varura në mënyrë lineare). Ky grup zgjidhjesh përcakton dy linjat e veta.

Nëse ekuacioni karakteristik ka dy rrënjë të barabarta 1 = 2 =, atëherë ose ka vetëm një rresht të duhur, ose, nëse, kur zëvendësohet në sistem, ai kthehet në një sistem të formës:
. Ky sistem plotëson çdo vlerë prej x 1 dhe x 2. Atëherë të gjithë vektorët do të jenë eigenvektorë, dhe një transformim i tillë quhet transformimi i ngjashmërisë.

Shembull.
.

Shembull. Gjeni numrat karakteristikë dhe vetvektorët e një transformimi linear me matricën A =
.

Le të shkruajmë transformimin linear në formën:

Le të krijojmë një ekuacion karakteristik:

 2 - 4+ 4 = 0;

Rrënjët e ekuacionit karakteristik:  1 = 2 = 2;

Ne marrim:

Sistemi prodhon një varësi: x 1 – x 2 = 0. Eigenvektorët për rrënjën e parë të ekuacionit karakteristik kanë koordinatat: ( t ; t ) Ku t- parametër.

Eigenvektori mund të shkruhet:
.

Le të shqyrtojmë një tjetër rast i veçantë. Nëse është eigenvektori i një transformimi linear A i specifikuar në një hapësirë ​​lineare tredimensionale dhe x 1, x 2, x 3 janë përbërësit e këtij vektori në një bazë të caktuar
, Kjo

ku  është eigenvlera (numri karakteristik) i transformimit A.

Nëse matrica e transformimit linear A ka formën:

, Kjo

Ekuacioni karakteristik:

Duke zgjeruar përcaktorin, marrim një ekuacion kub për . Çdo ekuacion kub me koeficientë realë ka ose një ose tre rrënjë reale.

Atëherë çdo transformim linear në hapësirën tredimensionale ka vetvektorë.

Shembull. Gjeni numrat karakteristikë dhe vetvektorët e transformimit linear A, matrica e transformimit linear A = .

Shembull. Gjeni numrat karakteristikë dhe vetvektorët e transformimit linear A, matrica e transformimit linear A =
.

Le të krijojmë një ekuacion karakteristik:

-(3 + )((1 -)(2 -) – 2) + 2(4 - 2- 2) - 4(2 - 1 +) = 0

-(3 + )(2 -- 2+ 2 - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 +) = 0

-(3 + )( 2 - 3) + 4 - 4- 4 - 4= 0

3 2 + 9- 3 + 3 2 - 8= 0

 1 = 0; 2 = 1; 3 = -1;

Për  1 = 0:

Nëse marrim x 3 = 1, marrim x 1 = 0, x 2 = -2

Vektorët e vet
t, ku t është një parametër.

Në mënyrë të ngjashme mund të gjeni Dhe për  2 dhe  3 .