Të vlerësosh saktësinë e çdo matjeje do të thotë të përcaktosh, në bazë të rezultateve të marra, karakteristika të krahasueshme numerike (sasiore) që shprehin anën cilësore të vetë matjeve dhe kushtet për zbatimin e tyre. Karakteristikat sasiore matjet ose kriteret për vlerësimin e saktësisë së matjeve përcaktohen nga teoria e probabilitetit dhe teoria e gabimeve (në veçanti, nga metoda katrorët më të vegjël). Sipas këtyre teorive, saktësia e rezultateve të matjes vlerësohet vetëm nga gabimet e rastësishme.
Treguesit e saktësisë së matjes mund të shërbejnë si:
Gabim mesatar në matjen e katrorit;
Gabim relativ i matjes;
Gabim maksimal i matjes.
Koncepti i gabimit mesatar katror u prezantua nga Gauss, dhe aktualisht pranohet si karakteristika kryesore e saktësisë së matjes në gjeodezi.
Gabimi mesatar i katrorit të rrënjës është mesatarja vlerë kuadratike nga shuma e gabimeve në katror të matjeve individuale. Për ta llogaritur atë, përdoren ose gabimet e vërteta të matjes ose devijimet e rezultateve të matjes nga mesatarja aritmetike.
Le të shënojmë vlerën e vërtetë të sasisë së matur me X, rezultatin e matjes me l i.
Gabimet e vërteta të matjes Δ i quhen dallimet ndërmjet rezultateve të matjes dhe vlerave të vërteta, d.m.th.
Në këtë rast, gabimi mesatar katror m i një rezultati individual llogaritet duke përdorur formulën:
ku n është numri i matjeve me saktësi të barabartë.
Megjithatë, në shumicën e rasteve praktike, përveç rasteve të rralla kërkime të veçanta, vlera e vërtetë e sasisë së matur dhe, për rrjedhojë, gabimet e vërteta mbeten të panjohura. Në këto raste, për të gjetur vlerën përfundimtare të sasisë së matur dhe për të vlerësuar saktësinë e rezultateve të matjes, përdoret parimi i mesatares aritmetike.
Le l 1, l 2, .... l n rezultatet n matje me saktësi të barabartë të së njëjtës sasi. Pastaj herësi
quhet mesatarja aritmetike e vlerave të matura të kësaj sasie.
Diferenca midis çdo rezultati individual të matjes dhe vlerës mesatare aritmetike quhet devijimi i rezultateve të matjes nga mesatarja aritmetike dhe shënohet me shkronjën. v:
v i = l i - .
Shembull. Një kënd i veçantë u mat në katër hapa dhe u morën rezultatet:
l 1= 74° 17"42"; l 2= 74° 17"46"; l 3= 74° 17"43"; l 4= 74° 17"47".
Pastaj mesatarja vlera aritmetike këndi do të jetë = 74° 17 "44", 5, dhe devijimet e rezultateve të matjes nga mesatarja aritmetike do të jenë në përputhje me rrethanat v 1= - 2",5; v 2= +1",5; v 3= - 1", 5 dhe v 4= +2",5.
Devijimet e rezultateve të matjes nga mesatarja aritmetike kanë dy veti të rëndësishme:
Për çdo seri matjesh me saktësi të barabartë shuma algjebrike devijimet është zero [ v] = 0;
Për çdo seri matjesh me saktësi të barabartë, shuma e devijimeve në katror është minimale, d.m.th., më e vogël se shuma e devijimeve në katror të matjeve individuale nga çdo vlerë tjetër e marrë në vend të mesatares aritmetike, [ v 2] = min.
Vetia e parë e devijimeve shërben si një kontroll i besueshëm për llogaritjen e mesatares aritmetike nga rezultatet e matjes. Vetia e dytë e devijimeve përdoret për të vlerësuar saktësinë e rezultateve të matjes.
Nëse gabimet e matjeve individuale llogariten në lidhje me mesataren aritmetike të rezultateve të matjes, gabimi mesatar katror i rezultatit individual llogaritet duke përdorur formulën
Shembull. Duke përdorur të dhënat nga shembulli i mëparshëm, do të gjejmë gabimin mesatar katror të matjes së këndit në një hap:
Kur përcaktoni gabimet mesatare të matjes së katrorit, duhet të udhëhiqeni nga rregullat e mëposhtme:
1) gabimi mesatar katror i shumës ose diferencës së vlerave të matura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të gabimeve mesatare katrore të termave, d.m.th për shprehjen A = a + b - c + ...+ q gabimi mesatar katror do të jetë i barabartë me
për matje me saktësi të barabartë, kur m a = m b = m c = ... = m q:
2) rrënja e gabimit mesatar katror të produktit të vlerës së matur nga numër konstantështë e barabartë me prodhimin e gabimit mesatar katror të kësaj vlere me të njëjtin numër, pra për shprehjen L = kl;
3) gabimi mesatar katror i rezultateve të matjeve me saktësi të barabartë është drejtpërdrejt proporcional me gabimin mesatar katror të një matjeje m dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me rrënjën katrore të numrit të matjeve, d.m.th.
ose duke marrë parasysh formulën (12):
Shembuj: 1. Këndi β është marrë si diferencë ndërmjet dy drejtimeve të përcaktuara me gabime m 1 = ± 3" dhe m 2 = ± 4".
Sipas rregullit të parë ne gjejmë.
2. Rrezja e rrethit matet me një gabim rrënjësor mesatar katror m R = ±5 cm.
Duke përdorur rregullin e dytë, gjejmë gabimin mesatar katror të perimetrit
m 0 = 2πm R = 2 × 3,14 × 5 = ± 31 cm.
3. Gabimi mesatar katror i rrënjës në matjen e një këndi në një hap është m = ± 8". Sa është saktësia e matjes së një këndi në katër hapa?
Sipas rregullit të tretë
.
4. Këndi β matet në pesë hapa. Në këtë rast, devijimet nga mesatarja aritmetike ishin: - 2", + 3", - 4", +4" dhe -1". Sa është saktësia e rezultatit përfundimtar?
Sipas rregullit të tretë
Mesatarja aritmetike e një sërë matjesh
Ndërsa n rritet, vlera mesatare
Formula e Gausit mund të rrjedh nga supozimet e mëposhtme:
- gabimet e matjes mund të marrin një seri vlerash të vazhdueshme;
- në numër i madh vrojtimet e gabimeve të njëjtën madhësi, Por shenjë të ndryshme ndodhin po aq shpesh;
- probabiliteti, pra frekuencë relative shfaqja e gabimeve zvogëlohet me rritjen e madhësisë së gabimit. Me fjalë të tjera, gabime të mëdha janë më pak të zakonshme se të voglat.
Ligji normal i shpërndarjes përshkruhet nga funksioni i mëposhtëm:
ku σ është gabimi mesatar katror; σ2 – dispersion matës; Xist është vlera e vërtetë e sasisë së matur.
Analiza e formulës (1.13) tregon se funksioni i shpërndarjes normale është simetrik në lidhje me burimin e drejtë X = X dhe ka një maksimum në X = X burim. Vlerën ordinate të kësaj maksimumi e gjejmë duke vendosur anën e djathtë ekuacioni (1.13) X burim në vend të X. Marrim
,
prej nga rrjedh se me zvogëlimin e σ, rritet y(X). Zona nën kurbë
duhet të mbetet konstante dhe e barabartë me 1, pasi probabiliteti që vlera e matur e X do të përmbahet në intervalin nga -∞ në +∞ është e barabartë me 1 (kjo veti quhet kushti i normalizimit të probabilitetit).
Në Fig. 1.1 tregon grafikët e tre funksioneve normale të shpërndarjes për tre vlera të σ (σ 3 > σ 2 > σ 1) dhe një burim X. Shpërndarja normale karakterizohet nga dy parametra: vlera mesatare ndryshore e rastësishme, e cila për pafundësi sasi të mëdha matjet (n → ∞) përputhen me vlerën e vërtetë dhe variancën σ. Vlera e σ karakterizon përhapjen e gabimeve në raport me vlerën mesatare të marrë si të vërtetë. Në vlera të vogla të σ kthesat bëhen më të pjerrëta dhe vlera të mëdhaΔΧ janë më pak të mundshme, domethënë devijimi i matjes rezulton nga kuptimin e vërtetë vlerat në këtë rast janë më të vogla.
Për të vlerësuar vlerën gabim i rastësishëm Ka disa mënyra për të matur. Vlerësimi më i zakonshëm është përdorimi i gabimit mesatar katror standard ose rrënjësor. Ndonjëherë përdoret gabimi mesatar aritmetik.
Gabimi standard (rrënja mesatare katrore) e mesatares në një seri n matjesh përcaktohet nga formula:
Nëse numri i vëzhgimeve është shumë i madh, atëherë vlera Sn, subjekt i luhatjeve të rastësishme, priret në një vlerë konstanteσ, i cili quhet kufiri statistikor Sn:
Është ky kufi që quhet gabimi mesatar i katrorit. Siç u theksua më lart, katrori i kësaj sasie quhet dispersion i matjes, i cili përfshihet në formulën e Gausit (1.13).
Vlera e σ është e madhe rëndësi praktike. Le si rezultat i matjeve të disa sasi fizike gjeti mesataren aritmetike<Х>dhe disa gabime ΔX. Nëse sasia e matur i nënshtrohet gabimit të rastësishëm, atëherë nuk mund të supozohet pa kushte se vlera e vërtetë e sasisë së matur qëndron në intervalin (<Х>- ΔΧ,<Х>+ ΔХ) ose (<Х>– ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)). Gjithmonë ekziston një probabilitet që vlera e vërtetë të jetë jashtë këtij intervali.
Një interval besimi është një interval vlerash (<Х>- ΔΧ,<Х>+ ΔΧ) të vlerës X, në të cilën, sipas përkufizimit, vlera e vërtetë e X burimit bie me një probabilitet të caktuar.
Besueshmëria e rezultatit të një serie matjesh është probabiliteti që vlera e vërtetë e vlerës së matur të bjerë brenda një intervali të caktuar besimi. Besueshmëria e rezultatit të matjes ose probabiliteti i besimit e shprehur në thyesa të një njësie ose përqindjeje.
Le të nënkuptojmë α probabilitetin që rezultati i matjes të ndryshojë nga vlera e vërtetë me një shumë jo më të madhe se ΔΧ. Kjo zakonisht shkruhet në formën:
R((<Х>– ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)) = α
Shprehja (1.16) do të thotë që me një probabilitet të barabartë me α, rezultati i matjes nuk shkon përtej kufijve intervali i besimit nga<Х>– ΔХ deri në<Х>+ ΔХ. Sa më i madh të jetë intervali i besimit, domethënë sa më i madh të jetë gabimi i specifikuar i rezultatit të matjes ΔX, aq më e besueshme është vlera e dëshiruar e X-it brenda këtij intervali. Natyrisht, vlera e α varet nga numri n i matjeve të marra. dhe gjithashtu në gabimin e specifikuar ΔΧ.
Kështu, për të karakterizuar madhësinë e gabimit të rastësishëm, është e nevojshme të vendosni dy numra, përkatësisht:
- madhësia e vetë gabimit (ose intervali i besimit);
- vlera e probabilitetit të besimit (besueshmërisë).
Tregimi vetëm i madhësisë së gabimit pa treguar probabilitetin përkatës të besimit është kryesisht i pakuptimtë, pasi në këtë rast ne nuk e dimë se sa të besueshme janë të dhënat tona. Njohja e probabilitetit të besimit ju lejon të vlerësoni shkallën e besueshmërisë së rezultatit të marrë.
Shkalla e kërkuar e besueshmërisë përcaktohet nga natyra e ndryshimeve që bëhen. Gabimi mesatar katror Sn korrespondon me një probabilitet besimi prej 0.68, gabimi mesatar i dyfishuar i katrorit (2σ) korrespondon me një probabilitet besimi prej 0.95, dhe gabimi i trefishuar (3σ) korrespondon me 0.997.
Nëse intervali (X – σ, X + σ) zgjidhet si interval besimi, atëherë mund të themi se nga njëqind rezultate të matjes, 68 do të jenë domosdoshmërisht brenda këtij intervali (Fig. 1.2). Nëse gjatë një matje gabimi absolut ∆Χ > 3σ, atëherë kjo matje duhet të klasifikohet si gabim bruto ose gabim. Vlera 3σ zakonisht merret si vlerë kufizuese gabim absolut matje e veçantë (ndonjëherë në vend të 3σ merret gabimi absolut i pajisjes matëse).
Për çdo vlerë të intervalit të besimit, probabiliteti përkatës i besimit mund të llogaritet duke përdorur formulën e Gausit. Këto përllogaritje janë kryer dhe rezultatet e tyre janë përmbledhur në tabelë. 1.1.
Probabilitetet e besimit α për intervalin e besueshmërisë, të shprehura si fraksione të gabimit mesatar katror ε = ΔX/σ.
Vidutinė kvadratinė paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. gabim mesatar katror vok. mittlerer quadratischer Fehler, m rus. rrënja mesatare katrore gabim, f pranc. écart quadratique moyen, m; erreur quadratique moyenne, f … Automatikos Terminų žodynas
reduktuar gabimin mesatar katror- - [A.S. Goldberg. Fjalori anglisht-rusisht i energjisë. 2006] Temat e energjisë në përgjithësi EN gabimi mesatar katror i normalizuar NMSE ... Udhëzues teknik i përkthyesit
Gabim faze RMS- 1. Vlera mesatare katrore rrënjësore e gabimit fazor në të gjitha mostrat Përdorur në dokument: RD 45.301 2002 Instrumentet matëse për telekomunikimet e rrjeteve të komunikimit celular të standardit GSM 900/1800. Kërkesat teknike... Fjalori i telekomunikacionit
gabim standard- 2,56. gabim standard; rrënja e gabimit mesatar katror Devijimi standard vlerësimet Burimi: GOST R 50779.10 2000: Metodat statistikore. Probabiliteti dhe statistikat bazë. Termat dhe përkufizimet...
ANALIZA STATISTIKORE- ANALIZA STATISTIKE Menaxherët e biznesit shpesh përdorin metoda statistikore kur marrin vendime ose analizojnë problemet që duhen zgjidhur. NË këtë seksion Diskutohen disa metoda bazë statistikore. Aritmetika...... Enciklopedia e Bankave dhe Financave
GOST R 50779.10-2000: Metodat statistikore. Probabiliteti dhe statistikat bazë. Termat dhe përkufizimet- Terminologjia GOST R 50779.10 2000: Metodat statistikore. Probabiliteti dhe statistikat bazë. Termat dhe përkufizimet dokumenti origjinal: 2.3. popullsia (e pergjithshme) Kompleti i te gjitha njesive te marra ne konsiderate. Shënim Për një ndryshore të rastësishme... ... Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik
Sistemi i navigimit me radio- një kompleks i disa llojeve të ngjashme ose të ndryshme të pajisjeve të navigimit radio që ndërveprojnë me njëra-tjetrën (nëpërmjet kanaleve të radios ose brenda një të vetme bllok diagrami) dhe sigurimin duke punuar së bashku përcaktimi i vendndodhjes...... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
Kufiri standard kuantik - Mekanika kuantike... Wikipedia
DHOMA PROPORIONALE- (shih NUMËRËSIN PROPORCIONAL). Fizike fjalor enciklopedik. M.: Enciklopedia Sovjetike. Kryeredaktor A. M. Prokhorov. 1983. DHOMA PROPORCIONELE... Enciklopedi fizike
ASTRONOMI INFRA KUQ- fusha e astrofizikës vëzhguese, duke kombinuar metodat dhe rezultatet e studimeve të rrezatimit të asters dhe objekteve në intervalin IR (0,7 μm 1 mm). Ndonjëherë si pjesë e I. a. dallojnë astronominë nënmilimetrike (0,1 1 mm). Hapi i parë në historinë e I. a. ishte…… Enciklopedi fizike
INTERPOLIMI I PROCESIT TË RASTËSISHËM- problemi i vlerësimit të vlerave proces i rastësishëm X(t) në një interval të caktuar a
Gabimi mesatar dhe rrënja e gabimit mesatar katror. Sa më të ulëta të jenë vlerat e këtyre kritereve, aq më e madhe është besueshmëria e modelit të parashikimit.
koeficienti i korrelacionit linear përcaktohet me formulë
Gabimi mesatar katror (devijimi standard) për vlerësimin S dhe intervalin e besueshmërisë së parashikimit
Në fakt, problemi zbret në vlerësimin e elasticitetit mesatar për një periudhë pak a shumë të gjatë kohore. Le të analizojmë vlerësimet e elasticitetit të çmimeve specifike (elasticiteti i përbashkët) në nivele të ndryshme, d.m.th. struktura e specieve, për grurin e ashensorit, grurin në shkëmbim dhe për miellin. Vlerësimet e marra janë përmbledhur në tabelë. 14.5 së bashku me gabimet e tyre standarde rrënjë-mesatare-katrore - gabimet e vlerësimit, ose kufijtë e intervaleve të besimit për treguesit e elasticitetit.
Për të kontrolluar rëndësinë e koeficientëve të korrelacionit, ne llogarisim rrënjën e gabimeve mesatare katrore të koeficientëve të korrelacionit r
Shkalla e afërsisë së marrëdhënieve të shumta statistikore dhe gabimi rrënjë-mesatar-katror i parashikimit (përafrimit) të një ndryshore bazuar në tërësinë e të tjerëve. Në mënyrë intuitive dhe nga kuptimi i karakteristikave të shkallës së afërsisë së një lidhjeje statistikore të diskutuar më sipër, është e qartë se sa më e afërt të jetë kjo lidhje, sa më shumë informacion të përmbajë një variabël në raport me tjetrin, aq më saktë mund të rivendoset (parashikohet, përafërsisht ) vlera e panjohur e një ndryshoreje nga një vlerë e dhënë e një tjetri.
Kështu, ne përsëri (si në paragrafët B.5 dhe 1.1.1) arritëm te funksioni i regresionit f (X) = E (m] = X), këtë herë si funksion i ndryshoreve p (1>, c (2) ,.., x(p) më saktë (në kuptimin e gabimit mesatar katror) duke riprodhuar vlerën e kushtëzuar të treguesit rezultant të studiuar m] (X) për një vlerë të dhënë X të variablave shpjegues.
Gabimi mesatar katror i parashikimit të kombinuar është përkatësisht i barabartë me
Nëse termi devijim standard përdoret për të përshkruar përhapjen e një ndryshoreje, atëherë termi gabim mesatar katror i rrënjës përdoret për të përshkruar një parametër të ngjashëm statistikor.
Dihet mirë se algoritmi optimal për sa i përket gabimit mesatar katror minimal të vlerësimit të gjendjes (aktuale, të shkuar dhe të ardhme) të një sistemi dinamik quhet filtri R. Kalman. Të gjithë algoritmet e tjera të vlerësimit mund t'i afrohen vetëm saktësisë së vlerësimit të ofruar nga filtri Kalman. Saktësia potencialisht e mundshme e vlerësimit e arritur nga filtri i specifikuar sigurohet për faktin se struktura dhe parametrat e algoritmit të specifikuar janë rregulluar paraprakisht me portretin statistikor të sistemit dinamik që vlerësohet. Kjo është arsyeja pse është e nevojshme të kryhen studime paraprake statistikore të tregut financiar për të marrë një model matematikor adekuat për tregun në formën e një sistemi ekuacionesh diferenciale (diferencë), dhe vetëm atëherë të rregulloni filtrin e duhur Kalman në atë që rezulton. modeli matematikor i tregut financiar.
Kështu, përdorimi i formulave (1.13)-(1.16) çon në një kontradiktë në përcaktimin e parametrit të zbutjes si zvogëlohet dhe gabimi mesatar katror zvogëlohet, por në të njëjtën kohë rritet gabimi në kushtet fillestare, i cili nga ana tjetër ndikon në saktësinë e parashikimit.
Ky fakt bën të mundur përdorimin e marrëdhënieve (1.81) për të ndërtuar vlerat e parashikimit të serive kohore të analizuara për 1 hap përpara. Baza teorike për këtë qasje ndaj parashikimit është dhënë nga rezultati i njohur, sipas të cilit parashikimi linear më i mirë (në kuptimin e gabimit mesatar katror) në kohën t me një avantazh prej 1 është pritshmëria matematikore e kushtëzuar e rastit. ndryshorja xt+i, e llogaritur me kusht që të gjitha vlerat e xt deri në momentin t. Ky rezultat është një rast i veçantë i teorisë së përgjithshme të parashikimit (shih).
Për çdo ndarje të një polinomi të plotë të një shkalle të caktuar në polinome të pjesshme, kriteri për gabimin mesatar katror minimal të përcaktuar në sekuencën e trajnimit (kriteri i parë) lejon që dikush të përcaktojë në mënyrë unike vlerësimet optimale të të gjithë koeficientëve nëse numri i pikëve në sekuenca e trajnimit është më e madhe se numri i termave të secilit prej polinomeve të pjesshme me të paktën një .
Për një shkallë të caktuar të një polinomi të plotë, ka shumë mundësi për ndarjen e tij në polinome të pjesshme. Një kërkim i plotë i të gjitha kombinimeve sipas kriterit të gabimit mesatar katror të rrënjës, i matur në një sekuencë të veçantë testimi të të dhënave, na lejon të gjejmë ndarjen e vetme më të mirë.
Rrjedhimisht, ashtu si në rastin e një varësie të çiftëzuar, variacioni (shpërndarja e rastësishme) e treguesit që rezulton m] përbëhet nga variacioni i funksionit të regresionit / (X) që ne kontrollojmë (nga vlera e ndryshores parashikuese X) dhe nga shpërndarja e rastësishme e vlerave r (X) që nuk i nënshtrohet kontrollit tonë) (për një X fiks) në lidhje me funksionin e regresionit / (X). Është kjo përhapje e pakontrolluar (e karakterizuar nga vlera o (X)) që përcakton njëkohësisht gabimin rrënjësor-mesatar të katrorit të parashikimit (ose përafrimit) të vlerës së treguesit që rezulton r bazuar në vlerat e parashikuesit. variablat X, dhe shkalla e afërsisë së marrëdhënies që ekziston midis vlerës r, nga njëra anë, dhe vlerave
X. Theil propozoi në këtë rast të përdorej gabimi mesatar katror standard
Ky korrelacion nuk e zvogëlon shumë pasigurinë. Në të vërtetë, gabimi mesatar katror rrënjësor i parashikimit zvogëlohet vetëm me 1%. Kështu, megjithëse janë gjetur disa shenja të dobëta të autokorrelacionit në indeksin NASDAQ, ato janë pak të dobishme në praktikë. Të gjitha korrelacionet e tjera janë të rastësishme dhe statistikisht të parëndësishme. Duke marrë parasysh sa korrelacione kemi analizuar për të gjetur vetëm një që ishte edhe nga distanca domethënëse statistikisht, ka shumë të ngjarë që ky korrelacion i vetëm të jetë një rezultat i rastësishëm, i ngjashëm me marrjen e disa kokave me radhë kur hidhet një monedhë.
